Udtrykkelige mængder og Cantorrækker

Transkript

1 Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208

2 Abstract This thesis aims to explore the cocept of expressible sets i various ways I the first chapter we show various growth criteria to assure, that a series is ratioal, irratioal, or eve trascedetal We also explore various examples of series, were we ca determie their expressible sets The secod chapter dives ito the world of Cator series It provides coditios for ratioality ad irratioality of said series uder various restrictios o the series Third chapter provides two theorems, that ca determie whe the Lebesgue measure of a expressible set of a series is zero, the secod of which is a improvemet, for series that form a Cator series The fourth ad last chapter of this thesis geeralizes a theorem by Hačl ad Nair, ad gives isight ito a ogoig research project betwee Simo Kristese ad the author

3 Tak Jeg vil gere sige et kæmpe tak til mi vejleder Simo Kristese Ud over di skarpe hjælp med sætiger og dit fatastiske humør, så er det e utrolig mulighed, du har givet mig ved, at vi sideløbede skriver e forskigsartikel Jeg vil også gere takke Jaroslav Hačl for has meget ispirerede foredrag om Expressible sets i efteråret 207 Ude det havde jeg aldrig stødt på emet, og Simo havde ikke stærkt opfordret mig til at skrive om det

4 Idhold Idledig Udtrykkelige mægder 2 Klassisk teori 3 2 Irratioale følger 0 3 Ratioale følger 2 4 Trascedete følger 24 2 Catorrækker 29 2 Catorrækker med es forteg Catorrækker med skiftede forteg Ratioale Catorrækker 38 3 Lebesguemålet af udtrykkelige mægder 42 3 Et geerelt resultat for Lebesguemålet af udtrykkelige mægder E forbedrig for følger der udgør e Catorrækker 57 4 Rækker af algebraiske tal 68 4 Algebraiske tal og brugbare egeskaber Hovedsætig og evetuel forskig 72 Litteratur 83

5 Idledig Dee afhadlig har sit udsprig i e artikel af Erdős fra 975 se [7] I dee artikel skriver Erdős; A sequece < 2 < is said to have property P if for every m k > 0, m k 0 mod k k m k is irratioal Ha viser også, at følge {2 2 } har Property P, altså at for ehver følge af aturlige tal { } som opfylder, at 0 mod 2 2, så er række et irratioalt tal Betiglse Property P geeraliserer vi i kapitel med udtrykkelige mægder Følge {2 2 } udgør e Catorrække Erdős resultat kæder altså aturligt vores to emer samme I adet kapitel vil vi få e defiitio af Catorrækker, og se på flere resultater, der ka bestemme om sådae er irratioale Vi vil studere Catorrækker, der er uderlagt flere forskellige betigelser I tredje kapitel vil vi se to resultater, der ka sikre at Lebesguemålet af e følges udtrykkelige mægde er ul Det første resultat vil være meget geerelt, og adet resultat vil i de fleste tilfælde ku være brugbart for Catorrækker Det vil dog være e betydeligt forbedrig i dette tilfælde E ade måde ma kue beskrive størrelse af e udtrykkelig mægde kue være ud fra des Hausdorffdimesio Vi vil i dee afhadlig ikke vise ogle resultater med Hausdorffdimesio, me sådae resultater ka bladt adet fides i [5] Sidste kapitel vil geeralisere et resultat af Hačl og Nair, og give et idblik i et kommede forskigsprojekt Kapitlet vil afskille sig fra de øvrige kapitler, hvor vi har kigget på følger af ratioale tal, til at kigge på geerelle følger af algebraiske heltal Da forskigsprojektet ikke er færdigt, vil der ikke foreligge ogle hådgribelige resultater, me der vil være overvejelser til videre forskig Side

6 Kapitel Udtrykkelige mægder Erdős skriver i e artikel fra 975 således; A sequece < 2 < is said to have property P if for every m k > 0, m k 0 mod k k m k is irratioal - Erdős [7] Vi vil geeralisere dette begreb Defiitio For e følge A { } så kalder vi mægde, { } E A x R {c } så c N og x c for A s udtrykkelige mægde Da c ere er aturlige tal, så er c 0 mod Hvis A { } er e følge af aturlige tal, så er A s udtrykkelige mægde altså det samme som mægde af alle rækker på forme k m k Følgede defiitio fra [9] svarer u til property P Defiitio 2 For e følge A { } så kaldes følge irratioal hvis E A ku ideholder irratioale tal Ellers er følge ratioal Vi vil i dette kapitel udersøge begrebet udtrykkelig mægde og præsetere sætiger, der ka besvare spørgsmål om, hvorår følger er ratioale, irratioale og tilmed trascedete se Defiitio 20 Side 2

7 KLASSISK TEORI Klassisk teori De følgede sætig fra Erdős giver os et vækstkriterie for, hvorår e følge er irratioal Sætig 3 Lad { } være e voksede følge af aturlige tal således at lim sup a /2 og lad ε > 0 så for alle tilstrækkeligt store Så er irratioal > +ε a Det følger fra Sætig 3, at hvis { } er e følge af aturlige tal og lim a /2, så er følge irratioal Før vi ka kaste os i kamp med beviset for Sætig 3, så skal vi bruge e vurderig på hale af vores uedelige række Lemma 4 Lad { } således at for ε > 0 Så for alle k N er være e voksede følge af positive reelle tal k Bevis Fra 2 ser vi at a /+ε k k [a /+ε k ] k + Hvor første sum opfylder, a k > +ε 2 < + /ε [a /+ε k +] [a /+ε k ] k a ε/+ε k > k Altså må < a k < a/+ε k a k [a /+ε k ] k a ε/+ε k +, [a /+ε k +] +ε Side 3

8 KLASSISK TEORI og ade sum er, [a /+ε k +] +ε < [a /+ε k +] x +ε dx ε[a /+ε a ε/+ε k + ] /ε ε k Vi får samlet at < + /ε k a ε/+ε k Et adet, lemma som vi vil drage stor ytte af, er følgede: Lemma 5 Lad { } være e følge af positive reelle tal så Så fides der uedeligt mage k, således at a k+ > + k 2 max k lim sup 3 Bevis Atag for modstrid, at dette ikke var tilfældet Så fides et 0, som er det største, som opfylder ulighede Me så må gælde for j > 0 + at, a j+ < + j 2 < < j t 0 + max a i < 0 +ij + t < + j 2 + t j 2 max 0 +ij a i + t sih π π 0 + < Ligige t + sih π t 2 π ka fides i [3] Da vi fra 3 ved, at lim sup j a j+, så har vi vores øskede modstrid Begge lemmaer vil blive brugt igeem hele afhadlige til forskellige beviser, hvilket ikke er overraskede, givet deres umiddelbare styrke i forhold til at vurdere vækste af uedelige rækker og følger Vi er u klar til at bevise Sætig 3 Side 4

9 KLASSISK TEORI Bevis for Sætig 3 Atag for modstrid, at p q Q Så må og da så får vi, at p k p Da p k k har altså, at q p k k k q k+ k k i a i a k j a, j q a k q q k i a i k q k p k+ q, k q k i a i N, så må q k k+ k+ N Vi 4 Beviset er u delt op i tre tilfælde Først atager vi, at der for ethvert l fides et k, så k l a k+ > Dette sammeholdt med Lemma 4 og 4 giver os for tilstrækkeligt store k, at k q + /εqa /l ε/+ε a k+ k+ Me for l > +ε ε, så går højreside mod 0 for k Altså er irratioalt Atag u at der fides et l 0, så for alle er l0 + < a j 5 Desude må der fides et l, så j a < 2 l + 6 Side 5

10 KLASSISK TEORI Lad l max{l 0, l } Så gælder 5 og 6 også for l 0 og l byttet ud med l Vi vil vise, at i < a ll+ 2 7 For 2 følger det direkte fra 5 Atag u at det gælder for Så fra 5 får vi, l l l + < a i < a i2 a ll+i 2 a + 2 i0 ll+i Fra 6 og 7 får vi så a ll+ < 2 l+ ll+ 2 2 ll+ < 2 l+ 8 for alle Vi kigger u på to tilfælde Ete gælder ulighede 2 for edeligt eller uedeligt mage Vi atager først, at ulighede gælder for edeligt mage Så for alle tilstrækkeligt store så er k+ > 2 Vi bruger u præcis samme metode som i Lemma 4 og får, for tilstrækkeligt store k, at [log 2 a k+ ] + k+ Hvor første sum opfylder og ade sum er [log 2 a k+ ] k+ [log 2 a k+ +] [log 2 a k+ ] a k+ k+ [log 2 a k+ +] < log 2 a k+ a k+, 2 < dx [log 2 a k+ +] 2 x log22 [log 2 a k++] < log22 log 2 a k+ / log2 a k+ Side 6

11 KLASSISK TEORI Vi får samlet, at k+ < log 2 a k+ + / log2 9 a k+ Lad L a /2 Da vi fra ved, at lim sup L, så får vi fra Lemma 5, at for uedeligt mage så er L + > + 2 max L i 0 i Fra 4 og 9 får vi, at k q k+ Lad L t max jk L j Så er k log2 a k+ + / log2 < q a k+ k k i 2 i a /2i i < k i 2 i a /2t t k i a /2t i t k i a /2t i t < a 2k+ t t Fra 0 og oveståede får vi så, at k a k+ > Sammeholdt med får vi edeligt, at k > a k+ > L 2k+ t 2 + k 2 2 k+ a k+ log 2 a k+ + / log2 a k+ log 2 a k+ + / log2 log 2 a k+ > + k 2 2k+ q q + k 2 k+ q 2 log2 + k a k+ > 2 2 2k+ q log2 Side 7

12 KLASSISK TEORI Me for tilstrækkeligt store k så er dette i modstrid med 8 Altså må være irratioalt Vi skal u kigge på sidste tilfælde, hvor vi atager at der for uedeligt mage gælder, at 2 3 Det følger fra 4, at er irratioal, hvis vi, for ethvert δ > 0, ka fide et k, så k < δ 4 k+ Til det formål så lad A være givet, og r N være midst mulig således, at L r > max r L > A Fra ved vi at lim sup L så såda et r fides for ethvert A Fra oveståede får vi så, sammeholdt med Lemma 4, at for r tilstrækkeligt stort så er r < + /ε a ε/+ε r < + /ε A ε/+ε 2r Vi ser umiddelbart fra defiitioe af r og, at ved valg af A stort ok så overholder r ikke ulighede i 3 Der må altså fides et s N som er størst muligt, så 3 og s < r er opfyldt For alle s < < r så må > 2 Vi får så fra 9 og Lemma 4, at i r + a i a i i ir < log 2 + / log2 + + /ε a i a ε/+ε r 5 Ud fra defiitioe af r og s så ses det tydeligt, at for A så må L s og L r Altså må der fides et, så s < r og, L + > + 2 max L i 6 si Lad t være det midste aturlige tal som opfylder dette Fra 6 og 2 så må a t+ > + 2 t t t 2 s a Da s s 2 s 2 s2 7 Side 8

13 KLASSISK TEORI så får vi, at a t+ > + 2 t t a t 2 > + 2 t t 2 s2 2t 2 Ved at idsætte oveståede vurderiger i 5 får vi, at t+ < < log 2 a t+ + / log2 + + /ε a t+ a ε/+ε r t < log 2 a t+ + / log2 + 2t 2 2t t a t+ + 2 t t 2t 2 log 2 a t+ + / log2 + + /ε Fra 6 og vores valg af t så får vi u for s t, at L < + 2 max L i si < + 2 < < js Lad så C max st C Så må t s s < j 2 L s < C t s+ t s+ Sammeholdt med 7 får vi så, at t < C 2t+ max si 2 L i s t s+ s C 2 < C 2t+ s < 2 s2 C 2t+ < 2C 2t+ + + /ε a ε/+ε r a ε/+ε r L 2 Side 9

14 2 IRRATIONALE FØLGER Me da a /2r r og a r > A2r +/ε t t+ så ka vi vælge A stort ok, så < + 2 t 2t 2 log 2 a t+ + / log t Det ses at vestreside ka vælges vilkårligt lille ved valg af stort ok t Altså følger 4 så er irratioal 2 Irratioale følger Som tidligere ævt så følger det fra Sætig 3, at hvis { } er e følge af aturlige tal og lim a /2, så er { } e irratioal følge Vi vil se ærmere på e type af følger af aturlige tal som vokser lagsommere, me som stadig er irratioale Erdős viste i [7], at følge {2 2 } er irratioal Vi vil tage has bevis lidt lægere Sætig 6 Lad N N \ {} Følge {N 2 } er irratioal Bevis Lad {c } være e følge af aturlige tal Da vi ikke har ataget, at {N 2 c } er voksede, vil vi istedet kigge på følge {A } {N 2φ c φ }, hvor φ : N N er e bijektio så {A } er voksede Det er klart, at A N 2 8 Der er u to muligheder Ete så vil lim sup A /2 I det tilfælde så har vi fra Sætig 3, at A 2 2φ c φ er irratioal Ellers vil der fides C N så N 2 c lim sup A /2 C 9 Vi skal ige bruge e vurderig som i Lemma 4 Lad k være givet Fra 8 så får vi, at k [log 2 log N A k ] + A A k A [log 2 log N A k ]+ Side 0

15 2 IRRATIONALE FØLGER [log 2 log N A k ] k + A k + [log 2 log N A k ] k + A k + < [log 2 log N A k ] k + A k + < [log 2 log N A k ] k + A k N 2 [log 2 log N A k ]+ N 2 log N A k 0 N 2 +log N A k 0 + A k N 2 0 < [log 2 log N A k ] k + A k + A k [log 2 log N A k ] k + 2 A k Lad u h 2 + max k N {[log 2 log N A k ] k} Eksistese af et sådat h fås fra 9 Så må < h 20 A A k Atag u at A mfma, A k p k p q Så er k q A Sammeholdt med 20 så får vi, at mfma,, A k k+ q A N mfma,, A k qh A k+ > 2 Da φ er e bijektio, så for k må midst to af A ere være delelige med N 2k Vi får altså, at mfma, A k N 2k k A 22 Lad u {A i } være e delfølge af {A }, så A i > C δ 2i, 23 Side

16 3 RATIONALE FØLGER hvor δ 0 for Fra 9 så må e såda delfølge fides Desude har vi fra 9, at k A < h k C + δ 2 < h C + δ 2k+, 24 hvor h er e kostat som ikke afhæger af k Vi får u fra 22, 24 og 23, at Det ses altså, at mfma,, A i A i < h C + δ 2i N 2i 2 C δ 2i mfma,, A i lim 0, A i hvilket er i modstrid med 2 Altså er {N 2 } irratioal På baggrud af at følge {2 2 } er irratioal stillede Erdős i [7] det åbe spørgsmål, hvorvidt der fides følger, der vokser lagsommere og som er irratioale I æste afsit skal vi kigge på betigelser for, hvorår følger er ratioale, og der vil vi få svar på Erdős spørgsmål 3 Ratioale følger I dette afsit skal vi udforske forskellige betigelser for, hvorår e følge er ratioal Desude vil vi give ogle kriterier for, hvorår vi ka bestemme e ratioal følges udtrykkelige mægde Sætigere i dette afsit er fra [9], med midre adet er agivet Sætigere giver mere geerelle kriterier ed for udtrykkelige mægder, og ka udvides til adre former for mægder Vores hovedfokus vil dog være i forhold til udtrykkelige mægder Sætig 7 Lad { } være e følge af positive reelle tal, så K < Lad S {b, b 2, } være e mægde af reelle tal, så b < b + for alle, og lim b Atag at max N {/b /b + } a k ik+ a i 25 Side 2

17 3 RATIONALE FØLGER for alle k N Så fides der for alle B, hvor 0 < B K, e følge {c }, hvor c S for alle, så B c Propositio 8 Lad { }, B og S som i Sætig 7, og lad desude { } være voksede Så fides der e følge {c }, hvor c S for alle, så B, 26 c hvis og ku hvis for alle k N max N {/b /b + } a k /b 2 a k ik+ a i 27 Sætig 9 Lad { } være e følge af positive reelle tal, så Lad S {b, b 2, } være e mægde af reelle tal, så b < b + for alle, og lim b Hvis der fides et reelt tal C, så > C b /b + for alle N, så fides der for ethvert positivt reelt tal B e følge {c }, hvor c S for alle, så B c Bevis for Sætig 7 Vi vil kostruere {c } så 0 < B K være givet og lad så { c mi b : og lad for alle 2, c være defieret så, } a b < B, b S, c B Lad { c mi b : + } a i c i b < B, b S 28 i Side 3

18 3 RATIONALE FØLGER Da lim b, så er c veldefieret Det følger så fra defiitioe af c, at B c Vi vil u gere vise de omvedte ulighed Dette vil vi gøre ved, at vise at k c + k+ B 29 for alle k Det er klart fra defiitioe af B, at 29 er gældede for k 0 Atag u at 29 gælder for k Det ka ude tab af geeralitet atages at c k Lad c k b k Det følger fra 25 og 28, at k k c + c + k k+ k+ c + k k c + a k b k + k+ + a k b k b k b k a k k+ c + + a k b k a k b k B Altså gælder 29 for alle k, hvilket medfører, at c B k+ Så må følger sætige c B, og da B var valgt arbitrært i itervallet 0, K], så Bevis for Propositio 8 Det ses direkte fra Sætig 7, at 27 medfører 26 For at vise de ade vej, atages det for modstrid, at der fides et k, så /b 2 a k > k+ 30 Side 4

19 3 RATIONALE FØLGER Lad u B k /b2 2 a k Det ses at B er veldefieret, da B K og B k /b2 2 a k > k k+ k+ > + > 0 2a k k /b 2 2a k for alle k N Atag u at der fides {c }, så 26 er opfyldt Det medfører, at 0 k /b2 2 a k k+ c 3 Atag at der fides midst et i {, 2,, k}, så c i Så får vi fra 3, at k 0 + /b2 + /b 2 2 a k c a k og i c k+ + /b2 2 a k k+ + k+ c i a i b 2 a k, + + c i a i b 2 a k a i a k b 2 a i c i a k a i b 2 a i b 2 + b2 b 2 c i a i ai ak 0, da c i b 2 Me da c i 0 og 2 /b 2 a k k+ > 0, så har vi modstrid Altså må c c k Fra 3 får vi så, at /b2 0 a k k+ /2 k+ c < 0 Altså fides der ige k som opfylder 30, så 27 følger Side 5

20 3 RATIONALE FØLGER Bevis for Sætig 9 Lad B R + Vi vil u defiere ik for k N 0 Lad i0 0, og lad ik være det midste aturlige tal, så ik b 2 B c ik ik + Lad S k ik ik +, og lad Hk være det aturlige tal, så ik S k < B b Hk c S k b Hk, 32 hvor vi lader c ik + c ik b Hk Det ses fra 32, at B > Fra 32 får vi, at så S ik k + b Hk a c B ik ik B c ik ik + ik ik B c c ik B c Sk b Hk ik + b Hk a c bhk S k c ik B, c S k b Hk bhk b ik ik Hk B C B b Hk c S k c Da C <, så må B ik c 0 for k, altså følger sætige Sætig 7, 8 og 9 s styrke i forhold til at bestemme udtrykkelige mægder illustreres u ud fra følgede to korollarer Side 6

21 3 RATIONALE FØLGER Korollar 0 Lad A { } være e følge af positive reelle tal, så Så er E A R + Korollar Lad A { } være e følge af positive reelle tal, så og K <, 2a k k+ 33 for alle k N Så er E A 0, K] Hvis A er voksede, så er E A 0, K] Bemærkig 2 Bemærk at Sætig 9 giver os, for følge { }, hvor for alle, og hvor b c for et vilkårligt tal, så c R + [0, ], at alle positive reelle tal ka opskrives som e række af reciprokke b er Altså der fides e følge af tal i, hvor i N 0 for alle, så for ethvert positivt reelt tal B i, så er B i c i Korollar 0 og ka u hjælpe os med følgede sætig om udtrykkelige mægder for geometriske rækker Beviset ka også fides i [6] samme med e række beviser for bestemmelse af Lebesguemålet af følgeres udtrykkelige mægder Sætig 3 Lad A {A } Så er A e ratioal følge Mere specifikt så gælder at; Hvis 0 < A så er E A R + 2 Hvis < A 3 så er E A 0, 3 Hvis 3 < A så er E A 0, A ] A A 2 Bevis følger fra Korollar 0 Det ses desude, at for A, 3] så er ] k+ A 0 k A 0 A A A k+ A A k+ A Side 7

22 3 RATIONALE FØLGER A k A 2A k Altså er 33 opfyldt Desude er A A A 0 A A Altså følger 2 fra Korollar Lad u A > 3, og x Vi vil vise, at for ethvert N så fides et c N, så 0 < x i A i c i A ] 0, A A 2 A A A 2 34 Det følger at 34 medfører 3 Lad, og lad c være det midste aturlige tal som opfylder, at Ac < x Atag at c A 2 Så må x Ac A A 2 A A 2 AA A 2 Atag u at c A Fra valget af c midst muligt så må Ac Vi får så, at x Ac Ac < x Ac c A A A 2 AA A 2 Altså gælder 34 for Atag u at 34 gælder for Vi ser så, at 0 < A x A i c i i A A 2 Lad X A x ] i A i c i Det ses, at X 0, A A 2 Som for så fides et c N så, Det følger så, at x 0 < X Ac i A i c i A c Altså gælder 34, så 3 er bevist AA A 2 A A A 2 Side 8

23 3 RATIONALE FØLGER De følgede meget geerelle sætig vil være det redskab, vi skal bruge til, at give e øvre græse for, hvorår vi med sikkerhed ka sige, at e følge er ratioal Sætig 4 Lad S {b, b 2, } være e mægde af positive reelle tal, hvor b < b + og lim b Lad D N så D > b + b for alle Lad { } være e følge af positive reelle tal, og {d } e delfølge, så {a j } {d } Atag at der fides e positiv reel fuktio F, hvor F < for alle N samt et K N, så og 2 2 F < K d 35 2 F < for alle N Så fides der et B R +, så for alle B, hvor 0 < B B, fides e følge {c }, hvor c S for alle, så B c Korollar 5 Lad A { } være e følge af positive reelle tal, og {d } e delfølge, så {a j} {d } Hvis lim sup log 2 log 2 d <, 36 så fides B R +, så 0, B] E A Bevis 36 medfører, at der fides et > ε > 0, så d < 2 2 ε for alle tilstrækkeligt store Altså må der fides et K N, så 35 er opfyldt Da 2 ε <, så følger korollaret direkte fra Sætig 4 med S N Side 9

24 3 RATIONALE FØLGER Det ses at betigelse 36 i Korollar 5 medfører, at følge A er ratioal Det er altså klart, at betigelse er bedst mulig, da vi har fra Sætig 6, at følge {2 2 } er irratioal Dette svarer også på Erdős åbe spørgsmål, om hvor lagsomt følger med property P altså irratioale følger af aturlige tal ka vokse Det viser sig, at Erdős havde fudet de lagsommeste Bevis for Sætig 4 Lad Det ses, at Lad u 0 < ε være givet, og lad Vi vil fide e følge b i S, så P k log 2 k 2 F P < log 2 F 2 F g 2[d + ]DK[2 22 P 2 + ][b + ] 37 d 0 < ε k g b i 2 2k+ P k+, 38 for alle k N Det vil så følge at ε g b Lad k og lad b i i være det aturlige tal, så g < ε g b i b i Et sådat i fides, da vi fra 37 ved, at g b 0 < ε g g bi ε ε ε ε b i b i g < Dε2 g < > Vi ser så, at bi b i ε 2 2K[2 22 P 2 + ][b + ] < 2 22 P 2, εb i b i b i hvilket viser 38 for k Atag u at 38 gælder for k Vi får så fra 38, 35 og 37 at ε k g b i 2 2k P k 2 2k F k < K d k g k b Side 20

25 3 RATIONALE FØLGER Det følger ige som for k, at der fides et b ik S, så g k k < ε b ik g b i g k b ik Samme med 38, 37 og 35 følger det så, at 0 < ε k b ik b ik g k g gk ε b i b i b ik < ε k g b i k ε g b i ε k bik b ik b ik g b i 2 D g k 2 2k+ P k D g k bik k ε g k g b i 2 2k+ P k d k 2[d + ]K[2 22 P 2 + ][b + ] < 2 2k+ P k 2k F k 2[d + ][2 22 P 2 + ][b + ] < 2 2k+ P k 2 k F k, og da 2 k+ P k 2 k F k k+ P k+ 2 2 k+ 2 F 2 k F k 2 k+ k k+ 2 F 2 k+ F k 2 k F k 0, så får vi samlet, at 0 < ε k g b i 2 2k+ P k+ Altså har vi vist, at 38 gælder for alle k N Fra 37 får vi u, at der fides {b i }, så d b i ε 2[d + ]DK[2 22 P 2 + ][b + ] 39 Side 2

26 3 RATIONALE FØLGER for alle 0 < ε Lad u B 2[d + ]DK[2 22 P 2 + ][b + ], og B være et reelt tal, så 0 < B B Fra defiitioe af S så må der fides e følge {c }, hvor c S, og jm er e voksede følge af aturlige tal, så jm jm c D < B for et reelt tal D Lad ε B D B, og {b ij} være e følge som opfylder 39 Lad c j b ij Så får vi fra 39, at c jm c + a j c j jm c + D + εb D + B D B B B d b ij De sidste sætig vi skal se på i dette afsit er Sætig 6 Sætige giver som de adre sætiger i dette afsit geerelle betigelser for, hvorår forskellige mægder ideholder et iterval Sætig 6 Lad S {b, b 2, } være e mægde af positive reelle tal, hvor b < b +, og lim b, så der fides > K b b 40 for alle 0 Lad { } være e følge af positive reelle tal, og {d } e delfølge, så {a j } {d }, hvor lim if d K > 0 4 for alle N Så fides der et B R +, så for alle B, hvor 0 < B B, fides e følge {c }, hvor c S for alle, så B c Side 22

27 3 RATIONALE FØLGER For udtrykkelige mægder får vi så følgede korollar: Korollar 7 Lad A { } være e følge af positive reelle tal, {d } e delfølge, så {a j } {d }, og N N så Så er A ratioal lim if d > 0 N Bevis Beviset for Sætig 6 er metodisk æste idetisk til beviset for 4, bare med e ade opsætig Bemærk først at da K <, får vi fra 4 eksistese af et aturligt tal N, så N d > K 42 for alle N Lad S S så S {b S : b b 0 }, og lad {g } være e følge, så g N[b 0 + ] Kd 43 Vi vil u ige vise, at for alle ε, hvor 0 < ε, så fides der e følge {b i } S så, k g 0 < ε K k 44 b i for alle k N 0 Det vil så følge fra 44, at ε g b i For k 0 følger 44 fra defiitioe af ε Atag u at 44 gælder for k Fra 44, 42 og 43 får vi, at ε k Altså må der fides et > 0, så g b i < K k K k K < N d k K < g k b 0 g k b < ε k g k b i g b 45 Lad ik Så får vi fra 45, 44 og 40, at ε k g k g ε g k b i b i b ik Side 23

28 4 TRANSCENDENTE FØLGER ε k g gk b i b ik ε b k ik ε b ik k g b i g b i bik K k Altså gælder 44 for alle k N, og derved følger det, at ε Der fides altså for alle 0 < ε e følge {b i }, så Lad u d b i B g k g b i εk A[b 0 + ] 46 K A[b 0 + ] og B være et reelt tal, så 0 < B B Fra defiitioe af S så må der fides e følge {c }, hvor c S, så jm jm c D < B for et reelt tal D Lad ε B D B, og {b ij} være e følge som opfylder 46 Lad c j b ij Så får vi fra 46, at c jm c + a j c j jm c + D + εb D + B D B B B d b ij 4 Trascedete følger Vi vil i dette afsit kigge på e stærkere betigelse ed, at e følge er irratioal Læsere mides om at et trascedet tal, er et tal, som ikke er rod i oget heltalspolyomium Side 24

29 4 TRANSCENDENTE FØLGER Defiitio 8 Lad A { } være e irratioal følge Hvis E A ku ideholder trascedete tal, så kaldes A e trascedet følge Sætig 9 Roth Lad ɛ > 0 og lad α være et algebraisk tal af grad d 2 Så har ulighede α p q < q 2+ɛ ku edeligt mage løsiger p q Q Sætig 9 blev bevist af Klaus Friedrich Roth i 955 Det er første sætig, som gave e øvre græse for irratioalitetsmålet af et irratioalt algebraisk tal som ikke afhæger af grade af tallet Sætige vil spille e cetral rolle i beviset for Sætig 20 Beviset er for lagt til at tage med i dee afhadlig me ka fides i [8] Følgede sætig af Hačl se [0] giver os u et kriterie for, hvorår e følge er trascedet Sætig 20 Lad α og β være reelle tal så α > β, og lad { } og {b } være følger af aturlige tal, så og 2 3+α 47 b 2 3+β 48 for tilstrækkeligt store Så er følge { a b } trascedet Bevis Lad {c } være e følge af aturlige tal Da c for alle, så følger det, at hvis b er trascedet, så er følge { a b } trascedet For at vise at { a b } er trascedet, så lad γ R så β < γ < α Fra 47 så følger det, at > 2 3+γ 49 for tilstrækkeligt store Lad c være et aturligt tal stort ok til, at for alle > c så er 47 og 48 opfyldt Lad B være et aturligt tal, så for alle c så er < 2 3+γB 50 Lad s betege atallet af af som opfylder 50 Fra 49 så må der fides et N N midst muligt, så atallet af, hvor [2 3+γB, 2 3+γN, er skarpt midre ed N B s Fordi N er midst muligt, så for ethvert K N, hvor B < K < N, må atallet af, hvor [2 3+γK, 2 3+γN, Side 25

30 4 TRANSCENDENTE FØLGER være midre ed N K Vi får altså, at itervallet [2 3+γN, 2 3+γN er tomt Dette medfører at, <2 3+γN <2 3+γB [2 3+γB,2 3+γN N N N 2 s3+γb 2 jb+s 3+γj 2 jb 3+γj 2 j 3+γj 2 3+γN 2+γ 5 Desude så får vi for tilstrækkeligt store B, at N Lad u 2 3+β 2 3+γN + Fra 5 så må 2 3+γN N+ b 2 3+γN N b β 2 3+α N2 3+βN 3+γ N + N+ b N+ 2 3+β 3+α 2 23+βN 3+γ N 52 <2 3+γN b p q q 2+γ 2 3+γN Lad A b Vi får u fra oveståede sammeholdt med 52, at A p q b 2 23+βN 3+γ N q 2+ɛ, 2 3+γN hvor 0 < ɛ < γ Da oveståede ulighed gælder for alle tilstrækkeligt store B, så fides der uedeligt mage løsiger p, q Q til ulighede Det følger fra Roths sætig at A er trascedet Vi får u følgede korollar til sammeligig med Sætig 6; Korollar 2 Lad N N \ {} og A {N 4 } Så er A trascedet Defiitio 22 Lad α C Hvis der for ethvert s N fides p, q Z, så så er α et Liouville tal 0 < α p q < q s, Side 26

31 4 TRANSCENDENTE FØLGER Liouville tal var de første trascedete tal, der blev fudet af Joseph Liouville i 844 Beviset ka fides i [9] De følgede sætig af Erdős se [7] giver os e vækstbetigelse for, at e række er et Liouville tal Sætig 23 Lad { } være e voksede følge af aturlige tal, så for ethvert t N, og lad ε > 0, så for alle tilstrækkeligt store Så er et Liouville tal lim sup a /t 53 > +ε a Som for Sætig 3 så ses det direkte fra Sætig 23, at hvis { } er e voksede følge af aturlige tal, så lim a /t, så ka vi aalogt til Defiitio 8 sige, at følge er Liouville Bevis for Sætig 23 Lad q k N, og p k Så er p k q Hvis vi ka vise, at 0 < p q k+ < k, s k i a i N for alle s N, så er vi færdige Vi ser u, at for alle t så ka vi vælge k, så a /tk+ k+ > a /ti i for alle i k Eksistese af et sådat k følger fra 53 Vi får så, at k k a /t t < k t a /tk+ k+ k k k+ a /t a t /t k+ k+ Side 27

32 4 TRANSCENDENTE FØLGER Da så får vi, at k t < t t, k 0 Lad u s være givet, og lad δε > 0 så < a /t k+ + /ε < a δε Lad t > s+δε+ε ε + Så fides der et k, så k < a /t k+ Fra Lemma 4 får vi så for tilstrækkeligt store k, at k+ k+ < + /ε a ε/+ε k+ a /t k+ + /ε εt /+ε < + /ε k < + /ε εt /+ε k < s+δε k s Side 28

33 Kapitel 2 Catorrækker I dette kapitel skal vi se på e type af rækker kaldet Catorrækker De blev først studeret af George Cator i 869 Følgede sætig ka fides i [5] Sætig 2 Cator Lad x være et reelt tal og { } og {b } 0 heltals følger, så b x b 0 + i a, 2 i hvor 2 for alle N, 22 0 b for alle N, 23 og for alle q N så fides der 0 N så, q N for alle N 0 24 Så er x irratioal, hvis og ku hvis b > 0, 25 og for uedeligt mage b < 26 Beviset kommer seere I det følgede kapitel vil x altid være givet ved 2, som vi vil kalde Catorrække for x Følgere {b } 0 og {} er Side 29

34 2 CANTORRÆKKER MED ENS FORTEGN heltalsfølger Lad desude og x i b i i j a, 27 j c b for Det bemærkes at vi i alle sætiger, hvor 23 er ataget, kue repræseterer x ved at lade alle b ere være af egativt forteg For simpelhede skyld atager vi dog bare, at 23 er gældede Vi vil seere kigge på Catorrækker, hvor b ere skifter forteg uedeligt ofte Vi starter med at se to eksempler på Catorrækker, og derefter vil vi give ogle kriterier for, hvorår disse er irratioale De fleste sætiger i dette kapitel følger fra Alexader Oppeheim og Palaheedi Hewage Diaadas arbejde med Catorrækker se [20] og [6] Eksempel 22 e er irratioal Lad b 0 2, b og + for alle Det ses så, at x 2 + i i +! e Da Catorrække for x opfylder alle 6 betigelser i Sætig 2 så er e irratioal Det er værd at bemærke, at Korollar 5 viser, at de udtrykkelige mægde for følge ideholder et iterval, og derved er følge ratioal Eksempel 23 De reciprokke rækker for følgere i Sætig 6 er Catorrækker Det ses ved at sætte b 0 0 og b for alle samt a N 2 og N 2 for alle Catorrækker med es forteg I følgede kapitel skal vi kigge på flere forskellige Catorrækker, som ikke ødvedigvis overholder 22 og 23 Vi skal derfor bruge et lemma, der giver et krav for, hvorår e Catorrække ude betigelser er irratioal Følgede lemma giver os dette Lemma 24 x er irratioal, hvis og ku hvis der for ethvert q N fides et r Z og e delfølge i så, r q < x i < r + q Side 30

35 2 CANTORRÆKKER MED ENS FORTEGN Bevis Fra 2 og 27 så må, og x b 0 + x x b + x + 28 Altså må x, x, x 2, alle være ete ratioale eller irratioale Desude så må {xa a 2 } {x }, 29 hvor {x} beteger brøkdele af x Altså hvis x er ratioal så x p q, så fides for alle et p > 0, så x p q Da x er koverget række, så må x ere være begræset Altså følger lemmaet Vi skal også bruge et lemma, der ka begræse x ere Lemma 25 Hvis 22 og 23 er opfyldt, så er og 0 x b x b + Desude hvis 25 og 26 er opfyldt, så er ulighedere skarpe Bevis Det er klart fra 27 at x 0, og at x 0, hvis og ku hvis b i 0 for alle i Desude så er og da N i x i a i i j a j a i i j a, j N i a i N i a, i så må x Desude så ses det, at x hvis og ku hvis, at b i a i for alle i Fra 28 så må x b + x +, og da 0 x + så følger lemmaet Side 3

36 2 CANTORRÆKKER MED ENS FORTEGN Vi er u klar til at bevise Sætig 2 Bevis for Sætig 2 Vi viser først, at 25 og 26 medfører at x er irratioal Atag for modstrid at x p q, hvor p Z og q N Fra 24 så fides der 0 så for alle N 0, så må q N Fra 29 så må x Z, me Lemma 25 samme med 25 og 26 giver os, at 0 < x < Altså må x være irratioal Atag u at x er irratioal Hvis 25 ikke er opfyldt, så fra 23 fides der et 0 så for alle > 0, så er b 0 Me så må x b 0 + b i a i b b i a i Q Altså gælder 25 På samme måde hvis 26 ikke ikke er opfyldt, så ville der fides et 0 så for alle 0, så er b Så har vi fra Lemma 25, at x 0 Fra 29 så må Altså gælder 26 xa a 2 0 Z Vi skal u kigge på e sætig som giver krav for, hvorår e Catorrække er irratioal De giver os et krav på baggrud af, hvad c i har som græseværdi, hvor i er e delfølge Vi vil se, at alle mulige græseværdier for c i er dækket af sætige Sætig 26 Lad 22 og 23 være givet, og lad i være e vilkårlig delfølge x er irratioal, hvis et af de følgede 4 kriterier er opfyldt: lim i ξ hvor ξ er irratioal, 2 lim i og 26 gælder, 3 lim i 0 samt lim i og 25 gælder, 4 lim i Q 0, for alle i og for uedeligt mage er ] b i [a i lim i Bevis Atag at der fides et irratioalt tal ξ, så lim c i ξ Fra 23 så må 0 < ξ < Altså må 25 være opfyldt Hvis a i var begæset, så ville b i også være det, og altså ville c i hoppe mellem edeligt mage ratioale tal Derfor må lim a i Derved må 26 være opfyldt Fra Lemma 25 så er b i < x a i < b i + i a i Side 32

37 2 CANTORRÆKKER MED ENS FORTEGN Altså må lim x i ξ Da ξ er irratioal, så må der for ethvert q N fides et r Z, så r q < ξ < r + q Me så må der også fides et 0 så for alle 0, så er r q < x i < r + q Det følger u fra Lemma 24, at x er irratioal 2 Som i beviset for så må lim a i Ellers ville der fides a N så c i a a < Altså må lim b i, og det giver os, at 25 er opfyldt Fra Lemma 23 får vi så, at b Da lim i a i 0, så er b i a i < x i < b i + a i, så må der for ethvert q N, fides et 0 så for alle q q < x i < Ige følger det fra Lemma 22, at x er irratioal 3 Fra 25 og lim c i 0 så må 26 være opfyldt Fra Lemma 23 så må 0 b i < x a i < b i + i a i b Da lim i a i 0, så er 0, så må der for ethvert q N, fides et 0 så for alle 0 < x i < q Fra Lemma 22 så følger det, at x er irratioal 4 Lad lim c i h k hvor 0 < h < k Da b i [a i lim c i ] uedeligt ofte, så må der være uedeligt mage, så b i ha i k b i a i h k Altså må der være uedeligt mage, så ete er b i a i > h k Side 33

38 2 CANTORRÆKKER MED ENS FORTEGN eller b i + a i h k b Da lim i a h i k, så må lim a i Da a i ikke er begræset, så må 26 være opfyldt for ellers, ville der fides e delfølge i så lim c i Fra Lemma 25 får vi så, at Altså må b i x a i < b i + i a i lim x i h og x k i h k 20 Atag u for modstrid at x er et ratioalt tal så x p q Fra 29 så må der fides tal r Z for alle N, så x i r q Så må lim r q h k Z, me det ka ku ske, hvis der fides et 0 så for alle 0, så er r q h k, hvilket er i modstrid med 20 Bemærkig 27 Hvis lim c i Q 0, for alle i, me der ku er edeligt mage, så b i [a i lim c i ], så ka x være ratioal eller irratioal Vi ser u på to eksempler, der illusterer hver af disse hædelser: Eksempel 28 Lad b for N 0 og 2 for N Så er lim c i 2 for alle delfølger i, b [ 2 ] for alle, og x + i Eksempel 29 Lad b 0 0, b og for alle N Da 25 gælder, lim og lim c 0, så får vi fra Sætig 26 3, at er irratioal Desude så er y i i a i 3i + 2 Side 34

39 22 CANTORRÆKKER MED SKIFTENDE FORTEGN uafhægigt af, hvad er så læge 22 er opfyldt Lad så 3x i 3 y 3i + 2 Så må x være irratioal med b og for alle Det ses så, at lim c lim [ ] a og b 3 3 Korollar 20 Lad < a < a 2 < og σ 0 være atallet af divisorer af Så er σ 0 i a i irratioal Bevis Da σ 0 p 2 for alle, hvor p beteger det te primtal, så må lim if c 0 Korollaret følger u direkte af Sætig Catorrækker med skiftede forteg Vi starter med to lemmaer, som skal substituerer Lemma 25 for Catorrækker med skiftede forteg Det er klart, at det ku er spædede at udersøge disse rækker, år b ere skifter forteg uedeligt ofte Hvis dette ikke var tilfældet, så ville vi kue vælge et N N så alle b hvor N ville have samme forteg Altså ville vi kue bruge sætigere fra forrige afsit til at afgøre om hale var irratioal og derved om x er irratioal Vi får altså følgede lemma; Lemma 2 Lad 22 være opfyldt, og for uedeligt mage i og j er b 2 b i < 0 og b j > 0 22 Så er og < x <, b < x < b + Side 35

40 22 CANTORRÆKKER MED SKIFTENDE FORTEGN Bevis Vi ser at 22 medfører 25 og 26, så x < og x < b+ følger direkte fra Lemma 25 Desude så er x, hvis og ku hvis b for alle, me fra 22 så må x > Fra 28 følger det, at b < x Lemma 22 Lad 22, 2 og 22 være givet Så er x 0 Desude så har x og b i samme forteg, hvor i er det midste aturlige tal, så i og b i 0 Bevis Hvis b så er har vi fra Lemma 2 at x > 0 og hvis b så er x < 0 Hvis b 0 så fra 22 fides i, hvor i er det midste aturlige tal, så i og b i 0 Så er x ti b t t j a j i j a j ti b t t ji a j x i i j a j Da x i har samme forteg som b i, så har x samme forteg som b i Det ligger idirekte i beviset at x 0 Følgede sætig er u ligede Sætig 2 for Catorrækker der opfylder 22 Sætig 23 Lad 22, 24, 2 og 22 være givet Så er x irratioal Bevis Atag for modstrid at x er ratioal Som i beviset for Sætig 2 så medfører 24 og 29, at der fides et 0 så for alle 0, så er x Z Me fra Lemma 2 og 22 så må < x < og x 0 Altså er x irratioal Vi vil ige betemme irratioalitet ud fra græseværdiere af c i, hvor i ige er e vilkårlig delfølge Følgede sætig er æste idetisk med Sætig 26 fra forrige afsit, bare udvidet til Catorrækker der opfylder 22 Sætig 24 Lad 22, 2 og 22 være givet, og lad i være e Side 36

41 22 CANTORRÆKKER MED SKIFTENDE FORTEGN vilkårlig delfølge x er irratioal, hvis et af de følgede 5 kriterier er opfyldt: lim i ξ hvor ξ er irratioal, 2 lim i, 3 lim i, 4 lim i 0 samt lim i, 5 lim i Q, \ {0} for alle i og for uedeligt mage er b i [a i lim c i ] Bevis Lad < ξ < Beviset er det samme som beviset for Sætig 26, dog ved brug af Lemma 2 og 22 i stedet for Lemma 25 2 Lad lim c i Så må vi som i beviset for Sætig 26 2 have at lim a i Vi får så fra Lemma 2 og 22 at lim x i og x i < Altså må der, for ethvert q N fides et 0 så for alle 0, så er q q < x i < Fra Lemma 24 så må x være irratioal 3 Hvis lim c i så må vi i stedet have at lim x i og x i > Altså må der for ethvert q N, fides et 0 så for alle 0, så er < x i < q + q Ige giver Lemma 24 os at x er irratioal 4 Da lim a i og lim c i 0 så får vi fra Lemma 2 og 22, at lim x i 0 og x i 0 Altså må der for ethvert q N, fides et 0 så for alle 0, så er 0 < x i < q Side 37

42 23 RATIONALE CANTORRÆKKER Altså må der fides e delfølge i, så 0 < x i < q eller q < x i < 0 Altså får vi fra Lemma 24 at x er irratioal 5 Beviset er idetisk med beviset for 4 i Sætig 26, dog med brug af Lemma 2 i stedet for Lemma Ratioale Catorrækker I det sidste afsit vil vi kigge på betigelser, der ka bestemme om Catorrækker er ratioale Det bemærkes at både Sætig 27 og 29 er tilstrækkelige og ødvedige kriterier for at e Catorrække er ratioal Sætigere ka altså også bruges til at bestemme, om e Catorrække er irratioal ved at egere dem Defiitio 25 Lad i være e følge af heltal, så i0 0 og i < i + samt A Det ses, at i ji + a j, B i ji + x B 0 + Dette kalder vi e kodeserig af x b j A j ti + a t B i A i og B 0 b 0 for Bemærkig 26 Hvis Catorrække for x opfylder 22 og 23, så ses det, at 0 B i ji + a j A j ti + a t A Kodeserige er altså også e Catorrække som opfylder 22 og 23 På samme måde hvis 2 er opfyldt, så må 0 B A Sætig 27 Lad 22 og 23 være givet Så er x ratioal, hvis og ku hvis der fides h, k Z så 0 h k og e kodeserig, så for alle tilstrækkeligt store B h k A Side 38

43 23 RATIONALE CANTORRÆKKER Bevis Atag at der fides h, k Z, så B h k A for tilstrækkeligt store Så fides der et 0, så x B B i A i + h k Altså er x ratioal Atag u at x q p Fra Lemma 25 så må der fides h, k Z så 0 h k q og e delfølge i, så x i+ h k for alle Lad X være defieret som x for kodeserige af x med følge i så, X i B i i j A j Det ses så, at Fra 28 så må så vi ser, at x i + X for 2 A X B + X +, B X A h k A Bemærkig 28 Det ses at beviset for Sætig 27 ku bruger 22 og 23 til at få e begræsig på x og dermed e begræsig på h og k Ehver atagelse der giver e begræsig på x er altså fyldestgørede Feks kue vi istedet for 23 lade 2 og 22 være givet og bruge Lemma 2 som begræsig på x med samme resultat hvis vi tillader h at være egativt Sætige ka altså med fordel udvides til de type af Catorrækker ma arbejder med Følgede Sætig fra [] af Hačl giver et kriterier for ratioalitet af Catorrækker, som er meget mere geerelt ed, hvad vi tidligere har kigget på Styrke af sætige i forhold til at bestemme irratioalitet af Catorrækker er åbelys, så læge vokser tilstrækkeligt hurtigt Side 39

44 23 RATIONALE CANTORRÆKKER Sætig 29 Lad 22 være givet, lim if og for tilstrækkeligt store, så lad b + 0, 23 b + 2 max{ b, }+ 24 Så er x ratioal, hvis og ku hvis b 0 for tilstrækkeligt store Bevis Det er klart, at hvis b opfylder at b 0 for alle tilstrækkeligt store, så må der fides et N N, så x b 0 + N b i a Q, da summe er i edelig Lad u b > 0 uedeligt ofte og atag for modstrid, at x p q, hvor p Z og q N Fra 29 får vi, at for alle N så er qx Z Fra 23 får vi, at der må fides uedeligt mage, så b + 3q 25 Lad u N opfylde oveståede og være tilstrækkeligt stort Reste af beviset vil gå på, at modvise at qx N Z Det er klart, at det vil være i modstrid med, at x p Bemærk at vi ikke ka bruge Lemma 25, 2 og 22, som q vi plejer, da vi har meget få restriktioer på følgere Vi vil starte med at vise, at qx N < Fra 22 og 24 ses det, at For k N får vi så, at max{ b +, } 2 max{ b, }+ b +k 2 k max{ b, } +k i+ Fra 26 sammeholdt med 25 får vi u, at qx N q N b in a q i N a i 26 b in a i q b N a N + q N+ max{ b 2 N N, } in+ a i in a i Side 40

45 23 RATIONALE CANTORRÆKKER q b N a N + q max{ b N, } a N 2 q b N + max{ b N, } a N q b N + b N + 2q b N + 2q a N a N 3q < For at vise at qx N 0, så lad P være det midste aturlige tal så P N og b P 0 Det følger åbelyst, at max{ b P, } b P Fra 26 får vi, at qx N q b in a q bp P i in a i P bp q P in a i bp q P in a i P + P + P + b 2 P P ip + a i in a i b 2 P P P in a 0 i b in a i Atag at qx N 0 Så medfører oveståede for alle P +, at b 2 P b P ip + a i Altså må lim if b + lim if b lim if b 2 P P ip + a i lim if 2 P b P ip + a i lim if 2 P b P 2 P + 4 b P, da 22 gælder Me dette er i modstrid med 23, så qx N 0, og altså er qx N / Z Side 4

46 Kapitel 3 Lebesguemålet af udtrykkelige mægder Det ses, at Lebesguemålet af udtrykkelige mægder for lagsomt voksede følger i ogle tilfælde er lige til at bestemme Lad λ betege Lebesguemålet For følger, der opfylder Korollar 0, ser vi, at λe A For følger der opfylder Korollar, så er λe A K Det bliver straks sværere at sige oget om Lebesguemålet, for følger der vokser hurtigt Vi skal i dette kapitel se to forskellige betigelser for, hvorår Lebesguemålet af e udtrykkelige mægde er ul 3 Et geerelt resultat for Lebesguemålet af udtrykkelige mægder Følgede sætig er af Hačl, Nair og Šustek Beviset ka også fides i [4] Sætig 3 Lad L være et aturligt tal og α, β og ε være reelle tal så 0 < α <, ε > 0 og 0 β < ε +ε Lad x,, x L, y,, y L være reelle tal så x i 0 og y i for alle i L Lad { } være e voksede følge af aturlige tal, så lim sup + L i y i β + a 3 Lad {b i, } være heltalsfølger så for tilstrækkeligt store, så er b i, 2 logα 2 a a y i 32 Side 42

47 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Lad for alle følge {b } opfylde b L b i, x i 0 33 i For tilstrækkeligt store så lad og b 2 logα 2 a a β 34 +ε 35 Så er λe A 0 hvor A { a b } og λ er Lebesguemålet Følgede korollar er mere letfordøjeligt og illustrere styrke af Sætig 3 Korollar 32 Lad α og ε være reelle tal så 0 < α < og ε > 0 Lad { } være e voksede følge af aturlige tal, så og Lad {b } lim sup a /3, 36 > +ε være e følge af heltal, så og så b 0 for alle N, b 2 logα 2 a for tilstrækkeligt store Så er λe A 0, hvor A { a b } Bevis Korollaret følger direkte fra Sætig 3 med L, x, y og β 0 Beviset for Sætig 3 er lagt, så for overskuelighedes skyld vil vi dele de største dele af det op i e række lemmaer Vi skal hertil bruge ligede vurderiger som Lemma 4 Følgede tre lemmaer vil spille dee rolle uder forskellige betigelser Side 43

48 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Lemma 33 Lad { } og {b } være følger som opfylder alle atagelser i Sætig 3 Så fides der e reel positiv kostat γ som ikke afhæger af N så for alle tilstrækkeligt store N så er b N Bevis Fra defiitioe på α, β og ε samt 35 så får vi for tilstrækkeligt store, at log α 2 ε 2 + ε β log 2 Lad N tilstrækkeligt stort Så fra 34 så må N b hvor β 2 β + summe op, så N b N N a γ N 2 logα 2 a a β a β, ε +ε Da vi fra 35 har, at a +ε N 2 a ε +ε β a β N N så ka vi dele N a β [a /+ε N ] N Vi får så for de første sum, at a β + [a /+ε N +] a β [a /+ε N ] N a β hvor γ 2 ε +ε β Det ses, at a/+ε N a β N a γ N, β + ε + ε β + ε + ε 2 β + ε 2 ε + 2 ε β + ε > 2 For ade sum får vi så ige fra 35 og oveståede, at [a /+ε N +] a β [a /+ε N +] β +ε a /+ε N dx x β +ε Side 44

49 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER / β + ε a /+ε β +ε N hvor γ 2 4 ε +ε β Samlet får vi så, at N b a /2+ε β +ε N a γ N + a γ 2 N a γ, N a γ 2 N, hvor γ 5 ε +ε β er e positiv kostat som ikke afhæger af N Lemma 34 Lad { } og {b } være følger som opfylder alle atagelser i Sætig 3, og 2 37 for alle tilstrækkeligt store Så fides der e reel positiv kostat Γ < som ikke afhæger af N så for alle tilstrækkeligt store N, så er N b 2logΓ 2 a N a β N Bevis Fra 37 får vi, at log 2 Sammeholdt med 34 får vi, at N b N 2 logα 2 a a β [log 2 a N ] 2 logα 2 a a β + N [log 2 a N +] 2 logα 2 a a β Da log α 2 + β log 2 log 2 for tilstrækkeligt store så får vi for de første sum, at [log 2 a N ] N 2 logα 2 a a β 2logα 2 a N log 2 a N a β N 2log+α/2 2 a N a β N Fra 37 får vi for ade sum, at [log 2 a N +] 2 logα 2 a a β [log 2 a N +] 2 logα β [log 2 a N +] u, hvor u 2 α β For alle tilstrækkeligt store får vi, at u + u 2+α + β 2 α β 2 +α α β < 2 α β < 2 β /2 Side 45

50 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Vi får så, at for alle m 0 Altså må u [log2 a N +]+m 2 mβ /2 u [log2 a N +], [log 2 a N +] u < u [log2 a N +] 2 [log 2 a N +] α β[log 2 a N +] 2 Samlet får vi så, at N hvor Γ 2+α 3 b 2log +α/2 2 a N a β N + 2logα 2 a N a β N m0 2 mβ /2 2logα2 a N < β /2 a β N 2 2 β /2 2logΓ2 a N β /2 a β N Lemma 35 Lad { } og {b } være følger som opfylder alle atagelser i Sætig 3, og atag at der fides aturlige tal N og Q, så 2 for N Q Så fides der e reel positiv kostat Γ < som ikke afhæger af tallee N og Q, så Q N b 2logΓ 2 a N a β N Bevis Lad {a } og {b } være følger så { a hvis Q a Q 2 hvis > Q { b b hvis Q hvis > Q Vi ka u bruge Lemma 34 på følgere {a } og {b } ; Q N b N b a 2logΓ 2 a N 2logΓ2 a N a N β a β N, Side 46

51 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Lemma 36 trækker det store læs i beviset for Sætig 3, og er det lægeste lemma vi skal bevise Beviset bruger e ligedde metode som beviset for Sætig 3, hvilket ikke er overraskede, da lemmaet går ud på at vurdere på e ulighed, der er ligede ulighed 4 Lemma 36 Lad y være et reelt tal, og atag at { }, {b } og {b i, } er følger som opfylder alle atagelser i Sætig 3 med betigelse 3 byttet ud med lim sup Så for uedeligt mage N så er Z N : N b N +y a 38 β + a +y 2 log+α/2 2 N a < Bevis Vi deler beviset op i tre dele Først atages det, at der fides et reelt tal δ > 0 så lim sup +y β ++δ a 39 Vi vil gere kue vurderer på hvert ekelt led i Z N Til det formål lad så γ være e reel kostat som opfylder betigelsere Lemma 33, og z et tilstrækkeligt stort aturligt tal så der fides u, v, w N som opfylder; Lad w være det midste aturlige tal, så +y β ++δw u det største aturlige tal skarpt midre ed w så aw > z γ, 30 a u z u, og v det midste aturlige tal skarpt større ed u så +y β ++δv av z 3 Vi har så u < v w og fra 39, så må v for z Vi vil derfor vurdere på Z v istedet Lad r, s N så v r w og u s < v Så er a r > z r > 2 r, 32 Side 47

52 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER og +y s a s < z β ++δ Fra defiitioe af u og da { } er e voksede følge så må u a u u z u2 < z v2 Samlet får vi så, at Altså må +y v z β ++δ > z +y β ++δ v +y +y ++δ β β +δ z +y z +y β +δ v v u+ +y β ++δ v u+ +y β +δ v v v < z +y u+ +y β +δ u β +δ v 0 +y β ++δ +y z +y β +δ β ++δ β +δ +y z β +δv2 For at få e vurderig på v b så ser vi, at β + y +y β Altså må fides et reelt tal ζ, så +y β +δ +y v+v +y β +δ β ++δ 2 33 β < ζ < < + y +y β + δ + y +y β + δ 34 Fra 32 ka vi u bruge Lemma 35 samme med 34 og 3 så for store ok v får vi, at w b v 2logΓ 2 av av β av ζ z ζ +y v β ++δ Fra Lemma 33 og 30 w+ b a γ w+ a γ w < +y w z β ++δ Side 48

53 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Når vi samler de to summer så får vi, at b v < z ζ +y v + β ++δ +y w z β ++δ For de sidste vurderig så får vi fra 33, at 2 log+α/2 2 v a < 2 +y v+v +y β +δ β ++δ 2 2 z ζ +y β ++δ v 35 +α/2 +α/2 log 2 z +y v+α/2 < z β ++δ 36 Fra vores tre vurderiger 35, 33 og 36 får vi så, at < Z v v b v +y 2 log+α/2 2 v a +y +y v++yv 2 +y z ζ +y v z β +δ β ++δ 2 +y v+α/2 z β ++δ β ++δ +yv + 2 +y v+α/2 β ++δ ζ +y +y v +y 2z β +δ β ++δ Da vi fra 34 ved, at ζ +y > 0 og at +y ζ +y +y β +δ +y β +δ β ++δ v vokser hurtigere ed + yv 2 + +y β + + δ v+α/2 for tilstrækkeligt store v, så må vi for alle tilstrækkeligt store z have, at Z v < Sætige er altså gældede uder atagelse af eksistese af et δ som opfylder 39 Atag u at et sådat δ ikke fides, eller med adre ord atag at for ethvert reelt tal δ > 0, så er < 2 +y β ++δ 37 for alle tilstrækkeligt store Vi vil u kigge på to tilfælde Ete er der edeligt eller uedeligt mage som opfylder, at < 2 38 Vi starter med at atage, at der ku er edeligt mage, der opfylder ulighed 38 For tilstrækkeligt store så må 37 være opfyldt Altså ka Side 49

54 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER vi bruge Lemma 34 til at få e vurderig på summe i Z N For at få e vurderig på N +y så ser vi først, at Lemma 5 og 38 giver os, at N +y β a + +y N > + N 2 max a β + N for uedeligt mage N Altså for uedeligt mage N må N +y β + a N > + N 2 max a N N +y β + > + N 2 max a N Altså får vi, at +y β + +y β + +y β N +y β + N +y + N 2 β +y β + N N +y i i0 β + N +y < a β N + β +y N 39 N 2 β + for uedeligt mage N Bemærk at oveståede også giver os, at N for uedeligt mage N Lad u δ > 0 så < a N y 3+α/4 β + + δ < + y + 32 β Edeligt har vi u fra Lemma 34, 39, 320 og 37, at Z N N b N +y 2 log+α/2 2 N a 2logΓ 2 a N a β N a β N + N 2 β +y N 2 log +α/2 2 a N β + Side 50

55 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER 2logΓ 2 a N + 2 log+α/2 2 a N + β +y N N 2 β + 2 log3+α/ y β ++δn + β +y N N 2 β + 2 log3+α/4 2 a N + β +y N N 2 β + 2 +y β ++δn3+α/4 + β +y N N 2 β + 2 +y β ++δn3+α/4 β +y β +N log 2 +/N 2 Fra 32 så må Z N < for uedeligt mage N Edeligt ka vi atage, at der er uedeligt mage som opfylder 38 Lad C være et tilstrækkeligt stort positivt reelt tal og k det midste aturlige tal således at +y ak > C β + k Fra 38 så fides der uedeligt mage aturlige tal som opfylder oveståede ulighed Det ses, at +y k a k > C β + +y k 2 β + log2 C 322 Lad så s være det største aturlige tal så s < k og a s < 2 s 323 Da vi har ataget, at 38 er opfyldt for uedeligt mage, så får vi, at s for A Lad så t være det midste aturlige tal hvor t > s og t opfylder, at a +y β + > + 2 i +y max a β + i i 324 Fra Lemma 5 får vi, at der er uedeligt mage sådae t Vi får u fra 323 for alle m hvor s < m < t, at a m +y β + m + m 2 max a sim i +y β + i m is+ + i 2 a s +y β + s i2 + s s +y i 2 2 β + Side 5

56 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Altså er sih π s s π 2 +y β + 4 a m 2 2 +y β + m 325 Sammeholdt med 322 så må t k Da t er valgt så t > s, så må t for A Vi vil altså vurdere Z t < for uedeligt mage t i stedet for Fra defiitioe af s så ka vi bruge Lemma 35 på tallee t,, k og Lemma 33, så t b k Fra 324 og 323 så må > Altså må a t > t b + k t +y β + + t 2 t +y β + + t 2 b max a sit 2logΓ max a sit 2 at a β t i +y β + i i +y β + t +y β + t +y β + t 2 s t +y β + t +y + t 2 t +y β + t +y + t 2 i + a γ 326 k +y β + t +y t +y β s β + β s β s +y β +y 2 s β t +y β + t +y β + t 2 2 +y β s2 t +y β + t +y β + t 2 2 +y β t2 t +y < a β t 2 +yt2 + β +y t 327 t 2 β + Side 52

57 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER For at vurderer på det sidste led i Z t så får vi fra 323 og 325, at t s 2 2 s2 2 +y t t β + +y β t +y β 2 + +y < 2 β s+ +y s β + s+ +y β 2 2 t 2 s +y s y β + t β + +y +s 2 2 +y s β + β 2 2 β +y t +y β + +y t 2 β Lad ige δ > 0 så 32 er opfyldt Fra 326, 327, 328, 37, 322, og da Γ fra Lemma 34 ka vælges så Γ 2+α 3, så får vi, at 2logΓ 2 at a β 2logΓ a β t Z t t b t +y t+α/2 t 2 β + 2 +yt2 + β +y t 2 t +y β 2 ++δ +y t+α/2 β + 2 +yt2 2 β +y β + t log2 + +y β ++δ Γt+ +y +y 2 log+α/2 2 t a β + t + 2 t y β + t+α/2 2 +y +y β + t a γ k +y β + t+α/2 2 +y +y β + t 2 γ +y β + k log2 A t+α/2++yt β + 2 β +y t β + log2 + t 2 +y t+α/2++y +2 β + +y t γ β + +y k β + log2 A 2 +y β ++δ t3+α/4 β +y β + t log2 + t y +y β + t γ +y β + k log2 A Fra 32 og da t k så må Z t < for uedeligt mage t Lemma 37 Lad { }, {b } og {b i,} være følger som opfylder alle atagelser i Lemma 36 For ehver følge {c } af aturlige tal så fides uedeligt mage løsiger p,, p L, q til ulighede b L i p ix i c q <, q log 2 2 q2 L log+2α/3 2 q q y Side 53

58 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER hvor p,, p L Z, q N og for i L p i O 2 log+2α/3 2 q q y i Bevis Da {c } ikke er ataget at være voksede, så lad φ : N N være e bijektio, så følge {A } {a φc φ } er voksede Lad desude {B } {b φ} og {B i,} {b i,φ} Da A for alle, så må de ye følger {A }, {B } og {B i,} også opfylde alle atagelser i Lemma 36 Lad så q N N Fra Lemma 36 får vi så, at N N A og p i,n q N B A q +y 2log+α/2 N 2 q N < B i, A 329 for uedeligt mage N Så for tilstrækkeligt store N så må ulighede B q +y log+2α/3 N 2L 2 q N log 2 2 q N < 330 N A også gælde for uedeligt mage N Da vi fra Lemma 33 ved at a γ, så må b a N være absolut koverget Altså er b c b φ a φ c φ N b B A 33 Vi får u fra 33, 329, 33 og 330 at for uedeligt mage N, så er b L i p i,nx i c L B i q N B i, N A q N N B L i B i,x i A A N B A < q +y N 2L log+2α/3 2 q N log 2 2 q N q N B A A x i N q N log 2 2 q N 2 L log+2α/3 2 q N q y N B A Side 54

59 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Altså har vi vist første del af sætige Fra 32 så må gælde for i L og tilstrækkeligt store, at Fra oveståede og 329 får vi, at p i,n q N N B i, A B i, 2 logα 2 A A y i 332 N B i, A N D 2 logα 2 A A y i A N D 2 logα 2 A A y i, 333 hvor D er e positiv reel kostat som kommer fra de edeligt mage er som ikke opfylder 332 Vi kigger u på to tilfælde Atag at y i > så fra 35 så har vi, at N 2 A yi N 2! +εyi > N, for tilstrækkeligt store N Oveståede, at {A } giver os, at er voksede og 329 N 2 logα 2 A A y i N2 logα 2 A N A y i N 2logα 2 q N q y i N < 2 log+2α/3 2 q N q y i N 334 For adet tilfælde så atag at y i Fra 329 så må N 2 logα 2 A A y i N2 logα 2 A N < 2 2 logα 2 A N N 2! 2 2 logα 2 q N < 2 log+2α/3 2 q N q y i N 335 for tilstrækkeligt store N Så får vi samlet fra 333, 334 og 335, at p i,n O2 log+2α/3 2 q N q y i N Side 55

60 3 ET GENERELT RESULTAT FOR LEBESGUEMÅLET AF UDTRYKKELIGE MÆNGDER Lemma 38 Lad g,, g L være voksede fuktioer, så g i : N R + for i L, og lad x,, x L R Lad S være mægde af alle s R så ulighede L s i p ix i q < q log 2 2 q L i g iq har uedeligt mage løsiger p,, p L, q, hvor p,, p L Z, q N og 336 p i O g i q 337 for i L Så er λs 0, hvor λ er Lebesguemålet Bevis Ulighed 336 medfører, at L i s p ix i q L q log 2 2 q L i g iq, i p ix i + q q log 2 2 q L i g iq Lad I p,,p L,q betege oveståede iterval, så får vi fra 337, at der må fides et E R +, så for ehver løsig p,, p L, q til 336 så er Lad u Så må Fra 338 så må I q q2 I q [Eg q] p [Eg q] p i [Eg i q] [Eg L q] p L [Eg L q] L i λi q 2 2E + g iq q log 2 2 q L i g iq q2 { a R : Altså får vi fra defiitioe af S, at I p,,p L,q E + L q log q L a i p ix i q < q log 2 2 q L i g iq S I q 2 q } Side 56

61 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER Sammeholdt med 339 så må q λs lim q λi q E lim q q log 2 2 q, hvor E er e positiv reel kostat Lad u log 2 x Så er du dx x log 2, og vi får, at q log 2 2 q dx x log 2 2 x log 2 log 2 du log 2 u2 log 2 Altså må λs 0 Vi er u edeligt klar til at bevise Sætig 3 Bevis for Sætig 3 Lad y L i y i Så er 3 og 38 det samme, og q log 2 2 q2 L log+2α/3 2 q q y q log 2 2 q L i 2log+2α/3 2 q q y i Vi ka altså bruge Lemma 37 til at se, at de udtrykkelige mægde, E A, for følge A { a b } er e delmægde af S fra Lemma 38, hvor g i 2 log+2α/3 2 q q y i Altså må λe A λs 0 32 E forbedrig for følger der udgør e Catorrækker Vi skal i dette afsit se at Korollar 32 ka forbedres, hvis følgere daer e Catorrække Følgede sætig af Hačl og Šustek giver e betydeligt bedre betigelse ed 36 Sætig 39 Lad α og ε være reelle tal så 0 < α < og ε > 0 Lad {d } være e voksede følge af aturlige tal, så lim sup d 3 >, 340 d d + 34 Side 57

62 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER og for tilstrækkeligt store så er d +ε Lad { } være e følge af aturlige tal så d for alle 342 Lad {b } være e følge af heltal så og så b 0 for alle N, b 2 logα 2 a, for tilstrækkeligt store Så er λe A 0, hvor A { a b } Det ses at betigelse 34 gør, at vi ka bruge sætige på følger der udgøre e Catorrække De ka dog også bruges på adre følger, da det ikke er ødvedigt at + Beviset følger præcis samme idé som beviset for Sætig 3, og er ige delt op i midre lemmaer Bemærkig 30 Vi skal i beviset for Sætig 39 bruge Lemma 33 og 34 Det ses at ikke alle atagelsere i Sætig 3 er ødvedige for, at bevise disse lemmaer Atagelse 3 er ikke ødvedig, og derfor ka lemmaere også bruges uder atagelse af, at alle betigelsere i Sætig 39 er opfyldt Lemma 3 Lad { }, {b } og {d } opfylde atagelsere i Sætig 39, og lad {c } være e følge af aturlige tal Lad φ : N N være e bijektio, så følge {A } {a φc φ } er voksede, og lad {B } {b φ} Lad og atag at G lim if log 2 A /3 Så fides der uedeligt mage N så og Y N N B A og H lim sup log 2 A /3, 343 G H < 344 A N 2 N mfma,, A N 2 log 2 2mfmA,, A N < Side 58

63 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER Bevis Fra 343 og 344 så må der fides et tilstrækkeligt lille δ så for alle tilstrækkeligt store, så er Altså må N 2 N A C 2 H δ3 < A < 2 H+δ H+δ3 C 2 2H+δ3N /2 C 2 H+δ3N, 346 hvor C er e positiv kostat som ikke afhæger af N Vi får så e dårlig me tilstrækkeligt vurderig, hvor log 2 2mfmA,, A N log 2 2 N A log 2 2 N A 2 log N 4 N 2 2 4N 347 Lad u D lim sup log 2 d 3 Fra 340, 343 og 344 så må 0 < D H < Altså for tilstrækkeligt store N så må d N 2 > 2 D δ3n Da φ er ijektiv, så må der fides k, l N så k, l N og φk, φl N 2 Atag ude tab af geerelitet at φl > φk Så får vi fra 342, 34 og 348, at sfda k, A l sfda φk c φk, a φl c φl sfda φk, a φl sfdd φk, d φl d φk d N 2 > 2 D δ3n 2 Vi får u, at N A mfma, A N sfda A N 2,, A 2 A N sfda k, A l > 2 D δ3n 2 Altså får vi sammeholdt med 346, at N A 2 > 2 2D δ3n 2 mfma, A N Side 59

64 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER mfma, A N 2 N 2 < A 2 2D δ3n 2 mfma, A N 2 < C 2 H+δ3N 349 2D δ3n 2 2 Det ses fra defiitioe af {A } og {B }, at følgere opfylder 39 Altså må de for β 0 opfylde 34, og da 37 følger fra 345 så ka vi bruge Lemma 34 Lemma 34 og 345 giver os så, at N B A 2logΓ 2 A N A N 2logΓ 2 2H δ3n 2H δγ3γn H δ3n H δ3n 2 Vi får u edeligt fra 350, 349 og 347 at for et tilstrækkeligt lille δ og for uedeligt mage N, så er Y N B mfma,, A N 2 log 2 2mfmA,, A N da Γ < N A 2 H δ Γ 3 ΓN C 2 H+δ3N < 2 H δ3n 2 2D δ3n 2 2 4N C 2 H δγ 3 ΓN +2δ3 N 2D δ3 N 2 +4N H δ C 2 Γ 3 Γ N +2δ 2/9D δ 3 N +4N <, Lemma 32 Lad { }, {b }, {c } {d }, {A }, {B }, G og H opfylde atagelsere i Lemma 3, me hvor G < H < istedet for 344 Så fides der uedeligt mage N, så Z N N N B A A 2 log 2 2 N A < Bevis Beviset vil blive delt op i to tilfælde Fælles for begge tilfælde har vi dog først fra 340 og 343, at 0 < H og for tilstrækkeligt store så må Dette giver os for tilstrækkeligt store N, at log 2 2 N A < log 2 2 A < 2 2H3 35 N C 2 2 2H3 < log 2 2 C 2 2 H3N Side 60

65 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER < log N 2 4N, 352 hvor C 2 er e kostat som ikke afhæger af N Atag u at for tilstrækkeligt store så er 37 opfyldt, og lad δ R + være tilstrækkeligt lille Vi skal u defierer e række forskellige tal Lad først r N være tilstrækkeligt stort, så for alle r er A < 2 H+δ3 353 Lad s være det midste aturlige tal så s > 3 r og Lad k være det midste aturlige tal så k > s og Lad t være det midste aturlige tal så t > s og A /3t t > + t 2 A s < 2 G+δ3s 354 A k > 2 H δ3k 355 max sit {A /3i i, 2 H 2δ} 356 Vi vil u vise at t k Atag for modstrid at dette ikke er tilfældet Så får vi fra 355 og 354, at 2 H δ < A /3k k + k {A /3i 2 i, 2 H 2δ} + k 2 + k 2 k is+ max sik max sik 2 + i 2 2 H 2δ, {A /3i i, 2 H 2δ} hvilket ikke gælder for tilstrækkeligt store r Altså må t k Da der fra 343 fides uedeligt mage k og s så fides der også uedeligt mage t Fra 356, 354, 353 og 35 får vi så, at > A t > + t 3 t 2 + t 2 3 t t max sit max sit 3t {A /3i i, 2 H 2δ} 2 3 {A /3i i, 2 H 2δ} Side 6

66 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER + t 2 3 t t + t 2 3 t t + t 2 3 t t + t 2 3 t t + t 2 3 t t A 2 2 2H 2δ3s 2 2G+δ3s s+ A 2 s s A 2 s r 2 2H 2δ3 2 H 2δ3 2 A 2 H 2δ3 2 H+δ3 2 s A 2 2H G 3δ3s 2 s A + t 2 3 t t r s 2 4H G 3δ3 + t 2 3 t t > + t 2 3 t t > 2 r A 2 r A C 3 + t 2 3 t t + t 2 3 t t 2 r r 2 6δ3 r A 2 2 H 2δ3 2 A A r 2 6δ3 2 4H3 A 2 C 3 2 2H3r A 2 2 3H3r A 2 2 3Ht, hvor C 3 R + ikke afhæger af r Vi får fra oveståede, at t A 2 < 2 A 2 23Ht A t t 2 3t Da vi har ataget at {A } opflyder 37 for tilstrækkeligt store, så ka vi som i beviset for Lemma 3 bruge Lemma 34 Vi får så fra Lemma 34, 357, 352 og 353, at Z t t B t A A 2 log 2 2 t A Side 62

67 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER < 2logΓ 2 At A t 2 3Ht A t + 24t t 2 3t 2 H+δΓ 3 Γt +3Ht+4t 3 t log 2 + t 2 <, for uedeligt mage t da Γ < Altså er lemmaet opfyldt uder atagelse af 37 Atag u at 37 ikke er opfyldt Altså for uedeligt mage så er A < 2 Fra 343 så må G 0 Lad r N være tilstrækkeligt stort Lad k være det midste aturlige tal så k > r og Lad s være det største aturlige tal så s < k og A k > 2 H 2 3k 358 A s < 2 s 359 Lad t være det midste aturlige tal så t > s og A /3t t > + t 2 max sit A/3i i 360 Vi vil u vise at t k Atag for modstrid at dette ikke er tilfældet Så får vi fra 358, 360 og 359, at < 2 H /3 2 < A k k + k 2 k s+ + k 2 + k As /3s k max sik A/3i i max sik 2 A/3i i s s/3s, for s Vi har altså opået modstrid for tilstrækkeligt store s Altså må der fides et t så s < t k Det ses altså, at der er uedeligt mage t for r Vi ka derfor vurderer på Z t Til det formål ser vi fra 360 og 359, at + t 3 t 3 t 2 A t > max sit A/3i i Side 63

68 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER > + t 3 t 2 > max sit A/3i i + t 2 3 t t + t 2 3 t t + t 2 3 t t > + t 2 3 t t s 2 t s 3 A 2 2 s A A 2 s A 2 2 s 2 A 2 2 2s2 Vi ser fra 360 og 359, at for u s +,, t så er + u 2 A /3u u u < s+ s+ max siu A/3i i + 2 A /3s s + 2 A /3s s 2 Ts, hvor det ses, at T s 0 år s Altså får vi fra oveståede og 359, at t A 2 s 2 t A s A 2 < s 2 t 2 s s 2 Ts3 2 < 2 2s2 +T s3 t 36 Fra defiitioe af s så ka vi bruge Lemma 35 for t,, k Vi får så fra Lemma 33 og Lemma 35, at t B A k t B A + k B A 2logΓ A t 2 At + A γ 362 k Side 64

69 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER Vi får u edeligt fra 362, 36, 352, 35, 360 og 358, at Z t t B t A A 2 log 2 2 t A t 22 2 logγ 2 At A 4t A t s2+Ts3t+4t A γ k 2 4t+2H3t Γ t A 3 t + t s2 +T s3t +4t t 2 A 2s 2 2 H 2 3k γ 2 4t+2H3t Γ 3 t log 2 + t 2 +2s s2 +T s3 t +4t H 2 3k γ 2 2HΓ 3 Γ log 2 + t 2 3t +2s 2 +4t + 2 2s2 +T s3 t +4t H 2 3kγ <, for uedeligt mage tilstrækkeligt store t da T s 0, t k og γ > 0 Lemma 33 Lad { }, {b }, {c } {d }, {A }, {B }, G og H opfylde atagelsere i Lemma 3, me hvor G < H istedet for 344 Så fides der uedeligt mage N så Z N < Bevis Da log 2 2 N A N < 2 log+α/2 2 A for tilstrækkeligt store N, hvor 0 < α < så følger lemmaet fra Lemma 36 opfylde atagel- Lemma 34 Lad { }, {b }, {c } og {d } sere i Lemma 3 Så har ulighede b p c q < q 2 log 2 2 q 363 uedeligt mage løsiger p q Q Bevis Lad {A }, {B } og {c } være som i Lemma 3, og G og H opfylde 343 Beviset deles i to dele Atag at 344 er opfyldt og lad N q N mfma,, A N og p N q N B A Side 65

70 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER Bemærk at q N N og p N Z Fra Lemma 3 fides der uedeligt mage N, så Y N N B A mfma,, A N 2 log 2 2mfmA,, A N N B A qn 2 log 2 2 q N < Desude ved vi fra Lemma 33, at summe Vi får så, at N B A b p N c q N b φ p N a φ c φ q N N B A B A B A N N B A er absolut koverget < qn log2 2 q N Altså fides der uedeligt mage løsiger til ulighed 363 Atag u istedet at G < H og lad q N N N A og p N q N B A Ige bemærkes det at q N N og p N Z Vi får så fra Lemma 32 og 33, at Z N B N 2 N log 2 2 Altså må N A N N B A B A qn 2 log 2 2 q N < < qn 2 log2 2 q N Det følger fra 364 at der fides uedeligt mage løsiger til ulighed 363 Side 66

71 32 EN FORBEDRING FOR FØLGER DER UDGØR EN CANTORRÆKKER Lemma 35 Lad S være mægde af alle a R hvor ulighede a p q < q 2 log 2 2 q Q Så er λs 0, hvor λ er Lebesgu- har uedeligt mage løsiger p q emålet Bevis Beviset følger direkte at Lemma 38 med L, x og g q q Bevis for Sætig 39 Vi får fra Lemma 34, at { } b E A : c N S, c hvor S er de mægde som er beskrevet i Lemma 35 Lemma 35 giver os så, at λe A 0 Korollar 36 Lad N N \ {} og A {N 3 } Så er A irratioal og λe A 0 Bevis Korollaret følger fra Sætig 3 og 39, hvor d N 3 b og Side 67

72 Kapitel 4 Rækker af algebraiske tal Vi har igeem dee afhadlig har alle sætiger om irratioalitet af rækker ku omhadlet rækker af ratioale tal Vi vil i dette kapitel udvide til rækker af reelle tal, dog med ogle adre restriktioer É af de restriktioer som er geemgåede, er at alle tal i række skal være algebraiske 4 Algebraiske tal og brugbare egeskaber Defiitio 4 Lad P x være et polyomium med komplekse koefficieter så P x x + x + + a 0 i x α i Mahler målet af P er MP i max{, α i }, og lad højde af P, HP, være defieret så HP MP / degp Bemærkig 42 Højdefuktioe vi bruger er Weil-højde De formelle defiitio af dee er H k α ν M k max{, α ν } dν, Hvor k er et tallegme som ideholder α, M k er mægde af ormaliserede absolutværdier, og d ν er de lokale grad Ma ka vise at H k α /[k:q] ikke afhæger af valget at tallegmet k, hvilket er de egeskab vi bruger ved vores defiitio Yderligere teori ka fides i [2] Vi skal i følgede afsit bruge forskellige egeskaber ved algebraiske tal Læsere mides om, at et komplekst tal α er algebraisk, hvis der eksisterer Side 68

73 4 ALGEBRAISKE TAL OG BRUGBARE EGENSKABER et polyomium, P x med heltals koefficieter så P α 0 og P x 0 Hvis P x har lavest grad af alle sådae polyomier, så kaldes P x miimalpolyomiet for α Desude så er grade, højde og Mahlermålet af α defieret ud fra miimalpolyomiet P x for α, så degα degp, Hα HP, Mα MP Korollar 43 Lad x Q Så er x algebraisk med grad Bevis Lad x 0 p q Q, og lad P x qx p Så er P x 0 0 Korollar 44 Lad α 0 være algebraisk med miimalpolyomium P x x + x + + a 0 Så er α algebraisk med miimalpolyomium Bevis Dette ses tydeligt da Q α Qx a 0 x + a x + + P α α 0 Desude giver oveståede udregig, at Qx må være miimalpolyomiet for α ellers ville P x ikke være miimalpolyomiet for α Lemma 45 Lad α 0 være et algebraisk tal Så er Hα H α Bevis Lad α have miimalpolyomium P x x + x + + a 0 Fra Korollar 44 så må Mα max{, α i } i α i > α i, Side 69

74 4 ALGEBRAISKE TAL OG BRUGBARE EGENSKABER og Det ses u, at { } M a 0 max, α a 0 a 0 i α i α i a 0 i α i < α i > α i α i α j < α i > α i < α j α i Lemmaet følger fra forholdet mellem Mahlermål og højde Defiitio 46 Lad P x i x α i og Qx b m j x β j være heltalspolyomier Så er resultate, ResP, Q, af P x og Qx defieret, så m ResP, Q a m b m α i β j i j Resultate er et heltal og er ul hvis og ku hvis P og Q har fælles rødder Lemma 47 Lad α,, α være algebraiske tal Så er deg α i i degα i Bevis Lad α i have miimalpolyomium P i x a i di j x α i,j, hvor α i α i, Fra defiitioe af resultate og fudametalsætige for symetriske fuktioer ses det, at Qx a d 2 d a d d d i i d j α i x α,i α,j er et heltalspolyomium, hvor α + + α er rod Da degq d d i degα i så følger sætige Lemma 48 Lad α,, α være algebraiske tal Så er H α i 2 i Hα i Side 70

75 4 ALGEBRAISKE TAL OG BRUGBARE EGENSKABER Bevis Lad α i have miimalpolyomium P i x a i di j x α i,j, hvor α i α i, og lad Qx a d 2 d a d d d i d j x α,i α,j, som er et heltalspolyomium med rod i α + + α Vi ser så, at H α Mα + α α /d d i a d d 2 d d d i d j a d d 2 d d d /d d max{ α,i + + α,j, } i d j /d d max{ α,j, } d d2 d 2 max{ α,i, } d j i 2 max{ α,i, } d d /d d max{ α,j, } 2 Mα d 2 d Mα d d /d d 2 i Hα i Lemma 49 Lad α og β være ikke kojugerede algebraiske tal Så er α β 2 degα degβ Mα degβ Mβ degα Bevis Lad α og β have miimalpolyomier heholdsvis P x i x α i og Qx b m m j x β j og lad α α og β β Så er ResP, Q am b m i j m α i β j Side 7

76 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING α β m b m α β m b m α β m b m α β m b m i i j i,j, i j i,j, i j i j m α i β j m α i + β j m max{, α i + β j } m 2 max{, α i } max{, β j } m m α β 2 m max{, α i } b m Lemmaet følger af oveståede α β 2 m Mα m Mβ j 42 Hovedsætig og evetuel forskig max{, β j } I dette afsit vil vi præsetere beviser og overvejlser fra Simo Kristese samt udertegedes fælles forskigsprojekt se [2] Projektet er stadig udervejs, og derfor vil meget af det, der præseteres være forløbigt arbejde Til at starte med vil vi se på følgede sætig, som er e geeraliserig af et resultat af Hačl og Nair se [3] Sætig 40 Lad d 2 være et aturligt tal, og { } være e voksede følge af aturlige tal så og lad ε > 0 så lim sup for alle tilstrækkeligt store Så er irratioal a / i di +d, 4 d+ε a /d Side 72

77 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING Bevis Atag for modstrid at der fides p q Q+ så γ a /d p q Lad desude γ N N a /d Fra Korollar 43 så må Mγ max{p, q} og da deg får vi fra Lemma 47 og 42, at degγ N N Fra oveståede, 42 og Lemma 48 får vi så, at Mγ N Hγ N degγ N Hγ N dn 2 N N /d d N M a /d 42 a /d dega /d d deg a /d d N 43 2 N N 2 N N d N H a /d d N a /d 44 Lad γn γ γ N Fra Lemma 49, 43 og 44 får vi så, at γn 2 degγ degγ N Mγ degγ N Mγ N degγ 2 dn max{p, q} dn Mγ N Altså får vi, at max{p, q}2 N+ N a/d dn γn max{p, q}2 N+ N d N a /d 45 Som flere af bevisere i dee afhadlig så deles beviset u op i tre dele Atag først, at lim sup a / i d+i +d+ Side 73

78 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING Fra Lemma 5 så må a / N i d+i +d+ N+ + N 2 max N a/ i d+i +d+ for uedeligt mage N Desude da log + N 2 + N 2 2N 2 2N 4 og N d + + d + 2N 2 2N 4 > log2d + N, så får vi for uedeligt mage N, at a N+ + N 2 max > 2 d+n max 2 d+n max 2a N N a/ i d+i +d+ N i d+i +d+ N N a/ i d+i +d+ i d+i +d+ N a/ i d+i +d+ d+ N +d+ N i d+i +d+ max N a/ i d+i +d+ max N a/ i d+i +d+ d+ N N i d+i +d+ d+ N 2a N a N d+n d+ N 2 N 2 i d+i +d+ d+ N 2 N d+ N 46 Lad N tilstrækkeligt stort og b a /d Fra Lemma 4 så må + /ε/d γn N+ a /d < a /d N+ a ε/d2 +dε N+ ε/d/+ε/d + d/ε Fra oveståede sammeholdt med 46 får vi så edeligt, at for uedeligt mage N så må γn max{p, q}2 N+ N d N a /d Side 74

79 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING + d/ε a ε/d2 +dε N+ max{p, q}2 N+ + d/ε 2 N d+n ε/d2 +dε Dette er i modstrid med 45 Vi ka fru af atage, at lim sup < N d N a /d max{p, q}2 N+ a / i d+i +d+ < Det medfører, at for tilstrækkeligt store så er N d N a /d < 2 d+2 47 Vi vil u kigge på to tilfælde Ete er der edeligt eller uedeligt mage som opflyder, at < 2 48 Vi starter med at atage, at der ku er edeligt mage der opfylder 48 Altså må 2 for alle tilstrækkeligt store Vi skal u bruge e ligede vurderig som i Lemma 4 Vi ser, at for alle tilstrækkeligt store N så er N+ a /d [log 2 a N+ ] N+ a /d + [log 2 a N+ ]+ a /d Vi har så, at første sum opfylder, at [log 2 a N+ ] N+ a /d log 2a N+ a /d N+ For ade sum får vi, at [log 2 a N+ ]+ a /d [log 2 a N+ ]+ 2 /d dx [log 2 a N+ ]+ 2 x/d d/ log2 2 [log 2 a N++]/d d/ log2 a /d 49 N+ Side 75

80 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING Vi får så samlet, at [log 2 a N+ ] N+ a /d + [log 2 a N+ ]+ a /d 2 log 2a N+ a /d 40 N+ Da + N + 2 log 2 d + dn 2 for tilstrækkeligt store N og fra 40 og 47 ser vi, at N+ a /d 2d + N+2 a /d N+ 2dN 2 a /d 4 N+ Da log + N N 2 d + d 2N 2 2N 4 N d + d > log2n 2 d N, får vi som i forrige del u fra 4 og Lemma 5, at for uedeligt mage N så er a N+ + N N 2 max N a/ i di i +d di +d > 2 N 2 d N max 2 N 2 d N max 2 N 2 max N N a/ i di +d i di +d N a/ i di +d d N +d N i di +d N N a/ i di +d i di +d+d N N i di +d d N 2 N 2 a N max N a/ i di +d Vi får så fra 4 og 42, at 2 N 2 N γn max{p, q}2 N+ d N N i di +d d N d N 42 N d N a /d Side 76

81 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING 2 dn 2 a /d N+ 2 dn 2 2 N 2 N dn max{p, q}2 N+ N max{p, q}2 N+ d N a /d N d N a /d 2 d N 2 N 2 +dn++log 2 max{p,q} N 2 d N <, for uedeligt mage N Dette er ige i modstrid med 45 Atag u at for uedeligt mage så holder 48 Lad B R + være tilstrækkelig stort Fra 4 så må fides uedeligt mage så 2 B i di +d Lad s N være det midste aturlige tal, der opfylder ulighede Lad desude k N være det største aturlige tal, så k opfylder 48 og k s Fra Lemma 5 så må der fides uedeligt mage, så > + 2 i max ki a/ j dj +d i j dj +d Lad r N være det midste aturlige tal, så r opfylder oveståede og r > k Det følger umiddelbart fra defiitioe af r, at for k + t r så må a t + t 2 i max kit a/ j dj +d i t j dj +d 43 Atag at s < r Vi får så fra 48, defiitioe af s, 43 og defiitioe af k, at 2 B a / s i di +d s + s 2 max ks a/ i di +d i s jk+ + j 2 < 2 + j 2 j a / k i di +d k 2 sihπ, π hvilket ikke gælder for tilstrækkeligt store B Altså må r s Da r d + d log + r 2 d 2 r r 2r 2 2r 4 Side 77

82 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING log2d 4r, for tilstrækkeligt store r, så får vi fra defiitioe af r, på samme måde som i 42, at a r > + r 2 2 d4r 2 d4r a r Vi får u fra 43, at a / t j dj +d t + i max kir a/ j dj +d i i r max kir a/ j dj +d j dj +d i i max kir a/ j dj +d i t 2 r j dj +d d r 2 r 2 j dj +d d r r d 2 d4r a i r i i t 2 max kit a/ i i j dj +d t 2 2 max kit 2 a/ i + i a / k j dj +d 2 k C i j dj +d Da a k opfylder 48, så er C e kostat som ikke afhæger af k Vi ser så, at r k r a i a i i i ik+ k a i i r 2 k ik+ i C j dj +d C d r 2 j dj +d 45 Lemma 4 sammeholdt med 49, 47, 44 og defiitioe af s giver os u, at r a /d [log 2 a r] r a /d + s [log 2 a r+] a /d + s a /d Side 78

83 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING log 2 a r a /d r log 2 a r a /d r + + d/ log2 a /d r [log 2 a r+] + a ε/d2 +d 2 ε s 2d + r2 < r d r /d + 2 d4r i a i < r d r d3r i a i + d/ε + 2/d a ε/d2 +dε s < 2 log 2 a r a /d r + a ε/d2 +d 2 ε s 2 ε/d2 +d 2 εb s i di +d 2 ε/d2 +d 2 εb s i di +d Edeligt får vi så fra oveståede og 45, at for tilstrækkeligt store B så må r d r γr maxp, q2 r a /d r a /d 2 d3r r maxp, q2 r r d r 2 + d r a /d 2 ε/d2 +d 2 εb s d +d r d r maxp, q2 r a /d maxp, q2r r a/d dr r d r 2 + maxp, q2r r 2 d3r maxp, q2r dr + maxp, r 2 q2r C 2 d3r a/d dr 2 ε/d2 +d 2 εb s d +d j dj +d dr 2 ε/d2 +d 2 εb s d +d < Dette er i modstrid med 45 Det følger at γ er irratioal Det ses, at beviset for Sætig 4 tager udgagspukt i, at fide et vækstkriterie, der ka give modstrid med 45 Vi vil som afslutig give ogle adre mulige uligheder at fide vækstkriterier til De umiddelbare Side 79

84 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING udviklig er, at lade γ være et algebraisk tal af grad D Vi får så istedet for 45 at γn Altså får vi, at 2 degγ degγ N Mγ degγ N Mγ N degγ 2 DdN Mγ dn Mγ N D Mγ2 N+D N ad/d dn Hγ2 N+ N γn Hγ2 N+ N Dd N a /d a/d DdN E ade umiddelbar forbedrig vi ka lave, er at lade d N N deg Det ses åbelyst, at d N d N Vi får så, at γn Hγ2 N+ N DdN a /d For at kue vurdere på mere geerelle følger skal vi u bruge følgede lemma Lemma 4 Lad α være et algebraisk heltal med miimalpolyomium P x i x α i, og lad α max i { α i } Så er, Bevis Det ses, at Hα Mα / α Mα Hα α max{, α i } i α α i Da Mα i max{, α i } så følger lemmaet Med Lemma 4 ka vi i stedet for at atage, at { } er e voksede følge af aturlige tal, atage at { } er e voksede følge af algebraiske heltal Vi får så, at Mγ N Hγ N degγ N Hγ N d N 2 N N H dn 2 N N 2 N N dn dn H Side 80

85 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING Som ulighed til modstrid får vi så, at og γn 2 degγ degγ N Mγ degγ N Mγ N degγ 2 DdN Mγ dn Mγ N D Mγ2 N+D N H D dn Hγ2 N+ N, DdN γn Hγ2 N+ N Dd N Det bemærkes, at da vi i ulighede har, så er vi ikke lægere begræset af, at følge { } er følge af reelle tal Oveståede ulighed er worst case Vi ka få e meget bedre ulighed, hvis vi begræser os til e specifik slags algebraiske tal Defiitio 42 Lad α > være et reelt algebraisk heltal Hvis alle adre rødder i miimalpolyomiet for α har absolutværdi midre ed, så kaldes α et Pisottal Hvis alle adre rødder i miimalpolyomiet for α har absolutværdi midre ed og midst e rod har absolutværdi præcis, så kaldes α et Salemtal Vi lader u { } være e voksede følge af Pisot- og Salemtal Det er klart fra Defiitio 42, at Vi får så, at Mγ N 2 N N Vi får så ulighede γn 2 N N H dn / deg dn 2 N N 2 N N M / dega dn a / dega dn 2 degγ degγ N Mγ degγ N Mγ N degγ 2 DdN Mγ dn Mγ N D Mγ2 N+D N Hγ2 N+ N dega a/, DdN dega ad/ dn Side 8

86 42 HOVEDSÆTNING OG EVENTUEL FORSKNING og γn Hγ2 N+ N a Dd N / dega Arbejdet ligger u i at fide vækstbetigelser, der ka modstride oveståede uligheder, som i beviset for Sætig 40 Dette er stadig igagværede arbejde Side 82

87 Litteratur [] Simo Bruo Aderse, Roths Sætig, Bachelor projekt, Aarhus Uiversitet, 206 [2] Simo Bruo Aderse og Simo Kristese, Arithmetic properties of series of reciprocals of real algebraic itegers, Istitut for matematik, Aarhus Uiversitet, 208 [3] Yuriǐ Aleksadrovich Brychkov, Aatoliĭ Platoovich Prudikov og Oleg Igorevich Marichev Itegrals ad series Volume Elemetary Fuctios, USSR Academy of Scieces Moscow, Overseas Publishers Associatio, 986 [4] Ya Bugeaud, Approximatio by algebraic umbers, Cambridge Uiversity Press, 2004 [5] George Cator, Über die eifache Zahlesysteme, Zeitschrift für Mathematik ud Physik, Volume 4, 869, Side 2-28 [6] Palaheedi Hewage Diaada og Alexader Oppeheim, Criteria for irratioality of certai classes of umbers II, The America Mathematical Mothly, Volume 62, Number 4, 955, Side [7] Paul Erdős, Some problems ad results o the irratioality of the sum of ifiite series, Joural of Mathematical Scieces, Volume 0, 975, Side -7 [8] Jáos Galambos, Represetatios of Real Numbers by Ifiite Series, Spriger-Verlag, Berli - Heidelberg - New York, 976 [9] Jaroslav Hačl, Expressio of real umbers with the help of ifiite series, Acta Arithmetica, Volume 59, Issue 2, 99, Side [0] Jaroslav Hačl, Trascedetal Sequeces, Mathematica Slovaca, Volume 46, Number 2-3, 996, Side Side 83

88 LITTERATUR [] Jaroslav Hačl, A ote o a paper of Oppeheim ad Šalát coserig series of Cator type, Acta Mathematica et Iformatica Uiversitatis Ostraviesis, Volume 0, Number, 2002, Side 35-4 [2] Jaroslav Hačl, Odřej Kolouch, Simoa Pulcerová og Ja Štěpička, A ote o the trascedece of ifiite products, Czechoslovak Mathematical Joural, Volume 62, Issue 37, 202, Side [3] Jaroslav Hačl og Radhakrisha Nair, O the irratioality of ifiite series of reciprocals of square roots, Rocky Moutai Joural of Mathematics, Volume 47, Number 5, 207, Side [4] Jaroslav Hačl, Radhakrisha Nair og Ja Šustek, O the Lebesgue measure of the expressible set of certai sequeces, Idagatioes Mathematicae, Volume 7, Issue 4, 2006, Side [5] Jaroslav Hačl, Radhakrisha Nair, Lukáš Novotý og Ja Šustek, O the Hausdorff dimesio of the expressible set of certai sequeces, Acta Arithmetica, Volume 55, Issue, 202, Side [6] Jaroslav Hačl, Adrzej Schizel og Ja Šustek, O expressible sets of geometric sequeces, Fuctioes et Approximatio Commetarii Mathematici, Volume 39, Number, 2008, Side 7-95 [7] Jaroslav Hačl og Ja Šustek, Sequeces of Cator type ad their expressibility, Mathematica Slovaca, Volume 67, Number, 207, Side 4-50 [8] Klaus Friedrich Roth, Ratioal approximatios to algebraic umbers, Mathematika, Number 2, 955, Side [9] Joseph Liouville, Nouvelle démostratio d u théorème sur les irratioelles algébriques, iséré das le Compte redu de la derière séace, Comptes redus de l Académie des Scieces, Number, 844, Side 90-9 [20] Alexader Oppeheim, Criteria for irratioality of certai classes of umbers, The America Mathematical Mothly, Volume 6, Number 4, 954, Side [2] Michel Waldschmidt, Diophatie Approximatio o Liear Algebraic Groups: Trascedece Properties of the Expoetial Fuctio i Several Variables, Spriger Sciece & Busiess Media, 2000 Side 84