Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
|
|
- Susanne Holst
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter ar en ældning...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3 Differentiation ved jælp af CAS-værktøj...4 RegneRobot...4 TI-interactive (Et ældre IT-produkt fra Texas)...4 TI-89 og Voyage (Et ældre åndoldt produkt fra Texas)...4 Tangent...4 Ligningen for tangenten...4 Beregning af differentialkvotienter...5 Tretrinsreglen...5 Eksempel 1 f(x) ax +b...5 Eksempel f(x) x²...5 Plus-reglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x)...6 Minus-reglen ( f(x)-g(x) ) f (x) - g (x)...6 Ledvis differentiation...6 Differentiation af udtryk...6 Formlen (x n )' n x n-1, n...6 Maksimum og minimum...7 Monotoni...7 Lokalt maksimum...8 Lokal minimum...8 Monotoni-interval for en funktion...8 Voksende...8 Aftagende...8 At redegøre for monotoniforold...8 Fortegnsvariation...9 Optimering...9 PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 1 / 1
2 Betydningen af ordet differentialkvotient Her ser vi grafen for en funktion f, vor grafen ar en ældning overalt.. Vi er interesseret i grafens ældning i punktet (x o, y o ) og betragter et punkt (x, y) tæt på ( x o, y o ). Linjestykket fra punktet ( x o, y o ) til ( x, y ) er næsten sammenfaldende med grafen. Sekant Et linjestykke, der forbinder punkter på en graf kaldes en sekant. Jo tættere x er på x, jo bedre vil sekanten flugte grafen, Sekanten ar ældningen: a (Se lektion 11 i Grønt æfte) Lidt løst sagt defineres f (x ) eller grafens ældning i x således: Hvis nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, så er f (x ) lig denne værdi. Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod x o og betegnes f (x o ). Hvad det elt eksakt vil sige at ikke uddybe er. nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, vil vi Det skrives således: går mod f (x o ) når x går mod x o. Det kan også skrives sålees: f (x o ) når x x o. eller således: Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse. Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers ældninger. Generelt kan man tale om, at et udtryk, vor dets værdi afænger af en variabel, kan ave en grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal. f (x o ) kaldes også differentialkvotienten af f i x o eller blot differentialkvotienten i x o. Ordet differentialkvotient ar noget at gøre med, at er en kvotient af differenser. Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke. kaldes ofte differens-kvotienten. I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, vis differenserne var ekstremt små, og derved opstod navnet differential-kvotient. Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) f(x ) og x eller for (x x ) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side / 1
3 Med disse forkortelser kan vi skrive: f er differentiabel i x o vis eller f er differentiabel i x o vis f x f ar en grænseværdi for x ar en grænseværdi for x o Differentiable funktioner Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel, og den funktion, der til vert x o knytter f (x o ) betegnes f. f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x. Ikke alle grafpunkter ar en ældning Til øjre ses to grafer, der ikke overalt ar en ældning. Den blå graf er ingen ældning i punkterne (3, ) og (7,.) Den røde graf ar ingen ældning i Grafpunktet (,4). De to tilsvarende funktioner er ikke differentiable i ele deres definitionsmængder. Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften for den afledede funktion f. Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne. Regneregler: ( k )' Eksempel: f(x)7 Grafen er vandret og f '(x) ( k x )' k Eksempel: f(x)3x Grafen ar overalt ældningen 3 og f '(x)3 (x n ) n x n-1, n Eksempler: (x 3 ) 3 x x og (x ) x -1 x (k f(x))' k (f(x))' k f (x) Eksempel: (x 3 ) 3 x 6x (k x n ) k n x n-1, n 1 Eksempel: (x 3 ) 3 x 6x (f(x)+g(x)) f (x) + g (x). Eksempel: (x³ + x²)' 3x + x Plusreglen (f(x)-g(x)) f (x) - g (x). Eksempel: (x³ - x²)' 3x - x Minusreglen Når man anvender de sidste regler kaldes det ledvis differentiation. Når der i et udtryk er eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation. Der er flere regler i formelsamlingen. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 3 / 1
4 Differentiation ved jælp af CAS-værktøj RegneRobot Her differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot TI-interactive (Et ældre IT-produkt fra Texas) Her klikkes i d/dx og d(, vorefter man skriver: 3x^,x) og taster Enter. Se eventuelt link: TI-Interactive og det sidste af videoen cas TI-89 og Voyage (Et ældre åndoldt produkt fra Texas) Her kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) 3x², ved at taste F3 og vælge d( Derefter skrives 3x^,x), så der kommer til at stå: d(3x^,x) (x til sidst betyder, at den uafængige variable er x). F6 Enter Enter F3 1 3 x ^, x ) Enter Tangent En linje, der går gennem et grafpunkt og ar samme ældning som grafen i punktet, kaldes tangent til grafen. Ligningen for tangenten gennem grafpunkt (x o, y o ) er: (y y o ) f (x o ) (x x o ) Hvis x x o, kan ligningen også skrives: Til øjre er tegnet funktionen f(x) -x² + 8x 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at ældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: f (x) -4x + 8 f (3) Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3, 5) Tangentens ligning bliver: (y 5) 4(x 3) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 4 / 1
5 Beregning af differentialkvotienter Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den såkaldte tretrinsregel. Tretrinsreglen 1. Opskriv eller Husk x (x-x o ) og x x +. Omskriv f. Måske kan der forkortes med x eller 3. Bestem grænseværdien. Eksempel 1 f(x) ax +b f x y y (ax b) (ax b) a Da a gælder også a for x x o Altså: f (x o ) a. Da det gælder for etvert x o kan vi skrive f (x) a eller (ax+b) a Eksempel f(x) x² Vi bemærker at x x o +, og vi får: f x y y - x (x ) x x x x x x for x x o x Altså: f (x o ) x o eller f (x) x eller (x²) x PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 5 / 1
6 Plus-reglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x) Bevis ( f g) x (f(x) g(x) ) - ( (f(x x x ) g(x ) ) f(x) - f(x ) g(x) x x - g(x ) f ( x ) f ( x x x ) + g ( x ) g ( x x x ) f '(x ) + g '(x ) for x x Hvilket beviser ( f(x)+g(x) ) f '(x) + g'(x) Tilsvarende gælder: Minus-reglen ( f(x)-g(x) ) f (x) - g (x) Ledvis differentiation betyder anvendelse af plus/minus-reglen et antal gange. Differentiation af udtryk skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + x) x +. Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log x, som betyder (Log x). Formlen (x n )' n x n-1, n vil vi ikke bevise, men uddybe. (x ) (1) (x + 1). Det sidste fremgår af eksempel 1, vor a og b1. Altså (x ) (x 1 ) (x) (1x + ) 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, vor a1 og b. Altså (x 1 ) 1 x (x²) (x x) 1 x + x 1 x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.) (x 3 ) (x² x) x x + x² 1 3x² (x 4 ) 4x 3,5 ) x ',5x,5 1 x (Se eventuelt lektion 3 i matematik interaktivt for f) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 6 / 1
7 Maksimum og minimum Hvis en funktion ar en sammenængende graf på et lukket interval, ar den både et maksimum og et minimum. Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger: Bemærk: Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes enoldsvis maksimumpunkt og minimumspunkt. Monotoni Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder: f er voksende i intervallet vis f (x) er positiv eller punktvis nul. f er aftagende i intervallet f er konstant i intervallet vis f (x) er negativ eller punktvis nul. vis f (x) overalt i intervallet. I intervallet I 1 er f (x) og kun punktvis lig nul. ( steder) f er voksende i intervallet I 1 PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 7 / 1
8 I intervallet I er f (x) og kun punktvis lig nul. ( steder) f er aftagende i intervallet I. I intervallet I 3 er f (x) og kun punktvis lig nul. (1 sted) f er voksende i intervallet I 3 Bemærk: I 1 og I ar 1 punkt fælles. Det gælder også I og I 3. Lokalt maksimum er en funktionsværdi, vor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Lokal minimum er en funktionsværdi, vor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema. Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul andre steder. Monotoni-interval for en funktion er et interval vor funktionen er monoton, dvs voksende, aftagende eller eventuelt konstant. Om den afbillede funktion gælder: Voksende i ] - ; -3 ] og [ 1; [ Aftagende i [ -3; 1 ] Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34 Lokalt minimum i 1 med y-værdi Bemærk: Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et aftagende interval. Bemærk også: Grafen er sammenængende. Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen ar y-værdien nul. En funktion med en sammenængende graf, kaldes kontinuert. At redegøre for monotoniforold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre vor voksende, vor aftagende og vor konstant. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 8 / 1
9 Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforold og ekstrema. Eks. f(x) x 3 + 3x - 9x + 7 f (x) 3x + 6x - 9 For at finde ud af fortegnet for f vil vi finde nulpunkter for f : Dvs vi skal løse ligningen: 3x + 6x 9 d (-9) Rødder: dvs. -3 og 1 Grafen for f er glad og derfor negativ mellem rødderne. Fortegnsvariation f er voksende i ] - ; -3 ] og [ 1 ; [ f er aftagende i [-3 ; 1 ] Der vor f skifter fra voksende til aftagende ar f lokalt maksimum, altså ved x-værdien -3. Selve maksimumsværdien er f(-3) 34 Tilsvarende bliver minimum der antages for x 1 Ofte ar man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion. Optimering Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering. Eks. Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste. Se begyndelsen af foregående lektion. x er reklameinvesteringen i mio kr. Den samlede fortjeneste ved salg af varen afænger af reklameinvesteringen. f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen. For den pågældende vare gælder: f(x) -x² + 8x - 1, Dm(f) [ ; 5]. Dvs der kan øjst investeres 5 mio i reklamer Det andler om af få maksimum fortjeneste. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 9 / 1
10 f (x) -4x + 8 f (x) -4x + 8 x f () 8 (positivt) f (3) -4 (negativt) På grundlag eraf fås Fortegnsvariation: Resultat: Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på mio. Maksimumfortjenesten er f() mio 7 mio kr. Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f() og f(5) f() -1 mio f(5) -11 mio Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, vilket er et tab på 11 mio. Bemærk, vi ar stiltiende udnyttet at f er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f () er positiv, så er f (x) positv overalt til venstre for. Tilsvarende kunne vi konkludere, at når f (3) er negativ, så er f (x) negativ overalt til øjre for. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 1 / 1
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs merematx.dk Mikroøkonomi
matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereMatematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)
Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereM A T E M A T I K B 2
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs mereA U E R B A C H. (2) f. a x b
M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereM A T E M A T I K A 2
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereDifferentialregning ( 16-22)
Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereMatematik A2. Mike Auerbach (2) (1)
Matematik A2 Mike Auerbach (2) f () Matematik A2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet
Læs mereA U E R B A C H M I K E (2) (1)
M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra juni 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Reducering Reducér følgende udtryk: Vi ganger dividerer med i både nævner og begge led i tælleren:
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereMike Vandal Auerbach. Differentialregning (2) (1)
Mike Vandal Auerbach Differentialregning f () www.mathematicus.dk Differentialregning. udgave, 208 Disse noter er skrevet til matematikundervisningen på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 207. Noterne
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mere1 Differentialkvotient
gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:
Læs mereFACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i
1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 5. Differentialregning
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kennet Hansen 5. Differentialregning Hvornår skærer graferne for funktionerne ln og inanden? 5. Differentialregning 5. Differentialregning 5. Funktioner
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereOpvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3
eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv
Læs mereMatematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010
Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens
Læs mereDifferentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011
Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereOpgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereVejledning til WordMat på Mac
Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereEkstremumsbestemmelse
Ekstremumsbestemmelse Preben Alsholm 24. november 2008 1 Ekstremumsbestemmelse 1.1 Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Ekstremum for funktion af én variabel: Definitioner Punktet a kaldes
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2012 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereLøsningsforslag MatB Jan 2011
Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma
Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December
Læs mereLøsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mere