JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

Transkript

1

2 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx

3 MAT A1 stx Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse med aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Omslag: Lisbeth Neigaard Layout: Lisbeth Neigaard og Anne Marie Kaad Sat med New Century Schoolbook og Interstate Trykt hos Nørhaven Book, Viborg Printed in Denmark 007. udgave, 1. oplag ISBN (ISBN-13: ) Bogens hjemmeside: mat.systime.dk E-bogs ISBN: Systime website viser, at der findes materialer til produktet på internettet. Se betingelser på Skt. Pauls Gade 5 DK-8000 Århus C Tlf

4 INDHOLD Forord Tal- og bogstavregning De elementære regningsarter Brøker Reduktion af bogstavudtryk Kvadratsætningerne Numerisk værdi Tilføjelser og bemærkninger Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Ligninger og uligheder Ligninger To ligninger med to ubekendte Andengradsligningen Intervaller Uligheder Tilføjelser og bemærkninger Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Rødder og potenser Rødder Potens med hel eksponent Potens med ikke-positiv eksponent Potens med brøkeksponent Ligninger med potenser og rødder Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Trigonometri Ensvinklede trekanter Sinus og cosinus Tangens Den retvinklede trekant Sinus- og cosinusrelationerne Tilføjelser og bemærkninger Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Linjer og vektorer Koordinatsystemet Afstandsformlen Linjens ligning Vektorer Vektorers koordinater Den rette linje Stedvektor, længde Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Cirkler og vinkler Cirklens ligning Linjers skæring Skalarprodukt for vektorer Retningsvinkel Vinkel mellem vektorer Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Linjer og afstande Projektion Afstand fra punkt til linje Linje og cirkel Determinant Anvendelser Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Funktioner Funktionsbegrebet Monotoni Maksimum og minimum Regning med funktioner Sammensætning af funktioner Omvendt funktion Regneforskrift for omvendt funktion Eksistens af omvendt funktion Tilføjelser og bemærkninger Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk

5 9. Vigtige funktioner Lineære funktioner Kvadratrod Reciprokfunktionen Potensfunktioner Andengradspolynomiet Andengradsuligheder Polynomier Grafisk løsning Største- og mindsteværdi Anvendelser Eksperimenter Kapiteloversigt Mat.systime.dk Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktion Eksponentielle udviklinger Anvendelser Kapiteloversigt Mat.systime.dk Kildeliste Stikordsregister Perspektiverende rammer Primtal Forskellige typer af tal Et par skrivemåder Talsystemer med andre grundtal Et trick i -talsystemet Romertal er irrational Oversigt over ligninger af 1. grad Skålvægten CPR-numre Pierre de Fermat Fermats store sætning Forskellige måder at skrive tal på Leonhard Euler En matematisk anekdote Carl Friedrich Gauß A1. Geometri Grundlæggende faciliteter i GeoMeter Målinger på en figur Lommeregneren Trekantmåling Leibniz sætning En sætning om romber En sætning om ligesidede trekanter Eksperimenter Mat.systime.dk

6 Med gymnasiereformen af 005 lægges der op til en række nye muligheder og krav i matematikundervisningen. Kernepensum er reduceret i forhold til tidligere og en del emner, der tidligere var med, optræder nu som supplerende stof. Denne lærebog opfylder de krav, læreplanerne stiller til gymnasiets A-niveau i matematik. Kernepensum behandles i første del af bogen, og i sidste del har vi valgt at bringe emnet geometri, som kan benyttes som supplerende stof. Afsnittet bygger på programmet GeoMeter og inddrager på den måde it i undervisningen. De fire første kapitler i bogen adskiller sig kun på ganske få punkter fra de tilsvarende i MAT B1. Der er derfor gode muligheder for at koordinere undervisningen på B-niveau og A-niveau i grundforløbet. Desuden er kapitlerne 8, 9 og 10 også i det store og hele magen til de tilsvarende i MAT B1. I teksten omtales en del steder cas. Dette dækker både matematikprogrammer, traditionelle grafregnere og symbolske grafregnere. Til orientering findes i teksten en række specialsider, der indeholder historiske aspekter ved matematikken og desuden omtales og uddybes en række matematiske emner. Eleverne kan udforske matematiske emner ved hjælp af de såkaldte Eksperimenter, der findes i slutningen af kapitlerne. Disse giver desuden mulighed for at udføre mindre skriftlige rapporter eller miniprojekter. For at understrege mulighederne og fordelene ved anvendelse af it i undervisningen er der til bogen knyttet en hjemmeside, mat.systime. dk, der med et væld af interaktive muligheder understøtter bogens emner med animationer, øvelser, spørgsmål og svar mv. Desuden er der adgang til en omfattende formelsamling. Til bogen hører en opgavesamling, der er fælles for MAT A1 og MAT B1. Jens Carstensen Jesper Frandsen Jens Studsgaard Juli 007

7 1 TAL- OG BOGSTAVREGNING

8 Vi regner i dag med største selvfølge med de såkaldte arabertal. De 10 cifre 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 har ikke altid haft deres nuværende udseende. På fig. 1 ses cifrene som de tilnærmelsesvis har set ud år 800, 900, 1000 og Cifrene stammer fra Indien, og araberne førte dem med til Europa, hvor de slog igennem og erstattede romertallene i løbet af og 1400-tallet. Fig. 1 Vort talsystem er et kulturgode, som næppe kan overvurderes. På trods af, at lommeregnere, grafregnere og cas-programmer (computer algebra system) befrier os fra en mængde kedsommeligt regnearbejde, skal vi i dagligdagen stadig beherske almindelig regning. Et par lidt snedige opgaver er disse: Hvad er og ? Begge opgaver lader sig, kun ved brug af papir og blyant, løse med lidt snilde. Vi skal se på elementære regneregler, brøkregning og bogstavregning. Det er nemlig karakteristisk for matematik, at den udtrykker sig symbolsk, dvs. ved hjælp af tal, bogstaver og tegn. Man kan sige, at symbolregning er selve matematikkens sprog, og uden et solidt greb om bogstavregning (også kaldet algebra) er et dybere udbytte af og indsigt i matematikken umulig. Et par eksempler fra den elementære matematik er 3 + = 5, a + a = a, 3x + x = 5x, 4 5y = 0y, p 3p = 6p. Vi skal se på de såkaldte kvadratsætninger, der handler om størrelserne (a + b), (a - b) og (a - b)(a + b). Desuden omtaler vi begrebet numerisk værdi.

9 1. Tal- og bogstavregning 9 DE ELEMENTÆRE REGNINGSARTER De fire elementære regningsarter kendes fra tidligere og kan sammenfattes i følgende skema: Regnetegn Navn på operation Resultat af beregning + - : Plus Minus Gange Divideret med Addition Subtraktion Multiplikation Division Sum Differens Produkt Kvotient Her er et par eksempler: Summen af 10 og 4 er = 14. Differensen mellem 3 og 7 er -4. Differensen mellem 10 og 6 er 10-6 = 4. Produktet af 5 og 7 er 35. Produktet af - og -5 er - (-5) = 10. Kvotienten mellem 1 og 6 er. Kvotienten mellem 5 og 10 er 10 5 = 1. Summen af -5 og 8 er 3. REGNINGSARTERNES HIERARKI Når man skriver regneudtryk med flere regnetegn, må man fastlægge, i hvilken rækkefølge de enkelte regnetegn skal virke. Fx har vi, at = 14, 18: - 1 = 8, = 6, 10-18:3 = 4, og hvis vi taster disse udtryk, får vi de angivne resultater, da rækkefølgen er indbygget i diverse hjælpemidler. Hvis der indgår potenser, har vi 3-5 = 4, 15-3 = 7. Regningsarterne udføres i denne rækkefølge: Først udregnes potenser og rødder, dernæst multiplikationer og divisioner, og til sidst additioner og subtraktioner. Hvis vi ønsker at udføre regningerne i en anden rækkefølge end den fastlagte, må vi bruge parenteser. Hvis vi fx vil lægge sammen eller trække fra, før vi ganger eller dividerer, må vi skrive sådan: 3 (6 + 1) = 1, 4:(3+5) = 3, men = 19, 4:3 + 5 = 13.

10

11 1. Tal- og bogstavregning 11 POTENSER Desuden bruges parenteser ved potenser af negative tal. Eksempelvis er mens - 4 = -16, fordi - 4 skal opfattes som -( ), (-) 4 = 16, fordi (-) 4 = (-) (-) (-) (-) = 16. Læg desuden mærke til, som vi bemærkede tidligere, at (3 ) = 36, men 3 = 1. Hvis der optræder bogstaver, har vi tilsvarende 4x = 4 x x, mens (4x) = 4x 4x = 16x, og ab = a b b, mens (ab) = ab ab = 4a b (ab) = ab ab = a b. REGNEREGLER FOR PARENTESER Vi skal se på et par regneregler for parenteser og illustrerer dem ved simpel bogstavregning. Plus- og minusparenteser Parenteser om flere led kan hæves på følgende måde: Plusparenteser kan uden videre hæves: 10 + ( ) = = 16, 8 + ( ) = = 0. Minusparenteser: 8 - ( ) = = -3, 1 - ( ) = = 13. Minusparenteser hæves ved at skifte fortegn for hvert led i parentesen.

12 1 1. Tal- og bogstavregning Gange ind i parentes Man ganger et tal ind i parentes ved at gange tallet med hvert led, fx 4 (a + b) = 4 a + 4 b, og vi skriver sådan: 4(a + b) = 4a + 4b. Hvis et udtryk indeholder både tal og bogstaver, skrives tallet forrest. Vi skriver altså 4a og ikke a4. EKSEMPEL 1. Her er yderligere et par eksempler på, hvordan man ganger ind i en parentes: (x + 3y) = x + 6y, 3b(4x - y) = 1bx - 6by, -5(p - 3q) = -10p + 15q, a(x + y) = ax + ay, 4a(a - 5b) = 8a - 0ab. Sætte uden for parentes Hvis to eller flere led har en fælles faktor, kan man sætte den uden for parentes. Lad os se på udtrykket 6x + 15y - 1z. De tre led har den fælles faktor 3, så vi kan skrive 6x + 15y - 1z = 3(x + 5y - 7z). EKSEMPEL. Sådan kan man sætte uden for parentes: 10a - 6b = (5a - 3b), 18x - 30y = 6(3x - 5y), -6pa + 9bp + 15pc = 3p(-a + 3b + 5c), 8ax + 1ay = 4a(x + 3y), 4a - 3a = a(4a - 3). Gange parenteser med hinanden To parenteser med flere led i hver ganges med hinanden ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden, fx (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by.

13 1. Tal- og bogstavregning 13 På fig. er vist med streger, hvordan multiplikationen udføres. Hvis parenteserne indeholder mere end to led, foregår det efter samme system: (a - b + c)(p + q) = ap + aq - bp - bq + cp + cq. Fig. EKSEMPEL 3. Ved anvendelse af reglerne ovenfor fås: (a + b)(x + 3) = ax + 3a + bx + 3b, (4a + 3)(3x + 1) = 1ax + 4a + 9x + 3, (x - 5y)(3y + x) = 6xy + 4x - 15y - 10yx = 4x - 15y - 4xy, (a + b - 3c)(5x - y) = 10ax - 4ay + 5bx - by - 15cx + 6cy. BRØKER I matematik får man tit brug for regning med brøker. Vi skal derfor kort repetere de vigtigste regler inden for brøkregningen. FORKORTNING OG FORLÆNGNING Man forkorter en brøk ved at dividere tæller og nævner med samme tal. Derved ændres brøkens værdi ikke. Man forlænger en brøk ved at gange tæller og nævner med samme tal. Derved ændres brøkens værdi ikke.

14 14 1. Tal- og bogstavregning PRIMTAL Primtallene er som bekendt de hele positive tal, der netop er delelige med to tal, nemlig 1 og sig selv. Tal, der ikke er primtal, kaldes sammensatte. De første primtal er I vore dage har man primtalstabeller, der strækker sig langt op i talrækken og tabellernes omfang udvides stadig, da de bruges inden for kryptologi. Tabellerne ligger selvfølgelig på computer, hvor man kan søge i dem. På nettet findes der en stor mængde steder, der beskæftiger sig med primtal, hvor brugerne kan få tal opløst i primfaktorer. Prøv selv med søgeordet primtal og gå på opdagelse! Primtallenes fordeling Primtallene er omgivet af en vis mystik og langt fra alle spørgsmål om dem er besvaret. De optræder tilsyneladende helt tilfældigt i talrækken. Man har ikke nogen formel for, hvor mange primtal der findes under en given grænse, fx under 10 millioner (der findes iøvrigt ). Man kan kun tælle dem op i tabellen. I begyndelsen er der ikke ret langt mellem primtallene. Men afstandene kan hurtigt blive større, fx er der ingen primtal mellem 113 og 17, som begge er primtal. På den anden side ligger der fire primtal i intervallet Der er uendelig mange primtal Allerede i antikkens Grækenland ( Euklid, ca. 300 f. Kr.) kunne man bevise, at der findes uendelig mange primtal i talrækken - primtallene holder altså ikke op med at optræde, når man kommer tilstrækkeligt langt frem i talrækken. Vi viser, at der faktisk er uendelig mange primtal. Bevis for primtallenes uendelighed Vi antager, at vi kun kender primtallene, 3 og 5 og ønsker at finde endnu et primtal. Vi ganger de kendte primtal med hinanden og trækker 1 fra, dvs. vi danner tallet T = = 9. Hvis T er et primtal (og det er det), har vi fundet et nyt primtal. Hvis T ikke er et primtal, kan hverken, 3 eller 5 gå op i T, fordi de går op i T+1 (her 30). Så må T have en primfaktor, der ikke er et af disse tal. I begge tilfælde har vi fundet et nyt primtal. Derefter ser vi på tallet T = = 869, altså igen produktet af de kendte primtal minus 1. Tallet 869 er sammensat, og hverken, 3, 5 eller 9

15 1. Tal- og bogstavregning 15 kan gå op i det (fordi de alle går op i 870). Det viser sig, at 11 går op i T, så vores lager af primtal nu er,3,5,11,9. Så danner vi tallet = Enten er dette et primtal, eller det er sammensat. Det viser sig, at 7 går op, så vores primtalsmængde er,3,5,7,11,9. Således kan vi åbenbart fortsætte - hver gang vi ganger og trækker 1 fra, er vi garanteret mindst et nyt primtal. Altså er der uendelig mange. Primtalstvillinger Hvis forskellen mellem to primtal er kaldes de primtalstvillinger. Her er nogle primtalstvillinger: (3,5), (5,7), (41,43), (19469, 19471), (99989, 99991) Man ved, at der er 8 primtalstvillinger under 100, 14 primtalstvillinger under , primtalstvillinger undet Imidlertid ved man ikke, om der findes uendelig mange primtalstvillinger. Goldbachs formodning I 174 fremsatte tyskeren Christian Goldbach i et brev til den berømte matematiker Leonhard Euler ( ) den formodning, at ethvert lige tal større end 4 kan skrives som sum af ulige primtal. Fx er 6 = 3 + 3, 98 = = , 11 = = Man har indtil i dag ikke været i stand til at bevise eller modbevise Goldbachs formodning. Goldbachs formodning spiller en central rolle i romanen Onkel Petros og Goldbachs formodning af Apostolos Doxiades (Gyldendal, 000). Spørgsmål om primtal Prøv på nettet at finde svar på følgende spørgsmål: 1. Hvad er det største primtal under ? Det mindste over 1 million?. Hvor mange primtal findes mellem og ? 3. Opsøg historien bag Goldbachs formodning. 4. Find en række oplysninger om primtalstvillinger (prime twins). 5. Findes der primtalstrillinger, dvs. sæt af tre primtal med en indbyrdes forskel på?

16 16 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 4. Her er et eksempel på forkortning, hvor vi først opløser tæller og nævner i faktorer: Dernæst ser vi på 4 4 = 6 7 = a = 3 3a = 3a. 6b 3 b b Her går 3 op i både 9 og 6, så vi har forkortet med 3. Tilsvarende er 1x 4 y 6x y = 6z 3z, idet vi har forkortet med. Læg mærke til at hvert led i en brøk skal divideres med samme tal. Hvis en brøk indeholder ubehagelige tal, fx decimalbrøker, kan man med fordel forlænge brøken: 06, a 14, b = 6a 14b = 3a 7b 08, c 8c 4c Vi har forlænget med 10 og derefter forkortet med. BRØKSBRØKER Af og til kommer man ud for brøker, der selv indeholder brøker i tæller og/eller nævner. Disse såkaldte brøksbrøker bortskaffer man ved at forlænge med brøkernes fællesnævner. Fx får vi = ( 5 ) ( ) = = 60 4 = Vi har forlænget med 15, fordi 15 er fællesnævner for de små brøker 8 5 og 7 3.

17 1. Tal- og bogstavregning 17 ADDITION OG SUBTRAKTION Man lægger brøker sammen og trækker brøker fra hinanden ved at finde en fællesnævner: + 3 = = 3, = = = MULTIPLIKATION Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet: 4 7 = 8, 5 7 = Man ganger to brøker med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner: = 8, 8 = DIVISION Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk (dvs. den brøk, hvor tæller og nævner er byttet om, så den omvendte brøk til 7 5 er 5 7 ): 1 35 : 3 = 1 7 = 1 7 = = Læg mærke til, hvordan vi undgår at udregne 1 7 i tælleren og 35 3 i nævneren i stedet skriver vi 1 som 3 4 og 35 som 5 7, fordi vi så lettere kan forkorte brøken. Man dividerer en brøk med et tal ved at gange i nævneren: 13 5 : 3 = 13 = , 7 : 4 = 0 = 0 =

18 18 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 5. Som vi har set ovenfor, kan det være praktisk at opløse tæller og nævner i en brøk i faktorer for lettere at få den forkortet: 4 60 = 3 7 = 7 = 7, 165 = 5 33 = Vi kan stille regnereglerne for brøker op i følgende praktiske skema. Regel Symbolsk fremstilling Eksempel Et tal og en brøk ganges med hinanden ved at gange tælleren med tallet. a b a b c = c 7 3 = 7 3 = To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. a c = a c b d b d 7 3 = 7 3 = En brøk divideres med et tal ved at gange nævneren med tallet. a b : c = a 5 : 4 = 5 = b c Et tal eller en brøk divideres med en brøk ved at gange tallet/ brøken med den omvendte brøk. a : b a c c = b a b : c d = a d b c 7 : 5 = 7 8 = 7 8 = : = 5 =

19 1. Tal- og bogstavregning 19 REDUKTION AF BOGSTAVUDTRYK Vi skal i dette afsnit gennemgå en række metoder til at gøre bogstavudtryk simplere, fordi omskrivninger af bogstavudtryk ofte forekommer i beviser. EKSEMPEL 6. Vi viser først, hvordan led af samme type kan trækkes sammen: a + 3b - 5a + b = -3a + 4b, 4x - 5y + 8y - 4x = 3y, (p - 3q) + 4(3q + p) = 4p - 6q + 1q + 8p = 1p + 6q. Udtryk med brøker reduceres ved at skaffe fællesnævner. Vi ser på udtrykket a 4a Her forlænger vi den første brøk med, så brøkerne får samme nævner: a + 4a = 4a. Hvis der er flere brøker, går vi frem på samme måde: x + x 6x = 6x + 6x 6x = 6x = 3x. Her har vi forlænget den første brøk med, den anden med 3 og til sidst forkortet resultatet med.

20 0 1. Tal- og bogstavregning FORSKELLIGE TYPER AF TAL De tal, som vi bruger i matematikken, kaldes mængden af reelle tal. De består af alle tal på tallinjen. En mængde er en samling objekter, som kaldes mængdens elementer. Der findes forskellige typer af tal, og det er praktisk at kende til deres betegnelser og deres benævnelser. Naturlige tal N Mængden af de naturlige tal betegner vi med N. Den består af alle hele positive tal, og vi skriver sådan: N = {1,,3,... }. En mængde af tal (hvis der ikke er for mange ) skriver vi som et sæt krøllede parenteser: { }, hvori man noterer tallene med komma imellem evt. med prikker. Hele tal Z Mængden af hele tal betegnes Z, og består af de naturlige tal, tallet 0 samt de negative hele tal. Vi kan skrive mængden af hele tal sådan: Z = {... -3,-,-1,0,1,,3,4,... } eller Z = {0,1,-1,,-,3,-3,... }. Rationale tal Q Mængden af de rationale tal består af de tal, der kan skrives som brøker, hvor tæller og nævner er hele tal. Mængden af rationale tal betegnes med bogstavet Q (eng. quotients, dvs. kvotienter, resultatet af divisioner). Fx er følgende tal rationale: 7 er rational, fordi 7 kan skrives som en brøk: 7 = 14 = 1 = 735 = ,5 er rational, fordi -4,5 kan skrives som en brøk: -4,5 = 9. 13,64 og 0,655 er rationale tal, fordi 13,64 = og 0,655 = 655 = Alle endelige decimalbrøker er derfor rationale tal de kan jo skrives som brøker. De hele tal er også rationale.

21 1. Tal- og bogstavregning 1 Ikke alle tal kan skrives som brøker. De fleste kvadratrødder er ikke brøker. Tallene og 14 er ikke brøker og derfor ikke rationale tal. Sådanne tal kaldes irrationale. Desuden er tallet π irrationalt. π er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter (omkreds : diameter), dvs. det tal, man skal gange diameteren med for at få omkredsen. Med tilnærmelse er π = 3, Cirklens omkreds er altså lidt over 3 gange diameteren. En tilnærmelse til π med en brøk er den velkendte π 7 en tilnærmelse, fordi vi har, at π 3, , men 7 bedre tilnærmelse er , Dette er netop kun 3, En endnu Reelle tal R De reelle tal består af alle tal på tallinjen, dvs. hele tal, brøker og irrationale tal. Vi kan anskueliggøre de forskellige typer af tal som vist på fig. 3. De naturlige tal N er den mindste talmængde, den udvides til mængden Z af hele tal og denne udvides videre, først til de rationale tal Q og siden til de reelle tal R. Fig. 3

22 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 7. Vi ser på udtrykket 6 x 3 y 7 y + + x. 4 6 Fællesnævneren er 1, så den første brøk forlænges med 3, den anden med : 18x 9 y 14 y+ 4x 18x 9 y+ 14 y+ 4x x+ 5y + = = Læg mærke til at alle led i brøkerne (der er to led i tælleren og ét i nævneren i de to givne brøker) ganges med 3 henholdsvis! EKSEMPEL 8. Vi viser endnu et par eksempler på addition af brøker, idet vi først bestemmer fællesnævner: 7 9a + 3 = 7 b + 3 3a = 14b+ 9a 6b 9a b 6b 3a 18ab = 5 4b + 3 a 7 = a 8b 4ab a 4b 8b a 4ab 0b + 3a 14. 8ab EKSEMPEL 9. Vi vil reducere udtrykket 6 a 5 b 3 4 a b a b Fællesnævneren er 4, så brøkerne skal forlænges med henholdsvis 4, 8 og 3: 4 a 0 b 16 a 4 b 1 a 3 b Nu sætter vi på fælles brøkstreg. Her er det vigtigt at huske parenteser i tælleren! En brøkstreg virker nemlig som en parentes: ( 4a 0b) ( 16a 4b) ( 1a 3b) 4 = 4a 0b 16a+ 4b 1a+ 3b 4a+ 7b =. 4 4

23 1. Tal- og bogstavregning 3 EKSEMPEL 10. Her kommer yderligere et par eksempler på regning med brøker, der indeholder bogstaver: 3 a 4 b = 6a 1b, a x+ 3b = ax + 3ab, 7 7 5k 5k 3a 4x = 1ax b 7y 14by, 7 8a = 56a 5 x+ 3y 10x+ 15y, 3a : 5b = 3a 8x = 4ax = 1ax = 1a. x 8 x x 5b 10bx 5bx 5b EKSEMPEL 11. Vi anfører et par eksempler på forkortning af brøker. Hvis tæller og nævner består af flere led, er metoden at dividere med samme tal i alle led eller sætte fælles faktorer uden for parentes, inden der forkortes: 6ab 4ac a( 3b c) 3 = = b c 10a a 5a 5a, 9x y+ 15xy 1xy 18x y = 3xy( 3x + 5y) 6xy( y 3x) = 3x+ 5y ( y 3x), 8ax 1ay 4a( x 3y) ( x 3y) = = 18ax + 1ay 6a( 3x+ y) 33 ( x+ y), 3 6pq 1pq 3 6q + 8pq 6pqp ( q) 3 p ( p q) = =. q ( 3q+ 4p) q( 3q+ 4p) KVADRATSÆTNINGERNE Ved reduktion af visse bogstavudtryk får vi ofte brug for kvadratsætningerne. 1. kvadratsætning Vi skal udregne kvadratet (dvs.. potens) af en parentes, der indeholder to led: (a + b). Parentesen ganges med sig selv ved at gange hvert led i den ene med hvert led i den anden: (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a + ab + ba + b = a + ab + b.

24 4 1. Tal- og bogstavregning Vi har her brugt at a a = a, og at ab + ba = ab. Da a er det første led i parentesen (a+b), og b er det andet led, er a b kvadratet på første led. kvadratet på andet led. ab produktet af a og b (hvor produkt er resultatet af en multiplikation). ab det dobbelte produkt. Fig. 4 På fig. 4 er vist, hvordan multiplikationen er foretaget. Vi har således: (a + 4) = a + a = a + 8a kvadratsætning På samme måde kan vi udregne (a - b) (se fig. 5): (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + (-b) (-b) = a - ab - ba + b = a - ab + b. Fig. 5 Således er (b - 5) = b - b = b - 10b kvadratsætning Hvis den ene parentes er en sum, den anden en differens mellem de samme to tal, får vi (se fig. 6): (a + b) (a - b) = a a - a b + b a + b (-b) = a - ab + ab - b = a - b.

25 1. Tal- og bogstavregning 5 Fig. 6 Fx er (x - 3)(x + 3) = x - 9 og (6 + a)(6 - a) = 36 - a. Ved hjælp af 3. kvadratsætning kan vi foretage de tilsyneladende vanskelige multiplikationer og 5 48 sådan = ( )(100-3) = = = = (50 + )(50 - ) = 50 - = = 496. Vi sammenfatter kvadratsætningerne i følgende skema: Kvadratsætningerne ( a+ b) = a + b + ab ( a b) = a + b ab ( a+ b)( a b) = a b Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus/minus det dobbelte produkt. To tals sum gange de samme to tals differens er kvadratet på det første minus kvadratet på det andet. EKSEMPEL 1. Vi viser med et par udtryk, hvordan kvadratsætningerne bruges.: (a + 3b) = a + a 3b + (3b) = a + 6ab + 9b, (x - 3y) = (x) - x 3y + (3y) = 4x - 1xy + 9y, (5p - q)(5p + q) = (5p) - (q) = 5p - 4q, (4-1 x) = x + ( 1 x) = 16-4x x, (1 - y) = 1 - y + y, (y - 1) = 1 - y + y.

26 6 1. Tal- og bogstavregning EKSEMPEL 13. Af og til er det nyttigt at bruge kvadratsætningerne den modsatte vej. Vi ser på brøken x + 6x+ 9, x 9 som vi ønsker at forkorte. I tælleren er x og 9 kvadrater på x og 3, og 6x er det dobbelte produkt af 3 og x, så vi har, at x + 6x + 9 = (x + 3). I nævneren optræder en differens mellem to kvadrater: x - 3, så vi har efter 3. kvadratsætning: Altså kan vi skrive x x - 9 = (x + 3)(x - 3). + 6x+ 9 ( x + 3) ( x+ 3)( x+ 3) = = = x + 3 x 9 ( x+ 3)( x 3) ( x + 3)( x 3) x 3, x ± 3 Her har vi ved det sidste lighedstegn forkortet brøken med x + 3, som er fælles faktor i tæller og nævner. NUMERISK VÆRDI Vi har i visse sammenhænge brug for at fjerne et negativt fortegn fra et tal fx ved beregning af afstande, som skal være positive. DEFINITION AF NUMERISK VÆRDI Den skrivemåde, vi benytter til at fjerne minustegn, er to lodrette streger. Vi skriver fx og læser dette sådan: 3 = 3, 7 = 7, 0 = 0, 8 = 8, den numeriske værdi af -3 er 3, den numeriske værdi af 7 er 7, den numeriske værdi af 0 er 0 osv.

27

28 8 1. Tal- og bogstavregning Derfor kan vi sige, at den numeriske værdi af et tal a er afstanden fra 0 til a. Den numeriske værdi benyttes i forbindelse med differenser (forskelle). På tallinjen er afstanden mellem to tal a og b den numeriske forskel mellem a og b, fordi a b = b a. Fig. 7 viser et par eksempler på dette. Fig. 7

29 1. Tal- og bogstavregning 9 TILFØJELSER OG BEMÆRKNINGER Multiplikation af parenteser Vi har anskueliggjort mekanismen med at gange to parenteser med to led med hinanden på fig. 8. Fire rektangler med sidelængder a, b, x og y sættes sammen til et større rektangel med siderne a + b og x + y. Det store rektangels areal er (a + b)(x + y). Fig Skriv de små rektanglers samlede areal op.. Skriv op at det store rektangels areal er lig med summen af de små rektanglers arealer. 3. Hvilken regel får vi dermed? Henvis til det sted i bogen, hvor den står. 4. For hvilke tal a, b, x og y gælder illustrationerne? Division af brøker Det er måske ikke så kendt af de fleste, men division af en brøk med en anden brøk kan faktisk foregå efter samme regel som ved multiplikation: Dividér tæller med tæller og nævner med nævner. Fx får vi ved hjælp af samme eksempel som i teksten, at 1 35 : 3 7 = 1 : 3 = 35 :

30 30 1. Tal- og bogstavregning Denne metode har den ulempe, at man sjældent er ude for, at divisionerne i tæller og nævner går op så nydeligt som her. Så kan man dog klare sig ved at forlænge den første brøk med passende tal, fx produktet af tæller og nævner: 14 3 : = 14 5 : = 14 5 : = 14 5 = 7 5 = : Her får vi netop som (mellem)resultat brøken 14 5, der er fremkommet 3 ved at bytte om på tæller og nævner i den sidste brøk 5. EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Potenser af toleddede størrelser for positive tal. Vi kan illustrere formlen (a + b) = a + ab + b ved hjælp af fig. 9. Fig. 9 Et kvadrat har sidelængden a + b, så arealet er (a + b). Det kan deles op i to kvadrater og to rektangler med arealerne a og b samt ab og ab. 1. Forklar, hvordan fig. 10 ved hjælp af arealer kan bruges til at illustrere formlen a - b = (a + b)(a - b), a > b > 0.

31 1. Tal- og bogstavregning 31 Fig. 10. Vi så ovenfor på kvadratsætningen (a + b) = a + ab + b, som vi tidligere udregnede som (a + b)(a + b). Find nu en formel, der minder om denne for udtrykket (a + b + c). Tegn også en figur med et passende kvadrat, som deles op i mindre rektangler, og forklar formlen ved hjælp af figuren. 3. Udregn (a + b) 3 som ( a+ b) ( a+ b), og reducér til du får (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. Vis dernæst ved udregning, at følgende to formler er sande: a 3 - b 3 = (a - b)(a + ab + b ) a 4 - b 4 = (a - b)(a 3 + a b + ab + b 3 ). Afprøv formlerne for a = 3 og b =. Opstil en tilsvarende formel for a 5 - b Du skal skrive en forklaring på, hvordan fig. 11 og 1 kan illustrere formlen 3 3 a b = ( a b) a + ( a b) ab+ ( a b) b.

32 3 1. Tal- og bogstavregning Fig. 11 Fig. 1 Du kan navngive hjørnerne i de forskellige klodser for lettere at kunne henvise til dem i teksten. Skriv rumfanget op for hver af de tre klodser, som den store klods er sammensat af. 5. Sæt a - b uden for parentes i udtrykket på højre side af lighedstegnet ovenfor og skriv den formel, man får: a b = 6. Skriv ved hjælp af formlen i punkt 5 tallet som produkt af to tal. Samme spørgsmål for tallet Skriv og som produkter (se punkt 6). Hvorfor er en differens mellem to kubiktal, der ender på samme ciffer, altid delelig med 10?

33 1. Tal- og bogstavregning 33 EKSPERIMENT Tankelæsertricks. Simpel bogstavregning kan bruges til at afsløre mange gængse tankelæserkneb. 1. Du får følgende besked: Tænk på et tal. Læg 5 til. Udregn det dobbelte af resultatet. Træk 4 fra. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænke på. Så er resultatet 3. Gennemgå denne linje og forklar, hvorfor den passer til ordrerne: x x + 5 (x + 5) = x + 10 x = x + 6 x + 3 x x = 3. En anden linje kunne se sådan ud: a a + 5a a + 5 a + 1. A udsætter B for dette kneb. B meddeler, at han har fået resultatet 7. Hvilket tal kan A så oplyse, at B har tænkt på? Skriv en række ordrer, der frembringer denne talrække og forklar tankelæserknebet.. Skriv følgende tricks med bogstaver på samme måde som ovenfor, og afgør i hvert tilfælde hvilket resultat, man får: 1. Vælg et tal. Læg 3 til. Tag det dobbelte. Læg 4 til. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænke på. Hvad er resultatet?. Vælg et helt tal. Læg det tal, der er 1 større, til. Læg 7 til. Halvér resultatet. Træk det tal fra, du først tænkte på. Hvad er resultatet? 3. Vælg et tal og gang det med 3. Læg det tal, der er 1 større end det valgte tal til. Læg 11 til. Dividér resultatet med 4. Træk 3 fra. Hvad er resultatet?

34 34 1. Tal- og bogstavregning EKSPERIMENT 3 Dominobrikken og det mystiske tændstiktrick. Både et dominospil og en æske tændstikker indeholder muligheder for matematiske tricks 1. Domino spilles med flade, rektangulære brikker, der hver er inddelt i to kvadrater med et antal øjne på hver halvdel. Øjentallet på hver halvdel varierer fra 0 til 9. Fig. 13 viser nogle dominobrikker. Fig. 13 Af et dominospil udvælger Yrsa en brik uden at vise den til tankelæseren. Hun får nu følgende besked: Du skal gange antallet af øjne i det første felt (fx det venstre) med og lægge 7 til resultatet. Det tal, du får, skal du gange med 5 og lægge antallet af øjne i det andet felt (det højre) til. Sig mig resultatet, så vil jeg kunne fortælle dig, hvilken dominobrik, du har i hånden. Hvis Yrsa har brikken med øjentallene fx (3,6) i hånden, regner hun sådan: 3 = = = = 71. Yrsa fortæller resultatet 71 og tankelæseren meddeler straks at hun har brikken (3,6) i hånden. Forklar, hvordan dette trick virker.. Der ligger en bunke med 0 tændstikker på bordet. Foretag nu følgende: Fjern 1,,..., 8 eller 9 tændstikker fra bunken.

35

36 36 1. Tal- og bogstavregning Findes der mon to brøker med ét ciffer i tæller og nævner, alle fire forskellige, så summen eller differensen også bliver en brøk med cifre, der er forskellige fra de allerede brugte cifre? Her er et par forsøg: = 0 : Cifferet 5 optræder gange = 7 : Cifferet 7 optræder gange = 1 : Cifferet optræder gange Der skal altså i regnestykket optræde lutter forskellige cifre. Måske kan opgaven slet ikke løses. Et svar kendes ikke i øjeblikket. Prøv at eksperimentere! EKSPERIMENT 5 De fire 4-taller. Man møder med mellemrum den vandreopgave, at man skal skrive så mange naturlige tal som muligt ved hjælp af præcis fire 4-taller og de sædvanlige regneoperationer +, -, og : sammen med kvadratrodstegn og potensopløftning. Desuden kan man bruge udråbstegn!, idet! efter et tal betyder, at alle de hele, positive tal til og med tallet skal ganges med hinanden. Fx er 4! = = 4, 3! = 1 3 = 6, 6! = = 70. Vi kan så skrive 7 = (4:4), 15 = 4 4-4:4, 6 = (4 4-4): 4, 1 = 4! + 4:4 4. Altså kan tallene 6, 7, 15 og 1 fremstilles ved hjælp af præcis fire 4-taller. Hvem kan skrive flest? En særlig sport er kun at bruge de fire elementære regningsarter, enten med fire 4-taller eller med fem 5-taller. Fx er 6 = 4 + (4 + 4):4, 9 = :4, = (5+5):5+5-5, 11 = ( ): Det er muligt på denne måde at skrive tallene fra 0 til 9 med fire 4-taller og tallene fra 0 til 1 med fem 5-taller. Prøv!

37 1. Tal- og bogstavregning 37 EKSPERIMENT 6 Frembringelse af kvadrattal. Vælg to hele, positive tal med en forskel på, fx 5 og 7. Gang dem med hinanden og læg 1 til: = 36. Her er resultatet 36 = 6 et kvadrattal. Prøv igen: = 64 = 8, = 100 = 10, = 5 = 5. Er dette altid tilfældet? 1. Kald det mindste af de to tal n. Hvordan kan så det største af de to tal skrives?. Udfør en regning som ovenstående med bogstaver. Hvilket resultat får man? (Vink: Brug evt. en af kvadratsætningerne). 3. Skriv med ord hvilken regel der i almindelighed gælder om naturlige tal. Vælg et kvadrattal. Læg 1 til og træk 1 fra og gang de to tal med hinanden. Læg 1 til resultatet. Fx er 9 og 16 kvadrattal: med 9 fås: = 81, med 16 fås: = 56. Nu er 81 = 3 4 og 56 = Prøv at udtrykke dette med bogstaver, når det valgte kvadrattal er n. Skriv en forklarende tekst, så en person der ikke kender problemet, kan følge med. 5. Er der en forbindelse mellem de to tilfælde? EKSPERIMENT 7 Kubiktallene. Kubiktallene er tredjepotenser af naturlige tal, dvs. de er 1 3 = 1, 3 = 8, 3 3 = 7, 4 3 = 64, 5 3 = 15, 6 3 = 16,... De kan komme frem på en overraskende måde. 1. Gang tre naturlige nabotal i talrækken med hinanden og læg det midterste til, fx

38 38 1. Tal- og bogstavregning = 64, = 51, = 15. Her opdager du (måske), at 64 = 4 3, 51 = 8 3, 15 = 5 3, dvs. vi har fået tredjepotenserne (kubiktallene) frem. Gælder denne lovmæssighed altid?. Kald det midterste tal n og skriv multiplikationen og additionen op med bogstaver. Hvad bliver resultatet? 3. Skriv et stykke sammenhængende tekst om problemet og formulér en formel, der gælder. EKSPERIMENT 8 Reduktion af bogstavudtryk. I bogen Opgaver i Regning, Aritmetik og Geometri for., 3. og 4. Mellem af V. Hylling Christensen og Petrus Larsen fra 1947 findes et væld af opgaver i reduktioner af bogstavudtryk som skulle udføres af elever i klasse. Nedenfor er anført nogle stykker, og de er ikke for tøsedrenge!

39 1. Tal- og bogstavregning 39 En reduktion af nr. 801 kan udføres sådan: + n + 3n n n = n 9 n 3 n ( + n)( 3 n) ( + 3n n+ 1 n + 3)( 3 + n) = ( 3 + n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) ( 3 n)( 3 + n) 6 n+ 3n n + 3n n+ 1 n + 6n + 9 ( 3+ n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) ( 3+ n)( 3 n) 6+ n n + 3n n+ 1 n 6n 9 = ( 3+ n)( 3 n) n 6n+ 9 = ( 3+ n)( 3 n) ( n 3) = ( 3+ n)( n 3) n 3 = n 3. ( 3 + n) n 3 = Skriv for hvert lighedstegn en forklaring i ord på, hvordan regningen er foretaget.

40 40 1. Tal- og bogstavregning Foretag en lignende reduktion af et af de øvrige udtryk. Nogle facits kommer her: b+ a a b ( a b) a b ab( a + b) a ( 4a 1) ( 4a+ 1) a ( 3a+ 1)( 3a 1) 809. a ( a b) 810. a + 4 a+ 33 3( a 7) 811. x 13 ( x + 1) y 11x 6( x y) 813. b a ab EKSPERIMENT 9 Brøk og decimalbrøk. Brøker kan repræsenteres som rigtige brøker eller som decimalbrøker. Som bekendt har vi, at 1 7 = 05,, = 04,, = 035,. 5 0 Du skal nedenfor undersøge den nærmere sammenhæng mellem brøker og udseendet af deres tilsvarende decimalbrøker. Vi skelner mellem 3 slags decimalbrøker: endelige, uendelige periodiske, uendelige ikke-periodiske. Ovenfor gav vi et par eksempler på endelige decimalbrøker - dvs. de indeholder et endeligt antal cifre efter kommaet. Et eksempel på den anden type er tallet a =, som vi også skriver a = 7541,. Denne decimalbrøk er periodisk, og perioden er cifrene 41. Man siger, at periodelængden er, fordi perioden består af cifre. Vi kan nævne de velkendte periodiske decimalbrøker = 0, = 0, 6 og 7 = 0, = 0, Den tredje type er de ikke-periodiske decimalbrøker. I sådanne gentager cifrene sig ikke med noget periodisk mønster. Sådanne er fx 7, og π = 3, ,

41 1. Tal- og bogstavregning 41 og til denne type hører også mange kvadratrødder: 7 =, Skriv ved hjælp af cas følgende brøker om til decimalbrøk: a= 31, b= 17, c= 67, d= Hvilken af de tre typer tilhører de? Samme spørgsmål for brøkerne e= 7 f = 9 g= h= 15, , 99, 37. Et tal kan altid skrives som produkt af primfaktorer, fx 18 = 3, 60 = 3 5, 1617 = Cas giver mulighed for en sådan opløsning af tal i primfaktorer.. Se på nævnerne i brøkerne under punkt 1. Skriv hver nævner som produkt af primtal på denne måde. Kan du herefter opstille en formodning om, hvilke brøker, der svarer til endelige decimalbrøker, og hvilke der ikke gør? 3. Udfyld felterne i denne multiplikationstabel: Lav endnu en kopi af tabellen, og skriv i hvert felt tallets primfaktoropløsning i stedet for tallet selv - også første række og første søjle i tabellen. Fx skriver du 5 i stedet for 0. Hvad er

42 4 1. Tal- og bogstavregning karakteristisk for primfaktoropløsningerne af tallene i tabellen, såvel i randen som i dens indre? Vend nu tilbage til brøkerne under punkt 1 og sammenlign med tabellen. Opstil derefter en regel for, hvilke brøker, der kan skrives som endelige decimalbrøker. 4. Vi ser nu på periodiske decimalbrøker. Hvor lang en periode kan mon en sådan have? Vi har (kontrollér!), at 4 = 0, = 0, Her er perioden af længde 6. Du foretager en division i hånden: 4, : 7 = 0, rest rest rest 1 Fortsæt divisionen et godt stykke endnu. Hvor længe er det nødvendigt at blive ved? Hvilke rester kan der fremkomme ved division med 7? Hvor mange forskellige rester kan der blive tale om? 5. Foretag samme slags hånddivision for brøken Angiv dens periode og dens periodelængde. Du har set, at en brøk kan forvandles til en periodisk decimalbrøk ved division af tæller med nævner. Nu skal vi se på omvendte problem: Hvordan finder man den brøk, som en given decimalbrøk svarer til? Hvilken brøk svarer fx til 1, = 1, 864? (se punkt 1). Du skal se en metode til afgørelse af dette.

43

44

45 1. Internet 45 MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du til dette kapitel arbejde videre med brøkregning, regningsarter og kvadratsætninger. Du vil finde mange øvelser til forskellige emner som herover i regningsarternes hierarki. Ved forkert svar får du vink om, hvordan opgaven skulle have været løst. Regneoperationer kan følges trin for trin som herover ved kvadrat på en toleddet størrelse.

46 46 1. Internet Ved brøkregning er der adgang til et væld af opgaver inden for alle regningsarter. Trinvist kan du blive ført igennem de enkelte regneoperationer.

47 LIGNINGER OG ULIGHEDER

48 Løsning af ligninger har man kendt til næsten lige så længe matematikken har eksisteret. Fra babylonerne (fra Babylon i det nuværende Irak) er der fundet matematiske tekster på små lertavler. De stammer fra ca f. Kr. Her finder man ligninger og ligningssystemer, fx x - x = 870, x y x y50 Vi nævner desuden Papyrus Rhind (fundet 1858 af A. Rhind, opbevares på British Museum), en ægyptisk papyrus med matematisk tekst, der stammer fra ca f. Kr. og indeholder en del regneopgaver. Man kan bl. a. finde følgende opgave: Du skal dele 7 brød mellem 10 mænd. Ægypterne angav resultatet: Hver mand får brød. Er dette 3 korrekt? Det er dog først med den moderne algebras udvikling i løbet af og 1700-tallet, at vi nærmer os de strømlinjede og praktiske metoder, vi kender i dag. Ligninger af højere grad end 1 møder man i visse sammenhænge, fx følgende: En grund har form som et rektangel og omkredsen er 00 m. Grundens areal er 75 m. Hvor lange er grundstykkets sider? Vi gennemgår almindelige ligninger af første grad og de regneregler, der benyttes for at løse dem. Desuden ser vi på ligningssystemer bestående af to ligninger af første grad med to ubekendte. Andengradsligningen behandles, og endelig indfører vi en skrivemåde for intervaller (dvs. afsnit af tallinjen) samt løser et par simple uligheder. 1 30

49 . Ligninger og uligheder 49 LIGNINGER En ligning er et udtryk, der indeholder et lighedstegn som fx: = 1, a + b = b + a, x - 3y = 7, 3x - 4 = 11 En ligning indeholder i reglen en eller flere ubekendte størrelser. At løse en ligning vil sige at bestemme den eller de værdier, der passer i ligningen, dvs. gør den sand, når de indsættes. Ligningen 3x - 4 = 11 har x = 5 som løsning, fordi 5 passer i ligningen: = 11. På samme måde er (x,y) = (5,1) og (x,y) = (8,3) løsninger til ligningen x - 3y = 7, fordi x = 5, y = 1 passer og x = 8, y = 3 passer: = 7 og = 7. Vi har hermed ikke udtalt os om, hvorvidt der findes flere løsninger til ligningen end disse to. De tal, der står foran x og/eller y i ligningen, kaldes ligningens koef ficienter. Således er og -3 koefficienter til x og y i ligningen x - 3y = 7. Fig. 3. Berlingske Tidende

50 50. Ligninger og uligheder ENSBETYDENDE LIGNINGER Hvis man foretager en række omformninger af en ligning for at finde en løsning, bruger man symbolet, en dobbeltpil (eller en biimplikation), mellem ligninger, der har de samme løsninger. Fx har vi (3x - 1) = x - 4( - x) 6x - = x x 6x - = 5x - 8 x = -6. Hver af de fire ligninger har den samme løsning. Man siger, at sådanne ligninger er ensbetydende. Man kan også sige, at ensbetydende ligninger fremgår af hinanden ved lovlige omformninger. Nedenfor kommer vi ind på, hvad dette betyder. Vi anfører de vigtigste regler for løsning af ligninger. Man må lægge det samme tal til, trække det samme tal fra, gange med det samme tal og dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (i de sidste to tilfælde dog ikke med 0). Nulreglen. Et produkt er 0, netop hvis mindst en af faktorerne er 0. Gange over kors. Man kan gange over kors, dvs. hvis højre og venstre side af lighedstegnet er brøker, kan vi skrive a b = c ad = bc. d Vi ser på reglen med at gange over kors, og viser, at den faktisk er korrekt. I ligningen a = c b d ganger vi med tallet bd på begge sider, så vi får a b = c bd a = bd c bda = bdc ad = bc. d b d b d Altså er reglen eftervist, fordi vi er kommet frem til, at den første og den sidste ligning er ensbetydende.

51 . Ligninger og uligheder 51 EKSEMPEL 1 (Nulreglen). Vi illustrerer nulreglen ved at løse ligningen x - 6x = 0. Vi sætter x uden for parentes og får: x - 6x = 0 x(x - 3) = 0. I den sidste ligning er produktet af tallene x og x - 3 lig med 0, og derfor må mindst en af faktorerne være 0, dvs. x = 0 eller x - 3 = 0, og de x-værdier, der er løsninger, er altså x = 0 eller x = 3. Vi plejer lidt kortere at skrive sådan: x - 6x = 0 x(x - 3) = 0 x = 0 x = 3. Tegnet læses eller. Det betyder, at hvis x har værdien 0 eller værdien 3, så passer x i ligningen og omvendt: Hvis x passer i ligningen har x værdien 0 eller værdien 3. Dermed har vi fundet samtlige løsninger. På samme måde er (4x - 8)(x + 7) = 0 x = x = og 3x(x - 7) = 0 x = 0 x = 7. EKSEMPEL (Gang over kors). Vi ser på ligningen 4 = x x + 1. Ved at gange over kors fås 4(x + 1) = 0(13-3x) 4x + 4 = 60-60x 64x = 56 x = = 4. Dermed er ligningen løst, og på grund af dobbeltpilene er x = 4 den eneste løsning. Vi må i disse regninger forudsætte, at nævnerne ikke er 0, dvs. at x -1 og x 13 3.

52

53 . Ligninger og uligheder 53 FØRSTEGRADSLIGNING MED ÉN UBEKENDT En ligning er af første grad, hvis den er af typen ax + b = 0, eller umiddelbart kan omskrives til en sådan ligning. Her er et par eksempler: 3x - 4 = 8 + x, 5(x - 4) + x = 6x - (3-4x). Vi går ud fra, at metoderne til løsning at sådanne ligninger er kendte. Det er hovedsagelig metoderne indeholdt i den første regel ovenfor, vi benytter. EKSEMPEL 3. Hvis en ligning indeholder brøker, er det en god idé at gange med fællesnævneren på begge sider. Vi vil løse ligningen x+ 4= 30 4 x. 5 3 Fællesnævneren for brøkerne er 15, så vi ganger alle led med 15: x+ 4 = 30 4 x 15 x = x x + 60= 450 0x 6x= 390 x = 15. Det gjorde udregningerne lettere, at vi skaffede os af med brøkerne. TO LIGNINGER MED TO UBEKENDTE Af og til er der forelagt to ligninger med to ubekendte, og man er interesseret i at finde de værdier af de ubekendte størrelser, der passer i ligningerne. Vi viser, hvordan problemer af denne type kan løses. EKSEMPEL 4. Lille Emil har to slags klodser i sin legekasse: trekantede og kvadratiske. Efter en lidt tilfældig vejning får vi oplyst, at 7 trekantede og 4 kvadratiske klodser vejer tilsammen 480 g, 3 trekantede og 9 kvadratiske klodser vejer tilsammen 570 g. Hvad vejer en trekantet klods og en kvadratisk klods hver for sig?

54 54. Ligninger og uligheder TALSYSTEMER MED ANDRE GRUNDTAL Babylonerne havde fra ca f. Kr. et talsystem, hvor ikke alene det enkelte talsymbol havde en betydning, men også dets placering i forhold til andre symboler var afgørende. I vort 10-talssystem betyder fx 34 og 34 jo ikke det samme, selvom de samme cifre indgår i de to tal - cifrenes rækkefølge er afgørende. Således er 34 = , mens 34 = Babylon Babylon lå i det nuværende Irak. Babylonernes talsystem var opbygget på samme måde som vores 10-talssystem. Sådanne talsystemer kaldes positionssystemer. Babylonerne benyttede 60-talssystemet, hvilket vi i dag ser rester af i vores tidsmåling: 1 time à 60 minutter à 60 sekunder. I det babylonske system svarer tallet 34 (der var skrevet med andre symboler) til = For at vise hvilket system der er tale om, skriver vi (34) 60 = (7384) 10. Det binære talsystem I vore dage har det positionssystem, der har grundtallet en speciel interesse, fordi det anvendes i computeres interne talrepræsentation. Svarende til, at vi i 10-talssystemet har cifrene 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 har man i -talssystemet (også kaldes det binære talsystem) cifrene 0 og 1. Her udtrykkes et tal ved summer af potenser af, og vi benytter, at 0 = 1. Fx er = = og 107 = = I 10-talssystemet skal alle potenser af 10 med. Tallet 0047 kan vi skrive sådan: eller = , I -talssystemet må vi tilsvarende have alle potenser af med. Ser vi på tallet 107, kan vi skrive sådan: Altså skriver vi : (107) 10 = ( ). Kontrollér, at (005) 10 = ( ) Tallet 107 er 7-cifret i -talssystemet. Hvad er det første 7-cifrede tal?

55 . Ligninger og uligheder 55 Vi kan skrive, at 7x + 4y = 480 3x + 9y = 570 Her er x vægten af en trekantet klods og y vægten af en kvadratisk klods. Tricket er, at vi ganger hver af de to ligninger med et tal, så koefficienten til x eller til y i ligningerne bliver den samme. Fx kan vi gange den øverste ligning med 3 og den nederste med 7 på begge sider, så ligningssystemet er ensbetydende med 1x + 1y = x + 63y = Nu trækker vi den ene ligning fra den anden, fx den nederste fra den øverste, dvs. højre side fra højre side og venstre fra venstre: 1x + 1y - (1x + 63y) = x + 1y - 1x - 63y = y = -550 y = 550 = Altså vejer en kvadratisk klods 50 g. Nu indsætter vi y = 50 i en af de oprindelige ligninger, fx den første: 7x = 480 7x + 00 = 480 7x = = 80 x = 80 = 40, 7 så en trekantet klods vejer 40 g. Vi siger, at vi har fundet løsningen (x,y) = (40,50) til ligningssystemet med de to ubekendte. Det er desuden den eneste løsning. Metoden kaldes de lige store koefficienters metode. EKSEMPEL 5. Vi viser endnu et eksempel på løsning af et ligningssystem med to ubekendte. Læg mærke til, hvordan regningerne praktisk stilles op: 8x 4y= 68 3x+ 5y= 0 4x 1y= 04. 4x+ 40 y= 160

56 56. Ligninger og uligheder Subtraktion: Indsættelse af y = -7: 4x - 1y - (4x + 40y) = 04 - (-160) -5y = 364 y = 364 = x - 4 (-7) = 68 8x + 8 = 68 8x = 40 x = 5. Løsningen er (x,y) = (5,-7). ANDENGRADSLIGNINGEN Følgende ligninger 3x - 7x + = 0, -x + 1 = 0, 0,7x + 5x = 0 er eksempler på andengradsligninger, fordi de indeholder x i anden potens. I almindelighed er en andengradsligning af typen ax + bx + c = 0, a 0, hvor a, b og c er reelle tal, ligningens koeffcienter. Leddet ax kaldes andengradsleddet, bx er førstegradsleddet, og c er konstantleddet. Den første af ligningerne ovenfor har koefficienterne a = 3, b = -7 og c =. Tallet x = er en løsning til ligningen, fordi vi ved at sætte ind får = = 0. Dermed har vi ikke løst ligningen, fordi der jo kunne være andre løsninger end x =, og det er der faktisk. Vi kan allerede løse specielle typer af andengradsligninger. Vi har nemlig som bekendt x = 4 x = ±, t = 9 t = ±3, z = 7 z = ± 7, ( x+ 3) = 4 x+ 3=± x= 1 x= 5.

57 . Ligninger og uligheder 57 DEN GENERELLE ANDENGRADSLIGNING Vi skal nu vise, hvordan man kan løse en andengradsligning, dvs. vi vil udlede en formel, der kan bestemme samtlige løsninger. Vi formulerer formlen som en sætning, der efterfølges af et bevis. SÆTNING 1 For andengradsligningen ax + bx + c = 0, a 0 med diskriminanten d = b - 4ac gælder: hvis d < 0 har ligningen ingen løsninger, hvis d = 0 har ligningen én løsning, nemlig x = b a, hvis d > 0 har ligningen to løsninger, nemlig x = b± a d. Bevis. Læg mærke til tallet d = b - 4ac. Det kaldes diskriminanten, fordi det er dette tal, der viser forskellen (diskriminerer) mellem de tre tilfælde. Vi får brug for 1. kvadratsætning, nemlig (p + q) = p + pq + q. Vi skriver om på ligningen for at udnytte 1. kvadratsætning. Til højre er omskrivningerne forklaret: ax + bx + c = 0 Gang med 4a på begge sider. 4a x + 4abx + 4ac = 0 Læg b til på begge sider. 4a x + 4abx + 4ac + b = b Træk 4ac fra på begge sider. 4a x + 4abx + b = b - 4ac Indsæt d = b - 4ac. 4a x + 4abx + b = d Omskriv første og andet led. (ax) + ax b + b = d.

58 58. Ligninger og uligheder Nu benyttes kvadratsætningen ovenfor med p = ax og q = b: (ax + b) = (ax) + ax b + b. Dette er præcis ligningens venstre side, så ligningen er ensbetydende med (ax + b) = d, så vi ønsker at løse denne ligning, dvs. bestemme x. Vi deler op i tilfælde efter fortegnet for d: d negativ I ligningen (ax + b) = d er højre side negativ, mens venstre side er positiv eller 0, fordi ax + b er opløftet i. potens. Et negativt tal kan ikke være lig med et tal, der er positivt eller 0, så vi får ikke nogen løsninger i dette tilfælde. d = 0 Vi skal løse ligningen (ax + b) = 0. Her kan en. potens af et tal (nemlig ax + b) kun være 0, hvis tallet selv er 0, så vi får ax + b = 0 ax = -b x = b a Andengradsligningen har altså 1 løsning.. d positiv Vi skal løse ligningen (ax + b) = d. Vi benytter bemærkningerne ovenfor, hvor vi løste ligninger, der bestod af ét andengradsled på venstre side og et tal på højre side. Vi får så

59

60 60. Ligninger og uligheder ET TRICK I -TALSSYSTEMET Man kan ved hjælp af -talssystemet konstruere en slags selskabsleg, hvor den indviede talkunstner med magiske kræfter gætter hvilket tal, en tilhører har tænkt på. Tilhøreren får besked på at tænke på et helt tal mellem 1 og 31 incl. Talmagikeren har på forhånd fremstillet et antal papkort som vist på fig.. I øverste venstre hjørne har kortene tallene 1,, 4, 8, 16 dvs. netop potenserne af, og derfor kalder vi dem kort 1, kort, kort 4 osv. Nu beder talmagikeren ofret om at angive på hvilke kort, det tænkte tal optræder. Hvis fx personen tænker på tallet 1 oplyser han, at tallet findes på kort 1, kort 4 og kort 16. Talmagikeren lægger nu blot tallene i øverste venstre hjørne af de udpegede kort sammen: = 1. Altså har peronen tænkt på tallet 1. Hvert tal er anbragt på de kort, der svarer til 1-tallerne i tallets -tals-fremstilling. Vi har jo, at (1) 10 = (1011), så 1 skal skrives på kort 16, ikke på kort 8, på kort 4 og på kort 1. En tabel over de kort, som tallene optræder på, kan se ud som vist. Tal I -talssystemet Findes på kort nr , , , ,, Fig.

61 x - 0 = 0 x = 0 x = 10 x = 10. I dette tilfælde kunne vi løse ligningen ved simpelthen at isolere x. Ligningen 3x + 6 = 0, hvor a = 3 og c = 6, har ingen løsninger, fordi venstre side er mindst 6, uanset x. Hvis c = 0 benytter vi nulreglen: 3x - 15x = 0 3x(x - 5) = 0 x = 0 x = 5. Af og til kan man komme ud for ligninger, der ikke umiddelbart er andengradsligninger, men som på simpel måde kan omskrives til dem. Vi ser på ligningen 5 x x 11, x 0. Her vil vi gå frem som ved almindelige ligninger, der indeholder brøker: Gang med nævneren på begge sider af lighedstegnet. Her ganger vi altså med x på begge sider: x 5 x xx 11 x 5 x 11 x x 11 x 5 0. Denne sidste ligning er en almindelig andengradsligning og løses som vist ovenfor. Løsningerne er x = 5 og x = 1. Vi kender den sædvanlige tallinje med begyndelsespunkt O og det såkaldte enhedspunkt E, der svarer til tallet 1. Længden af linjestykket OE er altså 1. Vi ser på visse dele af tallinjen, de såkaldte intervaller.

62 6. Ligninger og uligheder BEGRÆNSEDE INTERVALLER Hvis a og b er to tal, så a < b, skriver vi (se fig. 3): [a;b] : alle tal mellem a og b, a og b medregnet, [a;b[ : alle tal fra og med a til, men ikke med b, ]a;b] : alle tal fra a til b men ikke med a, ]a;b[ : alle tal mellem a og b, a og b ikke medregnet. Fig. 3 Disse afsnit af tallinjen kaldes intervaller, og a og b er deres endepunkter. Vi siger, at et interval er lukket, hvis begge endepunkter er med i intervallet, halvåbent, hvis det ene, men ikke det andet endepunkt er med i intervallet, åbent, hvis ingen af endepunkterne er med i intervallet. Intervaller af en af disse fire typer er begrænsede, og deres længde er b - a. EKSEMPEL 8. Intervallet [3;7[ består af alle tal på tallinjen mellem 3 og 7; 3 er medregnet og 7 er ikke medregnet. Intervallets længde er 7-3 = 4. Intervallet [-5;8] består af alle tal mellem -5 og 8, og både -5 og 8 tilhører intervallet. Dets længde er 13 fordi 8 - (-5) = 13. På tallinjen er et intervals længde altså afstanden mellem endepunkterne.

63 . Ligninger og uligheder 63 ROMERTAL Romertallene stammer selvfølgelig fra Romerriget i tiden omkring Kristi fødsel. Romertal er endnu i brug i mindre omfang, idet man kan se ældre bygningers opførelsesår angivet med romertal. Desuden er visse bøgers kapitelinddeling foretaget med romertal, kongerne i den danske kongerække angives traditionelt med romertal, fx Frederik IX (1947-7). De romerske taltegn er I : 1, V : 5, X : 10, L : 50, C : 100, D : 500, M : Man lægger værdierne sammen, når symbolerne anbringes efter hinanden i faldende rækkefølge, fx XVII = 17, LXXV = 75, CCLXI = 61 MDCCCLV = 1855, MDCCCCLXI = Desuden bruger man den regel, at hvis et mindre taltegn anbringes foran et større, skal det trækkes fra: IV = 4, LIX = 59, MCMXL = 1940, MCMLIV = Man kan også finde den regel, at forskellen mellem de to taltegn, der indgår i en sådan subtraktion, højst må være to størrelser. Man må fx skrive IV = 4, IX = 9, men ikke IL = 49, fordi der er tre størrelsesintervaller mellem I og L (I-V-X-L). Tallet 49 skal skrives XLIX. På samme måde må man ikke skrive MIM for 1999, men MCMXCIX. Denne regel overholdes dog ikke altid. Romertallene er ikke et positionssystem, fordi et taltegns værdi ikke afhænger af dets placering blandt de øvrige taltegn. Således betyder X tallet 10, uanset hvor det står. Romertallene blev i løbet af 1300-tallet gradvis fortrængt af de nuværende tal, som kaldes arabertal, fordi cifrene stammer fra den arabiske verden - cifferet 0 er dog af indisk oprindelse. Tordensskjolds sarkofag

64 64. Ligninger og uligheder UBEGRÆNSEDE INTERVALLER Vi får tit brug for at se på tal, der på tallinjen ligger til højre eller til venstre for et givet tal (fig. 4), fx alle tal der er større end 17, eller alle tal der er mindre end eller lig med 50. Fig. 4 Det giver anledning til disse skrivemåder: [a; [ : alle tal større end eller lig med a ]a; [ : alle tal større end a ]- ;b] : alle tal mindre end eller lig med b ]- ;b[ : alle tal mindre end b Tegnet læses uendelig. Intervallerne af typerne ]a; [ og ]- ;b[ kaldes åbne, da a og b ikke medregnes, og intervallerne af typerne [a; [ og ]- ;b] kaldes lukkede, da a og b medregnes. Disse intervaller er ubegrænsede, fordi de ikke har nogen længde det fortsætter i det uendelige i den ene ende af tallinjen. Endelig kan man også skrive intervallet ]- ; [. Dette angiver alle tal på tallinjen. EKSEMPEL 9. Et par ubegrænsede intervaller er [4; [ alle tal på 4 eller derover, dvs. alle tal, der er mindst 4. ]- ;-3[ alle tal under -3, dvs. alle tal, der ligger til venstre for -3 på tallinjen.

65 . Ligninger og uligheder 65 Som vist angives intervalendepunkter med udfyldte boller eller ikke udfyldte boller, alt efter om det pågældende endepunkt er med i intervallet eller ej. ULIGHEDER Foruden ligninger skal vi kunne løse simple uligheder. En ulighed indeholder et af de fire ulighedstegn: < : mindre end > : større end : mindre end eller lig med : større end eller lig med De to første ulighedstegn < og > kaldes skarpe, mens og kaldes svage. Som eksempler på uligheder kan vi nævne x + 1 > 7 og 4-3x 13. At løse en sådan ulighed vil sige at bestemme de værdier af den ubekendte x, der passer i uligheden, dvs. gør den sand ved indsættelse. I den første ulighed er fx x = 5 og x = 1 løsninger, mens x = 1 ikke er løsning. I den anden er x = 1 og x = 7 løsninger, mens x = -4 ikke er løsning. I begge tilfælde findes der uendelig mange løsninger. REGNEREGLER FOR ULIGHEDER For uligheder gælder nogle omformningsregler på samme måde som for ligninger. Reglerne gælder for alle fire typer ulighedstegn, så de anføres kun for den ene type. Addition og subtraktion Vi må lægge samme tal til og trække samme tal fra på begge sider af en ulighed, dvs. a > b a + k > b + k. Multiplikation og division Vi vil gange eller dividere på begge sider af en ulighed med et tal forskelligt fra 0. Vi ser som eksempel på uligheden -5 < 7, og prøver at gange med 4 og med -3 på begge sider og får

66 66. Ligninger og uligheder -5 < 7 ganges med 4 : -0 < 8-5 < 7 ganges med -3 : 15 > -1. I det første tilfælde vender ulighedstegnene samme vej. I det andet tilfælde vender de hver sin vej. Der gælder to sætninger, der udtaler sig om disse forhold: SÆTNING Hvis k er et positivt tal, gælder a < b ka < kb, dvs. ulighedstegnene vender samme vej. Bevis. Vi skal vise, at de to uligheder er ensbetydende.vi kan gennemføre en række argumenter sådan, idet vi begynder med uligheden til højre: ka < kb ka kb < 0 Træk kb fra på begge sider Sæt k uden for parentes k(a - b) < 0 Da altså produktet af de to tal k og a - b er negativt (< 0), har de modsatte fortegn. Da k er positiv, må altså a - b være negativ, dvs. a - b < 0, så vi kan skrive: k(a - b) < 0 a - b < 0 Læg b til på begge sider a < b. Vi har nu vist, at uligheden til højre (dvs. ka < kb) er ensbetydende med uligheden til venstre (dvs. a < b), så beviset er færdigt.

67 . Ligninger og uligheder 67 EKSEMPEL 10. Vi vil løse uligheden Vi omformer uligheden sådan: 8x 5 5x x 5 5x x x 18 Træk 5x fra på begge sider Læg 5 til på begge side Dividér med 3 på begge sider x 6. Fig. 5 Nu er uligheden løst, og mængden af løsninger, L er alle tal, der er større end eller lig med 6, og vi kan skrive L = [6; [. Læg mærke til, at udregningerne er foregået præcis, som hvis der havde været tale om at løse en ligning. I dette tilfælde er k= 1 3. SÆTNING 3 Hvis k er et negativt tal, gælder a < b ka > kb, dvs. ulighedstegnene vender hver sin vej. Et bevis for sætningen findes i tilføjelser og bemærkninger efter dette kapitel. De nævnte regler for multiplikation på begge sider af en ulighed gælder også for division, fordi division med k 0 svarer til multiplikation med 1. Vi har allerede brugt dette i eksempel 10. k

68 68. Ligninger og uligheder EKSEMPEL 11. Vi viser løsning af en ulighed, hvor vi dividerer med et negativt tal. x - 7(x - 4) > 3(x - 1) Gang parenteserne ud x - 7x + 8 > 3x - 36 Reducér venstre side -5x + 8 > 3x - 36 Træk 3x og 8 fra på begge sider -8x > -64 Dividér med -8 og vend ulighedstegnet x < 64 8 = 8. Altså er løsningsmængden L = [- ;8[. Fig. 6

69 . Ligninger og uligheder 69 TILFØJELSER OG BEMÆRKNINGER DEN ALMINDELIGE FØRSTEGRADSLIGNING Vi har demonstreret, hvordan man løser en almindelig førstegradsligning. En sådan er almindeligvis af typen ax + b = 0, fordi vi kan tænke os, at alle ligningens led er samlet på venstre side af lighedstegnet. Vi kan foretage en såkaldt matematisk diskussion af denne ligning dvs. vi beskriver forskellige situationer, der afhænger af værdierne af tallene a og b. Tilfælde 1. a 0. Dette svarer til eksemplerne i teksten. Vi kan løse ligningen sådan: ax + b = 0 ax = b x = b a. Tilfælde. a = 0 og b 0. Ligningen har nu udseendet 0x + b = 0, og kan skrives b = 0, dvs. der er intet x. Ligningen har ingen løsninger, fordi der på venstre side optræder et tal der ikke er 0, mens højre side er 0. En ligning af denne type kunne fx være 0x + 8 = 0 8 = 0, der selvfølgelig ikke har nogen løsninger. Tilfælde 3. a = 0 og b = 0. Nu har ligningen udseendet og heri passer alle værdier af x. 0x + 0 = 0 0 = 0, Nu er diskussionen slut, fordi vi har gennemgået alle mulige tilfælde for koefficienterne a og b.

70 70. Ligninger og uligheder GÆT LØSNINGER TIL ANDENGRADSLIGNINGER For visse andengradsligninger med simple koefficienter kan man af og til gætte løsningerne hvis der da er nogen. Vi skal se hvordan. Lad os først se på ligningen Koefficienten a til x er i det følgende valgt til 1. x 5x+ 6= 0. (1) 1 Bestem rødderne til ligningen (1) og udregn røddernes sum og deres produkt.. Vi kan se på et par andre eksempler, som vi kan skrive op i et skema. Udfyld de tomme spalter i skemaet. Ligning Koef fi ci enter b, c Løsninger Rød dernes sum Rød dernes produkt x - 7x + 1 = 0 x - 11x + 8 = 0 x - 3x - 10 = 0 x - 6x + 5 = 0-7, 1-11, 8-3, -10-6, 5 x = 3, x = 4 x = 4, x = 7 x = -, x = 5 x = 1, x = 5 3. Gør rede for sammenhængen mellem rødderne og ligningens to sidste koefficienter. 4. Find rødderne i ligningen x + 5x - 1 = 0, og udregn også i dette tilfælde summen og produktet af rødderne. Gælder den samme sammenhæng her? Det viser sig, at den fundne sammenhæng mellem røddernes sum og produkt og ligningens koefficienter kun er gyldig, hvis koefficienten til andengradsleddet x er 1. Vi formulerer dette som en sætning:

71 . Ligninger og uligheder 71 SÆTNING Andengradsligningen x + bx + c = 0 forudsættes, at diskriminanten d > 0, så der er to rødder r 1 og r. Så gælder summen af rødderne er koefficienten til x med modsat fortegn : r 1 + r = -b, produktet af rødderne er konstantleddet : r 1 r = c. Bevis. Hvis r 1 og r er rødder, passer de i ligningen, så vi véd, at r 1 + br 1 + c = 0 r + br + c = 0. Vi trækker den nederste ligning fra den øverste og får ved brug af kvadratsætning 3, at r 1 - r + br 1 - br = 0 (r 1 + r )(r 1 - r ) + b(r 1 - r ) = 0. Nu er r 1 og r forskellige tal, så tallet r 1 - r er ikke 0. Så kan vi dividere ligningen med r 1 - r på begge sider, og får r 1 + r + b = 0 r 1 + r = -b. Dermed har vi vist den første påstand i sætningen. I ligningen ovenfor r 1 + br 1 + c = 0 indsætter vi b = - (r 1 + r ) og får r 1 - (r 1 + r )r 1 + c = 0 r 1 - r 1 - r r 1 + c = 0 c = r 1 r, hvilket netop er det ønskede.

72 7. Ligninger og uligheder ER IRRATIONAL De rationale tal er mængden af de tal, der kan skrives som brøker. Også hele tal Fig. 7 og endelige decimalbrøker er rationale, fordi de kan skrives som brøker, fx 7 = 14 47,,47 =. 100 Der findes tal, der ikke kan skrives som brøker, de såkaldte irrationale tal (dvs. ikke- rationale tal). Eksempler på sådanne tal er de fleste kvadratrødder og desuden tallet π (forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter). Vi skal her give et bevis for, at tallet er irrationalt. Hertil får vi brug for en forudsætning om primfaktoropløsning af naturlige (dvs. hele positive) tal. Vi vil nemlig gå ud fra, at ethvert helt positivt tal på præcis én måde (bortset fra rækkefølgen) kan skrives som produkt af primtal. Fx er 1 = 3 = 3 og 360 = 3 3 5, og 1 og 360 kan ikke på andre måder skrives som produkt af primtal. Desuden indeholder kvadrattal et lige antal primfaktorer, fx 1 = 3 så at 1 = 4 3, 8 = 3 så at 8 = 6. Her indeholder 1 6 primfaktorer, dvs. 1 er skrevet som produkt af 6 primfaktorer. Nu kan vi vise, at ikke kan være rationalt. Vi går ud fra det modsatte, dvs. at der faktisk findes en brøk, der er lig med. Vi når frem til, at dette fremkalder en modstrid, så altså alligevel ikke kan være en brøk. Vi har nu = a = a a = b. b b Nu indeholder venstre side af lighedstegnet a som bemærket et lige antal primfaktorer. På højre side af lighedstegnet indeholder b et lige antal primfaktorer, og da faktoren også indgår, er der altså på højre side et ulige antal primfaktorer. Dette kan åbenbart ikke lade sig gøre. Vi har opnået en modstrid, så antagelsen, om at er en brøk, må være forkert. Med præcis samme argument kan man vise at fx 5 er et irrationalt tal. Fungerer argumentet også, hvis der er tale om kubikrødder? Fx er 17 et irrationalt 3 tal. Beviset kan gennemføres ved hjælp af antallet af primfaktorer i et kubiktal med få ændringer.

73 . Ligninger og uligheder 73 ULIGHEDER Vi anførte sætning 3 om uligheder, og angiver her et bevis for sætningen. SÆTNING 3 Hvis k er et negativt tal, gælder a < b ka > kb. Bevis. Vi skal vise, at de to uligheder er ensbetydende. Vi begynder med uligheden til højre, og omskriver den, indtil vi får uligheden til venstre: ka > kb Træk kb fra på begge sider ka kb > 0 Sæt k uden for parentes k(a - b) > 0 Da altså produktet af de to tal k og a - b er positivt (> 0), har de to faktorer samme fortegn. Da k er negativ, er også a - b negativ, dvs. a - b < 0, så vi kan skrive: k(a - b) > 0 a - b < 0 Læg b til på begge sider a < b. Her bruger vi pilen i betydningen medfører eller hvis...så.... Vi mangler at vise, at pilen kan vendes, dvs. at vi kan slutte i modsat retning, altså at der gælder a - b < 0 k(a - b) > 0. Dette følger af at a - b er negativ og k er negativ. Vi har nu vist, at uligheden til højre (dvs. ka > kb) er ensbetydende med uligheden til venstre (dvs. a < b), og beviset er færdigt.

74 74. Ligninger og uligheder HISTORISKE BEMÆRKNINGER Vi har beskæftiget os med bogstavregning, også kaldet algebra. Den praktiske og strømlinjede måde vi i dag betjener os af symboler på, er ikke særlig gammel. Mange tidlige algebraiske symboler var blot forkortelser for ord: p eller p for plus og m eller m for minus osv. Disse symboler sparede selvfølgelig tid og plads i teksten, men var ikke egnede til at fremme en dybere forståelse af de ideer, de repræsenterede. Uden en gennemført og klar brug af symboler var algebra nærmest en kunst, der i høj grad afhang af de enkelte udøvere. Vores nuværende algebra er efterhånden forfinet til det ideelle, men udviklingen har været langsom og kringlet. Vi skal se på, hvordan algebraiske udtryk har været skrevet i tidligere tider. En ligning kan være 3 x 5x + 7x= x+ 6. Leonardo fra Pisa ville i år 100 have skrevet denne ligning udelukkende med ord, fx Fem kvadrater trukket fra kubus og syv ting er lig med roden af seks mere end denne ting. Dette er den såkaldt retoriske måde at skrive matematik på, dvs. med ord. I 100- og 1300-tallet var matematik næsten udelukkende retorisk. Leonardo brugte fx R for kvadratrod (latin: radix) i nogle af sine skrifter. I slutningen af 1400-tallet begyndte nogle matematikere at bruge symbolske udtryk i deres arbejder. Man kunne have skrevet cu. m. 5. ce. p. 7. co. Rv. co. p. 6. Med denne skrivemåde er co en forkortelse for cosa, dvs. ting eller den ukendte størrelse. Dette kalder vi i dag x. Forkortelserne ce og cu står for censo og cubo ord som de italienske matematikere brugte til at betegne kvadrat og kubus (dvs.. potens og 3. potens). Vi taler om den ukendte størrelse. Det var en grundlæggende svaghed ved denne notation, at man kun kunne henvise til én ubekendt i et udtryk. I begyndelsen af 1500-tallet begyndte nogle af de tegn, vi kender i dag, at dukke op. Tegnene + og blev overtaget fra den skrivemåde som handelsfolk brugte og rodsymbolet mener nogle stammer fra et håndskrevet r. Lighedstegn opstod ved at forkorte enten det tyske eller latinske ord for lig med, og gruppering af led, som efter rodteg-

75 . Ligninger og uligheder 75 net ovenfor blev angivet ved prikker. Ligningen ovenfor kan altså ca. 155 have set ud som på fig. 7. Forskellige potenser af den ubekendte blev udtrykt med forskellige symboler, der ikke havde noget at gøre med hinanden. Første potens (dvs. x) kaldtes roden (radix) og blev angivet med et lille skrevet r. Symbolet for kvadratet på denne størrelse (vores x ) var et lille skrevet z, der var første bogstav i det tyske ord for kvadrat zensus. Tredje potens kubus (dvs. x 3 ) var c e. Højere potenser opnåedes ved at kombinere symbolerne for kvadrat og kubus med (underforstået) gangetegn imellem. Der begyndte efterhånden at fremkomme lettere måder at skrive potenser af den ubekendte størrelse på. Nicholas Chuquet, en fransk læge, benyttede i et manuskript fra 1484 den metode at forsyne koefficienterne med små tal foroven. For at skrive 5x 4 skrev han 5 4. For rødder skrev han R for 5. Eksemplet ovenfor ville med hans skrivemåde have set sådan ud: 1 3. m. 5. p montent R p Et gennembrud i smidighed og anvendelighed blev gjort af François Viète ca Han beskæftigede sig med at løse ligninger, og for at gøre sit arbejde klart og alment tilgængeligt skrev han: Lad de givne størrelser blive kendetegnet fra de ukendte med et konstant og meget klart symbol som for eksempel ved at betegne den ukendte størrelse ved hjælp af bogstaver A eller en anden vokal, og de givne størrelser ved hjælp af bogstaverne B, G, D eller andre konsonanter. Viète anvendte altså bogstaver for både kendte og ukendte størrelser, og derfor kunne han skrive ligninger på generel form i stedet for at være afhængig af specielle eksempler, hvor de valgte tal kunne have indflydelse på løsningsmetoden. Viète var den første, der brugte bogstaver som en integreret del af algebraen. Hvis ligninger indeholdt mere end én ubekendt, var det klart, at den gamle skrivemåde med eksponenter ikke længere var egnet. Man kunne ikke skrive , hvis man i virkeligheden mente 5A 3 + 7E. I 160 erne ville Thomas Harriot i England have skrevet 5aaa + 7ee. I 1634 skrev Pierre Hérigone i Frankrig ubekendte med koefficienter først og eksponenter sidst, altså 5a3+7e. I 1636 publicerede James

76 76. Ligninger og uligheder Hume (en skotte der boede i Paris) en udgave af Viètes algebra med iii ii små hævede romertal, fx 5a + 7e. I 1637 fremkom en tilsvarende skrivemåde i René Descartes La Géometrie, men nu var eksponenterne skrevet med små hævede arabertal som 5a 3 + 7e. Harriots og Hérigones skrivemåder var de letteste at arbejde med typografisk, men klarheden i forståelsen vandt over typografisk bekvemmelighed, og Descartes metode blev den standardskrivemåde, der er i brug i dag. EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Noget besynderligt om kvadrattal. Hvis man ser på kvadrattal, lægger man måske mærke til at = 5, hvor summen af de to kvadrattal selv er et kvadrattal. Desuden er = Regn selv efter! Her er summen af de 3 nabo-kvadrattal 10, 11 og 1 lig med summen af de næste nabo-kvadrattal 13 og 14. Mon dette system kan forsættes? Findes der en sum af 4 nabokvadrattal, der er lig med summen af de næste 3 kvadrattal? Vi prøver. En sum af 4 nabo-kvadrattal kan skrives n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3). 1. Skriv summen af de næste tre nabo-kvadrattal.. Sæt de to summer lig med hinanden, udregn parenteserne, reducér og løs derefter ligningen. 3. Hvordan kommer de to lige store summer af nabo-kvadrattal til at se ud? Dernæst skriver vi en taltrekant op, nemlig følgende

77 . Ligninger og uligheder Skriv en forklaring på, hvad denne taltrekant har med problemet ovenfor at gøre. Skriv de næste to rækker i trekanten op og gør rede for, hvilket system trekanten følger. (Vink: Du kan fx se på søjlen med de midterste tal: 4, 1, 4, 40, 60,... eller på ydertallene til højre og venstre: 5-10, 14-1, 7-36, 44-55,...) 5. Benyt taltrekanten til at finde den sum, der har fem kvadrattal på venstre side af lighedstegnet og fire på højre side. EKSPERIMENT Den lille tabel. Vi ser på den lille multiplikationstabel den er trykt i mange regnebøger for de lavere skoleklasser. Kopier nogle eksemplarer af den lille tabel, så du kan tegne på dem. Fig. 8 Fig Indram et tilfældigt sted i tabellens indre et kvadrat med et ulige antal tal som vist på fig. 8. Siderne er parallelle med tabellens rækker og søjler. Bestem middeltallet (gennemsnittet) af de 4 tal i kvadratets hjørner, og sammenlign det med det midterste tal i kvadratet. Hvad opdager du? Foretag eksperimentet endnu et par gange andre steder i multiplikationstabellen.. Du skal vise, at denne opdagelse er korrekt for alle talkvadrater i den lille tabel, som opfylder, at de indeholder et ulige antal tal (dvs. deres sider består af 3, 5, 7,.. tal), og hvis sider desuden er parallelle med tabellens kanter. Vi ser altså ikke på de skrå kvadrater på figuren men reglen gælder også her!

78 78. Ligninger og uligheder 3. På fig. 9 er tegnet et kvadratisk udsnit af tabellen med et ulige antal tal. I øverste venstre hjørne af kvadratet står produktet pq, dvs. tallet står i søjle p og i række q. De andre tre hjørner af det kvadratiske udsnit har søjle- og/eller rækkenumre p + k og/ eller q + k. Skriv tallene i felterne mærket med en bolle. Er tallet k lige eller ulige? 4. Forklar hvilket rækkenummer og hvilket søjlenummer, der hører til det midterste felt i tabeludsnittet. Udregn det tal, der står i midterfeltet. 5. Vis nu ved bogstavregning, at din opdagelse fra punkt 1 er korrekt. Forklar desuden, hvorfor forudsætningen om, at k er lige, er vigtig hvor er denne forudsætning brugt? 6. I punkt 1 regnede du med kvadrater med et ulige antal tal på hver led. Vi ser nu på tabeludsnit med et lige antal tal på hver led. Her står der intet tal i midten af kvadratet. Udregn i stedet summen af de fire midterste tal i kvadratet (fig. 10), og udregn igen summen af de fire hjørnetal. Foretag eksperimentet med flere andre kvadrater i tabellen. Skriv hvilken lovmæssighed, du får mistanke om, er gyldig. 7. Igen betegnes tallene der skal ganges med hinanden, med p, q, p + k og q + k (fig. 11). Er tallet k lige eller ulige? Skriv igen summen af tallene i kvadratets fire hjørner. Fig. 11 Fig. 10

79

80 80. Ligninger og uligheder Vi lægger de to ligninger sammen: 4x + 4y - 5z = 5x + 5y - 4z. Derefter lægges 9z til på begge sider: 4x + 4y + 4z = 5x + 5y + 5z 4(x + y + z) = 5(x + y + z), og denne sidste ligning er ensbetydende med, at 4 = 5. Hvori ligger fejlen i dette argument? EKSPERIMENT 4 En speciel ligning. Søren skal løse den lidt vanskelige ligning x = 4x 40. x 7 13 x Han vælger at sætte på fælles brøkstreg på venstre side og får: x+ 5 5( x 7) x x + = = 4x 40. x 7 13 x x 7 13 x Han forlænger brøken på venstre side med -1, så ligningen er ensbetydende med 4x 40 = 4x x 13 x Men nu er tællerne i de to brøker lige store, og så må nævnerne også være det, dvs. 7 x= 13 x 7= 13. Altså er 7 = 13?! Nu siger Sørens matematiklærer, at den oprindelige ligning har løsningen x = 10, og da Søren indsætter x = 10 i den oprindelige ligning, kan han godt se, at det er rigtigt. Men har han da regnet forkert? Hvis han har - hvori består så fejlen?

81 . Ligninger og uligheder 81 EKSPERIMENT 5 Deling af intervaller. Du skal finde punkter (tal) i intervaller på tallinjen, som deler intervallerne i lige store stykker. 1. Hvilket tal på tallinjen ligger midt mellem 4 og 10? Midt mellem 13 og 37? Midt mellem 179 og 837?. Udregn derefter 1 (4 + 10), 1 ( ) og 1 ( ). Angiv med ord, hvilken regel man kan bruge, når man vil finde midtpunktet af et interval på tallinjen. Hvilken uforkortelig brøk ligger midt mellem 5 1 og på tallinjen? 5 Hvilket tal ligger midt mellem a og b? 3. Tegn tallinjen og afsæt tallene 5 og 14. Hvilke tal deler linjestykket mellem 5 og 14 i tre lige lange stykker (tredelingspunkterne)? Udregn tallene og 3 3 Udregn derefter tallene og , 3 3 og skriv en forklaring på, hvad disse udregninger viser på tallinjen. 4. Hvis man på tallinjen afsætter to tal a og b, hvor a < b, hvad er så formlen for tredelingspunkterne af linjestykket fra a til b? 5. Afsæt tallene 17 og 47 på en skitse af tallinjen og udregn tallene , , , Skriv en redegørelse for resultatet, og hvilken lovmæssighed du har fundet frem til. 6. Find de tal på tallinjen, der svarer til 6-delingspunkterne af linjestykket mellem tallene 76 og 154.

82 8. Ligninger og uligheder EKSPERIMENT 6 Løsning af dobbeltuligheder. En ulighed af typen a < b < c kaldes en dobbeltulighed. Den kan også have udseendet a > b > c, og eventuelt kan ulighedstegnene være svage: a b > c. Sådanne uligheder defineres ved a < b < c a< b b< c. () Tegnet læses og, og betyder, at begge uligheder skal være opfyldt. Du skal her lære at løse sådanne uligheder. Vi ser på dobbeltuligheden 1 x+ > 5 x x 7. Vi deler op i to uligheder efter definitionen (): 1 x+ > 5 x og 5 x x Løs hver af disse uligheder. Løsningerne er henholdsvis x > og x 4. Den første ulighed er altså opfyldt for alle x i intervallet ]; [, den anden for alle x i intervallet ]- ;4]. Disse intervaller tegnes på tallinjen som vist på fig. 1. Da begge uligheder samtidig skal være opfyldt, består løsningsmængden til dobbeltuligheden af de værdier af x, der tilhører begge intervaller, så den er L = ];4]. Fig. 1. Løs på denne måde hver af dobbeltulighederne 3 1 x< 3x 18 x og x+ 8< 6 x 3x Det er ikke altid at dobbeltuligheder har løsninger. Løs fx dobbeltuligheden nedenfor, og forklar hvorfor den ikke har løsninger: 8 x> x 4 > 1 x + 3.

83 . Ligninger og uligheder 83 EKSPERIMENT 7 Et besynderligt puslespil. Vi skal se på et specielt puslespil og foretage nogle talmæssige overvejelser over størrelsen af brikkerne. 1. På fig. 13 er øverst angivet et kvadrat, der er skåret ud i fire brikker. Tegn det på ternet papir, idet du vælger x = 3 og y = 5. Pas på, at brikkerne ikke bliver for små - brug evt. en enhed på eller 3 cm. Fig. 13. Læg brikkerne sammen til rektanglet forneden på figuren. Hvilket areal har kvadratet? Hvilket areal har rektanglet? 3. Tegn et nyt puslespil og klip det ud, idet du nu vælger x = 8 og y = 13. Hvilke arealer har nu kvadratet og rektanglet? 4. Skriv med betegnelserne på figuren op, hvilket areal K kvadratet har, og hvilket areal R rektanglet har udtrykt ved x og y. 5. Gør rede for, at vi ved sammenligning af kvadratets areal og rektanglets areal får næsten- ligningen x + y + xy y + xy eller y xy x 0.

84 84. Ligninger og uligheder 6. Hvis vi vil konstruere puslespil af typen på fig. 13, skal vi altså vælge længderne x og y af siderne på brikkerne, så de passer i denne næsten- ligning. Kontrollér at værdierne x = 8 og y = 13 passer godt i ligningen. Gør rede for, at også x = 13 og y = 1 passer godt. Vi ser på en talfølge (dvs. en række tal), hvis to første led er 1 og 1. Hvert led fremkommer derefter ved at lægge de to forudgående led sammen. De første led i talfølgen er 1, 1,, 3, 5, Skriv de næste 5 led i talfølgen op. Gør rede for, hvad denne talfølges led har med puslespilsproblemet ovenfor at gøre (brikkernes dimensioner). Skriv endnu to løsninger (x,y) op til næsten- ligningen. Længden y kan fås af længden x ved at gange med et positivt tal k, dvs. y = kx. Du skal finde en værdi af k, så næsten- ligningen ovenfor faktisk bliver til en ligning. Indsæt y = kx i ligningen 8. Vis, at du får ligningen y xy x = 0. x ( k k 1) = Da x ikke er 0, må parentesen efter nulreglen være det. Vis, at dette giver værdien k = Angiv k med 6 decimaler. 10. Ovenfor så vi på puslespil med x = 8 og y = 13. Hvor stor bliver de nøjagtige værdier af y, hvis puslespillet skal give præcis samme areal for kvadrat og rektangel?

85 . Ligninger og uligheder 85 EKSPERIMENT 8 Romertallene. Romertallene stammer selvfølgelig fra Romerriget i tiden omkring Kristi fødsel. Romertal er endnu i brug i mindre omfang, idet man kan se ældre bygningers opførelsesår angivet med romertal. Desuden er visse bøgers kapitelinddeling foretaget med romertal, og kongerne i den danske kongerække angives traditionelt med romertal, fx Frederik IX (1947-7). De romerske taltegn er I : 1, V : 5, X : 10, L : 50, C : 100, D : 500, M : Man lægger værdierne sammen, når symbolerne anbringes efter hinanden i faldende rækkefølge, fx XVII = 17, LXXV = 75, CCLXI = 61 MDCCCLV = 1855, MDCCCCLXI = Desuden bruger man den regel, at hvis et mindre taltegn anbringes foran et større, skal det trækkes fra: IV = 4, LIX = 59, MCMXL = 1940, MCMLIV = Man kan også finde den regel, at forskellen mellem de to taltegn, der indgår i en sådan subtraktion, højst må være to størrelser. Man må fx skrive IV = 4, IX = 9, men ikke IL = 49, fordi der er tre størrelsesintervaller mellem I og L (I-V-X-L). Tallet 49 skal skrives XLIX. På samme måde må man ikke skrive MIM for 1999, men MCMXCIX. Denne regel overholdes dog ikke altid. Romertallene er ikke et positionssystem, fordi et taltegns værdi ikke afhænger af dets placering blandt de øvrige taltegn. Således betyder X tallet 10, uanset hvor det står. Romertallene blev i løbet af 1300-tallet gradvis fortrængt af de nuværende tal, som kaldes arabertal, fordi cifrene stammer fra den arabiske verden - cifferet 0 er dog af indisk oprindelse. 1. Skriv følgende tal som romertal: 67, 39, 74, 371, 849, 643, 1154, 004, 1741.

86 86. Ligninger og uligheder. Skriv følgende romertal som arabertal: XXIV, LXVI, CCLI, DCIX, DCCXXIV MCLXII, MCCLXXVI, MCMLX. Addition af romertal. Hvis man skal lægge romertal sammen, laver man dem først om, så taltegnene optræder i aftagende værdi (dvs. i rækkefølgen M, D, C, L, X, V, I). Fx vil man forvandle tallene 4, 19 og 99 sådan: 4 : XLII til XXXXII, 19 : XIX til XVIII, Så udregnes sådan: Omskrivning: 99 : XCIX til LXXXXVIIII. CCXLIV + CXXIX. CCXXXXIIII + CXXVIIII. Der lægges sammen ved at skrive symbolerne ved siden af hinanden: CCC XXXXXX V IIIIIIII. Så veksles opad til højere taltegn: CCC L X V V III og videre : CCCLXXIII. Kontrollér ved at regne efter at dette faktisk er det korrekte resultat. 3. Foretag følgende additioner: MDCCXLIV + DCCCXXIX og MDIV + MMDCLIX, og kontroller, at resultatet stemmer. Subtraktion af romertal. Når man trækker et romertal fra et andet, kan man ligesom ved arabertal benytte låne -princippet eller vekslings -princippet. Hvis vi vil udføre subtraktionen benytter vi igen en omskrivning, så taltegnene optræder i aftagende rækkefølge: LXIX - XXXVII skrives som LXVIII - XXXVII.

87 . Ligninger og uligheder 87 Nu kan vi fjerne samme tegn fra de to tal, nemlig to I er, et V og et X, så opgaven nu er Så veksles L til fem X er: LII - XX. XXXXXII - XX, og når vi sletter de to X er i begge tal, får vi resultatet XXXII, hvilket er korrekt. 4. Foretag følgende subtraktioner efter det skitserede princip: = MMDCLXV - MCCXVII. MDCCXLV - DLIX, MMCXL - MDXII. Kontrollér i alle tilfælde, at regningerne stemmer ved at omskrive til arabertal. I bogen The Universal History of Numbers (Histoire universelle des chiffres) af Georges Ifrah, udtaler forfatteren: It is remarkable that a people who, in the course of a few centuries, attained a very high technical level, should have preserved throughout that time a system which was needlessly complicated, unusable, and downright obsolete in concept. In fact, the writing of the Roman numerals as well as its simultaneous use of the contradictory principles of addition and subtraction, are the vestiges of a distant past before logical thought was fully developed.

88 88. Ligninger og uligheder OVERSIGT OVER LIGNINGER AF 1. GRAD 1. Almindelig type Dette er de ukomplicerede ligninger, som fx 3x + 1 = 8 - x, 6(x - ) + 1 = (4 + 3x).. Ligninger med brøker Vi kan gange med fællesnævneren for de brøker der optræder. Så får man nemlig en ligning med hele koefficienter. Husk at gange samtlige led i ligningen. 5 x 4= 1 + x 6 5 x 6 4= x x 4 = 3 + 1x x= x+ 4 = 3x 5 7x+ 4 = 5 3x 7x+ 4= 15x x= x x = 5 1 4x x = 1 ( 5) ( 4x+ 1) + 7 ( 1 5x) = 105 1x x= 105 x= Ligninger, der løses ved hjælp af nulreglen ( x 9) ( x+ 3) = 0 x 9= 0 x+ 3= 0 x= 4 x= 3. x 5x= 0 x( x ) = 0 x= 0 x= x = 1x 3x + 1x= 0 3x( x+ 4) = 0 x= 0 x= Gange over kors Hvis en ligning indeholder en brøk på hver side af lighedstegnet og intet andet, kan man gange over kors. 3x 1 = 8 3 ( 3x 1) = 8 ( 4+ x) 9x 3= 3+ 8x x= x 3 x 1 = 4x 7 ( x 1) ( 3+ x) = ( 4x 7) ( x+ 3) x x 6x+ 4x 3 x= 4x + 1x 7x 1 4x 3= 5x 1 x= 18 1

89 a = b a + k = b + k, a = b ak = bk (k 0). Nulreglen: x y0 x0 y0. Gang over kors : a c ad bc. b d ax + bx + c = 0, a 0. Diskriminanten d = b - 4ac. Hvis d > 0 : løsninger : x b d. a Hvis d = 0 : 1 løsning : x b a. Hvis d < 0 : Ingen løsninger. Intervaller Begrænsede Ubegrænsede Åbne ]a;b[ ]- ;b[, ]a; [, ]- ; [ Lukkede [a;b] ]- ;b], [a; [, ]- ; [ Halvåbne [a;b[, ]a;b] Addition og subtraktion af samme tal på begge sider af ulighedstegnet: a < b a + k < b + k. Multiplikation og division med et positivt tal på begge sider af ulighedstegnet: k > 0 : a < b ka < kb. Multiplikation og division med et negativt tal på begge sider. Vend ulighedstegnet: k < 0 : a < b ka > kb.

90 90. Internet MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du til dette kapitel arbejde videre med løsning af ligninger og uligheder af første grad samt andengradsligningen. Du kan, trinvist, prøve at løse forskellige typer af ligninger eller arbejde med simple ligninger. Du kan løse simple ligninger og se en detaljeret løsning via Hjælp -knappen. Du kan også trinvist prøve at løse ligninger af forskellig sværhedsgrad. Små kommentarer fører dig igennem, ligesom du kan få vist en generel strategi for løsning af den pågældende ligningstype. Du indtaster en ny ligning for hvert trin og trykker OK.

91 . Internet 91 Den indtastede ligning er kommet op i den øverste ramme, og i kommentaren foreslås at samle ledene med x på den ene side. Dette er indtastet i indtastningsfeltet. x er blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet, og i kommentaren kan du få hjælp til at udregne tallet på højre side, som du herefter kan markere og trække op i indtastningsfeltet. Efter tryk på OK er x=8 placeret i det øverste felt, og kommentaren fortæller, at ligningen er løst.

92

93 3 RØDDER OG POTENSER

94 Gentagen multiplikation med samme tal skrives kort som en potens. Vi skriver 4 5 og ikke Den omvendte operation til potensopløftning er rodudragning. Potenser er ikke uden overraskelser. Et berømt problem er, om der findes to potenser med eksponent større end 1, der har en forskel på 1. Umiddelbart finder vi, at 3-3 = 1 er et eksempel på dette. Det er ikke lykkedes at finde andre, og først i 003 lykkedes det (måske) en matematiker at bevise, at der ikke findes andre det er den såkalte Catalans formodning. Kvadrattal er de simpleste potenser. Nogle af dem optræder som hele sider i retvinklede trekanter i Pythagoras sætning. Vi har fx, at = 5, = 13, = 17. Findes der kubiktal (3.potenser) på tilsvarende måde, dvs. findes der hele tal a, b og c så a 3 + b 3 = c 3? Man kan finde tal, der næsten passer: eller = 179 og 1 3 = = og 17 3 = , men der er ingen hele tal, der passer i ligningen, (se side 108). Vi begynder med at se på rødder, og går derefter over til en udvidelse af potensbegrebet, dvs. vi skal indføre potenser med eksponenter, der er 0 eller negative og endda kan være brøker. Det viser sig, at potenser og rødder i en vis forstand er det samme, fordi rodstørrelser kan udtrykkes som potenser. Vi demonstrerer, hvordan man løser simple ligninger, der indeholder rødder og potenser, og endelig ser vi på visse former for talskrivning, nemlig antal betydende cifre, eksakt værdi og eksponentiel notation.

95 3. Rødder og potenser 95 RØDDER Vi skal her se på rødder, dvs. kvadratrødder, kubikrødder og rødder med højere rodeksponenter (forklares nedenfor). Derefter ser vi på potenser, og de regneregler der gælder for disse. Vi minder om definitionen på kvadratroden af et positivt tal: DEFINITION Kvadratroden af et ikke-negativt tal a er det ikke-negative tal, hvis andenpotens er a, dvs. for a 0 gælder a = b b = a. Læg mærke til, at det tal, vi tager kvadratroden af, ikke må være negativt. Desuden er resultatet positivt eller 0. Således er 36 = 6, fordi 6 er positiv, og 6 = 36, 0 = 0, fordi 0 er ikke negativ, og 0 = 0, 30 = 17, , fordi 17, er positiv, og 17, = 30. På lignende måde definerer vi kubikroden af et tal: DEFINITION Kubikroden af et tal a er det tal, hvis tredjepotens er a. Her har vi ingen krav til tallet a det kan udmærket være negativt. Fx er 3 8 =, fordi 3 = 8, 3 58 = -3, , fordi (-3, ) 3 = -58. Negative tal i tredje potens er negative, fx (-) 3 = -8, (-0,7) 3 = -0,343. I almindelighed indfører vi den n-te rod af et tal ved hjælp af følgende definition:

96 96 3. Rødder og potenser DEFINITION n n n a > 0 : a er det positive tal, hvis n-te potens er a, dvs. a = b a = b. a = 0 : n a = n 0 = 0. a < 0 : Hvis n er lige, er Hvis n er ulige, er n a n a ikke defineret. det negative tal, hvis n-te potens er lig med a. n kaldes rodeksponenten, a er radikanden (latin: radix, rod) EKSEMPEL 1. I skemaet nedenfor ses forskellige eksempler på rødder, delt op efter fortegnet for a, og om n er lige eller ulige. n a n lige n ulige a > = = 1, = 7 45 = 1,76 a = = 0 0 = 0 a < 0 Ikke defineret 3 7 = = -6,1666 Vi skal senere se, at man med fordel kan beregne rødder som potenser ved hjælp af potensopløftning. REGNEREGLER FOR RØDDER Der gælder nogle regneregler for kvadratrødder, som vi anfører her uden bevis.

97 3. Rødder og potenser 97 SÆTNING 1 For ikke-negative tal a og b gælder a a a b = a b, = (b > 0). b b For alle reelle tal a gælder desuden a = a. EKSEMPEL. Efter den første regneregel gælder fx 3 1 = 36 = 6. Denne regel skal vi bruge, når vi vil sætte en faktor uden for rodtegnet. Vi har fx 7 = 36 = 36 = 6 og 45 = 9 5 = 9 5 = 3 5. Tilsvarende kan vi sætte en faktor ind under rodtegnet: 4 3 = 16 3 = 16 3 = 48 og 3 7 = 9 7 = 9 7 = 63. Desuden kan vi reducere udtryk, der indeholder flere kvadratrodsstegn: Specielt er og 18 = 18 = 36 = 6= = = 5 5, 7 = = 7 7= = 5 5 = 5 5 og 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7= 49. Vi kan ikke lægge kvadratrødder sammen ved hjælp af en regneregel. Således er = 5 = 5, men = = 7.

98 98 3. Rødder og potenser Læg desuden mærke til den vigtige regel a a = afor a 0, fordi a er det (ikke-negative) tal der ganget med sig selv giver a. Ved at dividere med a på begge sider af lighedstegnet fås følgende regel: a = a a a = a. a EKSEMPEL 3. Division af rødder foregår efter reglen sådan: = = = 5, = = = 5 =

99 3. Rødder og potenser 99 SKÅLVÆGTEN En skålvægt har to skåle. Der må kun lægges lodder på den ene skål. Den genstand som skal vejes, anbringes på den anden skål. Forklar, hvorfor gramlodder på 1,, 4, 8, 16,... er tilstrækkeligt til at veje enhver genstand (der vejer et helt antal gram) på den anden skål. Angiv, hvilke lodder der skal bruges, hvis genstanden på den ene skål vejer 86 g. Hvad har dette med -talssystemet at gøre? Genstanden, der skal vejes, anbringes på den ene skål. Hvis det nu er tilladt at anbringe lodder på begge skåle (altså også lodder sammen med den genstand, der skal vejes), kan man spørge om, hvilke lodder, man i så fald kan klare sig med. Prøv at betragte gramlodder med vægte på 1, 3, 9, 7, 81,... (dvs. 3 0, 3 1, 3, 3 3, 3 4,...). Hvordan kan man ved hjælp af disse veje en genstand på 3 g? Skriv en tabel op over, hvordan man veje genstande på 1,, 3,..., 18, 19, 0 g (på højre vægtskål) ved at angive hvilke lodder der skal anbringes på højre og venstre vægtskål. Fx kan man veje en genstand på 15 g på højre vægtskål ved at anbringe lodderne på 3 g og 9 g på højre vægtskål sammen med genstanden og loddet på 7 g på venstre skål. Fig. 1

100

101 3. Rødder og potenser 101 POTENS MED IKKE-POSITIV EKSPONENT Vi skal indføre potenser, hvor eksponenten er negativ eller 0, dvs. vi vil se på tal som 4-4, 3,6 0, (-7) 5 13, 5, og finde ud af hvordan en fornuftig definition af disse kan se ud, når vi ønsker, at potensregnereglerne i sætning skal være gyldige, også for eksponenter, der er negative eller 0. Hvis vi kræver at regel 1 skal gælde, får vi ved at sætte m = 0, at der for a 0 gælder a n a 0 = a n+0 = a n, så a 0 = 1. Hvis vi igen benytter regel 1 med to modsatte hele tal n og n, får vi ved at benytte, at a 0 = 1, at a -n a n = a -n+n = a 0 = 1, a -n a n = 1 a n = a 1 n. Da vi ønsker at potensregnereglerne også skal gælde for eksponenter, der er negative eller 0, må vi altså fremsætte følgende definition: DEFINITION For alle reelle tal a 0 og n hel er a 0 = 1, a n = 1. a n EKSEMPEL 4. Ved brug af definitionerne kan vi udregne følgende potenser = =, ( ), = = ( 3) 4 3 9, 9 16 = = ( ) = ( ) , 4 = = = 15, 65, ( 3) = 04, 0, 064 ( 3) =. 81

102 10 3. Rødder og potenser Negative eksponenter bruges især for potenser med 10 som grundtal, når man vil angive meget små tal. Fx er 10-4 = 1 = 1 = 0, 0001, 10 - = = = 001, og 0,0007 = 7, Denne måde at skrive små tal på, kaldes eksponentiel notation. POTENS MED BRØKEKSPONENT Vi har netop udvidet potensbegrebet, så regnereglerne for potenser også gælder for hele eksponenter, der er negative eller 0. Vi skal nu foretage yderligere en udvidelse, idet vi vil se på potenser, hvis eksponenter er brøker. Vi skal altså se på potenser som 376, 1 5 5, 7 3, 0, 54, ( 1 ) 4, I disse tilfælde skal grundtallet være positivt. STAMBRØK SOM EKSPONENT Vi ser først på det tilfælde at eksponenten er en stambrøk, dvs. en brøk med tælleren 1. Eksponent 1 1 Vi vil bestemme, hvad potensen a skal betyde. Vi ønsker fortsat, at potensregnereglerne skal gælde - også for potenser med rational eksponent. Vi får efter regel 5, at a 1 ( ) = a 1 = a 1 = a. 1 Da altså a er et positivt tal, der i. potens giver a, er det fornuftigt at vedtage, at 1 a = a.

103 3. Rødder og potenser 103 Eksponent Dernæst ser vi på potensen a 3. Vi går frem på samme måde som før og udregner: a ( ) = a1 = a. 1 Da a 3 altså er et tal, der opløftet til 3. potens giver a, sætter vi a = a. Eksponent 1 n I almindelighed kan vi åbenbart som ovenfor udregne 1 a n n = a 1 1 n n = a så a = a. Dermed har vi defineret potenser med stambrøker som eksponent. DEFINITION Hvis n er positiv og hel, og a er positiv, sætter vi 1 n n a = a Når vi skal udregne rodstørrelser, sker det ofte ved at indtaste en potens - det er som regel simplere end at taste rødder. IKKE- STAMBRØK SOM EKSPONENT Nu ser vi på potenser, hvis eksponenter er brøker, der ikke er stambrøker. Vi betragter potensen a 3 4, og ved hjælp af denne finder vi en almindelig formel. Vi benytter regel 5 i potensregnereglerne: (a n ) m = a nm, og desuden benytter vi reglen for stambrøkseksponent: b = b.

104 Rødder og potenser CPR-NUMRE De danske CPR-numre (Det Centrale Person Register) er konstrueret således, at man kan kontrollere om et givet 10-cifret tal kan være et personnummer. Vi kan som eksempel se på personnummeret , som tilhører en mand født. juni De sidste fire cifre udgør løbenummeret, og hvis det sidste af disse fire cifre er ulige, er personen en mand, og hvis sidste sidste ciffer er lige, er personen en kvinde. Personer født i 1900-tallet har som det første ciffer i løbenummeret (dvs. det 7. ciffer i personnummeret) 0, 1,, 3 eller 4, personer født i 000 eller senere har som det første ciffer i løbenummeret 5, 6, 7, 8 eller 9 (de samme som personer født i 1800-tallet). Man kan kontrollere om et givet 10-cifret tal kan være et personnummer. Lad os se på tallet Vi danner tallet abcdef-ghij. 4a + 3b + c + 7d + 6e + 5f + 4g + 3h + i + 1j og dette tal skal være deleligt med 11, hvis tallet abcdef-ghij skal være et gyldigt personnummer. De tal, man ganger med kaldes vægtcifre. 4, 3,, 7, 6, 5, 4, 3,, 1 Kan tallet være et gyldigt personnummer? Vi udregner = 88, og da 11 går op i 88, er dette et gyldigt CPR-nummer. Vis, at ikke er et CPR-nummer. Yrsa kan huske de 9 første cifre i et personnummer: x. Vis at det sidste ciffer x kun kan være. Hvad kan der stå på a s plads, hvis a1 skal være et gyldigt CPR-nummer?

105 3. Rødder og potenser 105 Så kan vi nemlig regne sådan: På den anden side er jo også ( ). a = a = a a = ( a ) = a. 3 Altså har vi fundet, at der er to måder at skrive potensen a 4 på, nemlig 3 a = a = a 3. Samme regninger kan vi åbenbart foretage, hvis der er tale om en anden brøk end 3, så vi fremsætter følgende definition: 4 DEFINITION Hvis a er et positivt tal, og p er hel, og q er hel og positiv, sætter vi p q a = q p q a = a p. EKSEMPEL 5. Ved hjælp af definitionen på potenser med rational eksponent får vi ved at benytte, at 16 = 4, at = 16 = ( ) = = = = 8. Hvis eksponenten er en decimalbrøk, kan potensen også omformes til et rodudtryk: a 0,3 = a = a.

106 Rødder og potenser PIERRE DE FERMAT ( ) Fermat er født i Sydfrankrig og faderen var ret velstående, så Pierre fik en god skolegang. Han stilede mod en karriere inden for det offentlige, og blev i 1631 rådgiver (en slags jurist) ved parlamentet i Toulouse, et arbejde han udførte med stor akkuratesse og omhu. Han tilbragte resten af sit liv i Toulouse og beskæftigede sig i fritiden med matematik, men bortset fra et par enkelte artikler offentliggjorde han intet og afslørede intet om sine metoder. Nogle af hans mest opsigtsvækkende resultater blev først fundet efter hans død på løse papirlapper eller skrevet til i margen af værker, han havde læst og kommenteret. Fermat interesserede sig tilsyneladende mest for talteori og udarbejdede et værk om den græske matematiker Diofant fra antikken, og de noter og kommentarer, han gav hertil indeholder adskillige sætninger af stor elegance. De fleste af Fermats beviser er gået tabt, og det er sandsynligt, at de ikke alle har været strengt korrekte, men har bygget på gætteri og intuition. Fermat har lagt navn til Fermats lille sætning: Hvis p er et primtal og a et tal, som p ikke går op i, så er a p 1 1 delelig med p. Hvis p = 5 og a = 8, er delelig med 5. Vi har, at = 4095 = Hvis p = 13 og a = 6, er delelig med 13. Vi har, at = Fermats store sætning er langt vanskeligere og mere berømt: n n n Ligningen x + y = z har ingen hele løsninger x, y, z hvis n > er et helt tal. Denne sætning har været en af matematikkens store uløste problemer og er først bevist i 1995, se nedenfor.

107

108 Rødder og potenser FERMATS STORE SÆTNING Matematikken udvikler sig til stadighed og tusindvis af tidsskrifter bringer nye resultater hvert år. Imidlertid findes der nogle problemer, der er simple at fremsætte og forstå, men som tilsyneladende modstår enhvert forsøg på løsning. Et af de mest kendte problemer har først i nyeste tid fundet sin endelige løsning. Der findes uendelig mange retvinklede trekanter med heltallige sider. De opfylder alle Pythagoras ligning a + b = c, fx = 5, = 13, = 17. Ligningen a + b = c har altså uendelig mange løsninger (a,b,c) i hele tal. Man kan tilsvarende interessere sig for hele løsninger til ligningerne a 3 + b 3 = c 3, a 4 + b 4 = c 4 osv. Det har ikke været muligt at finde hele løsninger til disse ligninger. Fermat fremsatte i 1637 i margen i sit eksemplar af bogen Arithmetica følgende berømte kommentar: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere Det er umuligt at dele en kubus i en sum af to kuber, en fjerdepotens i en sum af to fjerdepotenser og i almindelighed en hvilken som helst potens større end to i en sum af to tilsvarende potenser Fermat mente at kunne bevise dette. Han tilføjede yderligere en kommentar i margen som skulle komme til at ride generationer af matematikere som en mare: cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. jeg har fundet et virkelig vidunderligt bevis for denne sætning, men denne margen kan ikke rumme det. Først over 350 år senere lykkedes det i 1993 efter mange års arbejde englænderen Andrew Wiles at bevise Fermats store sætning. Det var en sensation i den matematiske verden og skabte overskrifter i verdenspressen. Umiddelbart efter offentliggørelsen af beviset blev der afsløret visse mangler, og der fulgte en febrilsk aktivitet blandt en række matematikere, der stod Wiles nær. I 1995 var fejlene repareret. Vi kan altså gå ud fra, at en af matematikkens store gåder endelig er løst.

109 3. Rødder og potenser 109 Politiken

110 Rødder og potenser EKSEMPEL 6. Man kan ved hjælp af potensregnereglerne omforme rodudtryk, fx = 7 7 = 7 = 7 = 7 Også mere komplicerede brøker lader sig forenkle ved hjælp af potensregnereglerne: ( ) = ( ) = 3 5 = = = Hvis man er yderligere interesseret i reduktion kan man skrive videre: = 3 5 = 3 5 = 3 5. Sammensatte rodstørrelser klares også ved hjælp af potensregnereglerne: ( ) x = ( x ) = x = x = x LIGNINGER MED POTENSER OG RØDDER Vi får senere brug for at kunne løse visse typer af ligninger, hvor den ubekendte indgår i potens- og rodudtryk. Vi viser ved et par eksempler, hvordan dette kan foregå. EKSEMPEL 7. Vi løser nogle ligninger, hvor x indgår som grundtal i potenser og angiver løsningerne med 5 decimaler. Læg mærke til det dobbelte fortegn ± i forbindelse med lige eksponenter: x 7 7 = 385 x = 385 =,34073 x 6 6 = 4953 x = ± 4953 =± 4, 1868 x 3 3 = -98,7 x = 98, 7 = -4,6139.

111 3. Rødder og potenser 111 FORSKELLIGE MÅDER AT SKRIVE TAL PÅ De tal man får på cas, er ofte afrundet til et vist antal decimaler (som kan indstilles på forhånd). Der findes forskellige måder at angive tal på, som vi kort omtaler her. Betydende cifre For decimalbrøker taler man om antallet af betydende cifre. Således har 3, betydende cifre 0,00098 betydende cifre 34156, betydende cifre -3, betydende cifre 13,000 6 betydende cifre. Antallet af betydende cifre i et tal er antallet af cifre efter at eventuelt indledende nuller er sprunget over. For regning med tilnærmede talværdier gælder følgende regel: Når man regner med tilnærmede værdier, bør resultatet opgives med samme antal betydende cifre, som er indeholdt i dét af de opgivne tal, der har det mindste antal betydende cifre, dvs. 3,4798 0,83 =,89. Eksponentiel notation Man har af og til brug for at regne med tal tæt ved nul og med meget store tal. Produktet af alle de hele tal fra 1 til og med 15 betegnes 15!: 15! = Dette læses 15 udråbsegn eller 15 fakultet. Ved hjælp af cas får man 1, = , En lignende skrivemåde benyttes ved angivelse af tal, der ligger tæt ved 0. Således er 0, = 7, og 0, = 1, Eksakte værdier At angive et tal som en eksakt værdi betyder at angive det som en rodstørrelse, brøk eller på anden måde, så man i princippet kan udregne det med så mange decimaler, som man ønsker. Decimalbrøker er altså netop ikke eksakte tal. Eksakte tal er fx ,, π, 9 mens deres repræsentationer som decimalbrøker er tilnærmede værdier. 0, , 0, , 1,

112 11 3. Rødder og potenser EKSEMPEL 8. For x > 0 ser vi på ligningen: 5 x 3 3 = 1 eller x = 1. For at isolere x benytter vi regel 5 og opløfter til den reciprokke eksponent på begge sider af lighedstegnet 5 x 3 5 = x = 13 x= 1 3 = 6, 8978.

113

114

115

116 Rødder og potenser EKSPERIMENT 3 Potenser og den lille tabel. Vi ser på den lille multiplikationstabel og interesserer os for det øverste venstre hjørne. Fig. 5 Fig Indram et kvadratiske hjørne på fire tal i øverste venstre hjørne af tabellen (fig. 5). Hvad er summen af disse fire tal? Udregn ved at gange parenteser ud: (1 + ) (1 + ). Forklar, hvad det har med summen af de fire tal at gøre.. Indram nu på samme måde et kvadrat øverst til venstre med 3 x 3 tal og udregn summen af disse 9 tal. Udregn derefter ( ) ( ). 3. Hvordan kan man skrive summen af tallene i et kvadratisk udsnit af tabellens øverste venstre hjørne, hvis der i øverste række står tallene 1,, 3,..., n? 4. Du skal finde en formel for summen s = n. Forklar, hvordan man ved hjælp af fig. 6 kan udregne (1 + ), ( ), ( ), og find derved en formel for ( n). Skriv nu endelig en formel for summen s = n.

117 3. Rødder og potenser Skriv ved hjælp af formlen i punkt 4 en ny formel for summen i punkt 3 af tallene i et øvre venstre kvadrat af tabellen. 6. Vi skal se på en vinkel i tabellen som vist på fig. 7, hvor den fjerde vinkel er vist. Find summen af tallene i denne vinkel. Find også summen af tallene i den tredje vinkel og den femte vinkel. Hvilke tal tror du kommer frem som summer af den slags vinkler i tabellen? Fig Den fjerde vinkel er differens mellem to øvre kvadrater af den slags, vi har set på under punkt. Hvilke kvadrater drejer det sig om? 8. Skriv en formel for summen af tallene i den n-te vinkel i tabellen. EKSPERIMENT 4 A-papirformaterne. Alle kender formatet A4, som er et standardformat på papir. Det er 10 x 97 mm. Vi skal se nærmere på, hvordan dette format er opstået. Fig. 8

118 Rødder og potenser På fig. 8 er to stykker papir med målene cm og 0 15 cm ligedannede, dvs. de har samme form. Dette betyder, at forholdet mellem længderne af siderne for de to ark er det samme, altså 40 = 0. To ark papir med samme forhold mellem højde og bredde er af interesse, fordi tryk på det ene ark kan formindskes eller forstørres ved fotokopi, så man får det andet. Man kan ikke i dette tilfælde halvere det store stykke papir, og få to ark, der er ligedannet med det mindste. Halvering af det store ark ville give to ark med målene og her er forholdet mellem den lange og den korte sides længder 30, altså et andet end 0 det oprindelige Vi ønsker derfor at finde målene på et ark papir, så forholdet mellem den lange og den korte side bevares, når man halverer. På fig. 8 er dette anskueliggjort til højre. 1. Skriv en ligning op, der udtrykker at forholdet mellem den lange side h (højden) og den korte side b (bredden) for de to stykker papir er det samme.. Omskriv på ligningen og vis, at du får h= b. 3. Hvor mange procent (helt tal) er den lange side længere end den korte? Mål sidelængderne h og b på et ark A4, og vis, at vi faktisk har, at h= b. I det følgende regner vi i cm. Formatet A0 er efter en international konvention fra 1935 fastlagt, så A0 har et areal på 1 m, og så forholdet mellem højde og bredde er. 4. Omregn arealet for A0 til cm og find sidelængderne i cm, idet du benytter at h= b. 5. Tegn en skitse af et ark A0 og sæt mål på siderne. Del arket midt over så får man to ark af formatet A1. Skriv målene på format A1. Et ark A1 deles midt over og giver to ark af format A. Således fortsættes. Skriv målene på samtlige formater A3, A4 og A5. Kontrollér ved at måle et ark A4.

119 3. Rødder og potenser 119 KAPITELOVERSIGT 3 DEN N-TE ROD Hvis a er et reelt tal og n hel og positiv defineres n a sådan: Hvis a > 0, er Hvis a = 0, er n a n a det positive tal, hvis n-te potens er a. = 0. Hvis a < 0, og n er lige, er n a ikke defineret. Hvis a < 0, og n er ulige, er n a det negative tal, hvis n-te potens er a. REGNEREGLER FOR KVADRATRØDDER a b a b a a =, =, a = a. b b POTENSER 0 n n Specielle eksponenter : a = 1, a = 1, a = a, an = a. p q q p q Rational eksponent : a = a = a p a n 1 1 Regneregler for potenser : p q p+ q a a a a p q =, q = a. a p p p p a b = ab a a p = b ( ), b p q pq ( a ) = a. p p. LØSNING AF LIGNINGER q p p q x = a x= a.

120 10 3. Internet MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du udforske potensopløftning og roduddragning, og endvidere kan du arbejde med eksempler, øvelser og et eksperiment for at blive fortrolig med disse regneoperationer. Her finder du også en omtale af begreberne betydende cifre, eksponentiel notation og eksakte værdier. Endvidere er der en oversigt over regneregler for kvadratrødder og potenser samt løsning af ligninger. Med små regnemaskiner kan du udforske eksempelvis roduddragning. Betegnelser i forbindelse med fx roduddragning kan kaldes frem.

121 3. Internet 11 Du kan øve dig i at løse simple potensligninger. Går du i stå kan et klik på Hjælp -knappen bringe dig videre. En lidt sværere øvelse men hjælpen er nær!

122 1 3. Internet Man kan uddrage en rod af et negativt tal, når blot rodeksponenten er et ulige tal.

123 4 TRIGONOMETRI

124 Ordet trigonometri betyder trekantmåling. Polygoner (mangekanter) med mere end tre sider kan trianguleres, dvs. deles op i trekanter, ved hjælp af diagonaler, så sider og vinkler også i polygoner i nogle tilfælde kan beregnes. Trigonometri har en lang historie som afgørende hjælpemiddel til landmåling og benyttedes til fremstilling af nøjagtige landkort over Europa i begyndelsen af 1800-tallet. Desuden var trigonometriske beregninger helt nødvendige for, at de store sejlskibe under opdagelsesrejserne i og 1500-tallet kunne bestemme deres nøjagtige position på oceanerne ved observation af stjernernes og solens højde over horisonten. Vi skal først se på ensvinklede trekanter og forholdet mellem deres sider. Det viser sig, at dette er nøglen til at beregne vinkler i retvinklede trekanter. Til at beregne stykker (dvs. sider og vinkler) i skæve trekanter udvikles de to formelsystemer sinusrelationerne og cosinusrelationerne. Desuden angives en formel til bestemmelse af en trekants areal.

125 4. Trigonometri 15 ENSVINKLEDE TREKANTER To trekanter kaldes ensvinklede eller ligedannede, hvis de har samme form, dvs. hvis deres vinkler er parvis lige store. Den ene trekant fås i så fald af den anden ved en forstørrelse eller formindskelse med et tal, der kaldes målestoksforholdet. På fig. 1 ses to ensvinklede trekanter, ΔABC og ΔDEF. Her er A = D, B = E og C = F. Fig. 1 Længderne af siderne i trekanterne betegnes med små bogstaver svarende til den vinkel, de ligger overfor, dvs. siden a ligger over for vinklen A, b over for B osv. To sider, der ligger over for lige store vinkler, kaldes ensliggende. På figuren er b og e ensliggende, a og d er ensliggende, og c og f er ensliggende. Den egenskab, vi skal benytte ved ensvinklede trekanter, fremgår af følgende: SÆTNING 1 I ensvinklede trekanter er forholdet mellem ensliggende sider konstant. Man siger, at ensliggende sider er proportionale. På fig. 1 er som nævnt ΔABC og ΔDEF ensvinklede, så der gælder, at a d = b c e =, f

126 hvilket også kan skrives sådan: BC EF AC AB. DF DE Her angiver lodrette streger længder af de pågældende linjestykker (sider). På fig. 1 er dette forhold lig med 3, fordi siderne i ΔABC er 3 af siderne i ΔDEF. Man kan også sige, at siderne i ΔDEF er 1 1 gang så lange som siderne i ΔABC. Vi ser på et par ensvinklede trekanter, hvoraf nogle af sidernes længder er opgivet, se fig., og vil finde længderne af siderne a og e. Vi finder, at a d b c a e f 665 e 710, Fig. og danner en ligning af den første og den sidste brøk, og ganger over kors: a a a På samme måde kan vi bruge de to sidste brøker: e e 55. e

127 4. Trigonometri 17 SINUS OG COSINUS Vi begynder med at se på to trigonometriske størrelser, sinus og cosinus. De er indbygget i cas som SIN og COS. ENHEDSCIRKLEN Vi ser på en cirkel med centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) og med radius 1 (fig. 3). Denne cirkel kaldes enhedscirklen. Desuden er der givet en vinkel med gradstørrelsen v, som vi anbringer med toppunkt i (0,0) og med højre ben ud ad x-aksens positive del. Vinklens venstre ben skærer enhedscirklen i et punkt P v, som kaldes vinklens retningspunkt. Fig. 3 DEFINITION Cosinus til en vinkel v er x-koordinaten til retningspunktet P v, skrives cosv. Sinus til en vinkel v er y-koordinaten til retningspunktet P v, skrives sinv. Koordinaterne til retningspunktet P v er altså P v (cosv, sinv). På fig. 3 er tallene cosv og sinv markeret på x-aksen og y-aksen. På figuren er v valgt til 53, og ved hjælp af cas fås, at P har koordinaterne P 53 (cos53, sin53 ) = (0,6018 ; 0,7986). Desuden er vinklen w med retningspunktet Q w valgt til 144, så Q w har koordinaterne Q 144 (cos144, sin144 ) = (-0,8090 ; 0,5878).

128 18 4. Trigonometri EKSEMPEL. Hvis vi om en vinkel mellem 0 og 90 får oplyst, at sinv = 0,75, kan vi ved hjælp af cas finde vinklen med SIN -1 : v = sin -1 (0,75) = 48,59. Hvis vi udstrækker vinkelområdet til [0 ;180 ] findes endnu en vinkel w, så sinw = 0,75, nemlig w = ,59 = 131,41. Situationen ses på fig. 4 og 5. Fig. 4 Fig. 5 OMLØBSRETNING Hvis enhedscirklen gennemløbes fra punktet E (1,0) mod uret, siger vi, at cirklen gennemløbes i positiv omløbsretning. Hvis det sker den modsatte vej, er omløbsretningen negativ. Fig. 6

129 4. Trigonometri 19 Efter omløbsretningen kan vi regne vinkler med fortegn. På fig. 6 har vi afsat vinkler med retningspunkter P, Q, R og S. Retningspunktet Q for vinklen på -74 er også retningspunkt for en vinkel på = 86. Tilsvarende er S også retningspunkt for en vinkel på = 8. Vi har altså fx cos(-74 ) = cos86, sin(-13 ) = sin8. GRUNDRELATIONEN For en vilkårlig vinkel v ligger retningspunktet P v med koordinaterne (cosv, sinv) på enhedscirklen (fig. 7). Projektionen af P v på x-aksen danner sammen med x-aksen og den lodrette linje gennem P v og linjen OP v en retvinklet trekant, hvis hypotenuse har længden 1, og hvis kateter har længderne sin v og cos v. Vi bruger numerisktegn, fordi længder er positive, og sinv og cosv kan være negative. Fig. 7 Pythagoras sætning giver så sin v + cos v = 1 (sin v) + (cos v) = 1. Denne ligning kaldes grundrelationen, og vi skriver sådan: Grundrelationen : cos v + sin v = 1. TANGENS Vi indfører endnu en trigonometrisk størrelse, tangens, der forkortes tan. Den defineres sådan:

130 Trigonometri DEFINITION Ved tangens til en vinkel v forstås tallet tanv = sin v, cosv cosv 0. Her har vi forudsat, at nævneren cosv ikke er 0. Hvis en vinkels retningspunkt på enhedscirklen falder i et af punkterne P (0,1) eller Q (0,-1), svarende til vinkler på henholdsvis 90 og 70 (fig. 8), er cosv = 0, så vi forudsætter, at v ikke antager nogen af disse værdier. På enhedscirklen kan vi aflæse værdien af tanv for en given vinkel v. På fig. 9 er P retningspunkt for vinkel v, og vi forudsætter først, at P ligger i 1. kvadrant. Fig. 8 Fig. 9 Linjen OP skærer tangenten til enhedscirklen i E (1,0) i punktet T, og projektionen af P på x-aksen er F. Nu er ΔOPF og ΔOTE ensvinklede, så FP ET OF = sin v = cos v OE ET 1 ET cosv = sin v ET = sin v = tan v. cos v

131 4. Trigonometri 131 Heraf ses, at det stykke, som vinklen v afskærer af tangenten i (1,0) til enhedscirklen, er lig med tanv. Koordinaterne til T er altså (1,tanv). Så ser vi på det tilfælde, at retningspunktet P ligger i. kvadrant (fig. 10). Fig. 10 Linjen OP skærer igen tangenten i (1,0) i punktet T. Igen er ΔOPF og ΔOTE ensvinklede, og da OF = cos v, PF = sin v, OE = 1, får vi ved samme regninger som ovenfor, at ET = tan v. Da ET = - tanv er positiv (det er en længde), er tanv negativ. Punktet T har igen koordinaterne (1,tanv). Hvis P ligger i 3. eller 4. kvadrant, går vi frem på samme måde. DEN RETVINKLEDE TREKANT Vi skal se på, hvordan vi kan beregne sider og vinkler i en retvinklet trekant, hvis nogle af dem er kendt. Sider og vinkler i en trekant kaldes under ét for stykker i trekanten.

132 13 4. Trigonometri Fig. 11 Vi ser på en retvinklet ΔABC, hvor C = 90. Kateternes længder er a og b, og hypotenusens er c. Trekanten anbringes i koordinatsystemets første kvadrant, så vinkel A falder i (0,0) og den rette vinkel C på x-aksens positive del (fig. 11). Siden AB eller dens forlængelse skærer enhedscirklen i P, og projektionen af P på x-aksen er Q. Af hensyn til overskueligheden er ΔAPQ flyttet ud. Da P er retningspunkt på enhedscirklen for vinklen A, er koordinaterne til P (cosa,sina), dvs. PQ = sin A, AQ = cos A. Desuden er AP = 1, fordi AP er radius i cirklen. Nu er ΔAPQ og ΔABC ensvinklede, så deres sider er proportionale, dvs. PQ BC AQ AP = =. AC AB Heri indsættes længderne af siderne: sin A cos A = = 1 a b c. Ligningen bestående af den første og den sidste brøk kan bruges til at finde sina: sin A sin A = 1 sin a. a c a = a 1 a c A= c

133 4. Trigonometri 133 På samme måde kan de to sidste brøker bruges til at finde cosa: cos A cos A = 1 cos b. b c b = b 1 b c A= c Af de to sidste formler kan vi finde tana ved hjælp af definitionen på tan: tana = sin a A c = = a c = a. cos A c b b Vi har hermed vist følgende sætning: b c SÆTNING I den retvinklede ΔABC gælder sina = a c, cosa = b c, tana = a b. Hvis vi var gået ud fra vinklen B, havde vi tilsvarende fået I en trekant kaldes sinb = b c, cosb = a c, tanb = b a. en side og en vinkel hosliggende, hvis siden er et af vinkelbenene, en side og en vinkel modstående, hvis de ligger over for hinanden (dvs. hvis siden ikke er et af vinkelbenene). Således er a og A modstående, b og B modstående a og B hosliggende, b og A hosliggende.

134 Trigonometri LEONHARD EULER ( ) Leonhard Euler er født i Schweiz og en af alle tiders mest produktive matematikere. Han var et fremmeligt barn med anlæg for sprog, han havde en glimrende hukommelse og var fremragende til hovedregning. Euler gik på universitetet i Basel og studerede ikke blot matematik, men også jura og filosofi. Derefter gik han i gang med at studere teologi for at blive præst, men interessen for matematik vandt. Euler blev ansat ved det nyoprettede Akademi i St. Petersborg i 177. En af hans tidligere triumfer var at bestemme summen af den uendelige række n Flere fremtrædende matematikere havde ikke formået at finde summen, men i 1735 lykkedes det Euler at vise, at summen er 1 π. 6 I 1738 mistede Euler synet på højre øje, sandsynligvis på grund af en forudgående infektion. Han gigantiske matematiske produktion fortsatte imidlertid med uformindsket styrke. Frederik den Store af Prøjsen inviterede i 1741 Euler til at komme til Tyskland for at blive medlem af det nystiftede Akademi i Berlin, en indbydelse, Euler tog imod. Imidlertid faldt han ikke til i Berlin og rejste i 1766 igen til St. Petersborg, hvor man bød den nu verdenskendte matematiker velkommen tilbage. Synet på hans raske øje svandt imidlertid, og i 1771 var han næsten fuldkommen blind. Euler lod sig ikke slå ud, men fortsatte sin matematiske produktion til sin død i Euler efterlod sig en matematisk arv af kolossalt omfang - akademiet i St. Petersborg fortsatte med at udgive hans skrifter endnu 48 år efter hans død. I dag er ca. 75 bind af hans Opera Omnia (samlede værker) udgivet - et projekt der begyndte i 1911, og endnu mangler adskillige bind af hans korrespondance og øvrige manuskripter at se dagens lys. Fig. 1

135 4. Trigonometri 135 Vi kan derfor også formulere sætning sådan: SÆTNING A I den retvinklede ΔABC gælder for sin, cos og tan til en af de spidse vinkler: sin(vinkel) = modstående katete hypotenusen, cos(vinkel) = hosliggendekatete hypotenusen tan(vinkel) = modstående katete hosliggende katete. EKSEMPEL 3. I den retvinklede ΔABC er kateten a = 4 og hypotenusen c = 7 (fig. 13). Fig. 13 Vi ønsker at bestemme vinklerne A og B samt kateten b. Først benyttes Pythagoras sætning: a + b = c b = c - a = = 33 b = 33 = 5,74. Så kan vi benytte formlen for sinus: a sin A= c = 4 7 A= 34, 85. Da A og B tilsammen er 90, er B = 90 - A = 90-34,85 = 55,15. Dermed er trekanten beregnet, fordi alle stykker (sider og vinkler) nu er kendt.

136 Trigonometri EKSEMPEL 4. Om den retvinklede ΔABC oplyses, at B = 6 og a = 9 (fig. 14). Fig. 14 Vi vil finde de ubekendte stykker A, b og c. Vi kan let finde den sidste vinkel: Benyttes tangens, fås A = 90 - B = 90-6 = 64 tanb = b a tan6 = b 9 b = 9 tan6 = 4, ,39. Nu kendes to af siderne i trekanten, så vi kan bruge Pythagoras sætning til at finde den tredje. Imidlertid kan vi også bruge sinus eller cosinus: sin A= a c sin 64 = 9 c c sin 64 = c 9 c c sin 64 = 9 c = 9 = 10, 01. sin 64 Pythagoras sætning giver naturligvis samme resultat: c = a + b = 9 + 4,38959 = 100,6850 c = 10,01. LIGEBENET TREKANT Beregning af vinkler og sider i ligebenede trekanter (dvs. trekanter, hvor to af siderne er lige lange) foregår ved at dele trekanten op i to ens retvinklede trekanter ved hjælp af højden fra topvinklen (fig. 15), og benytte, at de to vinkler ved grundlinjen er lige store. Fig. 15

137 4. Trigonometri 137 SINUS- OG COSINUSRELATIONERNE Vi har set, hvordan man kan beregne stykker i en retvinklet trekant, når visse af stykkerne er kendt på forhånd. Vi skal nu se på, hvordan stykkerne i en vilkårlig (skæv) trekant kan beregnes. Hvis man kender tre stykker i en trekant (som dog ikke må være de tre vinkler), kan man beregne de resterende stykker. SINUSRELATIONERNE I ΔABC trækker vi en af højderne h fx højden fra vinkel A (fig. 16). Fig. 16 Højdens fodpunkt på siden BC er D. Nu er ΔABD retvinklet, så efter sætning 1 gælder at sinb = h c h = c sinb, fordi h er den modstående katete til B, og c er hypotenuse i ΔABD. Arealet T af ΔABC fås nu til T = 1 a h = 1 a c sinb. Havde vi trukket en af de andre højder, kunne vi tilsvarende have fundet T = 1 b c sina og T = 1 a b sinc. Dette er vigtige formler, som vi samler i en sætning. SÆTNING 3 Arealet T af ΔABC kan findes som T = 1 b c sina = 1 a c sinb = 1 a b sinc.

138 Trigonometri Vi har altså nu ligningerne 1 b c sina = 1 a c sinb = 1 a b sinc, som vi ganger med : og dividerer med abc: b c sina = a c sinb = a b sinc, b c sin A a c B a b C A = sin = sin sin sin B abc abc abc a = = sin C. b c Dermed har vi vist følgende sætning: SÆTNING 4. Sinusrelationerne For en vilkårlig trekant gælder sinusrelationerne: eller sin A sinb sinc = = a b c a = b = c. sin A sinb sinc EKSEMPEL 5. I ΔABC er A = 43, B = 76 og a = 7. Vi vil beregne siderne b og c samt vinklen C (fig. 17). Fig. 17 Vi finder straks, at C = = 61.

139 4. Trigonometri 139 Derefter indsætter vi de kendte størrelser i sinusrelationerne: sin A sin B sin 43 sin 76 = =. a b 7 b Her er det praktisk at gange over kors: b sin43 = 7 sin76 b = 7 sin 76 = 9, 959. sin 43 Siden c findes ligeledes ved hjælp af sinusrelationerne: sin A sin C sin 43 sin 61 = a c = 7 c c sin 43 = 7 sin 61 = 7 sin 61 c sin 43 =,. Dermed er samtlige stykker i trekanten beregnet. Trekantens areal er T = 1 a b 1 sin C= 7 9, 959 sin 61 = 30, 486. Billeder viser afstands- og højdemåling i middel alderen. Fig. 19

140 Δ Δ Δ Δ Δ

141 4. Trigonometri 141 Vi kan her isolere enten cosa eller a. Vælges den første mulighed fås cosa = b + c a bc, () og vælges den anden fås a = b + c - bc cosa. (3) Formlerne () og (3) er en af cosinusrelationerne. Hvis vi havde brugt højden fra A eller C, havde vi fået tilsvarende formler. Med få ændringer kan beviset gennemføres også for stumpvinklede trekanter. Formlerne gælder derfor i alle trekanter. SÆTNING 5. Cosinusrelationerne I enhver trekant gælder cosa = b + c a eller a = b + c - bc cosa, bc cosb = a + c b eller b = a + c - ac cosb, ac cosc = a + b c eller c = a + b - ab cosc. ab EKSEMPEL 6. I ΔABC kendes alle tre sider (fig. 0), nemlig a = 4, b = 5 og c = 6. Fig. 0

142 Δ

143 4. Trigonometri 143 DET DOBBELTTYDIGE TILFÆLDE I de eksempler vi har set på ovenfor, fandt vi præcis én trekant, der havde de mål, der blev angivet. Hvis der fx er opgivet de tre sider, fandt vi i eksempel 5 netop én trekant med de angivne sider. Hvis der imidlertid er opgivet to sider og en ikke-mellemliggende vinkel, kan det tænkes, at der findes to trekanter med de opgivne mål. Det er også muligt, at der slet ikke findes nogen trekant, eller at der findes netop én. Vi viser ved et par eksempler, hvordan beregningerne foregår. EKSEMPEL 8. I ΔABC får vi opgivet, at A = 9, b = 13, a = 9. Vi kan konstruere trekanten ved at afsætte et linjestykke med længde 13 (siden b). Endepunkterne af linjestykket er A og C (fig. 4). Så tegnes vinkel A på 9 med AC som det ene ben, og derefter anbringes passerspidsen i C, og der trækkes en cirkelbue med radius 9. Cirkelbuen skærer det andet vinkelben i vinkel A to steder, i punkterne B 1 og B. Fig. Dermed har vi fået to trekanter med de opgivne mål på A, b og a, nemlig ΔAB 1 C og ΔAB C, og vi vil nu beregne de ukendte stykker i dem begge (fig. 5). Fig. 3

144 Trigonometri Vi benytter cosinusrelationen og får a = b + c bc cosa 9 = 13 + c 13 c cos 9 0 = c 6 c cos 9 c, 7401c+ 88 = 0. Denne andengradsligning i c har løsningerne c = 17,79 og c = 4,95. På fig. er altså AB 1 = 4,95 og AB = 17,79. Først beregner vi ΔAB 1 C. Vi kender alle tre sider, så vi kan bruge cosinusrelationen: Derefter er cos B, 1 = B,. 4, = C = ,45-9 = 15,55. Derefter beregner vi ΔAB C. På fig. er CB B 1 = ,45 = 44,55. Nu er ΔCB 1 B ligebenet, så vi også har at B = 44,55. Men så er C = ,55 = 106,45. EKSEMPEL 9. Det kan som nævnt tænkes, at der kun fremkommer én trekant af de opgivne stykker. Hvis det fx opgives, at A = 9, b = 13, a = 14, og vi igen foretager konstruktionen som nævnt i eksempel 9, vil cirkelbuen med centrum C og radius 14 kun skære vinkelbenet i ét punkt B (fig. 6 til venstre). Vi får igen ved cosinusrelationerne: a = b + c bc cosa 14 = 13 + c 13 c cos 9 0 = c 6 c cos 9 c, 7401c 7 = 0.

145 4. Trigonometri 145 Fig. 4 Denne andengradsligning har løsningerne c = 3,87 og c = -1,13. Her kan selvfølgelig kun den første bruges. I trekanten har vi de tre sider og får Så er cos C= , 87 C= 14, B = ,3-9 = 6,77. Der er også den mulighed, at cirkelbuen lige netop tangerer vinkelbenet i så fald bliver B ret. Endelig er der den mulighed, at cirkelbuen slet ikke er lang nok til at nå over til vinkelbenet. Det er fx tilfældet, hvis a = 5 (fig. 4 til højre). I dette tilfælde findes ingen trekant med de opgivne mål.

146 Trigonometri TILFØJELSER OG BEMÆRKNINGER STØRRELSESFORHOLD MELLEM SIDER OG VINKLER Lad os tænke os at vinklerne i den spidsvinklede ΔABC er navngivet sådan, at A < B < C. Så er også sina < sinb < sinc, fordi vi på enhedscirklen kan se, at større og større vinkler (mellem 0 og 90 ) giver større og større sinus-værdier. I sinusrelationen sin A sin B sin C = = a b c har de tre brøker samme værdi. Da tællerne vokser mod højre, må også nævnerne gøre det, så a < b < c. Vi har altså at der i enhver spidsvinklet trekant gælder, at over for en større vinkel ligger en større side. Hvis ΔABC er stumpvinklet, er det klart, at den største (stumpe) vinkel ligger over for den største side. For de to spidse vinkler kan argumentet ovenfor bruges. Derfor gælder den nævnte sammenhæng mellem vinkler og sider for enhver trekant.

147 4. Trigonometri 147 HISTORISKE BEMÆRKNINGER Den græske filosof Thales fra Milet (ca. 65- ca. 547 f. Kr.) siges at have gjort brug af ensvinklede trekanter til at bestemme højden på Cheopspyramiden i Ægypten ved at sammenligne længden af dens skygge med længden af den skygge, en stok af kendt længde kastede. Fig. 5 Det første forsøg på at beregne Jordens omkreds blev gjort af Erathostenes (ca. 76 ca. 194 f. Kr.) fra Alexandria i Nordægypten ved Nilens udmunding i Middelhavet. Han havde hørt, at Solen ved midsommer stod i zenith (dvs. lodret over hovedet) i Syene (nu Aswan) længere oppe ad Nilen, se fig. 5. I det noget nordligere beliggende Alexandria, A, dannede solstrålerne imidlertid en vinkel på 7, med lodret. Da afstanden mellem Syene og Alexandria efter Eratostenes beregninger var 5000 stadier (datidens måleenhed), svarer 5000 stadier til 7,. Da 7, er 50 1 af en hel cirkel på 360, ræsonnerede Erathostenes korrekt, at så måtte Jordens omkreds være 50 gange afstanden mellem de to byer, dvs = stadier. I dag er der delte meninger om, hvad en stadie egentlig var. Regner man med 160 m, får man at Jordens omkreds efter Erathostenes skulle være ,16 km = km. Det er klart, at tallet varierer, alt efter hvor lang en stadie er, og forskerne er som nævnt ikke sikre på den korrekte længde. Erathostenes vurderede afstanden mellem Syene og Alexandria efter den tid, det tog en kamelkaravane at tilbagelægge afstanden: 5 dage - eller 0 dage, hvis kamelerne var hurtige. Erathostens 5000 stadier blev af andre samtidige anslået til

148 Trigonometri 4530 stadier - og vi har ingen mulighed for at fastslå, hvilken måling Erathostenes brugte. Nu om stunder véd vi, at Jordens radius er 6378 km og dens omkreds derfor π 6378 = km. Erathostenes vurdering er derfor ganske imponerende også i betragtnig af, at erkendelsen af at Jorden har form som en kugle, i de følgende 1500 år gik tabt. I virkeligheden ligger Alexandria og Syene ikke på samme meridian (dvs. deres forbindelseslinje er ikke direkte nord-syd). Syene ligger ca. 3 øst for Alexandria en forskel, der i denne forbindelse dog ikke har den store betydning. I det. århundrede e. Kr. skrev den store matematiker og astronom Ptolemæus fra Alexandria en stor afhandling, Almagest, om alle astronomiens aspekter, og heri opstillede han en tabel over kordelængder i virkeligheden en sinus-tabel. Fig. 7

149 4. Trigonometri 149 Den tyske matematiker Bartholomaeus Pitiscus udgav i Heidelberg i 1595 en afhandling, hvor ordet trigonometri for første gang så dagens lys. Forvandlingen til moderne trigonometri skyldes for en stor dels vedkommende den store og berømte schweiziske matematiker Leonhard Euler ( ). I næsten hundrede år var Eulers Introductio in analysin infinitorum fra 1748 den helt dominerende lærebog i trigonometri og andre grundlæggende områder i matematikken. Trigonometriens historie (og den almindelige geometris) er desuden tæt knyttet til den tekniske udvikling i instrumentmageri. EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Et besynderligt puslespil. Tegn (fx på karton) et rektangel med målene 9 x 4 og skær det op i 4 brikker som vist på fig. 7. Læg derefter brikkerne sammen til et rektangel med målene 7 x 31 som vist. Fig. 7 Hvordan kan dette lade sig gøre, når 7 31 = 17, mens 9 4 = 16? (Vink: Beregn vinklerne v og w).

150 Trigonometri EKSPERIMENT En berømt spiral. Fig. 8 viser en del af den såkaldte kvadratrodsspiral. Her et ΔOAB ligebenet og retvinklet med kateter OA = AB = 1. Vinkelret på OB afsættes BC af længde 1, vinkelret på OC afsættes CD af længde 1 osv. Fig. 8 Beregn længden af linjestykkerne OB, OC, OD osv. Hvor mange trekanter skal der med i spiralen for at nå 180 rundt fra punktet A? Hvor mange, hvis man vil nå hele vejen rundt (360 )? EKSPERIMENT 3 Jordens omkreds. I fortsættelse af Erathostenes bestemmelse af Jordens omkreds (se tidligere) følger her en udvidet metode til at finde Jordens omkreds. På fig. 9 er A og C to byer på samme længdegrad, dvs. linjen CA er stik nord-syd (fx København og Rom). Vi går ud fra, at afstanden mellem byerne er kendt. O er Jordens centrum. På et bestemt tidspunkt af dagen sættes to stokke AB og CD lodret i jorden i byerne A og C.

151 4. Trigonometri 151 Fig. 9 Stokkene kaster skyggerne AE og CF. Vinklerne v og w er solhøjden i A og C, og disse vinkler måles, dvs. vinklerne mellem jordoverfladen (vandret) og sigtelinjen til solen. Pilene illustrerer den retning solstrålerne har. 1. Vis, ved at benytte, at vinkelsummen i en trekant er 180, samt at vinkler ved parallelle linjer er lige store, at vinklen x ved Jordens centrum netop er x = w - v. Find fx EBA, CDF, CGE, OGE.. Da x er forskellen i breddegrad mellem de to byer, kan Jordens omkreds k nu udregnes. Gør nemlig rede for, at der gælder AC k x = 360. EKSPERIMENT 4 Vinkel mellem to linjer. Hvis vi har tegnet to rette linjer i koordinatsystemet, kan vi være interesseret i at finde en af vinklerne mellem dem. Lad linjerne have ligningerne y = 3x - 3 og y = - 1 x + 4. Vi ser på fig. 30, hvor forholdene omkring skæringspunktet A er tegnet. Fra skæringspunktet går vi 1 enhed til højre til B og tegner en lodret linje, der skærer linjerne i C og D.

152 15 4. Trigonometri Fig. 30 Fig Forklar, hvorfor de to lodrette linjestykker BD og BC har længderne 3 og 1.. ΔABD og ΔABC er retvinklede. Benyt reglen for tangens til en vinkel i en retvinklet trekant til at finde vinklerne v og w. 3. Beregn en af vinklerne mellem linjerne. 4. Hvis linjerne har hældninger med samme fortegn, må man ændre fremgangsmåden med vinklerne v og w en smule. På fig. 31 er vist to linjer med hældninger 4 og 1. Forklar, hvordan man 3 kan finde en af vinklerne mellem disse, og gør det. Resultatet er 57, Find den spidse vinkel mellem linjerne med ligningerne 3x - y - 8 = 0 og x + 4y - 1 = 0.

153 4. Trigonometri Tegn linjen med ligningen y = 5 x - 3 i et koordinatsystem og find den spidse vinkel mellem linjen og x-aksen. Find derefter den spidse vinkel mellem linjen og y-aksen. EKSPERIMENT 5 Cosinusrelationen i en stumpvinklet trekant. Vi skal se, hvordan man beviser cosinusrelationen for en stumpvinklet trekant. Vi bruger betegnelserne på fig. 3. Her er A stump. Højden h fra C tegnes. Fodpunktet for højden h på siden AB er D. Vi betegner længden af AD med x. Læg mærke til, at højden falder uden for ΔABC. Vinklen mærket v på figuren kaldes nabovinklen til vinkel A i ΔABC. Vi har altså, at A = v. Fig. 3 På figuren med enhedscirklen ser vi, at cosu = -cos(180 - u), altså: To vinkler med summen 180 har modsatte værdier for cosinus. Derfor gælder cosa = -cosv, se figuren til højre. 1. Skriv Pythagoras sætning op for ΔBCD, og skriv Pythagoras sætning op for ΔCAD.. Træk den ene ligning fra den anden ligesom i beviset for det spidsvinklede tilfælde og få x til at gå ud. 3. I ΔCAD som er retvinklet benyttes, at cosv er den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Skriv dette op med figurens betegnelser.

154 Trigonometri 4. Isolér x i den ligning, der fremkommer. 5. Indsæt x i ligningen ovenfor i pkt.. 6. Isolér cosv. 7. Find cosa udtrykt ved siderne ved at bruge at cosv = -cosa. 8. Skriv konklusionen: Hvordan ser cosinusrelationen ud for stumpvinklede trekanter sammenlignet med spidsvinklede? EKSPERIMENT 6 Nogle eksakte værdier. Det viser sig, at der findes eksakte værdier for cos og sin af visse vinkler. Fig. 33 I. På fig. 33 er i enhedsscirklen til venstre tegnet en vinkel på 30 med retningspunktet P. Den lodrette linje gennem P skærer x- aksen i R og spejlbilledet af P i x-aksen er Q. 1. Hvor stor er QOR? Hvor stor er OPR og OQR? Hvilken slags trekant er ΔOPQ?. Hvor lang er siden PQ? Hvor lange er linjestykkerne PR og RQ? Hvilken af de to størrelser sin30 eller cos30 kan vi umiddelbart finde? Angiv denne.

155 4. Trigonometri Brug Pythagoras sætning i ΔORP til at finde den anden. Regn med eksakte tal, dvs. kvadratrødder. II. I midten på fig. 33 er tegnet en vinkel på 60. Sammenlign ΔOPR på den midterste figur med ΔPOR på figuren til venstre. 1. Hvad kan man sige om disse to trekanter i forhold til hinanden?. Angiv derefter sin60 og cos60 med eksakte tal. III. Til højre på fig. 33 er tegnet en vinkel på 45 med retningspunktet P. 1. Gør rede for. at trekant ΔOPR er ligebenet.. Benyt Pythagoras sætning til at finde siderne PR og OR. 3. Hvad er (med eksakte tal) sin45 og cos45? EKSPERIMENT 7 Nogle flere eksakte værdier. Vi kan finde eksakte værdier for cos og sin for andre vinkler end dem, vi nævnte i eksperiment 6. I. På fig. 34 er ΔABC retvinklet og ligebenet. På forlængelsen af CB afstættes D, så BD =. Fig Bestem AB og angiv derefter samtlige vinkler på figuren med forklaring. Beregn desuden længden af AD. Husk at regne med eksakte tal (kvadratrødder).

156 Trigonometri. Vis, at vi får sin,5 = Vis, at hvis denne brøk forlænges med sin,5 = Benyt grundrelationen til at vise at 5. Find endelig tan,5. cos,5 = 1 +., får man II. På fig. 35 er ABCD et kvadrat med sidelængde 1. Desuden er ΔBCE ligesidet. Fig Find samtlige vinkler på figuren, idet du benytter at ΔABE er ligebenet.. EF er vinkelret på AD. På figuren er ΔAEF tegnet ud i større målestok. Tegn højden fra E i ΔBCE. Beregn den eksakte værdi længden af denne højde. 3. Beregn derefter længden af EF og af AE. 4. Benyt den retvinklede ΔAEF til at bestemme eksakte værdier for cos15, sin15 og tan15. Det kan undervejs være en idé at forlænge en brøk med + 3.

157 4. Trigonometri 157 EKSPERIMENT 8 Højden af en pyramide. Af og til skal man bestemme højden af en bygning, som man ikke kan komme helt hen til. Vi ser på en af Ægyptens pyramider som vist på fig. 36 (dem kan man dog godt komme helt hen til!). Højden er h. På et tidspunkt kaster pyramiden skyggen x = PQ og solhøjden er v. Senere på dagen er skyggen blevet længere, nemlig PR og solhøjden målt i R er w. Fig Sæt HP = z, PQ = x, QR = y. Opskriv tanv i ΔAHQ og tanw i ΔAHR, udtrykt ved x, y, z og h.. Find i den første ligning z udtrykt ved h, x og tanv. 3. Isolér i den anden ligning h og indsæt udtrykket for z fra pkt.. 4. Isolér h og vis, at man får formlen h = y tan v tan w. tan v tan w 5. Hvor høj er pyramiden, hvis dens kvadratiske grundflade har sidelængden 30 m, solhøjderne måles til v = 33 og w = og afstandene måles til x = 110 m og y = 136 m? 6. Idet du kan regne med skævvinklede trekanter ( sinus- og cosinusrelationerne), er det ikke nødvendigt at holde sig til retvinklede trekanter. Vis, hvordan man så kan klare opgaven med højdebestemmelse af pyramiden, hvis man bruger tallene fra punkt 5.

158 Trigonometri EKSPERIMENT 9 Radius i trekantens omskrevne cirkel. Vi ser på en trekant, som vi for nemheds skyld antager spidsvinklet. Vi går i det følgende ud fra et par forudsætninger - de skal selvfølgelig være kendt på forhånd. Kender du dem ikke, kan du finde dem i mange lærebøger: Forudsætning 1. En vinkel med toppunkt på cirklen kaldes en periferivinkel. Man siger, at vinklen spænder over den bue på cirklen, som benenes skæringspunkter med cirklen afgrænser mellem sig. Forudsætning. Gradtallet for en periferivinkel er halvt så stort som gradtallet for den bue, den spænder over. Forudsætning 3. Der findes præcis én cirkel, der går gennem trekantens vinkelspidser. Den kaldes den omskrevne cirkel. Centrum for cirklen er midtnormalernes skæringspunkt. Du skal nu vise et par formler, der bl. a. skaber forbindelse mellem sinusrelationen og radius i trekantens omskrevne cirkel. Fig. 37 I den omskrevne cirkel tegnes en diameter fra en af vinkelspidserne, fx fra A, så AD er diameter (fig. 37). Punkterne C og D forbindes. Endelig tegnes højden h fra A med fodpunktet H på BC. 1. Forklar, hvorfor ABH = ABC = ADC.

159 4. Trigonometri 159. Forklar, hvorfor ACD er ret. 3. Gør rede for, at ΔAHB og ΔACD er ensvinklede. 4. Skriv forholdet mellem ensliggende sider op, og udled formlen bc = Rh. 5. Gang med a på begge sider, og benyt at h a = T, hvor T er trekantens areal, til at vise formlen abc = 4RT. 6. Indsæt i denne formel arealformlen T = 1 ab sin C og vis, at du efter en smule reduktion får c = R. sin C De brøker, der optræder i sinusrelationerne på den ene form, angiver altså diameteren i trekantens omskrevne cirkel. 7. Beregn radius i den omskrevne cirkel i en trekant, hvis sidelængder er 9, 45 og 53. Benyt derefter formlen i punkt 5 til at bestemme trekantens areal T.

160 Internet KAPITELOVERSIGT 4 COSINUS, SINUS, TANGENS (cosv,sinv) er koordinaterne til retningspunktet P v for vinkel v. tanv = sin v cos v, v 90, v 180. GRUNDRELATIONEN cos v + sin v = 1. DEN RETVINKLEDE TREKANT sin(vinkel) = modstående katete hypotenuse, cos(vinkel) = hosliggende katete hypotenuse, tan(vinkel) = modstående katete hosliggende katete SINUSRELATIONERNE sin A sin B sin C a = = b c eller a = b = c. sin A sin B sin C TREKANTENS AREAL T = 1 ab sinc = 1 ac sinb = 1 bc sina. COSINUSRELATIONERNE cosa = b + c a bc cosb = a + c b ac cosc = a + b c ab eller a = b + c - bc cosa. eller b = a + c - ac cosb. eller c = a + b - ab cosc.

161 4. Internet 161 BEREGNING AF STYKKER I DEN ALMINDELIGE TREKANT Opgivne stykker Beregningsmetode Eksempel De tre sider To sider og en mellemliggende vinkel To vinkler og en mellemliggende side To vinkler og en ikkemellemliggende side To sider og en ikkemellemliggende vinkel 1. Find to vinkler ved cosinusrelationerne. Vinkelsummen er Sidste side ved cosinusrelationerne. En vinkel ved cosinusrelationerne 3. Vinkelrummen er Vinkelsummen er 180. De to sidste sider ved sinusrelationerne 1. Vinkelsummen er 180. De to sidste sider ved sinusrelationerne Det dobbelttydige tilfælde. Benyt cosinusrelationen Eks. 6 Eks. 7 Eks. 5 Eks. 8 Eks. 9

162 16 4. Internet MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du til dette kapitel arbejde videre med ensvinklede og retvinklede trekanter samt sinus- og cosinusrelationerne, ligesom du kan prøve animationer, der definerer sinus, cosinus og tangens. Endvidere kan du eksperimentere med grundrelationen og udforske sammenhængen mellem sinus, cosinus og tangens. Animationen, der definerer tangens, gør det muligt, via nogle få klik, at vise tangenstangent, tangenspunkt og tangens til vinklen v. Det røde punkt, x kan bevæges via musen. Du kan bl.a. øve dig i trekantsberegninger, der involverer sinusrelationerne. Går du i stå kan du, ved at trykke Hjælp, få vist løsningen og samtidig se løsningstrekanten i animationen. Trekantens vinkelspidser kan bevæges med musen, og du kan se, at sinusrelationen gælder. Endvidere kan du få vist, hvorledes beregningerne indtastes på lommeregner.

163 5LINJER OG VEKTORER

164 Den såkaldte euklidiske plangeometri handler om linjer, punkter, trekanter, cirkler, vinkler osv., og går tilbage til antikkens Grækenland med Euklid (ca. 300 f. Kr.). Vi skal her se geometrien fra en anden synsvinkel, nemlig som analytisk geometri, der handler om tilknytning af koordinatsystemet til geometriske figurer. Koordinatsystemet gør så det muligt at regne på geometriske figurer ved hjælp af bogstavregning. Vi viser, hvordan man finder afstanden mellem to punkter i koordinatsystemet ved hjælp af afstandsformlen (som i virkeligheden blot er en anvendelse af Pythagoras sætning). Vi behandler forskellige typer af linjens ligning. Herefter indføres den elementære vektorregning med koordinater, regneregler og tværvektor og deres forbindelse med den rette linje.

165 5. Linjer og vektorer 165 KOORDINATSYSTEMET Et retvinklet koordinatsystem består af to tallinjer, koordinatakserne, der står vinkelret på hinanden i deres fælles nulpunkt som kaldes begyndelsespunktet eller origo. Det betegnes normalt med O. Den vandrette tallinje kaldes x-aksen eller 1.-aksen, den lodrette tallinje kaldes y-aksen eller.-aksen. Fig. 1 Hvis P er et punkt i koordinatsystemet projicerer vi (dvs. nedfælder vinkelret) P på de to akser i punkterne (tallene) x og y (fig. 1). Punktet P får koordinatsættet (x,y) eller blot koordinaterne (x,y). Koordinatakserne deler planen i fire kvadranter (fjerdedele): 1. kvadrant : punkter (x,y) hvor x > 0 og y > 0. kvadrant : punkter (x,y) hvor x < 0 og y > 0 3. kvadrant : punkter (x,y) hvor x < 0 og y < 0 4. kvadrant : punkter (x,y) hvor x > 0 og y < 0. Kvadranterne nummeres i den såkaldt positive omløbsretning, dvs. mod urvisernes gang på uret.

166 Linjer og vektorer AFSTANDSFORMLEN Vi skal her se på, hvordan man kan finde afstanden mellem to punkter i koordinaystemet, hvis man kender deres koordinater. SÆTNING 1. Afstandsformlen. Afstanden mellem punkterne A (x 1,y 1 ) og B (x,y ) er AB = ( x x ) + ( y y ). 1 1 Bevis. Vi skelner mellem to tilfælde: 1. Linjestykket AB ligger på skrå i koordinatsystemet. Linjestykket AB ligger parallelt med x-aksen eller y-aksen. Fig. Tilfælde 1. Vi skal bestemme længden af linjestykket AB, se fig.. Ideen er, at vi danner en retvinklet trekant, hvori Pythagoras sætning kan benyttes. Vi tegner de stiplede linjer gennem A og B parallelle med akserne. Linjernes skæringspunkt kaldes C. Nu har C samme x-koordinat som B og samme y-koordinat som A, så C har koordinaterne (x,y 1 ),

167 5. Linjer og vektorer 167 I Δ ABC er kateterne parallelle med koordinatakserne, så deres længder er forskellen mellem x-koordinaterne (vandret side) eller y-koordinaterne (lodret side). For at sikre at længderne bliver positive, benytter vi numerisktegn, så AC = x x1 og BC = y y. 1 Vi bruger nu Pythagoras sætning til et finde længden af hypotenusen AB: 1 1 AB = AC + BC AB = x x + y y. Altså får vi længden af linjestykket AB til 1 1 AB = x x + y y = ( x x ) + ( y y ). (1) 1 1 Vi har under kvadratrodstegnet benyttet, at ved kvadrering af en numerisk værdi kan man slette numerisktegnet. Fig. 3 Tilfælde. Vi tænker os, at AB er parallel med y-aksen (fig. 3). Længden af AB er AB = y y1. Vi vil vise, at også i dette tilfælde gælder formlen (1) ovenfor. Det gøres ved at vise, at udtrykket til højre i (1) giver y y. Da x 1 = x, er x - x 1 = 0, så formlen (1) giver 1 AB = ( x x ) + ( y y ) = 0 + ( y y ) = ( y y ) = y y 1, 1 og det er det ønskede

168 Linjer og vektorer Hvis linjestykket AB er parallelt med x-aksen, kan vi gå frem på tilsvarende måde. Formlen gælder altså også for lodrette og vandrette linjestykker. EKSEMPEL 1. Vi vil bestemme afstanden mellem punkterne A (8,3) og B (-1,7). Vi sætter (x 1,y 1 ) = (8,3) og (x,y ) = (-1,7), indsætter i afstandsformlen og får (fig. 4): AB = ( 1 8) + ( 7 3) = ( 9) + 4 = 97 = 9, 85. Fig. 4 Tilsvarende er afstanden mellem P (7,5) og Q (-,5) PQ = ( 7) + ( 5 5) = ( 9) + 0 = 81 = 9. I dette tilfælde er PQ vandret, så den afstand kunne vi have fundet lettere: PQ = 7 ( ) = 9 eller PQ = 7 = 9.

169 5. Linjer og vektorer 169 EKSEMPEL. Vi vil afgøre, om den trekant, der er udspændt af punkterne A (-1,), B (4,6) og C (5,-1), er ligebenet (fig. 5). Fig. 5 Vi finder siderne: AB = ( 4 ( 1)) + ( 6 ) = = = 41 BC = ( 6 ( 1)) + ( 4 5) = 7 + ( 1) = = 50 AC = ( 1 ) + ( 5 ( 1)) = ( 3) + 6 = = 45. Trekanten er altså ikke ligebenet. LINJENS LIGNING En ret linje har i koordinatsystemet en ligning af typen Dette betyder at y = ax + b. alle punkter på linjen har koordinater, der passer i ligningen, og ingen punkter uden for linjen har koordinater, der passer i ligningen.

170 Linjer og vektorer Tallet a kaldes hældningskoeffcienten, og desuden skærer linjen y-aksen i (0,b). Dette skyldes, at punktet (x,y) = (0,b) passer i ligningen: b = a 0 + b. På fig. 6 er en række rette linjer tegnet, og deres ligninger er angivet. Fig. 6 HÆLDNING For hældningskoefficienten a (eller hældningen, som vi blot siger) gælder, at hvis a > 0, forløber linjen opad mod højre, hvis a < 0, forløber linjen nedad mod højre, hvis a = 0, er linjen parallel med x-aksen.

171 5. Linjer og vektorer 171 Hvis a = 0, fås en linje parallel med x-aksen. Den har ligningen y = b, hvor b er det tal, hvori linjen skærer y-aksen. En linje parallel med y-aksen har ligningen x = c, hvor c er det tal, hvori linjen skærer x-aksen. En linje parallel med y-aksen har ingen hældning Linjer med samme hældning er parallelle Hældningen for en linje angiver hvor meget y-værdien vokser, hvis x-værdien vokser med 1. På fig. 8 svarer y 1 til værdien x så y 1 = ax + b. Fig. 7 Fig. 8

172 17 5. Linjer og vektorer Går vi 1 enhed til højre til tallet x + 1, får vi y-værdien y og y = a(x + 1) + b. Forskellen mellem de to y-værdier er y - y 1 = a(x + 1) + b - (ax + b) = ax + a + b - ax - b = a, altså netop hældningen. LINJE GENNEM TO PUNKTER Vi vil bestemme hældningen for en linje, der går gennem to punkter med kendte koordinater. Vi viser følgende sætning: SÆTNING Hvis A (x 1,y 1 ) og B (x,y ) er to punkter på en ret linje, der ikke er lodret, er hældningen a bestemt ved formlen a = y y 1. x x 1 Bevis. Linjens ligning er y = ax + b, og netop de punkter, der ligger på linjen, har koordinater, der passer i ligningen. Da A og B ligger på linjen, (fig. 9), passer kordinatsættene (x 1,y 1 ) og (x,y ) i ligningen: y 1 = ax 1 + b og y = ax + b. Fig. 9

173 5. Linjer og vektorer 173 Vi trækker den første ligning fra den sidste og får y - y 1 = ax + b - (ax 1 + b) y - y 1 = ax - ax 1 y - y 1 = a(x - x 1 ) a = y y 1 x x, 1 og det er netop, hvad vi ville vise. Læg mærke til, at vi i den sidste ligning har divideret med tallet x - x 1 på begge sider af lighedstegnet. Dette tal er nemlig ikke 0, fordi x 1 og x er forskellige tal vi har jo forudsat, at linjen ikke er lodret. EKSEMPEL 3. Vi ser på linjen gennem A (-1,3) og B (4,5) og linjen gennem C (-,6) og D (7,-1). Deres hældninger er: linjen AB : 5 3 =, linjen CD : 6 ( 1 ) = 7 = 7. 4 ( 1) Fig. 10 LINJENS LIGNINGER En ret linje i koordinatsystemet har flere forskellige typer ligninger. Vi kender allerede y = ax + b. Vi skal se endnu to typer.

174 Linjer og vektorer SÆTNING 3 Hvis en ret linje med hældningen a går gennem punktet (x 0,y 0 ), kan en ligning skrives på formen y - y 0 = a(x - x 0 ). Bevis. Linjens ligning kan skrives y = ax + b, og da punktet (x 0,y 0 ) ligger på linjen, passer koordinaterne i ligningen, dvs. y 0 = ax 0 + b. Vi trækker den nederste ligning fra den øverste og får y - y 0 = ax + b - (ax 0 + b) y - y 0 = ax - ax 0 y - y 0 = a(x - x 0 ). EKSEMPEL 4. Den rette linje gennem (-,4) med hældningen 1 har ligningen y - 4 = 1 (x - (-)) y - 4 = 1 (x + ) y = 1 x + 3, så linjen skærer y-aksen i (0,3) (fig. 11). Fig. 11

175 5. Linjer og vektorer 175 Linjen med ligningen y - 3 = 3(x - 4) går gennem punktet (4,3) og har hældningen 3. Ligningen kan også skrives y = 3x - 9. EKSEMPEL 5. Vi ser på linjen fra eksempel 3 gennem A (-1,3) og B (4,5). Vi vil finde en ligning for denne linje. Ved hjælp af formlen fra sætning fandt vi hældningen til 5. Vi bruger punktet (x 0,y 0 ) = (4,5), så efter sætning 3 får linjen ligningen y - 5 = 5 (x - 4) y - 5 = 5 x y = 5 x Hvis vi havde brugt punktet (-1,3), havde vi fået samme ligning. Vi ser på linjen fra eksempel 5 med ligningen y = 5 x Vi kan omskrive denne ligning ved at gange med 5 på begge sider og samle leddene på venstre side: y = 5 x y = x + 17 x - 5y + 17 = 0. Dette er en almindelig førstegradsligning i x og y, og den fremstiller altså en ret linje. SÆTNING 4 Enhver ligning af typen ax + by + c = 0, hvor a og b ikke begge er 0, fremstiller en linje i planen. Enhver linje i planen kan fremstilles af en sådan ligning. Hvis a = 0 er linjen parallel med x-aksen, hvis b = 0 er den parallel med y-aksen.

176 Linjer og vektorer EKSEMPEL 6. Ligningen 3x - 4y - 7 = 0 kan omskrives til 3x - 4y - 7 = 0 4y = 3x-7 y = 3 x 7, 4 4 så ligningen fremstiller en linje med hældning 3, som skærer y- 4 aksen i (0, - 7 ). 4 På den anden side kan ligningen y = 3 x - 4 omskrives til y = x - 4 3y = x - 1 x - 3y - 1 = 0. 3 VEKTORER Mange målinger kræver kun et tal som resultat, fx temperaturmåling. Resultatet af en sådan måling er en skalar (dvs. et tal). I andre tilfælde er man foruden en talværdi også interesseret i en retningsangivelse. Dette gælder i fysikkens måling af kræfter, som både har talværdier (størrelser) og retninger. Kræfter angives ved pile på de legemer, de virker på. Fig. 1 Vi forsyner linjestykker med en orientering ved at sætte en pil i den ene ende. På fig. 1 er linjestykket AB forsynet med orienteringen fra A til B. Vi indfører følgende definition: DEFINITION Mængden af alle linjestykker med samme længde og samme orientering kaldes en vektor. Hvert af de orienterede linjestykker er en pil, og hver pil er en repræsentant for vektoren.

177 5. Linjer og vektorer 177 På fig. 1 repræsenterer pilene AB og CD samme vektor, som vi betegner med AB. Da de to pile repræsenterer samme vektor, skriver vi, at AB = CD. Her er A pilens begyndelsespunkt og B dens slutpunkt. Hvis A og B er forskellige punkter, er AB og BA forskellige vektorer. Vi betegner desuden vektorer med små bogstaver med pil over: a= AB. Vi tillader os at tale om vektoren AB i stedet for det mere korrekte vektoren repræsenteret ved pilen AB. Vi indfører en række skrivemåder for vektorer, som vi for overskuelighedens skyld samler her: Længde. Længden af en vektor a er længden af en repræsentant målt med den enhed, som koordinatsystemet har. Længden af vektoren a betegnes a. På fig. 13 er a = og e = 1. Fig. 13 Enhedsvektor. En vektor c af længde 1 kaldes en enhedsvektor, dvs. c = 1. Parallelitet. To vektorer a og b kaldes parallelle, hvis de repræsenteres af parallelle pile. På fig. 13 er b, c og f parallelle, og vi skriver fx b c. Ensrettede vektorer er vektorer, der er parallelle og har samme retning. På fig. 13 er b og f ensrettede. Modsat rettede vektorer er parallelle og ikke ensrettede. På fig. 13 er b og c modsat rettede.

178 Linjer og vektorer Ortogonalitet. To vektorer kaldes ortogonale, hvis de pile, der repræsenterer dem, står vinkelret på hinanden. På fig. 13 er fx b og d ortogonale. Nulvektoren er en vektor med længde 0, og den betegnes o. Vi repræsenterer den ved en prik. Den har ingen retning. Egentlige vektorer er vektorer, der ikke er nulvektoren. Uegentlig vektor er nulvektoren. ADDITION Vi skal nu se, at vektorer kan lægges sammen og trækkes fra hinanden. Desuden kan en vektor ganges med et reelt tal. Lad a og b være egentlige vektorer. Vi vælger et vilkårligt punkt A som begyndelsespunkt for a og betegner slutpunktet med B. Derefter afsætter vi b med begyndelsespunkt i B, mens slutpunktet for b er punktet C. Nu defineres summen a + b af vektorerne a og b som den vektor, hvis begyndelsespunkt er a s begyndelsespunkt, og hvis slutpunkt er b s slutpunkt (når de to vektorer er afsat som angivet). På fig. 14 er altså a + b = AC. Fig. 14 På fig. 15 er illustreret, at a + b = b+ a. Dette kaldes den kommutative lov for vektoraddition (kommutativ: ombyttelig). Lidt løst kan vi sige, at vi ved addition afsætter a og b efter hinanden.

179 5. Linjer og vektorer 179 Fig. 15 Vi ser, at vektoradditionen kan udtrykkes sådan med betegnelserne på fig. 15: AC = AB + BC. Denne regel kaldes indskudsreglen for vektoraddition, fordi punktet B er skudt ind mellem A og C. En anden måde at konstruere summen af vektorerne a og b på er ved hjælp af kræfternes parallelogram en betegnelse der stammer fra fysikken. Vektorerne a og b afsættes med samme begyndelsespunkt A, så a= AB og b= AC. Så er summen a + b den vektor AD, der repræsenteres af diagonalen fra A i det parallelogram som vektorerne a og b udspænder (fig. 16). Fig. 16 Hvis a og b repræsenterer kræfter, der virker på et legeme i punktet A, er AD den resulterende kraft som påvirker legemet.

180 En færge krydser en flod, hvor strømmens hastighed er repræsenteret af vektoren s og færgens bevægelse fremad med f (fig. 17 til venstre). Strømmen giver færgen en afdrift, så den i stedet for at krydse direkte over floden følger kursen givet ved vektoren v, som netop er summen af de to andre: v s f. Denne vektor angiver altså den resulterende hastighed. Hvis færgen ønsker at krydse lige over floden, må den styre med hastigheden f som vist til højre på figuren. Fig. 17 For regning med reelle tal gælder som bekendt at 8-5 er det tal, som lagt til 5 giver 8 : 5 + (8-5) = 8. Vi vil derfor på samme måde om vektorer sige, at a ber den vektor, som lagt til b giver a : b + ( a b) = a. Fig. 18

181 På fig. 18 er a og b afsat med samme begyndelsepunkt. Så er a b den vektor, der har begyndelsespunkt i b s endepunkt og slutpunkt i a s slutpunkt. Så ser vi nemlig, at vi ved vektoraddition får b + ( a b) = a. Fig. 19 Vi indfører - b som den modsatte vektor til en vektor b, dvs. som den vektor, der er parallel med b og lige så lang somb, men med modsat orientering (fig. 19). Så kan vi konstruere vektordifferensen ab - som summen af a og - b : a b= a + (- b ). Fig. 0 På fig. 0 har vi tegnet et parallelogram udspændt af vektorerne a og b. Her vil diagonalerne, med passende orientering, repræsentere vektorerne a b og a b. Bemærk, at BC CB

182 18 5. Linjer og vektorer MULTIPLIKATION MED TAL Vi viser, hvordan man ganger vektorer med tal. Lad a være en egentlig vektor og t 0 et tal. Vi fastætter (fig. 1), at a er ensrettet med a og dobbelt så lang som a, 1 a er ensrettet med a og halvt så lang som a, - a er modsat rettet a og dobbelt så lang som a, -4 a er modsat rettet a og 4 gange så lang som a. Fig. 1 I almindelighed gælder, at ta = t a dvs. vektoren t a er t gange så lang som a. Læg mærke til betydningen af de lodrette streger om et symbol: t er den numeriske værdi af et tal t, mens a og ta er længder af vektorer. For multiplikation af vektorer med tal gælder nogle regneregler, som vi ikke beviser: ( s+ t) a = sa + ta, t( a + b ) = ta + tb, s( ta ) = tsa ( ) = ( sta. ) Fx er 3a+ 5a= 8a, 3a+ 3b = 3( a+ b), 3 ( a) = ( 3a) = 6a.

183 5. Linjer og vektorer 183 PARALLELITET, ENHEDSVEKTORER Hvis a og b er egentlige og parallelle, kan man udtrykke den ene ved at gange den anden med et passende tal. På fig. har vi således, at b= a, d= b, b= c, c= a Fig. Vektorer med længden 1 kaldes som nævnt tidligere enhedsvektorer. Vi vil angive en enhedsvektor, der er ensrettet med en given vektor a. Hvis a har længden, kan vi få en enhedsvektor ensrettet med a ved at gange a med 1 ; hvis a har længden 5 kan vi gange den med 1 5 osv. I almindelighed får vi en enhedsvektor e ensrettet med a ved at gange a med dens reciprokke længde: e = 1 a a eller, som vi også skriver: e = a. a På fig. 3 er vektorerne a og b og de enhedsvektorer e1 og e, der er ensrettede med dem, tegnet. Vi ser at a = 5 og b = 5. Derfor er 1 e1 = a og e = b. 5 5 Fig. 3

184 Linjer og vektorer VEKTORERS KOORDINATER Vi skal se, at vektorer i koordinatsystemet kan forsynes med koordinater. Derved skabes en sammenhæng mellem vektorer og bl. a. linjens ligning. I koordinatsystemet betegnes enhedspunkterne med E og F, dvs. E (1,0), F (0,1). De vektorer, der er udspændt af begyndelsespunktet O og enhedspunkterne, kaldes basisvektorerne og betegnes i og j (fig. 4), dvs. OE = i og OF = j. Fig. 4 Vi kan nu forsyne en vektor a med et koordinatsæt. Vi skriver vektoren a som sum af to vektorer v 1 og v, der hver for sig er parallelle med en af koordinatakserne (fig. 5), dvs. med i og j. Der findes så reelle tal a 1 og a, så v = a i og v = a j. 1 1 Fig. 5

185 5. Linjer og vektorer 185 Altså er a= a1i + a j Vi definerer, at a har koordinatsættet (eller blot koordinaterne) (a 1,a ). Vi skelner mellem punkters og vektorers koordinater og vælger derfor at skrive vektorers koordinater lodret: a a = ( a 1 ). På fig. 6 er vist en række vektorer og deres opløsninger som summer af vektorer parallelle med akserne. Fig. 6 REGNING MED KOORDINATER Vektorers addition og subtraktion samt multiplikation med et tal overføres til deres koordinater SÆTNING 5 a b For vektorerne a = ( 1 a ) og b = 1 b gælder, at a b a+ b = a b a + b, a b = 1 1 a b, ka = ka ka 1. Bevis. Vi nøjes med at vise reglen for addition. Efter definitionen på koordinater er a= a1i + a j og b= b1i + b j.

186 Linjer og vektorer Vi lægger sammen og bruger regnereglerne for multiplikation med tal: a+ b= a1i+ aj + b1i+ bj = ( a1+ b1) i+ ( a+ b)j, og da koefficienterne til i og j i det sidste udtryk netop er vektorens koordinater, er formlen vist. De øvrige beviser overlades til læseren. EKSEMPEL 8. Hvis a a+ b= ( 1+ ) = 3+ 5 ( 1 8 ), a b b, a 3b = ( ) = ( ) = ( 1 ) og b = ( ) er 3 5 = ( 1 ) = ( ) 5 1 5, 5a = ( ( ) ) 53 = ( ) = ( ( ) 3 ) + ( 35 ) = ( ) 4 = + ( 1). DEN RETTE LINJE Vi vender tilbage til den rette linje, og viser, hvordan vektorbegrebet her kan bringes i anvendelse. RETNINGSVEKTOR Vi ser på en ret linje med ligningen y = ax + b. Her er a linjens hældning, og vi har tidligere set, at forøges x-værdien med 1 fra et punkt på linjen, vil y-værdierne forøges med a. Dermed er vektoren r = ( ) a 1 parallel med linjen (fig. 7). En sådan vektor kaldes en retningsvektor for linjen. En linje har uendelig mange retningsvektorer, der alle er indbyrdes parallelle.

187 5. Linjer og vektorer 187 Fig. 7 TVÆRVEKTOR Hvis man drejer en egentlig vektor r 90 i positiv omløbsretning om sit begyndelsespunkt, fås en ny vektor, som kaldes tværvektoren til r. Tværvektoren betegnes r. Vi bruger her den franske accent circonflexe til at betegne denne drejede vektor, og læser det som r hat. Fig. 8 Hvis r har koordinaterne h ( k ) kan den skrives r = hi+ kj, og vi ser på fig. 8, at tværvektoren r kan skrives og ki er mod- r = ki+ hj, fordi fortegnene for koefficienterne for vektorerne kj satte. Altså har tværvektoren r koordinaterne Dermed har vi r = k ( h ).

188 Linjer og vektorer SÆTNING 6 h Vektoren r k = ( ) har tværvektoren k r = ( ) h. Fig. 9 På fig. 9 ser vi ved hjælp af sætning 6, at hvis r = ( ), er r = ( 3 1 ). hvis r = ( 1 3 ) 43, er r = ( 3 ) 4, og NORMALVEKTOR Lad os se på en ret linje med ligningen ax + by + c = 0. En vektor n, der er vinkelret på linjen kaldes en normalvektor til linjen. Vi skal se, at koefficienterne a og b har en speciel betydning. SÆTNING 7 Linjen med ligningen ax + by + c = 0, hvor b 0, har en normalvektor a n med koordinaterne n = ( b ). Hvis (x 0,y 0 ) er et punkt på linjen, er en ligning a(x - x 0 ) + b(y - y 0 ) = 0.

189 5. Linjer og vektorer 189 Bevis. Hvis linjen ikke er parallel med y-aksen (dvs. hvis b 0), kan vi omskrive den til y= a x c. b b En retningsvektor for linjen er derfor (fig. 30) v = 1 a b, og en vektor r, der fås af denne ved multiplikation med b, er også en retningsvektor: r = bv= b a b a 1 = b ( ). Fig. 30 Nu kan vi skaffe os en normalvektor ved at danne tværvektoren til r : a n= r = ( b ). Dermed er første del af sætningen vist. Koordinaterne (x 0,y 0 ) passer i ligningen, dvs. så den kan omskrives til ax 0 + by 0 + c = 0 c = - ax 0 - by 0, ax + by + c = 0 ax + by + (- ax 0 - by 0 ) = 0 a(x - x 0 ) + b(y - y 0 ) = 0.

190 Linjer og vektorer Hvis b = 0 er ligningen ax + c = 0 x = c a, som er parallel med y-aksen. Også her gælder sætningen, fordi vektoren r a 0 er parallel med x-aksen og derfor vinkelret på linjen. = ( ) Dermed har vi vist, at de koefficienter, der optræder for x og y i linjens ligning på formen ax + by + c = 0, netop angiver koordinaterne til en normalvektor til linjen. EKSEMPEL 9. Linjen med ligningen har normalvektoren n = ( ) r = n = ( 3 ) (fig. 31). x + 3y - 15 = 0 3, og dermed er en retningsvektor Linjens ligning kan omskrives til x+ 3y 15= 0 3y= x+ 15 y= x Heraf kan vi aflæse retningsvektoren r 1 = 3, som selvfølgelig er parallel med r, men modsat rettet og 3 gange så kort. Hældningen for linjen er 3. 3 Fig. 31

191 5. Linjer og vektorer 191 ORTOGONALITET To rette linjer kaldes ortogonale, hvis de er vinkelret på hinanden. Det viser sig, at der findes en forbindelse mellem ortogonale linjer og deres hældninger: SÆTNING 8 Linjerne med ligningerne y = ax + b og y = cx + d er ortogonale, netop hvis produktet af deres hældninger er -1: ac = -1. Bevis. Vi skal vise, at og I. hvis linjerne er ortogonale, så er ac = -1 II. hvis ac = -1, så er linjerne ortogonale. I. Vi går først ud fra, at linjerne er ortogonale. Deres retningsvektorer er (fig. 3) r 1 a og r 1 c. = ( ) = ( ) 1 Fig. 3

192 19 5. Linjer og vektorer Disse retningsvektorer er også ortogonale, hvilket medfører, at vektorerne r og r er parallelle. Så er den ene lig med et tal gange den anden: 1 k r a r 1 k c ak k c. = ( )= ( ) ( ) = ( ) Da de to vektorer er lig hinanden, må førstekoordinaterne og andenkoordinaterne stemme overens, så Heraf følger, at -ac = 1, så ac = ak = 1 og k = c. II. Nu antager vi, at linjernes hældninger a og c opfylder, at ac = -1. Så er c = - 1 a, så vi får koordinaterne r a 1 1 = ( r 1 ) = 1 og, a hvor r1 og r har samme betydning som under I. Disse to vektorer er parallelle, fordi r 1 = a r. Men hvis r 1 og r er parallelle, er r1 og r ortogonale, og dermed er også linjerne ortogonale, fordi r og r er retningsvektorer for linjerne. 1 EKSEMPEL 10. Linjen m 1 har ligningen 3x - 4y + 5 = 0, og punktet P (,6) ligger ikke på linjen. Vi vil finde en ligning for den linje m, der går gennem P, og som er vinkelret på m 1 (fig. 33). 1. metode. Vi omskriver ligningen til 3 4 3x - 4y + 5 = 0 y= x+ 5 4, så hældningen er 3 4. Hældningen for m er da - 4, fordi disse to 3 tals produkt er -1. En ligningen for m er altså y - 6 = - 4 (x - ) 3y - 18 = - 4(x - ) 4x + 3y - 6 = metode. Linjen m 1 har normalvektoren n 1 = ( 4 ). Tværvektoren 4 til denne er normalvektor for m, så n = ( 3 ). Dermed er ligningen for m af typen 4x + 3y + k = 0,

193 5. Linjer og vektorer 193 hvor k er et (endnu) ukendt tal. Tallet k bestemmes ved, at punktet (,6) skal passe i ligningen: så m får ligningen k= 0 k = 6, 4x + 3y - 6 = 0. Fig. 33 STEDVEKTOR, LÆNGDE Hvis P (a 1,a ) er et punkt i planen, ser vi på vektoren OP med O (0,0) som begyndelsespunkt og P som slutpunkt. Denne vektor kaldes stedvektoren for punktet P. På fig. 34 ser vi, at OP kan opløses: OP = a i + a j 1, Fig. 34

194 Linjer og vektorer ( ), dvs. de samme koordinater som punk- a så OP har koordinaterne a tet P. Altså gælder 1 SÆTNING 9 Stedvektoren OP og punktet P har samme koordinater. Ved hjælp af denne sætning kan vi finde koordinaterne til en vektor, hvis begyndelsespunktets og slutpunktets koordinater er kendt: SÆTNING 10 Hvis begyndelsespunktet A og slutpunktet B til vektoren AB har koordinaterne A (a 1,a ) og B (b 1,b ), er koordinaterne til AB slutpunktets koordinater minus begyndelsespunktets koordinater, dvs. AB = b a b 1 1. a Bevis. Vi benytter indskudsreglen, idet vi skyder punktet A ind mellem O og B: OB = OA + AB AB = OB OA. Her er OB og OA stedvektorer for punkterne B og A (fig. 35), så de har samme koordinater som disse punkter. Altså får vi ved at bruge regnereglerne for vektorkoordinater b AB = OB OA = 1 b a1 a ( ) = b1 a1 b a.

195 5. Linjer og vektorer 195 Fig. 35 EKSEMPEL 11. Punkterne A, B og C har koordinaterne (fig. 36) A (4,), B (-3,4), C (5,-1). Så får vi koordinaterne AB 4, CA = ( ) = ( ) = ( 4 5 ) = ( 1 ) ( 1) 3, mens AC = ( 3 ) Fig

196 Linjer og vektorer SÆTNING 11 a Vektoren a = ( 1 a ) har længden a = a1 + a. Bevis. En vektors længde findes ved hjælp af Pythagoras sætning. Vi a kan nemlig opløse vektoren a = ( 1 a ) som a= a i+ a j 1, og længderne af den vandrette og lodrette komponent er henholdsvis a og a (fig. 37). Dermed får vi af den retvinklede ΔABC, at 1 a = a + a = a + a, hvoraf 1 1 a = a + a 1. Fig. 37 EKSEMPEL 1 Vektoren a = ( 6 ) har længden a = 6 + ( ) = 40. Hvis P (-3,-1) og Q (4,) er punkter i koordinatsystemet, (fig. 38) er 4 ( 3) 7 PQ ( 1) 3 så PQ = 58 = ( ) = ( ) eller PQ = ( 4 ( 3)) + ( ( 1)) = 58. Formlen for en vektors længde er altså blot en anvendelse af afstandsformlen for to punkter i planen. Hvis b = ( 3 ) 0 fås b = ( 3) + 0 = 9 = 3, så formlen gælder også, hvis vektoren er parallel med en af akserne.

197 5. Linjer og vektorer 197 Fig. 38

198 Linjer og vektorer EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Forskellige typer af linjens ligning 1. Du kender to punkter på en linje: (x 1,y 1 ) og (x,y ). Vis, at linjens ligning kan skrives sådan y y1 y y1 =, x x x x x x1 x x 1 og 1. 1 Indsæt (x 1,y 1 ) = (3,4) og (x,y ) = (-5,-1) i formlen og find derved linjens ligning. Find derefter linjens ligning på sædvanlig måde og skriv den på formen y =.. En linjes ligning er x y + = 1. 3 Tegn linjen og aflæs linjens skæringspunkter med koordinatakserne. Vis ved beregning, at din aflæsning faktisk er korrekt. Tegn derefter linjen med ligningen x y = 1. Angiv denne linjes skæringspunkter med akserne. 3. En linje skærer akserne i (a,0) og (0,b). Angiv en ligning for denne linje på samme form som under punkt. Gælder dette for et hvilket som helst valg af tal a og b? 4. En linje har ligningen 3x - 4y = 10. Tegn linjen i koordinatsystemet. Omskriv ligningen, så den får udseendet til højre: x y 3x - 4y = 10 + = Angiv hvilke skæringspunkter denne linje har med koordinatakserne. 10 4

199 5. Linjer og vektorer I nedenstående skema er angivet ligningerne for fire linjer på hver sin form. Udfyld skemaets tomme rubrikker. I de fleste tilfælde er der uendelig mange muligheder. y= ax+ b ax + by + c =0 y y = a x x y= 3x 5 ( ) x a 0 0 y + =1 b 4x+ 3y 1= 0 y 1= 1 ( x+ 5) x y + =1 3 EKSPERIMENT Geometriske sætninger. Vi skal se, hvordan man ved hjælp af analytisk geometri kan bevise et par geometriske sætninger om trekanter og firkanter. I. Midtpunkt af linjestykke 1. På figuren er AB et linjestykke, og koordinaterne til endepunkterne er A (,1) og B (8,5) (fig. 39). Angiv koordinaterne til midtpunktet M. Fig. 39

200 00 5. Linjer og vektorer. Tegn på en figur linjestykket CD, hvor koordinaterne til endepunkterne er C (3,1) og D (-4,-5), og bestem midtpunktets koordinater. 3. Hvordan kan man bestemme koordinaterne til midtpunktet af et linjestykke ud fra endepunkternes koordinater? 4. Hvis E og F har koordinaterne E (x 1,y 1 ) og F (x,y ), hvilke koordinater har så midtpunktet N af linjestykket EF? II. Midtpunktstransversal i en trekant 5. Vi ser på en ΔABC i koordinatsystemet. Vinkelspidserne har koordinaterne A (x 1,y 1 ), B (x,y ), C (x 3,y 3 ). Fig. 40 Idet M og N er midtpunkter af siderne BC og AB, skal du skrive koordinaterne til M og N op. 6. Skriv hældningen for siden AC op. 7. Skriv hældningen for MN op. Du skal reducere udtrykket så meget som muligt. MN kaldes en midtpunktstransversal i trekanten. 8. Sammenlign hældningerne for AC og MN. Hvad opdager du?

201 5. Linjer og vektorer Bestem AC og MN. Hvad opdager du? 10. Formuler en sætning om trekanter, fx: Et linjestykke, der forbinder to sidemidtpunkter eller En midtpunktstransversal III. En firkants Varignon-parallelogram Vi ser på en vilkårlig firkant ABCD i koordinatsystemet (fig. 41). Koordinaterne til vinkelspidserne er A (x 1,y 1 ), B (x,y ), C (x 3,y 3 ), D (x 4,y 4 ). Fig Skriv koordinaterne op til midtpunkterne K, L, M og N for midtpunkterne af siderne i firkanten.. Find hældningerne for linjestykkerne KL og MN og derefter for KN og LM. 3. Forklar, at firkanten KLMN altid er et parallelogram. Det kaldes Varignon-parallelogrammet hørende til firkant ABCD. IV. Forbindelseslinjer mellem firkantsiders midtpunkter Firkant ABCD er en vilkårlig firkant i koordinatsystemet (fig. 4). Koordinaterne til vinkelspidserne er A (x 1,y 1 ), B (x,y ), C (x 3,y 3 ), D (x 4,y 4 ).

202 0 5. Linjer og vektorer 1. Skriv koordinaterne til midtpunkterne K, L, M og N af siderne op. Fig. 4. Forbind midtpunkterne af modstående sider i firkanten ABCD. 3. Vis ved koordinatregninger, at skæringspunktet X mellem forbindelseslinjerne mellem modstående siders midtpunkter er midtpunkt af begge forbindelseslinjer. Man siger kort, at forbindelseslinjerne halverer hinanden. EKSPERIMENT 3 Trekantens medianer. Vi skal ved hjælp af stedvektorer vise en sætning om trekantens medianer, dvs. de linjestykker der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af den modstående side. Vi tegner en vilkårlig trekant ABC og markerer et punkt O som begyndelsespunkt for stedvektorer. 1. Tegn medianen fra C til midtpunktet M af siden AB. Lad S være punktet, der ligger 1 3 oppe ad medianen regnet fra siden AB.. Forklar med ord hver af følgende omskrivninger med vektorer (fig. 43):

203 5. Linjer og vektorer 03 OS = OB + BM + MS = OB + BM + 1 MC 3 = OB + BM ( MB + BO + OC) = OB + BM 1 BM 1 3 OB OC = 3 OB 1 3 BM OC = 3 OB BA OC = 3 OB ( BO + OA) + 3 OC = 3 OB OB + 3 OA + 3 OC = 1 OB OA + 3 OC = 1 3 ( OA + OB + OC ). Fig Gennemfør en lignende regning, hvor du benytter midtpunktet N af BC, og lader T være det punkt på medianen AN, der ligger 1 oppe ad AN fra N. Find altså et udtryk for stedvektoren OT udtrykt ved stedvektorerne OA, OB og OC Hvilken konklusion følger om vektorerne OS og OT? Om punkterne S og T? 5. Tilsvarende regninger kan foretages med den tredje median BL. Hvilket resultatet vil en sådan regning give? 6. Formulér den sætning om trekanters medianer, som nu er vist. 7. Hvis punktet O er koordinatsystemets begyndelsespunkt (0,0) og vinkelspidserne i ΔABC har koordinaterne Aa ( 1, a), Bb ( 1, b), Cc ( 1, c ), skal du angive koordinaterne til punktet S. Man kan vise, at S er trekantens tyngdepunkt.

204 04 KAPITELOVERSIGT 5 AFSTANDSFORMLEN Afstanden mellem punkterne A (x 1,y 1 ) og B (x,y ) er 1 1. AB = ( x x ) + ( y y ) LINJENS LIGNINGER y = ax + b y - y 0 = a(x - x 0 ) ax + by + c = 0 a(x - x 0 ) + b(y - y 0 ) = 0 a hældning, b skæringspunkt med y-aksen a hældning, (x 0,y 0 ) punkt på linjen (a,b) normalvektor (a,b) normalvektor, (x 0,y 0 ) punkt på linjen. LINJENS HÆLDNING a = y x y x 1 1 (x 1,y 1 ) og (x,y ) punkter på linjen. VEKTORERS KOORDINATER For vektorerne a a1 a b og b 1 b gælder = ( ) = a b a b a+ b= a b 1+ 1 a b = 1 1, + a b = ka, ka ka 1. TVÆRVEKTOR a Tværvektoren a til a har koordinaterne a a = ( ). 1

205 5. Linjer og vektorer 05 ORTOGONALITET Linjerne med ligningerne y = ax + b og y = cx + d er ortogonale, netop hvis produktet af deres hældninger er -1 : ac = -1. VEKTOR MELLEM TO PUNKTER b a Hvis A (a 1,a ) og B (b 1,b ) er punkter, er AB = b a 1 1. VEKTORS LÆNGDE a Længden af vektoren a = ( 1 a ) er a = a1 + a.

206 06 5. Internet MAT.SYSTIME.DK Til dette kapitel kan du på mat.systime.dk blandt andet arbejde videre med vektorers koordinater, længder og tværvektorer. I denne animation kan du manipulere en vektorrepræsentants begyndelsespunkt og endepunkt i koordinatsystemet og samtidig se punkternes og vektorens koordinater. Du kan øve dig i at bestemme vektorkoordinater, længder af vektorer samt tværvektorer. Klikkes på Hjælp ses en løsning på øvelsen, samtidig med at animationen viser repræsentanter for den givne vektor og tværvektoren.

207 6CIRKLER OG VINKLER

208 Vi har set, at den rette linje i koordinatsystemet har en simpel ligning, nemlig en førstegradsligning med to ubekendte x og y. Også cirkler har i koordinatsystemet forholdsvis simple ligninger, nemlig ligninger i x og y af anden grad, hvor koefficienterne til x og y er lige store. Fra trigonometrien kender vi enhedscirklen, som består af de koordinatsæt (x,y), for hvilke x + y = 1; dette er netop ligningen for cirklen. Vi skal udlede cirklens ligning, når vi kender centrums koordinater og radius, og se på forskellige måder at skrive denne ligning på. Desuden skal vi bestemme skæringspunkter mellem linjer og mellem linjer og cirkler. Det såkaldte skalarprodukt fra vektorregning gør det muligt at finde afstanden mellem et punkt og en linje samt at bestemme projektioner af punkter på linjer. Fra vektorregningen skal vi desuden se på, hvordan vinkler mellem vektorer bestemmes, og hvordan man kan finde vinkler mellem skærende linjer.

209 6. Cirkler og vinkler 09 CIRKLENS LIGNING En cirkel har i koordinatsystemet centrum i punktet C (a,b) og radius r (fig. 1). Vi vil finde en ligning for cirklen, dvs. en ligning i x og y, som opfyldes af koordinaterne til punkter på cirklen og ikke af andre end disse. Fig. 1 Cirkelperiferien består netop af de punkter P, hvis afstand til centrum C er r. Hvis vi betegner et punkt på periferien med P (x,y), gælder altså CP = r, og dette gælder ikke for andre punkter end dem, der ligger på cirklen. Vi kan bruge afstandsformlen og omskrive sådan: CP = r ( x a) + ( y b) = r ( x a) + ( y b) = r. Dette er cirklens ligning. Man siger at ligningen fremstiller cirklen med centrum i C (a,b) og radius r. SÆTNING 1 Cirklen med centrum i C (a,b) og radius r har ligningen (x - a) + (y - b) = r.

210 10 6. Cirkler og vinkler EKSEMPEL 1. Cirklen med centrum i (3,) og radius 5 har ligningen (x - 3) + (y - ) = 5. Fig. Punktet A (7,5) ligger på cirklen, fordi det passer i ligningen: (7-3) + (5 - ) = = = 5. Punktet B (5, 1 ) ligger ikke på cirklen, fordi det ikke passer i ligningen: (5-3) + (- 1 - ) = + ( 4 1 ) = = EKSEMPEL. I skemaet ses nogle eksempler på cirkelligninger med centrer og radier: Ligning Centrum Radius (x + 4) + (y - 7) = 16 (x - 1) + (y + 1) = 10 x + (y - 3) = 9 (x + 4) + y = 1 x + y = 4 (-4,7) (, 1 1) ( 03, ) (-4,0) (0,0)

211 6. Cirkler og vinkler 11 OMFORMNING AF CIRKLENS LIGNING Ligningen (x - 4) + (y + 3) = 36 (1) fremstiller en cirkel med centrum (4,-3) og radius 6. Vi kan udregne parenteserne ved hjælp af kvadratsætningerne, så cirklens ligning også kan skrives sådan: x - 8x y + 6y + 9 = 36 x + y - 8x + 6y - 11 = 0. () I den sidste ligning kan man ikke umiddelbart aflæse radius og centrums koordinater. Vi skal derfor se på, hvordan en ligning af typen () kan omskrives til en cirkelligning af typen (1), hvor vi kan aflæse centrum og radius. Lad os derfor se på ligningen x + y + 6x - 10y + 14 = 0. (3) Ideen er, at leddene x + 6x og y - 10y er dele af kvadrater på toleddede størrelser, hvor 6x og -10y er de dobbelte produkter: (x + 3) = x + 6x + 9 og (y - 5) = y - 10y + 5. Tallene 3 og -5 er valgt i parenteserne, fordi vi så får de dobbelte produkter 6x og -10y. Hvis vi lægger 9 og 5 til på begge sider i ligningen (3), får vi x + y + 6x - 10y + 14 = 0 x + 6x y - 10y = (x + 3) + (y - 5) = 0. Altså fremstiller ligningen en cirkel med centrum (-3,5) og radius 0.

212 1 6. Cirkler og vinkler EKSEMPEL 3. Lad os se på tre ligninger af. grad i x og y og prøve at omskrive dem: x + y - 4x + 8y + 11 = 0 (4) x + y - 4x + 8y + 0 = 0 (5) x + y - 4x + 8y + 30 = 0 (6) Ligning (4). Vi omskriver som ovenfor: (x - 4x + 4) + (y + 8y + 16) + 11 = (x - ) + (y + 4) = 9. Altså fremstiller ligningen (4) en cirkel med centrum i (,-4) og radius 3. Ligning (5) omskrives: (x - 4x + 4) + (y + 8y + 16) + 0 = (x - ) + (y + 4) = 0. Da de to led på venstre side i den sidste ligning er positive eller 0, må de begge være 0, for at ligningen kan være opfyldt. Dette kan kun lade sig gøre, når x = og y = -4. Ligningen fremstiller altså et enkelt punkt i planen, nemlig (,-4). Ligningen (6) giver (x - 4x + 4) + (y + 8y + 16) + 30 = (x - ) + (y + 4) = -10. Her er venstre side positiv eller 0, mens højre side er negativ. Der findes derfor ikke noget punkt (x,y) i planen, der passer i ligningen. Ligningen fremstiller intet. Vi kan af eksempel 3 se, at der gælder: En andengradsligning i x og y hvor koefficienterne til x og y er lige store, kan fremstille en cirkel - et punkt - intet.

213

214 14 6. Cirkler og vinkler DE LIGE STORE KOEFFICIENTERS METODE Vi demonstrerer denne metode på de to linjer m og n med ligningerne m : 3x - y = -1, n : 5x + 4y = 35. Skæringspunktet mellem linjerne har et koordinatsæt, der passer i begge ligninger. Vi benytter den metode, vi så på i kapitel ved løsning af to ligninger med to ubekendte, og ganger hver af ligningerne med passende tal, så koefficienterne til en af de ubekendte bliver lige store. Vi vælger at gange den første ligning med 5 og den anden med 3: 15x - 10y = -5 15x + 1y = 105. Så trækker vi den nederste ligning fra den øverste: Fig. 4 (15x - 10y) - (15x + 1y) = y = -110 y = 5. Derefter indsætter vi y = 5 i en af ligningerne, fx ligningen for m: 3x - 5 = -1 3x = 9 x = 3. Altså er (x,y) = (3,5) koordinaterne til linjernes skæringspunkt. Vi kunne også have ganget den første ligning med 4 og den anden med : 1x - 8y = -4 10x + 8y = 70. Her er koefficienterne til y lige store med modsat fortegn, så vi vælger at lægge ligningerne sammen: (1x - 8y) + (10x + 8y) = 66 x = 66 x = 3.

215 6. Cirkler og vinkler 15 Derefter indsætter vi x = 3 i en af ligningerne, fx den første: y = y = -1 y = 10 y = 5. Igen har vi fundet linjernes skæringspunkt til (3,5). SUBSTITUTIONSMETODEN Ordet substitution betyder erstatning eller indsættelse af en stedfortræder. Linjerne m og n har ligningerne m : x + y = 1, n : 5x - 7y = -9. Metoden går nu ud på at isolere den ene af de variable i en af ligningerne. Her ser vi, at det er let at isolere x i den første ligning: x + y = 1 x = 1 - y. (7) Dette udtryk for x substitueres (indsættes) i den anden ligning: Så indsættes y = i (7): 5x - 7y = -9 5(1 - y) - 7y = y = -9 17y = 34 y =. x = 1 - = 1-4 = -3. De to linjer skærer altså hinanden i (-3,). SKALARPRODUKT FOR VEKTORER Vi vender tilbage til vektorregningen og indfører et vigtigt hjælpemiddel, det såkaldte skalarprodukt. Dette navn skyldes, at produktet af to vektorer defineres som en skalar, dvs. et tal. DEFINITION Ved skalarproduktet af vektorerne a a 1 a forstås tallet og b b1 b = ( ) = a b = ab + a b 1 1.

216 16 6. Cirkler og vinkler EKSEMPEL 4. Hvis vektorerne a, b og c er givet ved 4 5 a, b og c, = ( ) = ( ) = ( ) får vi følgende skalarprodukter a b= 4+ ( 1) 3= 5, b c= 4 ( 5) + 3 7= 1 c a= ( 1) = 17, c b= ( 5) = 1. Der gælder en række regneregler for skalarprodukter, som vi formulerer som en sætning: SÆTNING For vektorer a, b og c og et reelt tal k gælder følgende regneregler for skalarproduktet: 1. a b = b a (den kommutative lov). a ( b+ c) = a b+ a c (den distributive lov) 3. ( ka) b = a ( kb) = k( a b) (multiplikation med tal) 4. a = a a = a (længde og skalarprodukt) Bevis. Reglerne vises ved regning med koordinaterne a b a= ( 1 a ) b= c c b c, 1, = ( 1 ). Vi viser kun den første og den sidste og begynder med regel 1 og får a b= a1b1+ ab og b a = b 1 a 1+ b a. Altså er regel 1 opfyldt. Derefter ser vi på regel 4. Vi definerer, at a = a a, så det første lighedstegn er opfyldt. Vi får derefter, at a a a = a a= ( 1 1 a ) ( a ) = a + a. Efter længdeformlen i kapitel 5 fås 1 1 a = a + a.

217 6. Cirkler og vinkler 17 RETNINGSVINKEL Vi afsætter en egentlig vektor a med begyndelsespunkt i (0,0). Den vinkel, som vektoren danner med x-aksens positive del, kaldes dens retningsvinkel. Vi regner normalt retningsvinkler i intervallet [0 ;360 [ eller i [-180 ;180 [. På fig. 5 har a en retningsvinkel v i [0 ;90 [, mens retningsvinklen for b ligger i [90 ;180 ]. Fig. 5 Vi kan som tidligere nævnt (kapitel 5) finde den enhedsvektor e, der er ensrettet med a ved a e= eller a= a e. (8) a Hvis fx a har længden 5 er e= 1 a eller a= 5e. 5 Fig. 6 Vi afsætter e med begyndelsespunkt i (0,0), så endepunktet P kommer til at ligge på enhedscirklen (fig. 6). Med v betegner vi en retningsvinkel for e og a, så P får koordinaterne (cosv,sinv). Da e er stedvektor for P har den samme koordinater som P:

218 18 6. Cirkler og vinkler e = ( ) cosv. sinv Koordinaterne til a findes så ved at bruge (8): a a e a cosv sinv a cosv a sinv. = = ( ) = EKSEMPEL 5. På fig. 7 er tegnet vektorerne a, b og c med koordinaterne 4 5 a, b, c = ( ) = ( ) = ( ) Fig. 7 Vi vil finde deres retningsvinkler. Vektoren a er hypotenuse i en retvinklet trekant med kateterne og 5, så vi har, at tanv = 5 v = 68,0. For vektoren b fås tilsvarende, at tan v1 = 3 v,, 4 1 = 36 87

219 6. Cirkler og vinkler 19 så retningsvinklen w for b er w = ,87 = 16,87. For c får vi af den retvinklede trekant at tan u= 1 5 u= 11, 31. Retningsvinklen for c er derfor -11,31 eller ,31 = 348,69. Da a = + 5 = 9, finder vi den enhedsvektor e, der er ensrettet med a til e = a a = a = 9 = 0, ( ) = cos 68, 0 5 0, 985 (. sin 68, 0 ) 9 Idet b = ( 4) + ( 3) = 5, kan koordinaterne til b skrives b = ( ) b cosw b w = 5cos16, 87 sin 5sin 16, 87. Tilsvarende er c = ( 6 cos( 11, 31 ) ) = ( 5 1 ) 6 sin( 11, 31 ). VINKEL MELLEM VEKTORER Hvis aog b er egentlige vektorer, danner de en vinkel v med hinanden (fig. 8). I denne forbindelse regner vi ikke med omløbsretning, så vektorernes indbyrdes vinkel ligger i intervallet [0 ;180 ]. Fig. 8

220 0 6. Cirkler og vinkler Vi ser, at a og ber ensrettede, netop hvis v = 0, a og ber modsat rettede, netop hvis v = 180, a og ber ortogonale, netop hvis v = 90. Vi kan bestemme gradtallet for vinklen mellem a og b ved hjælp af følgende sætning: SÆTNING 3 Hvis a og b er egentlige vektorer og v er vinklen mellem dem, gælder at cosv = a b. a b Bevis. Vi afsætter a og b med fælles begyndelsespunkt A (fig. 9). Deres endepunkter er B og C, så a= AB og b= AC og efter definitionen på vektordifferens er så CB = a b. Fig. 9 I ΔABC benytter vi cosinusrelationen på vinkel A. De sider, der danner vinkel A, har længderne a og b, og den modstående side har længden a b. Så får vi a + b a b cos A =. ab En af regnereglerne for skalarprodukter giver nu, at a a b b a b =, =, = a b ( ),

221 6. Cirkler og vinkler 1 og desuden kan vi bl. a. efter den distributive lov for skalarprodukt gange parenteser ud, så ( a b) = ( a b) ( a b) = a a b b a+ b = a + b a b. Bemærk, at dette helt svarer til. kvadratsætning fra talregning. Dermed får vi cos v = a + b ( a + b a b) = a b a b a = a b. b a b EKSEMPEL 6. Vi finder vinklen mellem vektorerne (fig. 10) a 5 1 og b. 3 4 = ( ) = ( ) Fig. 10 Skalarproduktet og længderne er a a b= ( 4) = 7, = = 34, b = 1 + ( 4) = 17. Formlen i sætning 3 giver så 7 cos v= v= 106,

222 6. Cirkler og vinkler EKSEMPEL 7. En trekant er udspændt af punkterne A (-3,1), B (,7) og C (8,-), fig. 11. Trekantens vinkler skal bestemmes. Fig. 11 Vinklen A er vinklen mellem vektorerne AB og AC. Koordinaterne til disse findes til AB 5 11 og AC. 6 3 = ( ) = ( ) Vinklen mellem disse vektorer bestemmes som vist i eksempel 6. På samme måde findes vinkel B som vinklen mellem BA og BC. Vinklerne A, B og C er henholdsvis 65,45, 73,50 og 41,05. VINKEL MELLEM LINJER Ved hjælp af formlen i sætning 3 kan vi bestemme en vinkel mellem to linjer. En vinkel mellem linjerne er nemlig den samme som en af vinklerne mellem et par af normalvektorer til linjerne. EKSEMPEL 8. Vi vil finde den spidse vinkel mellem linjerne m 1 og m med ligningerne m 1 : 3x - 4y + 6 = 0, m : x + 3y - 13 = 0.

223 6. Cirkler og vinkler 3 Fig. 1 Vi benytter som nævnt (fig. 1), at vinklen mellem linjernes normalvektorer er en af vinklerne mellem linjerne. Som normalvektorer benytter vi n 3 1 = ( og n 4 ) = ( 3 ). Deres længder er n = 3 + ( 4) = 5 og n = + 3 = 13, 1 og skalarproduktet er n1 n = 3 4 3= 6. Vinklen w mellem normalvektorerne fås altså af cos w= 6 w= 109, Den spidse vinkel v mellem linjerne er dermed ,44 = 70,56. Vinklen mellem to linjers normalvektorer afhænger selvfølgelig af deres retning. Hvis en af linjernes ligninger ganges med fx -1, skifter den normalvektor retning, hvis koordinater udgøres af koefficienterne til x og y. Dermed ændres vinklen mellem normalvektorerne. På fig. 13 er dette vist ved, at normalvektoren til m 1 skifter retning.

224 4 6. Cirkler og vinkler Fig. 13 Ved hjælp af sætning 3 får vi en sammenhæng mellem vinklen v mellem to vektorer a og b og fortegnet for skalarproduktet: SÆTNING 4 For vinklen v (0 v 180 ) mellem to egentlige vektorer a og b gælder v er spids a b > 0 v er ret a b = 0 v er stump a b < 0 Bevis. Vi har, at ab > 0, så vi får, at v er spids 0 v < 90 cosv > 0 a b a b v er ret v = 90 cosv = 0 a b = 0 a b=0. a b v er stump 90 < v 180 cosv < 0 a b a b > 0 a b>0. < 0 a b<0. Den første og sidste slutning følger af at nævneren er positiv. Læg mærke til den midterste dobbeltpil, der udtrykker en særdeles anvendelig betingelse for vektorers ortogonalitet: Egentlige vektorer a og b er ortogonale, netop hvis deres skalarprodukt er 0.

225 6. Cirkler og vinkler 5 EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Periferivinkel over halvcirkel. Vi kan ved hjælp af vektorregning vise, at hvis C et er punkt på en cirkel, der forbindes med en diameters endepunkter A og B, så er vinklen mellem forbindelseslinjerne CA og CB ret. På fig. 14 er cirklen med radius r anbragt med centrum i (0,0). Man siger, at en periferivinkel, der spænder over en halvcirkel, er ret. Fig Gør rede for, at cirklens ligning er x + y = r.. Lad C have koordinaterne (x,y). Skriv koordinaterne til vektorerne CA og CB, og vis, at disse vektorer er ortogonale. Du skal give et andet bevis for ovenstående, hvor der ikke benyttes koordinater. 3. C er et vilkårligt punkt på halvcirklen med AB som diameter og O er centrum. Tegn vektorerne som vist på figuren. 4. Udtryk vektoren a ved r og c, og udtryk derefter b ved r og c. 5. Udregn skalarproduktet a b ved hjælp af de fundne udtryk. 6. Forklar hvorfor dette skalarprodukt er 0, og drag konklusionen.

226 6 6. Cirkler og vinkler EKSPERIMENT En anvendelse af vektorregning i et matematisk bevis. Vi skal se, hvordan (temmelig) simpel vektorregning kan bruges til at føre et bevis for en sætning om parallelogrammer. Fig. 15 Vi tegner et parallelogram ABCD som vist på fig. 15 og trækker diagonalen BD. Lad F være midtpunkt af siden DC og træk linjen AF. Ved at måle med en lineal kan man få den opfattelse, at skæringspunktet E mellem AF og BD tredeler BD, dvs. DE = 1 DB. Du 3 skal nu vise, at dette er korrekt. 1. Forklar, hvorfor der findes tal h og k, så AE = h AF og BE = k BD.. Forklar, hvorfor AE = AB + k BD. 3. Gør rede for, hvordan den første af nedenstående ligninger fremkommer og for, hvorledes følgende omformninger er foretaget: AB + k BD = h AF AB + k ( AD AB) = h ( AD + DF ) AB + k ( AD AB) = h ( AD + 1 AB) AB k AB 1 h AB = h AD k AD ( 1 k 1 h) AB = ( h k) AD. Vektoren på venstre side af lighedstegnet er parallel med AB, mens vektoren på højre side er parallel med AD. Da AB og AD imidlertid ikke er parallelle, kan vektorligningen kun være opfyldt, hvis begge sider er o.

227 6. Cirkler og vinkler 7 4. Gør rede for, at dette medfører, at 1 - k - 1 h = 0 og h - k = 0. Løs dette ligningssystem med hensyn til h og k og forklar, hvordan man nu kan drage konklusionen. EKSPERIMENT 3 Endnu et matematisk bevis. I ΔABC tegnes den omskrevne cirkel med centrum O (midtnormalernes skæringspunkt). Vektorerne OA, OB og OC stråler ud til vinkelspidserne fra O, fig. 16. Hvad mon summen af disse tre vektorer er? Fig Tegn en trekant på et helt stykke A4-papir og konstruer den omskrevne cirkels centrum O. Tegn vektorerne OA, OB og OC og konstruer deres sum. Tegn derefter to af trekantens højder og markér højdernes skæringspunkt H. Tegn desuden vektoren OH. Hvilken sammenhæng kunne man gætte på mellem de to vektorer OH og OA+ OB + OC?. Du skal vise den overraskende sammenhæng: OH = OA + OB + OC. Forklar, hvorfor det gælder, at AB HC =0 og dermed at AB ( OC OH) = 0. (9)

228 8 6. Cirkler og vinkler 3. Gør rede for, at addition af to lige lange vektorer ved hjælp af parallelogramreglen giver anledning til en rombe, dvs. en ligesidet firkant. I en rombe er diagonalerne vinkelret på hinanden. Addition af OA og OB giver vektoren OP. Hvorfor er nu AB OP = 0 AB ( OA + OB) = 0? (10) 4. Læg nu ligningerne (9) og (10) sammen. Vis, at man får AB ( OA + OB + OC OH) = Hvis vi var gået ud fra en af de andre sidevektorer AC eller BC havde vi fået AC ( OA + OB + OC OH) = 0. Skriv også den sidste ligning op. 6. Vi betegner vektoren i parentesen med v, dvs. v= OA+ OB+ OC OH. Forklar, hvorfor vi nu har, at v AB, v AC, v BC. 7. Hvilken vektor har mulighed for at opfylde dette? Drag nu konklusionen.

229 6. Cirkler og vinkler 9 KAPITELOVERSIGT 6 CIRKLENS LIGNING ( x a) + ( y b) = r, (a,b) centrum, r radius SKALARPRODUKT a b Skalarproduktet af a= ( a ) b= 1 og 1 b er a b= a b + a b a b= 0 a b ( aogb egentlige vektorer) REGNEREGLER FOR SKALARPRODUKT Kommutativ lov a b= b a. Distributiv lov a ( b+ c) = a b+ a c. Multiplikation med tal ( ka) b = a ( kb) = k( a b). Længde og skalarprodukt a = a a= a. RETNINGSVINKEL Hvis den egentlige vektor a har retningsvinklen v, er a a v = ( cos a sin v ). VINKEL MELLEM VEKTORER Vinklen v mellem de egentlige vektorer a og b er givet ved cosv = a b. a b

230 30 VINKEL MELLEM LINJER En vinkel mellem to linjer findes som vinklen mellem normalvektorerne. SKALARPRODUKTETS FORTEGN ver spids a b> 0, v er ret a b= 0, v er stump a b<0

231 6. Internet 31 MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du fx arbejde videre med en animation, der behandler cirklens ligning. I den interaktive formelsamling finder du her linjers skæring, skalarprodukt for vektorer og vinkel mellem vektorer i planen. Under den animation, der behandler cirklens ligning, kan du øve dig i at omforme en given cirkelligning, så radius og koordinaterne til centrum let lader sig aflæse. Der er detaljeret hjælp at hente, og animationen viser samtidig den sporbare cirkel i koordinatsystemet.

232 3 6. Internet I den interaktive formelsamling kan du bestemme vinklen mellem to egentlige vektorer i planen og samtidig få vist en detaljeret udregning. Her er der yderligere klikket på Teori -knappen.

233 7 LINJER OG AFSTANDE

234 34 7. Linjer og afstande INDLEDNING I den analytiske geometri er man bl. a. interesset i at bestemme afstanden mellem et punkt og en linje, der ikke går gennem punktet. Desuden ønsker man at kunne bestemme arealer af trekanter. Derefter kan man let finde arealer af polygoner (dvs. mangekanter: firkanter, femkanter...) ved at triangulere dem (dele op i trekanter). I DETTE KAPITEL Vi indfører vektorers projektioner på hinanden og en metode til bestemmelse af afstande mellem punkter og linjer. Vi skal desuden se på begrebet determinant, der kan fortolkes som areal af et parallelogram.

235 7. Linjer og afstande 35 PROJEKTION Vi ser på to egentlige vektorer a og b (fig. 1) og ønsker at finde projektionen af a på b. Dette betyder, at vi projicerer (dvs. nedfælder vinkelret) begyndelses- og slutpunkt for a på en linje, der er parallel med b. Fig. 1 Det gør sagen lettere, hvis vi afsætter aog b med samme begyndelsespunkt (fig. ). Vi betegner projektionen af a på b med a b, og det er denne vektor, vi ønsker at udtrykke ved a og b. Fig. SÆTNING 1 Hvis a og b er egentlige vektorer, er projektionen a af a på b givet b ved a = a b b b b

236 36 7. Linjer og afstande Bevis. På fig. har vi tegnet vektoren c, så ab + c= a eller c= a a b. Da a b er parallel med b, er a b = kb for en passende værdi af tallet k. Da b og c er ortogonale, er deres skalarprodukt 0: 0 = b c= b ( a ab ) = b ( a kb) = a b k b. Vi har her brugt, at b = b. Af ligningen kan vi finde k: a b kb = 0 kb = a b k = a b, b og indsættes denne værdi i ligningen ab = kb, fås den ønskede formel: a a b b = b. b 3 EKSEMPEL 1. Vi finder projektionen af a på b 4 (fig ). Vi får at a b= = 8og b = = 17, og dermed a b = 8 4 ( ) = 3/ 17 ( ) = 188, 817 / ( 047, ) 17 1 og på en figur ser dette ud til at stemme. = ( ) = ( ), Fig. 3

237 7. Linjer og afstande 37 Vi får desuden brug for at kende længden af den projicerede vektor, dvs. vi vil bestemme a b. Da a b = kb, finder vi at a = k b. Nu er som nævnt k a = b så k b b = a b = a b b b, fordi b er et positivt tal. Altså får vi længden af den projicerede vektor til a b a = k b= b b a b = dvs. a a b b b b =. b Med vektorerne i eksempel 1 fås a b = EKSEMPEL. Vi viser, hvordan man kan finde projektionen af et punkt på en linje. Lad en linje have ligningen x + 3y - 15 = 0 (fig. 4), og lad P (8,6) være et punkt, der ikke ligger på linjen. Den vinkelrette gennem P skærer linjen i Q, og det er punktet Q, der kaldes projektionen af P på linjen. Fig. 4 Vi vælger et vilkårligt punkt P 0 på linjen, fx P 0 (3,3). Vektoren PP 0 projiceres på linjen i vektoren PQ 0. Vi kan opfatte situationen som om vi projicerer PP 0 på en retningsvektor r for linjen.

238 38 7. Linjer og afstande En normalvektor for linjen aflæses af linjens ligning til n = ( 3 ) en retningsvektor er r = ( 3 ). Derfor er, så 5 3 PP 0 r= ( r 3 3 ) ( ) = = og = + ( ) = 13, så projektionen fås til 7 PQ = ( ) = Dermed får vi stedvektoren til Q, som har samme koordinater som punktet Q: OQ = OP + P Q = ( ) = , 13 og på figuren ser dette ud til at passe. En anden metode er selvfølgelig at finde en ligning for linjen PQ og bestemme skæringspunktet mellem denne og den givne linje. Linjen PQ har ligningen 3x - y = 1 og ligningssystemet x + 3y = 15, 3x - y = 1 har løsningen (x,y) = 66, 1 ( ) AFSTAND FRA PUNKT TIL LINJE Vi ønsker at finde den vinkelrette afstand mellem et punkt P (x 1,y 1 ) og en linje m med ligningen ax + by + c = 0, Fig. 5

239 7. Linjer og afstande 39 idet vi forudsætter at P ikke ligger på m. Der gælder her følgende sætning: SÆTNING. dist-formlen. Afstanden (P,m) fra punktet P (x 1,y 1 ) til linjen m med ligningen ax + by + c = 0 er dist( Pm, ) ax + by + c 1 1 =. a + b Bevis. Vi vælger et vilkårligt punkt P 0 (x 0,y 0 ) på linjen (fig. 5). Projektionen af P på m er R. Projektionen af PP 0 på ner RP, og længden af RP er den søgte afstand, dvs. vi ønsker at finde RP. Nu har vi ovenfor fundet længden af projektionen af en vektor på en anden vektor, og benyttes denne formel her fås PP 0 n d= RP =. (1) n Vi regner dette ud i koordinater: x x PP 1 0 a 0 = ( y y n 1 0 ) og = ( b ), så x x a PP 0 n= ( 1 0 y y ) ( ax x by b ) = ( 1 0) + ( 1 y 0 ) = ax 1 + by 1 ( ax 0 + by 0 ). () 1 0 Da punktet P 0 ligger på linjen, passer dets koordinater i linjens ligning, dvs. der gælder at ax 0 + by 0 + c = 0 ax 0 + by 0 = - c. Dette sætter vi ind i ligningen (): PP 0 n= ax1+ by1 ( c) = ax1+ by1+ c. Desuden er n = a + b, så vi ved indsættelse i ligningen (1) får PP n ax + by + c d= RP = =. n a + b Hvis P (x 1,y 1 ) ligger på linjen, fås d = 0.

240 40 7. Linjer og afstande EKSEMPEL 3. Vi bestemmer afstandene fra punkterne P (5,9) og Q (4,1) til linjen med ligningen x + 5y - 30 = 0 (fig. 6). Vi finder at d d = dist( P, m) = + = 5 464, = dist( Q, m) = = , Fig. 6 LINJE OG CIRKEL Vi skal se på cirkeltangenter og på, hvordan man bestemmer skæringspunkter mellem en linje og en cirkel. En linje og en cirkel kan skære hinanden i to punkter, i ét punkt (så er linjen tangent til cirklen) eller i ingen punkter. Vi viser ved et par eksempler, hvordan man bestemmer koordinater til fælles punkter mellem cirkler og linjer.

241 7. Linjer og afstande 41 CIRKELTANGENT En cirkeltangent står vinkelret på cirklens radius i røringspunktet. Dette udnyttes til bestemmelse af tangenters hældninger. EKSEMPEL 4. En cirkel har centrum i C (,3) og radius 5. Punktet P (5,7) ligger på cirklen, fordi dets afstand fra centrum er 5: CP = ( 5 ) + ( 7 3) = = 5. Vi vil finde ligningen for cirkeltangenten i P. Fig metode. Linjen CP har hældningen = 3. Tangenten i P er vinkelret på CP, så tangentens hældning er (det modsat reciprokke tal til 4 ). Derfor er tangentens ligning 3 y - 7 = 3 4 (x - 5) y = - 3 x y= -3x+ 43 3x+ 4 y - 43 =

242 4 7. Linjer og afstande. metode. Vi finder koordinaterne til vektoren CP : CP 3 4. = ( ) Denne vektor er normalvektor til tangenten i P. Derfor har tangenten efter formlen i kapitel 5 ligningen 3(x - 5) + 4(y - 7) = 0 3x+ 4y 43= 0. EKSEMPEL 5. Linjen m har ligningen y = 3 x 1 Vi ønsker at bestemme ligningen for den cirkel, der har centrum i C (3,5) og som tangerer linjen m (fig. 8). Fig. 8 Radius i cirklen er netop afstanden fra C til m, så vi finder ved dist-formlen, at Så er r = dist(c,m) = og cirklens ligning er derfor = = = r 1 = 144 =, (x - 3) + (y - 5) =

243 7. Linjer og afstande 43 SKÆRING MELLEM CIRKEL OG LINJE Vi demonstrerer, hvordan man bestemmer koordinaterne til eventuelle skæringspunkter mellem en linje og en cirkel, hvis ligninger er kendte. EKSEMPEL 6. En cirkel og en linje har ligningerne (x - 1) + (y - 4) = 50 og y = x + 7. Cirklen har altså centrum i (1,4) og radius 50, og linjen har hældningen og skærer y-aksen i (0,7), se fig. 9. Fig. 9 Vi benytter substitutionsmetoden og erstatter i cirklens ligning y med x + 7. Derefter kan vi regne sådan: (x - 1) + (x + 7-4) = 50 (x - 1) + (x + 3) = 50 x - x x + 1x + 9 = 50 5x + 10x + 10 = 50 5x + 10x - 40 = 0 x + x - 8 = 0. Denne andengradsligning har diskriminanten d = b - 4ac = (-8) = = 36, så ligningen har to løsninger: x = ± 36 = ± 6 = 4.

244 44 7. Linjer og afstande Vi har nu fundet x-koordinaterne til linjens to skæringspunkter med cirklen. y-koordinaterne findes ved at indsætte de to x-værdier i linjens ligning: ( 4) + 7= 1 y= x+ 7=. + 7= 11 Altså har skæringspunkterne P og Q mellem linjen og cirklen koordinaterne (,11) og (-4,-1). På figuren ser dette ud til at passe fint. Man kan desuden ved hjælp af cas tegne linjen og cirklen og aflæse eventuelle skæringspunkter. Cirklens ligning omskrives til (x - 1) + (y - 4) = 50 ( y 4) = 50 ( x 1) y 4=± 50 ( x 1) y= 4± 50 ( x 1). Her fremstiller ligningen med fortegnet + (plus) den øverste halvcirkel, ligningen med fortegnet (minus) den nederste. EKSEMPEL 7. Vi ønsker at bestemme skæringspunkterne mellem x-aksen og cirklen fra eksempel 6: (x - 1) + (y - 4) = 50. Da x-aksen har ligningen y = 0, indsætter vi y = 0 i cirklens ligning: (x - 1) + (0-4) = 50 (x - 1) + 16 = 50 (x - 1) = , x 1=± 34 x= 1± 34 = { 483,. Cirklen skærer altså x-aksen i punkterne (6,83 ; 0) og (-4,83 ; 0). På tilsvarende måde findes cirklens skæringspunkter med y-aksen ved i ligningen at sætte x = 0: ( 0 1) + ( y 4) = ( y 4) = 50 ( y 4) = y 4=± 7 y= 4 ± 7= { 3, så cirklen skærer y-aksen i (0,11) og i (0,-3).

245 Vi ser på et vektorpar ( ab, ). Her er rækkefølgen, som vektorerne skrives i, af betydning, så parret ( ab, ) er et andet par end parret (, ba ). Dette er af betydning i det følgende. Vi bruger de sædvanlige betegnelser a udregne determinanten: a b 1 a b og 1 b og kan så a det( ab, ) a b b1 a ab a b 1 1 b 1. På samme måde får vi determinanten for vektorparret (, ba ) til b a det( ba, ) ba ab b a ab 1. Vi ser altså, at det( ab, ) det( ba, ). Vi bruger en speciel skrivemåde for determinanten af et vektorpar, nemlig et kvadratisk talskema med koordinaterne for a som første søjle og koordinaterne for b som anden søjle: a1 b1 det( ab, ) ab 1 ab 1. a b Vi kan sige, at vi ved udregning af determinanten ganger på kryds : Vi ser på vektorerne a 3, b, c og d 6, og får 3 det( ab, ) 341( ) 14, det( cd, )

246 46 7. Linjer og afstande GEOMETRISK FORTOLKNING AF DETERMINANT Vi skal se, at såvel fortegnet for determinanten som dens numeriske værdi har en geometrisk betydning. SÆTNING 3 For vektorparret ( ab, ) af egentlige vektorer a og b gælder: 1. Fortegnet for det( ab, ) er det samme som omløbsretningen fra a til b.. Den numeriske værdi af det( ab, ) er arealet af det parallelogram, som a og b udspænder. Bevis. Først ser vi på omløbsretningen fra a til b. Herved forstås den korteste drejning, der fører vektoren a over i en vektor, der er ensrettet med b. Omløbsretningen er positiv (mod uret) eller negativ (med uret). Vi lader w være vinklen mellem vektorerne a og b. Efter sætningen om vinkel mellem to vektorer (kapitel 6, sætning 3) er så det( ab, ) = a b = ab cos w. Fig. 10

247 7. Linjer og afstande 47 Vi tegner vektorerne a, a, a og a. Vi ser så af fig. 10, at det ( ab, ) > 0 cosw > 0 vinklen w mellem a og b er spids omløbsretningen fra a til ber positiv og det ( ab, ) < 0 cosw < 0 vinklen w mellem a og b er stump omløbsretningen fra a til ber negativ. Omløbsretningerne er angivet med buede pile, mens vinklerne w er markeret med buer. På fig. 10 er vist to eksempler på beliggenheden af b i hvert tilfælde. Fig. 11 Dernæst ser vi på det parallelogram, som a og b udspænder. Vi projicerer b på a for at få parallelogrammets højde, og betegner den projicerede vektor med b a (fig. 11). Efter formlen for længden af den projicerede vektor får vi a b b a =. a Denne længde er altså parallelogrammets højde. Parallelogrammets grundlinje er a og dets areal dermed a b A= ba a = a = a b = det( ab, ). a Vi har her brugt, at a = a.

248 48 7. Linjer og afstande Arealet A af det parallelogram, der udspændes af a og b, er altså A = a a b b 1 1 Her er de yderste lodrette streger numerisk værdi, de inderste er determinantsymbolet.. EKSEMPEL 9. Vektorerne med koordinaterne a 3 5 og b 4 = ( ) = ( ) Fig. 1 udspænder et parallelogram (fig. 1). Determinanten er 3 5 det( ab, ) = = 3 4 ( 5) = 6, 4 så parallelogrammets areal er 6. Fig. 13

249 7. Linjer og afstande 49 ΔABC har vinkelspidser med koordinaterne A (4,3), B (8,6) og C (11,4). Trekantens areal er det halve af arealet af et parallelogram, som er udspændt af to vektorer på siderne - ligegyldig hvilke. Vi finder fx sidevektorerne BA = ( 4 ) CB = ( 3 og 3 ), hvis determinant er det( BA, CB ) = 4 3 = 4 ( 3) ( 3) = 8 9= Arealet af trekanten er altså 8 1. Vi har altså, at hvis en trekant er udspændt af vektorerne a og b, er dens areal T bestemt ved T = 1 det( ab, ). I sætning 3 så vi på fortegnet for determinanten det( ab, ) for et egentligt vektorpar. Vi mangler at se på fortegnet 0. Nu er et skalarprodukt mellem to egentlige vektorer 0, netop hvis vektorerne er ortogonale. Altså får vi for determinanten, at det( ab, ) = 0 a b= 0 a b a b. Et kriterium for, at to egentlige vektorer er parallelle, er derfor, at deres determinant er 0. ANVENDELSER Hvis et legeme under påvirkning af en konstant kraft F (fx tyngdekraften) bevæger sig et stykke vej s i kraftens retning, siger man, at kraften har udført et arbejde på legemet. Som mål for dette arbejde udregner man produktet w= F s. Lad os se på den situation, at et legeme med massen 5 kg løftes 3 m i lodret retning. For et legeme med massen m gælder F = m g, g

250 50 7. Linjer og afstande hvor F g er den kraft, som jordens tyngdefelt påvirker legemet med, og g = 9,81 m er tyngdens acceleration. Altså får vi i vores eksempel, s at arbejdet med at løfte legemet er w= Fg s = 5kg 9 81 m kg m, 3m =147 m = 147 Nm. s s Kraften er 147 N (Newton) og arbejdet 147 Nm (Newtonmeter). Fig. 14 Nu vil kraftens retning i mange tilfælde ikke falde sammen med den vej, legemet bevæger sig. I sådanne tilfælde vil kun den del af kraften der er parallel med vejen, have betydning for bevægelsen. Man kan fx tænke sig at, en traktor trækker en godsvogn på skinner, der løber ved siden af den vej, traktoren kører på. Fig. 15 Dette betyder, at kun projektionen af F på vejen s har betydning (fig. 15). Af den retvinklede trekant på figuren ser vi, at kraftens arbejde i dette tilfælde er w= Fs s = F s cos v. Her genkender vi skalarproduktet af vektorerne F og s, så der for arbejdet gælder, at w= F s. Vi kan altså i fysikken fortolke skalarproduktet som et arbejde.

251 7. Linjer og afstande 51 EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Arealet af en trekant. Du skal finde en nem måde at bestemme arealet af en trekant i koordinatsystemet på, når dens vinkelspidsers koordinater er kendt. På fig. 16 har vinkelspidserne i ΔABC koordinaterne A (p,q), B (m,n), C (r,s). 1. Skriv koordinaterne op til vektorerne AB og AC og udregn det( AB, AC). Det bliver en størrelse med 8 led!. Vi definerer et udvidet determinantsymbol med rækker og 4 søjler sådan: a c e a = ad + cf + eb (bc + de + fa) ; b d f b her skal første og sidste søjle være ens. Undersøg om man får det samme tal ved at skrive Fig. 16 c e d f a c b d eller e a f b c d e f. 3. Udregn nu p q m n r p s q. Hvad opdager man ved sammenligning af dette udtryk med formlen for trekantens areal under punkt 1?

252 5 7. Linjer og afstande 4. Benyt opdagelsen til at udregne arealet af ΔABC, når A (-,3), B (8,-4) og C (6,9). Tegn en figur. 5. En anden metode til bestemmelse af en trekants areal er følgende. Fig. 17 På fig. 17 er vist et par trekanter i koordinatsystemet. Deres areal kan (i nogle tilfælde) bestemmes ved at tegne rektangler med trekantens vinkelspidser på siderne. I andre tilfælde kan ikke alle trekantens vinkelspidser ligge på et omskrevet rektangel. Gør rede for de to tilfælde og bestem arealet af trekanterne på figuren ved bortskæring af de retvinklede hjørnetrekanter. EKSPERIMENT En sætning om cirkeltangenter. Vi ser på en cirkel med radius r og trækker tangenterne til cirklen i to diametralt modsatte punkter A og B (fig. 18). En tredje tangent trækkes til cirklen i punktet M. Tangenten skærer de to første tangenter i N og P. Da gælder, at produktet af længderne PM og NM er konstant, nemlig PM NM = r. Du skal her vise denne sætning ved hjælp af koordinatregning. 1. Vi anbringer cirklen med centrum i (0,0) og radius r. Lad M have koordinaterne (x 0,y 0 ), dvs. x 0 + y 0 = r. Idet O er cirklens centrum (0,0), skal du skrive hældningen for linjen OM op.

253 7. Linjer og afstande 53 Fig. 18. Skriv hældningen for tangenten i M. Angiv derefter ligningen for tangenten i M. Vis, at tangentens ligning kan skrives xx 0 + yy 0 = r. 3. Vis, at koordinaterne til tangentens skæringspunkter med tangenterne i A og B er N r, r + y rx 0 0 og P r, r y rx Hvorfor er NM = AN og PM = BP AN og BP.? Find længderne 5. Udregn produktet AN BP. Er det ønskede vist?

254 54 7. Linjer og afstande EKSPERIMENT 3 Skæring mellem cirkler. Du skal se, hvordan man kan bestemme koordinaterne til skæringspunkterne mellem to cirkler (hvis cirklerne skærer hinanden). Lad cirklerne have ligningerne (x - 8) + (y - 1) = 50 og (x - 3) + (y - ) = 5. De har altså centrer i (8,1) og (3,) og radier 50 og Tegn en figur af cirklerne, og overbevis dig om, at de skærer hinanden i to punkter. Omskriv hver af ligningerne til formen x + y + ax + by + c = 0.. Træk den ene ligning fra den anden (rækkefølgen er uden betydning). Vis, at du får x + y = Tegn linjen med ligningen x + y = 17. Hvordan ligger denne linje i forhold til de to cirkler? 4. Isolér x eller y af ligningen under punkt og indsæt den isolerede variabel i en af de to cirkelligninger. Løs den fremkomne ligning. Løsningen/løsningerne indsættes i linjens ligning. Hvad har du nu fundet? 5. Du kan også anvende cas til bestemmelse af skæringspunkterne. Hertil omskriver du hver af cirkelligningerne, så y fremstilles som to udtryk i x. Forklar nedenstående omskrivninger af den første cirkelligning (x - 8) + (y - 1) = 50 (y - 1) = 50 - (x - 8) y - 1 = ± 50 ( x 8) y= 1 ± 50 ( x 8). Tegn graferne for hver af udtrykkene y= ( x 8) og y= 1 50 ( x 8), og gør rede for, hvilke kurver, ligningerne fremstiller. 6. Foretag samme omskrivning af den anden cirkelligning. Tegn nu begge cirkler på cas og aflæs skæringspunkerne på sædvanlig måde.

255 7. Linjer og afstande Cirklen c 1 har centrum i (4,-1) og radius 13, mens cirklen c har centrum i (,8) og radius 6. Bestem med 3 decimaler koordinaterne til de to cirklers skæringspunkter. 8. Afgør, om cirklerne med ligningerne x + y + 1x - 6y - 37 = 0 og x + y - 8x + 6y + 83 = 0 skærer hinanden (Vink: Find længden af deres centerlinje). I bekræftende fald skal du bestemme koordinaterne til skæringspunkterne. EKSPERIMENT 4 En anvendelse af determinanter. Du skal her se, at løsning af et ligningssystem bestående at to ligninger med to ubekendte af 1. grad kan klares ved hjælp af determinanter. 1. Vi ser på ligningssystemet Løs dette ligningssystem. x - 5y = 17 7x + 9y = -0.. Af ligningssystemet dannes tre determinanter: d = = = 53, som kaldes ligningssystemets hoveddeterminant, og desuden følgende to: 17 5 d x = = = 53 og d y = = = Bemærk, at i d x optræder koefficienterne til x ikke, i d y optræder koefficienterne til y ikke. Udregn nu d x d og dy. Hvad opdager du? d

256 56 7. Linjer og afstande 3. Løs ved hjælp af de formler, du har opdaget under punkt ligningssystemet 8x - 13y = 1 1x - 34y = -. Du skal løse ligningssystemet a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c. Du kan gå frem på flere måder metode. Du kan vise, at tallene x og y fra punkt passer i ligningen. Gør rede for, at de er dx = bc1 b1c, d y = a 1 c a c 1. d d Indsæt x x y = og y= i ligningssystemet, reducer venstresiderne, og vis, at ligningssystemet er d d opfyldt. 5.. metode. Ligningssystemet kan omskrives til vektornotation. Sæt nemlig a b a= ( 1 a ) b= c c b c, 1, = ( 1 ), og gør rede for, at ligningssystemet så kan skrives a x 1 b a y 1 c1 ( xa yb c ) + b = c ( ) + =. Forklar følgende omskrivning ved hjælp af skalarprodukt: xa a+ ya b = a c ya b = a c. Isolér y i denne ligning og vis, at du får dy y =. d 6. Betragt igen systemet fra punkt 5: xa+ yb = c, og dan her skalarproduktet med b. Isoler x i den ligning, der fremkommer, og vis, at du får dx x =. d

257 7. Linjer og afstande metode. Du kan benytte de lige store koefficienters metode. I ligningssystemet a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c ganger du den øverste ligning med a og den nederste med a 1 og trækker fra. Find derved y, og vis, at du får samme resultat som under punkt 5. Bortskaf derefter y ved at gange ligningerne med passende tal og vis, at du får x som under punkt Hvad sker der, hvis ligningssystemets hoveddeterminant er 0? Skriv som eksempel et ligningssystem op, hvor dette indtræffer. Forsøg at løse ligningssystemet.

258 58 KAPITELOVERSIGT 7 PROJEKTION AF VEKTOR PÅ VEKTOR Projektionen a af a på b er givet ved a a b b = b b vektorer). b Længden af den projicerede vektor er a a b b =. b ( aogb egentlige AFSTAND FRA PUNKT TIL LINJE, DIST-FORMLEN Afstanden dist(p,m) fra punktet P (x 1,y 1 ) til linjen med ligningen ax + by + c = 0 er d= dist( P, m) = ax + by + c 1 1 a + b. DETERMINANT Determinanten for vektorparret ( ab, ) det( ab, ) a b a b 1 1 = = = ab ab a b, 1 1 det( ab, ) det( ba, ), det( ab, ) a = = 0 b. Fortegnet for det( ab, ) er lig med omløbsretningen fra a til b. Den numeriske værdi af det( ab, ) er arealet af det parallelogram, som a og b udspænder. er TREKANTS AREAL Arealet af en trekant findes som det halve af det tilhørende parallelograms areal.

259 7. Internet 59 MAT.SYSTIME.DK Til dette kapitel kan du på mat.systime.dk arbejde videre med bl. a. skæring mellem linje og cirkel samt determinant for vektorpar. Du kan øve dig på at bestemme skæringspunkter mellem en linje og en cirkel. Går du i stå, eller vil du kontrollere din egen beregning, giver et klik på Hjælp - knappen adgang til en detaljeret gennemregning af opgaven. Animationen viser samtidig den sporbare linje og cirklen i koordinatsystemet med skæringspunkterne angivet.

260 60 7. Internet Ved hjælp af et gennemregnet eksempel kan du i ro og mag studere regningerne i detaljer. Du kan beregne determinanten for et vektorpar og samtidig få udregnet arealerne af det tilhørende parallelogram og trekant. Her er der klikket på Teori - knappen.

261 8FUNKTIONER

262 Et særdeles vigtigt begreb i matematikken er funktionsbegrebet. Funktioner angiver sammenhænge mellem to forskellige størrelser. Vi siger fx, at den luftmodstand, en bil skal overvinde, er en funktion af dens hastighed. en persons indkomstskat er en funktion af indkomsten. et køretøjs tilbagelagte afstand er en funktion af den tid, det har kørt. Vi skal her nærmere se på sådanne sammenhænge og på, hvordan de kan afbildes i koordinatsystemet. Vi indfører begreberne funktion, forskrift og graf, beskriver monotonitet, maksimum og minimum for funktioner. Man kan regne med funktioner (lægge sammen, trække fra osv.), og vi redegør kort for sammensætning af funktioner og for omvendt funktion.

263 8. Funktioner 63 FUNKTIONSBEGREBET Vi indleder med følgende eksempel: Et taxaselskab udregner prisen for en tur på følgende måde: Et startgebyr på 15 kr. uanset turens længde og derefter 17 kr. pr. km. En tur på 0 km koster altså = 355 kr., og en tur på 35 km koster = 610 kr. Vi bruger betegnelserne x og y sådan: x : turens længde i km, y : turens pris i kr. Vi ser at sammenhængen mellem x og y er Vi siger, at y = x. prisen y er en funktion af længden x. Hermed mener vi, at til enhver værdi af x (dvs. til ethvert kilometerantal) svarer der præcis én værdi af y (dvs. én bestemt pris). FUNKTION I eksemplet optræder de to størrelser x og y. Den ene af disse størrelser varierer frit, nemlig x, og denne størrelse kaldes derfor den uafhængige variabel. Vi bestemmer selv, hvor lang en tur vi vil køre. Den anden størrelse y (prisen) kan vi ikke variere - den afhænger af x (turens længde). Derfor kaldes y den afhængige variabel. Som nævnt svarer der til hver værdi af x præcis én værdi af y. Vi sammenfatter dette i følgende definition: DEFINITION En størrelse y kaldes en funktion af en størrelse x, hvis der til hver værdi af x svarer præcis én værdi af y, som kaldes funktionsværdien af x. Man skriver y = f(x). Den mængde af tal, inden for hvilken den uafhængige variabel x kan variere, kaldes funktionens definitionsmængde, og den betegnes Dm(f). Den mængde af tal, der udgøres af samtlige funktionsværdier, kaldes funktionens værdimængde og betegnes Vm(f).

264 64 8. Funktioner I eksemplet ovenfor kan vi sætte Dm(f) = ]0;00], hvis vi udelukkende ønsker at se på taxature på under 00 km. Værdimængden udgøres af alle de mulige priser på ture. Da startgebyret er på 15 kr., kan vi (teoretisk) komme til at betale ethvert beløb mellem 15 kr. og 3415 kr. (en tur på 00 km), så værdimængden er Vm(f) = ]15;3415]. Vi fandt, at ture på 0 og 35 km koster henholdsvis 355 og 610 kr., og vi skriver dette sådan: f(0) = 355, f(35) = 610. Funktionsværdien af 0 er altså 355. REGNEFORSKRIFT Vi har sammenhængen y = x, og skriver også f (x) = x. Dette kaldes en regneforskrift for funktionen f, fordi den netop foreskriver, hvordan funktionsværdier skal regnes ud, dvs. hvilken værdi af y, der svarer til en given værdi af x. Funktionsværdier udregnes, som vi har set, ved indsættelse af værdier i stedet for x: f (30) = = 55, f (75) = = 190. Hvis man ser på flere funktioner samtidig betegner man dem i reglen med f, g, h,... eller f 1, f,... Hvis fx g(x) = x + 5 er g(4) = = 1 og g(-) = (-) + 5 = 9. GRAFISK BILLEDE Vi illustrerer funktioner på figurer ved hjælp af deres graf. Grafen for en funktion f består af alle de punkter (x,y) i koordinatsystemet for hvilke y = f(x). På fig. 1 er grafen for f(x) = x tegnet, og desuden er der angivet funktionsværdier hørende til værdier i definitionsmængden. Fig. viser et mindre udsnit af grafen, og vi ser, at f(4) = 83.

265 8. Funktioner 65 Fig. 1 Fig. EKSEMPEL 1. Lad os se på funktionen f med forskriften f (x) = 1 x x+ 1, Dm(f) = [-;5]. Ved hjælp af cas kan man tegne grafer og desuden angive tabeller over funktionsværdier. For f kan en sådan tabel kan have følgende udseende: x f (x) 7 3,5 1-0,5-1 -0,5 1 3,5 Fig. 3

266

267 8. Funktioner 67 Fig. 6 DEFINITION En funktion f kaldes voksende, hvis der for to vilkårlige tal x 1 og x i definitionsmængden gælder, at hvis x 1 < x, så er f(x 1 ) < f(x ). En funktion f kaldes aftagende, hvis der for to vilkårlige tal x 1 og x i definitionsmængden gælder, at hvis x 1 < x, så er f(x 1 ) > f(x ). En funktion f kaldes konstant, hvis alle x i definitionsmængden har samme funktionsværdi, dvs. f(x) = k. En funktion, der er voksende eller aftagende, kaldes monoton. De funktioner, hvis grafer er tegnet på fig. 7 og 8 er monotone. Grafen på fig. 9 er ikke graf for en monoton funktion, fordi den ikke er enten voksende eller aftagende i hele definitionsmængden ];13]. Men vi kan dele definitionsmængden op i såkaldte monotoniintervaller, dvs. intervaller, hvori funktionen er monoton (eller konstant). Vi kan nemlig skrive f er voksende i [5;11], f er aftagende i ];5] og i [11;13]. De punkter, der er fælles endepunkter for to monotoniintervaller, medregnes til dem begge. Således er 5 og 11 medregnet i begge de intervaller, hvori de er endepunkter. Det skyldes selvfølgelig, at 5 og 11 kan spille rollen som x 1 og x i definitionen ovenfor. Når vi skriver monotoniintervallerne op på denne måde, siger vi, at vi har gjort rede for funktionen monotoniforhold.

268 68 8. Funktioner Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 MAKSIMUM OG MINIMUM I mange tilfælde har en funktion en størsteværdi og/eller en mindsteværdi, også kaldet maksimum eller minimum. På fig. 9 er den største funktionsværdi 8 og det tilhørende maksimumssted er 11, fordi f(11) = 8. Vi siger, at f har et maksimum (en størsteværdi) på 8, som antages for x = 11. På samme måde gælder, at

269

270 70 8. Funktioner Fig. 10 Fig. 11 SAMMENSÆTNING AF FUNKTIONER Man kan foruden ved de fire elementære regneoperationer kombinere funktioner ved såkaldt sammensætning. At sammensætte to funktioner vil sige at udføre dem efter hinanden. FORSKRIFT FOR SAMMENSAT FUNKTION Lad os se på funktionerne f og g med forskrifterne f(x) = x - 5 og g(x) = x. Vi vælger en vilkårlig x-værdi og udfører først f, derefter g. Vi kan skrive dette sådan: for x = 7 : f : 7 9, g : 9 3 for x = 10 : f : 10 15, g : for x = 3 : f : 3 1, g : 1 1. Vi kan også skrive sådan: f(7) = 9 og g(9) = 3, og erstatter vi tallet 9 i den sidste ligning med f(7) får vi g(f(7)) = 3.

271 8. Funktioner 71 Udregningerne kan samlet skrives: g(f (7)) = g(9) = 3. Vi siger, at vi har sammensat funktionerne f og g. En regneforskrift for den sammensatte funktion får vi ved at udregne g(f(x)) på samme måde: g(f (x)) = Indsæt forskriften for f(x) g(x - 5) = I forskriften for g erstattes x med x - 5 x 5. Dette sidste udtryk er forskriften for den sammensatte funktion g (f(x)). Vi kan se, at hvis vi heri indsætter værdien x = 7 (se ovenfor), fås g(f (7)) = 7 5 = 3. Det er ikke uden problemer at sammensætte funktioner. Hvis vi fx ønsker at regne g(f()) ud, kommer vi i vanskeligheder, fordi f () = -1, så g(f ()) = g(-1), og her kan g(-1) ikke udregnes, fordi -1 ikke ligger i definitionsmængden for x. Dette uheld skyldes, at tallet f() ikke ligger i definitionsmængden for g. Vi har jo at Dm(g) = [0; [, mens f() = -1. Hvis vi uindskrænket skal kunne udregne g(f(x)) for enhver værdi af x, må vi derfor kræve, at værdimængden for f er en del af definitionsmængden for g. EKSEMPEL. Lad os se på funktionerne med forskrifterne f (x) = 5-3x og g(x) = 4x 3. Vi kan så udregne forskrifterne for de sammensatte funktioner f(g(x)) og g(f(x)) sådan: f (g(x)) = f(4x 3 ) = 5-3 4x 3 = 5-1x 3 g(f (x)) = g(5-3x) = 4 (5-3x) 3. Læg mærke til at rækkefølgen for sammensætningen spiller en afgørende rolle! Normalt er f( g( x)) g( f( x)).

272 7 8. Funktioner OPLØSNING AF FORSKRIFT I de anvendelser vi sidenhen skal gøre, er vi hovedsagelig interesseret i at opløse et sammensat funktionsudtryk i de to funktioner, det er sammensat af. Lad os se på funktionen h med forskriften h(x) = (4x + 7) 5. Hvis vi ønsker at udregne en funktionsværdi, kan vi notere os regningernes rækkefølge. Vi kan skrive sådan: x 4 x + 7 (4x + 7) 5. Funktionen h er altså sammensat af funktionerne f(x) = 4x + 7 og g(x) = x 5, så h(x) = g(f (x)). Vi kan kontrollere ved at indsætte: h(x) = g(f (x)) = g(4x + 7) = (4x + 7) 5. EKSEMPEL 3. Funktionen h(x) = 3x 7x kan opløses sådan: x 3x - 7x 3x 7x, så f(x) = 3x - 7x og g(x) = x. Kontrol giver g(f (x)) = g(3x - 7x) = 3x 7x.

273 8. Funktioner 73 OMVENDT FUNKTION Visse operationer er hinandens omvendte i den forstand, at hvis man udfører dem efter hinanden, ophæver de hinanden. Dette gælder således indenfor de ikke-negative tal kvadrering (opløftning til. potens) og kvadratrodsuddragning (fig. 13). Hvis f(x) = x og g(x) = x, er f(3) = 9 og g(9) = 3, samt g(4) = og f() = 4, hvilket vi ved hjælp af sammensætning også kan skrive sådan g(f(3)) = g(9) = 3 og f(g(4)) = f() = 4. Funktionerne f og g kaldes hinandens omvendte (eller inverse), hvis de ophæver hinanden på denne måde, dvs. hvis f(g(x)) = x og g(f(x)) = x. Fig. 13 Vi ser, at punktet (3,9) ligger på grafen for f, og punktet (9,3) ligger på grafen for g. Punkter, hvis koordinater på den måde er ombyttet, ligger symmetrisk med hensyn til linjen med ligningen y = x. Dette er netop kendetegnende for et par af omvendte funktioners grafer.

274 74 8. Funktioner EKSEMPEL 4. Funktionerne f(x) = x og g(x) = x 3 er hinandens omvendte: Kubikrodsuddragning og opløftning til 3. potens er omvendte operationer. På samme måde er f(x) = x og g(x) = x n hin- n andens omvendte for x > 0. Funktionerne f(x) = 1 x + 3 og g(x) = x - 6 er hinandens omvendte (fig. 14), fordi man ved sammensætning får, at 3 og f(g(x)) = f(x - 6) = 1 (x - 6) + 3 = x g(f(x)) = g( 1 x + 3) = ( 1 x + 3) - 6 = x. Som omtalt ligger deres grafer symmetrisk med hensyn til linjen y = x. Fig. 14 Man betegner den omvendte funktion til f med f -1. Hvis altså (eksempel 4) f(x) = x er f -1 (x) = x 3, og hvis h(x) = 1 x + 3, er h -1 (x) = 3 x - 6. Rodfunktioner og potensfunktioner er hinandens omvendte. Hvis f x x n 1 n ( ) =, er f ( x) = x for x > 0. Vi får senere brug for begrebet omvendt funktion i forbindelse med eksponential- og logaritmefunktioner.

275 8. Funktioner 75 REGNEFORSKRIFT FOR OMVENDT FUNKTION Vi så ovenfor på de to funktioner f og g, der i [0; [ er hinandens omvendte: f (x) = x og g(x) = x. Deres grafer er symmetriske om linjen med ligningen y = x, dvs. hvis punktet (x,y) ligger på grafen for f, ligger punktet (y,x) på grafen for g. Vi har altså Desuden har vi (x,y) ligger på grafen for f y = x x = y (y,x) ligger på grafen for g. (x,y) ligger på grafen for g y = x. Vi kan derfor sige, at forskriften for den omvendte funktion g til funktionen f fås ved i forskriften for f at finde x udtrykt ved y. Vi betegner den omvendte funktion til f med f -1, så vi kan skrive at hvis f (x) = x, så er f -1 (x) = x. EKSEMPEL 5. Funktionen f er givet ved f(x) = x + 3. Så er y = x + 3 x = y - 3 x = 1 y 3. Den omvendte funktion f -1 til f har derfor en forskrift der fås ved at ombytte x og y: y = f -1 (x) = 1 x 3. På fig. 15 ser vi at linjerne med ligningerne y = x + 3 og y = 1 x 3 ligger symmetrisk om linjen med ligningen y = x.

276 76 8. Funktioner Fig. 15 EKSEMPEL 6. Bremselængden i m for en bil afhænger af hastigheden i km/t, og det viser sig, at den er proportional med kvadratet på hastigheden. Hvis x er hastigheden i km/t og y bremselængden i m, gælder nemlig f(x) = y = 0,0064x. Fx giver hastigheder på 50, 75 og 15 km/t bremselængder på 16, 36 og 100 m. Grafen for denne funktion er vist på fig. 16. Den går altså gennem punkterne (50,16), (75,36) og (15,100). Vi har her valgt den uafhængige variabel x som bilens hastighed og den afhængige y som bremselængden. Funktionen er altså svar på spørgsmålet: Hvilken bremselængde i m svarer til en given hastighed? Nu stiller vi det omvendte spørgsmål: Hvilken hastighed svarer til en given bremselængde? Løsningen på dette problem er politiet interesset i ved undersøgelser af færdselsulykker. Det betyder, at vi nu ønsker bremselængden på x-aksen som den uafhængige variabel og hastigheden på y-aksen som den afhængige variabel. Den graf, der svarer til denne situation, er også vist på fig. 15. Den går gennem punkterne (16,50), (36,75) og (100,15), fordi en bremselængde på fx 16 m svarer til en hastighed på 50 km/t.

277 8. Funktioner 77 Fig. 16 Vi kan bestemme regneforskriften for funktionen f -1 ved at isolere x i forskriften for f: y= 0, 0064x x = y = 156, 5y x= 1, 5 y, 0, 0064 fordi både x og y er ikke-negative. Den omvendte funktion har derfor forskriften y = 1,5 x. Hvis politiet derfor kan måle en bremselængde på fx 36 m, kan man konkludere, at hastigheden var f 1 ( 36) = 1, 5 36 = 75 km/t (dog afhængigt af føret). De to funktioners grafer indeholder punkter, hvis x- og y-koordinat er byttet om.

278 78 8. Funktioner EKSISTENS AF OMVENDT FUNKTION Det er ikke alle funktioner, der har en omvendt. Betingelsen, for at en funktion har en omvendt, er, at tallene på x-aksen og tallene på y-aksen kan parres ved funktionsforskriften, dvs. at forskellige x-værdier har forskellige y-værdier som funktionsværdier. Fig. 17 Dette hænger sammen med, at hvis der findes flere x-værdier, der ved funktionen f har samme funktionsværdi, vil vi ved spejlingen af grafen i linjen y = x som resultat få en kurve, der ikke er graf for en funktion (fig. 17). Her ville nemlig samme x-værdi skulle have flere funktionsværdier, og det er umuligt efter definitionen på en funktion. Kravet om, at forskellige x-værdier har forskellige funktionsværdier er opfyldt for monotone funktioner. Vi kan altså sige at: Monotone funktioner har omvendte funktioner. Desuden findes mange ikke-monotone funktioner, der har omvendte.

279 8. Funktioner 79 TILFØJELSER OG BEMÆRKNINGER Funktioner af flere variable I visse anvendelser afhænger en størrelse af flere andre størrelser. Man taler så om funktioner af flere variable. Et eksempel på dette er en formel til at bestemme arealet af en persons hudoverflade målt i m. Overfladearealet er af interesse ved beregning af fordampning fra kroppen. Det viser sig, at en persons overfladeareal A afhænger både af vægten v (i kg) og højden h (i cm). Der gælder sammenhængen A(v,h) = 0, v 0,45 h 0,75. En person, der vejer 80 kg og er 175 cm høj, har altså en overflade på Tilsvarende fås A(80,175) = 0, , ,75 = 1,956 m. og A(80,180) =,000 m A(85,175) =,000 m.

280 80 8. Funktioner HISTORISKE BEMÆRKNINGER Ordet funktion optrådte for føste gang i 169 i en artikel i Acta Eruditorum i forbindelse med de betydninger, en ret linje kan have med hensyn til en kurve: tangent, korde, normal. Artiklen var af den tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). I en senere artikel gav Leibniz ordet en betydning, der nærmest svarer til en kurves hældning i et punkt og det ligger langt fra vore dages definition. Leonhard Euler ( ) definerede i 1749 en funktion som en variabel størrelse, der afhænger af en anden størrelse. Den tyske matematiker Lejeune Dirichlet ( ) fastlagde i 1837, at en funktion skulle være en forskrift, der til enhver tilladt værdi af den uafhængige variabel tilordner en entydigt bestemt værdi af den afhængige variabel. Dette er faktisk den definition, vi i dag bruger for en funktion. EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Den numeriske værdi. I kapitel 1 definerede vi den numeriske værdi af et tal a ved a = a hvis a 0 {. a hvis a < 0 Derfor kan vi definere funktionen den numeriske værdi ved xhvis x 0 f( x) = x = {. xhvis x < 0 En forskrift af denne type kaldes en gaffelforskrift, fordi den består af to (af og til flere) udtryk med hver sin definitionsmængde. 1. Tegn grafen for funktionen f( x)= x. Du kan evt. opstille en tabel over dens værdier eller benytte cas. Her vil funktionen typisk have navnet den absolutte værdi og være betegnet abs(x). Grafen har et såkaldt knæk i (0,0). Angiv hældningerne for hver af de to halvlinjer, grafen består af.. Tegn derefter graferne for funktionen f(x) = x ved at udregne en række værdier. Angiv, hvilke hældninger de to dele af grafen har.

281 8. Funktioner Nu betragter vi funktionen f( x)= x. Tegn dens graf og angiv i hvilket punkt dens knæk ligger. Hvad er hældningerne for de to dele, grafen består af? Du skal derefter svare på de samme spørgsmål for funktioner af typen f( x)= x a. 4. Tegn graferne for hver af funktionerne f( x)= x 4 og gx ( )= 3x+ 9. Hvilke hældninger har grafernes to halvdele, og i hvilke punkter ligger deres knæk? 5. Samme spørgsmål for graferne til funktionerne f( x)= 1 x 3 og gx ( )= 3x Skriv en forklaring på udseende og beliggenhed af grafen for funktioner af typen f( x)= ax+ b. 7. Vi vender tilbage til funktionen f( x)= x 4. Tegn i samme koor dinatsystem grafen for funktionen gx ( )= x og hx ( )= x 4 3. Giv nu en beskrivelse af udseende og belig genhed af grafen for funktioner med forskrift af typen f( x)= ax+ b + c. EKSPERIMENT Celsius og Fahrenheit. I det meste af Europa måler man temperatur i C (Anders Celsius, svensk fysiker, astronom og meteorolog, ), mens man i England og USA måler i F (Gabriel Daniel Fahrenheit, nederlandsk fysiker, ). Sammenhængen mellem de to skalaer er følgende: Frysepunktet : 3 F og 0 C Kogepunktet : 1 F og 100 C. 1. Du er på rejse i USA og ønsker i første omgang en tabel der fremstiller Celsius-graderne som en funktion af Fahrenheitgraderne. Dette betyder at tabellen har to linjer: I den øverste (x) anføres F og i den nederste (y) anføres de tilhørende C. Opstil en sådan tabel.. Udtryk y ved x.

282 8 8. Funktioner 3. Kontrollér at den sammenhæng, du har fundet, kan skrives y= 5 ( x 3), 9 og tegn grafen for denne funktion i et passende koordinatsystem. 4. En amerikaner på rejse i Europa er omvendt interesseret i en x- akse der angiver C og en y-akse der angiver F. Opstil en forskrift for den omvendte funktion. Tegn grafen for denne funktion i samme koordinatsystem. 5. Hvilken temperatur giver samme gradtal i de to skalaer? EKSPERIMENT 3 Omvendt funktion. På fig. 18 er tegnet grafen for funktionen f givet ved 1 f( x)= x 6x+ 19, som ikke er monoton. Grafen kaldes en parabel. Parablen er spejlet i linjen y = x og spejlbilledet er den grønne parabel. 1. Gør rede for, at den grønne parabel er sammensat af graferne for to funktioner. Fig. 18

283 8. Funktioner 83. Vi har, at 1 y= x 6x+ 19 x 1x+ 38 y= 0. Opfat her y som konstant og løs andengradsligningen med hensyn til x. 3. Vis derved, at man med cas kan få tegnet den prikkede parabel ved at tegne graferne for funktionerne y= 6+ x og y= 6 x. 4. Hvis funktionen f defineres ved 1 f( x) = x 6x+ 19, x 6, skal du opstille en regneforskrift for den omvendte funktion. Hvorfor er betingelsen x 6 vigtig?

284

285 8. Internet 85 MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du arbejde videre med begreberne sammensat og omvendt funktion. Du kan her sammensætte lineære funktioner og beregne funktionsværdier for den sammensatte funktion.

286 86 8. Internet Du kan også bestemme den omvendte funktion til en lineær funktion. Klikkes på Hjælp -knappen ses regneforskriften for den omvendte funtion, og begge grafer vises i koordinatsystemet.

287 9VIGTIGE FUNKTIONER

288 Der findes i den grundlæggende matematik en række funktioner, der bruges meget. Vi skal her gennemgå nogle af disse standardfunktioner, som det er praktisk at kende. De optræder desuden i andre fag og sammenhænge, så det er praktisk at have et lager til rådighed. Vi skal se på lineære funktioner og potensfunktioner, herunder ligefrem og omvendt proportionalitet mellem størrelser. Andengradspolynomiet og polynomier af højere grad behandles, og løsning af uligheder ved hjælp af grafiske metoder omtales.

289 9. Vigtige funktioner 89 LINEÆRE FUNKTIONER En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. Ligningen for en ret linje (der ikke er parallel med y- aksen) er som bekendt y = ax + b. En lineær funktion har derfor regneforskriften f(x) = ax + b. Her er a hældningskoefficienten (eller blot hældningen), og tallet b er linjens skæringspunkt med y-aksen, fordi f(0) = a 0 + b = b, så linjen går gennem punktet (0,b). Fra teorien for den rette linje véd vi, at hvis a > 0, er funktionen f(x) = ax + b voksende, hvis a = 0, er funktionen f(x) = b konstant, hvis a < 0, er funktionen f(x) = ax + b aftagende. På fig. 1 er graferne for nogle lineære funktioner tegnet. Fig. 1

290 90 9. Vigtige funktioner LIGEFREM PROPORTIONALITET Man bruger den talemåde, at to størrelser er ligefrem proportionale (eller blot: proportionale), hvis de vokser og aftager i samme takt. Vi skal se på, hvad denne lidt løse udtalelse dækker over. Hvis en bil kører med konstant hastighed, fx 90 km/t, kan vi opstille en tabel over den tilbagelagte afstand y som funktion af tiden x: x (min) y (km) Vi ser, at y netop er 1 1 gange så stor som x, så vi har ligningen y = 3 x Talemåden y ændrer sig i samme takt som x betyder netop, at x skal ganges med et fast tal (her1 1 ) for at give y. Man kan også sige, at når x bliver dobbelt så stor, bliver y også dobbelt så stor, når x bliver tre gange så stor, gælder det samme for y: Hvis man med konstant hastighed kører dobbelt så lang tid, tilbagelægger man også dobbelt så lang afstand. I dette tilfælde er tidsrummet x og afstanden y proportionale, og tallet 1 1 kaldes proportionalitetsfaktoren, fordi det netop er faktoren foran x. Man kan også sige, at forholdet mellem y og x er konstant, fordi vi har y x = 3. Forholdet mellem afstand og tid kaldes hastighed, og tallet 1 1 angiver her netop hastigheden: bilen kører med en hastighed på 1 1 km/ min, svarende til 90 km/t. Antallet af tilbagelagte km er en funktion f af tiden med forskriften f(x) = 3 x. Grafen for funktionen er en ret linje gennem (0,0) med hældningen (fig. ). 1 1

291 9. Vigtige funktioner 91 Fig. DEFINITION To størrelser x og y kaldes proportionale, hvis der findes et tal k, så y = kx eller y x = k. Tallet k kaldes proportionalitetsfaktoren. Det grafiske billede for funktionen f(x) = kx er en ret linje gennem (0,0) med proportionalitetsfaktoren k som hældning. EKSEMPEL 1. Et par eksempler på størrelser der er proportionale: Et lod er ophængt i en snor. Man fører loddet en smule ud til si den og giver slip. Loddet begynder at svinge frem og tilbage. Da er loddets svingningstid proportional med kvadratroden af snorens længde. Svingningstiden er det antal sekunder, der går, fra loddet er i den ene yderstilling (fx venstre), til det når samme yderstilling næste gang.

292 9 9. Vigtige funktioner Hvis svingninsgtiden betegnes T og snorens længde L, gælder altså at T = k L, hvor k er proportionalitetsfaktoren. Hvis vi får en oplysning om længde og svingningstid, kan vi beregne k. Snoren er måske 3,5 m lang og svingningstiden 4 sekunder. Vi indsætter disse oplysninger: 4 = k 35, k = 4 = 14,. 35, Altså kan sammenhængen mellem T og L beskrives ved formlen T =,14 L. Hvis vi ønsker et lod med en svingningstid på sekunder, har vi = 14, L L = = 0, 934 L= 0, 934 = 0, 873, 14, så snoren skal være 87,3 cm lang. I fysik gælder følgende formel for svingningstiden T for et pendul T = π L g = π L π = g g L =,006 L. Her er g tyngdeaccelerationen på 9,81 m/s. Et firmas omkostninger ved at have en række personer ansat er proportionale med antallet af ansatte personer og med antallet af timer, de arbejder. Hvis N er omkostningerne, x antallet af ansatte personer og t antallet af timer, gælder N = k x t. Igen er k proportionalitetsfaktoren. Den oplyses ikke i dette tilfælde, men afhænger af arbejdets art.

293 9. Vigtige funktioner 93 LINJE GENNEM TO PUNKTER Når talen er om lineære funktioner, vil vi også bruge skrivemåden y = ax + b, og vi siger, at dette er linjens ligning. Denne ligning er opfyldt for de koordinatsæt (x,y), der hører til punkter på linjen og ikke af andre. Vi vil bestemme hældningen for en linje, der går gennem to punkter med kendte koordinater. SÆTNING 1 Hvis A (x 1,y 1 ) og B (x,y ) er to punkter på en ret linje, der ikke er lodret (dvs. x 1 x ), er hældningen a bestemt ved formlen a = y x y x 1 1. Bevis. Linjens ligning er y = ax + b, og netop de punkter der ligger på linjen, passer i ligningen. Da A og B ligger på linjen (fig. 3), gælder altså y = ax + b y 1 = ax 1 + b. Fig. 3

294 Trækkes den sidste ligning fra den første, fås y - y 1 = ax + b - (ax 1 + b) y - y 1 = ax - ax 1 y - y 1 = a(x - x 1 ) a = y x y x 1 1, og det var netop, hvad vi ville vise. Læg mærke til, at vi i den sidste ligning har divideret med tallet x - x 1 på begge sider af lighedstegnet. Dette tal er nemlig ikke 0, fordi x 1 og x er forskellige tal - vi har jo forudsat, at linjen ikke er lodret. Vi ser på linjen gennem A (-1,3) og B (4,5) og linjen gennem C (-,6) og D (7,-1). Anvendes formlen fås deres hældninger (fig. 4): linjen AB : 5 3, linjen CD : 6 ( 1 ) ( 1) Fig. 4

295 9. Vigtige funktioner 95 EKSEMPEL 3. En skruefjeder er i ubelastet tilstand 8 cm lang. Nu belastes den med en kraft på 5 N (Newton), og derved bliver dens længde 11 cm (fig. 5). Efter Hookes lov er fjederens længde en lineær funktion af belastningen. Grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (0,8) og (5,11). Den har derfor hældningen a = 11 8 = 3 = ,, Fig. 5 så forskriften for den lineære funktion er f(x) = 0,6x + 8. En belastning på 5 N (fig. 6) vil altså give en fjederlængde på 0, = 11 cm. Fig. 6

296 96 9. Vigtige funktioner KVADRATROD Funktionen med forskriften f( x) = x, x 0, kaldes kvadratrodsfunktionen. Dens graf er tegnet på fig. 7. Definitionsmængden er Dm(f) = [0; [ og værdimængden Vm(f) = [0; [. Fig. 7 Grafen bliver fladere og fladere, jo længere til højre på x-aksen man går. Derimod begynder den lodret i (0,0). På fig. 8 ses et nærbillede af forholdene i nærheden af begyndelsespunktet. Fig. 8

297 9. Vigtige funktioner 97 RECIPROKFUNKTIONEN To tal, hvis produkt er 1, kaldes reciprokke. Eksempler på reciprokke tal er 3 og 1 3, 11 og 3, og I almindelighed er altså x og 1 x funktionen reciprokke for x 0. Derfor kaldes f(x) = 1 x, x 0 reciprokfunktionen. Det grafiske billede er tegnet på fig. 9. Den falder i to dele i 1. og 3. kvadrant. Grafen kaldes en ligesidet hyperbel, og de to dele af grafen er hyperblens grene. Fig. 9 OMVENDT PROPORTIONALITET Man siger, at to størrelser er omvendt proportionale, hvis den ene vokser i samme takt som den anden aftager eller mere nøjagtigt: hvis den ene størrelse bliver dobbelt så stor, bliver den anden halvt så stor. Hvis den ene vokser til det tredobbelte, aftager den anden til en tredjedel osv. En gruppe personer planlægger en hyttetur, og lejen for hytten er 6000 kr. Antallet af deltagere betegnes med x, og prisen pr. deltager er y. Så er y en funktion af x (dvs. prisen pr. deltager afhænger af antallet af deltagere). Sammenhængen er

298 98 9. Vigtige funktioner y = f(x) = 6000 x. Vi kan opstille følgende tabel over x og y: x (antal deltagere) y (pris pr. deltager) Vi ser netop, at dobbelt så mange deltagere betyder en halvering af prisen pr. deltager, 3 gange så mange deltagere medfører at prisen sænkes til 1 osv. Sammenhængen mellem antallet x af deltagere og prisen y kan også skrives xy = Fig. 10 På fig. 10 er tegnet det grafiske billede. Grafen minder meget om grafen for reciprokfunktionen, og den kaldes også i dette tilfælde for en hyperbel. DEFINITION To størrelser x og y kaldes omvendt proportionale, hvis deres produkt er konstant: xy = k. I så fald er regneforskriften for y som funktion af x y = f(x) = k x.

299 9. Vigtige funktioner 99 EKSEMPEL 4. Vi skal se på et par eksempler på omvendt proportionalitet. Antallet af dage som det tager at udføre et bestemt stykke arbejde, antages at være omvendt proportionalt med det antal personer, der udfører det. Hvis N er antallet af dage, og p er antallet af personer, er N p = k, hvor k er konstant. Hvis vi desuden véd, at 7 personer kan fuldføre arbejdet på 8 dage, får vi 8 7 = k, så sammenhængen mellem N og p er N p = 56. Er der fx 14 dage til rådighed, skal der ansættes 4 personer. Hvis man ansætter 10 personer, kan de udføre arbejdet på 5,6 dage. Rumfanget af en gas ved konstant temperatur er omvendt proportionalt med trykket. Hvis V er gassens rumfang (volumen), og P er trykket (pressure), gælder altså, at P V = k. Desuden véd man, at rumfanget V af en gas er ligefrem proportional med temperaturen T og omvendt proportional med trykket P. Altså er V = T k P eller P V = k T.

300 Vigtige funktioner EN MATEMATISK ANEKDOTE Den fremtrædende engelske matematiker G. H. Hardy ( ) havde i begyndelsen af 1900-tallet en brevveksling med den geniale indiske matematiker Srinivasa Ramanujan ( ). Ramanujan havde ingen formel uddannelse i Indien, men havde sendt Hardy forskellige opsigtsvækkende matematiske resultater, som man i den matematiske verden på det tidspunkt ikke havde set magen til. Hardy indbød derfor Ramanujan til at komme til universitetet i Cambridge. Ramanujan opholdt sig i Cambridge i perioden , men blev syg, formodentlig fordi han på grund af sin religiøse overbevisning kun måtte spise visse vegetariske fødevarer, som var vanskelige at fremskaffe i England på den tid. Ramanujan vendte tilbage til Indien, hvor han døde kort efter. Det er omkring dette tidspunkt at følgende anekdote udspilles: Hardy besøgte Ramanujan, som lå syg på hospitalet. Hardy ankom med taxa og trådte ind på sygestuen, hvor Ramanujan lå. Hardy bemærkede straks til Ramanujan, at nummeret på den taxa, han var kommet med, var 179, og at han syntes, at tallet 179 var et uinteressant tal (...it seemed to me rather a dull number ). Ramanujan svarede straks: Nej, Hardy, det er et særdeles interessant tal. Det er det mindste tal, der på to måder kan skrives som sum af to kubiktal. Visse tal er sum af to kubiktal, fx 7, 8 og 468 fordi 7 = , 8 = , 468 = De allerfleste tal er ikke sum af to kubiktal. Måske findes der tal, der på mere end én måde er sum af to kubiktal? Det er faktisk tilfældet og 179 er det mindste tal med denne egenskab. Vi finder nemlig, at 179 = = Det vidner om Ramanujans dybe indsigt i tallenes verden, at han over for Hardy uden betænkningstid kunne fremsætte denne særegne egenskab ved tallet 179. Man sagde siden, at ethvert tal var Ramnujans specielle ven. Tal, der på denne måde har to fremstillinger som sum af to kubiktal, kaldes efter denne hændelse for Hardy-Ramanujan-tal. Den slags tal er yderst sjældne i talrækken. De næste er 4104 = = og 0683 = = De næste HR-tal under er 3931, 40033, 643 og Prøv at skrive dem som sum af to kubiktal på to måder - det er svært! Vi kan nævne, at samtlige kubiktal, der skal bruges, højst er 40 3, fordi 41 3 > 6578.

301 9. Vigtige funktioner 301 POTENSFUNKTIONER Vi skal se på funktioner med forskrifter af typen f(x) = x n, n hel. Sådanne funktioner kaldes potensfunktioner. Vi deler op efter de forskellige muligheder for eksponenten n. Vi kan sammenfatte dem i dette skema: n ulige lige positiv eller 0 negativ x 1, x, x 5, x 7,... x -1, x -3, x -5, x -7,... x 0, x, x 4, x 6,... x -, x -4, x -6, x -8,... I. n ulige og positiv Vi ser på forskellige værdier af n: n = 1 : Vi har at gøre med funktionen f(x) = x som er en lineær funktion, hvis graf går gennem (0,0). Hældningen er 1. n = 3 : Grafen for funktionen f(x) = x 3 ses på fig. 11. n = 5 : Grafen for funktionen f(x) = x 5 ses på fig. 11. Fig. 11 Fig. 1

302 30 9. Vigtige funktioner Graferne er symmetriske omkring (0,0), dvs. modsatte x-værdier har modsatte funktionsværdier. Jo større eksponenten n er, desto fladere forløber grafen gennem (0,0). På fig. 1 er vist et nærbillede af graferne omkring (0,0). II. n ulige og negativ n = -1 : Funktionen er her f(x) = x -1 = 1 x. Dette er reciprokfunktionen, se ovenfor. n = -3 : Grafen for funktionen f(x) = x -3 = 1 3 x. Graferne er vist på fig. 13. De nærmer sig mere og mere til akserne uden nogensinde at røre dem. Man siger, at akserne er asymptoter for graferne. Graferne er symmetriske omkring (0,0). Vi må naturligvis forudsætte, at x 0. Fig. 13

303 9. Vigtige funktioner 303 III. n lige og positiv eller 0 n = 0 : Funktionen er f(x) = x 0 = 1, som er konstant. Her forudsættes, at x 0. n = : Funktionen f(x) = x har en graf, der kaldes en parabel, se fig. 14. n = 4 : Funktionen f(x) = x 4 har en graf, der minder om en parabel, men den er fladere omkring (0,0) og vokser i øvrigt hurtigere. Graferne er symmetriske omkring y-aksen: modsatte x-værdier har samme funktionsværdi. IV. n lige og negativ n = - : Grafen for funktionen f(x) = x - = 1 ses på fig. 15. x n = -4 : Grafen for f(x) = x -4 = 1 4 ses på fig. 15. x Fig. 14 Fig. 15

304 Vigtige funktioner ANDENGRADSPOLYNOMIET En funktion med en forskrift af typen f(x) = ax + bx + c, a 0 kaldes et andengradspolynomium. Følgende funktioner er andengradspolynomier: f(x) = 3x - 7x + 5 svarende til a = 3, b = -7, c = 5 g(x) = x - 6 svarende til a = 1, b = 0, c = -6 h(x) = - 1 x + x svarende til a = - 1, b =, c = 0. Tallene a, b og c kaldes polynomiets koefficienter, og ax er andengradsleddet, bx er førstegradsleddet, og c er konstantleddet. Vi skal i dette afsnit se nærmere på, hvordan grafen for et andengradspolynomium afhænger af koefficienterne. ANDENGRADSPOLYNOMIET f(x) = ax Det simpleste andengradspolynomium er af formen f(x) = ax, a 0, hvor koefficienterne b og c begge er 0. Hvis a = 1, har vi funktionen f(x) = x, som er en potensfunktion, hvis graf vi tidligere har set på. På fig. 16 har vi for forskellige værdier af a tegnet graferne for funktionerne f(x) = ax. Graferne er alle parabler, og man siger at deres toppunkt er (0,0). Vi ser, at hvis a > 0, vender parablens grene opad, hvis a < 0, vender parablens grene nedad, hvis a er numerisk stor, er parablen smal og stejl, hvis a er tæt ved 0, er parablen bred og flad.

305 9. Vigtige funktioner 305 Fig. 16 DET ALMINDELIGE ANDENGRADSPOLYNOMIUM Det viser sig, at grafen for det almindelige andengradspolynomium f(x) = ax + bx + c også er en parabel. Vi kan fx tegne graferne for funktionerne f (x) = x 3x + 5, g(x) = -0,3x + 5x 4 og flere andre af denne type med cas. Vi vil bestemme toppunktet for en parabel, hvis funktionsforskrift er f( x)= ax + bx+ c, a 0. Parablen er symmetrisk omkring den lodrette linje gennem toppunktet. Desuden skærer parablen y-aksen i (0,c), fordi f( 0) = a 0 + b 0+ c= c.

306 Vigtige funktioner Fig. 17 Den vandrette linje gennem (0,c) skærer parablen i endnu et punkt A (med mindre (0,c) er selve toppunktet). Vi vil finde x-koordinaten til A - vi betegner den med x 0 (fig. 17). Vi har, at f(x 0 ) = c, og indsætter vi x 0 i forskriften, får vi f( x ) = c ax + bx + c= c ax + bx = 0 x ( ax + b) = 0. I denne ligning bruger vi nulreglen og får x ax b x ax b x x b 0( 0 + ) = 0 0 = = 0 0 = 0 0 = a. Derfor er den søgte x-koordinat til A netop x 0 = b a. Toppunktets x-koordinat ligger midt mellem 0 og x 0, så den er 1 x 0 = 1 b = b a. a Toppunktets y-koordinat fås ved at indsætte denne værdi af x i regneforskriften, dvs. finde funktionsværdien: f b a b b b c a b b ( c a)= ( a ) + + = + a 4a a = ab b c b b ac b b ac + = = = b + 4 ac. 4a a 4a 4a 4a 4a 4a På samme måde som andengradsligningen har andengradspolynomiet en diskriminant: d= b 4 ac, og i den sidste brøk ovenfor optræder i tælleren diskriminanten med modsat fortegn, så den søgte y-koordinat til toppunktet er -d 4 a.

307 9. Vigtige funktioner 307 Vi har nu vist følgende sætning: SÆTNING. Toppunktsformlen Grafen for andengradspolynomiet f(x) = ax + bx + c, a 0, er en parabel, hvis toppunkt har koordinaterne (h,k) = b, d. a 4a PARALLELFORSKYDNING Det viser sig, at to parabler med samme værdi for andengradskoefficienten a er kongruente, dvs. de kan dække hinanden. Man kan sige, at den ene parabel fremgår af den anden ved parallelforskydning. Vi betragter som eksempel parablen med forskriften 1 f( x) = ( x 4) + 3 eller f( x)= x 4x+ 11. Her er begge led i den første forskrift ikke-negative. Den mindste funktionsværdi opstår, når det første led antager værdien 0, og det sker, når x = 4, hvor f (4) = 3 (fig. 18). Toppunktets koordinater er derfor (4,3). Parablen er kongruent med parablen med ligningen y = 1 x. 1 Fig. 18

308 Vigtige funktioner I almindelighed har parablen med toppunkt i (h,k) en ligning af typen y= a( x h) + k, og denne parabel er kongruent med parablen med ligningen y = ax. EKSEMPEL 5. I skemaet herunder giver vi eksempler på parabler og ligninger for de kongruente parabler, der fremgår af dem ved forskellige parallelforskydninger. Parabel med ligningen y = 3x y = -5x y = 3 x y = -x y = x parallelforskydes til punktet (,7) (-1,8) ( 3, 6) (0,7) (-5,-) Ny parabels ligning y = 3(x - ) + 7 y = -5(x + 1) + 8 y = (x - 3 3) - 6 y = -x + 7 y = (x + 5) - EKSEMPEL 6. Vi ser på andengradspolynomiet Diskriminanten er f(x) = 1 x + 4x+ 11. d = b - 4ac = = 16 - = -6. Toppunktet får koordinaterne b d = 4,, 6 a 4a 1 = (-4,3), og parablen fås ved at parallelforskyde parablen med ligningen y = 1 x så toppunktet falder i (-4,3). Forskriften kan altså også skrives f( x) = 1 ( x+ 4) + 3

309 9. Vigtige funktioner 309 Situationen ses på fig. 19. Fig. 19 RØDDER OG FORTEGN De punkter, hvor andengradspolynomiets graf ( parablen) skærer x- aksen (hvis de findes), kaldes polynomiets rødder. For en sådan rod er funktionsværdien 0. En rod x findes altså ved at løse ligningen f(x) = 0 eller ax + bx + c = 0. Dette er den almindelige andengradsligning, som vi tidligere har løst. SÆTNING 3 Om andengradspolynomiet f(x) = ax + bx + c med diskriminanden d = b - 4ac gælder: hvis d < 0 : parablen skærer ikke x-aksen, hvis d = 0 : parablen skærer x-aksen i punktet x = b a, hvis d > 0 : parablen skærer x-aksen i punkter, nemlig x = b± d. a

310 Vigtige funktioner Læg mærke til at Fortegnet for diskriminanten d afgør, hvor mange skæringspunkter parablen har med x-aksen. Fortegnet for a angiver hvilken retning (opad/nedad) parablens grene vender. Dette giver 6 muligheder for kombinationer af fortegn for a og d, som fig. 0 viser. Fig. 0 FAKTOROPLØSNING Vi ser på andengradspolynomiet f(x) = 1 x - 3x + 4. Rødderne r 1 og r kan vi ved hjælp af sætning 3 bestemme til r 1 = og r = 4. Derefter udregner vi 1 (x - )(x - 4) = 1 (x - x - 4x + 8) = 1 x - 3x + 4.

311 9. Vigtige funktioner 311 Dette er netop forskriften for f, så vi har, at 1 x - 3x + 4 = 1 (x - )(x - 4). Vi siger, at andengradspolynomiet er opløst i faktorer. Vi skal nu se, hvordan man i visse tilfælde kan opløse et andengradspolynomium i faktorer. SÆTNING 4 For andengradspolynomiet gælder f(x) = ax + bx + c, a 0, hvis d > 0 findes to rødder r 1 og r, og faktoropløsningen er f(x) = a(x - r 1 )(x - r ), hvis d = 0 findes 1 rod r 1, og faktoropløsningen er f(x) = a(x - r 1 ), hvis d < 0 findes ingen faktoropløsning. Bevis. Sætningen falder i to dele alt, efter om d > 0 eller d = 0. I. d > 0. Vi udregner a(x - r 1 )(x - r ), og vil vise, at vi netop får ax + bx + c: a(x - r 1 )(x - r ) = a(x - r 1 x - r x + r 1 r ) = a(x - (r 1 + r )x + r 1 r ). (1) I dette udtryk optræder summen af rødderne r 1 + r og produktet af rødderne r 1 r, og disse størrelser regner vi nu ud. Rødderne i andengradspolynomiet er r 1 = b+ a d og r = b a d. Så bliver summen af rødderne r 1 + r = b+ a d + b a d = b + d b d b b = = a a a.

312 31 9. Vigtige funktioner Produktet af rødderne udregnes ved at bruge 3. kvadratsætning: (p + q)(p - q) = p - q : r 1 r = b+ a d b a d = ( + )( ) b d b d ( b) d ( = = b d b b 4ac) 4ac = 4a = = c. 4a 4a 4a 4a a Disse resultater sætter vi ind i (1): a(x - r 1 )(x - r ) = a(x - x b a + a c ) = ax + bx + c. II. d = 0. Vi skal her udregne a(x - r 1 ) ved hjælp af. kvadratsætning og indsætte r 1 = b og reducere. Vi gennemfører ikke dette, men det a viser sig, at man får ax + bx + c. EKSEMPEL 7. Vi viser faktoropløsning på et par polynomier. Polynomiet f(x) = x + 3x - har diskriminanten d = 3-4 (-) = 5, så der findes to rødder. De viser sig at blive r 1 = - og r = 1, så faktoropløsningen er f(x) = x + 3x - = (x + )(x - 1 ). Polynomiet g(x) = -3x + 1x 1 har diskriminanten 0 og dermed én rod, som findes til r 1 =. Dermed bliver faktoropløsningen g(x) = -3x + 1x - 1 = -3(x - ). Hvis koefficienten c = 0, får vi en faktoropløsning ved at sætte x uden for parentes: 4x - 6x = x(4x - 6) = 4x(x -1 1 ).

313 9. Vigtige funktioner 313 ANDENGRADSULIGHEDER En andengradsulighed er en ulighed af en af typerne ax + bx + c < 0 ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0 ax + bx + c 0., a 0. Et par eksempler på disse typer uligheder er 3x - 4x + 1 < 0 og -5x + 8x 0. At løse en sådan ulighed betyder at finde de værdier af x, der gør uligheden sand, og vi skal her se, hvordan det gøres. EKSEMPEL 8. Vi viser, hvordan man løser uligheden x - x - 6 < 0. Vi tegner en skitse af grafen for funktionen f(x) = x - x - 6 som vist på fig. 1. Vi kan på sædvanlig måde finde rødderne (parablens skæringspunkter med x-aksen) til x = - og x = 3. Da a > 0, vender parablen grenene opad. Fig. 1

314 Vi skal løse uligheden f(x) < 0, dvs. finde de tal på x-aksen, der har negative funktionsværdier. Vi ser på figuren (eller ved regning), at f(1) = -6, så x = 1 er en løsning. Desuden er f() = -4, så x = er også en løsning. Altså er alle de tal x løsninger, for hvilke parablen ligger under x-aksen. Løsningsmængden L er de tal, der ligger mellem rødderne, dvs. L = ]-;3[. Løsningsmængden er altså en del af x-aksen. Vi vil løse uligheden - 1 x - x Polynomiet f(x) = - 1 x - x + 4 har rødderne -4 og, og vi tegner parablen som vist på fig.. Løsningerne er de tal x, for hvilke parablen ligger på eller under x-aksen, altså L = ]- ;-4] [; [. Vi har her brugt symbolet, som læses foreningsmængde. Det tilkendegiver, at samtlige tal i de to intervaller er løsninger de to intervaller er forenet til én samlet talmængde. Fig.

315 9. Vigtige funktioner 315 Ud fra de eksempler, vi har regnet igennem, kan vi give følgende brugsanvisning på, hvordan man løser andengradsuligheder Løsning af andengradsuligheder 1. Find eventuelle rødder i andengradspolynomiet, dvs. løs andengradsligningen.. Skitsér parablen med ligningen y = ax + bx + c. 3. Aflæs løsningsmængden ( parabel over/under/på x-aksen) 4. Angiv L. POLYNOMIER En vigtig klasse af funktioner er de såkaldte polynomier. Vi har allerede set eksempler på disse. Således er funktioner af typen f(x) = ax + b førstegradspolynomier (a 0), f(x) = ax + bx + c andengradspolynomier (a 0). På samme måde er f(x) = x 3-8x + 5x - 1 et tredjegradspolynomium, f(x) = 6x 4 + 7x + 3 et fjerdegradspolynomium. Polynomiets grad er altså den højest optrædende potens af x. Vi taler om rødder i polynomier på samme måde som rødder i andengradspolynomier: en rod (eller et nulpunkt) for et polynomium f er et tal x, hvor f(x) = 0, dvs. et tal, hvor funktionens graf skærer x-aksen. Man kan vise, at et polynomium af n-te grad har højst n rødder. Grafer for polynomier af højere grad end har meget forskelligt udseende. På fig. 3 ses grafen for to fjerdegradspolynomier.

316 Vigtige funktioner Fig. 3 GRAFISK LØSNING Vi skal se, hvordan man i visse tilfælde kan løse ligninger og uligheder grafisk, dvs. ved hjælp af deres grafer. I modsætning hertil står den algebraiske løsning af ligninger og uligheder, dvs. en regnemæssig løsning. LIGNINGER Vi vil løse ligningen 1 3 x+ 4= x 3, og tegner derfor graferne for funktionerne 1 f(x) = x + 4 og g(x) = x 3. 3 Vi skal altså løse ligningen f(x) = g(x), dvs. bestemme de værdier af x,

317 9. Vigtige funktioner 317 der giver f og g samme funktionsværdi. På fig. 4 ses, at denne værdi er x = 6. Vi har nemlig, at f(6) = g(6), de er nemlig begge 1. Løsningen til ligningen er altså x = 6. Grafisk løsning af ligningen f(x) = g(x) foregår ved at opsøge de tal på x-aksen, for hvilke graferne skærer hinanden. Fig. 4 Ligninger og uligheder grafiske tilfælde EKSEMPEL 10. Vi vil grafisk løse ligningen x = 1 x + x, 3 3 og tegner derfor graferne for funktionerne f(x) = x og g(x) = 1 x 3 + x. 3 På fig. 5 ser det ud som om løsningerne til ligningen er x = 1 og x = 4. Vi kontrollerer:

318 Vigtige funktioner Fig. 5 f(1) = 1 = 1 og g(1) = = f(4) = 4 = og g(4) = = = 6 = Dermed har vi fundet løsningerne x = 1 og x = 4. Ved hjælp af cas kan man zoome ind på skæringspunkter mellem grafer og aflæse skæringspunktets x-koordinat med et tilstrækkeligt antal cifre. En anden mulighed er at anvende systemets ligningsløsere. Skæringspunkter mellem to funktioners grafer har i mange tilfælde ikke pæne x-koordinater. ULIGHEDER Også uligheder kan man i visse tilfælde løse grafisk. Vi ser på uligheden 1 x + 1< x+ 4. Vi tegner igen graferne for funktionerne på hver side af ulighedstegnet; f(x) = 1 x + 1 og g(x) = 1 x + 4. At løse uligheden f(x) < g(x) betyder at finde de værdier af x, for hvilke funktionsværdien for f er mindre end funktionsværdien for g, dvs. grafen for f ligger under grafen for g. På fig. 6 ser vi, at dette er tilfældet, hvis x ligger mellem - og 3, dvs. løsningsmængden L = ]-;3[. 1

319 9. Vigtige funktioner 319 Fig. 6 Vi kan selvfølgelig også løse uligheden algebraisk, dvs. regnemæssigt: 1 1 x + 1< x+ 4 x + < x+ 8 x x 6< 0, og denne andengradsulighed løses på sædvanlig måde. EKSEMPEL 11. Vi vil grafisk løse uligheden Graferne for funktionerne 1 x > x + x. 3 f(x) = x og g(x) = x + x er allerede tegnet i forbindelse med eksempel 10. Vi skal finde de værdier af x, for hvilke grafen for f ligger over grafen for g, og vi ser, at løsningsmængden er L = [0;1[ ]4; [. 3

320 30 9. Vigtige funktioner EKSEMPEL 1. Vi vil grafisk løse uligheden 3 0, x 15, x + x+ 15, > 1. Vi tegner som vist på fig. 7 graferne for funktionerne 3 f( x) = 0, x 15, x + x+ 15, og g(x) = -1. Fig. 7 Vi skal finde de værdier af x, for hvilke grafen for f ligger over linjen med ligningen y = -1. Vi kan i cas aflæse, at de to grafer skærer hinanden for x = -0,77, x = 3,7 og x = 5. Dermed er løsningsmængden L = ]-0,77 ; 3,7[ ]5; [.

321 9. Vigtige funktioner 31 STØRSTE- OG MINDSTEVÆRDI Vi skal se, at man af og til har brug for kendskab til andengradspolynomiets graf til løsning af visse største- eller mindsteværdiproblemer, de såkaldte optimeringsproblemer (optimal: bedst mulig). EKSEMPEL 13. En landmand har en rulle trådhegn med 00 m hegn og ønsker at indhegne et rektangulært stykke jord (fig. 8). Jordstykket grænser på den ene af de tre sider op mod en mur. Det skal være så stort som muligt (målt i m ), og desuden skal det deles op i to folde som vist. Spørgsmålet er, hvad længden og bredden i rektanglet skal være. Vi betegner bredden af jordstykket med x og længden med y. Vi har så, at x + y = 00 eller x + y = 100. Så er y = x. Arealet af jordstykket er xy = x(100 - x) = - x + 100x. Dette er et andengradspolynomium, som vi kan betegne med A (for areal): A(x) = x(100 - x) = - x + 100x. De værdier af x, der kan komme på tale, er ]0;100[. Fig. 8 Grafen for funktionen A er en parabel (fig. 9), der vender grenene nedad. For enhver værdi af x viser den det tilsvarende areal, fx A(0) = Da A(0) = 0 og A(100) = 0, skærer parablen x-aksen i (0,0) og i (100,0). Derfor har den toppunkt for x = 50 og værdien er

322 3 9. Vigtige funktioner Fig. 9 A(50) = 50(100 50) = 500 (m ). Dette er det største jordstykke, der kan indhegnes med 00 m trådhegn under de stillede betingelser. EKSEMPEL 14. Et oliefelt består af 0 oliekilder, der hver leverer 00 tønder olie pr. døgn, dvs. feltet leverer 4000 tønder olie i døgnet. For hver ny kilde, der bores, aftager den daglige produktion med 5 tønder pr. kilde. Vi vil finde den maksimale produktion for oliefeltet som funktion af antallet af kilder. Vi kan begynde med at opstille en tabel over produktionen som funktion af antallet af kilder: Antal kilder Produktion x (0 + x)(00-5x) Produktionen fra de 0 + x kilder er altså f(x) = (0 + x)(00-5x) = -5x + 100x

323 9. Vigtige funktioner 33 Grafen er en parabel med grenene nedad. Toppunktets x-koordinat er b = 100 = a 10 10, og f(10) = Den største produktion opnås altså ved at bore yderligere 10 kilder, hvorved man opnår en produktion på 4500 tønder pr. døgn. Hvis man borer endnu en kilde, er produktionen 4495 tønder. EKSEMPEL 15. En forretning sælger en vare, og det viser sig, at kiloprisen har stor betydning for den daglige afsætning (dvs. mængden af solgte varer). Hvis kiloprisen sættes op, falder afsætningen af varen, og faldet er en lineær funktion af prisen som vist på fig. 30. Ved en meget lav pris kan afsættes ca. 00 kg om dagen, mens salget helt går i stå, når kiloprisen nærmer sig 30 kr. Fig. 30 Hvis y er afsætningen i kilo, og x er kiloprisen i kr., gælder y= 0 x+ 00, 3 og dette er netop ligningen for en ret linje. Hældningen er den afsætningsændring, der sker ved en prisstigning på 1 kr./kg. Her falder afsætningen altså med 0 kg 6,7 kg, hver gang forretningen 3 hæver kiloprisen med 1 kr.

324 34 9. Vigtige funktioner Vi skal se på forretningens omsætning, dvs. indtægten i kr. for denne vare. Omsætningen z er antallet af kilo gange kiloprisen, altså z= x y= x ( 0 x+ ) = x + 00x= f( x). Fig. 31 Vi vil bestemme kiloprisen x, så omsætningen bliver så stor som mulig. Grafen for omsætningen som funktion af kiloprisen er en parabel, der vender grenene nedad (fig. 31). Af forskriften for z ser vi, at omsætningen er 0, hvis prisen er 0 kr./kg, og også 0 hvis prisen er 30 kr./kg. Parablen skærer altså x-aksen i 0 og 30, og derfor har funktionen sin største værdi for x = 15. Den største omsætning fås altså for x = 15, og denne største daglige omsætning er f(15) = = 1500 kr. Denne må ikke forveksles med fortjeneste ( avance).

325 9. Vigtige funktioner 35 ANVENDELSER Vi skal se, at teorien for andengradspolynomiet kan anvendes til beskrivelse af simple økonomiske sammenhænge. VIRKSOMHEDSØKONOMI De overvejelser, man gør sig om samspillet mellem varers fremstilling og salg (afsætning), kaldes virksomhedsøkonomi eller med et mere moderne ord, marketing. Vi skal her se på et simpelt eksempel på dette. Fremstillingen af varen koster 00 kr./stk. til dækning af løn, materialer osv. Selve igangsætningen af produktionen koster 4000 kr. og desuden indgår i fremstillingen nogle omkostninger fra overarbejde, administration, lang tansportvej osv. Det viser sig, at man kan benytte en såkaldt omkostningsfunktion K givet ved forskriften K(x) = x + 0,x, hvor x er antallet af producerede enheder af varen. Man kalder de 4000 kr. for de faste omkostninger, fordi de ikke afhænger af, hvor mange enheder der fremstilles af varen. Leddet 00x er de proportionale omkostninger - netop fordi det er proportionalt med antallet af producerede enheder. Det sidste led 0,x stammer fra de nævne faktorer med transport osv. Hvis x er et stort tal, er x endog meget stort, så denne del af omkostningerne kaldes overproportionale. Virksomheden sælger varen for 460 kr. pr. stk. Derfor er omsætningen fastlagt ved indtægtsfunktionen I(x) = 460x. Ved salget af x enheder af varen får virksomheden en fortjeneste, den såkaldte avance, som er forskellen mellem omsætning og omkostninger. Den er også en funktion af x: A(x) = I(x) - K(x) = 460x - ( x + 0,x ) = -0,x + 60x På fig. 3 er de grafiske billeder af funktionerne I(x) og K(x) tegnet. Vi ser, at I(x) er en lineær funktion gennem (0,0) med hældning 460, mens grafen for K(x) er et parabelstykke.

326 36 9. Vigtige funktioner Grafen for omkostningsfunktionen ligger under grafen for indtægtsfunktionen i intervallet mellem ca. 100 stk. og ca. 100 stk. De præcise værdier finder vi ved at løse ligningen I(x) - K(x) = 0-0,x + 60x 4000 = 0. Denne andengradsligning løses på sædvanlig måde, og vi finder løsningerne x = 100 og x = 100. Virksomheden har altså fortjeneste, hvis der sælges mellem 100 og 100 stk. af varen. Nu interesserer vi os for, hvor mange enheder af varen, der skal sælges for at avancen bliver størst mulig. På figuren svarer dette til at finde det sted i intervallet [100;100], hvor den lodrette afstand mellem graferne for K(x) og I(x) er størst, se fig. 3. Vi skal bestemme den værdi af x, for hvilken avancen A(x) = -0,x + 60x er størst. Grafen for A(x) er en parabel, der vender grenene nedad, og den største avance opnås for den værdi af x, der svarer til parablens toppunkt. Koefficienterne er a = -0,, b = 60 og c = Toppunktet findes for x = b 60 = = 650. a 04, Størst avance opnås altså, hvis der sælges 650 enheder af varen. Avancen er i så fald A(650) = 0, = kr. Fig. 3

327 9. Vigtige funktioner 37 EKSPERIMENTER EKSPERIMENT 1 Du skal fuldføre beviset for sætning 4: Hvis diskriminanten d = 0 i andengradspolynomiet f( x) = ax + bx+ c, er faktoropløsningen for polynomiet hvor r 1 er roden. 1 ax + bx + c = a( x r ), Vi har, at hvis d = 0, er roden i polynomiet r b 1 =. a 1. Vis, at a(x - r 1 ) = ax axr 1 + ar 1.. Indsæt heri r 1 = b a, og vis, at man får ax + bx +. 4 ba 3. Gør rede for, at hvis d = 0, så er b = 4ac. 4. Indsæt dette i det sidste udtryk i regningerne i punkt 3 og fuldfør beviset.

328 38 9. Vigtige funktioner EKSPERIMENT Kropsmassefylde. Man kan som mål for en persons grad af fedme udregne personens såkaldte kropsmassefylde eller BMI-tal (body mass index). Dette tal B er proportionalt med personens vægt i kg og omvendt proportionalt med kvadratet på personens højde i m. Personens højde betegnes h og hans vægt med v. Det oplyses desuden, at proportionalitetsfaktoren er 1. Skriv en formel for B, der svarer til det sproglige udsagn ovenfor. 1. Udfyld en tabel som nedenfor, hvor B skal anføres inde i tabellen: Højde (m) Vægt (kg) 1,70 1,75 1,80 1, Fig. 33. Alt for Damerne nr. 9, 1999

329 Do you weigh too much? Here s how to figure your BMI: First, multiply your weight in pounds by 0.45 to get kilograms. Second, convert your height to inches. Multiply this number by to get meters. Multiply that number by itself. Third, divide this into your weight in kilograms. Your answer will probably be a number in the 0 s or low 30 s. It is your BMI. To determine body mass index, multiply weight in pounds by 703. Then divide that result by height in inches squared.

330 Vigtige funktioner 6. Tegn ved hjælp af cas i et passende tegnevindue grafen for v (vægten) i kg som funktion af h i m for personer med et BMItal på 5 og desuden grafen for v som funktion af h for personer med et BMI-tal på 0. Hvilken type funktion er der tale om? En person er 1,80 m høj. I hvilket område ligger denne persons normalvægt? Gør rede for din aflæsning på figuren. En normalvægtig person vejer 85 kg. Mellem hvilke grænser ligger personens højde? Gør rede for, hvordan dette besvares grafisk. Fig. 34. Berlingske Tidende

331 9. Vigtige funktioner 331 EKSPERIMENT 3 En speciel funktion. Vi skal se på den lidt sære funktion f( x) = x x 1 + x+ x Tegn dens grafiske billede ved hjælp af cas.. Hvis vi forudsætter, at x 1 er de inderste to kvadratrødder definerede. Radikanden (størrelsen under rodtegnet) i den sidste kvadratrod er positiv, så denne rod er også defineret. For at den første kvadratrod skal være defineret, må vi kræve at x x 1. Er dette nødvendigvis opfyldt? Løs uligheden, dels grafisk ved at tegne graferne for de to funktioner, der indgår, dels algebraisk (ved at kvadrere på begge sider). 3. Angiv nu Dm(f). 4. Vis dernæst at ( 1 x 1) = x x 1 og ( x 1 1) = x x 1. Lad først x ligge mellem 0 og 1, dvs. i [0;1]. Angiv fortegnet for hvert af tallene 1 x 1og x 1 1. Hvordan kan man herefter skrive 5. Vis derefter at x x 1? x+ x 1 = 1+ x 1 for alle x Hvilken regneforskrift har funktionen f nu i [1;]? 7. Lad så x > 1. Hvordan kan man skrive x x 1? Angiv derefter en regneforskrift for funktionen f i ]1; [.

332 33 6. Internet KAPITELOVERSIGT 9 LINEÆR FUNKTION f(x) = ax + b. Ligefrem proportionalitet : f(x) = kx. KVADRATRODSFUNKTIONEN f(x) = x, x 0. RECIPROKFUNKTIONEN f(x) = 1 x, x 0 Omvendt proportionalitet : f(x) = k x, x 0 POTENSFUNKTIONER f(x) = x n. ANDENGRADSPOLYNOMIET f(x) = ax + bx + c, a 0, diskriminant : d = b - 4ac Tallet r er en rod, hvis f (r) = 0. Hvis a > 0 vender grenene opad, hvis a < 0 vender grenene nedad.

333

334 Internet MAT.SYSTIME.DK På mat.systime.dk kan du arbejde videre med bl. a. graf og regneforskrift for lineære funktioner, potensfunktioner, ligefrem og omvendt proportionalitet samt andengradspolynomier. Du kan bestemme regneforskrifter for lineære funktioner ved at placere to punkter, A og B, i animationen. Trykkes på Hjælp, vises a og b samt regneforskriften for den lineære funktion. I animationen placeres A og B og grafen (den rette linje) tegnes. I den interaktive formelsamling kan du undersøge potensfunktioner (n behøver her ikke være hel) og fx få vist funktionens sporbare graf i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor grafen bliver en ret linje, ved at trykke på knappen Graf (ret linje).

335 9. Internet 335 I den interaktive formelsamling kan potensfunktioners grafer også ses (og spores) i et almindeligt koordinatsystem med et tryk på Graf - knappen, ligesom du kan arbejde videre med den fundne model via et tryk på Model -knappen.

336 336

337 10 EKSPONENTIALFUNKTIONER

338 Eksponentialfunktioner INDLEDNING Vi har i mange anvendelser brug for at se på funktioner, der ændres med samme procent, for hver enhed man går til højre på x-aksen. En kapital i et pengeinstitut vokser med samme procent pr. år (renten). Også andre forhold i den økonomiske eller biologiske verden vokser eller aftager med samme procent pr. år (måned, uge...) DETTE KAPITEL Vi skal se på en type funktioner, der opfylder ovenstående, og i matematikkens anvendelser er af afgørende betydning, nemlig eksponentialfunktioner og de eksponentielle udviklinger.

339

340 Eksponentialfunktioner Eksponentialfunktionerne har en række egenskaber, som vi angiver her. Grundtallet a er funktionsværdien i 1, fordi Således er f(1) = exp a (1) = a 1 = a. exp (1) = 1 =, exp 0,3 (1) = 0,3 1 = 0,3. Samtlige grafer går gennem (0,1), fordi Således er exp a (0) = a 0 = 1. exp ( 0) = = 1, exp ( 0) = 0, 4 = 1, 0 04, fordi vi i almindelighed har, at a 0 = 1. For enhver eksponentialfunktion er definitionsmængden samtlige tal, og værdimængden er de positive tal. Dette skyldes, at a x (for a > 0) kan udregnes for en hvilken som helst værdi i eksponenten. Vi har i kapitel 3 set, hvordan man udregner potenser, hvor eksponenten er hel og positiv, 0, hel negativ og rational ( brøk). Strengt taget mangler vi at gøre rede for betydningen af et symbol som fx 7 3, men vi går ud fra, at cas klarer dette. Værdimængden er de positive tal. Potenser af positive tal a er nemlig positive, og alle positive tal optræder som en funktionsværdi af et x. For eksponentialfunktionernes monotoniforhold gælder: Hvis a > 1, er exp a voksende. Dette gælder funktionerne f(x) = x, g(x) = 1, x. Hvis 0 < a < 1 er exp a aftagende. Dette gælder fumktionerne f(x) = ( 1 )x, g(x) = 0,7 x. Graferne nærmer sig vilkårlig tæt til x-aksen mod venstre (hvis a > 0) eller mod højre (hvis a < 0). Som tidligere siger vi, at x-aksen er asymptote for graferne. 0

341 10. Eksponentialfunktioner 341 DEN NATURLIGE EKSPONENTIALFUNKTION Graferne for alle eksponentialfunktionerne f(x) = a x går som omtalt gennem (0,1). Vi udvælger nu dén blandt alle eksponentialfunktionerne, hvis graf i (0,1) har en tangent med hældningen 1 (fig. ). Det viser sig nemlig, at denne eksponentialfunktion i mange henseender er betydningsfuld. Vi går ud fra, at en sådan eksponentialfunktion findes. Fig. DEFINITION Den eksponentialfunktion hvis graf i (0,1) har en tangent med hældningen 1, kaldes den naturlige eksponentialfunktion. Grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion fås som funktionsværdien i 1 (se fig. ). Dette grundtal betegnes e, hvor e, Det kaldes Eulers tal efter den store matematiker Leonhard Euler ( ). Den naturlige eksponentialfunktion har forskriften f(x) = e x.

342 Eksponentialfunktioner EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER I de fleste anvendelser justerer man lidt på eksponentialfunktionerne, idet man ganger dem med en konstant (tal). DEFINITION En funktion med regneforskriften f(x) = b a x, a > 0, b > 0, a 1, kaldes en eksponentiel udvikling. Den er defineret for alle x. Eksponentielle udviklinger er fx f(x) = 150 3,17 x, g(x) = ,89 x, h(x) = 75 1,14 x. På fig. 3 er graferne for nogle eksponentielle udviklinger tegnet. Hvis b = 1, er f(x) = a x, så eksponentialfunktionerne er en speciel type eksponentiel udvikling. Vi ser, at hvis f(x) = b a x er en eksponentiel udvikling, er f(0) = b a 0 = b, Fig. 3

343 10. Eksponentialfunktioner 343 så grafen går gennem (0,b). I regneforskriften angiver b altså grafens skæringspunkt med y-aksen. Man kalder derfor b for begyndelsesværdien. Tallet a kaldes grundtallet. VÆKSTRATE OG FREMSKRIVNINGSFAKTOR Man lægger moms til en beløb ved at gange beløbet med 1,5. Hvis en vare koster fx 350 kr. excl. moms, fås prisen incl. moms som 350 (1 + 0,5) = 350 1,5 = 437,50 kr. På samme måde lægger man 7% til et tal ved at gange det med 1,07, man lægger 1,9% til ved at gange med 1,19 osv. Hvis man skal trække 6% af 550 kr. fra (rabat), fås slutbeløbet som 550 (1-0,06) = 550 0,94 = 517 kr. Hvis man skal trække 1,3% eller 11% fra et tal, skal man gange med henholdsvis 0,987 (dvs. med 98,7%) og med 0,89 (dvs. 89%) for at få resultatet. I almindelighed har vi følgende metode til ændring af et tal med en given procent. Her underforstår vi, at procenten angives som decimaltal (fx 0,07 i stedet for 7%): Man ændrer en størrelse med procenten r ved at gange med 1 + r. Tallet r kaldes vækstraten, 1 + r kaldes fremskrivningsfaktoren. Hvis r > 0, er 1 + r > 1, så størrelsen vokser Hvis r < 0, er 0 < 1 + r < 1, så størrelsen aftager.

344 Eksponentialfunktioner CARL FRIEDRICH GAUß ( ) Johann Carl Friedrich Gauß evner i matematisk retning afsløredes allerede i underskolen. Hans lærere, Büttner og Bartels hjalp ham med uddannelsen på gymnasiet, hvor han bl.a. lærte højtysk og latin. Han fik i 179 et stipendium fra Hertugen af Braunschweig-Wolfenbüttel til at studere på Collegium Carolinum i Braunschweig. I 1795 forlod Gauß sin fødeby Braunschweig for at studere videre ved universitetet i Göttingen. Han opnåede dog ikke afgangseksamen og forlod Göttingen i Da havde han allerede gjort en banebrydende opdagelse indenfor geometri-talteori: Konstruktionen af den regulære 17-kant med passer og lineal. Med hertugens stipendium i ryggen behøvede Gauß ikke at se sig om efter et arbejde, men kunne hellige sig forskning. I sommeren 1801 offentliggjorde han sit berømte værk Disquisitiones Arithmeticae om hovedsagelig talteori. Gauß assisterede i 1801 på afgørende måde ved kortlægningen af banen for den nyopdagede asteroide Ceres (lille planet mellem Mars og Jupiter). I 1807 blev han direktør for observatoriet i Göttingen og i 1809 offentliggjorde han et værk om himmellegemernes bevægelser. I 1818 blev Gauß anmodet om at udføre en geodætisk opmåling af staten Hannover, en opmåling, som skulle forbindes med det danske triangulationsnet. Han modtog opfordringen, foretog målinger om dagen og beregninger om natten. Hans arbejde i geodæsi (dvs. landmåling) strakte sig over tiåret 180- Fig. 4

345 10. Eksponentialfunktioner , mens han stadig var aktiv i mange andre områder af matematikken: differentialgeometri, flader, statistik og sandsynlighedsteori var områder, der udsprang af hans arbejde. Gauß opdagede at hans måleresultater fulgte en klokkeformet kurve (normalfordelingen), som i dag kaldes den Gaussiske kurve. Den er afbildet på den tidligere tyske 10-Mark-seddel. I 18 vandt Gauß en pris udsat af Københavns Universitet. Hans arbejde resulterede i de senere udgivelser om fejlvurdering og matematisk statistik, bl. a. de mindste kvadraters metode. I 1831 ankom Wilhelm Weber til Göttingen som professor i fysik. Gauß havde tidligere arbejdet inden for fysik og havde offentliggjort en afhandling om mekanik og om væskers ligevægt. De havde som grundlag Gauß potentialteori, der viste sig at være af stor betydning i hans arbejde i fysik. Gauß og Weber arbejdede sammen i seks år. De havde held til at bygge en primitiv telegraf, som kunne sende meddelelser over en afstand på 1500 m. I 1837 blev Weber tvunget bort fra Göttingen, da han blev indblandet i et politisk opgør, og fra dette tidspunkt aftog Gauß aktivitet gradvist. Han besvarede stadig breve fra andre forskere om deres opdagelser, og bemærkede sædvanligvis, at han havde kendt deres metoder i årevis, men aldrig havde haft lyst til at offentliggøre noget. Efter 1850 var Gauß arbejde mest af praktisk natur, og han døde fredfyldt i februar Fig. 5 Fig. 6

346 Eksponentialfunktioner EKSEMPEL 1. Vi angiver i tabellen nedenfor et par eksempler på udregning af slutværdien når en størrelse ændres (hæves/sænkes) med forskellige procenter. Størrelse på Vækstrate Fremskrivningsfaktor Slutværdi 350 vokser med 3% 3% 1, ,03 = 360,5 110 vokser med 8,% 8,% 1, ,08 = 1190, 3500 aftager med 5% - 5% 0, ,95 = aftager med 10,3% - 10,3% 0, ,897 = 789, vokser med 150% 150%,5 775,5 = 1937,5 RENTEFORMLEN Hvis en størrelse på 800 ( begyndelsesværdien) vokser med 4% pr. måned ( vækstraten) i en længere periode, kan vi beregne dens værdi til forskellige tidspunkter: Efter 1 måned er værdien 800 1,04 = 83. Efter måneder er værdien 83 1,04 = 800 1,04 1,04 = 800 1,04 = 865,8. Efter 3 måneder er værdien 865,8 1,04 = 800 1,04 1,04 = 800 1,04 3 = 899,89. Sådan kan vi åbenbart fortsætte. Efter n måneder er værdien vokset til 800 1,04 n. Hvis ændringen havde været med procenten r (skrevet som decimaltal), havde vi efter n måneder fået en værdi på 800 (1 + r) n. Tidsrummet måned kunne have været et andet (uge, år,...). I almindelighed bruger vi den mere neutrale betegnelse termin for tidsrummet mellem to ændringer. Hvis vi betegner værdien efter n terminer med K n og begyndelsesværdien med K 0, gælder åbenbart følgende formel:

347 10. Eksponentialfunktioner 347 Renteformlen. En størrelse med begyndelsesværdien K 0 ændrer sig med procenten r pr. termin. Efter n terminer er størrelsen da ændret til slutværdien K n, hvor K n = K 0 (1 + r)n. Formlen kaldes renteformlen, fordi man kan opfatte situationen, som om en person sætter K 0 kr. (begyndelseskapitalen) ind på en konto i et pengeinstitut. Beløbet står derefter til en rentefod ( vækstrate) på r pr. termin i n terminer, uden at der hæves eller sættes yderligere beløb ind. Så er beløbet efter n terminer vokset til K n (slutkapitalen). Læg mærke til, at renteformlen K n = K 0 (1 + r)n og udtrykket for en eksponentiel udvikling: y = b a x i virkeligheden er det samme, fordi y svarer til K n : værdien til et givet tidspunkt, b svarer til K 0 : begyndelsesværdien, a svarer til 1 + r : fremskrivningsfaktoren, x svarer til n : antallet af terminer. Selv beskedne udsving i rentefoden kan gennem tiden have store virkninger. På fig. 7 ses, hvordan en størrelse med begyndelsesværdien (eller 00 eller ) udvikler sig gennem tiden med rentefødder på 6%, 9% og 1%., Fig. 7

348 Eksponentialfunktioner EKSEMPEL. En produktion aftager med 11% pr. år og har i 005 en størrelse på 875 tons. Den udvikler sig efter ligningen hvor y = 875 0,89 x, x er antal år efter 005, y er produktionen. Produktionen udvikler sig altså eksponentielt, dvs. den funktion f, der beskriver produktionens størrelse, er den eksponentielle udvikling: f(x) = 875 0,89 x, hvor begyndelsesværdien b = 875, vækstraten er -11% og fremskrivningsfaktoren er 0,89. Fig. 8 Udviklingen ses på fig. 8. Produktionen er i 008 aftaget til 875 0,89 3 = 616,85 t, og i 000 var den 875 0,89-5 = 1566,96 t. EKSEMPEL 3. En størrelse har i 00 værdien 350 og i 005 værdien 45, og desuden vokser den med samme procent pr. år, dvs. eksponentielt. Vi vil finde en regneforskrift, der angiver størrelsen y som funktion af antallet x af år efter år 000. Vi har altså f() = 350 og f(5) = 45, fordi 00 og 005 er henholdsvis og 5 år efter år 000.

349 10. Eksponentialfunktioner 349 Da y = b a x kan vi indsætte (x,y) = (,350) og (x,y) = (5,45) og får 350 = b a og 45 = b a 5. Ved division af den sidste ligning med den første, fås = b a a = 45 a = 3 45 =1, 067. b a Denne værdi af a kan vi sætte ind i en af de to ligninger for at finde b: Regneforskriften er dermed 350 = b 1, 067 b= 307, 5. f( x) = 307, 5 1, 067. Vækstraten er 6,7% pr. år, og begyndelsesværdien (dvs. værdien i år 000) er 307,5. x ANVENDELSER KONTINUERT FORRENTNING I tidligere eksempler på eksponentiel vækst har vi kun set på funktionsværdier for hele tal. I renteformlen K = K ( + r) n 0 1 har vi ladet n antage hele værdier der er imidlertid ikke noget i vejen for at bruge enhver værdi af n. Hvis en størrelses begyndelsesværdi er 500 og vækstraten 3,7% pr. år, er den efter 5, år vokset til 5, 500 1, 037 = 300. Væksten foregår kontinuert, dvs. til stadighed og glidende og ikke kun i faste skridt én gang om året. Befolkningstallet i et land vokser gradvist og ikke kun én gang om året (måneden, ugen...). Mængden af fisk i en sø ændres gradvist gennem tiden, og mængden af tømmer i et skovområde vokser til stadighed. En matematisk model for en sådan glidende eksponentiel vækst kaldes kontinuert forrentning. n

350 Eksponentialfunktioner Som illustration forestiller vi os en kapital på k kr. indsat i et pengeinstitut til en fast rentefod på 4% p.a. Vi forestiller os at banken tilskriver % i rente pr. halvår, så kapitalen efter 1 år er vokset til k 1, 0 = 1, 0404k. Hvis banken tilskriver en rente på 4 % hver måned, får man efter 1 1 år en kapital på 1 ( ) = 4 k 1 + % 1, 04074k 1. En hyppigere rentetilskrivning med en tilsvarende lavere rentefod giver altså tilsyneladende et højere udbytte. Mængden af tømmer i et skovområde forrentes uafbrudt, men kapitalen i en bank vokser i en række spring med visse mellemrum (typisk 1 år). Hvis vi for at illustrere kontinuert forrentning vil frembringe en parallelitet mellem kapitalvæksten i banken og tømmervæksten i skoven, må vi sørge for, at også kapitalen i banken kan forrentes uafbrudt. Vi går ud fra kapitalen k og rentefoden r p.a. Vi opdeler året i n terminer med en rentefod på n r pr. termin. Efter 1 år er kapitalen efter renteformlen vokset til ( ) k r n 1 + n. Hvis banken skal udføre kontinuert forrentning af kapitalen, skal der foretages uendelig mange rentetilskrivninger i årets løb, så vi skal lade n vokse mod uendelig. Derfor må vi undersøge værdien af ( 1 + r n n), når n vokser mod uendelig. Vi foretager et par udregninger til orientering - vi har i øjeblikket ikke de nødvendige hjælpemidler til en korrekt matematisk bevisførelse. Vi regner med r = 1 og med r = og får følgende tabel:

351 10. Eksponentialfunktioner 351 n = r = 1 = 100% r = = 00% ( ) =, 1 ( + ) = 9 10 ( ) =, 1 ( + ) = 6, n = ( ) =, 1 ( + ) = 6, n = ( ) =, 1 ( + ) = 7, n = ( ) =, 1 ( + ) = 7, n = ( ) =, 1 ( + ) = 7, n = For Eulers tal e gælder, at e =, og e = 7, , og tallene i tabellen kan derfor tyde på, at ( 1 + r n r n) e når n, og med mere avancerede metoder kan man vise at dette faktisk er korrekt. Med kontinuert forrentning vokser kapitalen altså på 1 år til k e r og efter t år til r t Kt = k ( e ), hvor k er begyndelsesværdien. Dette er den søgte model for kontinuert forrentning. I eksemplet ovenfor med rentefoden på 4% p.a. fås ved kontinuert forrentning, at kapitalen efter 1 år er vokset til 004, K = k e =1, Kapitalen er på den måde efter 1 år vokset med 4,08%. Kontinuert forrentning giver altså en kraftigere vækst end sædvanlig forrentning. Rentefoden på 4,08% omtales som den effektive rente.

352 Eksponentialfunktioner I en skov har man ved målinger med 1 års mellemrum konstateret, at tømmermængden er forøget med 4%. Det er rimeligt at antage, at væksten kan betragtes som kontinuert forrentning. Vi vil finde den procentsats (rentefod, vækstrate), som denne forrentning svarer til. Hvis tommermængden ved årets begyndelse er k (tons eller m 3 ), er den i slutningen af året så vi får r r k e = k 104,, r k e = k 1, 04 e = 1, 04 r = 0, 039. fordi e 0 039, = 1,04. Vi har prøvet os frem med cas med tal en smule under 4%. Vi ser i næste afsnit, hvordan vi let kan finde et sådant tal. En vækst på 4% p.a. svarer altså til en kontinuert forentning på 3,9%.

353

354 Internet MAT.SYSTIME.DK Du kan arbejde videre med fx renteformlen og eksponentiel udvikling på mat.systime.dk. I den interaktive formelsamling finder du renteformlen i fire varianter. Du kan vælge den formel, der giver dig den søgte størrelse og du taster tallene direkte ind i formlen ved at markere de enkelte formelelementer og erstatte dem med tal. Når alle formelelementer er erstattet med tal klikkes på = -tasten, og facit vises. Her er der indtastet tal i to af formlerne. I den interaktive formelsamling kan du arbejde med eksponentielle udviklinger på forskellig vis. Her kendes to funktionsværdier for den eksponentielle udvikling, f(10) = 3 og f(5) = 48, og regneforskrift, vækstrate og fordoblingskonstanten beregnes. I detaljer vises, hvorledes a og b i regneforskriften er blevet beregnet.

355 A1 GEOMETRI

356 356 A1. Geometri INDLEDNING Geometri er sandsynligvis den ældste del af matematikken når man lige ser bort fra banal talregning. Geometri i planen drejer sig om forholdet mellem linjer, punkter, cirkler, vinkler osv. og den blev først udviklet i det antikke Grækenland af Euklid, som i sine bøger Elementer samlede den viden, man havde på det tidspunkt (ca. 300 f. Kr.). Vi skal i dette afsnit se på grundlæggende figurer i den plane geometri og inddrage moderne hjælpemidler i form af et computerprogram, der kan håndtere geometriske tegninger på skærmen. Der findes flere af den type programmer, hvoraf de vigtigste er Cabri og GeoMeter; vi bygger her på GeoMeter. Vejledningerne i det følgende kan dog forholdsvis let tilpasses andre programmer.

357 A1. Geometri 357 GRUNDLÆGGENDE FACILITETER I GEOMETER I venstre side af skærmen øverst sidder en række knapper (fig. 1), de såkaldte værktøjer. Med disse kan du udføre forskellige aktiviteter. Pegeværktøj til at pege på og markere punkter, linjer osv. og flytte rundt med dem ved at trække med musen, mens museknappen holdes nede. Punkt-, cirkel- og linjeværktøj til at tegne henholdsvis punkter, cirkler og linjer (samt halvlinjer og linjestykker). Tekstværktøj til at navngive elementer af figuren og i almindelighed til at skrive tekst på figuren. Makroværktøj til at oprette nye værktøjer og arbejde med færdige figurer. Det kommer vi ikke ind på her. I det følgende skal du trin for trin lære at tegne figurer med programmet og at foretage målinger på figurerne. Fig. 1 TEGN PUNKTER Klik på punktværktøjet og før musen ind i tegneområdet. Hver gang du klikker med musen afsættes et punkt. Du kan kun tegne punkter i øjeblikket, og du kan se at pilespidsen som musen styrer, bærer rundt på en lille klat, som er punktet. Hvis du vil tegne andet end punkter, må du vælge et andet værktøj ved at klikke på værktøjsknappen, og først ved et nyt valg forsvinder punktet fra pilespidsen. Punktknappen øverst til venstre er til stadighed trykket ind som tegn på, at den er valgt. Dette var blot et første forsøg, så vi ønsker at slette alle punkterne, så vi igen får et frisk tegneområde til rådighed. Når/hvis du vil vende tilbage til pegeværktøjet, skal du blot taste Esc. SLET EN FIGUR ELLER DELE AF EN FIGUR At slette en figur eller dele af en figur kan gøres på flere måder: 1. Vælg pegeværktøjet. Peg på det punkt, linje eller cirkel, du vil slette og klik. Det element, du har peget på, fremhæves (dvs. punkter, linjer og cirkler bliver tykkere). Man siger, at det pågældende element er markeret. Tast Delete.

358

359 A1. Geometri 359 TEGN CIRKLER Der er to måder at tegne cirkler på: Fig. Metode 1 1. Klik på cirkelværktøjet og slip museknappen.. Før pilespidsen ud i tegneområdet, klik med musen og centrum afsættes. 3. Slip igen musetasten og træk pilespidsen bort, og der tegnes en cirkel, der bliver større og større. 4. Klik med musetasten, og cirklen er tegnet med den ønskede radius. Hvis du fører pilespidsen andre steder hen i tegneområdet og klikker, får du tegnet flere cirkler. Metode 1. Vælg punktværktøjet og afsæt to punkter. Linjestykket mellem de to punkter vil blive radius i cirklen.. Vælg cirkelværktøjet og klik i det punkt, der skal være centrum. 3. Slip museknappen og før pilen ud til det andet punkt og klik i dette du kan se, om du rammer punktet, ved at det svulmer op.

360 360 A1. Geometri 4. Cirklen markeres. Markeringen kan være generende, og vil du fjerne den, vælger du pegeværktøjet og klikker et tomt sted i tegneplanen. Læg i øvrigt mærke til de små kommentarer, der fremkommer nederst i venstre hjørne i proceslinjen. De fortæller, hvad der er ved at ske i øjeblikket, og er i mange tilfælde yderst nyttige. MARKER OG TRÆK Man kan markere (fremhæve) dele af figurer og trække dem rundt med musen. Vi tegner en trekant til demonstration. Fig Afsæt med punktværktøjet tre punkter.. Skift til pegeværktøjet og markér alle tre punkter. 3. I Konstruer-menuen vælger du Linjestykker, og trekanten tegnes. Klikkes et tomt sted i tegneområdet, afmarkeres trekanten. 4. Prøv nu med pegeværktøjet at markere en af trekantens vinkelspidser ved at klikke med museknappen. Hold museknappen nede og træk rundt med punktet.

361 A1. Geometri 361 Fig Markér derefter to vinkelspidser og træk med museknappen nede. Afmarkér punkterne og markér i stedet en af trekantens sider eller to af trekantens sider. Træk i alle tilfælde rundt og se, hvad der sker. Du kan også markere hele trekanten som beskrevet under Slet en figur... og derefter trække rundt med den. Prøv! Prøv også at tegne en trekant sådan: Vælg linjeværktøjet. Den lille pil i nederste højre hjørne frembringer i alt tre knapper. De bruges til at tegne linjer, halvlinjer og linjestykker. Vælg den første af knapperne. Klik på et punkt i planen og træk musen lidt bort, mens du holder knappen nede. Slip knappen og tryk den ned igen og før musen i en anden retning. Vend tilbage til det første punkt. FIGURBETEGNELSER OG TEKSTER Der er i geometri tradition for på figurer at betegne punkter med store latinske bogstaver (fx A, B, P, Q, X) og linjer med små (fx m, n, p). Vi skal her se, hvordan vi i GeoMeter kan gøre dette. Afsæt 3 punkter. 1. Vælg tekstværktøjet og klik på det ene punkt. Navnet A dukker (måske) op. Tilsvarende for de to øvrige punkter som kaldes B og C. Du kan flytte bogstaverne en smule rundt i forhold til punkterne ved at trække i bogstaverne med musen men ikke for langt væk fra punkterne!

362 36 A1. Geometri. Vælg pegeværktøjet (eller tekstværktøjet) og dobbeltklik på et af navnene. Så får du mulighed for i en dialogboks at ændre navn, som du vil. Du kan anbringe tekst eller bogstaver hvor som helst på figuren ved at dobbeltklikke et tomt sted. Så oprettes en tekstboks, hvor du kan skrive efter behov. OBS! Du skal afmarkere tekstboksene ellers nægter programmet at fungere! Det sker ved at klikke et tomt sted i tegneplanen. MÅLINGER PÅ EN FIGUR Vi skal nu se, hvordan vi kan måle størrelserne af en trekants vinkler og længderne af dens sider. 1. Vælg menupunktet Redigér og Indstillinger. I dialogboksen, der kommer frem, vælger du en nøjagtighed på hundredetusindedele.. Tegn nu først en trekant ABC som beskrevet ovenfor og benævn vinkelspidserne med A, B og C. VINKLER 1. Vælg pegeværktøjet og markér punkterne B, A, C i denne rækkefølge (husk, at de svulmer lidt op). Fig. 5

363 A1. Geometri 363. Vælg i øverste menulinje menupunktet Mål og menupunktet Vinkel. Derefter skriver programmet (efter amerikansk skik) m BAC = Vi foretrækker normalt at bruge A =..., og vi retter betegnelsen således: Fig Vælg tekstværktøjet, højreklik på gradtallet af vinklen, og du får dermed i en dialogboks mulighed for at omdøbe til A. 4. Markér derefter vinkel B ved at skifte til pegeværktøjet og markere (i denne række følge) punkterne A, B, C. Vinkelmålene kommer ofte frem i en tekstboks i øverste venstre hjørne af figuren. Hvis du vil have dem flyttet hen i nærheden af trekanten (som på fig. 6) kan du skifte til pegeværktøjet og trække dem enkeltvis til et andet sted i tegneområdet. SIDER 1. Markér ved hjælp af pegeværktøjet en af siderne, fx c.. Vælg derefter menupunktet Mål og derefter Længde. Du får resultatet mba = Hvis du foretrækker den sædvanlige betegnelse c =, vælger du tekstværktøjet og højreklikker på måleresultatet. Så får du i en dialogboks mulighed for at omdøbe sidelængden til c (eller andet). 3. Målene for vinklerne og for siderne står nu i et hjørne af tegneområdet.

364 364 A1. Geometri 4. Skift til pegeværktøjet og grib fat i en af trekantens vinkelpsidser. Prøv nu at trække i vinkelspidsen og læg mærke til, hvordan målene på vinkler og sider følger med, når trekantens deformeres. TYPOGRAFI, SKRIFTSTØRRELSE OG BETEGNELSER Måske synes du, at bogstaverne på figuren er for små. Når figuren er navngivet, kan du med pegeværktøjet dobbeltklikke på en af betegnelserne og får så lejlighed til i en dialogboks at vælge en større punktstørrelse (punktstørrelsen er forudindstillet til 1 punkt vælg fx 16 punkt i stedet). Fig. 7 LOMMEREGNEREN Vælg menupunktet Mål og Lommeregner. Du kan trække lommeregneren et hen til et mere bekvemt sted på skærmen ved med pegeværktøjet at gribe fat i det blå panel foroven og trække. 1. Du skal foretage en opmåling af en trekants vinkler som angivet ovenfor. Omdøb vinklerne til A, B og C.. Bring lommeregneren frem. Klik på tekstboksen med A og gradtallet overføres til lommeregneren. Skriv + på tastaturet, klik på tekstboksen med B og tast OK. Nu udregnes summen af A og B, og den skrives et sted i tegneplanen.

365 A1. Geometri 365 Fig Træk nu rundt med en vinkelspids i trekanten og bemærk, hvordan gradstørrelserne for vinklerne ændrer sig, og at summen A + B følger med. 4. Bring igen lommeregneren frem og udregn A + B + C. Træk igen rundt med trekanten ved at gribe i en vinkelspids. Hvad sker der med vinkelsummen undervejs? TREKANTMÅLING Vi har i kapitlet om trigonometri gennemgået, hvordan man beregner sider og vinkler i en trekant, når visse andre sider og vinkler er opgivet. Du får her lejlighed til at tegne trekanterne og måle på dem i Geo- Meter. Vi angiver, hvilke elementer, der er givet i trekanten. I. Tre sider Vi skal se på en trekant, hvor de tre sidelængder er opgivet. Vi er selvfølgelig interesseret i at finde vinklerne. Først konstruerer vi trekanten, og vi går ud fra, at målene er AB = 7, AC = 5, BC = 4.

366 366 A1. Geometri Fig. 9 Du kan gøre sådan: 1. Afsæt et punkt A i tegneplanen.. Dette punkt parallelforskydes 7 enheder i vandret retning til punktet B. Dette gør du sådan: Vælg punktværktøjet og afsat et punkt. Skift til pegeværktøjet og vælg i rullegardinmenuen Transformer punktet Parallelforskyd. Nu kommer der en dialogboks og du vælger en fast afstand på 7 og en fast vinkel på 0. Så foretages parallelforskydningen nemlig direkte mod højre. 3. Nu er punkterne A og B afsat. Navngiv dem og konstruer det linjestykke, der forbinder dem. 4. Marker punktet A og foretag en parallelforskydning af dette punkt på 5 enheder i lodret retning (vinkel 90 ). Navngiv det parallelforskudte punkt D. 5. Tegn med cirkelværktøjet en cirkel med centrum A, som går gennem D. 6. Markér B og foretag nu en parallelforskydning af B, på 4 enheder lodret (dvs. vinkel 90 ). Kald det nye punkt E. 7. Tegn med cirkelværktøjet en cirkel med centrum B, som går gennem E. 8. De to cirkler skærer hinanden i to punkter. Marker begge cirkler og konstruer deres skæringspunkter. Vælg et af skæringspunkterne og betegn det med C.

367 A1. Geometri Markér punkterne A, B og C og forbind dem med linjestykker. 10. Mål hver af trekantens sider med menupunktet Mål. Omdøb i tekstboksene siderne til de sædvanlige betegnelser AB, AC og BC eller c, b og a. 11. Beregn nu ved hjælp af lommeregneren vinklen C ved hjælp af cosinusrelationen. Benyt her lommeregnerens menu Funktioner, hvor cosinusfunktionens omvendte betegnes Arccos. 1. Foretag nu en måling på figuren af vinkel C. 13. Mål derefter vinklerne A og B. II. To sider og en mellemliggende vinkel I ΔABC oplyses, at A = 7, AB = 10 og AC = 7. Du skal konstruere trekanten og måle den ukendte side BC og de to ukendte vinkler B og C. Fig Tegn først punktet A og derefter linjestykket AB ved hjælp af parallelforskydning, som skitseret ovenfor.. Parallelforskyd A 7 enheder i en vinkel på 7 til C. Forbind B og C. 3. Foretag ved hjælp af lommeregneren en beregning af siden BC. 4. Foretag en måling af siden BC ved hjælp af menupunktet Mål. 5. Mål derefter vinklerne B og C.

368 368 A1. Geometri III. To vinkler og en mellemliggende side I ΔABC oplyses, at A = 37, B = 7 og AB = 8. Du skal konstruere trekanten og måle de ukendte stykker, dvs. vinklen C og siderne AC og BC. Vi vælger at afsætte AB og dreje AB 37 om A og derefter 7 om B. 1. Afsæt punktet A og parallelforskyd det 8 enheder mod højre til B.. Afmarkér begge punkter. Markér derefter først A, derefter B, vælg Konstruer og Halvlinje. 3. Markér punktet A, vælg Transformer og Markér centrum. Derefter markerer du halvlinjen, vælger Transformer og Drej. I dialogboksen vælger du 37 og Drej. 4. Marker dernæst B, vælg Transformer og Marker centrum. Marker halvlinjen og drej den Konstruer C som skæringspunktet mellem to linjer. 6. Foretag nu en måling af alle trekantens sider og vinkler. Sørg for, at både sider og vinkler i tekstboksene får de korrekte betegnelser. Fig. 11 IV. To sider og en ikke-mellemliggende vinkel Lad det være givet, at A = 9, AC = 13 og BC = 9. Du skal konstruere trekanten (fig. 11). 1. Afsæt punktet A og parallelforskyd det 13 enheder til C.. Tegn ved drejning en halvlinje med begyndelsespunkt i A (se under III). 3. Tegn en cirkel med centrum i C og radius 9 (se under I.)

369 A1. Geometri Cirklen skærer halvlinjen fra A i to punkter, så der findes to trekanter, der indeholder de givne mål (det dobbelttydige tilfælde). Konstruer cirklens skæringspunkter med halvlinjen og betegn dem med B og D. 5. Foretag en opmåling af vinkler og sider i ΔABC og i ΔADC og sammenlign resultaterne med beregningerne af de tilsvarende trekanter i kapitlet Trigonometri. LEIBNIZ SÆTNING I er trekant kaldes de linjestykker, der forbinder vinkelspidserne med midtpunkterne på de modstående sider, for trekantens medianer (medium: midt-). Fig Tegn en trekant, konstruér sidernes midtpunkter og tegn derefter de tre medianer.. Medianerne går gennem samme punkt. Marker to af medianerne og konstruer deres skæringspunkt. 3. Navngiv trekantens vinkelspidser og medianernes skæringspunkt med henholdsvis A, B, C og M. 4. Afsæt med punktværktøjet et vilkårligt punkt P i planen og tegn linjestykkerne PA, PB, PC og PM. For ethvert punkt i planen interesserer vi os for summen af punktets afstandskvadrater til vinkelspidserne, dvs. for et vilkårligt punkt P ser vi på størrelsen PA + PB + PC. Dette tal varierer selvfølgelig alt efter, hvor P er placeret. Hvor mon vi skal vælge P, så tallet bliver så lille som muligt?

370 370 A1. Geometri 5. Mål afstandene PA, PB, PC, MA, MB, MC og udregn ved hjælp af lommeregneren summerne p= PA + PB + PC og m= MA + MB + MC. 6. Grib med musen fat i punktet P og flyt det rundt i planen. Hvordan er størrelsen af tallene p og m i forhold til hinanden? 7. Udregn nu på lommeregneren tallet MA + MB + MC + 3 PM Træk igen P rundt i planen med musen. Hvilken sammenhæng (formel) gælder tilsyneladende for alle punkter P i planen? Denne sammenhæng går under navnet Leibniz sætning ( Gottfried Wilhelm Leibniz, ). Den kræver selvfølgelig et matematisk bevis, som er en smule kompliceret, hvis man vil give et rent geometrisk bevis. Man kan dog også vælge at indlægge ΔABC i et koordinatsystem på passende måde og derefter beregne kvadraterne på afstandene i koordinater, se fig. 13. SÆTNING. (Leibniz). Hvis M er medianernes skæringspunkt i ΔABC og P er et vilkårligt punkt i planen, gælder at PA + PB + PC = MA + MB + MC + 3 PM, så M er det punkt i planen, der har den mindste kvadratsumsafstand til vinkelspidserne. Bevis. Du skal gennemføre et bevis ved hjælp af analytisk geometri. Trekanten anbringes i koordinatsystemet, så midtpunktet af en af siderne (fx BC) ligger i (0,0) og siden BC ligger på x-aksen. Koordinaterne til A, B, C og P er som på fig. 13. Medianernes skæringspunkt M har et koordinatsæt, der er middeltallet mellem vinkelspidsernes koordinater, dvs. hvis vinkelspidserne i ΔABC har koordinaterne A (x 1,y 1 ), B (x,y ), C (x 3,y 3 ), så har medianernes skæringspunkt koordinaterne M ( 1 3 ( x 1 1+ x+ x3), 3 ( y 1 + y + y 3 ))

371 A1. Geometri 371 Fig Angiv koordinaterne til medianernes skæringspunkt M med de betegnelser, der er angivet på figuren.. Angiv ved hjælp af koordinaterne afstandskvadraterne PA, PB, PC, MA, MB, MC og PM. 3. Vis derefter, at ligningen mellem afstandene er korrekt. EN SÆTNING OM ROMBER En rombe er en ligesidet firkant (fig. 14). Man kan sige, at en rombe er udspændt af sidemidtpunkterne af et rektangel, hvis sider er parallelle med robens diagonaler dette gør det let at tegne en rombe med GeoMeter. Fig. 14

372 37 A1. Geometri Tegn altså først et vilkårligt rektangel ved brug af Konstruer og Vinkelret linje. Forbind midtpunkterne på rektanglets sider med hinanden og benævn dem A, B, C og D. Lad derefter P være et punkt i det indre af romben ABCD og projektionerne af P på siderne være K, L, M og N. 1. Tegn romben i GeoMeter og vælg P som et vilkårligt punkt i det indre af romben. Tegn linjerne gennem P vinkelret på siderne som vist på figuren. Dette sker på følgende måde: a. Markér en af siderne, fx AB samt punktet P. b. Vælg i menuen Konstruer menupunktet Vinkelret linje. Så tegnes linjen gennem P vinkelret på AB. c. Klik et tomt sted i tegneplanen, så markeringen af den vinkelrette linje forsvinder d. Måske vil du fjerne den del af den vinkelrette linje, der ligger uden for linjestykket PK. Markér derfor både siden AB samt linjen gennem P og K. e. Vælg Konstruer og Skæringspunkt. Så markerer programmet punktet K på siden AB. Afmarkér de fremhævede dele ved at klikke et tomt sted i tegneplanen. f. Markér linjen PK. Vælg menupunktet Vis og heri Skjul vinkelret linje. Så forsvinder linjen PK. g. Markér punktet P og punktet K og konstruer linjestykket PK.. Mål længden af hver af linjestykkerne PK, PL, PM og PN. 3. Beregn ved hjælp af lommeregneren summen af længderne: PK + PL + PM + PN. 4. Træk med musen punktet P rundt i det indre af romben og iagttag, hvad der sker med summen af længderne under punkt 3. Det viser sig, at summen af afstandene fra P til rombens sider er konstant, dvs. summen af afstandene afhænger ikke af, hvor P er valgt. Du skal skrive et bevis for, at dette er korrekt. Du kan gå frem således: 5. Forbind P med vinkelspidserne og betegn længden af siderne i romben med s. Aralet af ΔPAB og ΔPBC er henholdsvis

373 Δ Δ Δ Δ

374 374 A1. Geometri Fig. 15 Afsæt nu med punktværktøjet et vilkårligt punkt P i det indre af trekanten. Du skal nu måle de vinkelrette afstande fra P til hver af trekantens sider. Gå frem efter vejledningen i afsnittet ovenfor om romben, idet du tegner de vinkelrette linjer fra P på siderne. 6. Mål hver af de vinkelrette afstande PK, PL og PM. Målene kommer frem på figuren. Husk at afmarkere målene. Udregn ved hjælp af lommeregneren summen PK + PL + PM. 7. Grib med musen fat i punktet PO og flyt det omkring i det indre af trekanten og iagttag, hvordan længderne af PK, PL og PM ændrer sig. Hvad sker der med summen af afstandene?

375 A1. Geometri 375 Fig. 16 Det ser ud til, at summen af afstandene til siderne i en ligesidet trekant fra et punkt i det indre af trekanten er konstant, dvs. ikke afhænger af, hvilket punkt, der er valgt. Du skal skrive et bevis for denne sætning. Gå fx således frem: 8. Træk linjestykkerne PA, PB og PC (fig. 16), og lad s være sidelængden i den ligesidede trekant. Arealet af ΔPAB er Ar(ΔPAB) = 1 s PK. Skriv på samme måde arealerne op for ΔPBC og ΔPAC. 9. Hvis arealet af ΔABC betegnes T, skal du skrive op, at T er summen af de tre små trekanters arealer. Find derved et udtryk for summen PK + PL + PM. Kan du nu slutte, at summen er konstant? Hvorfor?

376 376 A1. Geometri EKSPERIMENTER Du skal i det følgende foretage nogle undersøgelser ved hjælp af Geo- Meter og derved formulere nogle geometriske sætninger. At fremstille en tegning i GeoMeter udgør ikke et bevis for sætningers rigtighed, men kan som tidligere nævnt fungere som et stærkt indicium for deres gyldighed. EKSPERIMENT 1 Vi skal se på den såkaldte Cevas sætning. 1. Tegn en vilkårlig trekant ABC og vælg et punkt P i dens indre.. Tegn linierne AP, BP og CP. De skærer de modstående sider i henholdsvis K, L og M (fig. 17). AL = 4.70 cm LC = cm A AL CK BM LC KB MA = CK = cm KB = cm BM = cm MA = cm M P L B K C Fig Foretag en opmåling af samtlige 6 stykker på trekantens sider, dvs. af stykkerne AL, LC, CK, KB, BM, MA. 4. Udregn ved hjælp af lommeregneren produktet af de forhold, som siderne deles i, dvs. udregn produktet AL LC CK BM KB MA. 5. Træk punktet P rundt i trekantens indre med musen. Hvordan går det med produktet for forskellige beliggenheder af P?

377 A1. Geometri 377 EKSPERIMENT 1. Tegn en spidsvinklet trekant ABC og dens højder AD, BE og CF som beskrevet ovenfor. Navngiv vinkelspidser og højdernes fodpunkter som nævnt (fig. 18). AH = cm HD = cm A BH = cm HE = cm F CH = cm HF = cm H E B D C Fig. 18. Marker to af højderne og find deres skæringspunktet H. Dette er alle højdernes skæringspunkt. 3. Foretag en opmåling af linjestykkerne AH, HD, BH, HE, CH, HF, dvs. af de linjestykker, som H deler hver af højderne i. 4. Udregn ved hjælp af programmets lommeregner produkterne AH HD, BH HE, CH HF. 5. Hvilket resultat kommer der ud af disse regninger? Træk i en af trekantens vinkelspidser og iagttag, hvordan de seks linjestykkers længder ændrer sig. Hvad sker der med produkterne? 6. Formuler en sætning om trekantens højder, som man kan formode er gyldig.

378 378 A1. Geometri EKSPERIMENT 3 1. Tegn en spidsvinklet trekant ABC og højden fra A. Fodpunktet på siden BC er D (fig. 19). LDA = KDA = A L P K B D C Fig. 19. Vælg et vilkårligt punkt P på højden og tegn halvlinjen fra C gennem P. Tegn desuden halvlinjen fra B gennem P. 3. Konstruer skæringspunkterne K og L mellem disse to halvlinjer og siderne AC og AB. 4. Mål derefter vinklerne ADL og ADK. 5. Træk i punktet P, så det bevæger sig på højden AD. Hvad sker der med den indbyrdes størrelse af de to vinkler? 6. Formuler en sætning om vinklerne, som du formoder gælder for alle (spidsvinklede) trekanter. EKSPERIMENT 4 1. Tegn en ligesidet trekant sådan: Afsæt to punkter B og C og konstruer det linjestykker, der forbinder dem.. Med centrum i B trækker du med cirkelværktøjet en cirkel ud, så den kommer til at gå gennem C. På samme måde trækker du en cirkel ud med centrum i C, så den går gennem B. 3. Konstruer det ene skæringspunkt mellem de to cirkler og betegn det med A. Tegn linjestykkerne mellem A, B og C. Nu er ΔABC ligesidet. Skjul de to cirkler (fig. 0). 4. Konstruer den omskrevne cirkel til ΔABC som vist ovenfor. 5. Afsæt med punktværktøjet et vilkårligt punkt P på cirkelbuen mellem B og C. Konstruér linjestykkerne PA, PB og PC og mål hver af dem.

379 Δ

380 380 A1. Geometri. Konstruer midtpunktet K af medianen AM. Tegn halvlinjen fra B gennem K og konstruer skæringspunktet med siden AC. Betegn det med P. 3. Mål linjestykkerne AP og CP. Udregn ved hjælp af lommeregneren forholdet mellem dem, dvs. udregn CP AP. 4. Træk i en af trekantens vinkelspidser, så den ændrer form. Hvad sker der med forholdet CP : AP? Formulér en sætning om trekanters medianer, som du formoder er korrekt. EKSPERIMENT 6 1. Tegn et rektangel på følgende måde (fig. ): Afsæt med punktværktøjet to punkter B og C og konstruer deres forbindelseslinjestykke. I B og C tegner du linjer, der er vinkelrette på BC. På en af disse vinkelrette linjer vælger du med punktværktøjet et punkt, fx A, og tegner en vinkelret linje gennem dette punkt. NMC = A N B E M D C Fig.. Konstruer de nødvendige skæringspunkter mellem linjerne, skjul dem og tegn de linjestykker, der forbinder punkterne. Nu er rektanglet ABCD tegnet. 3. Konstruer diagonalen BD, og konstruer den vinkelrette linje fra C på diagonalen BD. Den skærer diagonalen i E. Skjul den vinkelrette linje og tegn kun forbindelseslinjen CE. 4. Konstruer midtpunktet N af siden AB og midtpunktet M af linjestykket DE, og tegn linjestykkerne NM og CM. 5. Mål NMC. Træk i rektanglet så det ændrer form. Hvordan går det med NMC?

381 A1. Geometri 381 BEVISER Vi skitserer nedenfor beviser for de sætninger, der er afsløret i eksperimenterne. Beviserne forudsætter visse geometriske kundskaber, men er i øvrigt ikke vanskelige. Eksperiment 1. Træk gennem K linjer parallelle med siderne AB og AC. Skæringspunkter med BL og CM er henholdsvis G og H. Vi betegner linjestykkerne på figuren med små bogstaver som vist på fig. 3. Desuden betegnes trekantens sidelængder som sædvanlig med a, b og c. Fig. 3 Ved hjælp af ensvinklede trekanter får vi så r = a k p, k s = m, t n h = n, m h q =. u a Ved multiplikation af disse ligninger fås r k t h a m n q rt q = = rtp = suq k s h u p n m a su p s q u r p t =1. Eksperiment. Vi får brug for kordesætningen for cirkler: Hvis der i en cirkel tegnes to korder AB og CD, der skærer hinanden i P, så er PA PB = PC PD (fig. 4). Desuden får vi brug for det faktum, at spejlbillederne af højdernes skæringspunkt i siderne ligger på trekantens omskrevne cirkel (fig. 5). Dette indses således.

382 38 A1. Geometri Fig. 4 Fig. 5 Forlæng højden AD til skæring med den omskrevne cirkel i D 1 og højden BE til skæring med cirklen i E 1. Vi trækker linjerne BD1 og D1C. I ΔCDA er DAC = 90 C, så vi i ΔAHE får, at AHE = C og dermed BHD = C. Men vi har også, at DD1 B= ACB= C, fordi de som periferivinkler spænder over samme bue på cirklen. Dermed er BHD = BD 1 D, så ΔBHD 1 er ligebenet med BD som midtnormal. Altså er HD = DD 1. Nu får vi ved hjælp af kordesætningen og den nævnte sætning om højdernes spejlbilleder i siderne, at AH HD = BH HE AH ( HD + DD ) = BH ( HE + EE ) AH ( HD + HD) = BH ( HE + HE) AH HD = BH HE. Eksperiment 3. Vi tegner en linje gennem A parallel med BC. Linjerne DL og DK skærer denne linje i S og R. Vi viser, at AS = AR (fig. 6). Dette medfører, at de to ønskede vinkler er lige store. Fig. 6

383 A1. Geometri 383 Cevas sætning i ΔABC giver BK AL KA CD LC DB =1. Nu er ΔDKB og ΔBKA ensvinklede, så BK = DB. KA AR På samme måde er ΔDLC og ΔSLA ensvinklede, så AL = AS. LC CD Dette indsættes: DB AS AR CD CD DB =1, og heraf følger, at AS = AR. Eksperiment 4. Afsæt punktet E på PA, så PCE = 60 (fig. 7). Da EPC er en periferivinkel, er EPC = 60, dvs. ΔPCE er ligesidet. Vi sætter x = BCP, så BCE = 60 x og dermed ACE = x. Nu er BPC = 10 = AEC og AC = BC. Da ΔACE og ΔBCP har en vinkel og de to hosliggende sider parvis lige store, er de kongruente, så AE = PB. Da som nævnt ΔPCE er ligesidet, er PC = PE. Altså får vi PB + PC = AE + PE = PA. Fig. 7

384 384 A1. Geometri Eksperiment 5. Vi tegner en linje gennem C parallel med AM (fig. 8). Den skærer forlængelsen af AB i N. Desuden skærer forlængelsen af BK linjen CN i D. Da AK = KM, er også ND = DC. Da AB = AN er CA og AD medianer i ΔBCN, hvilket for deres skæringspunkt P giver, at PA PC = 1. Fig. 8 Eksperiment 6. Lad L være projektionen af N på DB (fig. 9). Da ΔDCE og ΔBNL er ensvinklede, er så BL DE = LN BN CE = DC = 1, BL = 1 DE og LN CE = 1. Desuden er EM = 1 DE, så vi får, at BL = EM. Videre får vi BE = BL - LE = EM - LE = LM. I den retvinklede ΔABC gælder, at DE BE = CE så vi har, at 1 EM EM CE BL CE BL CE DE CE = = = = CE = CE = LN = LN CE DE BE DE LM DE LM LM LM LM,.

385 A1. Geometri 385 Alt i alt har vi så, at EM CE = LN, LM og dette betyder, at forholdet mellem kateterne i ΔMEC og ΔMLN er det samme, så trekanterne er ensvinklede: og dermed LMN = ECM, CMN = LMN + CME = ECM + CME = 90. Fig. 9

386 386 A1. Internet MAT.SYSTIME.DK På hjemmesiden (mat.systime.dk) kan du undersøge trekanters indskrevne og omskrevne cirkler, og Leibniz sætning er også behandlet her. På hjemmesiden kan du konstruere et bevis for en sætning om trekantens midtnormaler. Du skriver direkte i indtastningsfelter på siden, og bagefter kan du udskrive dit bevis. Du kan også arbejde videre med Leibniz sætning og bl. a. se et koordinatbevis for sætningen.

387

388

389

390

391

392