DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

Transkript

1 DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen f : V! W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = s f (u) Lad a, a,..., a n være en basis for V. Vi så sidst, at koordinatafbildningen K a : V! L n er lineær. Kernen for f : V! W er mængden ker f = fv V j f (v) = 0 g. Kaldes også nulrummet og betegnes ofte i stedet med N ( f ). Kernen er et underrum af V. Billedrummet for f er f (V) = fw W j9v V så f (v) = w g. Billedrummet er et underrum af W.. Eksempel på lineær afbildning Eksempel på lineær afbildning Lad A være en m n-matrix. Definer afbildningen f : R n! R m ved f (x) = Ax for alle x R n. f er lineær: For alle x, y R n og s R gælder f (x + y) = A (x + y) = Ax + Ay = f (x) + f (y) og f (sx) = A (sx) = sax = s f (x). ker ( f ) = fx R n jax = 0 g = N (A) nulrummet for matricen A. f (R n ) = Col (A) = søjlerummet, rummet udspændt af søjlerne i A.

2 Konkret eksempel: A = 4 5 R.. ker ( f ) = span [ 0] T. f R = Vi skal senere se, at alle lineære afbildninger mellem endelig-dimensionale vektorrum kan repræsenteres ved matrixafbildninger.. Eksempel på lineær afbildning Eksempel på lineær afbildning Lad P n (R) være mængden af reelle polynomier af grad højst n og med variabelnavn x. Differentiationsoperatoren D x : P n (R)! P n (R) givet ved D x (p (x)) = p 0 (x) for alle p (x) P n (R). At D x er lineær er en velkendt sag om differentiation af sum og differentiation af udtryk ganget med en konstant. ker (D x ) = P 0 (R) altså mængden af konstante polynomier. D x (P n (R)) = P n (R). Bemærk, at vi kunne have betragtet D x som en afbildning fra P n (R) til P n (R). Den ville så have været surjektiv..4 Eksempel og 4 på lineær afbildning Eksempel og 4 på lineær afbildning Afbildningen D : C (I)! C 0 (I) givet ved D (g) = g 0 for alle g C (I) er lineær. ker (D) er mængden af funktioner konstante på intervallet I. D er surjektiv, da enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Differentialoperatoren d : C (R)! C 0 (R) givet ved d (g) = g 00 + g 0 5g for alle g C (R) er lineær. ker (d) er mængden af løsninger til den homogene lineære differentialligning g 00 + g 0 5g = 0. Den fuldstændige løsning er g (t) = c e t + c e 5 t. Vi ser, at en basis for ker (d) er funktionerne t 7! e t og t 7! e dim ker (d) =. At billedrummet d C (R) = C 0 (R) følger af, at g 00 + g 0 en løsning for alle q C 0 (R). 5 t. Så 5g = q har

3 .5 Struktursætning mm. Struktursætning mm. Hvis x p V er en partikulær løsning til den lineære ligning f (x) = b, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene ligning f (x) = 0. Som bekendt er denne sætning meget anvendelig, når f er en lineær differentialoperator. Så lyder den: Hvis x p er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning, så er den fuldstændige løsning summen af x p og den fuldstændige løsning til den tilsvarende homogene differentialligning. Rangen af f defineres som ρ ( f ) = dim f (V). Nulliteten for f defineres som ν ( f ) = dim ker ( f ). Dimensionssætningen. Lad f : V! W være lineær. Så gælder dim V = ν ( f ) + ρ ( f ). Beviset udskydes til matrixfremstillingen for en lineær afbildning er på plads..6 Matrixfremstilling for lineære afbildninger I Matrixfremstilling for lineære afbildninger I Lad f : V! W. Lad a, a,..., a n være en basis for V, og lad c, c,..., c m være en basis for W. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser defineres som cf a = [K c ( f (a )) K c ( f (a ))... K c ( f (a n ))] c F a er åbenbart en m n-matrix. Der er en enentydig sammenhæng mellem m n-matricer og lineære afbildninger fra V til W. Sætning 6.6. K c ( f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Bevis. Skriv v = x a x n a n. Så er x = K a (v) og f (v) = x f (a ) x n f (a n ). Dermed fås K c ( f (v)) = x K c ( f (a )) x n K c ( f (a n )) = [K c ( f (a )) K c ( f (a ))... K c ( f (a n cf a K a (v).

4 .7 Eksempel på afbildningsmatrix Eksempel på afbildningsmatrix D x : P (R)! P (R) givet ved D x (p (x)) = p 0 (x) for alle p (x) P (R). Monomiebasen (m) i P (R), altså, x, x, x og monomiebasen (m) i P (R), altså, x, x. m F m = K m (D x ()) K m (D x (x)) K m D x x K m D x x. m F m = K m (0) K m () K m (x) K m x. m F m = Polynomiet p (x) = 7x + 4x + kan nu differentieres således K m (D x (p (x))) = mf m K m (p (x)) = m F m = Altså D x (p (x)) = x..8 Matrixfremstilling for lineære afbildninger II Matrixfremstilling for lineære afbildninger II Vi så i Sætning 6.6 at for en given lineær afbildning f og givne baser a og c gælder K c ( f (v)) = c F a K a (v) for alle v V. Omvendt gælder: Hvis der til f : V! W findes en matrix F, så K c ( f (v)) = FK a (v) for alle v V, så er f lineær og F = c F a. Linearitet: Af K c f (v) = FK a (v) følger f (v) = Kc FK a (v). Men højresiden er lineær i v. Videre fås FK a (v) = c F a K a (v) for alle v V. Heraf følger F = c F a. Sætning 6.9. ν ( f ) = ν ( c F a ) og ρ ( f ) = ρ ( c F a ). Da ν ( c F a ) + ρ ( c F a ) = n = dim V er dimensionssætningen dim V = ν ( f ) + ρ ( f ) bevist..9 Eksempel på afbildningsmatrix I Eksempel på afbildningsmatrix I En lineær afbildning f fra V med basen a, a, a til W med basen b, b opfylder f (a + a + a ) = 5b b, f (a a ) = b + b og f (a + a ) = b + b 4

5 Vi bestemmer afbildningsmatricen b F a for f. Med v = a + a + a, v = a a og v = a + a har vi Af K b ( f (v i )) = b F a (K a (v i )) med i =,, fås = b F a = b F a 4 5 og 0 Dvs. b F a = 0 = b F a Eksempel på afbildningsmatrix II. 5 4 Eksempel på afbildningsmatrix II Da den inverse til er 4 5 får vi derfor, at 0 5 bf a = = Ved hjælp af b F a kan eksempelvis f (a ) nu bestemmes til f (a ) = b + 6b.. Eksempel på afbildningsmatrix: Koordinatskiftematricen Eksempel på afbildningsmatrix: Koordinatskiftematricen Lad a = a, a,..., a n og c = c, c,..., c n begge være baser i V. Lad f : V! V være den identiske afbildning, dvs. f (v) = v for alle v V. Afbildningsmatricen for f mht. de givne baser er da cf a = [K c ( f (a )) K c ( f (a ))... K c ( f (a n ))] = [K c (a ) K c (a )... K c (a n )] = c M a c M a er koordinatskiftematricen i følgende forstand: Da K c ( f (v)) = c F a K a (v) for alle v V fås her, at K c (v) = c M a K a (v). c M a er også omtalt i forelæsningsnoterne for uge 0. 5, 5