MM502+4 forelæsningsslides

Transkript

1 MM502+4 forelæsningsslides uge , 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er

2 Egenskaber for følger: En følge {a n } er: nedad begrænset, hvis der findes et tal L så a n L for alle n. opad begrænset, hvis der findes et tal K så a n K for alle n. positiv, hvis a n 0 for alle n. negativ, hvis a n 0 for alle n. voksende, hvis a 1 a 2 a 3 a 4. aftagende, hvis a 1 a 2 a 3 a 4. alternerende, hvis a n erne skiftevist er positive og negative, f.eks. hvis a 1 > 0, a 2 < 0, a 3 > 0, a 4 < 0, osv. Konvergens af følger: En følge {a n } siges at være konvergent med grænseværdi L hvis for ethvert nok så lille positivt tal ε > 0 findes et (muligvist meget stort) naturligt tal N, så n N = a n L < ε. MAO: {a n } konvergerer mod L, hvis afstanden fra a n til L er lille når n er stor. Skrivemåder: Udsagnet følgen {a n } konvergerer mod L kan matematisk udtrykkes ved lim a n = L eller ved a n L for n. 2

3 Divergens af følger: En følge kaldes divergent, hvis den ikke er konvergent. Specialtilfælde: lim a n = + (følgen {a n } divergerer mod + ), hvis der for ethvert tal K findes et naturligt tal N så n N = a n K. Tilsvarende: lim a n = (følgen {a n } divergerer mod ), hvis der for ethvert tal L findes et naturligt tal N så n N = a n L. Regneregler for grænseværdi: Hvis vi har to konvergente følger {a n } og {b n } med grænseværdier: så gælder: lim a n = L, lim (a n + b n ) = L + K, lim b n = K, lim a n b n = LK, lim ca n = cl, lim a n bn = L K hvis b n 0 og K 0. Flere resultater om grænseværdi: Sandwich reglen: Hvis a n b n c n for alle n, så gælder: lim a n = lim c n = L = lim b n = L. Enhver voksende, opad begrænset følge er konvergent. Enhver aftagende, nedad begrænset følge er konvergent. De to sidste bullets udtrykker helt fundamentale egenskaber ved de reelle tal. 3

4 Konvergens af rækker: Til en række knyttes afsnitsfølgen: a 1 + a 2 + a 3 + = a n s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3, s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4,.. s n = a 1 + a a n = n a j. j=1 Vi siger, at rækken a n er konvergent med sum s, hvis lim s n = s. Og hvis det er tilfældet, så skrives a n = s. Altså a n = s lim s n = s Den geometriske række a + ar + ar 2 + ar 3 + = ar n 1 = Rækken er divergent, hvis r 1 og a 0. Den divergerer mod, hvis r 1 og a > 0. Det følger specielt, at når 1 < x < 1: 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + = a, hvis 1 < r < 1, 1 r x n 1 = x n. 4

5 Den harmoniske række: 1 n = Sætninger om rækker: a n er konvergent = lim a n = 0. Det modsatte gælder ikke altid, tag f.eks. den divergente række 1. n a n er konvergent = n=n a n er konvergent for alle N. Hvis a n 0 (fra et vist trin), så er a n enten konvergent eller divergent mod +. Regneregler om rækker: Antag vi har to konvergente rækker: a n = A, b n = B. Da gælder (a n + b n ) = A + B, (a n b n ) = A B, ca n = ca, a n b n for alle n = A B. NB: Der gælder ikke tilsvarende regler om rækkerne a n b n og a n b n. 5

6 Tre konvergenstests for rækker med positive led 1. Integraltesten: Input: En række a n og en funktion f(x), som opfylder a n = f(n), f er kontinuert, aftagende, og positiv (evt. blot aftagende og positiv på et interval af formen [N, [). Konklusion: Da gælder a n < (rækken er konvergent) (Man kan normalt tage N = 1.) N f(x) dx <. 2. Sammenligningstesten: Input: To rækker a n, b n, et nummer N og en reel konstant K > 0, som opfylder ulighederne a n Kb n for alle n N. Konklusion: Da gælder Hvis rækken a n er divergent, så er rækken b n også divergent. Hvis rækken b n er konvergent, så er rækken a n også konvergent. (Man kan normalt tage N = 1.) 6

7 Forholdstesten: Input: En række a n bestående af positive tal a n > 0, hvorom det gælder, at grænseværdien a n+1 ρ = lim a n eksisterer (evt. med ρ = ). Konklusion: Rækken a n er konvergent, hvis 0 ρ < 1, divergent, hvis ρ > 1, ingen konklusion, hvis ρ = 1. Konvergens af potensrækker: For potensrækken a n (x c) n = a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +, gælder præcis en af følgende 3 muligheder: (i) Rækken konvergerer kun for x = c. Konvergensradius = 0. (ii) Rækken konvergerer for alle reelle tal x. Konvergensradius =. (iii) Der findes et tal R > 0, så rækken konvergerer for R + c < x < R + c og rækken divergerer for x < R + c og for x > R + c. (Rækken konvergerer eller divergerer for x = R + c og for x = R + c.) Konvergensradius = R. Hvis grænseværdien L = lim a n+1 a n findes (idet vi tillader L = ), så er konvergensradius R givet ved 1/L, 0 < L <, R =, L = 0, 0, L = 7

8 Regneregler for potensrækker: Givet to potensrækker a n x n, b n x n, med konvergensradier R a hhv. R b. Sæt R = min{r a, R b }. Da er a n x n + b n x n = (a n + b n )x n. [Konvergensradius R.] c a n x n = ca n x n. [Konvergensradius = R a.] ( a n x n)( b n x n) = c n x n [Konvergensradius R], hvor c n = a 0 b n + a 1 b n a n b 0 = n a j b n j. j=0 Differentiation og integration af potensrækker: Givet en potensrække f(x) = med konvergensradius R > 0. Da er a n x n f (x) = F (x) = na n x n 1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 +, a n n + 1 xn+1 = a 0 x + a 1 2 x2 + a 2 3 x3 + hvor F (x) = x f(t) dt. 0 Disse formler er gyldige indenfor det åbne konvergensinterval ( R, R) 8

9 Koefficienterne i en potensrækker Givet en potensrække f(x) = med konvergensradius R > 0. Da er a 0 = f(0), a 1 = f (0) 1, a 2 = f (0) 2 a n x n, a 3 = f (3) (0) 3!,, a n = f (n) (0),. n! Nogle eksempler på potensrækker For < x < gælder e x = 1 + x + 1 2! x ! x ! x ! x5 +, sin(x) = x 1 3! x ! x5 1 7! x ! x9, cos(x) = 1 1 2! x ! x4 1 6! x ! x8. Faktisk gælder de tre formler også for alle komplekse tal, og man kan heraf udlede Eulers berømte ligninger e ix = cos(x) + i sin(x) og med x = π i ovenstående: e iπ = 1 9