Differensligninger og populationsstørrelser
|
|
- Cecilie Lorentzen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 5, 2014 Printed: October 5, 2014 File: differensligninger-slides.tex
2 2 Contents 1 Modeller for udviklingen af en populations størrelse 4 2 Befolkning 1960 nu Bangladesh Congo Ghana Irland Nepal Rusland USA Befolkning historisk Befolkningen i USA Befolkningen i Irland En model for udviklingen af en populations størrelse 14 5 Øvelse Løsning Undgå at populationen uddør 20 7 Øvelse Løsning Matematisk løsning - den homogene ligning 25
3 3 9 Matematisk løsning - den inhomogene ligning Den geometriske række Tilbage til løsningen Følger befolkningsudviklingen den homogene model 40
4 4 1 Modeller for udviklingen af en populations størrelse Vi skal studere modeller for udvikling af en poulations størrelse over flere år. Det kan f.eks. være antal fugle af en bestemt art i et bestemt område, eller antal personer i en befolkning i et bestemt land.
5 5 2 Befolkning 1960 nu 2.1 Bangladesh Befolkningen i Bangladesh
6 6 2.2 Congo Befolkningen i Congo
7 7 2.3 Ghana Befolkningen i Ghana
8 8 2.4 Irland Befolkningen i Irland
9 9 2.5 Nepal Befolkningen i Nepal
10 Rusland Befolkningen i Rusland
11 USA Befolkningen i USA
12 12 3 Befolkning historisk 3.1 Befolkningen i USA Befolkningen i USA
13 Befolkningen i Irland Befolkningen i Irland
14 14 4 En model for udviklingen af en populations størrelse Vi lader x[n] betegne antal individer i en population i år n. Vi skal se på modeller for hvordan populationen udvikler sig, dvs en model for sammenhængen mellem x[0]; x[1]; x[2]; : : : Et eksempel på en (homogen) førsteordens differensligning er x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] = (1 + r)x[n ` 1] Altså, populationsstørrelsen x[n] i år n er proportional med (en konstant gange) populationsstørrelsen eet år tidligere, x[n ` 1].
15 15 Af x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] fås også en anden fortolkning: x[n] ` x[n ` 1] = rx[n ` 1] Altså, ændringen i populationsstørrelsen x[n] ` x[n ` 1] fra år n ` 1 til år n er proportional med populationsstørrelsen i år n ` 1.
16 16 Vi ser på en fiktiv population af fugle i et bestemt område. Antag at der i starten er x[0] = 100 fugle og at vækstraten er r = 0:0194 (eller 1:94%) om året. I år 1 er der x[1] = x[0] + 0:0195x[0] = 101:9 ı 102 fugle. I år 2 vil der være x[2] = x[1] + 0:0195x[1] = 103:9 fugle osv. Der er flere ting på programmet: Vi skal studere sådanne modeller med et regneark Vi skal undersøge sådanne modeller rent matematisk Vi skal se om sådanne modeller passer rimeligt på befolkningsstørrelserne
17 17 5 Øvelse Det er nemt at studere sådanne populationsmodeller med et regneark, og det skal vi gøre i det følgende. Spørgsmål: 1. Undersøg udviklingen af populationsstørrelsen over 20 år med 3 forskellige vækstrater: r 1 = 0:0194 (bedst), r 2 = `0:0324 (medium) og r 3 = `0:0482 (dårligst) når der til en start er 100 fugle i populationen. 2. Ligner vækstkurverne rette linier? 3. Hvad sker der med poplationsstørrelserne hvis man ser over en længere årrække, f.eks. 100 år? 4. Findes der værdier af r, der helt klart giver en vækstkurve, der er en ret linie
18 Løsning
19
20 20 6 Undgå at populationen uddør Ovenfor har I formentlig (forhåbentlig) konkluderet, at positive vækstrater fører til at populationen eksploderer og negative vækstrater til at populationen uddør. Hvis vækstraterne er negative og man alligvel ønsker at bevare populationen, så bliver man nødt til jævnligt at tilføre nye fugle til populationen. Lad os antage, at vi tilfører a = 5 fugle til populationen hvert år. Så bliver modellen x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] + a = (1 + r)x[n ` 1] + a På grund af leddet a i ligningen kaldes sådan en ligning for in inhomogen 1. ordens differensligning.
21 21 7 Øvelse 1. Undersøg udviklingen af populationsstørrelsen over 100 år med 2 forskellige vækstrater: r 2 = `0:0324 (medium) og r 3 = `0:0482 (dårligst) når der til en start er 100 fugle i populationen og der hvert år tilføjes a = 5 fugle. Ser det ud til at populationen stabiliserer sig? 2. Undersøg udviklingen i populationsstørrelsen for forskellige (heltallige) værdier af a. Vil populationen altid stabilisere sig? Hvad er det mindste antal fugle man kan tilføje således at populationen ikke falder under startniveauet på x(0) = 100 fugle. 3. Betragt en mellemste vækstrate r 2 = `0:0324 og lad os vedtage, at der tilføjes a = 5 fugle til populationen hvert år. Hvorledes populationsstørrelsen udvikler sig over f.eks. 100 år hvis x(0) = 50, hvis x(0) = 100 og hvis x(0) = 200. Overrasker dette?
22 Løsning rød: r 2 = `0 ` 0324; grøn: r 3 = `0:0482. a = 5 a = a = a =
23 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
24 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
25 25 8 Matematisk løsning - den homogene ligning Vi skal nu finde et matematisk udtryk for løsningen på differensligningen x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] = (1 + r)x[n ` 1] For at gøre notationen lidt lettere indfører vi b = 1 + r og har så x[n] = bx[n ` 1] Vi prøver at regne de første led ud x[1] = bx[0] x[2] = bx[1] = b(bx[0]) = b 2 x[0] x[3] = bx[2] = b(b 2 x[0]) = b 3 x[0]
26 26 Baseret på dette kunne man formode, at løsningen er ~x[n] = b n x[0] for alle n > 0 Bemærk at løsningen til differensligningen er en funktion. Vi kan bevise at dette er rigtigt, og det kan gøres på mange måder. Een er som følger. Sæt den formodede løsning ind i den oprindelige ligning x[n] = bx[n ` 1]. Sætter vi den formodede løsning ind på højresiden af den oprindelige ligning får vi b~x[n ` 1] = b(b n`1 x[0]) = b n x[0] = ~x[n] Den formodede løsning er altså en løsning. Der er en lille ekstra tvist her: Vi har fundet en løsning; men vi ved ret beset ikke om der er flere. Det er der ikke, men det går vi ikke nærmere ind på.
27 27 Bemærk: Vi har fundet ud af, at løsningen til ligningen x[n] = bx[n ` 1]; n > 0 Den ubekendte er her ikke et tal men en funktion. Løsningen er netop funktionen (vi gider ikke skrive ~x[n]; nøjes med at skrive x[n]): x[n] = b n x[0]
28 28 Med det matematiske udtryk har vi nu forstået det hele. Husk at b = r + 1 hvor r er vækstraten: Hvis b > 1 (dvs r > 0) vokser populationen ubegrænset. Hvis b = 1 (dvs r = 0) er populationen konstant Hvis 0 < b < 1 (dvs `1 < r < 0) dør populationen ud Men - hvad nu, hvis `1 < b < 0? og hvis b = `1? og hvis b < `1?
29 b = b = b =
30 30 9 Matematisk løsning - den inhomogene ligning Dernæst skal vi se på løsningen til x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] + a = (1 + r)x[n ` 1] + a Igen sætter vi b = 1 + r og får x[n] = bx[n ` 1] + a. Vi prøver at regne de første led ud: x[1] = bx[0] + a x[2] = bx[1] + a = bfbx[0] + ag + a = b 2 x[0] + ba + a x[3] = bx[2] + a = bfb 2 x[0] + ba + ag + a = b 3 x[0] + b 2 a + ba + a x[4] = bx[3] + a = bfb 3 x[0] + b 2 a + ba + ag + a = b 4 x[0] + b 3 a + b 2 a + ba + a
31 31 Vi kan se et mønster her, og det er fristende at gætte på, at løsningen til ligningen er ~x[n] = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a Er dette udtryk løsning til ligningen x[n] = bx[n ` 1] + a? Vi sætter ind: b~x[n ` 1] + a = bb n`1 x[0] + b (b n`2 + b n`3 + b n`4 + + b 2 + b 1 + 1)a! + a = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 )a + a = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a = ~x[n] Svaret er altså ja; vi har fundet en løsning (igen burde vi vise, at der kun er een løsning - men det er der altså!)
32 32 Vi kan simplificere formlen for løsningen ved at finde et simpelt udtryk polynomiet b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b Til dette formål skal vi bruge den geometriske række.
33 Den geometriske række For et tal b og et heltal p > 0 kaldes nedenstående den geometriske række: S p = 1 + b + b 2 + b b p Vi kan finde en simpel formel for den geometriske række. Vi beregner bs p = b + b 2 + b 3 + b b p+1 Heraf fremgår at S p ` bs p = (1 ` b)s p = 1 ` b p+1 Når b 6= 1 har vi S p = 1 ` bp+1 1 ` b Når b = 1 har vi S p = p + 1
34 b = b = b = 1.5 b =
35 35 Fra grafer og formlen S p = 1 ` bp+1 1 ` b kan vi umiddelbart spotte hvad der sker mede S p når p! 1 at når jbj < 1 så går S p mod at når b > 1 så går S p mod ` b at når b < `1 så svinger S p men js p j går mod 1.
36 Tilbage til løsningen Dermed har vi x[n] = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b! a Hvis jbj < 1 vil x[n] = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b! a for store n nærme sig x[n] = b n x[0] +! 1 a 1 ` b
37 37 Nu har vi forstået det hele. Husk at b = r + 1 så r = b ` 1. x[n] = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b Se på situationen hvor `1 < r < 0; altså b < 1. (vækstraten er negativ men ikke større end `100% - altså at populationen ville uddø hvis vi ikke sætter nye fugle ind). I dette tilfælde vil b n x[0] blot gå mod 0 når n vokser. Men det andet led vil stabilisere sig på 1 1 ` b I vores konkrete tilfælde får vi: > r2< ; a<-5 > a*(1/(-r2)) [1] > r3< ; a<-5 > a*(1/(-r3)) [1] ! a = 1`r! a! a
38 38 Sammenlign disse tale med graferne fra tidligere! r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
39 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
40 40 10 Følger befolkningsudviklingen den homogene model Befolkningen i USA Løsningen til 1. ordens differensligningen er x[n] = b n x[0]; n > 0
41 41 Tag logaritmen på begge sider log(x[n]) = n log b + log(x[0]) Lad y[n] = log(x[n]), c = log b og d = log(x[0]). Så står der y[n] = cn + d Her står bare, at tegner man log(x[n]) mod n så skal man se en ret linie med hældning c = log b og skæring d = log(x[0]).
42 > mm<-lm(log(pop)~year, data=dat) ## mindste kvadraters fit > coef( mm ) (Intercept) year Hældningen log b er omkring 0:02 svarende til at b ı 1:02; dvs. r ı 0:02. Men modellen passer faktisk ikke særlig godt; som om der sker et skift omkring år 1900; hvorfor mon?
43 43 Befolkningen i Nepal
44 > mm<-lm(log(pop)~year, data=dat) > coef(mm) (Intercept) year
45 45 Befolkningen i Bangladesh
46 > mm<-lm(log(pop)~year, data=dat) > coef(mm) (Intercept) year
Differensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereMODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.
MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereLøsninger til matematik C december 2015 Februar 2017
a) Vi aflæser opgavebeskrivelsen og ser, at vi kender r = 2%, K 0 = 30000 samt n = 5, så vi anvender renteformlen. Vi skal finde ud af, hvad der står efter 5 år på kontoen.: K 5 = 30000 (1 + 0.02) 5 =
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereLektion 9 Vækstmodeller
Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereLektion ordens lineære differentialligninger
Lektion 11 1. ordens lineære differentialligninger Lineære differentialligninger Lineære differentialligninger af 1. orden 1. homogene 2. inhomogene Lineære differentialligninger af 1. orden med konstante
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereNetopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter
1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereDig og din puls Lærervejleding
Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Sygeterminsprøve. Sorø Akademis Skole. Tirsdag den 15. august 2017 kl stx172-mat/b
Matematik B Studentereksamen Sygeterminsprøve Sorø Akademis Skole stx172-mat/b-15082017 Tirsdag den 15. august 2017 kl. 9.00-13.00 163494.indd 1 05/07/2017 07.48 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereAnden grads polynomier og populations dynamik
matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereProjekt: Logistisk vækst med/uden høst
Projekt: Logistisk vækst med/uden høst I dette projekt skal vi arbejde med differentialligninger, specielt med logistisk vækst og med en udvidelse, hvor der indgår høst. Den eksponentielle vækst (type:
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Onsdag den 7. december 2016 kl stx163-mat/b
Matematik B Studentereksamen stx163-mat/b-07122016 Onsdag den 7. december 2016 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereMatematik B. Studentereksamen. Skriftlig prøve (4 timer)
Matematik B Studentereksamen Skriftlig prøve (4 timer) STX093-MAB Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt
Læs mere6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen
6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner.
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereSide 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1
Fornyelsesteori med anvendelser: Afleveringsopgave 1 February 27, 2003 Opgaven stilles fredag d. 28/2-2003 og afleveres d. 14/3-2003 ved forelæsningen. Opgaven kan besvares i grupper af 1-3 studerende.
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereVelkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden
Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereHypotesetests, fejltyper og p-værdier
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 25, 2018 Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Hypotesetests, Universitet
Læs mereformler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereRentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012
Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den
Læs mereStatistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression
Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x
Læs mereo < x < 1. In x In 2 KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86.
KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86. Opgaver til besvarelse i 4 t i me r. Alle sædvanlige hjælpemidler er tillae. Ved bedømmelsen vægtes alle
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereProjekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A)
Projekt 9.5 Racefordomme i USA og Simpsons paradoks (B og A) (Data er hentet fra M. Radelet, "Racial characteristics and imposition of death penalty", American Sociological Review, 46 (1981), pp 918-927
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2019 Skoleår 2018/2019 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 2stx111-MAT/B-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet frs111-matn/a-405011 Tirsdag den 4. maj 011 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mere