DOK-facitliste DOK. DOK-facitliste 1
|
|
- Karl Kristoffersen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 -facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret 9/6-03, men der kan stadig være fejl specielt i opgaverne fra i år!] 7(i ae t cos t + be t sin t, a, b R, t R.? 7(ii ae t cos t + be t sin t t2 + 3t + 5 2, a, b R, t R.? 7(iii 5 2 et cos t 1 2 et sin t t2 + 3t a, b R, t R.? 10 x 1 (t = ae t + be 5t, x 2 (t = ce 2t, x 3 (t = ae t + 3be 5t, a, b, c R, t R.? 11(1 Basis for de homogene: e 5t og e 2t, idet 10 i ligningen rettes til 10x. 11(2 C 1 e 5t + C 2 e 2t e 3t + t t (3 Da de to rødder 5 og 2 er negative [S, Sætning 5.6]. 13(2 x(t = e t 1 2 t2 + 5 e2 2 t 1? 14 x t = a3 t + bt3 t + t 2 + 2t a, b R, t N.? 15(1 x 1 (t = be 2t ae t 1 2 t + 1 4, x 2(t = ae t t 1, a, b R, t R.? 15(2 x 1 (t = 7 4 e2t e t 1 2 t + 1 4, x 2(t = e t t 1, t R.? 16 x(t = (ln(e + t ? 17 a (x 1 (t, x 2 (t = (t 2 + e 2t cos(3t, t 2 + e 2t cos(3t 3e 2t sin(3t.? 17 b Banen har linien x 1 = x 2 som assymptote.? 18 a (2, 2 et lokalt ass.stab.ligev. pkt.? 18 b I (1, 1 er hastighedsvektoren (3, 3. I (3, 1 er hastighedsvektoren ( 3, 1. I (3, 3 er hastighedsvektoren ( 9, 9. I (1, 3 er hastighedsvektoren (1, 3.? 18 c X-aksen er sammensat af baner y(t = 0 og x(t en løsning til x = 6x 2x 2. Y -aksen er sammensat af baner x(t = 0, y(t en løsning til y = 6y 2y 2. Da baner aldrig krydser hinanden, kan en bane ikke slippe ud af 1. kvadrant, hvis den starter der.? 19 a x t = 4( 1 2 t 4( 1 2 t + t b stabil. 20 a F/ x = 12t, F/ u = 2u 2. Eulerligning: 12t = d dt ( 2ẋ 2 = 2ẍ med løsning x = t 3 + Ct + D; randbetingelse x(0 = 0 og 2ẋ(1 2 = 0 giver D = 0 og C = b F er konkav i (x, u, jfr.... Derfor!, jfr a H = x u 2 + 2pu. (I ṗ = 1. (II u = p hvis 1 < p < 1, u = 1 hvis p > 1, u = 1 hvis p < 1. (III p(4 = b p = t + 4. For 0 t 3 er p 1, u = 1, og ẋ = 2, x(0 = 0 giver x = 2t. For 3 t 4 er p 1, u = 4 t, og ẋ = 8 2t, x(3 = 6 giver x = t 2 + 8t 9. Optimal, fordi H er konkav i (x, u, [S, Sætning 9.1, s. 355]. H er konkav, fordi.... c:\notes\h2\dok\answ.tex
2 -facitliste 2 22 (x dx = dt; 1 4 ln( x 2 / x + 2 = t + K; (1 4/(x + 2 = Ce4t. Med x(0 = 0 fås 1 4/2 = C, altså C = 1 og x = 4/(1 + e 4t 2 = 2(1 e 4t /(1 + e 4t. 24(a ÿ = ẋ + 4e t = ( 2x + y 2t 1 + 4e t = 2( ẏ + 4e t y + 2t e t, dvs ÿ + 2ẏ + y = 2t e t. Karakteristisk (dobbeltrod: λ = 1, så y = e t og y = te t er basis for løsningerne til den homogene ligning. Partikulær løsning: y = 2t 3 + 3e t. Altså x = 2 + e t + (C De t + Dte t, y = 2t 3 + 3e t + Ce t + Dte t. 24(b C = 0, D = x t = t ( 1 2 t cos(tπ/2 + 2( 1 2 t sin(tπ/2. 27(a H = ex u 2 + p(2u x. (I ṗ = p e. (II u = 1 hvis p > 1, u = p hvis 0 < p < 1, u = 0 hvis p < 0. (III p(1 = 0. 27(b p = Ce t + e og p(1 = 0 giver p = e e t (specielt p 0 for 0 t 1. Bestem t ved p( t = 1, altså e t = e 1 (og t = ln(e 1 og 0 < t < 1. For 0 t t er p 1, u = 1, og ẋ = 2 x, x(0 = 0 giver x = 2 2e t. For t t 1 er u = e e t, og ẋ = 2(e e t x, x( t = 2 2e t giver x = De t +2e e t med 2 2e t = De t +2e e t, hvoraf D = 2 2(e 1e t + (e t 2 = 2 (e 1 2 = e 2 + 2e /t 3 dt = 1/t 2, så x = e 1/t2 t 1 e 1/t2 4/t 3 dt = 2e 1/t2 [e 1/t2 ] t 1 = 2 2e 1+1/t2. 29 i ẍ 2 = 2ẋ 1 3 cos t = 2(5x 1 3x 2 5 sin t + 4 cos t 3 cos t = 5(ẋ sin t 6x 2 10 sin t + 5 cos t, så ẍ 2 5ẋ 2 + 6x 2 = 5 sin t + 5 cos t. Basis for de homogene løsninger er x 2 = e 2t og x 2 = e 3t og partikulær løsning er x 2 = cos t. Altså x 1 = sin t + Ce 2t + 3De 3t, x 2 = cos t + Ce 2t + 2De 3t. 29 ii Partikulær løsning: C = 1, D = i x t = C( 1 t + D5 t + t( 1 t + t ii C = 1, D = F/ x = 8x, F/ u = 2u. Euler: 8x = d/dt ( 2ẋ = 2ẍ. Løsning: x = Ce 2t + De 2t. Randbetingelser x(0 = 0 og x(1 = 1 giver C = 1/(e 2 e 2 og D = C. 33 i H = 2x 2 u + pu. (I ṗ = 4x. (II u = 1 hvis p > 1, u = 0 hvis p < 1. (III p(1 = ii x(t 1 fordi x(0 = 1 og ẋ = u iii Da ṗ = 4x 4, er p strengt voksende, og p vokser hurtigere end 4t. Af p(1 = 2 følger så, at p( iv Lad t, med 0 < t < 1, være tallet, hvor p( t = 1. For t < t, er p < 1, u = 0, og ẋ = 0, x(0 = 1 giver x = 1. For t > t, er p > 1, u = 1, og ẋ = 1, x( t = 1 giver x = t t + 1; videre: ṗ = 4x = 4t 4 t + 4, p( t = 1 giver p = 2t 2 + ( 4 t + 4t + 2 t 2 4 t + 1. Endelig: af p(1 = 2 fås 2 = 2 4 t t 2 4 t + 1, eller 2 t 2 8 t + 5 = 0 med rødderne (8 ± 24/4; det giver t = (4 6/2 = 2 3/2.
3 -facitliste 3 36(a z 2 az (a 1 = 0. 36(b Når a < (a 1 < 2, dvs når 3 5 < a < 1. 36(c x t = C( 2 1 t + D( 2 1 t t. Nærmer sig t for t idet x t t 0. 40(a (±2, 0 og (1, ± 3. Jacobi: J =. det J = 2x(x 1 2y 2 er negativ i ( 2x 2y y x 1 (1, ± 3, så disse to punkter er saddelpunkter. I (±2, 0 er det J > 0, men Tr J = 3x 1 er kun negativ i ( 2, 0. Altså er ( 2, 0 lokalt asymptotisk stabil, de tre andre ustabile. 40(c Fordi: x-aksen med x > 2 er selv en bane, og ligevægtspunkterne (2, 0 og (1, 3 er hver én bane. På resten af randen af M peger hastighedsvektoren ind i M. En løsning kan derfor ikke fra det indre af M krydse randen af M. 50(a Ligevægtspunkter: ( 3, ±4. 50(b ( 3, 4: ustabil; ( 3, 4: ingen konklusion. ( 50(d Jacobi: J = 2x 2y. det J = 6x 2 y. Negativ, når y > 0 og x 0, så ( 3, 4 er et 3x 2 0 saddelpunkt (ustabilt. I ( 3, 4 er det J > 0 og Tr J = 2( 3 < 0, så ( 3, 4 er lokalt asymptotisk stabil. [Faktisk er egenværdierne ikke-reelle, så ( 3, 4 er et spiralpunkt (ikke pensum!] 62 F = x 2 + 2t 2 x + ẋ 2 er konveks, fordi... 62(a 2x + 2t 2 = (d/dt(2ẋ = 2ẍ, så (EL er ẍ x = t 2. Den generelle løsning er x = t Ce t + De t og x(0 = 2 giver C + D = 0, dvs x = t C(e t e t. 62(b x(t = T 2 giver C(e T e T = 2 og T = ln 2, dvs C = 4/3. 62(c x(t fri giver ẋ(t = 0, altså 2T + C(e T + e T = 0, dvs C = (4/5 ln 2. 62(d C 4/3 og C (4/5 ln 2 og = et af stederne giver C = 4/3. 64(a x = 1 og x = 1 ± t/ 1 + Kt 2 64(b x = 1 t/ 1 + 3t 2 65(a (0, 2 og (1, 1. 65(d (0, 2 assymptotisk stabilt, (1, 1 saddelpunkt (ustabilt. 66(a C + D( 1 2 t. 66(b 1 4t( 1 2 t. 66(c Ikke stabil, da λ = 1 ikke opfylder, at λ < 1. 66(d Da C + D( 1 2 t 4t( 1 2 t C for t. 67(a 2x/t = d/dt(2tẋ = 2tẍ + 2ẋ, dvs ẍ + (1/tẋ (1/t 2 x = 0. Og (2tẋ(2 = 0, dvs ẋ(2 = 0. 67(b Ct + Dt 1. 67(c C + D = 1, C D/4 = 0; altså x = 1 5 t t 1. 68(a H = xu x 2 u 2 px. (I ṗ = H/ x = u + 2x + p; (II 0 = H/ u = x 2u + p; (III p(ln 2 = 0.
4 -facitliste 4 68(b u = (x + p/2, så ẋ = x + u = 1 2 x p, og ṗ = 3 2 x + 1 2p. Systemet løses: ẍ = 1 2ẋ + 2ṗ 1 = 2ẋ ( 3 2 x p = 2ẋ x + 2ẋ x = x, altså ẍ = x. Altså x = Ce t + De t, p = 2ẋ + x = 3Ce t De t, u = 2Ce t. C + D = 1, 6C D/2 = 0, hvoraf C = 1/13, D = 12/13. ( 1 1/2 68(c Hamiltonfunktionen er konkav, fx fordi er negativ definit, se bl.a. [S, s.172]. 1/2 1 69(a x = 0, x = 1, og x = ( C(1 + 1/t 1 1 for C 0. 69(b C = 2, dvs x = t/(t (d J = ( 2x 32y 2x 2y, det J = 68xy, Tr J = 2(x y. I (4, ±1 er Tr J > 0 (og det J 0, så ustabilt; i ( 4, 1 er det J > 0 og Tr J < 0, så stabilt; i ( 4, 1 er det J < 0, så ustabilt. 71(a Karakteristisk polynomium z 2 z + 1 med rødder ζ, ζ, hvor ζ = 1 2 ± 3 2 i. Rødderne har ρ = 1 og θ = ±2π/6 = ± π 3. Den generelle løsning: C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t (eller D 1 ζ t + D 2 ζ t. 71(b (* bestemmer: x 2 = 1 + x 1 x 0 = 1, x 3 = 1 + ( 1 ( 1 = 1, x 4 = ( 1 = 3; da 6θ = ±2π, er x t+6 = x t, så x 1000 = x 4 = 3. Alternativ: Løsning til (*: x t = 1 + C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t med 1 = x 0 = 1 + C 1, dvs C 1 = 0, og 1 = x 1 = 1 + C 2 sin π 3, dvs C 2 = 2/( 3/2 = 2 2 3, altså x t = sin( π 3 t = 1000 = fås x 1000 = x 4 = sin(4π/3 = = 3. 71(c Ikke stabil. 71(d x t = 1 + C 1 cos( π 3 t + C 2 sin( π 3 t 1 + C 1 + C 2 er begrænset. t. For 72(a t = d dt ( t + 2ẋ = 1 + 2ẍ, dvs ẍ = 1 2 t + 1 2, og ( t + 2ẋ t=1 0, dvs ẋ(1 1 2, med = hvis x(1 > 2. 72(b x = 1 12 t t2 + Ct + D. 72(c x(0 = 0 giver D = 0. Videre: 2 x(1 = C, dvs C 5 3, og 1 2 ẋ(1 = C, dvs C 1 4, og mindst ét =. Det giver C = (d F er konveks i (x, ẋ. 73(a (I ṗ = H/ x = 1. (II u maksimerer v (1 pv + x + 2t, dvs u = 1 hvis p < 1 og u = 0 hvis p > 1. (III p(2 = S/ x(2 = 1 2 x(2. 73(b (I giver p(t = t + t + 1 med passende t. (II giver u = 1 hvis t > t og u = 0 hvis t < t. Antag først, at t 0. For 0 < t < 1 er t > t, altså u = 1, og x = t 2 t + 1. Så er p(2 = t 1 og x(2 = 3, og (III giver t 1 = 1 2 3, dvs t = 1 2 : betingelserne er opfyldt, med u = 1, x = t 2 t + 1, og p = t Antag dernæst, at 0 < t < 1. For 0 < t < t er u = 0, og x = t 2 + 1; specielt x( t = t Videre: For t < t < 1 er u = 1, og x = t 2 t + t + 1. Så er x(2 = 3 + t, og (III giver t 1 = 1 2 (3 + t, dvs t = 1 3, og det er i modstrid med antagelsen. Tilsvarende giver antagelsen t 1 en modstrid.
5 -facitliste 5 73(c Fordi S(x = 1 4 x2 er konkav og Ĥ (t, x, p = x p( 1 + 2t er (lineær i x og dermed konkav i x. 74(a x = t sin t 1 3 cos 2t + C cos t + D sin t, 74(b x = t sin t 1 3 cos 2t cos t. 75(a (1, 2 og ( 3, 2. 75(d J = ( 1 1 2x 2 76(a x t = 1, y t = 0. 76(b Stabilt. 76(c lim x t = 1, lim y t = 0.. (1, 2: stabilt (spiralpunkt; ( 3, 2: ustabilt. 76(d x t = 1 + C( 1 3 t + D( 2 3 t, y t = 4 5 C( 1 3 t D( 2 3 t. 77(a 2tẋ + 2x = dt d (2tx + 8ẋ = 2tẋ + 2x + 8ẍ, altså ẍ = 0. Transversalitet: x(0 = 1 og (2tx + 8ẋ t=2 = 0, dvs x(2 + 2ẋ(2 = 0. 77(b x = Ct + D. 77(c x(0 = 1 giver D = 1, og x(2 + 2ẋ(2 = 0 giver så 2C C = 0, altså C = (d F (t, x, u = 2txu+x 2 +4u 2 er konveks i (x, u, da Hesse-matricen er positiv semidefinit: 2 > 0 og determinanten 16 4t 2 er 0, da t [0,2]. ( 2 2t 2t 8 78(a H = x e t u+p( x +u = (p e t u+x px. (I ṗ = H/ x, dvs ṗ = 1+p. (II u = 1 hvis p > e t, u = 0 hvis p < e t. (III p(ln 3 = 2. 78(b (I,(III giver p = 1 + Ce t og 1 + C 3 = 2, altså p = et. Punktet t, der skiller i (II, opfylder p(t = e t, altså et = e t, hvoraf 2 3 et = 1, dvs t = ln( 3 2. Altså u = 1 for t < t og u = 0, hvis t > t. For t t er u = 1 og altså ẋ = x + 1 og x(0 = 0, hvoraf x = 1 e t. Så er x(t = 1 e t = = 1 3. For t t er u = 0 og altså ẋ = x, hvoraf x = x(t e (t t = e t = 1 2 e t. 78(c H som funktion af (x, u, og skrotfunktionen S(x = 2x som funktion af x, er lineære, og derfor konkave. 79(a x = 0 og x = (C + ln(2 + sin t 1. 79(b x = Ce 3t + Dte 3t (a (0, ±1. 80(d J = ( 2x 2y 2 2y 81(a x t = C + D( 1 t + t t. 81(b C = 3/4, D = 5/8.. (0, 1: ustabilt (saddelpunkt; (0, 1: stabilt (spiralpunkt. 82(a eẋ x = d dt eẋ x = eẋ x (ẍ ẋ, altså ẍ ẋ = 1. 82(b ẋ = Ce t + 1, altså x = Ce t + t + D.
6 -facitliste 6 82(c C = D = 0, dvs x = t. er positiv semi- 82(d F (t, x, u = e u x er konveks i (x, u, da Hesse-matricen definit: F > 0 og determinanten er = 0. ( F F F F 83(a H = (2 te t u x + pu 2. (I ṗ = H/ x, dvs ṗ = 1. (II u = 1, hvis p (2 te t /2, og u = (2 te t /(2p ellers. (III p(2 = 0. 83(b (I,(III giver p = t 2. Specielt er p < 0 for 0 t < 2. Uligheden i (II, p (2 te t /2, giver t 2 (t 2e t /2, altså 1 e t /2, dvs t ln 2. For 0 t ln 2: u = e t /2, og ẋ = u 2 = e 2t /4 med x(0 = 1, dvs x = e 2t /8 (og specielt x(ln 2 = 1 2. Og for ln 2 t 2: u = 1, og ẋ = u 2 = 1 med x(ln 2 = 1/2 giver x = t ln (c H som funktion af (x, u, er sum af tre led: (2 te t u og x er lineære og pu 2 er konkav, da p 0. Derfor....
DOK DOK-facitliste 1. DOK-facitliste
-facitliste 1 -facitliste Listens numre refererer til samlingen af supplerede -opgaver (de gamle eksamensopgaver. På listen står næsten kun facitter, og ikke tilstrækkelige svar på opgaverne. [Korrigeret
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereMat H 2 Øvelsesopgaver
Mat H 2 Øvelsesopgaver 18. marts 1998 1) dx dt + 2t 1+t x = 1 2 1+t, fuldstændig løsning. 2 2) ẋ + t 2 x = t 2, fuldstændig løsning. 3) ẋ 2tx = t, x() = 1. 4) ẋ + 1 t x = 1 t 2, t >, undersøg løsningen
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
EXPL 1 -Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante funktioner
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereDOK-Eksempler DOK DOK-EXPL 1. Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på
DOK-EXPL 1 DOK-Eksempler Eksempel 1. Differentialligningen x 2 + ẋ 2 = 1 er ikke på normalform. Den splitter i to: ẋ = 1 x 2 og ẋ = 1 x 2. Vi løser den første: Ligningen er separabel. Klart, at de konstante
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereUGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f
UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereDOK 2013 DOK EXPL 1. DOK-Eksempler
DOK EXPL 1 DOK-Eksempler Eksempel 1. ẋ = tx + 1 er en lineær differentialligning. Med a(t) = t er A(t) = t 2 /2 en stamfunktion. En partikulær løsning og den generelle løsning bestemmes ved e A(t) e A(t)
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMatematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses
Matematik F Et bud på hvordan eksamenssæt løses Jeppe Trøst Nielsen 11. april 21 Denne samling af ligninger og løsninger er udarbejdet efter det princip, at eksamenssættene ikke ændrer sig specielt meget
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereNøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mere/local/notes/h2/dok/13/usindex.tex :28:16
INDEX Nedenstående er, på trods af overskriften, kun et udkast til et index. Det er helt uden garanti for at sidetallene er korrekte, og uden garanti for at alt relevant er medtaget. Så du kan kun delvis
Læs mere