Hvad er matematik? Case: Logaritmer et forløb om matematikfagets identitet og metoder Skole Deltagende lærer(e) og klasse(r) Kontaktoplysninger Emne for forløbet Indgående fag Niveau og studieretning Læringsmål Omfang - angiv antal lektioner (timer) Konkret lektionsplan med angivelse af anvendt materiale ses i bilag 1 Tilgang (historisk, ssi, ibse og/eller kombinationer) Konkretiseret i lektionsplanen, hvornår disse er i spil NOS-elementer i fokus Konkretiseret i lektionsplanen, hvornår hvilke elementer er i spil. Hvordan blev elevernes udbytte evalueret? Refleksion over forløbet -hvilket udbytte fik eleverne - påvirkede det elevernes motivation for undervisningen Egen refleksion - hvilket udbytte fik I selv Himmelev Gymnasium Lærer: Erik von Essen Klasse: 1.z Mail: erik.von.essen@skolekom.dk Hvad er matematik? Case: Logaritmer Matematik A-niveau, studieretning: MA Fy Ke At bevidstgøre eleverne om matematikfagets natur; om hvordan en matematisk teori udvikles, hvordan den senere struktureres og fremstilles, og hvordan den anvendes. Det skal følges op i andre forløb i 2. og 3.g. At samle op på og uddybe elevernes viden om logaritmer i en nydannet studieretningsklasse. 6-7 lektioner à 50 minutter Historisk Eksplicit om fagets identitet Kontekstbaseret (historisk case) Matematisk viden er menneskeskabt Forholdet mellem det induktive (teoriens udvikling) og det deduktive (den senere strukturering af teorien) Primært ved en matematikrapport, der indgik som en af holdets skriftlige opgaver. Desuden blev undervisningsforløbet evalueret ved en samtale i klassen. Elevernes udbytte er først og fremmest metafagligt. De prøver at se matematikfaget udefra og at forholde sig til dets natur og dets udvikling, hvilket er værdifuldt. Desuden kom der et fint samspil mellem det at beherske et emnes (her: logaritmers) begreber og metoder og det at få et overblik over og en overordnet forståelse af emnet. Elevernes motivation for at arbejde med matematik var i forvejen særdeles høj (hvilket hænger sammen med studieretningen). Det var den heldigvis stadig efter forløbet. Som lærer er det herligt med et forløb, der på den måde har fokus på hjertet af faget. Her er fokus væk fra de mange udregninger (hvad
som underviser - hvad skal man som underviser være opmærksom på - gode råd til næste bruger af forløbet enten det er med håndkraft eller med CAS-programmer), der indimellem kan skygge for det centrale. Jeg vil gerne afvikle et sådant forløb igen. Men elevernes motivation og udbytte er formentlig meget afhængigt af niveau og studieretning. I denne klasse er motivation og fagligt niveau højt; i andre klasser skal der nok mere hjælp til undervejs og nok også et lidt mere beskedent ambitionsniveau.
Bilag 1: Forløbet Oversigt Tidspunkt: Januar 2013. Undervisningsforløbet er matematiks indledning til studieretningsforløbet i en nydannet klasse. Omfang: 6-7 moduler à 50 minutter. Fokus på: Hvad er matematik? Hvordan udvikles matematik / hvordan arbejder matematikere? Hvordan ser færdig matematikteori ud og hvorfor? Hvad er et matematisk bevis? Hvordan anvendes matematik? Arbejdsform: gennemgang af hovedpunkter, herunder demonstration af regnestok læsning af diverse materialer (noget intensivt, noget ekstensivt) afsluttes med gruppearbejde om en matematikrapport Detaljeret forløbsplan Mandag d. 14.1., dobbelttime (dvs. 100 minutter): Det er første dag i studieretningsforløbet. Klassen 1.z består af 20 elever der også gik i 1.z i grundforløbet, og 4 elever der er kommet fra andre grundforløbsklasser. Først navnerunde, status på det gennemarbejdede kernestof i grundforløbet, elevønsker til den fremtidige matematikundervisning. Logaritmer er sidste emne i grundforløbet og indgik i et AT-forløb om datering (primært kulstof-14 metoden). Det er ikke behandlet lige grundigt i alle klasser (bl.a. er nogle klasser gået i dybden med beviser inden for emnet, andre har slet ikke berørt dem). Derfor først lidt brainstorm om logaritmer og nogle få regneopgaver. Forløbet præsenteres, og eleverne læser i timen de første tre sider, det er det materiale der skal læses intensivt. Kort fælles opsamling med fokus på: hvad er velkendt, hvad er nyt; hvad er let at forstå, hvad kræver en grundigere bearbejdning. Elevønske om at se på beviser for regneregler og formlen for fordoblingskonstant/halveringskonstant. Lektie: Læs de tre sider grundigt til næste gang. Tirsdag d. 15.1., enkelt time (50 minutter): Arbejde med beviser (iflg. elevønsket fra foregående time). Præsentation af opgaveformuleringen til rapporten og gruppeinddelingen. Lektie: Læs (ekstensivt) den første halvdel af de sider, der kun skal læses ekstensivt. Fredag d. 18.1., enkelt time: Demonstration af regnestok. Indledende gruppearbejde ud fra opgaveformuleringen til rapporten. Lektie: Læs (ekstensivt) resten af de sider, der kun skal læses ekstensivt.
Tirsdag d. 22.1., enkelt time: Fortsat gruppearbejde om rapporten. Grupperne kontaktes og vejledes efter behov undervejs. I slutningen af timen: status på arbejdet. Ingen grupper ønsker nogen fælles opsamling eller diskussion. Fredag d. 25.1., enkelt time: Gruppearbejdet om rapporten afsluttes. Herefter fortsætter matematikundervisningen med et nyt emne. Med til forløbet hører dog: Mandag d. 4.2.: Grupperapporterne afleveres. Mundtlig evaluering af forløbet (samtale i klassen) i en del af den ene time. Eleverne udtrykker tilfredshed med forløbet og ser det som en naturlig og integreret del af matematikundervisningen. Tirsdag d. 12.2.: Eleverne får hver et ark med rettelser og kommentarer til deres gruppes rapport. Desuden en kort, mundtlig, fælles tilbagemelding (Godt arbejde, fin kvalitet, men skriv gerne lidt mere tekst!).
Bilag 2: Undervisningsmateriale Baggrundsmateriale: Clausen, Schomacker, Tolnø: Gyldendals gymnasiematematik, Grundbog B1, 2. udg., Gyldendal, 2010: afsnit om logaritmer og eksponentielle funktioner (side 79-82, 84-94), som er læst i grundforløbet. Erfaringer fra AT-forløb om datering (specielt om kulstof-14 metoden; deltagende fag: historie, fysik, matematik; januar 2013). Materiale til forløbet: Erik von Essen og Bjørn Svenningsen: Tal og vækst, Gyldendal 1994: side 60-62 (læst intensivt). I matematikrapporten indgår opgave 22 på side 64. Erik Vestergaard: En revolution i regnekunsten, Abacus 1996: side 10-20, 22-24 (læst ekstensivt). Opgaveformulering til matematikrapport (se næste side). Det udleverede materiale indledes med følgende: Hvad er matematik? Case: Logaritmer Som indledning til studieretningsforløbet i matematik skal vi arbejde med de overordnede spørgsmål: Hvordan udvikles ny matematik? Hvad kan matematik anvendes til og hvordan? Hvad er karakteristisk for matematik? Konkret ser vi på logaritmernes historie og anvendelser og på logaritme-teori.
Matematikrapport om logaritmer: historie, teori og anvendelser 1. Hvad var baggrunden for udviklingen af logaritmer? 2. Beskriv hovedtræk i udviklingen af logaritmer omkring år 1600. 3. Forklar i detaljer nedenstående udregning (som der også står i opgaven). Metoden blev benyttet til slutningen af 1970 erne, hvor lommeregneren kom frem. Koncentreret matematisk teori består faktisk kun af definitioner, sætninger og beviser (men i praksis også af eksempler og opgaver). De to næste punkter handler om logaritme-teori. 4. Hvordan er titalslogaritmen defineret? 5. Forklar i detaljer beviset for en af logaritmeregnereglerne. 6. Hvad kan logaritmer bruges til i dag? Gå gerne i detaljer med en af anvendelsesmulighederne. Grupper: 1. Anders, Haemen, Jakob, Thomas 2. Arian, Cecilie, Dennis, Michael 3. Asger, Jon, Lasse S, Sara 4. Christoffer, Loke, Marcus, Sune 5. Kimmi, Mathias, Nicolai, Pernille 6. Lasse N, Oscar, Toke, Valdemar
Bilag 3: Udkast til eksamensspørgsmål Logaritmer og eksponentiel udvikling Gør rede for titalslogaritmen, og bevis en af regnereglerne for logaritmer. Gør rede for fordoblings- og halveringskonstant for eksponentiel vækst. Inddrag din rapport om logaritmernes historie, teori og anvendelser.