Matematisk modellering af mæslinger

Transkript

1 Matematisk modellering af mæslinger En undersøgelse af vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik Christoffer Dalgaard Lasse Sønderskov Hansen Natasja Nielsen Rasmus Kristoffer Pedersen Jeanette Rasmussen Michael Fouchard Sylvest-Nielsen Roskilde Universitet Bachelorfagmodelprojekt i Matematik 5. Semester Under vejledning af: Viggo Andreasen

2 Abstract In this report a mathematical model of the dynamics of measles is developed. The goal of this report is to modify a mathematical model in such a way that it is possible to model age shift and to find the rate of vaccination necessary for extermination of measles in Denmark. The model has been created on basis of an SEIR model divided into 100 age steps. Through results from the model, line charts depicting number of cases of disease per year, age distribution, and cases of disease as a function of the rate of vaccination. From these charts it has been concluded that the model is capable of showing age shift of the cases of disease as an effect of vaccination. The age shift causes the number of cases of disease for people older than 18 years of age will increase as an effect of vaccination if the rate of vaccination does not surpass 82.4%. Additionally it is observed that with a rate of vaccination of 50% an ageshift is found which corresponds to the ageshift found by Panagiotopoulos et al. (1999). Furthermore it is concluded that the rate of vaccination in Denmark is over the limit required to ensure a decrease in the number of cases of disease for people older than 18 years of age, but too low to exterminate measles as this critical rate of vaccination is found to be between 87% and 88%. Resumé I denne rapport opstilles en matematisk model for mæslingers dynamik i en befolkning. Målet med rapporten var at modificere en matematisk model således, at denne kunne modellere aldersforskydning og bruges til at finde vaccinationsraten nødvendig for at udrydde mæslinger i Danmark. Modellen blev opbygget over en aldersinddelt SEIR model, og indeholder 100 alderstrin. Ved hjælp af modellens resultater blev der udformet grafer for antallet af sygdomstilfælde per år, aldersfordeling og smittetilfælde som funktion af vaccinationsraten. Ud fra disse grafer er det blevet konkluderet at modelen er i stand til at påvise en aldersforskydning af de smittede som følge af vaccination. Denne aldersforskydning medfører at mængden af smittede over 18 år vil stige som følge af vaccination hvis vaccinationsraten ligger under 82,4%. Derudover er der ved en vaccinationsprocent på 50% blevet observeret en aldersforskydning der stemmer overens med den der har fundet sted i Panagiotopoulos et al. (1999). Ydermere konkluderes det at vaccinationsraten i Danmark er høj nok til at medføre et fald i antallet af smittede over 18 år, men for lav til at udrydde mæslinger, da denne kritisk vaccinationsrate er fundet til at ligge mellem 87% og 88%. I

3 Forord Vi vil gerne takke vores vejleder Viggo Andreasen, for hans altid omfattende kommentarer til rapporten. Hans altid opmuntrende humør og underholdende historier indenfor epidemiologiens verden har også været til glæde for gruppen. Tak til NSM for lån af computere til simulering, som har været benyttet op til 24 timer af gangen. II

4 Indhold Abtract Resumé Forord Indholdsfortegnelse I I II III 1 Indledning Problemformulering Semesterbinding Rapportspecifikationer Metode Teori Sygdomsforløb for morbillivirus Vaccination af mæslinger i Dannmark Aldersforskydning Matematiske modeller Modellering af sygdomme SIR model SEIR modeller Tærskelværdi Modellering af populationer Aldersudvikling i vores model Alternativer Vores model Argumentation for vores model Detaljeret beskrivelse af vores model Antagelser og begrænsninger Valg af data til parametre Data for befolkningsstørrelsen Data for kontaktraten Mæslingetilfælde i Danmark Estimering af smitterate III

5 4 Verificering af model Resultater til verificering af modellen Forventninger af modellens resultater 32 6 Resultater og databehandling Forsøgsbeskrivelse Præsentation af resultater Analyse Undersøgelse Undersøgelse Undersøgelse Diskussion Fejlkilder Verifikation af model Diskussion af Resultater Undersøgelse Undersøgelse Undersøgelse Konklusion Perspektivering Litteraturliste 59 A Appendiks Løsning af differentialligningssystemmer A IV

6 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 1 Indledning 1 Indledning Det er muligt at beskrive alverdens fænomener, ved hjælp af matematiske modeller. Alt fra økonomi til fysik kan beskrives ved hjælp af disse modeller. Epidemiologi er læren om infektionssygdomme, hvor matematisk modellering ofte bruges til at undersøge området og problematikker. Ved hjælp af modeller og simuleringer, er det muligt at redegøre for epidemier og deres udvikling i en given befolkning. En epidemi er defineret som en pludselig vækst i forekomsten af en sygdom, i en bestemt befolkningsgruppe over et bestemt tidsrum (Epidemi n.d.). SIR modellen er et eksempel på en matematisk model, der er designet til at beskrive en epidemis udvikling i en population, hvori befolkningen kan blive immune overfor sygdommen. Denne type af modeller kan forklare dynamikken i epidemier og kan tilpasses forskellige omstændigheder. Der kan opstå spørgsmål som, hvad skal der til for at en epidemi opstår, kan denne opstå igen, hvad betyder vaccination for udviklingen af en epidemi? Besvarelser på disse spørgsmål kan ikke udelukkende afdækkes på baggrund af undersøgelser der omhandler sygdomsforløbet. Derimod er der oftest en række komplicerede faktorer indblandet i, hvordan inficerede individer kommer til at at smitte et modtagelig individ. Kompleksiteten af den matematiske beskrivelse kan variere, og afhænger af den ønskede præcision. Modellen afhænger altså meget af hvilken sygdom denne baseres på. I rapporten er der sat fokus på børnesygdommen mæslinger. Mæslinger skyldes virussen, morbilli-virus. Vaccinationen er en forebyggende måde at forhindre sygdomstilfælde, da der ikke findes medikamenter, der kan behandle mæslinger. Behandling af smittede patienter sker, derfor ved behandling eller lindring af symptomer. I Danmark vaccineres der mod mæslinger, fåresyge og røde hunde med MFR vaccinen. Før vaccinationens indførsel i 1987 var mæslinger en almen børnesygdom i Danmark, der også resulterede i dødsfald (Factsheet for general public n.d.). Vaccinen har resulteret i, at antallet af mæslingetilfælde er faldet drastisk (MFR-Vaccine n.d.). Hver gang der bliver observeret tilfælde af mæslinger, af en læge, skal dette indrapporteres til Statens Serums Institut, der samler alle indberettede tilfælde (Statens Serums Institut 2013). Selvom Danmark har haft vaccinationsprogram mod mæslinger i snart 30 år opleves der, specielt i de seneste år, en stigning i antallet af registrerede mæslingetilfælde. Denne tendens ses ikke kun i Danmark, men også i flere andre europæiske lande. ECDC, European Centre for Disease Prevention and Control, har en målsætning om at udrydde mæslinger i Europa inden 2015 (European Centre for Disease Prevention and Control 2012). Dette mål virker dog ikke længere realistisk da der f.eks. allerede i 2011 NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 1 af 61

7 1 Indledning Matematisk modellering af mæslinger Figur 1.1: Graf over mæslingeudbrud i EU /EEA lande 2006 til og med Figuren er taget fra (European Centre for Disease Prevention and Control 2012) var et stort antal syge i Frankrig samt mindre antal i Italien og Rumænien (Statens Serums Institut 2012). På figur 1.1 ses en statistik over mæslingetilfælde i Europa gennem de seneste år. Her ses det tydeligt at der er en stigning i antallet af mæslingetilfælde de seneste år. Denne udvikling kan blandt andet skyldes at et ikke vaccineret individ har været på ferie og bragt sygdommen med hjem, eller en tilflytter tager sygdommen med sig. Vaccinationsraten skal være på en hvis procent, for at sygdommen vil dø ud i en befolkning. Det er endnu ikke lykkedes at opnå denne procent i Danmark. I 2011 blev der konstateret 84 tilfælde af mæslinger, hvoraf 28 var folk over 18 år (Statens Serums Institut 2012). Af disse 28 tilfælde blev 70% indlagt som følge af sygdommen. Dette imod den samlede indlæggelsesprocent på 51% (Statens Serums Institut 2012). Ud fra dette kan det ses at der indlægges en større andel voksne. Der er i dette projekt undersøgt, hvorledes en matematisk model kan modificeres og tilpasses mæslingers biologiske egenskaber samt danske forhold. Dette leder op til følgende problemformulering. 1.1 Problemformulering Hvordan kan en matematisk model modificeres så den tilpasses mæslinger og danske forhold samt hvorledes vaccinationsraten kan varieres for at undersøge den kritiske vaccinationsrate og fænomenet aldersforskydning? 2 af 61 RUC - Roskilde Universitet

8 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 1 Indledning Uddybning af problemformuleringen Ved den kritiske vaccinationsrate forstås den vaccinationsrate der er nødvendig for at sygdommen uddør. Udtrykket kritisk vaccinationsrate vil blive uddybet i afsnit 2.5. Ligeledes vil aldersforskydning blive beskrevet i afsnit 2.2. Der vælges at sætte fokus på at undersøge den kritiske vaccinationsrate og aldersforskydning da disse fænomener ses diskuteret i litteraturen (van Druten et al. 1986, Panagiotopoulos et al. 1999). Kritisk vaccinationsrate og aldersforskydning vurderes til at være gode fænomener at undersøge for at udvide forståelsen af mæslingers epidemiologiske karakteristika. 1.2 Semesterbinding Semesterbindingen fra Roskilde Universitet, for bachelorfagmodulet i matematik, er som følger: "Projektarbejdet skal behandle matematiske modeller opstillet til at repræsentere og bearbejde genstandsområder uden for matematikken selv. Der kan både være tale om en undersøgelse og vurdering af eksisterende modeller/modeltyper og om selvstændig opstilling og analyse af modeller eller modeldele. Projektarbejdet skal være problemorienteret og eksemplarisk." (Studienævnet for matematik 2006). Dette projekt lever op til semesterbindingens krav, da projektets formål er at behandle og forstå en matematisk model. Der udføres forskellige forsøg, med modellen, som beskrives senere i rapporten. 1.3 Rapportspecifikationer Rapporten er opbygget ved efterfølgende beskrivelse. Der vil først blive introduceret relevant teori om mæslinger, om matematiske modeller og om epidemier. Dernæst bliver der præsenteret en opbygning af den matematiske model beskrevet detaljeret teoretisk og i kode, efterfulgt af en beskrivelse af, de udefra hentede data. Slutteligt bliver der præsenteret, hvad den gennemgåede model bliver brugt til og hvad dette giver os af resultater, samt en afrundende diskussion og konklusion. Rapporten er skrevet til en målgruppe bestående af matematik studerende, på et niveau NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 3 af 61

9 1 Indledning Matematisk modellering af mæslinger svarende til 5. semester på Roskilde Universitet. Det er nødvendigt at have viden indenfor basal matrix behandling samt forståelse for evaluering af differentialligninger og integraler i matricer. Dette er for at kunne forstå den matematiske opbygning af modellen. 1.4 Metode Der er arbejdet på problemstillingen ved dels et litteraturstudie af baggrundsteorien for SEIR modellen samt mæslinger. Derudover er der lavet eksperimentalt arbejde i form af simuleringer med en model kodet af gruppen selv i MATLAB. 4 af 61 RUC - Roskilde Universitet

10 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori 2 Teori Der vil i dette afsnit blive gennemgået relevant teori, for at forstå modellen og simuleringernes resultater. Afsnittet vil starte med teori om de biologiske faktorer nødvendige for projektet og dernæst omhandle relevant teori om matematisk modeller. 2.1 Sygdomsforløb for morbillivirus Sygdomsforløbet er beskrevet ud fra Statens Serums Institut (2013) og Andreasen (2006). Sygdommen indledes med feber, hoste og andre influenza lignende symptomer i ca. 3 dage. Der opstår samtidigt kopliks pletter, som er kendetegnet ved at være små pletter der opstår på indersiden af munden. Det indledende sygdomsforløb efterfølges af et voldsommere udbrud, hvor det karakteristiske mæslingeudslæt også ses. Udbruddet aftager efter 3 dage, hvorefter individet har antistoffer i kroppen og derved er immun overfor mæslinger. Sygdommen har en latensperiode på 6 til 9 dage, dvs. at patienten bliver smittet med mæslinger 6 til 9 dage før, patienten er i stand til at smitte andre. Selve smitteperioden for mæslinger er på 7 til 8 dage. Selve smitten sker gennem sekret. På figur 2.1 ses et grafisk overblik over sygdomsforløbet for mæslinger. 7 8 dage Smitteperiode Immun Latensperiode Start symptomer Udslæt 6 9 dage 3 dage 3 dage 1 2 dage Figur 2.1: Figuren viser en afbildning af hhv. individets sygdomsudvikling og smitteudvikling Vaccination af mæslinger i Dannmark Vaccinationen "MFR" er en fælles vaccination for Mæslinger, Fåresyge og Røde hunde der gives til børn over 15 måneder. Ved vaccination bliver patienten, blandt andet udsat for en svækket morbillivirus. Dette medfører en naturlig reaktion fra kroppen, der bekæmper virussen og danner immunitet mod mæslinger. NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 5 af 61

11 2 Teori Matematisk modellering af mæslinger Ved indførelsen af vaccinationsprogrammet i 1987 blev alle børn under 13 år tilbudt vaccinen. Efter 1987 gives vaccinen systematisk til børn i alderen 15 måneder. Dette gøres da børn kan have immunstoffer fra moderen efter fødslen og ved efterfølgende amning. Der kan dog være forskellige årsager til at give vaccinen tidligere, hvis moderen f.eks. ikke har antistofferne. Vaccinen gives en ekstra gang (MFR-2) i alderen 12 år. Dette blev i 2008 ændret til 4 år, og der blev igangsat en udfasning af 12 års vacccinationerne. Ved en enkelt vaccination estimeres effektiviteten til at være 95%, hvorimod den er 98% effektiv ved anden vaccinering (SSI 2013) (Sudfeld et al. 2010). Det anbefales derfor at modtage begge vaccinationer. I årene var vaccinationstilslutningen som vist i tabel 1. Gennemsnits vaccinationstilslutning over disse år var 88.8% (MFR2 vaccinationstilslutning n.d.). Tabel 1: Vaccinationstilslutningen i Danmark Gennemsnittet over disse år var 88.8% (MFR2 vaccinationstilslutning n.d.). Årstal % 89% 88% 88% 89% 89% 88% Årstal % 89% 90% 90% 90% 89% 89% Et vaccinationsprogram som det der findes i Danmark har, udover de åbenlyse fordele, også en fordel for befolkningen som helhed. Det estimeres at hvis 95% af befolkningen er vaccineret opstår fænomenet flokimmunitet. Fænomenet går kort sagt, ud på at når størstedelen af befolkningen er immune, kan de beskytte minoriteten af befolkningen, der ikke er immune. Dette sker, fordi sandsynligheden for at en smittet møder en modtagelig bliver betydeligt mindre. Altså skal der ikke en vaccinationstilslutning på 100% til for at udrydde en sygdom (Andreasen 2006). Det skal dog tages i mente, at flokimmunitet afhænger af befolkningssammensætningen, og er højere for uhomogene befolkningssammensætninger. En anden observation, som følge af vaccinationsprogrammet, er at gennemsnitsalderen for mæslingetilfælde kan stige (Anderson & May 1983). Dette fænomen vil i løbet af rapporten blive omtalt som aldersforskydning og er forklaret i afsnit 2.2. På figur 2.2 ses et eksempel på aldersforskydning opstået i Grækenland taget fra (Panagiotopoulos et al. 1999). Denne viser aldersfordelingen af sygdomstilfælde af røde hunde for hhv og Det ses at gennemsnitsalderen steg for tilfælde af røde hunde efter man havde 6 af 61 RUC - Roskilde Universitet

12 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori godkendt MFR vaccinen til brug i Grækenland. Figuren vil senere i rapporten bruges til sammenligning af empirisk fundne resultater for vores model. Figur 2.2: Figuren viser antal af tilfælde af røde hunde i Grækenland som funktion af alderen. Året 1993 ligger efter vaccinationens godkendelse og 1986 er repræsentativ for aldersfordelingen før. Figuren er taget fra (Panagiotopoulos et al. 1999). 2.2 Aldersforskydning Nogle sygdomme er kendt for primært at ramme bestemte grupper af befolkningen. Mæslinger er et eksempel på en sådan sygdom, da denne sygdom er kendt for at ramme børn. Det er blevet observeret, at gennemsnitsalderen, for smittede individer, stiger, når der vaccineres mod en sygdom. Dette fænomen kaldes for aldersforskydning. Aldersforskydning skyldes hovedsageligt, at der, ved vaccination, bliver færre smittede individer i en population. Færre smittede betyder, at risikoen, for at et modtageligt individ bliver smittet, falder. Derfor vil der gennemsnitligt gå længere tid inden et individ bliver smittet. Dette betyder, at personer, i gennemsnit, bliver ældre, før de får sygdommen. Der er to vigtige facetter af aldersforskydning. Den første er det at gennemsnitsalderen af de smittede individer stiger. Den anden er, hvorvidt der bliver flere smittede individer over en hvis alder. Det er muligt for gennemsnitsalderen at stige, uden at flere over en bestemt grænsealder bliver smittet. Derfor bliver aldersforskydning først et problem, hvis der sker en stigning i antallet af tilfælde i de ældre aldersklasser. På figur 2.3 er det illustreret, hvordan antallet af ældre smittede kan stige, når man vaccinerer. NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 7 af 61

13 2 Teori Matematisk modellering af mæslinger Figur 2.3: Figur der viser hvordan antallet af smittetilfælde blandt ældre aldersklasser ændres når andelen af immune nyfødte stiger. Der ses en stigning i forhold til ingen vaccinering op til en hvis grænse hvor antallet derefter falder. Taget fra (Anderson, R. M. and May, R. M. 1991) Aldersforskydning er af etiske årsager ikke muligt at undersøge eksperimentelt, da der skulle vælges bevidst, at kun en procentdel af befolkningen kunne få vaccine mod en potentielt farlig sygdom. Der er dog blevet lavet undersøgelser på populationer, hvor man utilsigtet har skabt en problematisk aldersforskydning på grund af vaccination. I (Panagiotopoulos et al. 1999) redegøres der for, at der skete en aldersforskydning i Grækenland fra på 7 år, efter man begyndte at vaccinere mod røde hunde. 2.3 Matematiske modeller En matematisk model er en matematisk beskrivelse af et system eller et fænomen. Når en model opstilles, forsøges der ikke altid at give en præcis beskrivelse af virkeligheden. I stedet anskueliggøres et bestemt perspektiv eller aspekt, så det betragtede fænomen lyser klarere igennem og bliver mere håndterbart (Johansen et al. 1989/90). For at lave en matematisk beskrivelse af et fænomen, bliver man nødt til at tage nogle antagelser om hvordan nogle mekanismer forløber. Dette gøres for at være i stand til at beskrive lige præcis den specifikke mekanisme, som der ønskes at se nærmere på. Dette 8 af 61 RUC - Roskilde Universitet

14 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori betyder at en model kun er så præcis, som de antagelser der tages. Inden for epidemiologi modelleres forskellige mekanismer af en sygdom, og på den måde er det muligt, at se hvad mekanismerne betyder for en epidemis udvikling. Det første man gør i en modellerings proces, er at man forsøger at beskrive virkeligheden. I denne proces foregår den vigtigste del af modelleringen, nemlig afgrænsningen. Det er her man vælger hvad man vil fokusere på og hvilke dele af processen som er mindre vigtige i forhold til ens perspektiv. Desuden forenkler man processen til de vigtigste dele. Næste trin er matematisk at beskrive det system man modellerer. Dernæst gennemgås en formaliserings proces, hvor man forsøger at sætte ord på hvad modellen beskriver. I sidste del af modelleringsprocessen kontrolleres om afgrænsningerne giver en acceptabel tilnærmelse af virkeligheden. For matematisk modellering af systemer eller fænomener er der dog også andre metoder. En anden anerkendt metode er, at tage allerede kendte modeller og tilpasse dem til formålet. 2.4 Modellering af sygdomme For at forstå og vurdere sygdomsudbrud benyttes i stor udstrækning matematisk modellering af sygdommene (Andreasen 2006). I 1766 blev matematik for første gang brugt til at hjælpe, forstå og begrunde påstande indenfor lægevidenskaben. Daniel Bernoulli var læge og ville vise at vaccinationer var godt for middellevetiden. Han opstillede en model, der i stor udstrækning minder om den model, der i dag er kendt som SIR-modellen. Herunder vil SIR-modellen blive beskrevet, samt udbygningen til SEIR-modellen. De nedenstående afsnit, afsnit og 2.4.2, er skrevet på baggrund af Andreasen (2006) SIR model Når sygdomme modelleres afhænger modellens kompleksitet bl.a. af hvor kompliceret sygdomsforløbet er, samt hvor svært det er at beskrive den population, der modelleres. Der findes en række sygdomme hvor det er muligt at inddele en population i tre grupper afhængigt af hvor langt de er i sygdomsforløbet. Gruppen S indeholder individer der er modtagelige over for sygdomme, mens gruppen I indeholder de inficerede individer og gruppen R indeholder de individer der har haft sygdommen og derfor er blevet immune, eller er døde af sygdommen. For at en sådan inddeling er mulig, kræver det at inficerede individer smitter, umiddelbart efter de selv er blevet smittet, samt at man er immun efter endt sygdomsperiode. Den totale befolkning noteres N og findes som summen af grupperne: N = S + I + R. Modellen er illustreret i figur 2.4. Ligeledes er det nødvendigt at lave en række antagelser om hvordan smitten spreder sig. For at kunne lave en beskrivelse af hvordan individer flyttes fra S til I til R. Antages det NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 9 af 61

15 2 Teori Matematisk modellering af mæslinger β h N SI S I R νi Figur 2.4: Her vises et kompartment diagram over SIR modellen. at modtagelige individer kun kan blive smittet ved at være i kontakt med individer, der allerede er inficerede, er det muligt at beskrive raten hvormed S ændres. Under antagelse af at populationen er homogen vil alle individer have samme kontaktrate kaldet β. Dermed vil I β være raten af alle de kontakter, der bliver lavet af individer fra I gruppen. Ganges der med den brøkdel af individer der er i S fås raten af kontakter der bliver lavet mellem grupperne S og I som bliver I β S. Hvis dette ganges med sandsynligheden for at en N kontakt føre til sygdom, h, er resultatet raten af hvor mange individer der flyttes fra S til I. Med antagelsen om en konstant befolkningsstørrelse vil dette være den eneste ændring der sker af S. Det er muligt at beskrive ændringen i S som Ṡ: Ṡ = β h N S I De individer fra S der bliver syge flyttes derefter over i I gruppen, da de nu er blevet inficerede. Antages det at raten hvorved syge individer bliver immune kan beskrives ved en konstant ν, kan ændringen af I, I skrives som: I = β h N S I ν I Hvis folk forbliver immune over for sygdommen vil ændringen af R være givet ved raten hvormed folk går fra at være syge til at være immune: Ṙ = ν I Denne model er kendt som SIR modellen, og den er en af de mest udbredte modeller til at modellere sygdomme. Hvis det ikke er hensigtsmæssigt, at antage konstant befolkning, er det muligt at udvide modellen, så den også tager højde for befolkningsændringer. Dette kunne f. eks. være, hvis en simulering skal løbe over så lang tid, at det ikke længere er korrekt, at betragte populationen som konstant. Det vil ligeledes være en grov antagelse at befolkningen, eller befolkningstætheden, er homogen. Hvis man i stedet har en befolkning der er inddelt i grupper med forskellig dynamik, for eksempel voksne og børn, vil modellen bestå af S, I og R kompartments for hver befolkningsgruppe. 10 af 61 RUC - Roskilde Universitet

16 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori SEIR modeller Ofte vil latensperioden fra individet selv er smittet til individet selv kan smitte være for markant til at denne kan undlades. I stedet for at inddele befolkningen i tre grupper er det muligt at inddele befolkningen i fire grupper, hvor den nye gruppe indeholder de individer der er blevet eksponeret for sygdommen men endnu ikke kan smitte. Denne gruppe noteres med E. Denne ændring betyder at individer i S der bliver smittet flyttes over i E i stedet for I. Noteres raten hvorved eksponerede individer begynder at smitte, γ, vil den samlede model se således ud: Ṡ = S β h N I (1a) Ė =S β h N I γ E (1b) I =γ E ν I (1c) Ṙ =ν I Denne model kaldes for SEIR-modellen, og kan anvendes på andre sygdommen end den basale SIR-model. SEIR-modellen er illustreret grafisk i figur 2.5. β h N SI γe νi S E I R (1d) Figur 2.5: Her vises et kompartment diagram over SEIR modellen 2.5 Tærskelværdi Hvis gruppen af modtagelige i en population er tilpas stor i forhold til den samlede population er det muligt, at en epidemi kan opstå. For at beskrive dette matematisk bruges begrebet Tærskelværdi, R. Tærskelværdien indeholder en vurdering af muligheden for epidemi med udgangspunkt i en bestemt sygdom f.eks. mæslinger. Tærskelværdien angiver hvornår det er muligt for en epidemi at opstå. Grænseværdien for dette er oftest beskrevet som R 0 også kaldet basic reproduction number (Gay 2004). Tærskelværdien kan udledes fra SEIR afsnit For at vurdere hvor vidt det er muligt for en epidemi at opstå i en population, kan man betragte ligevægtspunktet hvor hele populationen er i S (N, 0, 0, 0). Stabiliteten kan vurderes for ligevægtspunktet ved at kigge på egenværdierne for modellen i punktet. Man kan nøjes med at betragte ligningerne for Ṡ, Ė og I, da R kan findes hvis NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 11 af 61

17 2 Teori Matematisk modellering af mæslinger S, E og I er kendt. Ved linearisering er det muligt at evaluere Jacobi matricen for de tre differentialligninger fra ligningsystemmet (1) side 11: βi 0 Sβ J = βi γ Sβ 0 γ ν Evalueret i ligevægtspunktet (N, 0, 0, 0) gives: 0 0 Nβ J(N, 0, 0, 0) = 0 γ Nβ 0 γ ν Det er muligt at finde egenværdierne ved at løse følgende ligning: det(j(n, 0, 0, 0) Iλ) = 0 Hvor, I, identitets matricen, og λ er egenværdierne. Dette giver: 0 λ 0 Nβ 0 γ λ Nβ 0 γ ν λ = 0 (0 λ) γ λ Nβ γ ν λ = 0 Det ses at den første egenværdi er lig nul. For at finde de sidste egenværdier udregnes determinanten: γ λ Nβ γ ν λ = 0 ( γ λ)( ν λ) γnβ = 0 λ 2 + λ(γ + ν) + γν γnβ = 0 Sættes τ = γ ν og = γν γnβ er løsningerne givet ved: λ = τ ± τ Ligevægtspunktet vil være stabilt hvis rødderne har negativ reel del. Da τ = γ ν ses det at τ < 0. Derfor ses det ud fra ligning 2 at egenværdierne er negative hvis: τ > τ 2 4 τ 2 > τ af 61 RUC - Roskilde Universitet (2)

18 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori 0 < 0 < γν γnβ γnβ < γν 1 > Nβ ν Leddet Nβ kaldes også for tærskelværdien, R. En lignende værdi eksistere for andre ν punkter, men denne udtrykker R = R. Ved hjælp af denne formel er det muligt at bestemme parametre med indflydelse på modellen. Et eksempel på dette kunne være vaccinationsraten i Danmark. Tærskelværdi bestemmes ud fra en homogen befolkning og med fokus på vaccinationsraten vil vi se på muligheden for at bestemme en tærskelværdi ud fra vores empiriske data. I en befolkning hvor alle i befolkningen er modtagelige gælder det at R = R 0 (Gay 2004). For en befolkning hvor immune individer er blandet med modtagelige bestemmes R ved R = R 0 S, hvor S er mængden af modtagelige for sygdommen (Gay 2004). Grænsen, for vækst eller elimination af sygdommen, er ved R = 1. Ved R = 1 vil en inficeret smitte præcis en person og dermed vil antallet af syge være konstant. Derimod hvis R > 1 gælder det at der vil blive smittet flere end en per inficeret. Hvis R < 1 så vil antallet af smittede falde, da den smittede smitter mindre end én i løbet af sygdomsforløbet (Gay 2004). Tærskelværdien påvirkes derfor af antal modtagelige, og vil enten stige eller falde som respons på S gruppens størrelse. Den skal derfor ikke betragtes som en konstant værdi. Dette kan begrundes ved at kigge på tidligere epidemier hvor der oftest er en periode hvor sygdommen vil virke stort set afsluttet. I denne periode vil R < 1 da sygdommen ikke længere medføre nok smittetilfælde til at fortsætte (Gay 2004). Det er set at epidemier opstår selv efter sygdommen virker uddød. Grunden til dette er fordi tærskelværdien stiger over 1 i værdi. Værdiens ændring skyldes at der kommer nye modtagelige ind i populationen, f.eks. gennem fødsler eller indvandring. For at en vaccine kan udrydde en sygdom i en given befolkning, skal der kigges på scenariet hvor R = 1, som kan findes når S = 1, S R 0 beskriver her den kritisk mængde af modtagelige. For at udrydde sygdommen skal R < 1, derfor gælder det for en simpel model med en homogen befolkning at antallet af immune, P I, skal være højere end det kritiske antal af immune (Gay 2004). Dette kan beskrives som P = 1 S P = 1 1 R 0. Hvis R 0 for mæslinger sættes til en værdi mellem 12 og 18 kan P udregnes til at være i området 91,6% og 94,4%. 2.6 Modellering af populationer I matematik er demografi modeller kendetegnet ved at være beskrivelser af hvorledes en befolkning udvikler sig over en tidsperiode. Demografi udviklingen i vores model skal følge udviklingen for den danske befolkning i den undersøgte periode. Det ønskes af modellen at den skal være så nøjagtigt som muligt for at give realistiske resultater. Befolkningen i NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 13 af 61

19 2 Teori Matematisk modellering af mæslinger modellen skal til hvert år passe med den befolkning der var i Danmark det pågældende tidspunkt. Data for størrelsen af Danmarks befolkning, taget fra Wilmoth & Shkolnikov (2013), er opgivet i summen af, hvor mange nul årige, et årige, to årige,..., 111 årige der var til de respektive år. Derfor giver det mening at inddele befolkningen i n [1, 2,..., 112] aldersgrupper, hvor aldersgruppen n indeholder alle de mennesker der er n 1 år gamle. F.eks. vil den fjerde aldersgruppe indeholde alle mennesker der er 3 år gamle. For at modellen skal kunne modellere en periode der dækker over mange år er det et krav til modellen at individerne i hver aldersgruppe bliver et år ældre, hver gang der er gået et år i modellen Aldersudvikling i vores model For at få den bedste model har vi valgt at designe demografien i modellen ved at samtlige individer bliver ældre ved årsskift. Når hele befolkningen bliver et år ældre på samme tid, må det gælde at størrelsen af aldersgruppen n i slutningen af år n må være lig størrelsen af aldersgruppen a+1 i starten af år a+1. Derfor er aldersgrupperne nød til at ændre størrelse i løbet af året. Dette tager hensyn til emigration, immigration og eventuel død indenfor aldersgruppen. En simpel måde at løse dette på, er ved at basere befolkningsændringen på data for befolkningsstørrelsen. Med en antagelse om at befolkningsvæksten i de enkelte aldersgrupper er linear i løbet af året kan udviklingen af gruppe n til år a beskrives som: Ṅ a,n (t) = F a+1,n+1 F a,n 365 F a,n er størrelsen af aldersgruppe n til år a og er baseret på den nævnte data. Integreres dette fra tiden nul til tiden t fås: t Ṅ a,n dx = N a,n (t) = F a,n (0) + F a+1,n+1 F a,n (3) t (4) N a,n (t) angiver populationsstørrelsen i aldersgruppe n i året a til tidspunktet t. Ved årets slutning, altså N a,n (365), vil værdien være lig med F a+1,n+1. Dette er den værdi, som overgår til året a + 1. Det er let at anvende en befolkningsudvikling, der udarter sig som beskrevet her, da den eneste information der behøves er størrelsen af alle aldersgrupperne i starten af de enkelte år. Det er muligt at beskrive udviklingen i en aldersopdelt model, hvor hver aldersgruppe er opdelt i undergrupper. Under antagelse af at befolkningsændringen i hver undergruppe sker proportionalt med deres størrelse, vil befolkningsudviklingen i en model med fire undergrupper, x, y, z og w, kunne skrives som: 14 af 61 RUC - Roskilde Universitet

20 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 2 Teori Ṅ a,xn (t) = F a+1,n+1(0) F a,n (0) 365 Ṅ a,yn (t) = F a+1,n+1(0) F a,n (0) 365 Ṅ a,zn (t) = F a+1,n+1(0) F a,n (0) 365 Ṅ a,wn (t) = F a+1,n+1(0) F a,n (0) 365 N a,xn N a,xn + N a,yn + N a,zn + N a,wn N a,yn N a,xn + N a,yn + N a,zn + N a,wn N a,yn N a,xn + N a,yn + N a,zn + N a,wn N a,yn N a,xn + N a,yn + N a,zn + N a,wn (5a) (5b) (5c) (5d) Hvor Ṅa,x n, Ṅ a,yn, Ṅ a,zn og Ṅa,w n repræsentere de fire inddelinger af N og summen af disse er lig N. Summen af ligningerne er givet ved Ṅa,n ligning (3). Den samlede udvikling vil altså være den samme som da aldersgrupperne ikke var opdelt i undergrupper. Alternativer Udover den valgte metode til hvordan at befolkningsklasserne i vores model kunne følge udviklingen i Danmark, har vi overvejet to metoder. I den første metode ville befolkningen, ligesom den gennemgåede, aldres en gang om året ved årsskifte. Men i stedet for at vokse lineart igennem året ville befolkningsklasserne være konstante i løbet af året. Størrelsen af disse ville i stedet blive korrigeret ved årsskiftet således at størrelsen passede med data på Danmarks befolkning for det nye år. Denne metode blev fravalgt da den ville medføre synlige hop i simuleringen ved hvert årsskifte. Den anden metode der blev overvejet byggede på at individer i populationen var muligt at blive ældre i løbet af året. for at modellen skulle passe med virkeligheden ville det være nødvendigt at kende raten hvor med folk skulle flyttes fra en aldersgruppe til den næste. Derudover ville modellen også skulle tage højde for størrelsen af til- og fraflytnings raten. Metoden blev fravalgt da denne ville være for kompleks. NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 15 af 61

21 3 Vores model Matematisk modellering af mæslinger 3 Vores model 3.1 Argumentation for vores model Målet med vores model er at efterligne forekomsten af mæslinger fra 1970 til 2011 samt undersøge fænomener omhandlende vaccination. I 1987 blev MFR vaccinen indført i Danmark, så der i årrækken 1970 til 2011 var en markant ændring i forekomsten af mæslinger i Danmark. Vores model skal kunne efterligne en befolkning så præcist som muligt inden for de nødvendige antagelser. For at kunne skabe aldersforskydning, er modellen nødt til at blive opdelt i aldersgrupper. Grunden til, at der ønskes en præcis modellering af befolkningen, er for at kunne sammenholde resultaterne af modellen med data fra virkeligheden. Derved vil modellen kunne simulere scenarier på en befolkning, der er meget lig den danske. Modellen er således nødt til at tage højde for kontaktmønstrene i den danske befolkning. Med kontaktmønstre menes der, hvor mange mennesker et individ er i kontakt med og chancen for at denne kontakt medføre overførsel af sygdommen. Kontaktmønstrene er ikke ens for alle aldersgrupper imellem; en femårig er oftere i kontakt med en af samme alder end med en på tredive eller en på firs. Dette er altså en størrelse, der skal vurderes for hver enkelt aldersgruppe. For at kunne implementerer denne del i modellen forsøgte vi, at finde data på kontaktmønstre for den danske befolkning. Der eksistere ikke undersøgelser på den danske befolknings kontaktmønstre, hvilket har medført at der er blevet brugt en undersøgelse om kontaktmønstre for et andet land, Tyskland fra Mossong et al. (2009). Da der i løbet af den modellerede tidsperiode blev indført vaccine, vil der efter en årrække i simuleringen skulle ske en ændring i hvor mange af de nyfødte der har mulighed for at blive smittet med mæslinger. Dette løses ved at sætte vaccinationsraten lig 0% frem til vaccinationens indførsel, og derefter at ændre vaccinationsraten sådan, at det stemmer overens med de ønskede fænomener. Simuleringen vil finde sted over en så lang årrække, at befolkningen ikke kan anses for at være konstant. For at modellen skal kunne give realistiske resultater, for tilfælde af mæslinger og aldersfordelingen af disse, er den nødt til at kunne efterligne de generelle demografiske ændringer i Danmarks befolkning. Ændringer så som; befolkningsstørrelse, fødsel og død. Dette er muligt for os at implementere i modellen, da vi har fyldestgørende data for hvordan Danmarks befolkning har udviklet sig frem til Vores model skal, for at vise de demografiske ændringer, bestå af en række aldersgrupper hvis størrelse skal udvikle sig på samme måde, som de har gjort i Danmark den pågældende periode. Hvordan spredningen af sygdommen udvikler sig skal være styret af, hvor stor kontakt de forskellige grupper har med hinanden samt hvor mange nyfødte, der er modtagelige for sygdommen. Ved at lave modellering af befolkningen, med vaccinationsprogrammet implementeret på 16 af 61 RUC - Roskilde Universitet

22 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 3 Vores model denne måde, er det muligt ved ændring af vaccinationen at påvise aldersforskydning. 3.2 Detaljeret beskrivelse af vores model Vores model over mæslinger er en aldersopdelt SEIR model, hvor hver aldersgruppe bliver ældre en gang hvert år, indtil de når 100 år og fjernes. Modellen består af 400 kompartments inddelt på en sådan måde, at hver kompartment i den almindelig SEIR model er delt op i 100 alders trin. Der er således 4 kompartments for hvert alderstrin, n, i vores model; S n, E n, I n, og R n. I udarbejdelsen af modellen, er det besluttet, at kompartments er fordelt efter alder. Det er med andre ord inddelt sådan at de første 4 kompartments har med de nul til et årige at gøre, de næste 4 kompartments med de et til to årige at gøre og så fremdeles. Den fire kompartements indeholder individer over 99 år. Udviklingen af disse kompartments findes ved at løse en serie differentialligninger der beskriver udviklingen af alle kompartments. Modellen er lavet således at differentialligningerne løses for et år af gangen. Efter dette år bliver alle i de respektive kompartments et år ældre, og flyttes til næste aldersgruppe. Startbetingelserne til løsningen af modellen det første år er størrelsen af de 400 kompartments til tiden 0, altså hvor mange mennesker der var i de enkelte S, E, I og R grupper før simuleringen begynder. I de efterfølgende år er startværdierne for simuleringen, slutværdierne fra året før, blot rykket til næste alderstrin. I modellen ses dette som at startbetingelserne er lig med slutværdierne fra året før, alle kompartments rykkes 4 pladser, således at de kompartments der svarede til alderen n er blevet rykket, så de er placeret i år n+1. Bemærk at kompartments for alderen 100 således ikke indgår i de nye startværdier da startværdierne bruger kompartments for aldrene 0 til 99. Disse vil i løbet af modelleringen være blevet 0 da alle individer i aldersgruppe 100 ifølge vores model dør i løbet af året. En afbildning af hvordan kompartments flyttes rundt kan ses i figur 3.1 side 19. Den samlede størrelse af kompartments S n, E n, I n og R n,noteret som N n, skal ændres hvert år som beskrevet i afsnit 2.6. Dette bliver gjort ved at befolkningsændringen bliver fordelt på de fire kompartments proportionalt efter deres størrelse, se ligningssystemmet (5) side 14. Hvert alderstrin i modellen løses ud fra det samme princip. Alderssammensætningen og derigennem antallet af personer i hvert alderstrin modelleres som beskrevet i afsnit 2.6. Der bruges er befolkningsmatrice, F a,n hvori en befolknings alderssammensætning er beskrevet. Da dette projekt fokuserer på modellering af de danske tilstande er befolkningsmatricen ganske enkelt antallet af personer i Danmark et givent år. F 1997,5 henviser altså til antallet af femårige i Danmark i år Vi antager at det for ethvert alderstrin skal være muligt at blive smittet af syge fra ethvert NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 17 af 61

23 3 Vores model Matematisk modellering af mæslinger andet alderstrin. Derfor skal leddet hvor smitteraten indgår i den almindelige SEIR-model være en sum af, hvordan hvert syge alderstrin kan smitte det pågældende raske alderstrin i vores model. Denne sum findes som ses i ligning 6 herunder. 100 k=1 ( ) βn,k h I k S n N total Hvor β n,k henviser til raten hvorved syge af alderen k smitter personer af alderen n og N total er summen af alle n er. Denne rate bestemmes ud fra viden om kontakt mønstre blandt de givne aldersgrupper samt en konstant værdi der udtrykker hvad sandsynligheden for at en kontakt mellem en modtagelig og en smittende vil medføre at den modtagelig bliver smittet. Desuden spiller måden hvorved sygdommen smitter også ind på denne rate. En dybere beskrivelse af β n,k samt estimering af dens værdier for forskellige n og k vil blive gennemgået i afsnit Raten hvorved kompartments E n, I n og R n har indflydelse på hinanden afhænger ikke af andre alderstrin. Derfor er der ingen forskel på disse led i differentialligningssystemmet for vores model, i forhold til SEIR modellen gennemgået i afsnit For at få et overblik over hvordan sammenhængen mellem de forskellige kompartments er henvises til figur 3.2 side 20 der viser hvordan en kompartment har indvirkning på en anden. (6) 18 af 61 RUC - Roskilde Universitet

24 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 3 Vores model start1 = [ S1,1 E1,1 I1,1 R1,1 S2,1 Modelering af et år: resultat1 = [ S1,2 E1,2 I1,2 R1,2 S2,2 E2,2 I2,2 R2,2 S3,2... S98,1 E98,1 I98,1 R98,1 S99,1 E99,1 I99,1 R99,1 ] S99,2 E99,2 I99,2 R99, ] Rykning af kompartments: start2 = [ S1,2 E1,2 I1,2 R1,2 S2, S98,2 E98,2 I98,2 R98,2 S99,2 E99,2 I99,2 R99,2 ] Figur 3.1: Figur over hvordan aldersgrupper er inddelt i modellen samt hvordan disse rykkes løbende. Notationen Sm,n henviser til aldersgruppen fra m årige til m + 1 årige i året n. Efter en simulering vil kompartments i start1 være ændret til de en ny værdi der er størrelsen af kompartmenten efter 365 dage. Denne kaldes her resultat1. Hernæst bliver samtlige kompartments rykket fire trin op i form af den nye kompartment række, start2. NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 19 af 61

25 3 Vores model Matematisk modellering af mæslinger 100 β n,k h I k S n S n k=1 N E n δ E n I n ρ I n R n S n E n I n R n F a+1,n+1 F a,n N n Figur 3.2: Diagram over sammenhængen mellem kompartments for alderen n. En pil fra en kompartment til en anden er symbol på en ligning der skal trækkes fra den første og lægges til den anden. Den nederste boks udgør ikke en kompartment men i stedet et led der multipliceres med størrelsen af en given kompartment og lægges til denne ved hvert tidskridt. 20 af 61 RUC - Roskilde Universitet

26 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 3 Vores model Ved at samle hvert led der hører til hver kompartment i figur 3.2 side 20 fås differentialligningssystemet for aldersgruppe n som det ses i ligningerne (7) Ṡ n = F a+1,n+1 F a,n 365 Ė n = F a+1,n+1 F a,n 365 Sn 100 N n En N n + k=1 100 k=1 I n = F a+1,n+1 F a,n In + λ E n µ I n 365 N n Ṙ n = F a+1,n+1 F a,n 365 Rn N n + µ I n ( ) βn,k h I k S n N ( ) βn,k h I k S n λ E n N Hvor n er det pågældende alderstrin udregningen bliver udført for og a er det år simulering kører over. F a,n er således befolkningsmatricen for året a i aldersgruppen n. Værdien F a,101 sættes til 0 som beskrevet tidligere for at sikre at F a,101 F a,100 = F a,100 og at der derved fjernes den nødvendige mængde personer i den ældste aldersgruppe. Defineres Ṅ n som Ṅ n = Ṡn + Ėn + I n + Ṙn fås: Ṅ n = F a+1,n+1 F a,n 365 Den samlede udvikling af Ṡ n + Ėn + I n + Ṙn vil altså foregå som beskrevet i afsnit 2.6. Det skal bemærkes at ovenstående differentialligningssystem ikke gælder for den yngste aldersgruppe da der ikke direkte skal tilføres individer til E 1 og I 1 da man ikke kan fødes ind i et stadie af sygdommen. Nye individer i alderstrin 1 placeres således i S 1 eller R 1 og hvilket gøres afhængigt af vaccinationsraten. Vaccination af nyfødte sker i modellen ved at en procentdel af de nyfødte placeres i R 1, i stedet for at samtlige nyfødte placeres i S 1. Hvor stor procentdelen er afhænger af hvor stor vaccinationsrate der ønskes. Da vaccinationsprogrammet blev indført i Danmark i 1987 blev der tilbudt vaccine til alle børn mellem et og tretten år. Så der i dette år var en ekstra gruppe der blev vaccineret i forhold til kommende år. Hele denne gruppe bliver derfor vaccineret i vores model i år Det sker ved at en procentdel af den modtagelige befolkning flyttes over til de den resistente i starten af året. Vi vaccinerer altså alle individer på samme tid, istedet for at vaccinere dem løbende gennem året. Differentialligningssystemet løses i det numeriske udregnings program MATLAB. I MAT- LAB har vi kodet et program der løser systemet Programmet udregner differentialligningssystemet for en bestemt årrække hvor hvert år består af 365 dage. I selve programmet udføres både indlæsning af den brugte data om befolkningen, modellering af et enkelt år samt flytning af aldersklasser i startværdi matricet. Ved modellering af et enkelt år bruges den indbyggede differentialligningsløser ODE45. Denne benytter fjerde og femte ordens Runge-Kutta der er beskrevet i Appendiks A. (7a) (7b) (7c) (7d) NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 21 af 61

27 3 Vores model Matematisk modellering af mæslinger Selve koden til programmet kan ses i det elektroniske bilag i filen KildeKode.rar. 3.3 Antagelser og begrænsninger I dette afsnit vil antagelserne, der har været nødvendige at tage i forhold til at lave modellen, blive beskrevet. I modellen antages det, at den eneste måde hvorpå man kan blive smittet med mæslinger er ved at være i direkte kontakt med andre mennesker. Modellens kontaktrate er baseret på data fra (Mossong et al. 2009). Denne data giver informationer om fysisk og ikke fysisk kontakt blandt mennesker for en række lande. Da mæslinger ikke kræver fysisk kontakt for at smitte har vi valgt at bruge data for samtlige kontakter, ikke kun fysisk eller ikke fysisk. I artiklen har de sat en nedre grænse for hvornår man er i kontakt med andre mennesker. De har vurderet at man skal have en samtale på minimum tre ord før der er sket en kontakt. Det er dog muligt for mæslinger at smitte fra en person til en anden uden at de to personer har en samtale på tre ord. Derfor er det muligt at den brugte kontaktrate er for lille, da den ikke indeholder alle kontakter der har mulighed for at medføre smitte. Modellen indeholder sandsynligheden for at blive smittet ved kontakt. Hvor stor denne er afhænger af typen af kontakt, da sandsynligheden for at blive smittet vil være større ved fysisk kontakt, end ved en kort samtale. Derfor er det ikke muligt at finde en konkret størrelse af denne i litteraturen. En anden antagelse der laves i rapporten er omkring immunitet af nyfødte. I virkeligheden har langt størstedelen af nyfødte medfødt immunitet fra deres mor, det første år af deres liv. Dette gør at der er meget få nul-årige som smittes med mæslinger. Modellen inkluderer ikke denne medfødte immunitet, derfor vil der i modellen være et stort antal smittede nul-årige hvor man i virkeligheden ser et stort antal smittede et-årige. Måden hvorved vaccination implementeres i modellen afviger en del fra virkeligheden. I stedet for at vaccinere 2 gange som i virkeligheden, sker vaccination i vores model ved at en vis procentdel af børn fødes immune. Befolkningsudviklingen er også et område hvor der er lavet antagelser. I modellen foregår det ved at aldersgrupperne vokser lineært i løbet af året, imod den størrelse som aldersgrupperne skal have året efter. Dette har den effekt at aldersgruppen for 99-årige og opefter vil gå mod nul i løbet af året. Samtidig vil befolkningsgruppen for 98-årige og opefter vokse, da den skal have samme størrelse som gruppen 99-årige og opefter. 22 af 61 RUC - Roskilde Universitet

28 Vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik 3 Vores model En befolknings adfærd vil ikke være den samme i løbet af et år, da ferier og andre sæson fænomener vil påvirke folks adfærd i løbet af året og dermed hvordan sygdommen spredes. Dette er noget vi ikke har taget højde for i vores model. Når en person smittes med mæslinger går der 6 til 9 dage til personen begynder at smitte og derefter 7 til 8 dage før han stopper med at smitte. Hvis det antages at begge tager 7 dage, svarer dette til at 1/7 af alle individer i E og I flyttes til det næste kompartment hver dag. Dette har vi approksimeret i vores model ved at sætte raterne δ og ρ til 1/7. Dette har selvfølgelig den implikation at vi allerede på første dag kan opleve smittende og folk som er blevet raske efter at have været syge, men over de 7 dage vil mængden være den korrekte mængde. 3.4 Valg af data til parametre Der vil her blive beskrevet hvorledes værdien af parametre benyttet i modellen er blevet udvalgt Data for befolkningsstørrelsen Den årsbetingede udvikling af alderstrin i modellen bliver bestemt ud fra data om Danmarks befolkningsstørrelse. Disse data lister mængden af nul-årige, et-årige osv. op til 110+ årige. Der er data fra år 1835 og fremefter. Kilden til disse data er Wilmoth & Shkolnikov (2013), der er et projekt udarbejdet af forskere i USA og Tyskland hvis mål er at tilbyde detaljerede populationsdata til forskere og andre små projekter. Da modellen benytter befolksningsstørrelsesdata for 100 alderstrin forkortes de 110 alderstrin fra Wilmoth & Shkolnikov (2013), ved at alle alderstrin over 100 samles i alderstrin for 100-årige Data for kontaktraten Kontaktraten i vores model er baseret på data fra en undersøgelse der er beskrevet i artiklen (Mossong et al. 2009). I artiklen bliver der beskrevet en undersøgelse hvor kontaktmønstre blandt mennesker i en række europæiske lande bl.a. Tyskland kortlægges. Undersøgelsen er baseret på 7290 deltagere der hver især har været udstyret med en dagbog hvori de har beskrevet hvor mange kontakter de har haft og hvor lang tid disse har varet. Deltagerne i undersøgelsen var valgt så de repræsenterede den generelle befolkning i deres land. Kontakterne blev delt op i fysisk og ikke fysisk kontakt. Mossong et al. (2009) definerede fysisk kontakt som direkte kontakt mellem huden, f.eks. ved et håndtryk eller NSM - IMFUFA - Matematik Overbygning 23 af 61