Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit 6 formuleret sætninger om differentiation af ln( ) og, og dér givet geometriske beviser for formlerne. Beviserne byggede på, at funktionerne er omvendte funktioner til henholdsvis e og, og dermed at deres grafer kan fremkomme ved at spejle de oprindelige grafer i i linjen y, idet denne spejling bytter om på. og. aksen. I det følgende gennemgår vi differentiation af omvendte funktioner mere generelt med anvendelse af analytiske metoder. Først introduceres begrebet omvendt funktion.. I en række tilfælde, hvor en funktion indgår i en ligning, har vi brug for at kunne fjerne funktionen, så vi kan isolere den ubekendte, som f i følgende fire ligninger: sin( ),8 e 6 5cos( t + ) 4, ln(,,7) 4,7 π I tilfælde som disse kan vi fjerne funktionen og isolere den ubekendte ved at anvende den omvendte funktion: Eksponentialfunktionen e fjernes ved at anvende den naturlige logaritmefunktion ln. ln er således den omvendte funktion til e. Den naturlige logaritme ln fjernes ved at anvende den naturlige eksponentialfunktion e. e er således den omvendte funktion til ln. sin og cos fjernes ved anvende henholdsvis sin og cos. Disse funktioner kaldes også for Arcusfunktioner, og man skriver af og til Arcsin i stedet for sin og Arccos i stedet for Arcusfunktionerne er således de omvendte til de trigonometriske funktioner. cos. Eksempel. Ligningsløsning med omvendt funktion Vi løser ligningen sin( ),8 ved hjælp af den omvendte funktion til sin, dvs. sin (sin( )) sin (,8) sin (,8),97 Vi løser ligningen e 6 ved hjælp af den omvendte funktion til e, dvs. ln: ln(e ) ln(6) ln(6),58 Øvelse Løs selv ligningerne 5cos( t + π ) 4, og ln(,,7) 4,7. sin : Definition. Omvendt funktion En funktion f er defineret på et bestemt interval I. Hvis der for enhver yværdi i værdimængden for f findes præcis én værdi i definitionsmængden, således at y f( ), så kalder vi den funktion, der knytter til y for den omvendte funktion til f, og vi betegner funktionen f. Den omvendte funktion f er således defineret ved, at f () y når y f( ) (*) Grafisk bestemmes den værdi, der er knyttet til en given yværdi, ved at vi går vandret ud fra punktet y på. aksen til vi rammer grafen for f, og derfra går vi lodret ned (eller op) til. aksen, hvor vi aflæser værdien. L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK48 København K Tlf: 45 info@lru.dk

2 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Bemærkning. Da vi har byttet om på. og. aksen i den grafiske bestemmelse af funktionsværdierne f ( y ), så kan hele grafen for f fremkomme ved at vi spejler grafen for f i linjen med ligning y. Denne spejling bytter jo netop om på de to akser. Bemærkning. Hvis vi kombinerer de to ligninger i (*) får vi: f ( f( )) og y f( f ( )) Dette er den generelle form, som vi så illustreret med de to eksempler ovenfor. De omvendte funktioner er ofte interessante i sig selv, og i undersøgelsen af disse funktioner og af deres grafiske forløb har vi brug for kendskab til deres afledede funktioner. Vi tillader os at tale om den afledede funktion af den omvendte funktion, fordi definitionen på at være differentiabel, nemlig at være lokalt lineær, naturligvis arves af den graf, der fremkommer ved at spejle i linjen y. Vi demonstrerer nu hvorledes vi bestemmer de afledede til omvendte funktioner i de to specialtilfælde med ln og sin og formulerer derefter den generelle sætning. Sætning. Differentiation af ln( ) ln( ) er differentiabel for alle > med differentialkvotienten: ln( ) Bevis Ud fra definitionen af ln( ) som den omvendte til e har vi følgende: ln e ln( ) (e ) ( ) ln( ) e (ln( )) Udnyt reglen for sammensat differentiation, samt ( ) (ln( )) Udnyt, at e og ln( ) ophæver hinanden ( ln( ) ) Sætning. Differentiation af sin ( ) Isoler (ln( )) ved at dividere med sin ( ) er differentiabel i sin definitionsmængde med differentialkvotienten: sin ( ), < < Bevis Vi får brug for Pythagoras sætning for sin og cos : sin ( ) + cos ( ), hvor vi husker, at Formlen kan omskrives til: sin ( ) (sin( )). L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK48 København K Tlf: 45 info@lru.dk

3 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion cos( ) sin ( ) Ud fra definitionen af sin(sin ( )) (*) ( ) sin ( ) som den omvendte til sin( ) har vi følgende: sin(sin ) ( ) Udnyt reglen for sammensat differentiation, samt ( ) sin (sin ( )) sin ( ) Udnyt, at sin ( y) cos( y ), hvor y cos(sin ( )) sin ( ) sin (sin ( )) sin ( ) sin () Udnyt (*) med cos( y) sin ( y), hvor y sin ( ) Udnyt, at sin og sin ( ) <bevis slut> Isoler sin ( ) sin ophæver hinanden i sin () (sin(sin ( ))) Sætning. Differentiation af den omvendte funktion f Antag funktionen f er differentiabel i, og at f har en omvendt funktion i den definitionsmængde, vi arbejder inden for. Antag endvidere, at f ( ) ¹. Så er f differentiabel i f ( ), eller: ( f ) ( y) y f med differentialkvotient: f ( f ( y )) ( f ) ( y) Bevis. Vi følger gangen i specialtilfældene: f ( f( )) Udnyt definitionen på omvendt funktion f ( f( )) ( ) ( f ) ( f( )) f ( ) Udnyt reglen for sammensat differentiation, samt ( ) ( f ) ( y) Udnyt, at f( f ) y ( ) ( f ) ( y) Udnyt, at f ( f ( y)) f ( y ) Opgave Vis, at hver af følgende funktioner har en omvendt funktion og bestem et funktionsudtryk for de omvendte funktioner. Overvej i hvert tilfælde definitionsmængderne både for funktionen og den omvendte. a) f( ) b) f( ), ³ c) f( ), d) f( ) e) f( ) + f) Opgave a) Vis, at f( ) f( ) g) + har en omvendt funktion. b) Udnyt, at f () til at bestemme ( f ) () f + h) f + L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK48 København K Tlf: 45 info@lru.dk

4 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Opgave 4 a) Vis, at f har en omvendt funktion. + b) Udnyt, at f () til at bestemme ( f ) () Opgave 4 a) Vis, at f( ) + har en omvendt funktion. b) Bestem ( f ) () og ( f ) () Opgave 5 æπ ö Udnyt, at cos( ) sinç til at vise formlen: è ø ( cos ) ( ), < < Opgave 6 a) Vis, at hvis a >, så kan ( sin æ ö ) ç omskrives til: èa ø ( sin æ ö ) ç a è ø a b) Udnyt resultatet i a) til at bestemme ò d 4 Opgave 7 sin( ) Funktionen tangens er defineret ved: tan( ). cos( ) a) Vis formlerne: tan ( ) + ( tan() ) cos( ) b) Udnyt resultatet fra a) til at vise: ( tan ) ( ) + Opgave 8 a) Vis, at ( tan æ ö ) ç omskrives til: èa ø a ( tan ) æ ç ö èaø a + b) Udnyt resultatet i a) til at bestemme 5 ò d 4 + Bemærkning. Før værktøjsprogrammernes tid var det en vigtig disciplin i matematik, at kunne håndtere integraler af forskellige typer af polynomiumsbrøker samt udtryk hvor der indgik kvadratrødder. Som antydet af det foregående spiller de trigonometriske funktioner og deres omvendte en stor rolle her. De blev suppleret af de hyperbolske funktioner cosh( ), sinh( ) og tanh(), der er defineret: L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK48 København K Tlf: 45 info@lru.dk

5 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion e + e e e sinh( ) cosh( ), sinh( ) og tanh(). cosh() Umiddelbart kan det forekomme mærkværdigt at kalde disse funktioner for hyperbolsk cosinus, hyperbolsk sinus og hyperbolsk tangens. Deres grafer har ikke megen lighed med graferne for de trigonometriske funktioner. Men slægtskabet antydes af følgende formler: cosh sinh ) cosh ( ) sinh() ) sinh( ) cosh( ) ) ( ) ( ) Der gælder tilsvarende en række additionsformler for de hyperbolske funktioner, der i struktur minder meget om de tilsvarende for de trigonometriske. Vi studerer de hyperbolske funktioner nærmere i et særskilt projekt. Her vil vi blot yderligere nævne resultaterne, man får ved at differentiere de omvendte hyperbolske funktioner, som supplerer resultaterne i opgaverne på en måde, så man kan løse en meget stor gruppe af integraler med polynomiumsbrøker og rodtegn eksakt: ) ( cosh ) ( ) ) ( sinh ) ( ) ) ( tanh ) ( ) + L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK48 København K Tlf: 45 info@lru.dk