Kapitel 2. Differentialregning A

Transkript

1 Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Supplerende opgaver. Modellering og optimering... 18

2 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Opgave 2.1 Tangent tegnes i t=50. Hældningskoefficienten aflæses til 1. Dvs. væksthastigheden er 1. Opgave 2.2 f'(x)=6x 2-2x+3 Opgave 2.3 f'(x)=g(x) (g(x) er positiv når f(x) er voksende og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende) Opgave 2.4 A er f(x) og B er f'(x). A's hældning bliver mindre og mindre hvorfor B (f') nærmer sig førsteaksen. Opgave 2.5 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.6 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.7 f's hældning er mindre en 4, så derfor er f'(x)=h(x) Opgave 2.8 a) f(2)=4 og f'(2)=13. Grafen er voksende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er 13 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? b) f(2)=-23 og f'(2)=-24. Grafen er aftagende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er -24 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? Opgave 2.9 INTERN KOMMENTAR! Jeg er med på det er et grimt eksempel som ikke er differentiabel i vendepunkterne. Jeg har imidlertid ikke rigtig nogle gode tegneredskaber, som kan gøre funktionen mere "blød".

3 Opgave 2.10 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.11 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve

4 Opgave 2.12 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.13 b= -6 og c=3 Opgave 2.14 a = 2, b= -3, c = 1 Opgave 2.15 a = 2, b = -2, c = 1 Opgave 2.16 x=1: y = -x 2 x= : y = -x - Opgave 2.17 x= 2: y = (32 2) (afrundet y = x) x= 2: y = (3+2 2) (afrundet y = x) Opgave 2.18 m: y = 24x 120 l: = + (afrundet y = -4,125x + 20,625) Opgave 2.1 Linjens hældning, som er -2 skal være identisk med hældningskoefficienten på funktion i x=1. derfor er f'(1) = -2. Da l er tangent til f(x) i (1,f(1)), så skal begge have samme y-værdi, når x=1. y = =-1. Derfor er f(1) = -1. b = -4 og c = 2 Opgave =

5 Opgave 2.21 = Opgave 2.22 a=6 Opgave 2.23 b=15 Opgave 2.24 a) h 1 er kontinuert men ikke differentiabel b) h 2 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel c) h 3 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel d) h 4 er kontinuert og differentiabel Opgave 2.25 a) a = 6 og b = -9 b) a = -7 og b = 5 c) a = 3, b = 1 og c = -2 Opgave 2.26 a) b) ikke kontinuert c) kontinuert

6 kontinuert

7 d) kontinuert Opgave 2.27 Intern kommentar Der skal vist stå opgave 2.26 i teksten Er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmålet a) ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel b) ikke differentiabel. Sekanthældning vil svige mellem -1 og 1 afhængig af valgte punkter. c) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. d) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. Opgave 2.28 Intern kommentar Det er vist 2.26 og 2.27 opgaveteksten mener? a) = 2 sin cos ikke kontinuert b) = 3 sin cos ikke kontinuert 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner Opgave Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: 3x+2 ydre: x 5 b) Indre: 9x+2 ydre: 4x 7 c) indre: 2x-3 ydre: x 8 d) indre: 3x+7 ydre: e) indre: 3x+7 ydre:

8 f) indre: 2px+3 ydre: cos(x) = + = 2. Differentier funktionerne a) b) g'(x)=252(9x+2) 6 c) h'(x)=16(2x-3) 7 d) e) = f) k'(x)= -2psin(2px+3) Opgave Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: cos(x)+sin(x) ydre: x 2 b) Indre: x 4 +9 ydre: 3ln(x) c) Indre: 2 + 1, som igen er en sammensat funktion med indre:2x+1 og ydre: ydre: cos(x) d) Indre: 2 + sin(x) ydre: e) Indre: x 3 +5 ydre: f) Finte! cos 2 (x)+sin 2 (x)=1. Ellers to sammensatte funktioner som lægges sammen med indre på henholdsvis cos(x) og sin(x). Den ydre funktion til begge er x 2 g) Indre: x 2 +2x ydre: x -2 h) Sammensat indsat i sammensat. (0,25x-25) 2 : kan ganges ud eller indre: 0,25x-25 og ydre: x 2. e, : indre: (0,25x-25) 2 og ydre e x 2. Differentier funktionerne a) f'(x)=2(cos(x)+sin(x)) (-sin(x) + cos(x)) b) = c) d) = ( ) e) = f) k'(x) = 0 g) = h) 0,5( ), Opgave 2.31 En funktion f er bestemt ved 2 x-0,8 x f( x) = e. a) y=-0.733x+1,954 b) f(x) er voksende i ]- ;0,625[ og aftagende i ]0,625; [ Opgave 2.32 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0)=2e og f'(2)=-2e, så der er maksimum i x=1 Opgave 2.33 f'(1)= Opgave 2.34 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0.5)=1 og f'(2)=-0.5, så der er maksimum i x=1 f(x) er voksende i ]0;1[ og aftagende i ]1; [ Opgave 2.35 Y=10.2x Opgave 2.36 a) f(0)=3600 og T 1/2 =4,40 b) 0,146 svarende til 14,6% c) f (5) =-257,9. I år 2007 falder antallet af tigre med 258 styk. Opgave 2.37

9 a) Minimale højde 500 meter. Maksimale højde 2500meter b) f'(200)=15,7. Dvs i det 200. minut stiger ballonen med 15,7 meter Opgave 2.38 a) Maksimale deceleration f(92.91)=98,26 m/s 2

10 2.4 Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel Opgave 2.39 a) = 2 + c) = sin 1 cos( ) d) = Opgave 2.40 a) y = 3e 2 x -2e 2 b) = 3 + b) f(x) er aftagende i ] ; [ og voksende i ] ; [ Opgave 2.41 = 3 a) y=-2e x + 2e b) f(x) er aftagende i ] ; 0,414[ og i ]0,414; [ samt voksende i ]-0,414; 0,414[ Opgave 2.42 En funktion f er bestemt ved a) x=1 og x=2 b) y=-7x+7 f x x x x 3 ( ) = ( - 8) ln, > 0. Opgave 2.43 Intern kommentar Figuren ud fra opgave 2.43 passer ikke til funktionen a) y=-2x -2 b) f'(x)=0 har løsningen x= 1,573. f'(1)=-2 dvs. aftagende i ]0; 1,573[. f'(2)=1,77 dvs voksende i ]1,573; [. Opgave 2.44

11 I en model kan den gennemsnitlige årlige CO2 -udledning pr. person som funktion af tiden beskrives ved ,031 C( t) =, t + 38 t hvor C( t) måles i kg, og tiden t betegner antal år efter C (72) =1580,0 kg. Dvs. ifølge modellen vil C0 2 -udledningen pr. person i 2012 stige med 1580,0 kg. 2.5 Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Opgave 2.45 f(x) er aftagende i ]-3;-2[ og ]3;5[. funktionen er voksende i ]-2;3[ og ]5,6[ Opgave 46 k=-22 og k=10 Opgave 2.47 = og = Opgave 2.48 f'(x)=e x +7. e x er altid positiv og derfor er f'(x)>0 for alle x-værdier. Derfor er f(x) voksende. Opgave 2.49 f(x) er aftagende i ]-1;2[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]2, [. Opgave 2.50 f(x) er aftagende i ]-1;3[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]3, [. Opgave.51 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer f(x) er aftagende i ]-1.414;1.414[ og er voksende i ]- ;-1.414[ og ]1.414, [. Lokalt maksimum i (-1.414; 2.886) og lokalt minimum i (1.414 ; ). F(x) er et tredjegradspolynomium, hvor de to vendepunkter ligger på hver sin side af x-aksen. Derfor må f(x) have 3 nulpunkter 1 3 x3-2x + 1 = 0 har løsningerne x=-2.669, x=0.524 og x=2.145 f(x) = x 4 + 2x 3 4: x=1.090 er roden i intervallet [0;2]. Opgave 2.52 a) y= 4x 6 b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og aftagende i ]3, [. Opgave 2.53 a) y = 21x - 22 b) Ja da f'(2)=0 og f'(1)=21 og f'(3)=-19 Opgave 2.54 a) y = 20x - 40 b) f(x) er aftagende i ]- ;-1.225[ og ]0;1.225[ og er voksende ]-1.225;0[ og ]1.225, [.

12 Opgave 55 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer a) x = , x=-0.356, x=0.356 og x = b) y = 60x c) f(x) er aftagende i ]- ;-2[ og ]0;2[ og er voksende ]-2;0[ og ]2, [. Opgave 2.56 a) Nulpunkter: x=-3 og x=0. b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og ]-1, [ og er aftagende ]-3;-1[. c) y = 24x 8. b=26 og c=-9 Opgave 2.57 a) y = x b) f(x) er aftagende i ]0;5[ og voksende i ]5; [ c) x 0 = Opgave 2.58 En funktion f er givet ved f ( x) = 3x -8x - 30x + 72x f'(x)= 12x 3-24x 2-60x+72 Der er lokalt minimum i (-2; -125) og (3;0) samt lokalt maksimum i (1; 64) De resterende opgaver i afsnit 2.5 indgår ikke i kernepensum, men kan anvendes til fordybelse i grundbogens afsnit 2.5 Opgave 2.59 For c= 2 er 2 lig hældningen mellem punkterne

13 = Opgave 2.60 To mulige c-værdier: = eller = Opgave 2.61 a) De to endepunkter der er i spil må være (a,a 2 ) og (b,b 2 ). Når disse indsættes i middelværdisætning fås påstanden b) Skyldes kvadratsætningen b 2 a 2 = (b - a) (b + a) c) f'(x)=2x så f'(c) = 2c = a + b. Dermed er c = d) Opgave 2.62 Intern kommentar: Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstår spørgsmålet korrekt. Tegn i et koordinatsystem graferne for de to flys hastigheder. Begge starter og slutter med hastigheden 0 km/t. Arealet under hver af de to grafer er ens (afstanden NY-CPH). Dermed er de to grafer nødt til at skære hinanden mindst en gang eller være sammenfaldende. Ellers kan arealerne ikke blive ens. Opgave 2.63 Intern kommentar: skal tallet c ikke ligge mellem 0 og x, når der kigges på [0;x]? Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmål b) korrekt. a) =. Der indsættes nu i middelværdisætningen: med x på begge sider og indsætter i f: b) Omformer a) til Når x 0 bliver 0<. = = ( ). Ganger <1, så der gælder at < 1. Når x 0 kan vi uden problemer gange med på begge sider i uligheden og efterfølgende addere med 1. Der- med fås 1 + < 1 + Når - 1 x < 0 vil c ligge i samme interval og dermed er >1, da 0 < 1+c < 1 dvs. >1. Da x er negativ, vendes ulighedstegnet når der som før ganges med : < Dermed fås atter 1 + < 1 +.

14 > Opgave 2.64 = x 0 :Da c 0 gælder -2<x<0: >. Middelværdisætningen give = ( ).. Dvs. ( ) Dermed fås samme resultat som før. ( ). Simpel omrokering giver påstanden..når der ganges med x vendes ulighedstegnet, da x<0. Opgave 2.65 Intern kommentar: Bør der ikke byttes rundt på x og y i sætningerne? Giver unødigt arbejde I spørgsmål c skal det vist være i stedet for <. Sin(0)=0! Og hvad med. Eller mangler der forudsætninger. x kan da godt være et stort negativt tal. Mangler antagelsen x>0? a) sin(c) = ( ). Da -1 sin(c) 1 må ( ) værdi omkring tæller og nævner og gange med y-x fås påstanden. b) Bevises efter samme metode som ovenstående. c) Hvis vi benytter y=0 fås sin sin(0) = sin( ) 0 = 1. Ved at sætte numerisk 2.6 Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Opgave 2.66 Bestem for hver af følgende funktioner: - den dobbelt afledede - evt. vendepunkter - konveksitetsintervaller (intervaller, hvor grafen er opad hul, henh. nedad hul) Tegn endelig graferne: 3 a) f( x) = ln( x) b) f ( x) = a c) f ( x) = 8x - 6x + 1 c) 4 3 f ( x) = x - 2x + 1 d) 6 4 f ( x) = x - 10x e) f x 2 - ( ) = x e x a) f''(x)= ingen vendepunkter f''(x) er altid negativ dvs nedad hul b) f''(x)=0 INTERN kommentar: er det en fejl at der stå a og ikke x under kvadratroden? Ingen vendepunkter c) f''(x)=48x vendepunkter: (-0.5;3) og ((0.5;-1) nedad hul når x<0 og opad hul, når x>0

15 d) f''(x)=12x 2-12x vendepunkt (1.5;-0.688) opad hul i ]- ;0[ og ]1; [ og nedad hul i ]0;1[ e) f''(x)=30x x 2 vendepunkter (-2.582; ), (0,0) og (2.582; ) opad hul fra ]- ;-2 21[ og }2 21; [ og nedad hul i ]- 2 21; 2 21[

16 f) f''(x)=2e -x 4xe -x + x 2 e -x vendepunkter (0,0) og (2; 0.541) opad hul i ]- ;0.586[ og ]3.414; [. Nedad hul i ]0.586; 3.414[ Opgave 2.67 Intern kommentar: c) skal tilføjes x 1 a) = vendepunkt i x=e + Nedad hul i ]0;1[ og opad hul i ]1; [ b) = + vendepunkter: x= -1 og x=1 Nedad hul: ] ; 2[ og ]0; 2. Opad hul: ] 2; 0[ og ] 2; [ c) = Nedad hul: [1; [ og opad hul: ] ; [ vendepunkt: ingen i definitionsmængden

17 d) = Nedad hul i ]- ;1[ og ]1; [ vendepunkter: ingen Opgave 2.68 Intet vendepunkt, f''(x)=0 når x=. Opad hul i ] ; [ og nedad hul i ] ; [ Opgave 2.69 C=f(x), A = f'(x) og B = f''(x) Opgave 2.70 Intern kommentar: Lidt misvisende med tallene på akserne som ikke er ens B = f(x), C = f'(x) og D = f''(x)

18 2.7 Supplerende opgaver. Modellering og optimering Opgave 2.71 = Areal = + Opgave 2.72 Rumfang = b l h - 9p h Opgave 2.73 k=0 eller k = -32 Opgave.2.74 Intern kommentar: Der skal vist stå " får lokalt ekstremum for x=2") a = -1 og i x=2 er der et lokalt maksimum. Opgave ,43 Opgave 2.76 Intern kommentar: Der skal stå "Find x-værdien og " (x,y) = (-0.794; 0.930) y = y = x Opgave 2.77 a) = 8100 Areal af grundflade er 2x h, så figurens rumfang bliver R(x)=x h 200. Når h indsættes fås b) x = R( x) = 200 x 90 - x 2 2 Opgave 2.78 Intern kommentar: Figuren ser lidt underlig ud omkring B. a) AP = + 40 og PB = b) Vejpris = Billigst når x = 28,03 km Opgave 2.79 a) = + p. Indsætter: O(r)= og forkorter efterfølgende b) 2,416

19 Opgave 2.80 a) y = -4x + 8 b) y = (2a 6)x + 9 a 2 c) Skæring med x-akse: x = +. Skæring med y-akse: y = 9 a2 d) Areal = + 9. Reducer og det ønskede udtryk fremkommer e) Arealet er maksimalt når a = 1, Opgave 2.81 a) 8.66 b) Areal= 2 + 3, Trekantens højde: h=, y=. Indsæt h og y og reducer c) X = Opgave 2.82 a) h=p 3 Areal=h 2r - p r 2 indsæt det fundne h og reducer b) r = 0,318 Opgave 2.83 a) Omkreds = 2x + 2y - p x b) A(x) = -2x x c) x = 25 Opgave 2.84 a) Volumen = 4 + b) h= p + p Overfladeareal= c) r = 0,896 4 p p. Indsæt h og reducer Opgave 2.85 a) =. Overflade= Indsæt h og forkort b) = 5,520 Opgave 2.86 Radius kaldes r: O(r) = + 4 p. Minimum når r = 2.12 Opgave 2.87 x=1,802