Design af emulsioner - simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter

Design af emulsioner - simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter Det kan være vanskeligt at udføre eksperimenter i procesudstyr. Derfor er det vigtigt at udvikle modeller til at forudsige mikrostrukturen i flydefelter Af Runi D. Egholm og Peter Szabo, Institut for Kemiteknik, Dansk Polymercenter, DTU Emulsioner er betegnelsen for disperse systemer, hvor en kontinuert væskefase indeholder dråber af en anden væskefase. Ved fremstilling af emulsionsbaserede produkter, heriblandt fødevarer og lægemidler, indgår som regel en række dispergeringsprocesser. Eksempler herpå er omrøring og ekstrudering. Formålet med en dispergeringsproces er at tilpasse mikrostrukteren i emulsionen således, at det endelige produkt får de ønskede reologiske egenskaber. Det er derfor vigtigt at forstå samspillet mellem procesbetingelser og mikrostruktur, så omkostningerne ved forsøg i laboratorie- og industriskala kan minimeres. I en tidligere artikel i Dansk Kemi [1] beskrev vi en eksperimentel opstilling til måling af dråbedeformationer i komplekse flydefelter. I forlængelse af det eksperimentelle arbejde vil vi i denne artikel præsentere resultater fra en numerisk metode til simulering af dråbedeformationer og opsplitninger i simple såvel som i komplekse flydefelter. Dråbedeformation og opsplitning Eksperimentelle og teoretiske studier af dispergerede systemer baseres ofte på iagttagelse af en enkelt dråbe, når denne påvirkes af et veldefineret modelflydefelt (f.eks. [2-7]). De mest almindelige flydefelter er simpel forskydning og ren forlængelse. Det er imidlertid ikke ligetil at overføre viden baseret på studier i de simple modelflydefelter til de generelt komplekse flydeforhold, der findes i industrielt procesudstyr. Det er derfor af stor interesse at udarbejde og implementere numeriske metoder, der kan anvendes til at simulere forholdene i disperse systemer, når de påvirkes af komplekse flydefelter. En sådan numerisk model skal være i stand til at håndtere tofasesystemer med store deformationer af grænsefladen samt grænsefladeopslitning. I forbindelse med dråbedeformationer er det især Boundary Integral (BI)-metoder [8,9] og Volume of Fluid (VOF)-metoder [10], som har været anvendt. Begge metoder er blevet anvendt med stor succes til simuleringer af dråbedeformationer i forskellige typer af simple flydefelter. Vi har valgt at basere vort modelarbejde på VOF-metoden, idet dråbeopsplitning indgår mest naturligt i denne metode. Den implementerede model Den numeriske model består af to hovedelementer. Disse er (1) beregning af selve flydefeltet og (2) opdatering af de to væskefaser ift. hinanden. Til beregning af flydefeltet anvendes en Finite Element (FE)-metode (elementmetode), der er baseret på Stokes ligninger samt kasseelementer med kvadratisk approksimation af hastigheder og konstante tryk (Q 2 P 0 elementer). Beliggenheden af de to faser ift. hinanden bliver sporet vha. VOF-metoden. Denne metode er baseret på en inddeling af domænet i et net af VOF-kasseelementer, hvortil der associeres en såkaldt farvefunktion F. I vores tilfælde angiver farvefunktionen volumenfraktionen af dråbefasen i et givent VOF-element, dvs.: 1, hvis VOF element i kun indeholder dråbefasen Fi = 0, hvis VOF element i kun indeholder den kontinuerte fase 1< F < 0, hvis VOF element i indeholder begge faser, dvs. er et grænsefladeelement i Et af problemerne med VOF-metoden er, at beliggenheden af grænsefladen kun er givet implicit ved farvefunktionen. Dette betyder bl.a., at det er nødvendigt at rekonstruere grænsefladen ud fra værdierne af farvefunktionen, før dråbefasen kan transporteres i flydefeltet. I vor implementering anvender vi den såkaldte Piecewise Linear Interface Calculation (PLIC)-metode til at rekonstruere grænsefladen. I denne metode approksimeres grænsefladen med stykker af plane flader (se f.eks. [11]). Disse planer bliver herefter transporteret i flydefeltet med en Lagrange-procedure [11]. For at inkludere grænsefladespænding i modellen anvendes den såkaldte Continuous Surface Stress (CSS)-metode [12]. Denne metode indebærer, at grænsefladespændinger indgår som volumenkræfter defineret i regionen omkring overfladen. Det er derfor ikke nødvendigt, at grænsefladens beliggenhed falder sammen med knudepunkterne på elementerne. Simuleringer i simple forskydningsfelter For at teste den implementerede model er der udført en række simuleringer i forskydningsflydefelter. Ved disse test anvendes et rektangulært beregningsdomæne, hvor der påtrykkes Figur 1. Skitse af det beregningsmæssige domæne, som anvendes til simuleringer af dråbedeformationer i forskydningsfelter. Pilene på top- og bundpladen angiver retningen af det påtrykte hastighedsfelt. dansk kemi, 88, nr. 10, 2007 16

kemiteknik et hastighedsfelt svarende til simpel forskydning på grænsefladerne. I domænet defineres et start farvefelt svarende til en kugle med radius r 0 placeret i centrum af geometrien som angivet på figur 1. Ved diskretiseringen af beregningsdomænet anvendes et net, som består af rektangler med varierende sidelængde, se figur 2. Det er således muligt at have en høj koncentration af elementer i midten af domænet, hvor dråben befinder sig, og en lavere koncentration tæt på domænets grænser, hvor hastighedsfeltet ikke»mærker«dråbens tilstedeværelse. 3 a 3 b Figur 2. Eksempel på netinddeling af beregningsdomænet. For at relatere flydefeltets styrke og styrken af de kræfter, der er associeret med grænsefladespændingen, anvendes kapillartallet Ca: hvor G er flydefeltets styrke (forskydningshastigheden g ved ren forskydning), m k er viskositeten af den kontinuerte fase og s er grænsefladespændingen, som her antages at være konstant. Kapillartallet og forholdet l mellem viskositeten af dråbefasen og den kontinuerte fase er de dimensionsløse parametre, som styrer dråbens opførsel i flydefeltet. Hvis flydefeltet består af ren forskydning, vil en given dråbe splittes op i mindre dråber, når kapillartallet overstiger en kritisk værdi Ca krit og l < 3. Hvis kapillartallet er lavere end den kritiske værdi, vil dråben nå en stationær deformeret tilstand. I forbindelse med dråbedeformationer i forskydningsfelter anvendes ofte Taylors deformations- Figur 3. Simulering af dråbedeformation i forskydningsfelt med Ca=0.3 og l=1. Figur (a) viser den udeformerede dråbe ved tiden t=0 mens (b) viser den deformerede dråbe ved stationær tilstand. parameter D som mål for deformationsgraden. Denne parameter er defineret som: hvor L er længden af dråben langs dens længste akse og B er bredden af dråben. Parameteren D kan anvendes, såfremt dråben ikke er tæt på opsplitning, hvor der typisk ses en indsnævring i midten. I figur 3 ses resultaterne fra en simulering med Ca=0.3 og λ=1. Figur 3(a) viser den oprindelige kugleformede dråbe, mens figur 3(b) viser dråben ved tiden t=20, hvor den stationære deformation er nået. Den stationære deformationsparameter blev i t Hvis -reguleringsventilen støjer Industristandarden SAMSON model 3.241 kan forsynes med integreret støjdæmper. Støjreduktion op til 34 db(a)! GTA 1352 SAMSON REGULERINGSTEKNIK A/S DK 3460 Birkerød Tlf. 4581 9301 Fax 4581 9530 DK 8900 Randers Tlf. 8644 8166 Fax 8644 7881 www.samson-reg.dk email: adm@samsonreguleringsteknik.dk ISO 9001 PED - certificeret til de højeste krav. ATEX - FM - CSA - GOST m.fl. -førende i reguleringsventiler... 17 dansk kemi, 88, nr. 10, 2007

4 a 4 b 4 c 4 d Figur 4. Simulering af dråbedeformation i forskydningsfelt med Ca=0.46 og λ=1. Figur (a) til (d) viser deformations- og opsplitningsforløbet ved tiderne t=10, t=30, t=50 og t=60. dette tilfælde bestemt til D=0.362, hvilket stemmer godt overens med resultater beskrevet i litteraturen (f.eks. VOF-simuleringer udført af Li et al. [10]). Ved gradvist at øge kapillartallet har vi bestemt den kritiske værdi til at ligge omkring 0.44 ved λ=1. Figur 4(a)-(d) viser deformations- og opsplitningsforløbet for en dråbe simuleret ved Ca=0.46 og λ=1. Figur 4(a) viser deformationen ved tiden t=10, hvor dråben endnu ikke er begyndt at snævre ind ved midten. I figur 4(b) er tiden 30 og nu ses en tydelig indsnævring, som vokser i takt med, at dråben forlænges. I figur 4(c), hvor t=50, ses dråben lige før den splitter op. Her ses to hoveddråber ved enderne, som er forbundet af en tynd tråd. Ved et givet tidspunkt brydes denne tråd fra hoveddråberne og begynder at trække sig sammen. Undervejs i denne sammentrækning separeres enderne af tråden og danner 2 små»satellit«-dråber, mens den resterende del af tråden trækker sig sammen til en større dråbe. Dette resulterer i den endelige størrelsesfordeling 5 a vist i figur 4(d). Opsplitningsforløbet vist i figur 4 ses typisk i forskydningsfelter, når kapillartallet er lige over den kritiske værdi. For større kapillartal er dråbeforlængelsen større, før opsplitningen indtræder, hvilket resulterer i et større antal dråber, se f.eks. [10]. Ud over opsplitning af dråber vil der i industrielle dispergeringsprocesser forekomme hyppige kollisioner mellem to eller flere dråber. Disse kollisioner vil være med til at bestemme den endelige mikrostruktur af emulsionen. I figur 5 er vist en simulering af to dråber med oprindelig radius r 0 i et forskydningsfelt. Før start er begge dråber separeret fra hinanden med længden r 0. Centrum af de originale dråber er forskudt ift. hinanden i y-retningen, hvilket medfører at de bevæger sig hen mod hinanden. Figur 5(a) viser dråberne før de kommer i kontakt med hinanden. I (b) begynder overfladerne at smelte sammen og i (c) er sammensmeltningen af dråberne næsten overstået. I figur 5(d) ses det endelige resultat af kollisionen. Kapillartallet for 5 b 5 c 5 d Figur 5. Kollision af to dråber i et forskydningsfelt. Figur (a) (d) viser forløbet ved tiderne t=2,8, t=4, t=4,6 og t=10. Kapillartallet for de oprindelige dråber er 0.3. dansk kemi, 88, nr. 10, 2007 18

6 a 6 b 6 c 6 d Figur 6. Simulering af dråbedeformation i et forlængelsesfelt. Figur (a) og (b) viser deformationsforløbet ved tiderne t=7 og t=9. Efter tiden t=9 stoppes det påtrykte fl ydefelt og i (c) og (d) ses forløbet, hvor dråben trækker sig sammen, hvilket medfører opsplitning. Tiderne er (c) t=2 og (d) t=11. de oprindelige dråber var 0.3. Efter kollisionen, hvor dråberne er smeltet sammen, har den resulterende dråbe dobbelt så stort volumen som en af de oprindelige dråber. Det betyder, at kapillartallet for den resulterende dråbe er 0.38, hvilket er lavere end den kritiske værdi. Resultatet af kollisionen er derfor en dråbe som er stabil i flydefeltet. Simuleringer i forlængelsesflydefelter Flydefelter, som er baseret på ren plan forlængelse, er generelt mere»effektive«til at opnå dråbeopsplitning end forskydningsfelter, idet det kritiske kapillartal altid er lavere ved forlængelse end forskydning [7]. I forbindelse med forlængelsesfelter angives flydefeltets styrke G ved forlængelseshastigheden ε, når kapillartallet beregnes. For at teste den implementerede model ved flydefelter baseret på forlængelse anvendes et beregningsdomæne svarende til det i figur 2. På væggene af domænet angives grænsebetingelser, der resulterer i ren plan forlængelse beskrevet ved: hvor x 0 og y 0 angiver domænets centrum i (x,y)-planet. Det kritiske kapillartal i denne type flydefelter er ca. 0.23 ved λ=1 [7]. I det tilfælde, hvor kapillartallet er over den kritiske SØGER DU JOB værdi, ses typisk et fænomen som kaldes»threading«. Her forlænges dråben til en lang og ganske tynd tråd, før den splitter op i et stort antal meget små dråber. Denne type flydefelt er således velegnet til at opnå en emulsion med en meget lille gennemsnitsdråbestørrelse. Dette medfører imidlertid et beregningsmæssigt problem, idet det kræver et meget langt beregningsdomæne med et meget fint net, hvilket resulterer i upraktisk lange beregningstider. Det er dog også muligt at opnå opsplitning ved at stoppe det påtrykte flydefelt, efter at dråben er blevet deformeret over en vis kritisk værdi. I dette tilfælde vil dråben begynde at trække sig sammen, hvilket resulterer i opsplitning. I figur 6(a)-(d) er et sådant forløb vist for en simulering med Ca=0.26 og λ=1. Først deformeres dråben til ca. 16 gange dens oprindelige diameter, se figur 6(a) og (b). Herefter stoppes flydefeltet, og dråben begynder at trække sig sammen igen. Kort efter flydefeltets ophøren klemmes to dråber af trådens ende (figur 6(c)), hvorefter den resterende tråd trækker sig yderligere sammen. I løbet af denne sammentrækning klemmes igen to dråber af trådens ender og til sidst splitter den sidste del af tråden op i 5 lige store dråber, se figur 6(d). Størrelsesfordelingen af de dannede dråber afhænger af størrelsen af kapillartallet og viskositetsforholdet, samt hvor meget dråben er deformeret, før flydefeltet stoppes. Det er således muligt vha. den implementerede model at undersøge en dråbes deformations- og opsplitningforløb ved forskellige procesbetingelser. www.pumpegruppen.dk Tlf. +45 45 93 71 00 Fax +45 45 93 47 55 Velkommen i familien PUMPEGRUPPEN A/S byder Alldos velkommen i Grundfos familien og introducerer samtidig 2 nye modeller i den velkendte DIGITAL DOSING-serie. GRUNDFOS ALLDOS dækker nu hele området 0,002-3000l/h, og 2-200 bar. www.techmedia.dk info@pumpegruppen.dk PUMPE GRUPPEN A/S 19 dansk kemi, 88, nr. 10, 2007

KEMITEKNIK Simulering af dråbedeformation i komplekse flydefelter ter udført med to forskellige disperse systemer. Resultaterne i figur 8(a) er baseret på et system med σ = 5.6mN /m og λ=0.61 mens σ = 5.4mN / m og λ=1.52 i figur 8(b). I figur 8 er både de eksperimentelt målte deformationer (stiplede kurver) samt de computersimulerede deformationer (fuldt optrukne kurver) vist. Deformationsforløbene i begge figurer indikerer, at der er tale om et ganske komplekst flydefelt, hvilket medfører både store og små fluktuationer i D. Det ses også, at deformationen mere eller mindre periodisk falder pludseligt i et kort tidsrum for derefter at stige igen (ses tydeligst i figur 8(b)). Disse korte udsving skyldes, at dråben bevæger sig forbi kanten på en tand, hvor den skarpe udvidelse af kanalen medfører et pludseligt fald i flydefeltets styrke. På den anden side ses de største deformationer, når dråben befinder sig imellem to tænder, der møder hinanden, idet kanalen har en minimumsbredde i dette tilfælde. Dette er f.eks. tilfældet ved omkring 20s i figur 8(a) og 45s i (b). Sammenlignes de eksperimentelle deformationsdata og computersimuleringerne ses, at de simulerede data generelt ligger højere end de målte. Den kvalitative overensstemmelse er imidlertid ganske god, specielt for figur 8(b), hvor selv små udsving i deformation er gengivet i de simulerede data. Disse resultater indikerer derfor, at hvis dråbens lokale flydefelt approksimeres som beskrevet ovenfor (og i [9]), så er det muligt kvalitativt at forudsige deformationsforløbet i rotor-stator-opstillingen vha. vores numeriske model. Som nævnt i indledningen beskrev vi i en tidligere udgave af Dansk Kemi [1] en eksperimentel opstilling til analyse af dråbedeformationer i komplekse flydefelter. Den eksperimentelle opstilling var baseret på et såkaldt rotor-stator-apparat, hvor to koncentriske cylindre med tænder på væggene blev anvendt til at danne et komplekst flydefelt. Selve rotor-stator-delen af opstillingen kan ses i figur 7, hvor den kontinuerte væskefase findes i kanalen mellem cylindrene. I løbet af et forsøg roterer den indre cylinder mod uret og den ydre cylinder med uret. Før et forsøg sættes i gang placeres en dråbe af en anden ikke blandbar væske i den kontinuerte fase. Vha. et system bestående af to kameraer er det muligt at følge dråbens position og deformation i løbet af et eksperiment. Ved efterfølgende databehandling kvantificeres resultaterne i form af tidsafhængige (x,y)-koordinater (partikelbanen) samt en tidsafhængig deformationsparameter D. Figur 7. Billede af rotor-stator delen i den eksperimentelle opstilling. Vha. numeriske beregninger af flydefeltet i rotor-stator-apparatet samt eksperimentelle data for dråbens position er det muligt, at beregne et tilnærmet lokalt flydefelt for dråben bestående af en forskydningskomponent og en forlængelseskomponent [9]. I disse beregninger tages der ikke hensyn til dråbens tilstedeværelse i flydefeltet. Ydermere antages det, at der ikke er nogen hastighedskomponent i den aksiale retning (z-retningen). Dråbens lokale flydefelt kan ifølge denne metode beskrives ved: hvor G = ε + γ og α = ε / G. Her er ε og γ de beregnede tidsafhængige forlængelseshastigheder og forskydningshastigheder. De beregnede værdier af ε og γ anvendes efterfølgende til at udføre simuleringer af dråbens deformationshistorie i det meget mere simple kasseformede domæne vist i figur 2. Ved disse simuleringer indlæses først en tabel med ε og γ som funktion af tiden. De indlæste ε - og γ -værdier anvendes herefter til at påtrykke flydefeltet beskrevet ved ligning 1 på grænserne af beregningsdomænet. Dette betyder, at grænsebetingelserne varierer med tiden på en sådan måde, at det flydefelt som dråben påvirkes af i vores beregningsdomæne efterligner det rigtige flydefelt, der påvirker dråben i rotor-stator-apparatet. I figur 8(a) og (b) ses deformationshistorien for eksperimendansk kemi, 88, nr. 10, 2007 Figur 8. Figurerne viser deformation som funktion af tiden i rotor-stator-apparatet. De stiplede kurver er de eksperimentelle målinger, og de fuldt optrukne kurver er resultater fra computersimuleringer. Figur (a) viser resultater fra et eksperiment med σ =5.6mN/m og λ =0.6,1 mens figur (b) viser resultater fra et eksperiment med σ =5.4mN/m og λ =1.52. Proceduren som vi har anvendt i forbindelse med simulering af dråbedeformationen i rotor-stator-apparatet kan tænkes anvendt som et hjælpeværktøj ved design af procesudstyr. Man kan f.eks. anvende kommercielt CFD (Computational Fluid Dynamics)-software til at beregne strømningsforholdene langs partikelbaner i et givent procesudstyr. For hver partikelbane kan man 20

herefter indlæse det lokale flydefelt i vores numeriske model og simulere, hvordan en dråbe påvirkes af flydefeltet langs hver af partikelbanerne. F.eks. ville det være nærliggende at undersøge, hvilke områder i udstyret resulterer i dråbeopsplitning, og hvilken type opsplitning der er tale om. E-mail-adresser Peter Szabo: ps@kt.dtu.dk Runi D. Egholm: rde@kt.dtu.dk Referencer 1. R. D. Egholm, P. Fischer & P. Szabo, Design af emulsioner analyse af dråbedeformation i komplekse fl ydefelter, Dansk Kemi, vol. 87 (2006), 26-28. 2. G. I. Taylor, The Viscosity of a Fluid Containing Small Drops of Another Fluid, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, vol. 138 (1932), 41-48. 3. G. I. Taylor, The Formation of Emulsions in Defi nable Fields of Flow, Proceedings of the Royal Society, A, vol. 146 (1934), pages 501-523. 4. D. Barthès-Biesel & A. Acrivos, Deformation and Burst of a Liquid Droplet Freely Suspended in a Linear Shear Field, Journal of Fluid Mechanics, vol. 61 (1973), 1-21. 5. J. M. Rallison & A. Acrivos, A Numerical Study of the Deformation and Burst of a Viscous Drop in an Extensional Flow, Journal of Fluid Mechanics, vol. 89 (1978), 191-200. 6. M. Dressler & B. J. Edwards, The Infl uence of Matrix Viscoelasticity on the Rheology of Polymer Blends, Rheological Acta, vol. 43 (2004), 257-282. 7. H. P. Grace, Dispersion Phenomena in High Viscosity Immiscible Fluid Systems and Application of Static Mixers as Dispersion Devices in Such Systems, Chemical Engineering Communications, vol. 14 (1982), 225-277. 8. M. Loewenberg & E. J. Hinch, Numerical Simulation of a Concentrated Emulsion in Shear Flow, Journal of Fluid Mechanics, vol. 321 (1996), 395-419. 9. K. Feigl, S. F. M. Kaufmann, P. Fischer & E. J. Windhab, A Numerical Procedure for Calculating Droplet Deformation in Dispersing Flows and Experimental Verifi cation, Chemical Engineering Science, vol. 58 (2003), 2351-2363. 10. J. Li, Y. Renardy & M. Renardy, Numerical Simulation of Breakup of a Viscous Drop in Simple Shear Flow Trough a Volume-of-Fluid Method, Physics of Fluids, vol. 12 (2000), 269-282. 11. D. Gueyffier, J. Lie, A. Nadim, R. Scardovelli & S. Zaleski, Volumeof-Fluid Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for Three-Dimensional Flows, Journal of Computational Physics, vol. 152 (1999), 423-456. 12. B. Lafaurie, C. Nardone, R. Scardovelli, S. Zaleski & G. Zanetti, Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SURFER, Journal of Computational Physics, vol. 113 (1994), 134-147. Dette projekt er støttet af Forskningsrådet for Teknologi og Produktion (FTP) bevilling nr. 26-03-0282. Projektets hjemmeside er: http://www.dtu.dk/centre/dpc/english/research/emulsions_ Design.aspx (Google søgeterm: Design of emulsions) www.danskkemi.dk www.shc.dk CAND. SCIENT ER SPARE PENGE? JA! Se hvordan www.candscient.nu IDA er med mere end 62.000 medlemmer landets største interesseorganisation for tekniske og naturvidenskabelige kandidater. Flere og flere cand.scient.er har allerede opdaget, at de er bedst stillet i IDA. Udover økonomiske fordele som landets formentlig billigste og bedst dækkende forsikringer, får du som medlem adgang til mere end 700 arrangementer årligt, deltagelse i fagtekniske selskaber og meget mere. Brug 5 minutter på www.candscient.nu og læs om alle fordelene. Velkommen som cand.scient. i IDA. 21 dansk kemi, 88, nr. 10, 2007