Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Transkript

1 Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen for a:... 3 Bevis for formlen for b... 4 Eksempel 4:... 5 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 5 Eksempel 5:... 5 Logaritmisk skala... 6 Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsstem:... 6 Logaritmeformler... 6 Fordoblings- og halveringskonstant... 7 DIVERSE FORMLER FOR VÆKST... 8 Lineær vækst... 8 Eksponentiel vækst... 8 Potens-vækst... 8 Definition: En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f() = b a eller = b a, idet a og b er positive tal. Eksempel : Indiens befolkning var i 900 ca. 38 millioner, og er siden vokset med ca. % om året.. Vi siger, at befolkningstallet hvert år fremskrives med %. Den årlige fremskrivningsfaktor er,0 Efter år er befolkningstallet: 38 mio,0 = 40,8 mio Efter år er befolkningstallet: 38 mio,0 = 43,6 mio Efter 3 år er befolkningstallet: 38 mio,0 3 = 46,4 mio Efter 4 år er befolkningstallet: 38 mio,0 4 = 49,4 mio Efter år er befolkningstallet: 38 mio,0 Befolkningstallet kan beskrives med funktionen f() = 38,0 Hvor er antal år efter 900 PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side / 8

2 Vi læger mærke til, at befolkningstallet i Indien vokser eksponentielt (næsten). Vi siger, at befolkningstallet kan beskrives med den eksponentielle model: f() = 38,0. Dette minder meget om kapitalfremskrivning, hvor formlen er: K = K 0 (+r) n Læg mærke til, at n er et helt tal. I regneforskriften for Indiens befolkning behøver ikke at være et helt tal. Begndelsesværdien b b i regneforskriften kaldes begndelsesværdien, fordi f(0) = b a 0 = b = b Fremskrivningsfaktoren a a i regneforskriften kaldes fremskrivningsfaktoren svarende til en tilvækst i på. Ofte siges blot fremskrivningsfaktoren. Hvis a er mellem 0 og, er f aftagende. I den eksponentielle model for Indiens befolkning er a =,0. Hver gang, der går ét år, fremskrives Indiens befolkning med %. Man beregner en fremskrivning på % ved at gange med,0, nemlig den årlige fremskrivningsfaktor. Den -årige fremskrivningsfaktor er,0,0 =,0. Den 7-årige fremskrivningsfaktor for Indiens befolkning er,0 7 Eksempel : 50g radioaktivt stof, der henfalder med 5% om dagen kan beskrives med en eksponentiel funktion. Der er en daglig tilvækst på -5% uanset hvilken dag, der betragtes. Det er en eksponentielt aftagende funktion og regneforskriften er. = 50 0,95, hvor er antal dage siden begndelsen, da der var 50g. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side / 8

3 Formlerne for a og b Hvis man kender funktionsværdier, kan man beregne a ved formlen: a = Herefter kan b findes ved hjælp af formlen: b = a - eller b = / a Eksempel 3: - 7 0,9 a 7 ( ) 0,9 = 9 0,9 = 0,8766 = 0,877 b = 0,8766 -(-) = 0,8766 -(-) = 0,8766 = 8,459 = 8,45 Regneforskriften bliver således: = 8,45 0,877 Bevis for formlen for a: a = Vi er i den situation, at vi kender funktionsværdier og, svarende til -værdierne og. Det stiller vi op i et sildeben: Ud fra regneforskriften fås: = b a og = b a PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 3 / 8

4 Den nederste af de ligninger divideres med b a = i nævneren til højre erstattes med b a, der har samme værdi = b a b a Brøken til højre forkortes med b = a a Ved hjælp af potensregler for division fås: = a - Vi tager nu en passende rod på begge sider. Tallet - bestemmer hvilken rod vi tager, og vi får: = a hvilket skulle bevises. Bevis for formlen for b b = a - eller b = / a Vi bemærker, division med a er det samme som multiplikation med a - De formler er således faktisk ens og blot skrevet på lidt forskellig måde. Ud fra regneforskriften fås: = b a / a = b hvilket skulle bevises. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 4 / 8

5 Eksempel 4: Vi betragter funktionsværdier og, svarende til -værdierne og a = = 3, 5 =,5 (/3) =,447 =,45 b = 4 /,447 5 =,0350 =,035 og regneforskriften bliver f() =,035,45 Herefter kan vi f beregne f(0) =,035,45 0 Tegning af graf for en eksponentiel funktion Hvis man vil tegne en eksponentiel funktion kan man med fordel bentte et såkaldt enkeltlogaritmisk koordinatsstem. Hertil benttes enten enkeltlogaritmisk papir eller regneark. Hvis støttepunkterne flugter en linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem, kan man konkludere, der med god tilnærmelse er tale om en eksponentiel funktion. Enkelt-logaritmisk koordinatsstem vil blive forklaret lidt senere. Eksempel 5: Ilt-trkket falder, når man kommer op i bjergene. Her ses nogle måleresultater. Højde Ilt-trk Disse måleresultater er indtegnet nedenfor i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem Det ses, støttepunkterne i dette enkeltlogaritmiske koordinat-sstem flugter en linje, og vi siger, at ilt-trkket som funktion af højden kan beskrives ved en eksponentiel model PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 5 / 8

6 Logaritmisk skala I et enkeltlogaritmisk koordinatsstem er tallene på -aksen placeret således, at grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linje. Hvordan det kan være, skal vi se om lidt. Den tal-skala, der er på -aksen, kaldes en logaritmisk skala og - aksen er helt sædvanlig. En logaritmisk skala kan defineres på den måde, at den adskiller sig fra en almindelig tal-skala ved, at hvert tal på skalaen erstattes med 0. Bemærk 0 ) = 0 er erstattet af, som er lig er erstattet af 0 3, som er lig 000 og 000) = 3. Således bliver 000 placeret i afstanden 000) fra. Generelt placeres ethvert positivt tal i afstanden ) fra. Den tal-skala mest til venstre er en sædvanlig tal-skala. Den midterste tal-skala er den tilsvarende logaritmiske-skala. Den 3. tal-skala er magen til den midterste, altså også logaritmisk. Tallene er blot skrevet på en anden måde. Forklaring på at grafen er lineær i et enkelt logaritmisk koordinatsstem: Vi skal kende følgende logaritmeformler: Logaritmeformler Formel a b) = + b) a ) = Eksempel 5 3) = Log 5 + 3) 5 3 ) = 3 5) Der gælder: = b a og Log = Log ( b a ) = Log b + Log ( a ) = Log b + Log a Altså: Log = Log b + Log a Hvilket vil sige, at Log er en lineær funktion af. Hvis grafpunkterne (, ) derfor afsættes i afstanden Log fra, bliver grafen en ret linje, og det er netop, hvad vi gør, når vi bruger enkeltlogaritmisk koordinatsstem Derfor gælder, at alle eksponentielle funktioner har en lineær graf i et enkelt logaritmisk koordinatsstem. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 6 / 8

7 Der gælder endvidere, at ingen andre funktioner har en lineær graf i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem. Det vil vi dog ikkebevise. Man kan således ved at tegne en funktion i et enkeltlogaritmisk koordinatsstem afgøre, om funktionen er eksponentiel. Fordoblings- og halveringskonstant Ved eksponentielt voksende funktioner tales også om en fordoblingskonstant (fordoblingstid) T. Det er den forøgelse i, der giver anledning til en fordobling. Tilsvarende tales om en halveringskonstant (halveringstid) T ½ ved eksponentielt aftagende funktioner. Fordoblings og halveringskonstanterne kan ofte aflæses direkte af grafen ved at finde den -tilvækst, der giver anledning til en fordobling/halvering. Der gælder følgende formler: ) T = og T ½ = 0,5) I ovenstående eksempel 3 findes T ½ således: T ½ = Log (0,5) / 0,8766 ) = 5,60 = 5,6 Bevis for den første formel forløber således. Lad betegne fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion Der må gælde: b = ba = a Log = Log a Log = Log a ) = Altså fordoblingskonstanten er: ) Formlen for halveringskonstanten bevises på tilsvarende måde. PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 7 / 8

8 DIVERSE FORMLER FOR VÆKST Lineær vækst Eksponentiel vækst Potens-vækst Regneforskrift a b ba a b a b a ( ( ) ) ( ) a ( ) )) ( ) a ( ) ( )) Log ) Fordoblings- T konstant 0,5) Halverings- T konstant ½ Hvis fremskrives med p% = r, så er fremskrivningsfaktoren for : (+r) og fremskrivningsfaktoren for : (+r) a Procentvis ændring af bliver: ( (+r) a ) 00% Anbefalet koordinatsstem Sædvanligt Enkelt logaritmisk Dobbelt logaritmisk PeterSoerensen.dk: Matematik C interaktivt for hf Eksponentiel vækst side 8 / 8