- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
|
|
- Julius Asmussen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio... De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio... 3 Rige og legemer Fra rig til legeme: Regig med restklasser... Modulus-fuktioe... Additio og multiplikatio af restklasser... 5 Restklasserige, hvor er et aturligt tal... 8 Restklasselegemet p, hvor p er et primtal Fra legeme til rig: Regig med polyomier... Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme... Restklasser md polyomier... 3 CASE : Irratioale tallegemer... CASE : - (De komplekse tal)... 7 é ë û Galois-legemere GF p... 0 Irreducible polyomier over... 0 é ë û Regig med bytes: GF... é ë û 8 Regig med words: GF... é ë û Regig i Galoislegemere GF... 8 Stadardrepræsetatioere af Galoislegemer over Projektet sigter mod at give de ødvedige baggrud for at forstå strukture af Galois-legemere baseret på -bit-koder og 8-bit-koder, der ligger til grud for de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. Først itroduceres talrige og tallegemer. Der fokuseres på talsystemer, der udspriger fra de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. Alle rige og legemer i dette projekt er derfor kommutative! Ved at arbejde med restklasser og polyomier vises det hvorda ma ka udvide tallegemer ved at tilføje rødder fra irreducible polyomier. Det historiske hovedeksempel er de komplekse tal, hvor ma tilføjer -, me i dette projekt går vi videre og ser også på strukture af de edelige tallegemer, restklasselegemere p, hvor p er et primtal, samt Galois-legemere GF é ëp û baseret på e primtalspotes. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
2 I dette projekt skal vi kigge på forskellige talsystemer med heblik på bedre at forstå fejlrettede koder. Me vi starter med de mest almidelige talsystemer, de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal, og arbejder os så frem mod de edelige talsystemer, de såkaldte Galois-legemer, der ligger bag de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og De mest almidelige talsystemer er de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. De rummer alle tre e række egeskaber ved talsystemer, der er meget attraktive: De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio I alle tre tilfælde bygger de på to regeoperatioer + (plus/additio) og (gage/multiplikatio) med følgede egeskaber: Regeoperatioere er kommutative, dvs. år vi lægger to tal samme eller gager to tal med hiade er rækkefølge af tallee ligegyldig: a+ b= b+ a ab = ba Regeoperatioere er associative, dvs. år vi lægger tre tal samme (ved hjælp af to additioer) eller gager tre tal med hiade (ved hjælp af to multiplikatioer), så er rækkefølge af regeoperatioere ligegyldige, dvs. a+ b+ c= ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) abc = ( ab ) c= a ( bc ) Regeoperatioere er distributive, dvs. år vi gager id i e sum sker det ledvis: a ( b+ c) = ab + ac Vi tæker sjældet over de to regeoperatioer, me de er i virkelighede meget fudametale og forekler fx ligigsløsig betydeligt. Øvelse : b Idefor de aturlige tal, har vi også e tredje regeoperatio, potesopløftig a^b= a, hvor vi ormalt foretrækker de sidste skrivemåde med løftet ekspoet, me her også bruger de første med potesteget ^ for etop at fremhæve, at der er tale om e regeoperatio. a) Gør rede for, at potesopløftig ikke er kommutativ. b) Gør rede for, at potesopløftig ikke er associativ. c) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til multiplikatio? d) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til additio? Det ka syes ret uskyldigt at potesopløftig på de måde er mere kompliceret ed additio og multiplikatio, me i de aksiomatiske opbygig af talteorie fører det til alvorlige vaskeligheder. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
3 De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio Til hver af de to regeoperatioer hører der u e modsat regeoperatio, subtraktio heholdsvis divisio. Til at begyde med lægger vi mærke til, at de gægse talsystemer,, og, dels ideholder tallet 0 som er eutralt over for additio, dvs. der gælder 0 + x= x for alle x. Dels ideholder de tallet, som er eutralt over for multiplikatio, dvs. x= x for alle x. Med udgagspukt i det eutrale elemet, ka vi u idføre et iverst elemet. Ved additio hedder det iverse tal det modsatte tal - x, og det er karakteriseret ved (- x) + x= 0 Ved multiplikatio hedder det modsatte tal det reciprokke tal x - og det er karakteriseret ved x - x= Har vi først rådighed over et iverst elemet ka vi u idføre de modsatte regeoperatio, dvs. subtraktio, ved at lægge det modsatte tal til, dvs. def a- b = a+ (-b) Tilsvarede ka vi idføre divisio for alle tal forskellig fra 0 ved at gage det reciprokke tal på, dvs. - a/ b= = a b b Tallet 0 har dog ikke oget reciprokt elemet, idet der gælder ulregle: 0 x= x for alle x. Øvelse : a def a) Gør rede for at ulregle er e kosekves af de distributive lov. Idefor talsystemet, har alle tal x et modsat tal, - x, dvs. subtraktio er også veldefieret idefor. Me i almidelighed har et helt tal derimod ikke et reciprokt tal idefor. Ma ka derfor ikke dividere idefor de hele tal. Idefor talsystemere og har derimod alle tal x et modsat tal, 0 har et reciprokt tal, og de reelle tal. Rige og legemer - x, ligesom et hver tal x forskellig fra x -. Såvel subtraktio som divisio er derfor veldefierede idefor de ratioale tal Defiitio : Talrige Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes e talrig, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ethvert tal x har et modsat tal - x, dvs. e talrig er også lukket overfor subtraktio. Defiitio : Tallegemer Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes et tallegeme, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ikke blot har ethvert tal x et modsat tal - x, me ethvert tal x forskelligt fra 0 har også et reciprokt tal x -, dvs. et tallegeme er både lukket overfor subtraktio og divisio. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 3
4 Det er da klart at de hele tal er et eksempel på e talrig. Tilsvarede er de ratioale tal og de reelle tal eksempler på tallegemer. Me der fides mage flere eksempler! I det følgede styre vi mod at kostruere alle edelige tallegemer, me først skal vi se lidt ærmere på to fudametale kostruktiosmetoder til at omdae talrige til tallegemer!. Fra rig til legeme: Regig med restklasser I de første kostruktiosmetode beytter vi os af e divisiosalgoritme. Som udgagspukt tager vi heltalsrige. De er ikke lukket over divisio, me der fides ikke desto midre e simpel divisiosalgoritme, som løst sagt fortæller, hvor mage gage q (kvotiete) et givet aturligt tal d (divisore) går op i et adet givet helt tal m (dividede), og hvilke rest r der så bliver til overs. r d q d m q d+d Idee er at vi kigger på multipla af divisore, dvs. d-tabelle eller hele tal på forme q d. De ligger ækvidistat på talakse, idet afstade mellem to successive multipla etop er d. Hvis vi lukker itervallet mellem to successive multipla i det ederste multiplum, ideholder itervallet altså etop d tal på forme { q d, q d+, q d+,..., q d+ ( d-) } Tallet m ligger da i etop et af disse itervaller, dvs. det ka etop skrives etydigt på forme m= q d+ r, 0 r< d Hvis reste er 0, siger vi at divisioe går op og tallet d kaldes e divisor. Tallet går op i alle adre tal, me hvis divisore d er forskellig fra og m kaldes divisore e ægte divisor. Vi siger da at tallet m er sammesat, dvs. det ka skrives som et produkt af to midre tal. Modulus-fuktioe Der fides e speciel fuktio kaldet modulus, som udreger heltalsreste ved divisio. Typisk ser de således ud mod( m, d) = r Vi fider fx mod ( 5,7) = 3, idet der jo gælder 5= + 3= I abstrakt matematik bruger ma ofte otatioe m mod d i stedet for mod(m,d)! Heltalsreste ka også fides ved Euklids algoritme, idet vi successivt trækker 7 fra idtil vi kommer uder divisore 7: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
5 5-7 = 38ü 38-7 = 3 ï ï 3-7 = ï ý 6 gage - 7 = 7ï 7-7 = 0 ï ï 0-7 = 3 ïþ Vi ser da at vi ka trække 7 fra 6 gage, dvs. 7 går 6 gage op i 5, og at reste bliver 3. Det er ikke alle talrige, der uderstøtter Euklids algoritme, der jo bygger på at idefor de hele tals rig bliver der midre og midre tilovers, år vi successivt trækker divisore fra. Der skal altså være e veldefieret ordigsstruktur, der tillades os at tale om at et tal ka være midre ed eller større ed et adet tal. Det er altså ikke alle talrige, der har e divisiosalgoritme, så her udytter vi ogle helt særlige forhold ved heltalsrige! E ade speciel egeskab ved heltalsrige, er at der ikke fides oge uldivisorer, dvs. der fides ige aturlige tal, der går op i 0. Hvis et produkt a b giver 0 må midst e af faktorere være ul. Heller ikke dette ka ma forvete skal gælde i almee talrige, hvilket vi skal se eksempler på lige om lidt! Defiitio 3: Restklassere modulo Lad u være et aturligt tal større ed. Vi kigger da på restere ved divisio med. Der er etop sådae rester og de udgør talsystemet (også kaldet restklassere modulo ). Vi stiler u mod at vise, at restklassere modulo det aturlige tal, dvs. talsystemet ed ) udgør e talrig., (hvor er større Additio og multiplikatio af restklasser Vi skal først vise, at vi ka lægge to restklasser samme og at vi ka gage to restklasser med hiade. Det sker ved at bemærke at hvis vi lægger to hele tal samme afhæger reste ku af restklassere for de to hele tal, dvs. Sætig : Sum af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b= q + r + q + r = q + q + r + r a a b b a b a b Det viser etop at går qa + qb gage op i a+ b med reste r a + r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu egag. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 5
6 Sætig 3: Produkt af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( )( ) ( ) ( ) a b= q + r q + r = q q + q r + q r + r r a a b b a b a b b a a b Det viser etop at går qa qb + qb ra + qb rb gage op i a b med reste r a r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu ogle gage for at fide heltalsreste. Det kræver de ekstra modulo-udregig til sidst! Additio af to restklasser er i e vis forstad triviel. Ma ka opfatte restklassemægde som e talcirkel, idet ma tager de sædvalige tallije og sor de op på e cirkel med omkredse, så tallet etop falder i tallet 0. Alle tallee på tallije falder da etop i deres tilhørede restklasse på talcirkle, som etop rummer gitterpukter 0,,,..., -. Additio med restklasse r svarer da etop til e drejig i positiv retig med de drejigsvikel, der fører restklasse 0 over i restklasse r. Subtraktio med restklasse r svarer tilsvarede til e drejig i egativ retig med de drejigsvikel, der fører restklasse r over i restklasse 0. Hvor additio og subtraktio på de almidelige tallije svarer til parallelforskydiger svarer additio og subtraktio på talcirkle altså til drejiger. Helt så simpelt går det desværre ikke med at tolke multiplikatio på talcirkle. Godt ok ka ma forestille sig at ma strækker e cirkel ud fra et begydelsespukt på cirkle. Me det er ikke helt så oplagt at gitterpuktere etop falder på gitterpukter... d- d+ d d d+ -d Vi ka u emt kostruere additiostabeller og multiplikatiostabeller for restklasser. Vi viser pricippet bar restklasser modulo 7. I regearket afsætter vi tabeller med restklassere { 0,,,3,,5,6 } : 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 6
7 For at kostruere e additiostabel skal vi så blot vise formle i det øverste vestre hjøre C3 af tabelle: C3 = mod($ B3 + C$,$ B$) Her skal dollartegee sikre at vi hele tide lægger tal samme, der stammer fra søjle B og række. Tilsvarede skal vi hele tide rege modulo 7, dvs. det sidste tal skal låses til celle B! Dee formel trækkes da første edad i tabelle og derefter på tværs. Det samme gøres med multiplikatiostabelle: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 7
8 Øvelse 3: 7 a) Kig lidt på tabelle og prøv at rege ogle af cellere ud i hovedet! Hvorfor gælder der fx 3 = 5, år vi reger modulo 7? b) Hvorda ka ma se af tabellere at additio og multiplikatio er kommutative? c) Hvorda ka ma se at 0 er et eutralt elemet overfor additio og at er et eutralt elemet over multiplikatio? d) Har ethvert tal et modsat tal (dvs. iverst elemet overfor additio)? e) Har ethvert tal forskelligt fra 0 et reciprokt tal (dvs. et iverst elemet overfor multiplikatio)? f) Er 7 e talrig? Er det et tallegeme? Øvelse : 6 a) Kostruér u tilsvarede tabeller modulo 6. b) Besvar de samme spørgsmål som ovefor for restklassemægde 6. Restklasserige, hvor er et aturligt tal På basis af sådae øvelser skulle det u ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig : Restklassemægde er e talrig. Mere overraskede er ok de følgede sætig: Sætig 5: Restklassemægde er et edeligt tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal. Bevis (skitse): Vi har allerede idført to regeoperatioer på restklasser, som arver de ødvedige egeskaber (kommutativitet, associativitet og distributivitet) fra de sædvalige regeregler. For at vise at er e talrig, skal vi derfor blot vise at ehver restklasse r har e modsat restklasse overfor additio, dvs. e restklasse s, hvor der gælder r+ s= 0 mod.... Me der gælder oplagt s= -r På talcirkle ligger de to modsatte restklasser lige overfor hiade ved spejlig i hoveddiametere geem 0. De tilhørede drejiger foregår da med lige store og modsatrettede drejigsvikler, dvs. de ophæver etop hiade.... -=d- -=d- 0 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 8
9 Restklasselegemet p, hvor p er et primtal For at vise at er et tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal, skal vi udersøge hvorår tal forskellige fra 0 har et reciprokt elemet. Vi starter med at bemærke, at er e talrig med uldivisorer etop er et sammesat tal. Hvis er et sammesat tal, dvs. = a b, hvor divisorere a og b begge er midre ed. Me da gælder jo etop a b= 0mod Hvis talrige fra 0, så på de ade side ideholder uldivisorer fides der altså restklasser a og b forskellige a b= 0mod Me det betyder jo etop at a ber et multiplum af, dvs. a b= q Ved at bortdividere primfaktorere i q på begge sider, eder vi derfor med e relatio af forme: a b = hvor faktorere a og b er midre ed a og b og dermed midre ed. Altså er tallet sammesat. Me e talrig med uldivisorer ka ikke være et tallegeme, fordi uldivisorer ikke ka have et reciprokt elemet! Hvis er sammesat er slaget altså tabt: Restklasserige Vi veder os derfor mod tilfældet hvor er et primtal p. Vi skal vise at ka da ikke være et tallegeme. e restklasse forskellig fra 0 og se på de lieære fuktio f( x) = a xmod. p er et tallegeme. Lad u a være Øvelse 5: Lieære fuktioer modulo 7 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 9
10 a) Teg grafere for de lieære fuktioer modulo 7, dvs. opret e fuktiostabel i et regeark og kostruer fuktiostabelle for f( x) = a xmod7, hvor a er e skydervariabel med værdiere {,,3,,5,6 }. b) Kommeter grafere! Hvorda ka ma fx se af grafe at det reciprokke elemet til 5 er 6? Det viser sig u, at de lieære fuktio f( x) = a xmod er eetydig, dvs. hver y-værdi optræder højst é gag! Det skyldes etop at der ikke er oge uldivisorer. For hvis y = y, dvs. a x = a x mod, slutter vi at der gælder a x= a x a x - a x = 0 a ( x - x ) = 0 Me da a ikke er 0, og der ikke fides uldivisorer ka produktet ku være ul, hvis de ade faktor er 0, dvs. der gælder x - x = 0 Me restklasserige x = x p ideholder etop p elemeter. Og da de højst ka optræde etop é gag som billeder for de lieære fuktio f( x) = a xmod, må de alle optræde etop é gag! Der fides altså et x, så a x=, dvs. x= a -. Hvorda ma så fider det reciprokke elemet i praksis er e helt ade sag. Vi har vist at det fides og det er ok! Vi har u fudet et stort reservoir af eksempler på edelige tallegemer, emlig restklasselegemere modulo et primtal p. Vi har specielt fudet restklasselegemet = {0,}, hvor restklasse 0 repræseterer alle de lige tal (hvor jo går op) og restklasse repræseterer alle de ulige tal (hvor etop ikke går op). Regig i svarer altså etop til regig med pariteter. Der fides imidlertid adre edelige tallegemer ed restklasselegemere p p. De blev fudet af Galois og kaldes derfor for Galois-legemer. Me før vi ka kostruere Galois-legemere, skal vi først lære edu et kostruktiospricip. Ide da kigger vi lige kort på polyomier over restklasselegemet p. Lad os fx se på tredjegradspolyomiet 3 f( x) = x + 3x+ mod 7. I et regeark ka vi emt kostruere e fuktiostabel og dermed kigge på grafe som et puktplot. Det giver os fx mulighed for a se efter evetuelle rødder, dvs. skæriger med x-akse. Da grafe er diskret, ka vi derimod ikke avede fx differetialregig til at aalysere grafes forløb. Vi ser da at grafe har etop et ulpukt, emlig x = 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 0
11 Me det betyder jo at tredjegradspolyomiet ka faktoriseres i førstegradspolyomiet x- º x+ 3 og et adegradspolyomium som vi ka fide ved polyomiers divisio: Hvis vi udfører divisioe idefor de ratioale tal fider vi: x 3 + 3x+ 77 = + x + x + x- x- 9 Me vi arbejder jo idefor tallegemet 7 så 77º 0! Ydermere gælder der 9º 5, så idefor tallegemet 7 gælder der 3 x + 3x + º x + x + 5 x- Vi har også teget puktgrafe for adegradspolyomiet og ka etop se at det ikke har oge rødder, så det ka ikke faktoriseres yderligere. Øvelse 6: a) Udersøg u selv et tilfældigt polyomium af grad højst 5 på samme måde. Vælg først e tilfældig grad mellem og 5 og vælg derefter tilfældige koefficieter fra 0 til 6 til polyomiet. b) Hvis det ka faktoriseres, så geemfør faktoriserige som beskrevet ovefor. Restklasselegemere modulo et primtal udgør et særdeles stærkt redskab idefor talteori til at udlede simple egeskaber ved primtal. Me det er et helt adet projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
12 . Fra legeme til rig: Regig med polyomier Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme Hvis vi kigger på et tallegeme, fx de ratioale tal, eller de reelle tal, så ka vi defiere polyomier af grad på de sædvalige måde som fuktioer med forskrifte p X a a x a x a x ( ) = med a ¹ 0, hvor koefficietere a 0, a, a,..., a alle kommer fra tallegemet. Der fides også e ret algebraisk måde at defierer polyomier på som ree algebraiske objekter, me det får vi ikke brug for her. Mægde af alle polyomier beteges med [ x], hvis der er tale om ratioale polyomier, [ x], hvis der er tale om reelle polyomier osv. Sådae polyomier ka opfattes som geeraliseriger/udvidelser af det uderliggede legeme, idet vi ka idetificere det uderliggede legeme med de kostate polyomier, dvs. polyomier med grad 0. Tekisk set har ul-polyomiet px ( ) = 0 dog ige grad, idet højestegradskoefficiete ikke er forskellig fra 0. Det er klart at vi ka lægge polyomier samme, ligesom vi ka gage dem samme efter de sædvalige regeregler. Det ka derfor ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig 6: Mægde af polyomier over et tallegeme F udgør e rig, kaldet polyomiumsrige F [ x]. Bemærkig: På egelsk hedder et legeme a field. Fx har vi polyomiumsrige over de ratioale tal [ x], ligesom vi har polyomiumsrige over de reelle tal [ x]. Nulpolyomiet er de kostate fuktio 0, et-polyomiet det kostate polyomium. Hvis p x a a x a x a x ( ) = så er det modsatte polyomium givet ved polyomiet, hvor vi skifter forteg på alle koefficietere, dvs. - p( x) =-a - a x- a x a x osv. 0 Me polyomiumsrige er ikke et tallegeme! Fx er det emt at idse at idetitetspolyomiet x ikke har et reciprokt elemet. For i så fald skulle der gælde x px ( ) = Me sætter vi x = 0 fås heraf Hvilket er e modstrid! 0= Spørgsmålet er så om vi ka omdae det til et tallegeme på simpel vis? Svaret er bekræftede og vi ka bruge præcis de samme ide, som vi brugte da vi omdaede heltalsrige til et tallegeme, ved at gå over til at rege på restklasser Det er e gammel ide, som bl.a. har været udyttet af Cauchy til at defiere de komplekse tal, så det vil også være et af vores hovedeksempler. Me først ser vi lige kort på divisio med polyomier. Poite er emlig at polyomiumsrige tillader e simpel divisiosalgoritme: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
13 Restklasser md polyomier Hvis px ( ) er et polyomium og dx ( ) et divisor polyomium ka vi ved hjælp af polyomiers divisio fide kvotietpolyomiet qx ( ) og et restpolyomium rx ( ) med lavere grad ed divisorpolyomiet, så der gælder: Divisiosalgoritme ka også skrives på forme px ( ) = qx ( ) dx ( ) + rx ( ) px ( ) rx ( ) = qx ( ) + dx ( ) dx ( ) CAS-værktøjer har ormalt både værktøjer til at udføre polyomiers divisio og fide reste direkte. Det ka fx se således ud: Af de første divisiosligig fremgår fx at kvotietpolyomiet er q( x) r( x) =- ( x- ) = - x. = x og at restpolyomiet er Af de sidste fremgår ku restpolyomiet. De sidste kommado svarer til modulus fuktioe for de hele tal. Med lidt tålmodighed ka ma også fide dem ved hådregig, også selv om ma ikke lige har algoritme for polyomiers divisio preset. Vi udytter da, at der gælder og fider u ( ) ( ) 3 x = x x = x x - + = x x - + x ( ) 3 x - 3 x+ x ( x - ) + x - 3 x+ = x - x - x ( x -) x- 3 x+ = + x - x - - x+ = x+ x - Me i det følgede bruger vi skamløst CAS-værktøjet til at udføre de mere komplicerede polyomiers divi- sioer- Vi ka så arbejde med restklasser præcis lige som vi gjorde det med heltalsrige. Defiitio : Restklassere modulo d(x) Lad u ( ) dx være et polyomium af grad midst over et legeme L. Idefor polyomiumsrige L[ x] kigger vi da på restere ved divisio med dx. ( ) De udgør talsystemet L [ x]/ dx ( ) (også kaldet kvotietrige modulo dx). ( ) Læg mærke til at alle restere rx ( ) har grad midre ed grade af divisorpolyomiet dx. ( ) Vi skyder os at se på to kokrete cases, der begge er historisk meget berømte: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 3
14 CASE : Irratioale tallegemer Vi arbejder med polyomier over de ratioale tal. Idefor de ratioale tal har adegradspolyomiet d x = - ige rødder, dvs. vi ka ikke løse ligige x - = 0 idefor de ratioale tal. Vi ka derfor ( ) x ikke opløse dette adegradspolyomium i faktorer. Vi siger polyomiet er usammesat eller irreducibelt. Vi daer u kvotietrige [ x] / ( x -) Vi ser altså på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x -. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere ratioale tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x -. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a ) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = = = Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a + b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a + b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = -! Der kommer u to behagelige overraskelser: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk
15 Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a + b x a+ b x º a a+ b b + a b+ a b xº a a+ b b= 0 0 b a+ a b= a - b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 - b0 heller ikke ka være ul det er oplagt, hvis e af dem er 0, og hvis de begge er forskellige fra 0 ville vi i sidste istas kue fide et ratioalt tal med kvadratet! Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0 + b0 x = = ç x + ç a0 - b0 èa0 - b0 ø èa0 - b0 ø ( ) Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x - = 0! Der gælder emlig x x - º 0 Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for. º Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ b, hvor koefficietere a og b er ratioale tal. Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) = : ( a + b ) + ( a + b ) = ( a + a) + ( b + b ) ( a + b ) -( a + b ) = ( a - a ) + ( b - b ) ( a b ) ( a b ) ( a a b b) ( a b a b ) + + = a- b = a+ b a - b 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 5
16 På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de ratioal tal med kvadratrode af, dvs., og det udvidede tallegeme beteges da blot [ ]. Faktisk ka ma idføre det udvidede tallegeme helt simpelt ved i stedet at arbejde med de reelle tal! I- defor de reelle tal har polyomiet x - to rødder ± og ka faktoriseres som ( ) ( ) x x x - = - + Så idefor de reelle tal er der slet ige grud til at udvide tallegemet. Her vil ma i stedet gå således frem. Det midste tallegeme idefor de reelle tal er etop de ratioale tal. Ethvert tallegeme idefor ideholder 0 og og dermed også de hele tal, for at være lukket overfor additio og subtraktio og deræst de ratioale tal, for også at være lukket over multiplikatio og divisio! Idefor de reelle tal udvider vi u de ratioale tal ved at tilføje det reelle tal =.... Det udvidede tallegeme må da i det midste ideholde alle tallee på forme a+ b, hvor a og b er ratioale tal. Me da dee talmægde er et tallegeme er udvidelseslegemet, der ideholder vet ved Der gælder da oplagt { } Q[ ] = a+ b ab, er vilkårlige ratioale tal Ì [ ] Ì altså etop gi- Me selv om vi slet ikke kedte de reelle tal kue vi altså stadigvæk idføre udvidelseslegemet [ ] ved hjælp af polyomier som beskrevet ovefor Øvelse 7: Det gylde sit Idefor de reelle tal er det gylde sit defieret som tallet + 5 F= =.68..., der løser adegradslig- ige x -x- = 0. Me idefor de ratioale tal har dee ade gradsligig ige rødder. VI ka derfor bruge dette adegradspolyomium til at kostruere e udvidelse af de ratioale tals legeme, der også omfatter det gylde sit F. Som ovefor defieres det som mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate fuktioer og lieære fuktioer med ratioale koefficieter: { a b x ab } F [ ] = +, er vilkårlige ratioale tal a) Opstil regereglere for summer og produkter af disse polyomier, idet produktere reduceres ved polyomiers divisio med d( x) = x -x- = 0. b) Gør rede for at idetitetspolyomiet x har det reciprokke polyomium x -. c) Gør rede for at ethvert polyomium af grad højst har et reciprokt polyomium idefor dette talsystem, dvs. der er tale om tallegeme. d) Gør rede for at hvis vi kalder idetitetspolyomiet x for F ka vi rege på helt ormal vis, idet vi blot skal huske på at der må gælde regeregle F =F+. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 6
17 CASE : - (De komplekse tal) De komplekse tal har e lag og fascierede historie bag sig. Der er mage måder at kostruere de komplekse tal. Oprideligt blev de kostrueret ret geometrisk ved at forsye talplae med to geometriske regeoperatioer: additio (i form af parallelforskydiger), og multiplikatio (i form af ligedaetheder, dvs. strækiger og rotatioer). De geometriske kostruktio skyldes Wessel, Argad og Gauss. Der fides også e ret algebraisk kostruktio, der stammer fra Hamilto, som også idførte kvaterioere. Edelig fides der polyomiemetode, der går tilbage til Cauchy. Det er polyomie-metode vi her skal se ærmere på, me de tre forskellige metoder fører selvfølgelig frem til præcis de samme komplekse tal Vi arbejder dee gag med polyomier over de reelle tal. Idefor de reelle tal har adegradspolyomiet d x = - u rødder, dvs. vi ka dee gag løse ligige x - = 0 idefor de reelle tal. Løsigere ( ) x er givet ved x =± =±.3... Vi ka derfor opløse dette adegradspolyomium i to førstegradsfaktorer x ( x ) ( x ) - = - +. Vi siger at polyomiet d( x) = x -er sammesat eller reducibelt over de reelle tal. Vi ka derfor godt ok dae kvotietrige [ x] / ( x -) Me de vil få uldivisorer, emlig førstegradspolyomiere ( x ),( x ) for at det bliver et yt tallegeme. - +, dvs. der er ige chace Ser vi i stedet på adegradspolyomiet d( x) = x + har det ige reelle rødder. Dette polyomium er altså usammesat eller irreducibelt over de reelle tal. Det giver derfor god meig at se på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x +. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere dee gag reelle tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x +. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b ) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b ) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = = = L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 7
18 Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a - b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a - b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = +! Der kommer u to behagelige overraskelser: Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a b x a b x a a b b a b a b x º º a a- b b= 0 0 b a+ a b= a + b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 + b0 er positiv, dvs. heller ikke ka være ul. Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0+ b0 x = = x ç + ç a0 + b0 èa0 + b0 ø èa0 + b0 ø ( ) Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x + = 0! Der gælder emlig x x + º 0 º- Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet -. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for -. Der er dog også traditio for at kalde det i (for de imagiære ehed). Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ bi, hvor koefficietere a og b er reelle tal. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 8
19 Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) i = - =- : ( a + b i) + ( a + b i) = ( a + a) + ( b + b) i ( a + b i) -( a + b i) = ( a - a ) + ( b - b) i ( )( ) ( ) ( ) a + b i a + b i = a a - b b + a b + a b i a- bi = a+ b i a + b På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de reelle tal med kvadratrode af, dvs. i = -, og det udvidede tallegeme beteges da blot de komplekse tals legeme = [] i. Ma kue forestille sig at ma u kue getage spøge og udvide de komplekse tal ved at fide et tilsvarede simpelt polyomium over de komplekse tal. Me det ka ma ikke! Ifølge algebraes fudametalsætig har ethvert komplekst polyomium midst é kompleks rod! I e vis forstad er de komplekse tal derfor det mest omfattede tallegeme der fides (på samme måde som de ratioale tal var det midste tallegeme): Ì Ì Skal vi udover de komplekse tal skal der derfor ske oget drastisk! Som opdaget af Hamilto ka ma opgive kravet om kommutativitet for multiplikatioe. Det åber mulighed for et edu større tallegeme, kvaterioere. Hvis ma også er villig til at ofte associativitete for multiplikatioe fides der et tallegeme, der rækker ud over kvaterioere, emlig oktoioere. Me så er det også slut! Begge disse tallegeme har vigtige avedelsesområder: Kvaterioere er uudværlige idefor modere avaceret computeraimatio (Ude kvaterioer ige Lara Croft!). Selv om der er tale om firedimesioale objekter er de emlig fremragede til at styre rotatioer i 3-dimesioer (og dermed til at styre flydede bevægelser i computerauimatio) Oktoioere vider id idefor modere stregteori. Selv om der ku er tale om 8-dimesioale objekter ligger de meget tættere på de 0 rum-dimesioer som ma opererer med idefor stregteorie. Me det vil vi ikke komme ærmere id på her i dette projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 9
20 Galois-legemere é GF ë p û Vi veder u tilbage til de edelige tallegemer i form af primtalslegemere = { 0,,,3,..., p-}. Spørgsmålet var u om der fadtes flere edelige tallegemer ed disse? Svaret er bekræftede: De blev fudet af Galois i forbidelse med has udersøgelser af rødderes opførsel i polyomier med heltalllige koefficieter. p Sætig 7: Galois-legemere GF( p ) For et hvert primtal p og ethvert aturligt tal fides der et Galois-legeme med etop fremkommer som e udvidelse af restklasselegemet p. p elemeter, der Vi vil ikke bevise sætige me vil kostruere Galois-legemere i et kokret tilfælde, der efterfølgede vil kue geeraliseres. Vi tager udgagspukt i paritetetslegemet = {0,}, hvor 0 står for de lige tal og står for de ulige tal. Det er et særligt simpelt tallegeme med regeoperatioere + og, der opfylder de følgede yderst simple regetabeller Læg mærke til, at der idefor ikke er forskel på additio og subtraktio, idet både 0 og er deres eget modsatte tal! Med udgagspukt i dette kostruerer vi u først polyomiumsrige [ ]. Vi skal så have omdaet de til et tallegeme ved at arbejde med restklasser modulo et usammesat, irreducibelt polyomium. x Irreducible polyomier over Vi starter derfor med at kigge efter irreducible polyomier. Vi ka da have glæde af de sædvalige observatio. Udfører vi e polyomiers divisio med førstegradspolyomiet x- x0 fås px ( ) = ( x- x) qx ( ) + rx ( ) 0 Udreges værdie for x= x0 fås derfor px ( ) = 0 qx ( ) + rx ( ) = rx ( ) Der gælder altså de sædvalige sætig: Sætig 8: Første gradspolyomiet x- x0 går op i polyomiet px ( ) etop år x 0 er e rod, dvs. px ( 0) = 0. Det ka vi bruge til at jagte irreducible polyomier over. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: ifo@lru.dk 0
1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2
Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereProjekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereForslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende
Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereBranchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros
Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereDe reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.
De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereSprednings problemer. David Pisinger
Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de
Læs mereGeorg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith
Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereClaus Munk. kap. 1-3
Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor
Læs mereDagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro
Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs mereDen hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
De hurtige Fouriertrasformatio Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) Polyomier Polyomium: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x Geerelt: p(x) = eller! " i= a i x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! 2 Evaluerig
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereFacilitering ITU 15. maj 2012
Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereSituationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q
3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereInformation til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!
Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereTIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og
TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee
Læs mereAnalyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)
Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)
Læs mereProjekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives
Læs mereDuo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1
Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode
Læs mereIntroduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem
Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereUdtrykkelige mængder og Cantorrækker
Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereNanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereTrygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS
Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.
Læs merePrisfastsættelse af digitale goder - Microsoft
Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereIntroduktion. Ide, mål og formål
Itroduktio Dette er e itroduktio til forskigs- og udvikligsprojektet Udviklig af e eksemplarisk participatorisk model for implemeterig af redskaber til opsporig og tidlig idsats i relatio til potetielt
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereBeregning af prisindeks for ejendomssalg
Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige
Læs mereNanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereAugust 2012 AKTIVERING. for dig under 30 F O A S A R B E J D S L Ø S H E D S K A S S E
F O A S A R B E J D S L Ø S H E D S K A S S E August 2012 AKTIVERING for dig uder 30 INDHOLD 1. Du er uder 25 år er ude uddaelse og har ige bør side 4 2. Du er uder 25 år er ude uddaelse og har bør side
Læs mere