Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden

Transkript

1 Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach

2 Program for workshop i matematik for ATU Velkomst og kort oplæg om Nat Bach workshop Hold 1: Matematisk modellering i epidemiologi, 14.1 v/ Morten Blomhøj Hold 2: Beviser og ræsonnementer i matematik, 27.2 lokale 5 v/ Mogens Niss Frokost i kantinen i hus workshop Hold 1: Beviser og ræsonnementer i matematik, 27.2 Hold 2: Matematisk modellering i epidemiologi, Slut

3 Naturvidenskab på RUC.hvordan anderledes

4 Struktur for den naturvidenskabelige bacheloruddannelse 1. semester 3. semester 5. semester projekt projekt fag2 projekt Fælleskursus Fælleskursus Kursus Kursus Fag1 Kursus Fag2 kursus Fag2 kursus Fag2 kursus Valgkursus 2. semester 4. semester 6. semester projekt fag1 projekt bachelorprojekt Fælleskursus Kursus Kursus Kursus Fag1 kursus Fag1 kursus Fag1 Kursus Fag2 kursus Valgkursus

5 RUC uddanner tværfaglige kandidater RUC-studerende bliver bachelorer og kandidater i to fag Matematik Fysik Datalogi Kemi Informatik Geografi Medicinalbiologi Tek-sam Molekylærbiologi Miljøbiologi Almen biologi

6 Studieformen 50 % kurser: Lærerstyret holdundervisning Emme orienteret Forelæsninger, (lab-)øvelser Faglig læring og studiedisciplin Bedømmelse i fastlagt pensum 50 % projekter: Deltagerstyret projektarbejde Problem- og forskningsorienteret Faglig fordybelse og eksemplarisk læring Faglige og personlige kompetencer Bedømmes i forhold til projektet

7 Projektarbejdet.hvordan forskningsorienteret? De studerende formulerer selv konkrete forskningsspørgsmål, som de ønsker at løse / besvare ved at bruge fagets/fagenes videnskabelige arbejdsmetode søge, læse, kritisk udvælge, formidle og diskutere den nyeste videnskabelige litteratur om emnet designe, opstille og udføre egne eksperimenter forholde sig kritisk til egne og andres data og konklusioner rapportere efter gængse videnskabelige traditioner formidle projekter via rapporter, posters eller foredrag vælge hvilke fag og teorier der skal inddrages i projektet samarbejde med eksterne samarbejdspartnere udnytte vejledning fra forskere

8 Følg os på Facebook og Instagram: Naturvidenskab på RUC

9 Matematisk modellering i epidemiologi - influenza, børnesygdomme, gonorré og klamydia 1. Hvad er matematisk modellering? 2. Epidemiologi - nogle grundbegreber 3. Kermarck-McKendrich modellen for influenza 4. Model for børnesygdomme med vaccination 5. Modellering af forekomsten af gonorré.

10 En simpel model af modelleringsprocessen Den fysiske verden Matematikkens verden Virkeligt problem Matematisering Matematisk problem? Matematisk analyse Virkelig løsning Fortolkning Matematiske resultater

11 Modelleringsprocessens dynamik Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering Handling/erkendelse Undersøgelsesdomæne (e) Fortolkning og evaluering (b) Systematisering Modelresultater System (d) Matematisk analyse (c) Matematisering Matematisk system

12 Matematiske modeller anvendes inden for videnskab - især i naturvidenskab, samt i teknologiske og samfundsmæssige sammenhænge til at beskrive forklare forudsige kontrollere foreskrive komplekse og ofte dynamiske sammenhænge. 12

13 2. Epidemiologi nogle grundbegreber Epidemiologi er en metodisk beskrivelse af sygdommes forekomst og forløb i relation til tid, sted og folkegrupper. En epidemi er en samling ensartede tilfælde, der i hyppighed overstiger forventningen... i en given tidsperiode. Foldspang et al: Epidemiologi, 1989 Epidemier (af infektionssygdomme) opstår i en vekselvirkning mellem patogen-populationen og værtspopulationen Bio: Populationsbiologi Mat: (Ikke-lineære) dynamiske systemer

14 Typisk smitteforløb for virusinfektioner

15 Hyppighed af nye tilfælde under influenzaepidemi i Leningrad 1965 (Bailey, 1986)

16 3. Kermack-McKendrick-modellen Også kaldet SIR-modellen Epidemimodel i kontinuert tid for en enkelt epidemi S: Antal modtagelige individer (Susceptible) I: Antal smittende individer (Infectious) R: Antal immune individer (Recovered) N: Populationsstørrelse Forsimplende antagelser: - populationen er konstant under epidemien (N (=0) - epidemien måles ved antal smittende - under epidemien forløber overførelsen: S I R - alle personer har samme smitteadfærd

17 Smitteadfærden beskrives ved kontaktraten c [tid -1 ], der angiver antallet af effektive kontakter per tid som hver person i populationen udfører. En effektiv kontakt er en kontakt, der fører til smitte, hvis den sker mellem en modtagelig og en smittende. c er altså bestemt både af sygdommens smittefarlighed og af adfærden i populationen. Overgangen fra I til R bestemmes af en helbredelsesrate [tid -1 ], der angiver andelen af I der bliver raske i løbet af en given tidsperiode. 1/ svarer til den gennemsnitlige smitteperiode. Smitteperioden kan estimeres som inkubationstiden minus latenstiden, svarende til at man kun smitter indtil man får (alvorlige) symptomer og bliver hjemme.

18 Opgave 1: Kompartmentdiagram for S-I-R modellen S( I( R( Angiv flowet er mellem S og I samt mellem I og R udtrykt ved S, I og R og de to parametre c og v. Over et lille tidsinterval t (hvor c t <<1) kan ændringen i af hver af de tre kompartments beregnes til tiden (t+. Opstil ligningerne: S(t+ = S( - I(t+ = I( +. R(t+ = R( +.

19 Kompartmentdiagram for S-I-R modellen S( I( R( N I cs I Udviklingen i de tre kompartments S, I og R over et lille tidsinterval t (hvor c t <<1) kan beregnes ved følgende differensligninger: t t I t R t t R t t I N t I t cs t I t t I t N t I t cs t S t t S ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

20 Opgave 2 Lav et Excel ark (eller et andet regneark), der kan beregne udviklingen af t, S, I og R ud fra de opstillede ligninger. SIR-modellen Kontaktraten c 0,85 Helbredelsesraten v 0,4 Tidsskridt t 0,1 Populationsstørrelsen N 1000 Vaccinationsgrad 0 SIR tiden S(( I( R( 0 999,0 1,0 0,0 0,1 998,9 1,0 0,0

21 Opgave 3 Anvend startværdierne S(0)=998; I(0)=2; R(0)=0 samt parameterværdierne c=0,85 per dag og =0,4 per dag. Beregn udviklingen for S, I og R frem til t=35 dage. Tegn graferne for S, I og R som funktion af tiden. Tegn også en graf i nyt diagram, der viser antallet af inficerede, I(, som funktion af antallet af modtagelige, S(. Indfør vaccination i modellen ved at lade S(0) afhænge af en vaccinationsgrad p, således at S(0) bliver den andel af populationen, der ikke er vaccineret minus den meget lille del, der er inficerede til t=0, I(0).

22 Opgave 3 Bestem den kritiske vaccinationsgrad (den der netop hindre, at en influenzaepidemi kan opstår i population) ved at eksperimenter med modellen. Hvordan fremgår den kritiske vaccinationsgrad af jeres diagrammer?

23 Løsning af differensligningerne for: S(0)=998; I(0)=2; R(0)=0 og c=0,85 =0, Antal S(( I( R( dage

24 SIR differentialligningsmodellen For t 0 fås: I( S ( cs( N I( I ( cs( I( N R ( I( Heraf fås at en epidemi (I (>0) kun forekommer hvis: 0 c S( N 1 for S(0) N fås: kaldes derfor for tærskelværdien c 0 1

25 Ind Ud princippet for opstilling af differentialligninger ud fra et kompartmentdiagram I cs N I S( I( R( I( S ( cs( N I( I ( cs( I ( N R ( I(

26 Numeriske løsninger tegnet i faseplanen (S,I) s( = vn/c I( S(

27 Udvidelser af SIR-modellen Modellen kan udvides med vaccination. Det kan gøres ved at bruge [(1-p)S 0, I 0, R 0 +ps 0 ] som begyndelsestilstand, hvor p den effektive vaccinationsandel. Eller det kan gøres dynamisk ved at modellere et flow fra S til R. Modellen kan gøres aldersstruktureret med aldersafhængige kontaktrater. Dette muliggør evaluering af vaccinationsstrategier. Modellen kan udvides med et flow fra R tilbage til S svarende til at immuniteten forsvinder med tiden. Det er f.eks. tilfældet ved influenza, hvor virus ændres gennem antigenetisk drift (og skift!). Endelig kan modellen udbygges med fødsel og død til modellering af bl.a. børnesygdomme. Gonorré

28 f N d S( 4. Model for børnesygdomme cs I N I S( I( R( d I( d R( f og d er henholdsvis fødsels- og dødsraten. Ved ligevægt i populationen er f=d. De nyfødte er modtagelige og dødsraten er ens for S, I og R. Det giver følgende model: I( S ( cs( d( I( R( ) N I( I ( cs( ( d) I( c N 0 1 d R ( I( dr( Hvad bliver tærskelværdien?

29 Effekten af masse vaccinationer

30 Dæmpede svinger i modellen for børnesygdomme Andel inficerede c=2 /uge v=0,9 /uge d=0.01 /uge Tid (uger)

31 Mæslinger i Danmark Gonorré

32 Mæslinger

33 Model for børnesygdom med vaccination

34

35 5. Modellering af spredning af gonorré Gonorré skyldes seksuelt overført smitte med gonokkoer. Latenstiden er typisk 1-2 uger og inkubationstiden 5-7 dage. Gonorré behandles med antibiotika og man opnår ikke immunitet efter gonorré. Man kan smittes umiddelbart efter endt behandling. Nogle tilfælde er asymptomatiske og middelsmittetiden kan antages at være omkring 2 uger. I gennemsnit har den seksuelt aktive del af den danske befolkning ubeskyttet sex med 1-2 nye partner per år!?

36 Gonorré I Danmark Kan gonorré forekomme på et konstant niveau i DK i følge modellen? Der konstateres årligt mellem 300 og 350 tilfælde af gonorré i Danmark. Hvordan kan det forklares i forhold til modellen? Opgave 4: Opstil en kompartmentmodel for gonorré. Indfør realistiske værdier for parametrene i modellen, og beregn tærskelværdien for modellen. Kan modellen forklarer, at der forekommer gonorré i DK? 36

37 En simpel model for gonorré i DK S( I c S L I( Hvad bliver tærskelværdien og hvad betyder det? Tærskelværdien c/v bliver dermed i størrelsesorden af 1/25<<1 Simpel Gonorré

38 Opgave 5: Udbyg gonorré-modellen med to risikogrupper Udbyg jeres gonorré-model således, at den kan tage højde for, at der kan være vidt forskellige kontaktrater i befolkningen. Opdel befolkning i to risikogrupper en med høj og en med lav kontaktrate. Hvilke forsimplende (og nogenlunde rimelige) antagelser kan man gøre angående de to grupper og deres partnervalg? Prøv at opstille et kompartmentdiagram for en model, der beskriver spredningen af gonorré i begge grupper og vekselvirkningen mellem grupperne. Anvend følgende fiktive data som grundlag for opstilling af en differensligningsmodel med to risikogrupper.

39 Modellering af Gonorré ved opdeling i risikogrupper Parameter Gruppe 1 Gruppe 2 N i i (uge -1 ) 0,3 0,3 c i (uge -1 ) 0,9 0,1 Beregn udviklingen af gonorré i de to grupper ifølge modellen i et regneark. En smittet oplyser at være blevet smittet af A og at have været samme med B. Hvad er sandsynligheden for at henholdsvis A og B tilhører højrisikogruppen ifølge modellen?

40 Modellering af Gonorré ved opdeling i risikogrupper I 1 S 1 ( c 1 S 1 L I 1 ( c1i L c N c c 2 2 I 2 N 2 S 2 ( c2 S2 I 2 L I 2 (

41 Ligevægt for en gonorré model med to risikogrupper Antal inficerede I1 I Tid (uge) En smittet er blevet smittet af A og har været samme med B: P( A er P( B er Gonorré gruppe 1) c gruppe 1) c 1 1 * c I1 I c 1 * c1n 1 N c I 2 * 2 N

42 Slut Gonorré i Danmark

43 Klamydia Klamydia infektion skyldes seksuelt overført smitte med bakterien Chlamydia trachomatis. Op mod 75% af de smittede mænd og 50% af de smittede kvinder har ingen symptomer (asymptomatisk infektion). Latenstiden er omkring 1 uge og inkubationstiden 2-3 uger for dem, der får symptomer. Den gennemsnitlige sygdomsperiode (smitteperiode) estimeres i 2002 til i DK at være omkring et år. Symptomerne er svige ved vandladning og udflåd

44 Klamydia Sene symptomer kan være ledsmerter. Komplikationer hos mænd er bitestikelbetændelse. Hos kvinder kan der opstå underlivsbetændelse (20%), og lukkede æggeledere (infertilitet 2,4%). Det kan forårsage graviditet uden for livmoderen (1,5%). Klamydia behandles med engangsdosis antibiotika (95% helbredelse) og man opnår ikke immunitet efter smitte. Man kan smittes umiddelbart efter endt behandling. Siden 2011 har unge (15-29 årige) i Københavns kommune kun tage en hjemmetest for klamydia.

45 Klamydia forekomst i 2011 i DK fordelt på aldersgrupper

46 Positive klamydiatest i perioden (Epi-nyt, sept. 2014)

47 Følg os på Facebook og Instagram: Naturvidenskab på RUC

48 Modelberegnet forekomst af mæslinger i aldersgrupperne i år [0,5[ (rød); ]5,14[ (blå); [14, 29[ (grøn); ]29,99] (sor i situation uden vaccination. Sort * på 1. aksen betyder, at ingen epidemi er. Bachelorprojekt på Nat Bach (Freije, 2015)

49 Modelberegnet forekomst af mæslinger i aldersgrupperne i år [0,5[ (rød); ]5,14[ (blå); [14, 29[ (grøn); ]29,99] (sor i situation med en vaccinationsgrad på Sort * på 1. aksen betyder ingen epidemi det år Bachelorprojekt på Nat Bach (Freije, 2015) Retur