Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1

Transkript

1 Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition - gentaget De partielle afledede af f(, ) i pnktet (, ) er f (, ) = lim f( +, ) f(, ) f (, ) = lim f(, + ) f(, ) når grænseværdierne eksisterer. Calcls - Uge 4. - Calcls - Uge 4. - Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel De partielle afledede af f(, ) = sin() i pnktet (, ) beregnes ved variabel differentiation f (, ) = cos() f (, ) = cos() Eksempel - figr Højere afledede f (, ) = sin() f (, ) = cos() sin() f (, ) = f (, ) = sin f (, ) = sin() Calcls - Uge Calcls - Uge Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Definition Den retningsafledede af f(, ) i pnktet (, ) i retning af en enedsvektor = (a, b) er Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Definition - figr D f(, ) = lim f( + a, + b) f(, ) Den partielle afledede af f(, ) med ensn til er den retningsafledede i retning e = (, ) og den partielle afledede af f(, ) med ensn til er den retningsafledede i retning e = (, ). (, ) = (a, b) = ( + a, + b) Calcls - Uge Calcls - Uge 4. - Retningsafledt direkte [S]. Directional derivatives and te... Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel Den retningsafledede af fnktionen f(, ) = + i pnktet (, ) i retningen = ( 3, 4 ) beregnes direkte 5 5 Eksempel - figr f( + 3 D f(, ) = lim, + 4 ) f(, ) 5 5 ( = lim ) = lim = 9 = +, D (3/5,4/5) (, ) = Calcls - Uge Calcls - Uge

2 Retningsafledt, grafisk [S]. Directional derivatives and te... Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Grafisk bestemmelse f(,)= 3 Grafisk bestemmelse - fortsat Støttepnkter giver grafen g() Niveakrver og retning = (, ). = (, ) og g() = = f( + ). Aflæs støttepnkter: g().9 3 Heraf f.eks. D f( ) = g ().5(.9/.7 +./.8).33 Calcls - Uge Calcls - Uge 4. - Retningsafledt, formel [S]. Directional derivatives and te... 3 Sætning For en differentiabel fnktion f(, ) er den retningsafledede pnktet (, ) i retning af en enedsvektor = (a, b) givet ved D f(, ) = f (, )a + f (, )b Fnktionen g() = f( + a, + b) ar afledt g f( + a, + b) f(, ) () = lim = D f(, ) Konklsion fra kædereglen g () = f (, )a + f (, )b Retningsafledt dregnet [S]. Directional derivatives and te... Eksempel - gentaget Fnktionen f(, ) = + ar partielle afledede f (, ) =, f (, ) = Den retningsafledede i pnktet (, ) i retningen = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D f(, ) = f (, ) f (, ) 4 5 = = Calcls - Uge 4. - Calcls - Uge 4. - Retningsafledt og vinkel [S]. Directional derivatives and te... Hvis enedsvektoren danner en vinkel på θ med -aksen, så er = (cos θ, sin θ) og den retningsafledede kan skrives D f(, ) = f (, ) cos θ + f (, ) sin θ Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel Den retningsafledede af i pnktet (, ) i retning π er f(, ) = D f(, ) = f (, ) cos π + f (, ) sin π θ (cos θ,sin θ) Specielt er = (3 3) 3 + ( 3 + 8) D f(, ) = Calcls - Uge Calcls - Uge Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Retningsafledt, prikprodkt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel - figr Den retningsafledede af f(, ) i pnktet (, ) i retning af en enedsvektor = (a, b) kan ved brg af prikprodktet skrives 7 D f(, ) = f (, )a + f (, )b = (f (, ), f (, )) (a, b) (,,) π/ Retning π/ Calcls - Uge Calcls - Uge 4. -

3 Gradient [S]. Directional derivatives and te... 8 Definition For en fnktion f(, ) er gradienten følgende vektor f(, ) = (f (, ), f (, )) Ved brg af standard enedsvektorerne e = (, ), e = (, ) skrives gradienten f(, ) = f (, )e + f (, )e Gradient [S]. Directional derivatives and te... Eksempel 3 Gradienten af i pnktet (, ) er I pnktet (, ) = (, ) fås f(, ) = sin + e f(, ) = (cos + e, e ) f(, ) = (cos + e, e ) = (, ) Calcls - Uge Calcls - Uge Gradient og retningsafledt [S]. Directional derivatives... Sætning For en differentiabel fnktion f(, ) er den retningsafledede pnktet (, ) i retning af en enedsvektor = (a, b) givet ved 9 Netop formlen 7. D f(, ) = f(, ) Retningsafledt og gradient [S]. Directional derivatives and te... Eksempel - gentaget Fnktionen f(, ) = + ar gradient f(, ) = (, ) Den retningsafledede i pnktet (, ) i retningen = ( 3 5, 4 5 ) beregnes D f(, ) = f(, ) ( 3 5, 4 5 ) = (, ) ( 3 5, 4 5 ) = Calcls - Uge Calcls - Uge 4. - Gradient [S]. Directional derivatives and te... Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel - figr Eksempel 4 Gradienten af f(, ) = 3 4 er (,) f(,) f(, ) = ( 3, 3 4) For den retningsafledede i retning (, 5) brges enedsvektoren = (, 5) f(, ) = (, ), = ( 3 5, 4 5 ) D f(, ) = ( 3, 3 4) (, 5) = ( ) Calcls - Uge 4. - Calcls - Uge 4. - Retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... Eksempel 4 - fortsat I retning = (, 5) er D f(, ) = ( 3, 3 4) I pnktet (, ) = (, ) fås D f(, ) = ( 4, 8) = 3 (, 5) (, 5) Mange variable [S]. Directional derivatives and te... For en fnktion f i n variable er den retningsafledede i et pnkt R n i retning af en enedsvektor R n Fra kædereglen følger D f( ) = lim f( + ) f( ) D f( ) = n f i ( ) i i= Calcls - Uge Calcls - Uge

4 Mange variable [S]. Directional derivatives and te... - fortsat For en fnktion f i n variable er gradienten en vektor i R n 3 f = ( f,..., f n ) = (f,..., f n ) For en enedsvektor R n er den retningsafledede Retningsafledt, 3 variable [S]. Directional derivatives and te... Eksempel 5 Gradienten af f(,, ) = sin er f = (sin, cos, cos ) For den retningsafledede i retning (,, ) brges enedsvektoren = (,, ) 4 D f = f n = f i i i= D f = (sin, cos, cos ) (,, ) = (sin + cos cos ) Calcls - Uge Calcls - Uge 4. - Retningsafledt, 3 variable [S]. Directional derivatives and te... Eksempel 5 - fortsat I retning = (,, ) er D f = (sin, cos, cos ) I pnktet (,, ) = (, 3, ) fås D f(, 3, ) = (,, 3) = 3 (,, ) (,, ) Maksimal retningsafledt [S]. Directional derivatives and te... 5 Sætning Betragt en differentiabel fnktion f() i mange variable. Den maksimale vœrdi af den retningsafledede D f() er lœngden f() og denne antages, når ar samme retning som gradienten f(). D f = f = f cos θ Da θ er vinklen mellem f og følger påstanden af egenskaberne for cos θ. Calcls - Uge Calcls - Uge Størst variation [S]. Directional derivatives and te... Eksempel Gradienten af f(, ) = e er f(, ) = (e, e ) Den retningsafledede er størst i retning (, ) med maksimal værdi f = e + I pnktet (, ) er den retningsafledede er størst i retning (, ) med maksimal værdi f = 5 Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... Betragt et pnkt (, ) på niveakrven f(, ) = k. En tangentvektor v til niveakrven i (, ) er vinkelret paa gradienten f(, ) v Hvis gradienten f(, ), så er f(, ) (, ) = en ligning for tangenten til niveakrven. Calcls - Uge 4. - Calcls - Uge Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... - figr Eksempel - figr tangent: f(,) (, )= f(,)=k f(,) (,) Vinkelret på niveakrverne vokser og aftager fnktionen rtigst. Tangenter til niveakrver for = e. Calcls - Uge Calcls - Uge

5 Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... Opgave Matematik Alfa, Agst Eksempel - figr Opgave 5 Betragt fnktionen f(, ) = + ln( ).. Angiv gradientvektoren f(, ).. Angiv den retningsafledede af f i pnktet P = (, ) i retning givet ved enedsvektoren (3/5, 4/5). Løsning. Gradienten beregnes Skalerede gradienter. for = e. f = 3 /( ) f = + /( ) f(, ) = (f (, ), f (, )) = (, 3/3) Calcls - Uge Calcls - Uge Opgave Matematik Alfa, Agst Opgave Matematik Alfa, Agst Opgave 5 - fortsat f(,). I retning = (3/5, 4/5) er den retningsafledede D f(, ) = f(, ) Opgave 5 - Ekstra 3 ++> = (, 3/3) (3/5, 4/5) = 5/5 = +ln( 3 ++) (,) Definitionsområdet. Grafen Calcls - Uge Calcls - Uge Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... Gradient og niveakrve [S]. Directional derivatives and te... Opgave 5 - figr Opgave 5 - figr Tangenter til niveakrver for = + ln( ). Skalerede gradienter. for = + ln( ). Calcls - Uge Calcls - Uge