Delprøven uden hjæpemidler Opgave 1 Givet funktionerne f, g og h. a) Eneste graf med toppunkt for x = 1,5 er C. f(x) er derfor C. Bestemmes ved at løse ligningen f (x)= 0. Kun en af graferne har negativ koefficient til x 2, derfor er A = h(x). B = g(x). Opgave 2 Givet den lineære salgsfunktion S(x)= ax + b. a) forskrift for S: a = 45 50 40 30 = 5 10 = 0,5 b = 50 ( 0,5) 30 = 65 S(x)= 0,5x +65. Ugentlig afsætning ved salgspris på 55 kr. pr. stk.: 0,5x +65 = 55 0,5x = 10 x = 20 Ugentlig afsætning: 20 stk. Opgave 3 a) Grafen for B er grafen for f, da grafen for A har ekstrema for x = 3 og grafen B har nulpunkt for x = 3. Opgave 4 a) Vi bestemmer dy dx = 3x 2 4x. Ved indsættelse i differentialligningen fås: 3x 2 4x + 4x = 3x 2. Da venstre- og højresiden i differentialligningen er ens, er f (x)= x 3 2x 2 +5 løsning til differentialligningen. Opgave 5 Givet efterspørgsles- og udbudsfunktionerne: D(x)= 3x 2 80x +600, 0 x 13 S(x)= 8x +20, 0 x 13
a) Forbrugeroverskuddet: Vi udregner værdien af det bestemte integral: 10 0 3x 2 80x +600 100dx = x 3 40x 2 +500x Forbrugeroverskuddet er 2000. 10 0 = 1000 4000+5000 = 2000
Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 a) Forklaringen til løsning af ligningen 5n+25000 = 25000+ 245 n : 1. linie: Den reducerede ligning er opskrevet, 5n+25000 = 25000+ 245 n. 2. linie: Vi trækker 25000 fra på begge sider af lighedstegnet. 3. linie: Vi ganger med n på begge sider af lighedstegnet. 4. linie: Vi dividerer med 5 på begge sider af lighedstegnet og tager kvadratroden ligeledes på begge sider af lighedstegnet og finder løsningen. Kun den positive løsning kan bruges. b) Generelt udtryk for n: Bemærk: z = FO. Løsning: Opgave 7 Givet en PLC - funktion: PLC(x)= 1 3 x 3 +12x 2 23x +100, 0 x 32. PLC betyder Porduct Life Cycle og bygger på teorien om at produkter gennemløber en livscyklus, omfattende 4 faser: Introduktion, vækst, modning, og nedgang. a) Graf:
Det månedlige salg 9 måneder efter introduktionen: 622000 stk., jfr. graf ovefor. b) Største månedlige salg efter introduktionen: 23 stk. Se graf nedenfor: c)
Jfr. graf ovenfor kan vi fastslå, at væksten er størst i den 12. måned og ligningen for vendetangenten t: y = 121x 476. Opgave 8 a) Indsatte den 1. januar 2013: Den 1. januar 2013 blev der indsat 8000 kr. b) Samlet beløb den 1. januar 2017: 1. januar 2016 indestår der i alt 10.316,07 kr. Den 1. januar 2017 er saldoen: 10.398,60 kr., jfr nednfor.
Opgave 9 a) Grafisk præsentation af det ugentlige forbrug:
Grafisk præsentation af den månedlige indkomst: b) Gennemsnit, spredning og typeinterval for indkomst og forbrug. Månedlig indkomst: "Titel" "Statistik med én variabel" " x " 38766.66 "Σx" 1938333. "Σx²" 80467980319. "sx := sc ₁x" 10424.934729126 "σx := σcx" 10320.158856549 "n" 50. Gennemsnitlig indkomst: 38766,66 kr. Spredning i indkomst: 10425 kr. Typisk indkomst: Mellem 429016 til 31613 kr. Ugentlig forbrug: "Titel" "Statistik med én variabel" " x " 4866.542 "Σx" 243327.1 "Σx²" 1278594492.83 "sx := sc ₁x" 1388.2373271034 "σx := σcx" 1374.2848390476 "n" 50.
Gennemsnitligt forbrug: 4866 kr. Spredning i forbrug: 1388 kr. Typisk forbrug: Mellem 4000 til 4500 kr. c) xy-plot samt lineær regressionsmodel: "Titel" "Lineær regression (mx+b)" "RegEqn" "m*x+b" "m" 0.12395098959977 "b" 61.376129522053 "r²" 0.86640161017894 "r" 0.9308069671951 Regressionsligning: ŷ = 0,124x +61,376. Rimelig lineær overensstemmelse og forklaringsgrad, jfr. output. d) Konfidensinterval for hældningskoefficienten: "Titel" "Lineært Reg t-interval" "RegEqn" "a+b*x" "CLower" 0.1098254988685 "CUpper" 0.13807648033105 "b" 0.12395098959977 "ME" 0.014125490731273 "df" 48.
Med 95% sandsynlighed må vi antage at den ugentlige vækst i forbruget ligger mellem 0,11 og 0,13 ved forøgelse af indkomsten med én indkomstenhed. e) Det typisk ugenlige forbrug ligger mellem 4000 og 4500 kr. Det gennemsnitlige ugentlige forbrug ligger på 4866 kr. Spredningen i det ugentlige forbrug ligger på 1388 kr. De tilsvarende værdier for indkomst er: Typisk indkomst mellem 429016 til 31613 kr. Gennemsnitlig indkomst: 38766,66 kr. Spredning i indkomst: 10425 kr. Der antages at være lineær sammenhæng mellem indkomst og forbrug. Med 95% sandsynlighed må vi antage at den ugentlige vækst i forbruget ligger mellem 0,11 og 0,13 ved forøgelse af indkomsten med én indkomstindhed. Opgave 10 a) Løsning til differentialligningen dq dt = 0,05Q gennem punktet Q(1) = 20: Jfr. output får vi den partikulære løsning til:q(x)= 0,025x 2 +19,975. Opgave 11 Vi ønsker at optimere dækningbidraget på salget af to varer, LÆDER og VINYL. a) Vi bestemmer kriteriefunktionen: Funktionen er defineret for 100 x 720 og 0 y 600. b+c) Bi-betingelse: x + y 1000, positivbetingelser fremgår ovenfor. y x +1000
Som det fremgår af grafen ovenfor samt forskriften db(x,y) er der tale om en ellipse. Da koefficienterne a,c < 0 har vi frit maksimum i centrum af ellipsen, og da centrum ligger indenfor begrænsningsområdet opnås det største dækningsbidrag i centrum. Beregning af centrum: 180 (p,q) = 2 0,25, 450 2 0,75 = ( 360,300 ). Det størst mulige samlede dækningsbidrag er 99.900.
Opgave 12A a) Tabel med svarfordeling: Spørgsmål 25 Rækkenavne Total Ja, jeg er holdt op / vil holde op med at spise kødpålæg 20 Ja, jeg har skåret ned / vil skære ned på mit forbrug af kødpålæg 113 Ja, jeg overvejer at skære ned på mit forbrug af kødpålæg 49 Nej, jeg har ikke ændret mit forbrug af kødpålæg og kommer heller ikke til det 582 Nej, men jeg har skåret ned/er holdt op med at spise kødpålæg af andre årsager 98 Nej, men jeg vil overveje at skære ned på mit forbrug af kødpålæg efter denne oplysning 125 Ved ikke 50 Hovedtotal 1037 Andel, der overvejende svarer ja er ca. 18%. ˆp = 20+113+ 49 = 182 1037 1037 = 0,18. b) 95%-konfidensinterval for andelen, der overvejende svar Ja til spørgsmål 25. Med 95% sandsynlighed må det antages, at andelen af danskere, der overvejende svarer Ja til spørgsmål 25 ligger i intervallet mellem 15,3% og 19,8%. Opgave 12B a) Bestemmelse af maksimalt dækningsbidrag. Bi- og positivbetingelser: Plads: 0,4x +0,6 y 420 y 2 3 x +700 Frisk vand: 0,02x +0,025 y 20 y 0,8x +800 x 0 y 0
Kriteriefunktionen: db(x, y)= 42x +67 y. Polygonområde: Maksimalt dækningsbidrag opnås ved produktion af 0 regnbueørred og 700 guldørred. b) Dækningsbidraget på guldørred kan falde til 63 kr., dvs. falde med 4 kr. pr. stk., jfr. beregninger nedenfor: 42 a = 2 3 42= 2 3 a a = 42 2 = 63 3
Opgave 12C a) Arealet af det grå område: Arealet af det grå område er 2 2 0,59. b) Redegørelse for at y = x +π er tangent til en af graferne. Som det fremgår grafbilledet ovenfor er y = x +π tangent f (x)= sin(x).