Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
|
|
|
- Jan Andersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus 2-24 Uge
2 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er. Calculus 2-24 Uge
3 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er.. e i = 1. Calculus 2-24 Uge
4 Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er.. e i = 1. e i = ( ),..., 1,..., Calculus 2-24 Uge
5 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus 2-24 Uge
6 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus 2-24 Uge
7 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus 2-24 Uge
8 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Definition En kvadratisk n-matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Calculus 2-24 Uge
9 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Definition En kvadratisk n-matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Identitetsmatricen (enhedsmatricen) 1... I n = med 1 i diagonalen og udenfor er en diagonalmatrix. Calculus 2-24 Uge
10 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Calculus 2-24 Uge
11 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus 2-24 Uge
12 Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Calculus 2-24 Uge
13 Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Skrives skematisk Λ = λ λ n Calculus 2-24 Uge
14 Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning - fortsat For en diagonalmatrix Λ er det karakteristiske polynomium Λ λi = (λ 1 λ) (λ n λ) Egenvædierne er netop diagonal indgangene λ 1,...,λ n. Calculus 2-24 Uge
15 Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning - fortsat For en diagonalmatrix Λ er det karakteristiske polynomium Λ λi = (λ 1 λ) (λ n λ) Egenvædierne er netop diagonal indgangene λ 1,...,λ n. Udregningen Λe i = λ i e i viser at for egenværdien λ i er e i en egentlig egenvektorer. Calculus 2-24 Uge
16 Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel = 1 Calculus 2-24 Uge
17 Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel = = 2 = 2 1 Calculus 2-24 Uge
18 Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel = = 2 = = 3 = 3 1 Calculus 2-24 Uge
19 At diagonalisere [LA] 1 Diagonalisering Definition At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så A = BΛB 1 Calculus 2-24 Uge
20 At diagonalisere [LA] 1 Diagonalisering Definition At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så A = BΛB 1 Skrives også eller AB = BΛ B 1 AB = Λ Calculus 2-24 Uge
21 Diagonalisering og egenvektorer [LA] 1 Diagonalisering Sætning 16 Lad A vœre en n n-matrix og b 1,...,b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenvœrdier λ 1,...,λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gœlder AB = BΛ hvor Λ er diagonalmatricen med egenvœrdierne som diagonalindgange. Calculus 2-24 Uge
22 Diagonalisering og egenvektorer [LA] 1 Diagonalisering Sætning 16 Lad A vœre en n n-matrix og b 1,...,b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenvœrdier λ 1,...,λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gœlder AB = BΛ hvor Λ er diagonalmatricen med egenvœrdierne som diagonalindgange. Hvis B er invertibel, vil den diagonalisere A. Calculus 2-24 Uge
23 Gammelt eksempel Eksempel 1, 2 Matricen A = [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer har egenvektorer b 1 = 3 1, b 2 = med tilhørende egenværdierne λ 1 = 2,λ 2 = 3. Calculus 2-24 Uge
24 Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat Dette giver 3 3 A =, B = 2 4 ( ), Λ = 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Calculus 2-24 Uge
25 Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat Dette giver 3 3 A =, B = 2 4 ( ), Λ = 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = 5 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus 2-24 Uge
26 Matrixpotenser [LA] 1 Diagonalisering Eksempel - Potens Hvis B diagonaliserer A A = BΛB 1 så er potensen A k = BΛ k B 1 Calculus 2-24 Uge
27 Matrixpotenser [LA] 1 Diagonalisering Eksempel - Potens Hvis B diagonaliserer A A = BΛB 1 så er potensen A k = BΛ k B 1 Λ k = λ k λ k n Calculus 2-24 Uge
28 Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat 3 3 A =, B = 2 4 B 1 = opfylder matrixidentiteten , Λ = A = BΛB Calculus 2-24 Uge
29 Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat = = 1 5 ( ) k k ( 3) k ( ) 6 2 k ( 3) k 3 2 k 3 ( 3) k 2 2 k + 2 ( 3) k 2 k + 6 ( 3) k Calculus 2-24 Uge
30 Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat = 1 5 ( ) 1 ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 1 = ( ) Calculus 2-24 Uge
31 Nyt eksempel [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - Opgave! Betragt matricen A = ) Angiv egenværdierne for A. 2) Angiv egentlige egenvektorer for hver af disse egenværdier. 3) Diagonaliser A ved brug af en matrix B. Calculus 2-24 Uge
32 Nyt eksempel, egenværdier [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Fra det karakteristiske polynomium 11 λ λ = (11 λ)( 6 λ) ( 6) 12 = λ2 5λ+6 fås, at matricen A = har de to rødder som egenværdier. λ 1 = 2, λ 2 = 3 Calculus 2-24 Uge
33 Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 1 = Calculus 2-24 Uge
34 Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 1 = Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 2 x 3 2 x 2 = x 2 ( ) Calculus 2-24 Uge
35 Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 2 = Calculus 2-24 Uge
36 Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 2 = Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 3 x 4 2 x 2 = x 2 ( ) Calculus 2-24 Uge
37 Nyt eksempel, diagonalisering [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) A = 11 6, B = , Λ = som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Calculus 2-24 Uge
38 Nyt eksempel, diagonalisering [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) A = 11 6, B = , Λ = som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = 1 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus 2-24 Uge
39 Nyt eksempel, potens [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 2 - fortsat 11 6 A =, B = 12 6 B 1 = opfylder matrixidentiteten 8 6, Λ = 3 2 A = BΛB og giver potensen A k = BΛ k B 1 Calculus 2-24 Uge
40 Nyt eksempel, potens [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 2 - fortsat = ( = ( ( ) ) ( ) ) Calculus 2-24 Uge
41 Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 (Pas på) Betragt matricen A = Matricen A kan ikke diagonaliseres. Calculus 2-24 Uge
42 Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 (Pas på) Betragt matricen A = Matricen A kan ikke diagonaliseres. λ = 3 er eneste egenværdi. Egenrummet er nulrum for matricen 1 A 3I 3 = Calculus 2-24 Uge
43 Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 - fortsat Egenrummet er E 3 = span(e 1 ) En matrix B, hvis søjler er egenvektorer B = b 1 b 2 har determinant og dermed ikke invertibel. Altså kan A ikke diagonaliseres. Calculus 2-24 Uge
44 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 Det oplyses, at matricen A givet ved A = har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Calculus 2-24 Uge
45 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: A 2I = giver det reducerede ligningssystem og dermed x 1 + x 2 + x 3 = x 1 = x 2 x Calculus 2-24 Uge
46 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. x 2 x 3 x 2 x 3 = x x Calculus 2-24 Uge
47 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. Egenrummet udtrykkes x 2 x 3 x 2 x 3 = x 2 1 E 2 = span( 1 1, 1 + x ) 1 1 Calculus 2-24 Uge
48 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = hvor x 3 vælges frit x 1 x 2 x 3 = x 3 1 x 3 = x x 3 Calculus 2-24 Uge
49 Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Søjler af egenvektorer giver B = , Λ = det(b) = 1 sikrer invertibilitet. Calculus 2-24 Uge
50 Opgave, gør prøve Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Gør prøve! AB = B Λ = = Så prøven stemmer! Calculus 2-24 Uge
51 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor a betegnes a. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer a, b er a b = a b cos(θ) Calculus 2-24 Uge
52 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor a betegnes a. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer a, b er a b = a b cos(θ) Udtrykt ved den vinkelrette projektion b a af b på a a b = a b a Calculus 2-24 Uge
53 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b 1, b 2 ) I koordinater fås θ (a 1, a 2 ) Calculus 2-24 Uge
54 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b 1, b 2 ) I koordinater fås θ (a 1, a 2 ) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = a a = a a 2 2 cos(θ) = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a a 2 2 b b 2 2 Calculus 2-24 Uge
55 Vinkel [S] 9.3 The dot product y a=(1,3) b=( 2,2) θ x Vinkel mellem vektorer Calculus 2-24 Uge
56 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (1, 3) og b = ( 2, 2) har prikprodukt og længder og vinkel mellem sig a b = 1 ( 2) = 4 a = a a = 1 b = b b = 8 θ = cos 1 ( ) 63.4 Calculus 2-24 Uge
57 Skalarprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i i=1 Calculus 2-24 Uge
58 Skalarprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen er i=1 a = a a Calculus 2-24 Uge
59 Enhedsvektor [LA] 11 Skalarprodukt i R n Bemærkning For en vektor a = (a 1,...,a n ) er længden a = a a 2 n Calculus 2-24 Uge
60 Enhedsvektor [LA] 11 Skalarprodukt i R n Bemærkning For en vektor a = (a 1,...,a n ) er længden a = a a 2 n En vektor med længde a = 1 kaldes en enhedsvektor Calculus 2-24 Uge
61 Skalarprodukt udregnet [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (1, 3, 4, 1) og b = ( 2,, 2, 5) har prikprodukt og længder a b = 1 ( 2) = 11 a = a a = 27 b = b b = 33 Calculus 2-24 Uge
62 Enhedsvektor i given retning [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektoren a = (1, 3, 4, 1) har længde a = a a = 27 Calculus 2-24 Uge
63 Enhedsvektor i given retning [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektoren a = (1, 3, 4, 1) har længde Enhedsvektoren i a s retning er a = a a = 27 a a = ( 1, , 4 27, 1 27 ) Calculus 2-24 Uge
64 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b Calculus 2-24 Uge
65 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt 1. a a = a 2 (a,b) a b Calculus 2-24 Uge
66 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a Calculus 2-24 Uge
67 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c Calculus 2-24 Uge
68 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c 4. a (λb) = λ(a b) Calculus 2-24 Uge
69 Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c 4. a (λb) = λ(a b) 5. a a = a = Calculus 2-24 Uge
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Calculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17](/thumbs/62/47131431.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Egenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/62/46643337.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
To ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/69/60570115.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
![Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion](/thumbs/71/64059563.jpg "Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/40/21226631.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
![Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2](/thumbs/82/86922880.jpg "Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2")
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Lineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Lineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Symmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt
enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort
Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement. v 2
Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar
Eksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Noter til Lineær Algebra
Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition
Lineær Algebra. Differentialligninger
Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................
Mat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Egenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Ekstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Eksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Undervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/40/21648714.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Biologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)
Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12
J n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Ølopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Note om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Lineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Om første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension