Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Transkript

1 Bjør Grø Aalyses grudlag

2 Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til afsit De reelle tal ( del) 6 5 Kotiuerte fuktioer ( del) Opgaver til afsit De reelle tal ( del) 9 7 Kotiuerte fuktioer ( del) 3 8 Appediks : 33 Fast grud uder græseværdi- og kotiuitetsbegrebet33 Avedelse af defiitioe til præcise beviser for græseværdier36 9 Appediks : Uiform kotiuitet: 39 Værktøjet, der giver itegralregige fast grud uder føddere 39

3 Aalyses grudlag Side 3 af 4 Kotiuerte og differetiable fuktioer I gymasiets matematikudervisig idføres differetialkvotieter ormalt over to omgage Først gives e grafisk defiitio: Fuktioe f siges at være differetiabel i et, hvis grafe har e taget i puktet (, f( )) Og er dette tilfældet, så kaldes tagetes stigigstal for differetialkvotiete i, og tallet beteges f '( ) For fuktioer, vi keder, volder dee defiitio ikke større problemer, me det står i starte ikke klart, hvorda vi afgør om grafe har e taget Deræst idføres de aalytiske defiitio Det sker ormalt via e aalyse af problemet, hvor vi betragter sekater, der vadrer mod e taget Hvis f er differetiabel, må der gælde, at sekateres stigigstal ærmer sig tagetes stigigstal Sekateres stigigstal bereges af differeskvotietere:, så der skal altså gælde, at disse brøker ærmer sig tallet f '( f ( ) f ( ) ), år ærmer sig Nu ved vi, hvad der må gælde, hvis f er differetiabel Vi har brug for e defiitio, der giver os et etydigt svar på, om f er differetiabel, samt giver os mulighed for e helt præcis beregig af differetialkvotieter Defiitioe idføres i forlægelse af vor aalyse: DEFINITION f siges at være differetiabel i, hvis der gælder: f ( ) f ( ) har e græseværdi, år Er dette tilfældet, kaldes græseværdie for differetialkvotiete, og vi skriver: f ( ) f ( ) f ' ( ) år Dee defiitio volder ormalt betydeligt større vaskeligheder ed de grafiske Det gælder først og fremmest begrebet græseværdi Der appelleres her stærkt til vores ituitive opfattelse af, hvad det vil sige at» ærmer sig «kommer aldrig helt id til, me afstade id til bliver dog midre ed e hvilke som helst størrelse Det er ikke så ligetil at begribe såda e proces, der åbebart tækes fortsat i det uedelige, så forskelle bliver uedeligt lille me dog ikke Defiitioe siger, at f er differetiabel i, år dee proces: bevirker, at brøkere f ( ) f ( ) rykker stadigt tættere på et bestemt tal Og»stadigt tættere«betyder, at vi ka komme så tæt på, det øskes, blot 'ere vælges tæt ok ved I dee græseovergag vil både brøkes tæller og æver ærme sig De æste vaskelighed vedrører etop vurderige af brøke Vi ka ikke sprige ud til græse, for så står der i ævere I græseovergage står der oget uedelig småt, både i tæller og i æver E såda brøk ka ikke umiddelbart vurderes Dertil kræves først e række, af og til regetekiske, omskriviger ØVELSE Brøke vil ærme sig, år Fid tilsvarede brøker, der for vil ærme sig, ½ og Sådae tekiske omskriviger husker vi fra bevisere for, hvad differetialkvotietere af, og er Eller fra bevisere for regereglere for differetiatio

4 Aalyses grudlag Side 4 af 4 Overgage fra de overvejede grafiske vurderig af differetialkvotiete til de aalytiske defiitio med græseværdibetragtiger tager i matematikudervisige et par timer I matematikhistorie tog det 5- år, før de største matematikere åede til buds i dette og fik skabt et solidt grudlag for de matematiske aalyse Det er derfor ikke overraskede, at vi idefor differetialog itegralregig hele tide må vede tilbage og repetere: Hvad var det u, vi forstod ved differetialkvotiete, helt præcist Arbejdet med at træge til buds tog i matematikhistorie sigte mod at få bevist ogle af de fudametale sætiger om kotiuerte og differetiable fuktioer Det var sætiger, der forekom ituitivt idlysede, som feks (formuleret med vore dages otatio): MONOTONISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i et iterval I, så gælder: f '( ) > for alle I f er voksede i I f '( ) < for alle I f er aftagede i I 3 f '( ) = for alle I f er kostat i I Ud fra e grafisk betragtig er det klart, at hvis f '() er i et helt iterval, dvs hvis grafe har vadret taget i alle pukter, så må grafe selv være e vadret lije, og fuktioe må være kostat Idlysede! Me beviset herfor voldte store vaskeligheder Efterhåde stod det klart for de store matematikere, at et bevis for mootoisætige må bygge på to grudlæggede sætiger om kotiuerte fuktioer, sætiger vi her kalder: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert i [ ab ; ], og f har modsat forteg i de to edepukter, så fides et tal c ] a; b[, så f ( c ) = B( b, f ( b) ) (, ( )) Aaf a a c b HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert på det lukkede og begræsede iterval [ ab ; ], så er værdimægde også et lukket og begræset iterval: Vm( f ) = [ α; β ] Specielt har f et maksimum og et miimum i itervallet

5 Aalyses grudlag Side 5 af 4 β a α b Ved e grafisk betragtig forekommer disse sætiger idlysede Og dog Mes vi»teger«et argumet for hovedsætig og lader e sammehægede graf fra et pukt A til et pukt B krydse -akse, så opstår der måske e eridrig om de problemer, der fik de gamle grækere til at forlade aritmetikke og gå over til geometrie: Hvorfra ved vi, at der er et tal på -akse, der hvor vi krydser de? Kue det ikke tækes, der var et hul, hvor vi lige katede os igeem? Det vil vi aturligvis afvise: -akse er sammehægede, ude huller Me hvad er det så for ogle tal, der ligger på -akse? Ved at zoome id på et bestemt sted, bliver vi opmærksomme på, at der er adre tal ed de ratioale De irratioale tal fylder tallije ud Me hvad er så et irratioalt tal? Det er»uedelige ikke-periodiske decimalbrøker«ige støder vi på uedelighede Og det er dybest set ufatteligt: Her er tale om π, ikke med, eller milliard decimaler; for det er stadigvæk ikke π Der skal være uedeligt mage decimaler med, før det er π Bestræbelse på at få hold på kotiuitetssætigere førte således matematikere ed til det helt fudametale spørgsmål: Har vi i det hele taget styr på, hvad de reelle tal er? Først i slutige af 9-tallet år matematikere frem til e så præcis beskrivelse af de reelle tal, at fudametet for de matematiske aalyse er i orde I 3 og 4 afsit vil vi skridt for skridt arbejde os igeem bevisere for de omtalte sætiger og å frem til e dybere forståelse for de reelle tals egeskaber Me først e lille historisk udflugt Differetial- og itegralregiges udviklig Matematikke udviklede sig eksplosivt, efter at Newto og Leibiz i slutige af 6-tallet havde åbet portee til differetial- og itegralregige Det var et kæmpekotiet, der her var opdaget det største idefor hele matematikkes verde Og i begejstrig stormede matematikere geem det æste århudrede id over det, mes de udviklede stadigt ye tekikker Hidtil var æste al matematik bygget op over geometriske betragtiger: Matematikke var så at sige vokset frem af de klassiske græske geometri Idefor geometries verde følte ma sig på sikker grud, med dees aksiomer og strege krav til at være præcis i sie argumeter I aritmetikke talbehadlige var ma på mere usikker grud I 6-tallet var ma stadig ikke fortrolig med egative tal! Når e adegradsligig havde e positiv og e egativ løsig kaldte ma de sidste for e falsk eller e umulig løsig, og ma så ormalt bort fra sådae Degag repræseterede et tal altid oget virkeligt lægder, vægt, arealer, rumfag osv Derfor var det aturligt at opløfte i tredje, svarede til rumfag, me suspekt at opløfte i fjerde, for hvad skulle det repræsetere? Irratioale tal optrådte, idet ma ude betækeligheder skrev kvadratrode eller de tredje rod af et tal Allerede i 5-tallet, hvor ma fadt formle for at løse e tredjegradsligig, var ma imidlertid begydt at fudere over, om ma kue tillægge kvadratrode af egative tal oge meig Det kue ma æppe, me ligesom med falske rødder opskrev ma dem alligevel Sådae tal blev kaldt idbildte tal og repræseterede de første skridt id i de komplekse tals verde Og dette sker som sagt, mes ma stadig er usikker på, hvad et egativt tal er I 4 afsit veder vi tilbage til dette

6 Aalyses grudlag Side 6 af 4 Geometriske betragtiger kom også til at præge differetial- og itegralregige de første 5 år Differetialkvotieter blev defieret som hældigskoefficieter for tageter E taget er som bekedt graf for det approksimerede førstegradspolyomium, og ma fadt tidligt ud af, at dette kue geeraliseres til approksimerede adegrads-, tredjegrads-,, tegradspolyomium Jo større grad, desto bedre tilærmelse Hvorfor så ikke fortsætte i det uedelige? Det så ud til, at e fuktio kue skrives som e uedelig sum af poteser e slags uedeligtgradspolyomium Efterhåde lykkedes det at udtrykke flere og flere af de kedte fuktioer på dee måde, feks: cos( ) = + + 4! 6! 8! si ( ) = + + 3! 5! 7! 9! 3 4 e = ! 4! Ligesom e taget ligger i et bestemt pukt, således er de approksimerede polyomier også bestemt ud fra et bestemt pukt Det samme gælder de uedelige rækker, hvor oveståede rækkeudvikliger af cos(), si() og e er foretaget i = Da det lykkedes at fide sådae uedelige summer for flere og flere fuktioer, år ogle af de største matematikere i 7-tallet, som Euler og Lagrage, frem til de (fejlagtige) opfattelse, at dette gælder for alle fuktioer Me er dette tilfældet, ka ma derved også helt slippe af med det mystiske græseværdibegreb, ræsoerer Lagrage, og ha beslutter faktisk at defiere differetialkvotiete som koefficiete til førstegradsleddet i de uedelige række hørede til fuktioe I oveståede eksempler er således ifølge Lagrage: cos'() =, si'() =, ep'() = De uedelige rækker kostrueres ormalt ud fra de første, ade, tredje osv afledede af fuktioe, så det ser måske ud til, at Lagrage gik i rig Me det er ikke tilfældet For hvis de uedelige række fides, så ka vi jo lave defiitioe som Lagrage gør Deræst kommer gaske vist spørgsmålet, om vi i praksis ka fide disse koefficieter, me det er et tekisk problem Euler er ikke helt så radikal Ha søger stadig at få hold på et græseværdibegreb og idfører e slags uedeligt små størrelser, som ha beteger med, og som ha rask væk reger med; feks lader ha idgå i brøker og forkorter det væk, hvor ha ka Og Euler år frem til så mage korrekte resultater, at det i sig selv var et argumet for has metode Omskrivig af fuktioer til uedelige summer af poteser havde e række idlysede fordele Matematikere havde emlig tidligt opdaget, at det er let at differetiere hvad som helst ka vi klare me det er svært at itegrere Poteser ka vi let fide stamfuktioer til, me komplicerede sammesatte udtryk må vi ofte give op over for Hvis u alt er summer af poteser, så ka vi vel bare fide stamfuktioe led for led, og på de måde itegrere vilkårlige fuktioer? Se feks på rækkere for si() og cos(): Vi fider e stamfuktio til cos() led for led: cos ( ) d = + + d = k, 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9! og det er etop si() + k Metode slog igeem og var i årtier de domierede idefor differetial- og itegralregige De avedtes også med succes til løsig af differetialligiger Metodes geemslagskraft skyldtes aturligvis først og fremmest, at de var effektiv Me det talte også til des fordel, at ma udgik alle de mærkelige og løse ideer om græseovergage Eulers uller feks

7 Aalyses grudlag Side 7 af 4 Title på Lagrages værk var meget sigede:»teorie om aalytiske fuktioer, ideholdede differetialregiges pricipper, reset for betragtiger om uedeligt små eller forsvidede størrelser, og for betragtiger om græseværdier og fluioer, og idskræket til algebraisk aalyse af edelige størrelser«i begydelse af 8-tallet opstår der imidlertid tvivl om gyldighede af dee matematiske metode Ma opdager på de ee side fuktioer, der ikke er specielt idviklede, me som ikke ka skrives som uedelige summer af poteser Og på de ade side begyder ma at betragte uedelige summer af adre størrelser ed poteser, specielt uedelige summer af trigoometriske fuktioer Og her fider ma besyderlige resultater: Summe: cos( u) cos( 3u) + cos( 5u) cos( 7 u) + giver e fuktio med følgede graf: π/4-3π/ -π -π/ π/ π 3π/ -π/4 De kaldes Fouriers firkatbølge, opkaldet efter de matematiker, Joseph Fourier, der som de første udersøgte disse summer systematisk Ha fadt tilsvarede ud af, at de uedelige sum: si( u) si( u) + si( u) si ( u) + giver de såkaldte»savtakfuktio«med følgede graf: 3 4 π/4-3π/ -π -π/ π/ π 3π/ -π/4 E sum af to kotiuerte fuktioer giver aturligvis e kotiuert fuktio Tager vi flere og flere led med i summe gør det ige forskel: Det er stadig e pæ kotiuert fuktio Og det uaset hvor mage millioer og milliarder led vi tog med Det forekommer også idlysede, at år vi adderer grafer, der er sammehægede, må vi som resultat få oget der ige er sammehægede Me hvad ser vi så her: Tager vi alle led med dvs uedeligt mage så får vi e diskotiuert fuktio Der kommer et sprig på grafe! Dette var meget mærkelige resultater, og det tvag matematikere til at revidere mage af deres hidtidige opfattelser Fourier publicerede sie udersøgelser i 8 Året før havde e af 8- tallets største matematikere Augusti Cauchy udgivet et af sie hovedværker om de matematiske aalyse et værk, der geidfører græseværdibetragtiger, og som er det første»modere«værk om differetial- og itegralregige Me heri»beviser«cauchy, at e uedelig sum af kotiuerte fuktioer er kotiuert! Det bliver dog ikke Fourier selv, der påpeger fejle hos Cauchy Fourier var først og fremmest iteresseret i matematikkes avedelser, og has epokegørede værk med de mærkelig summer er slet ikke e matematikbog, me e fysikbog omhadlede varmeteori Det er derimod de orske Fluioer var Newtos første tilgag til uedeligt små størrelser

8 Aalyses grudlag Side 8 af 4 matematiker Niels Herik Abel, der få år seere gør opmærksom på fejle hos Cauchy og etop med»savtakfuktioe«som et modeksempel Så selv de største matematikere ka miste overblikket og begå fejl Cauchys store fortjeeste var geidførelse af græseværdibetragtiger Has græseværdibegreb er stort set det, vi aveder i dag: Hvis e række af tal,,, ærmer sig et fast tal, på e såda måde, at forskelle til sidst er så lille, som ma har øsket det, så kaldes for græseværdie af de adre Såda skrev Cauchy i 8 Ved hjælp af sit ye græseværdibegreb defierede Cauchy kotiuitet og differetiabilitet Cauchy er fra matematikkes hovedlad Frakrig og derfor de, ma lagde mærke til Has bøger blev avedt over hele Europa Me få år før defierede e tjekkisk matematiker, Bolzao, faktisk græseværdier og kotiuitet på samme modere måde som Cauchy Bolzaos målsætig var at bevise de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer, og ha åede lægere ed adre på has tid, me dog ikke til vejs ede Ha stødte pade mod de mur, der hedder de reelle tals opbygig Has værk fik ikke de betydig, det havde fortjet i Tysklad og Frakrig blev Bolzao først kedt, efter ha var død Det blev tyskere Karl Weierstrass, der i 86 ere fuldførte Cauchys værk og edelig fik skabt det modere og præcise græseværdibegreb De måde, hvorpå e matematiker i dag opskriver defiitioe på kotiuitet, år ha skal være helt præcis, er ord til adet taget fra Weierstrass 3 Weierstrass arbejde lagde også grude til, at e af has elever, Georg Cator, samme med Richard Dedekid i 88 ere edelig fik hold på de reelle tals opbygig Disse to tyske matematikere fordybede sig ikke midst i de matematiske og filosofiske problemer omkrig de reelle tal og uedelighedsbegrebet De opdagede emlig, at uedelighed ikke bare er uedelighed: Allerede Galilei havde faktisk gjort opmærksom på det paradoks, at der i kraft af sammeparrige:, 4, 3 9, 4 6,,, tilsyeladede er lige mage aturlige tal og kvadrattal selv om mægde af kvadrattal åbelyst er e beskede delmægde af de aturlige tal Der er også i e vis forstad lige mage hele tal og ratioale tal, idet samtlige brøker ka stilles op på række og tælles Dette er lidt vaskeligere ed Galileis sammeparrig, me prøv selv, om du ka løse opgave for de positive, ratioale tal, ved at følge dee opskrift: Gruppér først alle brøkere i halve, tredjedele, fjerdedele osv, og stil tallee i hver af disse grupper op i rækkefølge, feks således: 3 4,,,, Placer alle disse (uedeligt mage) rækker uder hiade Og fid u e sedig måde at tælle diagoalt, så du får alle med Lykkes det, er alle brøkere stillet op på række, og derved parret samme med de aturlige tal Me de irratioale tal ka ikke stilles op i række: Der er lagt flere irratioale ed ratioale tal Der er altså forskellige grader af uedelighed Det var e af Cators store opdagelser De modere matematiske aalyse tager sit udgagspukt i det arbejde, som disse matematikere lavede for godt år side 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer De sætiger, vi har vist, og metoder, vi har udviklet idefor differetial- og itegralregige og teorie for løsig af differetialligiger, bygger på mootoisætige og på hovedsætigere om kotiuerte fuktioer Og disse bygger ige på de reelle tals egeskaber Vores første etape vil være at få bevist mootoisætige Udervejs vises adre vigtige sætiger fra differetialregige Som forudsætig har vi således i dette afsit: Abel er i matematikhistorie bla kedt som de, der beviste, at der ikke ka fides e formel for løsig af femtegradsligiger (og heller ikke af oge højere grad), som vi keder det fra adegradsligiger, og som der også fides for tredje- og fjerdegradsligiger 3 Weierstrass tekik er geemgået i appediks

9 Aalyses grudlag Side 9 af 4 HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis e fuktio f er kotiuert på det lukkede og begræsede iterval [ ab ; ], så er værdimægde også et lukket og begræset iterval: Vm( f ) = [ α; β ] Specielt har f et maksimum og et miimum i itervallet Først geopfrisker vi fra differetialregige: SÆTNING OM LOKALE EKSTREMA Hvis f er differetiabel i et iterval, og f har et lokalt ekstremum i et idre pukt c, så er f '(c) = a c b Bevis: Lad os sige, at c er et maksimumspukt (beviset går efter samme melodi for et miimumspukt) At f har lokalt maksimum i c betyder, at der fides et iterval om c, således at f i dette iterval har størsteværdi i c, se tegige ( ) ( ) f f c f er differetiabel i c, dvs f '( c) år c c Vælg u e række -værdier til vestre for c, så,, 3, c f f c Se på forteget for sekathældigere (differeskvotietere) c Da ligger til vestre for c, er c< Da f(c) er størst, er f ( ) f ( c) f ( ) f ( c) ( ) ( ) Dvs for alle disse værdier er c Vælg deræst e række tal til højre for c, så: z, z, z3, c f ( z ) f ( c) Se på forteget for sekathældigere, og argumeter for, at: z c f ( z ) f ( c) For alle disse værdier er z c Betragt du tallije, og afsæt herpå alle disse sekathældiger: : ( ) ( ) f z f c z c ( ) ( ) f z f c z c ( ) ( ) f f c c ( ) ( ) f f c c Når c, og år z c Det kommer fra defiitioe på differetialkvotiet, vil brøkere ærme sig ét bestemt tal, emlig '( ) f c

10 Aalyses grudlag Side af 4 Me så ka f '( ) ( ) ( ) f f c c ikke være egativ, for så ville brøkere c f ' c ikke være positiv ikke kue komme vilkårlig tæt på f '( c ) Tilsvarede ka ( ) Koklusio: f '( c ) må være lig med Næste skridt frem mod mootoisætige udgøres af to berømte sætiger fra differetialregiges historie, Rolles sætig og Middelværdisætige Middelværdisætige er et stærkt redskab i teoretisk matematik, hvorimod de mere sjældet fider avedelse til løsig af praktiske beregigsopgaver Det skyldes, at sætige har e ade karakter ed vi er vat til: Det er e såkaldt eksistessætig, der udtaler sig om, at der fides et tal, hvorom oget bestemt gælder; me sætige siger ikke hvilket tal, eller oget som helst om, hvorda vi fider dette tal Rolles sætig, som vi først viser, er et specialtilfælde af Middelværdisætige; me vi viser de først, fordi de ka avedes til at give et grafisk set letforståeligt bevis for middelværdisætige ROLLES SÆTNING 4 Hvis f er differetiabel i itervallet [ ab ; ], og f ( a) = f ( b) =, så fides et c ] a; b[ f '( c ) = De grafiske situatio ka være følgede:, hvor c a c b eller a c b Bevis: Vi skeler mellem to tilfælde: f er kostat lig med Så er f '() = for alle, og sætige er idlysede sad f er ikke kostat Da f specielt er kotiuert, siger hovedsætig om kotiuerte fuktioer, at Vm( f ) er et lukket iterval: Vm( f ) = [ α; β ] α og β er heholdsvis miimum og maksimum, og midst ét af dem er forskelligt fra ; feks β Maksimum atages i et tal c ] a; b[ : f ( c) = β Teg situatioe! Sætige om lokale ekstrema siger da, at f '(c) = Me det var etop påstade i Rolles sætig, som hermed er vist Ved hjælp af Rolles sætig vises u: 4 Sætige optræder første gag i e bog, som de fraske matematiker Michel Rolle udgav i 69 Rolle beviste ikke sætige, me formulerer de som et hjælpemiddel til at løse visse ligiger Ha er ikke kedt for adet i matematikhistorie

11 Aalyses grudlag Side af 4 MIDDELVÆRDISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i [ ab ; ], så fides et tal c ] a; b[, så f '( c) De grafiske situatio ka være følgede: l = ( ) f ( a) f b b a B A a c c b f ( b) f ( a) Bemærk at er hældige på lije l Det er altså i e vis forstad de geemsitlige stigig, år vi går fra A til B Deraf avet Middelværdisætige b a Bevis: Lad l() være de lieære fuktio, hvis graf er l Så er l( a) = f ( a) og l( b) = f ( b), og edvidere l' ( ) Vi daer u e y fuktio g: g( ) = f ( ) l( ) = ( ) f ( a) f b b a for alle g() opfylder betigelsere i Rolles sætig: De er differetiabel, og g( a) = f ( a) l( a) =, samt g( b) f ( b) l( b) Vi aveder Rolles sætig på g: Der fides et c ] a; b[, så: = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g' c = f ' c l' c = f ' c = l' c f ' c = ( ) f ( a) f b b a Overvej hvorfra vi fik de sidste idetitet! Dee sidste idetitet var etop påstade i Middelværdisætige, som hermed er vist Bemærk at kostruktioe af g ret grafisk svarer til at vi drejer systemet med f og l ed, så A og B kommer til at ligge på -akse Her avedes Rolles sætig der er e vadret taget og vi drejer så tilbage ige, og får e tagethældig svarede til stigigstallet for l ØVELSE a) Aved Middelværdisætige til at bevise Itegralregiges middelværdisætig: Hvis f er kotiuert i [ ab ; ], så fides et tal c, så:

12 Aalyses grudlag Side af 4 b ( ) = ( ) eller skrevet på e ade måde: f ( ) d = f ( c ) ( b a ) f c f d b a a (Hjælp: Lad F() være e stamfuktio til f() Opskriv middelværdisætige for F() i itervallet ab ;, og udyt defiitioe på det bestemte itegral) [ ] b) Lav e tegig, hvor f() > og giv e grafisk begrudelse for Itegralregiges middelværdisætig Vi har u apparatet klar til at bevise: MONOTONISÆTNINGEN Hvis f er differetiabel i et iterval I, så gælder: f '( ) > for alle I f er voksede i I f '( ) < for alle I f er aftagede i I 3 f '( ) = for alle I f er kostat i I Bevis for : Vælg og, så b a < Vi skal vise, at f er voksede, dvs vise, at f ( ) f ( ) > : f ( ) f ( ) Betragt u f på itervallet [ ; ], og aved Middelværdisætige her: Der fides et c mellem og, så: f '( c) = ( ) ( ) f f Omskriv til: f ( ) f ( ) = f '( c) ( ) Se u på forteget for højre side: f ' c > ifølge atagelse i ( ) ( ) >, idet tallee er valgt såda Derfor er hele højre side positiv; me det betyder: f f ( ) ( ) >, eller med adre ord: f ( ) er større ed ( ) Koklusio: < f ( ) < f ( ), eller: f er voksede f ØVELSE Geemfør selv bevisere med de ædriger, der skal laves i pukt og 3

13 Aalyses grudlag Side 3 af 4 Opgaver til afsit 3 Du er kørt i bil fra e by A til e by B 5 km borte Ture tog i alt timer Argumemtér for, at uaset hvorda du kørte, så var farte midst é gag uder ture præcis 75 km/t To fly på rute Købehav New York starter samtidig fra hver si lufthav Ture for begge fly tog 7 timer Vis, at de på et tidspukt uder flyveture fløj med øjagtig samme fart (bortset fra start- og sluthastighede på km/t) 3 3 Illustrer middelværdisætige for f ( ) = + + i itervallet [ ;] a) Vis at påstade i sætige er følgede: ; : Der fides et tal c i itervallet [ ], så f '( c ) = 3 b) Bestem det eller de tal c, hvor f '( c ) = 3, og demostrer derved, at sætige er sad i dette tilfælde 4 Illustrer middelværdisætige for f ( ) = i itervallet [ ; ] a) Vis at påstade i sætige er følgede: ab : Der fides et tal c i itervallet [ ab ; ], så f '( c) = b a b) Vis at dette svarer til ligige: f '( c) = a+ b c) Bestem det tal c, der opfylder dee ligig, og vis at dette ligger i [ ab ; ] d) Illustrer resultatet grafisk b a a) Vis at såfremt f er differetiabel og har 4 forskellige ulpukter i [ ab ; ], så har f '( ) midst 3 forskellige ulpukter i samme iterval b) Geeraliser påstade i a) til situatioe, hvor f har forskellige ulpukter i [ ; ] ab a) Vis at såfremt f er to gage differetiabel i [ ab ; ], og f har tre forskellige ulpukter, da har f ''( ) midst ét ulpukt i samme iterval b) Formuler selv, hvad der tilsvarede gælder om de tre gage afledede f (3), hvis f er tre gage differetiabel i [ ab ; ], og f har 4 ulpukter i dette iterval c) Aved oveståede tekik til at argumetere for, at et 'tegradspolyomium højst har forskellige rødder a) Vis at såfremt f og g er differetiable i [ ab ; ], f ( a) g( a), og f '( ) g' ( ) a < < b, så gælder, at f ( ) g( ) for alle [ ab ; ] (Hjælp: Lav et idirekte bevis, dvs atag der fides et, hvor f ( ) g( ) så Middelværdisætige) b) Vis tilsvarede: Hvis der yderligere gælder: f '( ) < g' ( ) for alle [ ab ; ] f ( ) < g( ) for alle [ ab ; ] for >, og udyt, så er også

14 Aalyses grudlag Side 4 af 4 8 Aved resultatere i opgave 7 til at vise følgede uligheder: si( ) ta ( ) π < <, for < < 9 Atag f er to gage differetiabel i itervallet [ ab ; ], og at f ''( ) > for alle her a) Vis at f '( ) er voksede b) Lad p( ) være det approksimerede førstegradspolyomium i a Vis at p' ( ) < f '( ) for alle ] ab ; ] c) Udyt resultatet i opgave 7 til at vise: I itervallet ] ab ; ] ligger grafe for f helt over tagete til grafe i puktet ( a, f ( a )) (Hjælp: Lav e tegig, der illustrerer situatioe) E fuktio med egeskabe f ''( ) > eller f ''( ) < kaldes for koveks i det pågældede iterval Vi skeler mellem de to typer ved at tale om, at grafe for e fuktio f '' > er opad hul, og grafe for e fuktio med egeskabe med egeskabe ( ) f ''( ) < kaldes edad hul Formuler og vis e tilsvarede sætig som i opgave 9c gældede for fuktioer, hvis grafer er edad hule, dvs fuktioer, der er to gage differetiable, og hvor der gælder, at f ''( ) < for ab ; alle ] ] Udyt opgave 9 og til at vise følgede: Hvis f er to gage differetiabel, og der gælder f ''( a ) = samt ( ) f ''( ) < år < a (dvs fortegslije for f ''( ) tagete i ( a, f ( a )), år vi befider os til vestre for a (år a befider os til højre for a (år > a ) E såda taget kaldes derfor e skrå vedetaget 4 3 Vis at f ( ) = + har e skrå og e vadret vedetaget f '' > år > a, og er: +), så vil grafe for f ligge uder < ), og over tagete, år vi 3 Atag at f er to gage differetiabel og at f ''( ) > i ] ab ; [ Lad l være sekate fra ( a, f ( a )) til ( b, f ( b )) Vis at grafe for f ligger helt uder l i hele ] ab ; [ (Hjælp: Lav et idirekte bevis: Atag der fides et hvor ( ) Middelværdisætige på heholdsvis [ a ; ] og [ ; ] om f '( )) f ligger på eller over l Aved b og få e modstrid med, hvad du ved 4 Aved resultatet i opgave 3 til at vise følgede: Hvis f er to gage differetiable, og f ''( ) > i ] ; [ + f ( ) + f ( ) ab, så er ( ) f (Dette er første udgave af Jeses ulighed e af de få berømte sætiger i matematikhistorie opkaldt efter e dask matematiker) 5 Vis De geeraliserede middelværdisætig: I ab ; Hvis f og g er differetiable i itervallet = [ ], og ( ) g' i I, så fides et tal c i I, så:

15 Aalyses grudlag Side 5 af 4 f ( b) f ( a) f '( c) = g( b) g( a) g' ( c) (Hjælp: Argumeter først ved hjælp af middelværdisætige for, at g( b) g( a) Betragt deræst fuktioe h( ) = ( f ( b) f ( a) ) g( ) ( g( b) g( a) ) f ( ), og vis hb ( ) ha ( ) Aved så edelig middelværdisætige på h( ) ) = 6 Vis ved hjælp af resultatet i opgave 5, De geeraliserede middelværdisætig, følgede vigtige sætig til vurderig af græseværdier (sætige kaldes l Hôpital s regel, opkaldt efter e rig frask adelsmad, der købte sætige af e kap så rig, me meget dygtig matematiker): Hvis f og g begge har græseværdie for a, hvis g( ) og g' ( ), år a, og hvis f '( ) L g', år a, så gælder også, at f ( ) L g, år a ( ) ( ) Sætige gælder også, hvis vi idskræker os til at se på græseværdier fra højre eller vestre (Hjælp: Hvis f og g ikke er kotiuerte i a, så lav e kotiuert udvidelse af dem, dvs defiér fuktioer F() og G(), der er lig med heholdsvis f og g år a, og som begge er i a Vælg deræst et a, og vis ud fra De geeraliserede middelværdisætig, at der fides et c mellem a og, så: ( ) ( ) ( ) ( ) f f ' c = g g' c Foretag u græseovergage 7 Aved opgave 6 til at fide følgede: a) græseværdie af si() t t a og kokludér ud fra oveståede ligig), for t b) græseværdie af , for t c) græseværdie af l ( ), for d) græseværdie af si () t t π, for t π e) græseværdie af si, for ( ) (For e: sæt på fælles brøkstreg, og udyt regle to gage)

16 Aalyses grudlag Side 6 af 4 8 De cetrale sætig om stamfuktioer siger: Hvis f er kotiuert med stamfuktioe F, så ka ehver ade stamfuktio til f skrives på forme: F() + k, hvor k er e kostat Fid beviset for dee sætig, og gør rede for, hvor præcis det er, vi aveder mootoisætige 9 E opgave ideholder følgede delspørgsmål: Bestem mootoiforhold for f ( ) = 6 Gør rede for, hvor præcis det er, vi aveder mootoisætige, og hvor vi aveder de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer Aved mootoisætige til at bevise følgede formler: l r ( ) = l ( ) l( ) = r l ( ) (Bemærk: Du må ikke avede regereglere for logaritmefuktioere; det er jo dem, vi er i færd med at vise Du må derimod avede, at l' ( ) =, og at l ( ) = ) g = l + l ) (Hjælp: Betragt fuktioe ( ) ( ) ( ) Aved mootoisætige til at vise: e > +, for (Hjælp: Opdel i to tilfælde: < og Alterativt bevis: Udyt resultatet i opgave 7) >, og betragt fuktioe f ( ) e ( ) = + a) Aved mootoisætige og resultatet i opgave til at vise: e > + +, år > b) Aved mootoisætige og resultatet ovefor til at vise: 3 e > + + +, år > 3! c) Geeraliser resultatet ovefor og vis: 3 4 e , år > 3! 4! 4 De reelle tal ( del) Tallees historie er æste lige så gammel som det modere meeskes Vi ka spore vore direkte forfædre 3 år tilbage Da Cro Mago meeskee blev i Europa, mes ise rykkede ed over kotietet, bosatte de sig i store huler i det uværede Frakrig, Spaie Tjekkiet og adre steder I e hule i Tjekkiet har ma fudet e ulvekogle, hvori der tydeligt er ridset e række streger i budter på 5 af gage, ca 3 i alt Disse meesker har haft et talsystem, der er mere avaceret ed»e, to, mage«det har åbebart været et 5-tals- eller et -talsystem (eller evt et - talsystem), og de har måske haft talord op til 3 eller lægere Det sidste ka vi u ikke kokludere ud fra tællemærkere ma ka sagtes tælle i budter på 5 ude at have egetlige talord Disse første tal, som vi bruger til at tælle med, kalder matematikere for»de aturlige tal«de beteges : =,,3,4, { } Tallet er ikke med Det er svært at fide e»aturlig«repræsetat for I skriftsproget optræder det først som et fravær, oget der ikke var der, e tom plads Først flere hudrede år ekr dukker i

17 Aalyses grudlag Side 7 af 4 Idie et symbol for ul op Og det tog lag tid, før det blev accepteret på lige fod med adre hele tal romertallee, der blev brugt til beregiger helt op i 6-7 tallet, ideholder som bekedt ikke et ul Heller ikke de egative tal ka fides i ature Det er meigsløst at sige, at ma så 7 æder Negative tal fremkommer ved, at meeskee har lavet ogle beregiger og således opstod de da også samme med bogholderiet omkrig -tallet i Norditalie Først som»røde tal«, dvs tal skrevet med e ade farve; efter ogle hudrede år vider miusteget efterhåde frem 5 Matematisk defieres og de egative tal ud fra kravet om at ligige a + = b skal have løsiger for ethvert aturligt tal a og b De hele tal beteges med : =, 3,,,,,,3, { } Brøkere har derimod e lægere historie, og er da også lette at få øje på i ature Hos de gamle ægyptere var brøkregig e af de vigtigste disciplier at lære for embedsmædee Og det var bestemt ikke let de havde ikke vores talsystem, og kedte således heller ikke vores simple divisiosmetode til at omskrive brøker til decimaltal Matematisk idføres brøkere (de ratioale tal) ud fra kravet om, at ligige a = b skal have e løsig for alle hele tal a og b, hvor a De ratioale tal beteges Der var mage vaskeligheder at overvide, før ma kue tage æste store skridt og idføre de reelle tal Før ma ka give e præcis defiitio, må der gå e periode, hvor ma arbejder med disse tal, væer sig til dem, og får e foremmelse for de særlige egeskaber, der karakteriserer de reelle tal Me hvorda væe sig til oget, ma ikke ka skrive? De irratioale tal er jo kort fortalt de uedelige ikke-periodiske decimalbrøker Vi er så vat til at bruge decimalbrøker, at vi har svært ved at forestille os et samfud, hvor ma ok har tal, og reger med brøker, me ikke keder decimalbrøker Det er imidlertid ikke så læge side, de blev idført vi ka faktisk sætte årstal på: I 585 skriver de holladske matematiker Simo Stevi de bog, der itroducerer decimalbrøkere i Europa, og viser, hvor ekelt det er at rege med disse Det var e lille tyd bog, med udertitle:»udervisig i, hvorledes alle beregiger, ma møder i forretigslivet ka udføres ved hjælp af hele tal, helt ude brug af brøker«stevi avedte edu ikke kommaet det er e ret y opfidelse me agav i stedet ved små mærker, hvilke plads»efter kommaet«et ciffer stod på:,34 skrev ha som 3 () 4 () I løbet af få år var boge blevet oversat til frask, egelsk og adre europæiske sprog, og kedt i det meste af Europa Før skulle ma ærmest have e uiversitetsuddaelse for at kue gage og dividere Stevi lærte almidelige meesker at rege, efter ogelude samme metode, som vi i dag bruger, år vi udreger gage- og divisiosstykker i håde Med decimalbrøkere tager Stevi selv allerede det æste skridt: Der er ige objektive græser for, hvor øjagtigt vi ka måle, veje osv Der ka altid føjes et yt ciffer på Da koordiatsystemet blev idført midt i 6-tallet lå det ligefor at idetificere tal med pukter på lije, bestemt ud fra afstade til begydelsespuktet Decimalbrøkere var det første stykke værktøj, matematikere måtte have for at kue begribe, hvad et irratioalt tal er Me det er ikke ok, for selv om ma kue tæke på e uedelig ikkeperiodisk decimalbrøk, så ka ma jo ikke skrive e såda Det problem blev løst æste samtidig med, at Stevi idførte decimalbrøkere De fraske matematiker Viète får de ekle take, at år vi ikke ka skrive e uedelig decimalbrøk, som eller π, så ka vi i stedet give tallet et av, a, b eller etop som vi skriver i dag: 5 Descartes, der idfører koordiatsystemet midt i 6-tallet, er stadig usikker på de egative tals status Hvor vi placerer koordiatsystemets cetrum (kaldet Origo), dvs puktet med koordiatere (,) midt på papiret, der placerede Descartes det i ederste vestre hjøre Og selv i vore dage fides usikkerhede geem folkeskoleudervisige lærer mage elever stadig at placere cetrum som Descartes gjorde

18 Aalyses grudlag Side 8 af 4 og π Og derefter lade tallet idgå i beregiger med sit av! Viète er de første, der begyder at idføre de modere otatio, hvor vi beteger tal med bogstaver Viète foreslog at betege ukedte størrelser med vokaler, kedte størrelser med kosoater Et halvt århudrede seere ædrer Descartes dette til vort uværede system: Bogstaver først i alfabetet beteger fastlagte størrelser (kostater), og bogstaver sidst i alfabetet beteger»ukedte«størrelser (variable) Med Viètes og Stevis ye ideer havde matematikere værktøjet, me ma kom til at vete læge på de præcise defiitio af, hvad et irratioalt tal er Dette vil vi i det følgede ærme os geem e række øvelser, hvor vi i starte tillader os at rege med uedelige decimalbrøker, ude at se oget problem i det EKSEMPEL Omskrevet til decimalbrøk får vi følgede:,5 4 = =,333 =,3, hvor strege over 3 betyder, at 3 getages»i det uedelige«3 I det sidste tilfælde siger vi også, at tallet er periodisk med periode Tilsvarede: =,888 =,8 Tallet er periodisk med periode ØVELSE Omskriv tilsvarede: = 7 5 = 5 7 = Udreges de sidste på lommereger, får vi:, Hvorfra ved vi, at der er e periode, som fortsætter? ØVELSE Omskriv: 4 7 = Lommeregere ka ikke hjælpe dig her Du må i gag med papir og blyat Overvej øje følgede: Hvorår ka vi være sikre på, at vi»starter forfra«, dvs at vi har fudet periode? Argumeter herefter selv for følgede:

19 Aalyses grudlag Side 9 af 4 SÆTNING Ehver brøk p q, hvor pq,, ka skrives som e edelig eller e uedelig og periodisk decimalbrøk EKSEMPEL Edelige decimalbrøker omskrives let til brøker Eksempelvis er: 37,37 = I virkelighede har vi lavet følgede regestykke: 37 =, 37 = 37 = Samme takegag ka vi avede til omskrivig af uedelige, periodiske decimalbrøker: = 573,7373 = 5, = 568 Dvs = ØVELSE 3 Omskriv efter samme idé tallee: a) =,3434 b) = 8, c) = 5,3 Argumeter u for følgede: SÆTNING Ehver edelig eller uedelig og periodisk decimalbrøk ka omskrives til e almidelig brøk, med hele tal i tæller og æver Da vi u har set, at de ratioale tal (brøkere) præcis er de edelige eller uedelige og periodiske decimalbrøker, så har vi samtidig aalyseret os frem til e karakteristik af de øvrige, irratioale tal: Dette må være tal, der skrives som uedelige, ikke-periodiske decimalbrøker Tæker vi lidt dybere over dette, rejser der sig e række spørgsmål Fides der overhovedet irratioale tal? Hvis der gør, fides der så metoder til at afgøre om et tal er irratioalt? Hvad skal vi forstå ved e uedelig decimalbrøk? Og specielt: Er et tal som π irratioalt? ØVELSE 4 (Der fides irratioale tal!) Selv om vi edu ikke har forklaret, hvad e uedelig decimalbrøk er, vil vi fortsat appellere til ituitioe og rege videre Et irratioalt tal er e uedelig decimalbrøk:, aaaa, 3 4

20 Aalyses grudlag Side af 4 hvor der ikke fides oge periode efter hvilke a ere getages Ka vi da agive et system, efter hvilket det er idlysede, hvorledes a ere fortsætter, og samtidig klart at, der ikke kommer oge periode? Det ka vi sagtes, for systematik behøver jo ikke være getagelse: Det mest systematiske er vel æste de aturlige tal:,,3,4, De fortsætter og fortsætter me skriv så dee række ude komma imellem:, Det må være et irratioalt tal Prøv u selv at fide adre irratioale tal, kostrueret efter samme idé om et system, der ikke rummer getagelser ØVELSE 5 Vis at er irratioal (Hjælp: Lav et idirekte bevis, hvor vi atager er ratioal og får e modstrid Dvs vi atager p =, hvor p og q er hele tal Lad os samtidig sige, p er forkortet så meget som muligt, så p og q q p q ige fælles faktorer har Opløft u i ade og betragt ligige: = Omskriv ligige og q prøv at vise, at går op i både p og q det vil jo være e modstrid med, at brøke var uforkortelig) ØVELSE 6 Bevis efter samme idé, at 3 er irratioal Der fides ikke e geerel og fælles metode til at afgøre, om et tal er irratioalt Det må afgøres i hvert ekelt tilfælde Derfor har vi de barokke situatio, at der i virkelighede fides uedeligt mage flere irratioale tal ed ratioale, me vi»keder«relativt få irratioale tal Tallet π vides i dag at være irratioalt Beviset herfor er meget vaskeligt Tilsvarede ved vi, at tallet e er irratioalt (hvilket i øvrigt ikke er slet så svært at vise) Me vi ved feks ikke, om tallet e π er irratioalt På lommeregere er alt ratioalt Feks er π = 3, Dette er aturligvis ikke π Me dette ratioale tal, der er e tilærmelse til π, ka give os e idé om, hvorledes vi ka»fage«, eller»udpege«det irratioale tal π ved hjælp af lutter ratioale tal π ligger i hvert af itervallere: I = I = I3 = I4 = I5 = [ 3;4] [ 3,;3, ] [ 3,4;3,5] [ 3,4;3,4] [ 3,45;3,46] Dee kæde af itervaller ka tilsyeladede fortsættes i det uedelige: I I I3 I4 I5 I6 I, og itervalbredde ærmer sig, år går mod uedelig Da π ligger i alle, må π»ligge på bude«af hele kæde Et sådat system kaldes e itervalruse

21 Aalyses grudlag Side af 4 ØVELSE 7 Fid på lommeregere og lav tilsvarede e start på e itervalruse, der fager ØVELSE 8 De foregåede øvelser var syd i de forstad, at vi kedte, eller bildte os id at kede og π som uedelige decimalbrøker Ellers ville det jo ikke blive e uedelig itervalruse Me vi keder etop ikke disse tal som uedelige decimalbrøker, vi ved blot de ikke er ratioale Vi ka imidlertid lave e itervalruse, der fager ved at bygge på defiitioe på dette tal: er de positive løsig til = Da = og = 4, må tallet, vi leder, efter ligge imellem og : [ ; ] = I Da,5 =,5, må tallet ligge mellem og,5: [ ;, 5] = I Da,5 =,565 må tallet ligge mellem,5 og,5: [, 5;,5 ] = I3 Fortsæt dee proces to skridt edu Herved fremkommer e itervalruse: I I I3 I4 I5 I6 I, hvor itervallægde for hvert tri halveres, dvs de går mod ligger ifølge kostruktioe i alle itervallere Derfor vil tallet»ligge på bude«, og blive faget af dee ruse, der ige ku var lavet ud fra ratioale tal Vi giver u oveståede e mere præcis behadlig DEFINITION på græseværdi E følge af tal,, 3,, siges at gå mod, år, hvis det gælder, at uaset hvor lille et positivt tal a, vi vælger, så fides et N, hvorfra alle ere er midre ed a: N, N+, N+, er alle aa ; umerisk midre ed a, dvs de befider sig alle i itervallet ] [ Teg selv situatioe på e tallije! DEFINITION på græseværdi E følge af tal,, 3,, siges at gå mod, år, hvis det gælder, at forskelle, år DEFINITION på itervalruser E itervalruse er e følge af itervaller: I I I3 I4 I5 I6 I, hvor itervallægde går mod, år

22 Aalyses grudlag Side af 4 SÆTNING 3 E itervalruse bestemmer højst ét tal Bevis: Atag at tallet t er med i alle itervallere, I Betragt et vilkårligt adet tal s Kald afstade mellem t og s for d, og se på følgede iterval J omkrig t: t ; t + d d J t d d t t + s Da itervallægde går mod, ka vi ifølge defiitioe fide et N hvorfra alle itervallægder er midre ed d Da t ligger i alle itervallere, og specielt i alle IN, IN+, IN+,, må disse itervaller ligge idefor itervallet J, se tegige Me så ka tallet s jo ikke ligge i itervallere fra og med I N Koklusio: Ige adre tal ed t ka ligge i alle itervallere, dvs itervalruse bestemmer højst ét tal Spørgsmålet er så, om der faktisk altid fides et sådat tal»på bude«af itervalruse I øvelse 8 kostruerede vi e ruse, hvor var med i alle itervallere Sætig siger da, at ige adre tal er med Specielt er ige ratioale tal med Idefor mægde af ratioale tal fides således itervalruser, der ikke bestemmer oget ratioalt tal Derfor er det ikke e selvfølgelighed, at der fides oget på bude Ud fra disse overvejelser idføres u de reelle tal ved følgede aksiom: AKSIOM OM DE REELLE TAL Ehver itervalruse bestemmer præcis ét tal Hvis tallet ikke er ratioalt, kaldes det irratioalt Mægde af ratioale og irratioale tal kaldes de reelle tal og beteges Bemærkig Ved aksiomer har ma historisk forstået: Selvidlysede påstade, vi tager for givet og ikke skal bevise Ikke alt ka bevises vi må jo starte et sted Og det er etop ved aksiomere I geometrie startes bla med det aksiom, der siger: Geem to pukter ka der teges præcis é ret lije Geem matematikhistorie har aksiomere udviklet sig til blot at være udgagspuktet, idet det er svært at give e præcis forklarig på, hvad det vil sige, at oget er selvidlysede Vores aksiom om de reelle tal kræver egetlig at blive fulgt op af overvejelser om regeregler for reelle tal; me alt det vil vi sprige over 5 Kotiuerte fuktioer ( del) Vi eridrer os defiitioe på, hvad det vil sige, at e fuktio er kotiuert: DEFINITION f er kotiuert i, hvis der gælder: For ehver talfølge vil f ( ) f ( ) Defiitioe rejser umiddelbart et problem: Vi har e betigelse, der skal være opfyldt for ehver talfølge, med græseværdi Me det ka vi jo aldrig udersøge Derfor vælger vi altid»e vilkårlig talfølge«, der så at sige er»typisk«me kue vi ikke risikere at overse e meget speciel og

23 Aalyses grudlag Side 3 af 4 uderlig talfølge? Betigelse er som ævt, at det skal gælde for ehver, dermed også for e såda meget speciel sag Dette problem bliver først løst med idførelse af de præcise og formelle defiitio på kotiuitet, såda som Weierstrass gjorde det i 86 ere Weierstrass metode er præseteret i appediks Populært sagt»trækker«ere f( ) ere med sig på e jæv måde, så der ikke sker pludselige sprig eller ligede Det grafiske billede af e kotiuert fuktio er ituitivt: e sammehægede kurve, der pricipielt ka teges i e streg, ude vi behøver at løfte blyate fra papiret: EKSEMPEL f er ikke defieret i =, og derfor heller ikke kotiuert Der fides slet ikke oget f() EKSEMPEL g er ikke kotiuert i =, da g() =, og e følge af tal,,, der fra højre ærmer sig ikke vil give e følge g( ), der ærmer sig g() h er kotiuert i = Er fuktioe: f ( ) =,5 for 3 + 3,5 for > 3 kotiuert i = 3? For at besvare dette udreges først f ( 3) = 3,5= 4,5 Vælg deræst e følge af tal, der ærmer sig 3 fra højre: f ( ) = 3,5 + Når 3, vil f ( ) 3+ 3,5= 5 f f 3 Derfor er f ikke kotiuert i = 3 Altså gælder der ikke, at ( ) ( ) Geem de følgede øvelser skal du dels gøre dig mere fortrolig med det grafiske billede af kotiuerte fuktioer Og dels via de sidste sværere øvelser få hold på problemstillige: Vil de afledede af e differetiabel fuktio altid være kotiuert? ØVELSE Bestem tallet a, så f bliver kotiuert i :

24 Aalyses grudlag Side 4 af 4 f ( ) ØVELSE + + a > = for for Bestem tallet c, så f bliver kotiuert i : f ( ) ØVELSE 3 + c for < = 3+ for Skitser grafe for kotiuerte fuktioer, der hver for sig opfylder følgede: a) Dm( f ) = Vm( f ) = ] ;5[ b) Dm( f ) = Vm( f ) = ] ;] c) Dm( f ) = [ ;5] Vm( f ) = [ ;5] d) Dm( f ) = ] ;5[ Vm( f ) = [ ;5] ØVELSE 4 Skitser grafe for kotiuerte fuktioer, der hver for sig opfylder følgede: a) Dm( f ) = ] ;5[ Vm( f ) = [ ; [ b) Dm( f ) = ] ;5[ Vm( f ) = c) Dm( f ) = ] ;5[ Vm( f ) = ] 5;5[ d) Dm( f ) = ] ;5[ Vm( f ) = [ ;5[ ØVELSE 5 Skitser grafe for kotiuerte fuktioer, der hver for sig opfylder følgede: a) Dm( f ) = [ ;5[ Vm( f ) = [ ;[ b) Dm( f ) = [ ;5[ Vm( f ) = ] ;] c) Dm( f ) = [ ;5[ Vm( f ) = d) Dm( f ) = [ ;5[ Vm( f ) = [ ;] e) Dm( f ) = [ ;5[ Vm( f ) = ] ;[ ØVELSE 6 Er følgede fuktioer kotiuerte i? a) f ( ) ( ) si for = for = b) f ( ) ( ) si for = for =

25 Aalyses grudlag Side 5 af 4 c) f ( ) ( ) si for = for = d) f ( ) ( ) 3 si for = for = ØVELSE 7 Er fuktioere i opgave 6 differetiable i? (Hjælp: Se på tagethældigere til vestre og til højre for ; her må vi jo differetiere, og ka derfor rege os frem til det Overvej deræst, om der ka lægges e taget i = : Hvad skulle tagethældige i givet fald være?) ØVELSE 8 Se på de fuktioer fra 6, der er differetiable Er deres afledede kotiuert? Vi har u værktøjet til at bevise: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER 6 (Af og til: Sætige om mellemliggede værdier) ab ;, og f har modsat forteg i de to edepukter, så fides et tal Hvis e fuktio f er kotiuert i [ ] c ] a; b[, så f ( c ) = Bevis: Lad os sige, at f ( a ) <, og f ( b ) > : a m3 (, ( )) Aaf a m m b (, ( )) B b f b Tallet c vil vi fide ved e itervalruse: I = [ a; b], hvor f ( a ) <, og ( ) tri: I = [ ab ; ] tri: Lad m være midtpuktet mellem a og b f m =, er vi færdige Hvis ( ) Hvis f ( m ) <, sættes I [ m; b ] Hvis f ( m ) >, sættes I [ am ; ] = = 3 tri: Lad m være midtpuktet i det ye iterval I Getag processe fra tri og kostruér herved et yt iterval I 3 Herved får vi kostrueret e følge: I I I I I I I f b > : 6 Af og til kaldes dee for Bolzaos sætig, idet Bolzao var de første, der eksplicit formulerede de og forstod, at der måtte gives et bevis for de Has eget bevis var ikke i orde og kue ikke være det, idet ma på dette tidspukt, omkrig 8, ikke havde fået styr på de reelle tal

26 Aalyses grudlag Side 6 af 4 Kostruktioe idebar, at vi bestadigt halverede itervallægde Derfor vil itervallægde gå mod Me så vil dee itervalruse bestemme et tal c Da a c, vil f ( a ) f ( c), og da b c, vil f ( b ) f ( c) Me fuktiosværdiere i edepuktere var jo bestadigt heholdsvis egative og positive: f ( a ) f ( b ) Derfor må der gælde: f ( c ) = ØVELSE 8 Gør det sidste argumet i beviset helt præcist SÆTNING (Dette er rettelig: Sætige om mellemliggede værdier) ; f b, så fides et tal c mel- Hvis f er kotiuert i itervallet [ ab ], og y er et tal mellem f ( a ) og ( ) lem a og b, så f ( c) = y De grafiske situatio kue være således: f ( b) y a f ( a) c b Bevis: Hvis y = f ( a) eller y = f ( b), er påstade triviel Atag derfor at f ( a ) og f ( b ) er forskellige, og at eksempelvis f ( a ) er midre ed ( ) f b y ligger mellem de to tal: f a < y < f b ( ) ( ) Vi daer e y fuktio: g( ) = y f ( ) Om g( ) gælder: g er kotiuert g a = y f a > ( ) ( ) g( b) = y f ( b) < De hovedsætig giver u, at der fides et c mellem a og b, så: g( c) = y f ( c) = y = f ( c) Me det var jo præcis påstade i sætig

27 Aalyses grudlag Side 7 af 4 Bemærk Sætig ka formuleres på e lidt ade måde: Hvis f er kotiuert, og tallee c og d begge er ; Vm f Overvej dette! med i Vm( f ), så er hele itervallet [ cd ] med i ( ) Opgaver til afsit 5 I tekste og i de følgede opgaver går vi ud fra de ituitivt idlysede regeregler for græseværdi (som vi ikke vil bruge plads på at bevise, me som alle forholdsvis let bevises ud fra Weierstrass defiitio på græseværdi, der præseteres i appediks ): Hvis de fuktioer, der idgår i et større regeudtryk, hver for sig har e græseværdi, og vi ikke risikerer at dividere med, så udreges græseværdie af sum, differes, produkt og kvotiet faktor for faktor, og led for led således: Græseværdie af + 3 si ( ) ( ) cos, for π er lig med: ( ) ( ) π π π π π ( ) + cos π π π = = = 3π si π 3π 3π 3 Bestem græseværdie af: a) 3 ( )( ) for b) c) d) e) f) g) h) i) t 4 t + t + 3t t h h for t 4 for og for for t 5 for for for h (forlæg med 4+ h + ) for (forlæg med + 3+ ) for

28 Aalyses grudlag Side 8 af 4 j) + for (sæt på fælles brøkstreg) Udyt di grafiske lommereger til at udersøge græseværdie af: + for Vælg et vidue med y og med, hvor du prøver med = 6, 8,,, 4 Hvad sker der? Ka du forklare det? Prøv om du ka fide græseværdie ved at omskrive på udtrykket: Forlæg med Vis at ( ) 3 f = + har et ulpukt mellem = og = (Du behøver ikke at fide værdie af ulpuktet) 4 Løs ved avedelse af fortegslije ulighede: og begrud di avedelse af fortegslije < 4 5 Fid forteg for: f ( ) = Vis at ligige: 5 (Du behøver ikke at fide værdie af løsigere) 7 Vis at fuktioe: ( ) ( ) ( ) + = har tre løsiger i itervallet [ 4;4] f = a b + a+ b atager værdie for et eller adet [ ab ; ] 8 Vis at såfremt f er kotiuert i [ ; ], og der gælder, at: f ( ) for alle [ ;] så fides der et tal c [ ;], hvor f ( c) = c, c kaldes et fikspukt, og sætige kaldes e fikspuktsætig (Hjælp: Betragt fuktioe g( ) = f ( ), og aved de første hovedsætig om kotiuerte fuktioer) 9 Atag f er kotiuert i [ ; ], og at f ( ) = f ( ) Vis at der fides et a ;, så ( ) ( f a = f a+ ) (Hjælp: Betragt fuktioe g( ) f ( ) f ( ) (Svær) Atag f er kotiuert i [ ; ], og at f ( ) f ( ) = + med defiitiosmægde ; ) = Vis at der for ethvert helt tal fides et a ;, så ( ) ( f a = f a+ ) (Hjælp: Begyd med at betragte fuktioe g( ) = f ( + ) f ( ) med defiitiosmægde ;, og del deræst op i flere tilfælde afhægig af, hvorda f ( ) og f () ligger i forhold til hiade)

29 Aalyses grudlag Side 9 af 4 (Vigtig) Aved itervalrusetekikke til at vise Bolzao-Weierstrass sætig: Hvis,, 3,, er e følge af reelle tal, der er begræset, dvs der fides et iterval [a;b], så alle i ere ligger i dette, så har følge et fortætigspukt i [ ab ; ], hvorved forstås et tal, hvorom der gælder, at der ka udtages e delfølge z, z, z 3, af i ere, som går mod : år k zk (Hjælp: Halvér itervallet [ ab ; ] : I midst é af halvdelee ligger der uedeligt mage af i ere Vælg dette iterval, og udtag et af i ere som z Getag dee proces med halverig af iter- ab ; er et lukket iterval) vallere Overvej øje, hvor det er, vi aveder, at [ ] 6 De reelle tal ( del) Mes de hovedsætig om kotiuerte fuktioer kom forholdsvis smertefrit ud af itervalrusebetragtiger, så er hovedsætig betydeligt vaskeligere at bevise Vi er ødt til at gå e lille omvej om de reelle tal for at skaffe os det ødvedige værktøj Begrebere og argumetatioe i det følgede er ret abstrakte, og det kræver e del arbejde at tilege sig dette Me det er umage værd Dels får vi her et af de stærkeste redskaber overhovedet idefor de matematiske aalyse, og dels rummer argumetatioe stor matematisk skøhed I dette afsit vil M betege e mægde af reelle tal M er ikke ødvedigvis et iterval, det eeste vi forudsætter, er, at M ikke er tom! DEFINITION Et tal K kaldes et overtal for M, hvis K er større ed eller lig med alle tal i M Et tal k kaldes et udertal for M, hvis k er midre ed eller lig med alle tal i M HOVEDSÆTNING OM DE REELLE TAL Hvis M er opadtil begræset, så har M et midste overtal Hvis M er edadtil begræset, så har M et største udertal Situatioe vedrørede pukt kue være: G M kue feks være alle reelle tal, der opfylder < Her bliver G = Me hvad hvis M er alle ratioale tal, der opfylder <? Der fides ikke et ratioalt tal,»lige til højre for «derimod ka vi fide e følge r af ratioale tal, der ærmer sig Alle disse er overtal for M Derfor ser vi straks, at der ikke ka være et midste ratioalt overtal Sætige gælder altså ikke idefor de ratioale tal Bevis: M ligger ide for dette Lad M være opadtil begræset Vi vil først kostruere e itervalruse, der giver os tallet G, og deræst vise, at dette tal G er det midste overtal tri: Vælg et overtal K, og et tal k, der ikke er et overtal

30 Aalyses grudlag Side 3 af 4 Sæt I [ k ; K ] = tri: Kald midtpuktet af itervallet I for m Hvis m er et overtal, sætter vi: I = [ k; m] Hvis m ikke er et overtal, sætter vi: I = [ m; K] k ; K, hvor K er et overtal, og k ikke er et Uder alle omstædigheder er I af forme [ ] overtal 3 tri: Kald midtpuktet af I for m osv Procedure fra tri getages, og vi får i: tri: I = [ k; K], hvor K er et overtal, og k ikke er et overtal På dee måde får vi kostrueret e itervalruse: I I I3 I4 I5 I6 I, idet lægde af itervallere ifølge kostruktioe vil gå mod Aksiomet giver os da: { } I bestemmer et reelt tal G Påstad: G er et midste overtal for M Påstade ideholder to tig: G er et overtal: Atag emlig, at der fides et m M, således at G < m: G K m Af kostruktioe følger: K G år Overvej dette! Fra et vist tri vil K derfor ligge til vestre for m Me det er jo i modstrid med, at K er et overtal for M Altså: G er et overtal G er det midste overtal Atag emlig at der fides et g < G, så g er et overtal: M g k m G Af kostruktioe følger: k G år Overvej dette! Fra et vist tri, feks m, vil k m derfor ligge til højre for g: g < km Me da k m ikke er et overtal, fides der tal fra M til højre for k m og disse må da også ligge til højre for g Altså ka g ikke være et overtal Altså: G er det midste overtal BETEGNELSE Et midste overtal for M kaldes et supremum for M Vi skriver: G = sup M Tilsvarede kaldes et største udertal g for et ifimum for M Vi skriver: g = if M ØVELSE M Bevis pukt i hovedsætige (Bemærk: Du ka ete geemføre e argumetatio efter samme idé som i oveståede bevis, eller være mere elegat og udytte, at sætige, vi har vist, gælder for alle mægder, der er opadtil begræset Hvis vi u starter med e mægde N, der er edadtil begræset, betragt da mæg-

31 Aalyses grudlag Side 3 af 4 de M { } = Udyt sætige for mægde M og overbevis dig om, at det fude supremum for M er et ifimum for N) 7 Kotiuerte fuktioer ( del) Vi har u værktøjet til at kue bevise: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER (Sætige om maksimum og miimum) Hvis e fuktio f er kotiuert på det lukkede og begræsede iterval [ ; ] også et lukket og begræset iterval: Vm( f ) = [ α; β ] ab, så er værdimægde Beviset er stort og opdeles for overskuelighedes skyld i tre dele De tre pukter er hver for sig e lille sætig, hvorfor vi omformulerer hovedsætige til følgede versio: HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER ( versio) Hvis f er kotiuert i et iterval I, så er Vm( f ) også et iterval ab, så er Vm( f ) begræset Hvis f er kotiuert i [ ; ] 3 Hvis f er kotiuert i [ ; ] ab, så er ( ) Vm f et lukket iterval I det følgede er ku givet e dispositio til de tre beviser Du skal selv geemarbejde bevisere og udfylde alle detaljer Sie steder er det ikke helt let; me arbejdet med de ekelte pukter vil give god idsigt i modere matematisk teori og argumetatio Pukt : f er e kotiuert fuktio, og vi vil vise, at Vm( f ) er et iterval Vi ka slippe emt om ved dette pukt, for hvad er egetlig defiitioe på et iterval? Det må være følgede: E delmægde I af de reelle tal kaldes et iterval, såfremt der gælder: år ab, I, og a < c< b, så vil der gælde, at også c I Me af dee defiitio ser vi, at sætige om mellemliggede værdier (første hovedsætig) gi- f I er et iterval Overvej dette! ver os, at ( ) Imidlertid øsker vi at heføre f ( I ) til et iterval på e af de kedte former Derfor gør vi følgede: a) Opdel i fire tilfælde, afhægig af om Vm( f ) er begræset eller ej: Vm( f ) er begræset både opad og edad Vm( f ) er begræset opad, me ikke edad 3 Vm( f ) er begræset edad, me ikke opad 4 Vm( f ) er hverke begræset opad eller edad Se på et af tilfældee, feks r 3: Vm( f ) er begræset edad, ikke opad b) Der fides et største udertal g Marker på tallije Vm f g; Så er ( ) [ [ c) Påstad: Ete er Vm( f ) [ g; [ = eller Vm( f ) ] g; [ =

32 Aalyses grudlag Side 3 af 4 d) Argumet: Vælg et y g y < y< y Marker på tallije > Argumeter for, der fides y og y fra Vm( f ) e) Beyt sætige om mellemliggede værdier, der siger, at hvis y og y er med i Vm( f ), så er også y med f) Kokludér Før vi viser pukt, vises følgede: Hjælpesætig Hvis,, 3,, er e voksede følge af reelle tal, der er opad begræset (eller e aftagede følge, der er ed begræset), så fides et, så år Bevis: Såfremt du har lavet opgave i kapitel 6, ka du avede de I modsat fald gør vi følgede: Sæt M =,, 3,, M er opad begræset, og har derfor et supremum (midste overtal), Påstad: år Læg et lille iterval om : ] ε; + ε[ :, så: ε N + ε Da er et overtal for M, vil for alle Da er midste overtal, fides et N i dette lille iterval Me følge er voksede, så alle N, N+, N+, er med i itervallet Itervallet om ka imidlertid vælges vilkårligt lille Det betyder, at følge ærmer sig vilkårligt tæt til Altså de øskede koklusio: år Nu ka vi så vise: Pukt : Vi skal vise, at f er begræset, dvs f vokser ikke mod Vi geemfører dette som et idirekte bevis: Atag f ikke er begræset a) Defier mægdere M k = { [ a; b] f ( ) k}, for k =,,3 Sæt k = if M k Overvej at dette er muligt, dvs k fides b) Argumeter for at: M M M3 M c) Argumeter for at så er 3 d) Aved u hjælpesætige på dee mootoe følge: Der fides et så år e) Udyt kotiuitete af f samt pukt d) til at drage e koklusio om græseværdie af f ( ) år f) Udyt kostruktioe af k ere til at drage e ade koklusio om græseværdie af f ( ) år g) Kokludér ud fra modstride mellem e) og f)

33 Aalyses grudlag Side 33 af 4 Pukt 3: Vi skal edelig vise, at Vm( f ) er lukket: a) Vi ved, Vm( f ) er et begræset iterval, dvs, af type: [ cd ; ], [ cd ; [, ] cd ; ], eller ] ; [ b) Se på det ee af dem: Atag Vm( f ) = [ c; d[ dvs f ( ) < d for alle, eller d f ( ) > for alle cd Vi skal udelukke de sidste tre c) Se u på fuktioe: g( ) = d f ( ) Argumeter for at g er kotiuert Og derfor: g er begræset Altså fides et tal K, så: g( ) < K for alle d) Omskriv og vis at så gælder: f ( ) < d, for alle K e) Me så ka Vm( f ) ikke være [ cd ; [, dvs vi har e modstrid f) Kokludér Hermed er vi ået til vejs ede: Ud fra de dybere forståelse af, hvad de reelle tal er, har vi vist de to hovedsætiger om kotiuerte fuktioer Og med disse som grudlag beviste vi edvidere mootoisætige og begrudede de tekik, vi altid aveder ved udersøgelser af forteg og mootoiforhold 8 Appediks : Fast grud uder græseværdi- og kotiuitetsbegrebet To skikkelser i matematikhistorie rager op i bestræbelsere på at få styr på græseværdibegrebet og dermed også på kotiuitetsbegrebet: Fraskmade Augusti Cauchy ( ) og tyskere Karl Weierstrass (85-897) Cauchy publicerede meget, og i det mest berømte af has skrifter, Cours d Aalyse fra 8 fides de defiitio på græseværdibegrebet, som vi i praksis aveder i gymasiet i dag: Når e følge af tal ærmer sig e fast størrelse på e såda måde, at talfølges elemeter slutteligt adskiller sig fra de faste størrelse med så lidt som vi kue øske os, så siger vi, at de faste størrelse er græseværdi for de øvrige Has defiitio på kotiuitet lyder: f er kotiuert i et iterval, hvis det gælder, at e uedelig lille tilvækst h af variable, giver e uedelig lille tilvækst f( + h) - f() af fuktiosværdie Også de sidste defiitio virker gaske modere; me vi bemærker dog, at Cauchy ku defierede kotiuitet i et helt iterval, ikke i et ekelt pukt 7 Når vi forsøger at oversætte Cauchy s formuleriger:»så tæt på vi øsker«,»e uedelig lille tilvækst«osv til et præcist matematisk sprog, der giver mulighed for beregiger og præcise svar, opstår der imidlertid åbelyse problemer 7 Ud fra de ituitive opfattelse af kotiuitet som svarede til, at grafe er sammehægede, er forestillige om kotiuitet i et ekelt pukt også e svært begribelig egeskab Kotiuitet forstået som sammehæg vil ma umiddelbart kytte til et iterval

34 Aalyses grudlag Side 34 af 4 Vaskelighedere heri illustreres af, at Cauchy selv»beviste«ogle forkerte sætiger Der var kort sagt brug for e så præcis matematisk formulerig, at de kue avedes til at geemføre præcise beviser Og det var etop hvad Weierstrass gjorde Weierstrass var opridelig slet ikke professioel matematiker Has far øskede, ha studerede økoomi og admiistratio; me da søe ikke fadt iteresse i disse fag, me derimod var e stor yder af tyske ølstuer, gik åree, ude Weierstrass ogeside fik e eksame Ha forlod uiversitetet og tog forskelligt forefaldede arbejde ide for udervisig, samtidig med at ha i fritide dyrkede si store lideskab, matematikke Og ha demostrerede si store begavelse geem e række opsigtsvækkede matematiske artikler, der resulterede i at ha»blev kaldet«til e stillig på Berlis Uiversitet Weierstrass publicerede ikke selv ret meget; me geem sie berømte forelæsiger præseterede ha e række ye taker og metoder fra si forskig, ideer, som ha geerøst overlod til si store skare af højt kvalificerede studeter at færdiggøre Stort set alle Europas uge lovede matematikere drog i de år fra først i 86 ere til Berli for at følge has forelæsiger, og med Weierstrass forskydes tygdepuktet i matematikhistorie fra Frakrig til Tysklad Weierstrass blev tidligt så syg, at ha ikke kue stå op og skrive uder e forelæsig; ha sad derfor ed, dikterede til e studet, der på has bud malede tavle fuld Dee astregede arbejdsform var givetvis medvirkede til, at Weierstrass geemarbejdede sie forelæsiger ed til de midste detalje, hvorved de otater, studetere tog, faktisk var som lærebøger Og etop geem kopier af sådae otater og geem de artikler, hvori Weierstrass elever bearbejdede has resultater, lærte matematikverdee hurtigt om disse ye»weierstrasske krav til striges (præcisio)«og has metoder blev overtaget ord til adet Me det var som ævt altid adre, der præseterede ideere således var det Eduard Heie og Sofia Kovalevskaya (der begge side idskrev sig i matematikhistorie), der publicerede Weierstrass ye tilgag til kotiuitetsbegrebet Det cetrale spørgsmål var at få styr på græseværdibegrebet: Hvad skal vi forstå ved følgede formulerig: f() L, år a? Vi er vat til at gribe sage således a: Vi begyder med e følge af -værdier, og deræst ser vi på, hvad der sker med f() ere Me dette giver de føromtalte problemer: Hvorda ka vi vide, at de følge, vi begydte med, er typisk ville vi få samme resultat med e hvilke som helst ade følge af er? Weierstrass løser kude ved at vede problemstillige 8 : Hvad er det, vi vil frem til, spørger ha Ifølge Cauchy vil vi frem til e koklusio om, at forskelle på f() og L ka gøres så lille, som det øskes (ved at vælge på de og de måde) Me så er det her, vi begyder, siger Weierstrass Lad os forestille os det som»et spil«: Over for os står e»modstader«, der udfordrer os ved at fastlægge et meget sævert iterval om L, måske med e afstad på / eller / fra L Eller edu tættere på: Vi idfører e y størrelse ε (græsk bogstav:»epsilo«), der skal agive, hvor tæt vi øsker at være på L ε har vi ige idflydelse på det stikkes os ud af vores»modstader«nu er det så vor opgave at fastlægge et iterval om a, på e såda måde, at år er i dette iterval, er vi sikre på, at f() er i det øskede iterval om L Det iterval, vi fastlægger omkrig a, bestemmes mest ekelt ved at agive et tal δ (græsk bogstav:»delta«), der måler afstade fra til a Lad os avgive de omtalte itervaller: Jε = ] L ε; L+ ε[, og Iδ = ] a δ ; a+ δ [ Weierstrass defiitio på græseværdi lyder så: DEFINITION ( versio) f ( ) har græseværdie L, år går mod a, på kort form: f ( ) L gælder: ( ) år a, hvis der til et- I f J hvert ε > eksisterer et δ >, således at der for a δ ε

35 Aalyses grudlag Side 35 af 4 Bemærk: Defiitioe er sammesat således, at ikke ka blive lig med a; dette er vigtigt, for f() ka sagtes have e græseværdi ude at være defieret i a Grafisk ka situatioe være således: J ε L L + ε L ε a ) Først vælges itervallet J ε ) J ε fastlægger u via grafe de ydre græser for itervallet I 3) I δ ka vælges på utallige måder, me feks som på tegige 4) Vi kotrollerer u, at: Iδ f ( ) Jε : f kører op ad de skraverede vej I I δ Når vi skal til at udytte defiitioe til at rege, er det ofte e fordel at have de skrevet med uligheder i stedet for itervaller: DEFINITION ( versio) Vi siger at f ( ) L år a, hvis der til ethvert < a < δ f ( ) L < ε ØVELSE Lav e skitse af f ( ) = i itervallet [ 3;3] f ( ) 4 år ε > eksisterer et δ >, således at:, og illustrer på di tegig, at der gælder: Defiitioe på græseværdi fører straks over i defiitioe på kotiuitet: DEFINITION Vi siger, at f er kotiuert i, hvis der gælder, at ( ) ( ) f f Til ethvert ε > eksisterer et δ >, således at: < a < δ f L < ε ( ) år, dvs hvis der gælder: Bemærk at vi her har erstattet < a < δ med: a < δ, idet situatioe for er helt triviel: f er jo defieret i Det var ikke dee defiitio på kotiuitet, Weierstrass i første omgag gav Som tidligere omtalt opfattede de stadig kotiuitet som e egeskab i et iterval; og bestræbelsere hos Weierstrass og samtidige var at få styr det lidt mere komplicerede begreb»uiform kotiuitet«(på dask:»ligelig kotiuitet«), som vi omtaler i appediks Det blev således e af Weierstrass elever Eduard Heie, der som de første defierede begrebet kotiuitet i et pukt

36 Aalyses grudlag Side 36 af 4 Avedelse af defiitioe på græseværdi eller kotiuitet volder altid besvær i starte Det skyldes sikkert, at vi har svært ved at slippe fokus fra ere og i stedet sætte fokus på f() Me det er her, hele idee ligger: Vi begyder med de øskede koklusio: f ( ) L < ε Ud fra e aalyse af dette, år vi geem forskellige omskriviger frem til hvilket krav, der så må stilles til ere, dvs til fastlæggelse af δ Før vi illustrerer dette med et par eksempler, så prøv at løse følgede opgaver på di grafiske lommereger: ØVELSE Idtast i de følgede opgaver regeforskrifte i di lommereger Idret viduet således at - værdiere ligger tæt ved tallet a, og y-værdiere tæt ved tallet L Få edelig e grafisk fremstillig af, hvilket krav det give ε stiller til det iterval, vi øsker at lægge om a, ved at idtaste de to kostate fuktioer y = L + ε og y 3 = L ε Ved hjælp af trace eller zoom eller på ade vis skulle du så på lommeregere kue fide e værdi af δ, der»matcher«ε f ( ) = + 3 ; udersøg påstade: f ( ) 3 år 3 ved at fide et δ, der matcher ε =,, dvs opgave er at fide et δ, således at: 3 < δ ( ) 3 <, eller: ] 3 ε;3 ε[ f ( ) ] 3,;3,[ f f ( ) = ; udersøg påstade: f ( ) 8 år ved at fide et δ, der matcher ε =, ε =,5 3 f ( ) = ; udersøg påstade: ( ) + f år ved at fide et δ, der matcher 4 Udersøg påstade: + år ved at fide et δ, der matcher ε =, + 5 Udersøg påstade: år ved at fide et δ, der matcher ε =, Avedelse af defiitioe til præcise beviser for græseværdier EKSEMPEL Vis: år : Lad ε være givet De øskede koklusio er: ( ) Vi omskriver: ( 3+ ) 7 = 3 6 = < ε ε De øskede koklusio fås, hvis 3 < ε, dvs hvis < 3 ε Derfor vælges δ = Så får vi: 3 < δ 3+ 7 < ε ( )

37 Aalyses grudlag Side 37 af 4 EKSEMPEL 4 Vis: år : Lad ε være givet De øskede koklusio er: 4 < ε Vi omskriver: ( + )( ) 4 = = + = = ε De øskede koklusio fås, hvis < ε, dvs hvis < ε Derfor vælges δ = Så får vi: 4 < δ < ε EKSEMPEL 3 Vis: år 4 : Lad ε være givet De øskede koklusio er: < ε Vi omskriver: ( )( ) + 4 = = = Da vi skal udersøge 4, ka vi ude idskrækig øjes med at se på, dvs Dermed er + + = 3, og < 3 + Idsæt dette: De øskede koklusio opås, hvis: 4 < ε, eller: 4 < 3ε 3 Derfor vælges δ = 3ε Så får vi: 4 < δ < ε Vi ka opsummere således: E påstad vedrørede kotiuitet i et bestemt pukt eller vedrørede e bestemt græseværdi: f L, år a, udersøges på følgede måde: ( ) Vi begyder med at opskrive de øskede koklusio: f ( ) L < ε

38 Aalyses grudlag Side 38 af 4 Deræst foretages omskriviger af type: f ( ) L = K a, hvor K er e eller ade kostat Ud fra dette ser vi, at vi ka sikre f ( ) L ε Altså løser vi problemet ved at vælge OPGAVER Vis: 5, år + Vis:, år + (Hjælp: Forkort brøke) ε δ < K ε <, hvis blot vi vælger a < K 3 Vis: + 3 3, år 3 (Hjælp: Forlæg med I di vurderig ka du idskræke dig til at se på feks ) 4 Vis:, år 5 Vis: 3 8, år (Hjælp: Foretag polyomiers divisio med ( ) ) 6 Vis at græseværdier er etydige, dvs Hvis f ( ) L, år a, og f ( ) M, år a, så er L = M Vi vil u bevise, at følgede fudametale sætig gælder: HOVEDSÆTNING OM GRÆNSEVÆRDIER Weierstrass defiitio er esbetydede med vores traditioelle defiitio Bevis: Atag: f ( ) L, år a, ifølge Weierstrass defiitio Lad,, 3,, være e følge af tal, så a Vi øsker at vise: f ( ) L, dvs f ( ) ærmer sig vilkårligt tæt til tallet L Læg derfor et lille iterval J ε om L, bestemt ved ε: Jε = ] L ε; L+ ε[ Vælg u ifølge Weierstrass et iterval I δ om a, der afbildes id i J ε : I ] a ; a [ Da u a, vil ere fra et vist tri, feks r N, være helt med i I δ Weierstrass defiitio på græseværdi giver os: Iδ f ( ) Jε Me så ka vi sammefatte: ( ) ( ) ( ) δ = δ + δ N, N+, N+, Iδ f N, f N+, f N+, Jε Altså etop de øskede koklusio

39 Aalyses grudlag Side 39 af 4 Atag: f ( ) L, år a, ifølge de traditioelle defiitio med talfølger, dvs vi atager: For ehver talfølge: a vil f ( ) L Lad ε være givet og betragt Jε = ] L ε; L+ ε[ Læg u for ethvert helt tal i et iterval I om a, bestemt ved: I = a ; a+ Atag at ige af disse itervaller bliver afbilledet helt id i J ε, dvs ige af dem opfylder Weierstrass krav: I f ( ) J ε Vi får u e modstrid på følgede måde: Vælg et k fra hvert I k, således at: f ( k ) J ε Ifølge valget af ere vil der gælde:,, 3,, a (Overvej dette!) Me ifølge beliggehede af f( k ) ere holder disse sig alle ude for itervallet J ε, så derfor ka der ikke gælde: f ( k ) L Dette er i modstrid med, at påstade skal gælde for ehver talfølge Altså ka vi kokludere, at ét af itervallere I vil blive afbildet id i J ε Og dermed er Weierstrass defiitio opfyldt 9 Appediks : Uiform kotiuitet: Værktøjet, der giver itegralregige fast grud uder føddere Det eeste udeståede problem i vort arbejde på at give differetial- og itegralregige fast grud uder føddere er et af de oftest oversete I begydelse af ethvert forløb om itegralregige»bevises«at ehver kotiuert fuktio har e stamfuktio Beviset deles op i flere skridt, og udervejs foretages forskellige atagelser om fuktioere, me det er faktisk ikke her, problemet ligger: Først atages f ( ) i hele itervallet [ ab ; ] Me ka vi bevise påstade i dette tilfælde, så gælder de geerelt For e kotiuert fuktio m a; b g m, eller g( ) m Dette giver os, at de kotiuerte g( ) har et miimum [ ]: ( ) fuktio g( ) m har e stamfuktio G ( ) Me så er G ( ) + m e stamfuktio til ( ) g Altså gælder påstade geerelt De æste atagelse er ofte, at f er mooto Me dette er udelukkede e bevistekisk lettelse ØVELSE Fid die otater frem og sammelig disse med det følgede: I beviset idføres arealfuktioe A( ), og vi geemfører e vurderig på størrelse A( ) A( ) Dee størrelse er arealet af e lille strimmel uder grafe for f Me da f er kotiuert har de et maksimum, β og et miimum, α i [ ] Derfor gælder: ; ( α ) ( ) < ( ) ( ) < ( ) ( ) eller f ( α ) f A A f b ( ) A( ) A < < ( ) f b Vi afsætter størrelsere på e tallije for at få et bedre overblik:

40 Aalyses grudlag Side 4 af 4 Når u (Overvej hvorfor!), vil både α og β gå mod, og dermed vil f ( α ) og f ( β ) gå mod ( ) Se på tallije og kokludér: ( ) A( ) A f ( ) hvilket betyder, at A( ) er differetiabel i med differetialkvotiet: A' ( ) f ( ) Med adre ord: A( ) er e stamfuktio til f ( ), f = Vi ser således, at beviset ka geemføres efter samme opskrift som i det tilfælde, hvor f er mooto Problemet i beviset for sætige om, at e kotiuert fuktio har e stamfuktio, ligger på et mere grudlæggede pla: Eksistese af A() Vi postulerer, at arealet uder grafe, og dermed A() eksisterer For de grafer vi ormalt støder på, forekommer dette idlysede Me i redegørelse for, at det har god meig at tale om et areal af et område afgræset af e krum kurve, støder vi id i et problem Metode keder vi: DEFINITION Et område har et areal, hvis der fides e følge af idre og ydre polygoer, heholdsvis P og Q, areal Q areal P, år således at: ( ) ( ) f ( α ) f ( ) f ( β ) ( ) A( ) A Betragt puktmægde afgræset af lijere med ligiger = a og = b, samt af -akse og grafe for de positive fuktio f Lad: a< < < < < = b være e iddelig af [ ab ; ] i lige store dele b a Itervallægde er så l = f ( M ) M a m b I hvert deliterval har f et maksimum i et pukt M i og et miimum i et pukt m i De ydre polygo f m fastlægges u af værdiere ( ) i f M, og de idre af værdiere ( ) Areal af idre polygo: areal ( ) = ( ) + + ( ) Areal af ydre polygo: areal ( ) ( ) ( ) Forskelle: ( ) ( ) ( ) ( ) P f m l f m l Q = f M l + + f M l areal Q areal P = f M f m l + + f M f m l (*) ( ) ( ( ) ( )) Herefter vil vi lade Så vil l Hvad ka vi da kokludere om (*)? Umiddelbart ikke oget, for atallet af led vokser også mod uedeligt i

41 Aalyses grudlag Side 4 af 4 Sammelig med: + =, + + =,, = ( led) Betragter vi situatioe grafisk, ser det ud til, at tallee ( f ( M) f ( m) ) ka gøres så små, vi øsker det, blot itervaliddelige bliver tilstrækkelig fi Me vi har ikke værktøjet til at afgøre det- ab ;, og ikke bare i et te Vort problem er emlig, at vi skal styre, hvad der sker på hele itervallet [ ] ekelt pukt Kotiuitetsbegrebet, som vi har idført det, taler ku om, hvad der sker i et ekelt pukt De mere geerelle problemstillig, der her er skitseret dækkes af begrebet Uiform kotiuitet Det var faktisk dette kotiuitetsbegreb, Weierstrass først søgte at få styr på Som tidligere omtalt blev kotiuitet degag altid opfattet som e egeskab kyttet til et helt iterval: E graf ka være sammehægede i et iterval, mes det umiddelbart forekom mere suspekt at tale om kotiuitet i et pukt Weierstrass defiitio af det, vi i dag kalder Uiform kotiuitet (for at skele det fra begrebet kotiuitet i et pukt) lyder: DEFINITION f kaldes uiform kotiuert i I, hvis der gælder, at for ethvert ε > fides et δ >, således at: y < δ f f y < ε ( ) ( ) Defiitioe siger altså, at uaset hvor i itervallet I, vi befider os, så gælder det, at blot forskelle y er midre ed δ, så har vi styr på udsviget i fuktiosværdiere: Forskelle mellem disse er midre ed det ε, vi fik stukket ud Dette krav forekommer lagt stærkere ed de almidelige kotiuitetsdefiitio Tæker vi tilbage på øvelsere i afsittet om kotiuitet, husker vi, at det δ, vi vælger, ormalt afhæger både af ε og af det, vi har som udgagspukt Såda er det også i almidelighed Me ser vi på lukkede itervaller gælder faktisk følgede: 3 HOVEDSÆTNING OM KONTINUERTE FUNKTIONER Hvis f er kotiuert på [ ab ; ], så er f også uiformt kotiuert Bevis: Lad ε være givet Vi skal vise, der fides et δ, så der for alle, y [ a; b] y δ f ( ) f ( y) ε gælder: < < (**) Vi giver et idirekte bevis Atag emlig at der ikke fides et sådat δ Det betyder, at vi ka vælge e følge af tal δ, feks følgede:,,,, 3, således at δ, år, og hvor der for ethvert δ fides to tal og y, der ikke opfylder (**), dvs: y δ f f y > ε <, me samtidig: ( ) ( ) Overvej øje dette! Nu avedes Bolzma-Weierstrass sætig, der er vist i opgave 9, s 8 Sætige siger, at ehver uedelig følge af tal i et begræset iterval har et fortætigspukt (Har du ikke vist de, så gør det u i opgave er givet e hjælp) Følge { } har således et fortætigspukt Dette betyder, at der fides e delfølge:,,,, k k k3 k i

42 Aalyses grudlag Side 4 af 4 Overvej u, at må ligge i itervallet [ ab ; ], år dette er lukket Vi ved, at y, og derfor vil også ki ki y, y, y,, y k k k3 k i f er kotiuert, så derfor har vi u både: f ( ) f ( ) og: f ( y ) f ( ) k i Aved så Weierstrass defiitio på kotiuitet: ε ε Læg et iterval J med bredde ε om f ( ): J = f ( ) ; f ( ) + og vælg hertil et δ, så itervallet I = ] δ ; + δ [ afbildes helt id i J I er et iterval om, så fra et vist tri er både k i og y k i med i I f f y < ε, Me så er både ( ) k i f og f ( y ) med i J, dvs ( ) ( ) k k k i hvilket er i modstrid med valget af ere og y ere, som beskrevet i (***) Derfor er atagelse i (***) forkert: Vi ka ikke blive ved med at vælge disse og y Altså fides der et δ, så (**) er opfyldt: y < δ f ( ) f ( y) < ε Dette afslutter beviset for hovedsætig 3 i i k i Med sætige om uiform kotiuitet i bagage ka vi afslutte beviset for, at områder uder grafe for e positiv kotiuert fuktio har et areal Og dette vil afslutte beviset for, at ehver kotiuert fuktio har e stamfuktio Vi veder tilbage til problemstillige på side 4, hvor vi var ået frem til at foretage e vurderig på: areal( Q) areal( P) = ( f ( M) f ( m) ) l ( f ( M) f ( m) ) l Vi øsker at vise: areal( Q) areal( P) år ε Lad dertil et ε være givet Vælg u til tallet et δ ifølge defiitioe på uiform kotiuitet b a ε Så gælder: y < δ f ( ) f ( y) < b a Lad så δ bestemme iddelige af itervallet [ ab ; ], dvs itervallægde l vælges så dee er midre ed δ Så gælder åbebart: ε Mi mi < δ for alle i, og derfor er f ( Mi) f ( mi) < for alle i b a Idsæt u dette i (*): ε ε areal( Q) areal ( P) = ( f ( M) f ( m) ) l ( f ( M) f ( m) ) l l + + l = b a b a ε ε b a l = = ε b a b a (idsæt l ) Altså etop de øskede koklusio: ( Q ) ( P ) areal areal år, dvs området uder grafe har et areal! På grudlag af e dybere idsigt i de reelle tal, og ved hjælp af de tre kotiuitetssætiger, har vi hermed fået etableret et solidt grudlag uder de matematiske aalyse