Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet

Transkript

1 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus Uge

2 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning Definition 1 Lad I, J være åbne intervaller og F (x, y) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen dy dx = F (x, y) er en differentiabel funktion y(x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver y (x) = F (x, y(x)), x I Calculus Uge

3 Eksistens og entydighed [LA] 17 Generel ligning Sætning 32 Antag at F (x, y) er kontinuert og F (x, y) eksisterer og er y kontinuert i I J. For et givet (x 0, y 0 ) I J findes entydigt bestemt et maximalt delinterval I I og en differentiabel funktion y(x) : I J, som er en løsning til differentialligningen dy dx = F (x, y) og opfylder y(x 0 ) = y 0 Calculus Uge

4 Eksistens og entydighed [LA] 17 Generel ligning Bemærkning 1 Den udvidede ligning dy dx = F (x, y), y(x 0) = y 0 kaldes et begyndelsesværdiproblem. Eksistens- og entydighedssætningen for begyndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssystemer. Calculus Uge

5 Eksistenseksempel [LA] 17 Generel ligning Eksempel 1 Differentialligningen dy dx = x3 y + e xy har løsningskurver igennem ethvert (x 0, y 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner. Calculus Uge

6 Elementære funktioner [LA] 17 Generel ligning Eksempel 2 Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet dy dx = y, y(0) = 1 er eksponentialfunktionen y(x) = e x Calculus Uge

7 Elementære funktioner [LA] 17 Generel ligning Eksempel 2 - fortsat Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner dy 1 dx = y 2 dy 2 dx = y 1 y 1 (0) = 1, y 2 (0) = 0 y 1 (x) = cos x y 2 (x) = sin x Calculus Uge

8 Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields... ; [LA] 17 Generel ligning Eksempel 1 - Retningsfelt dy dx = x3 y + e xy y x Calculus Uge

9 Logistisk ligning grafisk [S] 7.5 The logistic equation Eksempel For den logistiske ligning dp dt = 0.08P (1 P 1000 ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstykker. I et givet punkt (t 1, P 1 ) vil en tangent have ligning P = P P 1 (1 P )(t t 1) Calculus Uge

10 Grafisk løsning [S] 7.5 The logistic equation Retningsfelt P t Calculus Uge

11 Logistisk ligning - Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eksempel 2 For det logistiske begyndelsesværdiproblem dp dt = 0.08P (1 P ), P (0) = prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (P n, t n ) vil differentialet være og dp = 0.08P n (1 P n 1000 )dt P P n P n (1 P n 1000 )(t t n) Calculus Uge

12 Eulers metode [S] 7.5 The logistic equation Eulers metode Tabellæg løsning til dp dt = 0.08P (1 P ), P (0) = n t n P n n t n P n Calculus Uge

13 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel For Lotka-Volterra systemet dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne ( dr dt, dw ) = (kr arw, rw + brw ) dt Calculus Uge

14 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 For Lotka-Volterra systemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW tegnes hastighedsfeltet i RW -planen. Calculus Uge

15 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - figur W Hastighedsfeltet R Calculus Uge

16 Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode For Lotka-Volterra systemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = dr dt dw dt = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n, W n ) vil differentialet være dr = (0.08R n 0.001R n W n )dt dw = ( 0.02W n R n W n )dt Calculus Uge

17 Eulers metode [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel 1 - Eulers metode Tabellæg løsning til R = 1000 og W = 75 månedsvis: n R n W n n R n W n n R n W n Calculus Uge

18 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Eksempel Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære systemer. figur 1 To positive egenværdier figur 2 En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 figur 4 Ingen reelle egenværdier Calculus Uge

19 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 1 To positive egenværdier y 2 y 1 Calculus Uge

20 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 2 En positiv og en negativ egenværdi y 2 y 1 Calculus Uge

21 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 y 2 y 1 Calculus Uge

22 Grafisk [S] 7.6 Predator-prey systems Figur 4 Ingen reelle egenværdier y 2 y 1 Calculus Uge

23 Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Definition 1 En differentialligning dy dx = F (y) kaldes et autonom system. En konstant løsning y(x) = b, F (b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning y(x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsystemer. Calculus Uge

24 Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 1 I en omegn af en ligevægt y(x) = b, F (b) = 0 kan det autonome begyndelsesværdiproblem dy dx = F (y), y(x 0) = b + ɛ tilnærmes med den lineære ligning hvor y(x) b + z(x). dz dx = F (b)z, z(x 0 ) = ɛ Calculus Uge

25 Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 2 For en ligevœgt y(x) = b, F (b) = 0 for det autonome system gœlder F (b) < 0: Stabil ligevœgt. F (b) > 0: Ustabil ligevœgt. F (b) = 0: Ingen konklusion. dy dx = F (y) Calculus Uge

26 Ligevægt og stabilitet [LA] 18 Stabilitet Bemærkning 2 - figur y y Fasediagram y = F (y) Calculus Uge

27 Logistisk stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 1 Den logistiske ligning dp dt = kp (1 P K ) har ligevægts løsninger og P (t) = 0, P (t) = K F (P ) = 2k K P + k F (0) = k > 0: 0 Ustabil ligevœgt. F (K) = k: K Stabil ligevœgt. Calculus Uge

28 Logistisk stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 1 - figur P P Fasediagram P = kp (1 P K ) Calculus Uge

29 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 For Lotka-Volterra systemet, a, b, k, r > 0, dr dt dw dt = kr arw = rw + brw er der to ligevægtsløsninger (R, W ) = (0, 0), (R, W ) = (r/b, k/a) Calculus Uge

30 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 - fortsat I (R, W ) = (0, 0) er den lineære approximation som giver en ustabil ligevægt. dr dt = kr dw = rw dt Calculus Uge

31 Lotka-Volterra stabilitet [LA] 18 Stabilitet Eksempel 2 - fortsat I (R, W ) = (r/b, k/a) er den lineære approximation for ( R, W ) = (R r/b, W k/a) d R dt = ar b W d W = bk dt a R som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t), W (t) for det oprindelig system er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cyklisk udvikling i modellen. Calculus Uge