Differensligninger og populationsstørrelser
|
|
- Frode Thøgersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex
2 2 Contents 1 Modeller for udviklingen af en populations størrelse 4 2 Befolkning 1960 nu Bangladesh Congo Ghana Irland Nepal Rusland USA Befolkning historisk Befolkningen i USA Befolkningen i Irland En model for udviklingen af en populations størrelse 14 5 Øvelse Løsning Undgå at populationen uddør 20 7 Øvelse Løsning Matematisk løsning - den homogene ligning 25
3 3 9 Matematisk løsning - den inhomogene ligning Den geometriske række Tilbage til løsningen Følger befolkningsudviklingen den homogene model Bedste rette linie Vil du vide mere? 52
4 4 1 Modeller for udviklingen af en populations størrelse Vi skal studere modeller for udvikling af en poulations størrelse over flere år. Det kan f.eks. være antal fugle af en bestemt art i et bestemt område, eller antal personer i en befolkning i et bestemt land.
5 5 2 Befolkning 1960 nu 2.1 Bangladesh Befolkningen i Bangladesh
6 6 2.2 Congo Befolkningen i Congo
7 7 2.3 Ghana Befolkningen i Ghana
8 8 2.4 Irland Befolkningen i Irland
9 9 2.5 Nepal Befolkningen i Nepal
10 Rusland Befolkningen i Rusland
11 USA Befolkningen i USA
12 12 3 Befolkning historisk 3.1 Befolkningen i USA Befolkningen i USA
13 Befolkningen i Irland Befolkningen i Irland
14 14 4 En model for udviklingen af en populations størrelse Vi lader x[n] betegne antal individer i en population i år n. Vi skal se på modeller for hvordan populationen udvikler sig, dvs en model for sammenhængen mellem x[0]; x[1]; x[2]; : : : Et eksempel på en (homogen) førsteordens differensligning er x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] = (1 + r)x[n ` 1] Altså, populationsstørrelsen x[n] i år n er proportional med (en konstant gange) populationsstørrelsen eet år tidligere, x[n ` 1].
15 15 Af x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] fås også en anden fortolkning: x[n] ` x[n ` 1] = rx[n ` 1] Altså, ændringen i populationsstørrelsen x[n] ` x[n ` 1] fra år n ` 1 til år n er proportional med populationsstørrelsen i år n ` 1.
16 16 Vi ser på en fiktiv population af fugle i et bestemt område. Antag at der i starten er x[0] = 100 fugle og at vækstraten er r = 0:0194 (eller 1:94%) om året. I år 1 er der x[1] = x[0] + 0:0195x[0] = 101:9 ı 102 fugle. I år 2 vil der være x[2] = x[1] + 0:0195x[1] = 103:9 fugle osv. Der er flere ting på programmet: Vi skal studere sådanne modeller med et regneark Vi skal undersøge sådanne modeller rent matematisk Vi skal se om sådanne modeller passer rimeligt på befolkningsstørrelserne
17 17 5 Øvelse Det er nemt at studere sådanne populationsmodeller med et regneark, og det skal vi gøre i det følgende. Spørgsmål: 1. Undersøg udviklingen af populationsstørrelsen over 20 år med 3 forskellige vækstrater: r 1 = 0:0194 (bedst), r 2 = `0:0324 (medium) og r 3 = `0:0482 (dårligst) når der til en start er 100 fugle i populationen. 2. Ligner vækstkurverne rette linier? 3. Hvad sker der med poplationsstørrelserne hvis man ser over en længere årrække, f.eks. 100 år? 4. Findes der værdier af r, der helt klart giver en vækstkurve, der er en ret linie
18 Løsning
19
20 20 6 Undgå at populationen uddør Ovenfor har I formentlig (forhåbentlig) konkluderet, at positive vækstrater fører til at populationen eksploderer og negative vækstrater til at populationen uddør. Hvis vækstraterne er negative og man alligvel ønsker at bevare populationen, så bliver man nødt til jævnligt at tilføre nye fugle til populationen. Lad os antage, at vi tilfører a = 5 fugle til populationen hvert år. Så bliver modellen x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] + a = (1 + r)x[n ` 1] + a På grund af leddet a i ligningen kaldes sådan en ligning for in inhomogen 1. ordens differensligning.
21 21 7 Øvelse 1. Undersøg udviklingen af populationsstørrelsen over 100 år med 2 forskellige vækstrater: r 2 = `0:0324 (medium) og r 3 = `0:0482 (dårligst) når der til en start er 100 fugle i populationen og der hvert år tilføjes a = 5 fugle. Ser det ud til at populationen stabiliserer sig? 2. Undersøg udviklingen i populationsstørrelsen for forskellige (heltallige) værdier af a. Vil populationen altid stabilisere sig? Hvad er det mindste antal fugle man kan tilføje således at populationen ikke falder under startniveauet på x(0) = 100 fugle. 3. Betragt en mellemste vækstrate r 2 = `0:0324 og lad os vedtage, at der tilføjes a = 5 fugle til populationen hvert år. Hvorledes populationsstørrelsen udvikler sig over f.eks. 100 år hvis x(0) = 50, hvis x(0) = 100 og hvis x(0) = 200. Overrasker dette?
22 Løsning rød: r 2 = `0 ` 0324; grøn: r 3 = `0:0482. a = 5 a = a = a =
23 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
24 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
25 25 8 Matematisk løsning - den homogene ligning Vi skal nu finde et matematisk udtryk for løsningen på differensligningen x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] = (1 + r)x[n ` 1] For at gøre notationen lidt lettere indfører vi b = 1 + r og har så x[n] = bx[n ` 1] Vi prøver at regne de første led ud x[1] = bx[0] x[2] = bx[1] = b(bx[0]) = b 2 x[0] x[3] = bx[2] = b(b 2 x[0]) = b 3 x[0]
26 26 Baseret på dette kunne man formode, at løsningen er ~x[n] = b n x[0] for alle n > 0 Bemærk at løsningen til differensligningen er en funktion. Vi kan bevise at dette er rigtigt, og det kan gøres på mange måder. Een er som følger. Sæt den formodede løsning ind i den oprindelige ligning x[n] = bx[n ` 1]. Sætter vi den formodede løsning ind på højresiden af den oprindelige ligning får vi b~x[n ` 1] = b(b n`1 x[0]) = b n x[0] = ~x[n] Den formodede løsning er altså en løsning. Der er en lille ekstra tvist her: Vi har fundet en løsning; men vi ved ret beset ikke om der er flere. Det er der ikke, men det går vi ikke nærmere ind på.
27 27 Bemærk: Vi har fundet ud af, at løsningen til ligningen x[n] = bx[n ` 1]; n > 0 Den ubekendte er her ikke et tal men en funktion. Løsningen er netop funktionen (vi gider ikke skrive ~x[n]; nøjes med at skrive x[n]): x[n] = b n x[0]
28 28 Med det matematiske udtryk har vi nu forstået det hele. Husk at b = r + 1 hvor r er vækstraten: Hvis b > 1 (dvs r > 0) vokser populationen ubegrænset. Hvis b = 1 (dvs r = 0) er populationen konstant Hvis 0 < b < 1 (dvs `1 < r < 0) dør populationen ud Men - hvad nu, hvis `1 < b < 0? og hvis b = `1? og hvis b < `1?
29 b = b = b =
30 30 9 Matematisk løsning - den inhomogene ligning Dernæst skal vi se på løsningen til x[n] = x[n ` 1] + rx[n ` 1] + a = (1 + r)x[n ` 1] + a Igen sætter vi b = 1 + r og får x[n] = bx[n ` 1] + a. Vi prøver at regne de første led ud: x[1] = bx[0] + a x[2] = bx[1] + a = bfbx[0] + ag + a = b 2 x[0] + ba + a x[3] = bx[2] + a = bfb 2 x[0] + ba + ag + a = b 3 x[0] + b 2 a + ba + a x[4] = bx[3] + a = bfb 3 x[0] + b 2 a + ba + ag + a = b 4 x[0] + b 3 a + b 2 a + ba + a
31 31 Vi kan se et mønster her, og det er fristende at gætte på, at løsningen til ligningen er ~x[n] = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a Er dette udtryk løsning til ligningen x[n] = bx[n ` 1] + a? Vi sætter ind: b~x[n ` 1] + a = bb n`1 x[0] + b (b n`2 + b n`3 + b n`4 + + b 2 + b 1 + 1)a! + a = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 )a + a = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a = ~x[n] Svaret er altså ja; vi har fundet en løsning (igen burde vi vise, at der kun er een løsning - men det er der altså!)
32 32 Vi kan simplificere formlen for løsningen ved at finde et simpelt udtryk polynomiet b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b Til dette formål skal vi bruge den geometriske række.
33 Den geometriske række For et tal b og et heltal p > 0 kaldes nedenstående den geometriske række: S p = 1 + b + b 2 + b b p Vi kan finde en simpel formel for den geometriske række. Vi beregner bs p = b + b 2 + b 3 + b b p+1 Heraf fremgår at S p ` bs p = (1 ` b)s p = 1 ` b p+1 Når b 6= 1 har vi S p = 1 ` bp+1 1 ` b Når b = 1 har vi S p = p + 1
34 b = b = b = 1.5 b =
35 35 Fra grafer og formlen S p = 1 ` bp+1 1 ` b kan vi umiddelbart spotte hvad der sker mede S p når p! 1 at når jbj < 1 så går S p mod at når b > 1 så går S p mod ` b at når b < `1 så svinger S p men js p j går mod 1.
36 Tilbage til løsningen Dermed har vi x[n] = b n x[0] + (b n`1 + b n`2 + b n`3 + + b 2 + b 1 + 1)a = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b! a Hvis jbj < 1 vil x[n] = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b! a for store n nærme sig x[n] = b n x[0] +! 1 a 1 ` b
37 37 Nu har vi forstået det hele. Husk at b = r + 1 så r = b ` 1. x[n] = b n x[0] + 1 ` bn 1 ` b Se på situationen hvor `1 < r < 0; altså b < 1. (vækstraten er negativ men ikke større end `100% - altså at populationen ville uddø hvis vi ikke sætter nye fugle ind). I dette tilfælde vil b n x[0] blot gå mod 0 når n vokser. Men det andet led vil stabilisere sig på 1 1 ` b I vores konkrete tilfælde får vi: > r2< ; a<-5 > a*(1/(-r2)) [1] > r3< ; a<-5 > a*(1/(-r3)) [1] ! a = 1`r! a! a
38 38 Sammenlign disse tale med graferne fra tidligere! r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
39 r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] = r = , x[0] =
40 40 10 Følger befolkningsudviklingen den homogene model Befolkningen i USA Løsningen til 1. ordens differensligningen er x[n] = b n x[0]; n > 0
41 41 Tag logaritmen på begge sider log(x[n]) = n log b + log(x[0]) Lad y[n] = log(x[n]), c = log b og d = log(x[0]). Så står der y[n] = cn + d Her står bare, at tegner man y[n] mod n så skal man se en ret linie med hældning c = log b og skæring d = log(x[0]). Som logaritme vælger vi 10-tals logaritmen men det er jo ligegyldigt hvilken logaritme vi vælger.
42
43 43 11 Bedste rette linie Mindste kvadraters metode giver een måde finde den bedste rette linie på. Vi betegner tid (år) med t i så i betegner den i te tidsmåling og t i er selve tiden. F.eks. er i = 0 den første måling af tid og den svarer til t 0 = Vi betegner log-antal med y i (i stedet for at skrive y[n] som før) Bedste rette linie a + bt er den linie, der minimerer S(a; b) = NX i=1 (y i ` (a + bt i )) 2 Vi skal finde det par af værdier for (a; b), der gør S(a; b) så lille som muligt.
44 44 Nu er S jo en funktion af to variabler, men metoden er den samme som at finde minimum for en funktion af een variabel, f.eks. f(x): 1) find den første afledede f 0 (x) og 2) løs ligningen f 0 (x) = 0. Det er ikke meget mere kompliceret nu hvor S er en funktion af to variabler. Vi skal differentiere med hensyn til a. Det gør vi som vi plejer idet vi tænker på b som en konstant: d NX da S(a; b) = 2 i=1 (y i ` (a + bt i ))(`1) Vi skal nu løse d S(a; b) = 0 for at finde a. Dvs vi skal løse da NX y i = NX a + NX bt i = Na + NX bt i i=1 i=1 i=1 i=1 Vi isolerer a: a = 1 N ( N X y i ` b NX t i ) i=1 i=1
45 45 Vi indfører et nyt symbol: y = 1 N P N i=1 y i er gennemsnittet af alle y erne. Så har vi: a = y ` b t Så hvis vi kender b så kender vi også a. Nu kender vi jo ikke b, men lad os indsætte udtrykket for a i S(a; b) = NX i=1 (y i ` a ` bt i )) 2 Vi får Omskriv dette til S(b) = NX i=1 (y i ` y + b t ` bt i )) 2 S(b) = NX i=1 ((y i ` y) ` b(t i ` t)) 2
46 46 Differentier nu med hensyn til b: Vi skal altså løse d NX da S(b) = 2 i=1 ((y i ` y) ` b(t i ` t))(`(t i ` t)) 0 = NX i=1 ((y i ` y) ` b(t i ` t))(t i ` t) Vi omskriver til 0 = NX i=1 (y i ` y)(t i ` t) ` b NX i=1 (t i ` t)) 2 og finder så: b = P N i=1 (y i ` y)(t i ` t) P N i=1 (t i ` t)) 2
47 Ved hjælp af programmet R (statistikernes foretrukne software) kan man finde hældning og skæring: > mm<-lm(log10(pop)~i(year-1790), data=dat) ## mindste kvadraters fit > coef( mm ) (Intercept) I(year ) > 10^( coef( mm ) ) (Intercept) I(year ) Hældningen log b er omkring 0:009 svarende til at b ı 1:02; dvs. r ı 0:02. Men modellen passer faktisk ikke særlig godt; som om der sker et skift omkring år 1900; hvorfor mon? 47
48 48 Befolkningen i Nepal
49 > mm<-lm(log10(pop)~i(year-1960), data=dat) > coef(mm) (Intercept) I(year )
50 50 Befolkningen i Bangladesh
51 > mm<-lm(log10(pop)~i(year-1960), data=dat) > coef(mm) (Intercept) I(year )
52 52 12 Vil du vide mere? Professor Arne Jensen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet har skrevet disse fremragende noter, der bl.a. omhandler differensligninger. Hvis man bruger Arne Jensens noter eller mine noter, husk da venligst kildeangivelse.
Differensligninger og populationsstørrelser
Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 5, 2014 Printed: October 5, 2014 File: differensligninger-slides.tex
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereMODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.
MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................
Læs merematematik-økonomi-studerende
matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereArealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig
Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereLektion 9 Vækstmodeller
Lektion 9 Vækstmodeller Eksponentiel vækst 1. Eksponentielt voksende funktioner 2. Eksponentielt aftagende funktioner 3. Halverings- og fordoblingstider Vækst mod asymptotisk grænse Logistisk vækst 1.
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereLøsninger til matematik C december 2015 Februar 2017
a) Vi aflæser opgavebeskrivelsen og ser, at vi kender r = 2%, K 0 = 30000 samt n = 5, så vi anvender renteformlen. Vi skal finde ud af, hvad der står efter 5 år på kontoen.: K 5 = 30000 (1 + 0.02) 5 =
Læs mereLiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Læs mereStatistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression
Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereMatematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereo < x < 1. In x In 2 KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86.
KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG EMBEDSEKSAMEN. MATEMATIK FOR BIOLOGER. Vinteren 1985/86. Opgaver til besvarelse i 4 t i me r. Alle sædvanlige hjælpemidler er tillae. Ved bedømmelsen vægtes alle
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereMatematik, Struktur og Form Splines. NURBS
Matematik, Struktur og Form Splines. NURBS Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 17 Opgave: Find 3.grads polynomium p (t ) = a0 + a1 t + a2 t 2 + a3 t 3 sål. at
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDig og din puls Lærervejleding
Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereNetopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter
1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereSimpel Lineær Regression
Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige
Læs mereAnden grads polynomier og populations dynamik
matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere[PJ] QuickGuide.dfw QuickGuide
[PJ] QuickGuide.dfw 07-04-003 QuickGuide Derives resultater Husk at Derive angiver decimalbrøker uden at forhøje sidste ciffer. Så når du udregner fx /3 får du 0.66666 og ikke 0.66667. Du kan altså ikke
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereProcent- og rentesregning
Procent- og rentesregning Indhold Procent... 1 Renteformlen, fremskrivningsfaktor, rentefod og vækstrate... 1 Forklaring af ordet fremskrivningsfaktor... 2 Beregning af K 0... 2 Beregning af r og gennemsnitlig
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mere