Vektorfelter i planen og rummet, se Maple fil: mm vektorfelt.mws paa MM01 hjemmeside Hvordan et felt kan plottes

Transkript

1 Vektorfelter i planen og rummet, se Maple fil: mm vektorfelt.mws paa MM0 hjemmeside Bogen "Calculus the Maple Wa" paa semesterhlden i OMB behandler vektorfelter, feltlinjer og potentialfunktioner i afsnit 6, side Her er der et par eksempler, nemlig et plot af vektorfeltet (-, cos()) over rektanglet [-7,7] [-5,5], og et plot af nogle feltlinjer for det samme vektorfelt. De to ordrer bruger pakkerne "plot" og "DEtools, DEplot", saa de skal laeses ind. Flere eksempler og forklaringer kan findes i bogen. MEN: Maple har aendret sig siden bogen blev skrevet. Midt paa side 07 staar der [D()(t)=+,D()(t)=-]. I nuvaerende version skal der staa [D()(t)=(t)+(t),D()(t)=(t)-(t)], dvs parameteren t skal med ogsaa paa hoejre side af differentialligningerne, Hvordan et felt kan plottes with(plots): fieldplot([-*,+cos()],=-7..7,=-5..5,colour=red); Hvordan nogle feltlinjer kan plottes with(detools): DEplot([D()(t)=-*(t),D()(t)=(t)+cos((t))], [(t),(t)],t= ,{seq([(0)=0,(0)=k],k=0..5)}, linecolour=blue, thickness=3,stepsie=.);

2 Som det ses, tegner denne ordre automatisk vektorfeltet med. Vil man gerne noejes med feltlinjer, kan man tilfoeje "arrows=none". DEplot([D()(t)=-*(t),D()(t)=(t)+cos((t))],[(t),(t)],t= , {seq([(0)=0,(0)=k],k=0..5)},linecolour=black, stepsie=0., thickness=,arrows=none); Er det givne felt konservativt? Maple kan (forsoege at) svare paa, om et givet vektorfelt er konservativt. Svaret gives som "true" eller som "false". Hvis svaret er "true" oplser Maple om en potentialfunktion, hvis navn er angivet i ordren.. Da Maple ikke altid er perfekt til at reducere komplicerede udtrk, laves der somme tider fejl. Og under alle omstaendigheder oplses relevante restriktioner i definitionsomraader ikke, saa "Be careful out there!" Jeg beder Maple undersoege om feltet (,+cos() ) har en potentialfunktion. Svaret er "false" (og derfor giver ordren ikke en potentialfunktion med navnet "P". potential([-*,+cos()],[,], P ); potential ([, + cos( )], [, ], P) P; P Jeg definerer dernaest et vektorfelt, som gradienten af en given funktion og checker om feltet er konservativt. Svaret er "true" og en potentialfunktion oplagres med navnet Q. Som det ses faar jeg min funktion tilbage paanaer en konstant. with(linalg): F:=grad(^ + *sin()+,[,]); Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected F := [, sin( ) + cos( ) ]

3 potential(f,[,], Q ); Q; true + sin( ) Potentialfunktioner, fabrikeret i haanden. Man kan beregne en potentialfunktion ved metoden, der er givet i Adams, eks. 3, side 885 eller eksempel 4, side 886. Her gennemregner jeg eksempel 4 paa en anden maade end i bogen. Jeg starter med at definere feltet F, som en funktion af (,, med de tre komponenter placeret i [... ]. Som det vises bagefter, kan den enkelte komponent pilles ud ved at efterfoelge med dens nummer i [ ] F:=(,,-[*-sin(,^/ - ep()/,ep()/^ -*cos(]; F(,,[]; F(,,[]; F(,,[3]; F := (,, Vi integrerer F(,,[3] mht. integrate(f(,,[3],; sin(,, sin( cos( sin( cos( Dette betder, at potentialfunktionen er det fundne udtrk PLUS en funktion, der kun afhaenger af (,), saa vi saetter Phi:=(,,--ep()/-sin(*+V(,); Φ := (,, sin( + V (, ) Vi opstiller saa den ligning V(, skal opflde for at F(,,[] er den afledede af Phi mht : eqn:=d[](phi)(,,=f(,,[]; eqn := + D ( )( ) = V, solve(eqn,d[](v)(,)); Vi integrerer mht til : integrate(/*^,);

4 Dette betder, at der findes en funktion U = U(), som alene afhaenger af, saa at V(,) = /*^*+U(); V (, ) = + U( ) Vi skal nu bestemme U(), saa den afledede af Phi mht bliver F(,,[]. Vi substituerer V(,) i udtrkket for Phi(,, og kalder resultatet Phi(,,. Altsaa Phi:=(,,--ep()/-sin(* + /*^*+U(); Φ := (,, sin( + + U( ) eqn:=d[](phi)(,,=f(,,[]; eqn := sin( + + D( U) ( ) = sin( solve(eqn,d(u)()); 0 Vi ser, at den afledede af U mht skal vaere NUL. Derfor kan man tage U() = 0 og den endelige (eller rettere en endelig) stamfunktion bliver Phi:=(,,--ep()/-sin(* + /*^*; Φ := (,, sin( + Med pakken linalg inde kan vi checke efter om gradienten af den fundne funktion faktisk er F(,,: with(linalg): grad(phi(,,,[,,]); sin(,, cos( HURRA! Feltlinjer og niveaukurver i samme tegning. Husk, at niveaukurver for en funktion af to variable kan tegnes med contourplot, men plot-pakken skal laeses ind foerst. Jeg - definerer en funktion ffi - plotter nogle nivaukurver for ffi - udregner gradienten af ffi (som jeg kalder F ) - plotter vektorfeltet F - plotter nogle feltlinjer for F - giver billederne navne (med kolon efter for ikke at se en hel masse output) - viser niveaukurver og felt samtidig. with(plots): ffi:= (,)-^ + 3*^-cos(^); ffi := (, ) + 3 cos( ) contourplot(ffi(,),=-5..5,=-3..3,thickness=3,scaling=constra

5 contourplot(ffi(,),=-5..5,=-3..3,thickness=3,scaling=constra ined); F:=[diff(ffi(,),),diff(ffi(,),)]; F := [ + sin( ), 6 ] fieldplot(f,=-5..5,=-3..3,color=blue,thickness=); A:=contourplot(ffi(,),=-5..5,=-3..3,thickness=3,scaling=cons trained): B:=fieldplot(F,=-5..5,=-3..3,color=blue,thickness=): displa([a,b]);

6 Man kan godt se, at feltet staar vinkelret paa niveaukurverne. Endnu mere overbevisende bliver det, hvis man erstatter feltet med dets feltlinjer.