Gamle eksamensopgaver (DOK)
|
|
- Børge Dahl
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2. sommer 1994, opgave 2) Lad T : [1, [ [1, [ være givet ved x 6x + 9x = e 3t. Tx) = x. a) Vis, at Tx) Ty) 3 x y. b) Find T s fixpunkter). c) Lad T 1 : [2, [ [2, [ være givet ved T 1 x) = Tx). Vis, at T 1 er en kontraktion. d) Vis, at T n x) = TT...Tx))...) n 3 for alle x [1, [. Opgave 3. sommer 1994, opgave 3) Lad C = Konv {, ),, 1), 1 2, 1 2 ), 1, )} R2 og f = x 2 + y 2 + x + 1. a) Find C s hjørner. b) Vis, at f er konveks. c) Find normalkegler til C i punkter, ) og, 1). d) Vis, at grad f, ) N C, ). e) Find Opgave 4. sommer 1994, opgave 4) Lad f være givet ved a) Vis, at min f. x,y) C f = 8x 2 8x 4xy + y 2 + 4y. f = bestemmer y som funktion ϕx) af x i omegn af punktet, ). b) Vis, at f = ikke bestemmer y som C 1 -funktion af x i omegn af punktet 1, ). c) Find dϕ dx ). ~/local/notes/h2/dok/ex/eoold.tex :8:48
2 EO 2 Opgave 5. sommer 1994, opgave 5) Løs følgende programeringsopgave: Find min x 3) 2 + y 2) under bibetingelser x y x 2. Opgave maj 1995, opgave 1) Betragt det lineære program P) Maksimer x 1 5x 2 + 7x 3 m.h.t. x 1 x 2 + 3x 3 11 x 1 + 7x 2 = 1 x 2, x 3 i) Find en optimal løsning til programmet P) og gør rede for, at det er den eneste optimale løsning. Angiv den optimale værdi for P). ii) Opskriv det duale program P ) til P) og angiv en optimal løsning til P ). Er denne også den eneste? Opgave maj 1995, opgave 2) i) Angiv den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning d 2 x dt 2 2dx dt + 2x =. ii) Beregn en løsning til den inhomogene differentialligning d 2 x dt 2 2dx dt + 2x = t2 + 4t, og angiv derefter samtlige løsninger til denne ligning. iii) Angiv den løsning x til spørgsmål ii), som opfylder x) = x ) =. Opgave maj 1995, opgave 3) I R 3 betragtes punkterne x 1 = 8, 3, 2), x 2 = 2, 1, 4), x 3 = 1, 3, 4), x 4 = 2, 1, 1). i) Gør rede for, at x 4 er en konveks kombination af x 1, x 2 og x 3. Angiv en sådan konveks kombination. ii) Gør rede for, at x 3 ikke er en konveks kombination af x 1 og x 2. iii) Forklar, at conv x 1, x 2 ) conv x 1, x 2, x 3 ) og at conv x 1, x 2, x 3 ) = conv x 1, x 2, x 3, x 4 ).
3 EO 3 Opgave maj 1995, opgave 4) Betragt det ikke-lineære programmeringsproblem maksimer 3x + y 2 m.h.t. x 2 + y 2 25 og x Opstil Kuhn-Tucker betingelserne for problemet og find løsningen ved hjælp af disse. Opgave maj 1995, opgave 5) Find den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet ẋ 1 = 2x 1 + x 3 ẋ 2 = 2x 2 ẋ 3 = 3x 1 + 4x 3. Opgave 11. sommer 1996, opgave 1) 1) Angiv den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning d 2 x dt 2 + 7dx dt + 1 =. 2) Beregn en løsning til den inhomogene differentialligning d 2 x dt 2 + 7dx dt + 1x = 2e 3t + 1t 2, og angiv derefter samtlige løsninger til denne ligning. 3) Gør rede for, at differentialligningen i 2) er globalt asymptotisk stabil, f.eks. ved at henvise til en relevant sætning fra kurset. Opgave 12. sommer 1996, opgave 2) Betragt det ikke-lineære programmeringsproblem m.h.t. 2x + y 2 6 og x. maksimer lnx + 1) + y Opstil Kuhn-Tucker betingelserne for problemet og løs det ved hjælp af disse. Opgave 13. sommer 1996, opgave 3) Betragt variationsproblemet 2 ) minimer e t x + tẋ + 12ẋ2 dt med randbetingelserne x) =, x2) = 2. 1) Opstil Eulerligningen for problemet og løs den. 2) Bestem den løsning for Eulerligningen, som opfylder randbetingelserne. 3) Gør rede for, at løsningen i 2) er optimal.
4 EO 4 Opgave 14. sommer 1996, opgave 4) Beregn den fuldstændige løsning til differensligningen x t+2 6x t+1 + 9x t = 4t Opgave 15. sommer 1996, opgave 5) 1) Bestem den generelle løsning til det lineære differentialligningssystem ẋ 1 = 2x 1 + x 2 + 2t ẋ 2 = x 2 + t. 2) Beregn den løsning til 1) som opfylder x 1 ), x 2 )) = 1, ). Opgave 16. sommer 1997, opgave 1) Bestem den løsning til differentialligningen som opfylder x) = 1. e + t 2 )ẋ + tx 3 =, Opgave 17. sommer 1997, opgave 2) a) Bestem den løsning til differentialligningssystemet som opfylder x 1 ) = 1, x 2 ) = 1. x 1 = 3x 1 + x 2 + 2t 2 + 2t x 2 = 1x 1 x t 2 + 2t b) Hvorledes forløber banen asymptotisk når t +. Opgave 18. sommer 1997, opgave 3) Der er givet et differentialligningssystem x = 6x 2x 2 xy y = 6y xy 2y 2. a) Bestem systemets ligevægtspunkter og angiv arten af ligevægtspunktet i det indre af 1. kvadrant. b) Afsæt de 4 punkter 1, 1), 3, 1), 3, 3), og 1, 3) i et koordinatsystem og marker med en pil ud fra hvert punkt retningen som banen gennem dette punkt har. c) Begrund, at en bane {xt), yt)) t [, [} som starter i det indre af 1. kvadrant altid vil forblive i det indre af 1. kvadrant og udgøre en begrænset punktmængde.
5 EO 5 Opgave 19. sommer 1997, opgave 4) a) Bestem den løsning x t ) t N til differensligningen som opfylder x 1 = 1, x 2 = 2. ) 4x t+2 x t = 3t t + 16, b) Undersøg stabilitetsforholdene for ligningen ). Opgave 2. sommer 1997, opgave 5) Betragt variationsproblemet Maksimer 1 12xt ẋ 2 2ẋ) dt, x) =, x1) fri. a) Bestem den eneste mulige løsning som opfylder Eulers ligning, initialbetingelsen og transversalitetsbetingelsen b) Begrund, at den fundne løsning er optimal. Opgave 21. sommer 1997, opgave 6) Betragt kontrolproblemet 1) Maks. 4 x u2 ) dt, 2) ẋ = 2u, x) =, x4) fri 3) 1 ut) 1. a) Opstil de betingelser maksimumsprincippet giver. b) Løs ligningerne fra spørgsmål a) og begrund, at den fundne løsning er optimal. Opgave 22. sommer 1998, opgave 1) Find den løsning xt) til differentialligningen som opfylder x) =. Opgave 23. sommer 1998, opgave 2) For x [ 1, 1] defineres fx) ved 4 fx) = a) Find et udtryk for f x). ẋ = x 2 4, x t 2 + 2t xt 2 ) 2 dt. b) Beregn 1 1 fx) dx. Vink: Ombyt integrationsordenen). 4 Opgave 24. sommer 1998, opgave 3) Der er givet følgende system af 1. ordens differentialligninger: ẋ = 2x + y 2t 1, ẏ = x +4e t. a) Bestem den fuldstændige løsning. b) Fastlæg den løsning som opfylder x), y)) =, ).
6 EO 6 Opgave 25. sommer 1998, opgave 4) Der er givet et autonomt system i planen ẋ = 25x x 3 xy 2 ẏ = 7y xy y 2. a) Find systemets ligevægtspunkter og bestem stabilitetsforholdene for disse. b) Lad K betegne den lukkede kvartcirkel, der er bestemt ved K = { R 2 x, y, x 2 + y 2 64} og lad xt), yt)) være en løsning defineret på et åbent interval I. Vis, at hvis det for t I gælder at xt), yt)) K, så vil det for alle s I med s > t gælde, at xs), ys)) K. Opgave 26. sommer 1998, opgave 5) Der er givet differensligningen; Find den løsning x t ) t N som opfylder 4x t+2 + x t = 5t t + 11, t N. x 1 = 1, x 2 = 2. Opgave 27. sommer 1998, opgave 6) Der er givet et optimalt kontrolproblem; max 1 ex u 2 ) dt, x = 2u x, u 1, x) =, x1) fri, e er en konstant, grundtallet for den naturlige logaritme). a) Opstil de ligninger som en optimal løsning med tilhørende adjungeret funktion pt) må opfylde. b) Løs ligningerne og begrund, at den fundne løsning er optimal. Opgave 28. august 1998, opgave 1) Bestem den løsning til differentialligningen som opfylder x1) =. ẋ + 2 t 3 x = 4 t 3, t > Opgave 29. august 1998, opgave 2) Der er givet et system af 1. ordens differentialligninger i) Bestem den fuldstændige løsning. ẋ 1 =5x 1 3x 2 5sint+4cos t ẋ 2 =2x 1 3sint. ii) Find den partikulære løsning som opfylder x 1 ) = 2, x 2 ) =.
7 EO 7 Opgave 3. august 1998, opgave 3) Der er givet et autonomt system i planen ved ẋ = xy x x ẏ = 4x 2 y 2 y 4. i) Bestem ligevægtspunkterne i 1. kvadrant og redegør for deres stabilitetsforhold. ii) Lav et fasediagram i 1. kvadrant. Der ønskes ikke en detaljeret redegørelse, men blot en pilmarkering af fortegnene for ẋ og ẏ. iii) Begrund, at en bane xt), yt)) defineret på et åbent interval I og som til et tidspunkt s i I opfylder xs) >, ẋs) >, ys) >, ẏs) > vil opfylde xt) >, ẋt) >, yt) >, ẏt) > for alle t > s i I. Opgave 31. august 1998, opgave 4) Der er givet en differensligning x t+2 4x t+1 5x t = 6 1) t 8t 2 4t, t N. i) Bestem den fuldstændige løsning til ligningen. ii) Fastlæg den løsning for hvilken x 1 = 1, x 2 = 5. Opgave 32. august 1998, opgave 5) Der er givet et variationsproblem maksimer 1 4x2 ẋ 2 16) dt x) =, x1) = 1. Find den eneste mulige løsning og begrund, at den er optimal. Opgave 33. august 1998, opgave 6) Der er givet et optimalt kontrolproblem x) = 1, ẋ = u, u 1. { max 2x1) + 1 } 2x 2 u) dt. i) Opstil betingelserne som en optimal løsning må tilfredsstille. ii) Vis, at xt) 1 for alle t [, 1]. iii) Vis, at p er strengt voksende med p) < 1 og p1) > 1. iv) Find den eneste mulige løsning og begrund, at den er optimal. Ved besvarelsen af spørgsmålene er det tilladt at benytte resultaterne fra tidligere spørgs-mål selvom disse ikke er besvaret.
8 EO 8 Opgave 34. sommer 1999, opgave 1) Find den løsning til differentialligningen der antager værdien 2 for t =. dx dt = x3 x, Opgave 35. sommer 1999, opgave 2) Der er givet et autonomt differentialligningssystem i R 2 : ẋ = x + y) 2 1, ẏ = x y) 2 1. a) Vis, at der er fire ligevægtsløsninger, i punkterne A = 1, ), B =, 1), C = 1, ) og D =, 1), og bestem deres stabilitetsforhold. b) Marker på en tegning fortegnene for ẋ og ẏ i de forskellige områder, planen inddeles i af nulpunktsmængderne for f = x + y) 2 1, g = x y) 2 1. c) Lad xt), yt)) være en løsning defineret på et interval I. Vis, at hvis [t, t 1 ] I, og xt), yt)) ligger i det indre af trekanten ABD for t [t, t 1 [, mens xt 1 ), yt 1 )) ligger på randen af trekanten, så må xt 1 ), yt 1 )) tilhøre siden BD. Opgave 36. sommer 1999, opgave 3) Man betragter differensligningen hvor a er et givet reelt tal. x t+2 ax t a 1)x t = 2 t, a) Opskriv den karakteristiske ligning. b) Beregn, for hvilke værdier af a, problemet er globalt asymptotisk stabilt. c) Find den generelle løsning i tilfældet a =, og undersøg opførselen for t. Opgave 37. sommer 1999, opgave 4) Man betragter variationsproblemet Minimér 1 x 2 + 2t 2 x + ẋ 2 ) dt, når x) = 1, x1) 1. a) Opstil de nødvendige betingelser for at en funktion xt) er løsning. b) Find den eneste mulige løsningskandidat. c) Begrund, at denne faktisk løser problemet.
9 EO 9 Opgave 38. sommer 1999, opgave 5) Man betragter et optimalt kontrolproblem Maksimér 2 1 u)x + t 2 ) dt, under betingelserne ẋ = ux + t 2 ), x) = 1, x2) er fri, u [, 1]. a) Vis, at et tilladt par xt), ut)) må opfylde xt) 1 for t [, 2]. b) Opstil de nødvendige betingelser, der fås fra maksimumsprincippet, for at et tilladt par er optimalt. c) Vis, at ṗt) <. d) Find den eneste mulige løsningskandidat. Vink: Begynd med at bestemme pt) i omegnen af t = 2.) e) Vis, at denne løsningskandidat virkelig løser problemet. Ved besvarelsen af spørgsmålene er det tilladt at benytte resultaterne fra andre af opgavens spørgsmål, selvom disse ikke er besvaret. Opgave 39. august 1999, opgave 1) Man betragter differentialligningen for funktioner xt) med positive værdier. dx dt = xlnx + lnx)2 ) a) Find den løsning defineret på en omegn af t = ), som antager værdien e for t =. b) Bestem løsningens størst mulige definitionsinterval. Vink: Man kan løse ligningen ved separation, og man kan anvende substitutionen u = lnx.) Opgave 4. august 1999, opgave 2) Der er givet et autonomt differentialligningssystem i R 2 : ẋ = x 2 + y 2 4, ẏ = x 1)y. a) Bestem ligevægtspunkterne og deres stabilitetsforhold. b) Marker på en tegning fortegnene for ẋ og ẏ i de forskellige områder, planen inddeles i af nulpunktsmængderne for f = x 2 +y 2 4, g = x 1)y. c) Idet det lukkede område M defineres ved M = { R 2 x 1, y, x 2 + y 2 4 }, skal man vise, at når xt), yt)) er en løsning defineret på et interval [t, t 1 ], og xt ), yt )) M, så er også xt 1 ), yt 1 )) M.
10 EO 1 Opgave 41. august 1999, opgave 3) Man betragter det todimensionale differensligningssystem x 1 t + 1) = 1 3 x 1t) x 2t) + 5, x 2 t + 1) = 1 3 x 1t) x 2t) + 7, som også kan skrives som xt + 1) = Axt) + b, A = ), b = ) 5. 7 a) Vis, at systemet er stabilt. b) Find lim t xt), hvor xt) er en vilkårlig løsning. Opgave 42. august 1999, opgave 4) Løs følgende variationsproblem: Minimér 1 e 4x+2ẋ dt, når x) = 1, x1) 1. Opgave 43. august 1999, opgave 5) Man betragter et optimalt kontrolproblem Maksimér 1 ẋ = u 2 x, 1 u 2 )x dt under bibetingelserne x) = 1, x1) er fri, u [ 1, 1]. a) Vis, at et tilladt par xt), ut)) må opfylde xt) 1 for t [, 1]. b) Opstil de nødvendige betingelser, der fås fra maksimumsprincippet, for at et tilladt par er optimalt. c) Vis, at ṗt) <. d) Find en løsningskandidat. e) Vis, at denne løsningskandidat virkelig løser problemet. Ved besvarelsen af spørgsmålene er det tilladt at benytte resultaterne fra andre af opgavens spørgsmål selvom disse ikke er besvaret. Opgave 44. Juni 2, opgave 1) Betragt differentialligningen ) d 3 x dt + d2 x 3 dt 2x = 2 5et. a) Opskriv og løs den tilsvarende karakteristiske ligning +). b) Opskriv den homogene ligning ) svarende til ), og bestem dens fuldstændige løsning. Afgør, om ligningen ) er stabil. c) Bestem en løsning til ). d) Bestem løsningen xt) til ) med x) = 1, dx dt ) = 2 og d2 x dt 2 ) = 3.
11 EO 11 Opgave 45. Juni 2, opgave 2) Betragt differentialligningssystemet ) ẋ = f def == x 2 + y ẏ = g def == y + 1 og Jacobi matricen J def == f f ). a) Skitsér på en tegning nulpunktsmængderne F og G for henholdsvis f og g. b) Bestem samtlige ligevægtspunkter = ligevægtstilstande) for ). c) Bestem J. Afgør for hvert ligevægtspunkt, om det er lokalt asymptotisk stabilt, eller om det er ustabilt. d) Udfør en faseplananalyse: Markér med pilesymboler på tegningen fortegn for ẋ og ẏ i de områder, som F og G inddeler planen i. Kommentér resultatet i c) på denne baggrund. Opgave 46. Juni 2, opgave 3) Betragt differensligningen ) x t+2 1x t x t = 8 3 t + 4 t. a) Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning ) svarende til ). b) Bestem den fuldstændige løsning til ). c) Bestem løsningen x t til ) med x 1 = 1 og x 2 = 9. Opgave 47. Juni 2, opgave 4) Betragt variationsproblemet Min 1 xt) + ẋt) ) 2dt med begyndelsesværdibetingelsen x) = og enhver af følgende slutværdibetingelser: x1) = 1, x1) fri samt x1) 1. a) Bestem Euler ligningen EL og dens løsninger, der opfylder begyndelsesværdibetingelsen x) =. b) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x1) = 1. c) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x1) fri. d) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x1) 1.
12 EO 12 Opgave 48. Juni 2, opgave 5) Betragt det optimale kontrolproblem Max 3 når ẋ = u, x) = 1, x3) fri og u [, 1 ]. t 2 + 2t 2)xt) ut) 2) dt a) Antag, at x, u) er et tilladt par, der løser Max. Opstil maksimumprincippets nødvendige betingelser. Man kan uden yderligere kommentarer antage, at det drejer sig om en sædvanlig Hamiltonfunktion dvs. med p = 1). b) Bestem en adjungeret funktion p: [, 3 ] R, der opfylder betingelserne, og skitsér dens graf. c) Bestem en kontrolfunktion u: [, 3 ] R, der opfylder betingelserne. d) Bestem en tilstandsfunktion x: [, 3 ] R, der opfylder betingelserne. e) Løs problemet Max. Opgave 49. August 2, opgave 1) a) Løs differentialligningen ) ẋ = t 2 x, t. b) Bestem én løsning til differentialligningen ) ẋ + t 2 x = 2t + 1, t. c) Bestem løsningen x til ) med x1) = 2. Opgave 5. August 2, opgave 2) Betragt differentialligningssystemet ) ẋ = f def == x 2 + y 2 25 ẏ = g def == x og Jacobi matricen J def == f f ). a) Skitsér på en tegning nulpunktsmængderne F og G for henholdsvis f og g, og bestem samtlige ligevægtspunkter = ligevægtstilstande) for ). b) Udfør en faseplananalyse: Markér med pilesymboler på tegningen fortegn for ẋ og ẏ i de områder, som F og G inddeler planen i. c) Skitsér en mulig løsningsbane = integralkurve), der går fra punktet 1, 2) til punktet 3, 4) og én fra 4, 5) til 3, 4). Beskriv for ethvert ligevægtspunkt hvilken konklusion vedrørende stabilitet, man kan drage på baggrund af faseplansanalysen i b). d) Bestem J. Afgør for hvert ligevægtspunkt, om det er lokalt asymptotisk stabilt, eller om det er ustabilt.
13 EO 13 Opgave 51. August 2, opgave 3) Betragt differensligningen ) x t+2 x t x t = 7, t =, 1,.... a) Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning ) svarende til ). b) Bestem løsningen x t til ) med x = 1 og x 1 = 2, og udregn x 2. c) Bestem den fuldstændige løsning til ). d) Afgør, om ligningen ) er stabil. Opgave 52. August 2, opgave 4) Betragt variationsproblemet Min 3 6txt) + t2ẋt) + ẋt) 2) dt med begyndelsesværdibetingelsen x) = 1 og enhver af følgende slutværdibetingelser: x3) = 1, x3) fri samt x3) 1. a) Bestem Euler ligningen EL og dens løsninger, der opfylder begyndelsesværdibetingelsen x) = 1. b) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x3) = 1. c) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x3) fri. d) Løs problemet Min, når slutværdibetingelsen er x3) 1. Opgave 53. August 2, opgave 5) Betragt det optimale kontrolproblem Max 1 t 1)xt) ut) 2 ) dt når ẋ = u x, x) = 1, x1) fri og u [, 1 ]. a) Antag, at x, u) er et tilladt par, der løser Max. Opstil maksimumprincippets nødvendige betingelser. Man kan uden yderligere kommentarer antage, at det drejer sig om en sædvanlig Hamiltonfunktion dvs. med p = 1). b) Bestem en adjungeret funktion p: [, 1 ] R, der opfylder betingelserne. c) Begrund, at funktionen p er strengt voksende f.eks. ved også at betragte dens anden afledede). d) Bestem en kontrolfunktion u: [, 1 ] R, og en tilstandsfunktion x: [, 1 ] R, der opfylder betingelserne. e) Løs problemet Max. Opgave 54. Juni 21, opgave 1) a) Løs differentialligningen ) ẋ = t 1 xx + 1), t. [Vink: Bestem blandt andet a, b R, så 1 xx+1) = a x + b x+1.] b) Bestem løsningen x til ) med x1) = 1 samt løsningen x til ) med x1) = 2.
14 EO 14 Opgave 55. Juni 21, opgave 2) Betragt differentialligningssystemet ) ẋ = f def == x 2 y 7 ẏ = g def == x 2 + y 2 9 og Jacobi matricen J def == f f ). a) Skitsér på en tegning nulpunktsmængderne F og G for henholdsvis f og g, og bestem samtlige ligevægtspunkter dvs. ligevægtstilstande) for ). b) Udfør en faseplananalyse: Markér med pilesymboler på tegningen fortegn for ẋ og ẏ i de områder, som F og G inddeler planen i, og godtgør hvilke punkter, der er ustabile. c) Bestem Jacobi matricen J, sporet tr J ) og determinanten det J ). d) Afgør gerne med henvisning til faseplananalysen for ethvert ligevægtspunkt, om det er lokalt asymptotisk stabilt. Bestem mindst et lokalt saddelpunkt. Opgave 56. Juni 21, opgave 3) Betragt differensligningen IL) x t+2 2x t+1 + 2x t = 1, t =, 1,.... a) Bestem den fuldstændige løsning til den homogene ligning HL) svarende til IL). b) Bestem den fuldstændige løsning til IL). c) Bestem løsningen til IL) med x = 1 og x 1 = 2, og udregn værdierne x 2, x 3 og x 4. d) Afgør, om ligningen IL) er stabil. Opgave 57. Juni 21, opgave 4) Betragt variationsproblemet Min) 1 4xt) 2 8t 2 xt) + ẋt) 2) dt med begyndelsesværdibetingelsen x) = 1 og enhver af følgende slutværdibetingelser: 2 x1) = 3 2, x1) fri eller x1) 3 2, a) Bestem Euler ligningen EL) og dens løsninger, der opfylder begyndelsesværdibetingelsen x) = 1 2. b) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er x1) = 3 2. c) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er x1) fri. d) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er x1) 3 2.
15 EO 15 Opgave 58. Juni 21, opgave 5) Betragt det optimale kontrolproblem Max) 2 når ẋ = u, x) = 1, x2) fri og u [, 1 ]. 6ut) xt) 4 ) dt Antag, at x, u) er et tilladt par, der løser Max). a) Opstil maksimumprincippets nødvendige betingelser. Man kan uden yderligere kommentarer antage, at det drejer sig om en sædvanlig Hamiltonfunktion dvs. med p = 1). b) Begrund, at x er voksende. Begrund, at ṗt) 4 for alle t, når p: [, 2 ] R er den adjungerede funktion. Begrund, at p) 8. [Vink: Til det sidste kan benyttes Nyttig Hjælpesætning a) U11 eller 64.] c) Begrund, at der findes netop ét a ], 2 [ med pa) = 6. d) Bestem ut) for t < a og for t > a. Bestem xt) for t a og for t a. Bestem ṗt) for t a og for t a. e) Bestem pt) for t a. Bestem a. Bestem pt). f) Skitsér graferne for x, u og p. Løs problemet Max). Opgave 59. Juli 21, opgave 1) a) Løs den homogene differentialligning HL) ẋ 3t 1 x =, t >. b) Løs den inhomogene differentialligning IL) ẋ 3t 1 x = 3t 2, t >. c) Bestem løsningen x til Bernoulli-ligningen ẋ = t 1 x + t 2 x 2, t > med x1) = 1. [Benyt gerne resultatet fra b).] Opgave 6. Juli 21, opgave 2) Betragt differentialligningssystemet ) ẋ = f def == 1 xy ẏ = g def == x y 3 og Jacobi matricen J def == f f ). a) Skitsér på en tegning nulpunktsmængderne F og G for henholdsvis f og g, og bestem samtlige ligevægtspunkter dvs. ligevægtstilstande) for ). b) Udfør en faseplananalyse: Markér med pilesymboler på tegningen fortegn for ẋ og ẏ i de områder, som F og G inddeler planen i, og godtgør hvilke punkter, der er ustabile. c) Bestem Jacobi matricen J, sporet tr J ) og determinanten det J ). Kan man udfra dette og Liapunovs sætninger sml. side eller 32 og 34) konkludere, at der er et lokalt asymptotisk stabilt ligevægtspunkt? Liapunov funktioner ønskes ikke indraget i undersøgelserne! d) Bestem et lokalt sadelpunkt.
16 EO 16 Opgave 61. Juli 21, opgave 3) Betragt differensligningen ) 2x t+2 2x t+1 + x t =, t =, 1,.... a) Bestem den fuldstændige løsning til ). b) Bestem løsningen til ) med x = 1 og x 1 = 1, og udregn værdierne x 2, x 3 og x 4. c) Afgør, om ligningen ) er stabil. Opgave 62. Juli 21, opgave 4) I denne opgave er T == def ln 2. Betragt variationsproblemet Min) T xt) 2 + 2t 2 xt) + ẋt) 2) dt med begyndelsesværdibetingelsen x) = 2 og enhver af følgende slutværdibetingelser: xt) = T 2, xt) fri eller xt) T 2. a) Bestem Euler ligningen EL) og dens løsninger, der opfylder begyndelsesværdibetingelsen x) = 2. b) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er xt) = T 2. c) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er xt) fri. d) Løs problemet Min), når slutværdibetingelsen er xt) T 2. Opgave 63. Juli 21, opgave 5) Betragt det optimale kontrolproblem Max) 2 2txt) ut) 2 ) dt når ẋ = 2u, x) = 1, x2) fri og u [ 1, 1 ]. a) Begrund, at Hamiltonfunktionen er konkav. Man kan uden yderligere kommentarer antage, at det drejer sig om en sædvanlig Hamiltonfunktion dvs. med p = 1). Antag, at x, u) er et tilladt par, der løser Max). b) Opstil maksimumprincippets nødvendige betingelser. c) Bestem den adjungerede funktion p: [, 2 ] R. d) Bestem kontrolfunktionen u. e) Bestem funktionen x. f) Skitsér graferne for x, u og p. Begrund, at de løser problemet Max). Opgave 64. Maj-juni 22, opgave 1) Betragt følgende differentialligning: ẋ = x 1)3 t 3 for t >. a) Bestem den generelle løsning til ligningen. b) Bestem den løsning xt) til ligningen, som opfylder x1) = 1 2.
17 EO 17 Opgave 65. Maj-juni 22, opgave 2) Betragt følgende differentialligningssystem: ẋ = f, ẏ = g, hvor f = 3x 2 + y 2 4, g = 3x y 2. Der ønskes en faseplansanalyse i form af svar på de efterfølgende spørgsmål. a) Bestem systemets ligevægtspunkter =stationære tilstande). b) Skitser på en tegning kurven, hvor f =, og kurven, hvor g =. Angiv med pilesymboler,, osv.) fortegnene for ẋ og ẏ i de områder, som planen deles i af de to kurver. c) Skitser banen for en kurve, der begynder i 1, ) og hvis forløb er i overensstemmelse med fortegnsbestemmelserne i b). d) Bestem Jacobi-matricen, J = f f og undersøg stabilitetsforholdene i ligevægtspunkterne. Opgave 66. Maj-juni 22, opgave 3) Betragt følgende inhomogene differensligning: *) x t x t x t = 1 2) t, t =, 1, 2,.... a) Bestem den generelle løsning til den homogene differensligning, der svarer til *). b) Bestem den løsning x t til *), som opfylder x = 1, x 1 = 1. c) Afgør, om differensligningen *) er stabil. d) Vis, at enhver løsning x t til *) er en konvergent følge. Opgave 67. Maj-juni 22, opgave 4) Betragt følgende variationsproblem: ), min) 2 1 tẋ 2 + t 1 x 2 ) dt, for x1) = 1, og x2) fri. a) Opstil Eulerligningen og transversalitetsbetingelsen svarende til problemet. b) Angiv den fuldstændige løsning til Eulerligningen. [Vink: vis, at funktionerne xt) = t og xt) = t 1 løser ligningen.] c) Bestem den funktion x = xt), som løser Eulerligningen, begyndelsesbetingelsen og transversalitetsbetingelsen. d) Gør rede for, at funktionen fra c) løser variationsproblemet.
18 EO 18 Opgave 68. Maj-juni 22, opgave 5) Betragt følgende problem om optimal kontrol: max) eller, udførligt: ln2 xu x 2 u 2 ) dt for ẋ = x + u, x) = 1, xln2) fri, maksimer ln2 xt)ut) xt) 2 ut) 2) dt for ẋt) = xt)+ut), x) = 1, xln2) fri. Der er altså ingen indskrænkninger på kontrolfunktionens værdier ut). a) Antag, at x, u) er et tilladt par, som løser problemet. Opstil de ligninger, som ifølge maksimumprincippet gælder for funktionerne x = xt), u = ut) og p = pt) p er den adjungerede funktion). b) Bestem de funktioner x, p og u, som opfylder ligningerne i a) og bibetingelserne. c) Begrund, at funktionen u = ut) bestemt i b) er den optimale kontrol. Opgave 69. juli-august 22, opgave 1) Betragt følgende differentialligning: ẋ = xx + 1) tt + 1) for t >. a) Bestem den fuldstændige løsning til ligningen. b) Bestem den løsning xt) til ligningen, som opfylder x1) = 1 3. Opgave 7. juli-august 22, opgave 2) Betragt følgende differentialligningssystem: ẋ = f, ẏ = g, hvor f = x 4y)x + 4y), g = 17 x 2 y 2. Der ønskes en faseplansanalyse i form af svar på de efterfølgende spørgsmål. a) Bestem systemets ligevægtspunkter =stationære tilstande). b) Skitser på en tegning kurven, hvor f =, og kurven, hvor g =. Angiv med pilesymboler,, osv.) fortegnene for ẋ og ẏ i de områder, som planen deles i af de to kurver. c) Skitser banen for en kurve, der begynder i 4, 2) og hvis forløb er i overensstemmelse med fortegnsbestemmelserne i b). d) Bestem Jacobi-matricen, J = f f og undersøg stabilitetsforholdene i ligevægtspunkterne. ),
19 EO 19 Opgave 71. juli-august 22, opgave 3) Betragt følgende inhomogene differensligning: *) x t+2 x t+1 + x t = 1, t =, 1, 2,.... a) Bestem den generelle løsning til den homogene differensligning, der svarer til *). b) Betragt den løsning x t til den inhomogene ligning *), som opfylder x = 1, x 1 = 1. Angiv elementet x 1 i følgen. c) Afgør, om differensligningen *) er stabil. d) Vis, at enhver løsning x t til *) er en begrænset følge. Opgave 72. juli-august 22, opgave 4) Betragt følgende variationsproblem: min) 1 tx tẋ + ẋ 2 ) dt, for x) = og x1) 2. a) Opstil Eulerligningen og transversalitetsbetingelsen svarende til problemet. b) Angiv den fuldstændige løsning til Eulerligningen. c) Bestem den funktion x = xt), som løser Eulerligningen, randbetingelserne og transversalitetsbetingelsen. d) Gør rede for, at funktionen fra c) løser variationsproblemet. Opgave 73. juli-august 22, opgave 5) Betragt følgende problem om optimal kontrol, med skrotværdifunktion: x2) 2 max) 4 eller, udførligt: + 2 x + u) dt for u 1, ẋ = u + 2t, x) = 1, maksimer x2) xt)+ut) ) dt for ut) 1, ẋt) = ut)+2t, x) = 1. a) Antag, at x, u) er et tilladt par, som løser problemet. Opstil de betingelser, som ifølge maksimumprincippet gælder for funktionerne x = xt), u = ut) og p = pt) p er den adjungerede funktion). b) Bestem de funktioner x, u og p, som opfylder betingelserne i a) og bibetingelserne. c) Begrund, at funktionen u = ut) bestemt i b) er den optimale kontrol. Opgave 74. maj-juni 23, opgave 1) Betragt følgende differentialligning: ẍ + x = 2 cost + cos2t). a) Bestem den generelle løsning til ligningen. b) Bestem den løsning xt) til ligningen, som opfylder x) =, ẋ) =.
20 EO 2 Opgave 75. maj-juni 23, opgave 2) Betragt følgende differentialligningssystem: ẋ = f, ẏ = g, hvor f = x y 1, g = x 2 2y 5. Der ønskes en faseplansanalyse i form af svar på de efterfølgende spørgsmål. a) Bestem systemets ligevægtspunkter =stationære tilstande). b) Skitser på en tegning kurven, hvor f =, og kurven, hvor g =. Angiv med pilesymboler,, osv.) fortegnene for ẋ og ẏ i de områder, som planen deles i af de to kurver. c) Skitser banen for en kurve, der begynder i 3, ) og hvis forløb er i overensstemmelse med fortegnsbestemmelserne i b). d) Bestem Jacobi-matricen, J = f f og undersøg stabilitetsforholdene i ligevægtspunkterne. Opgave 76. maj-juni 23, opgave 3) Betragt følgende differensligningssystem: ), *) x t+1 = x t 5 3 y t + 2, y t+1 = 4 3 x t + 2y t 4 3, for t =, 1, 2,.... a) Bestem de konstante løsninger til systemet. b) Afgør om systemet er stabilt. c) Antag, at følgerne x t og y t løser systemet *). Begrund, at følgerne er konvergente, og bestem deres grænseværdier. d) Bestem den fuldstændige løsning til systemet *). Opgave 77. maj-juni 23, opgave 4) Betragt følgende variationsproblem: min) 2 2txẋ + x 2 + 4ẋ 2 ) dt, for x) = 1, og x2) fri. a) Opstil Eulerligningen og transversalitetsbetingelsen svarende til problemet. b) Angiv den fuldstændige løsning til Eulerligningen. c) Bestem den funktion x = xt), som løser Eulerligningen, begyndelsesbetingelsen og transversalitetsbetingelsen. d) Gør rede for, at funktionen fra c) løser variationsproblemet.
21 EO 21 Opgave 78. maj-juni 23, opgave 5) Betragt følgende problem om optimal kontrol, med skrotværdifunktion: max) 2xln 3) + eller, udførligt: maksimer 2xln3)+ ln3 ln3 x e t u)dt for u 1, ẋ = x + u, x) =, xt) e t ut)) dt for ut) 1, ẋt) = xt)+ut), x) =. a) Antag, at x, u) er et tilladt par, som løser problemet. Opstil de ligninger, som ifølge maksimumprincippet gælder for funktionerne x = xt), u = ut) og p = pt) p er den adjungerede funktion). b) Bestem de funktioner x, p og u, som opfylder ligningerne i a) og bibetingelserne. c) Begrund, at funktionen u = ut) bestemt i b) er den optimale kontrol. Opgave 79. juli-august 23, opgave 1) Bestem den fuldstændige løsning til hver af følgende to differentialligninger: a) 2 + sint)ẋ = x 2 cos t. b) ẍ 6ẋ + 9x = 1. Opgave 8. juli-august 23, opgave 2) Betragt følgende differentialligningssystem: ẋ = f, ẏ = g, hvor f = x 2 + y 2 1, g = 2x + y 2 1. Der ønskes en faseplansanalyse i form af svar på de efterfølgende spørgsmål. a) Bestem systemets ligevægtspunkter =stationære tilstande). b) Skitser på en tegning kurven, hvor f =, og kurven, hvor g =. Angiv med pilesymboler,, osv.) fortegnene for ẋ og ẏ i de områder, som planen deles i af de to kurver. c) Skitser banen for en kurve, der begynder i, ) og hvis forløb er i overensstemmelse med fortegnsbestemmelserne i b). d) Bestem Jacobi-matricen, ) J = f f og undersøg stabilitetsforholdene i ligevægtspunkterne. Opgave 81. juli-august 23, opgave 3) Betragt følgende differensligning: *) x t+2 x t = t, for t =, 1, 2,.... a) Bestem den generelle løsning til differensligningen. b) Bestem den løsning x t, som opfylder, at x =, x 1 =.,
22 EO 22 Opgave 82. juli-august 23, opgave 4) Betragt følgende variationsproblem: 1 min) eẋ x dt, for x) = og x1) = 1. a) Opstil Eulerligningen svarende til problemet. b) Angiv den fuldstændige løsning til Eulerligningen. c) Bestem den funktion x = xt), som løser Eulerligningen og bibetingelserne. d) Gør rede for, at funktionen fra c) løser variationsproblemet. Opgave 83. juli-august 23, opgave 5) Betragt følgende problem om optimal kontrol: max) 2 2 t)e t u x ) dt for u 1, ẋ = u 2, x) =, og x2) fri, eller, udførligt: maksimer 2 2 t)e t ut) xt) ) dt for ut) 1, ẋt) = ut) 2, x) =, og x2) fri. a) Antag, at x, u) er et tilladt par, som løser problemet. Opstil de ligninger, som ifølge maksimumprincippet gælder for funktionerne x = xt), u = ut) og p = pt) p er den adjungerede funktion). b) Bestem dernæst de funktioner x, p og u, som opfylder ligningerne i a) og bibetingelserne. Vis specielt, at pt) for t 2. c) Begrund, at funktionen u = ut) bestemt i b) er den optimale kontrol.
DOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereDOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mere/local/notes/h2/dok/13/usindex.tex :28:16
INDEX Nedenstående er, på trods af overskriften, kun et udkast til et index. Det er helt uden garanti for at sidetallene er korrekte, og uden garanti for at alt relevant er medtaget. Så du kan kun delvis
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
EXPL 1 -Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante funktioner
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK-EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
DOK-EXPL 1 DOK-Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2005 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereOversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt for system Eulers metode for
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereDIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET
DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merePeter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 17. august Stamfunktionen til t 1 /2. Grænserne er indsat i stamfunktionen. a 2 +9.
Opgave 6 Arealet under grafen udregnes. b) Arealet er givet ved M = 4 0 2x x 2 + 9 dx Arealet udregnes ved at integrere funktionen. M = 25 9 t dt Der er foretaget substitution t = x 2 + 9. [ ] 25 M = Stamfunktionen
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDifferentialligninger af første orden
Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereDOK 2013 DOK EXPL 1. DOK-Eksempler
DOK EXPL 1 DOK-Eksempler Eksempel 1. ẋ = tx + 1 er en lineær differentialligning. Med a(t) = t er A(t) = t 2 /2 en stamfunktion. En partikulær løsning og den generelle løsning bestemmes ved e A(t) e A(t)
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereDelprøven uden hjælpemidler
Opgave 1 a) Ved aflæsning på graf fås følgende: Median: 800 kr. Andel dyrere end 1000 kr.: 45%. Opgave 2 Givet funktionen: f (x)= 3x 2 8x +5. a) F(x)= x 3 4x 2 +5x + k. Delprøven uden hjælpemidler Vi finder
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mere