Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver tiden målt i antal år efter 014. Da det er en fast procentvis stigning, er modellen en eksponentiel udvikling, og da vækstraten r er 5%, er fremskrivningsfaktoren a 1 r 1 0,5 1,5. Da der i 014 var 50 tusinde brugere, er begyndelsesværdien 50. Hermed er modellen: N t 50 1,5 t Opgave 3: I en retvinklet trekant fungerer kateterne som grundlinje og tilhørende højde, så arealet T af trekanten er givet ved: 1 T AC BC Dermed er: 1 4 4 8 BC 4 4 BC BC 6 4 Da trekanten er retvinklet, kan Pythagoras Læresætning anvendes til at finde længden af hypotenusen (hvis man ikke genkender den retvinklede (6,8,10)-kant): AB AC BC AB 8 6 64 36 100 10 f x 4x 8x 6 Opgave 4: 3 Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse i forskriften: f 4 8 6 4 8 16 6 3 10 3 En stamfunktion bestemmes ved ledvis integration og anvendelse af reglen for integration af potensfunktioner. Da der står en stamfunktion, skal man ikke have integrationskonstanten med, men kan erstatte den af et hvilket som helst konkret tal (her vælges 0): 1 4 1 4 F x 4 x 8 x 6x x 4x 6x 4
Opgave 5: Alle tre grafer er rette linjer, så der er som også angivet i teksten tale om lineære funktioner, og dermed skal funktionsudtrykkene være på formen a x b, hvor a er grafens hældning, og b er skæringen med andenaksen. Da man ikke kender skalaerne, er der uendelig mange gyldige funktionsforskrifter, men følgende ting skal være opfyldt: 1) b-værdien skal være den samme i g og h, da deres grafer skærer andenaksen samme sted, og værdien skal være positiv, da skæringen ligger over førsteaksen. ) b-værdien for f skal være negativ (og numerisk tæt på ovenstående), da andenaksen skæres på den negative del. 3) f og g skal have positive a-værdier (hældninger), og f s skal være større end g s, og h skal have negativ a-værdi. Numerisk skal h s hældning ligge mellem f og g s. Mulige forskrifter er: f x 5x g x h x x x Opgave 6: f x a x b x c Da parablen skærer andenaksen i 1, har man c 1. Hvis man ved, at for andengradspolynomier svarer b-værdien til hældningen for tangenten i det punkt, hvor grafen skærer andenaksen, kan man bruge dette til med det samme at fastsætte b til 8. Hvis ikke må det beregnes: Den afledede funktion giver tangenternes hældninger de pågældende steder, så først bestemmes: f ' x ax b Da f ' 0 a 0 b b, er hældningen for tangenten i (0,1) b, og da denne tangent har ligningen y 8x 1, har man altså, at b 8. Nu kan a-værdien bestemmes ved at indsætte toppunktets koordinater i forskriften (man kunne også nøjes med at bruge førstekoordinaten fra toppunktsformlen, hvis man kan huske denne): 9 a 8 1 8 4a a
Opgave 7: 18. maj 017: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 8:
Opgave 9: Opgave 10:
Opgave 11: Opgave 1:
Opgave 13:
3. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 1 3x 14 3x 14 3x 1 x 4 3 Opgave : Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem alle par af korresponderende sider ens, så man har: DF 6 9 EF DE dvs. DE AC BC AB 4 BC 8 Altså har man: 6 DE 6 DE 8 1 4 8 4 6 9 36 BC 6 9 4 BC 6 4 BC 6 Opgave 3: Det ses på forskrifterne, at alle tre funktioner er eksponentielle udviklinger. Grafen B hører til funktionen f, da f som den eneste af funktionerne har en fremskrivningsfaktor mindre end 1, hvilket stemmer med, at grafen B er graf for en aftagende funktion. Grafen A hører til funktionen g, da begyndelsesværdien for g er mindre end h, hvilket stemmer med, at grafen A skærer andenaksen under C s skæring. Dermed hører grafen C til funktionen h. Opgave 4: f x a x b x c Da funktionsudtrykket er et polynomium, er grafen en parabel. Da c-værdien er positiv, skal grafen skære andenaksen på den positive del. Da a-værdien er positiv, skal benene vende opad. Da b-værdien er positiv, skal hældningen for tangenten i grafens skæringspunkt med andenaksen være positiv, eller tilsvarende: Toppunktet skal være placeret til venstre for andenaksen, da a og b har ens fortegn. Et eksempel:
Opgave 5: f x 9x x 5 P,13 Først bestemmes ved ledvis integration den form samtlige stamfunktioner er på: 1 3 1 3 Fk x 9 x x 5x k 3x x 5x k 3 Ved indsættelse af punktets koordinater bestemmes k-værdien: 3 13 3 5 k 13 3 8 4 10 k k 3 Dvs. den søgte stamfunktion er: 3 f x ln x 3x ; x 0 Opgave 6: F x 3x x 5x 3 Den afledede funktion bestemmes ved ledvis differentiation: 1 1 f ' x 3 0 3 x x Hvis y 4x 1 skal være ligningen for en tangent til grafen for f, skal der for det første være et sted, hvor den afledede funktion antager værdien 4, da det er tangentens hældning, så dette undersøges først: 1 1 f ' x 4 4 3 1 x 1 x x Dvs., at det er kun i x 1, at der er mulighed for en tangent med hældningen 4. Det afgørende er nu, om linjen givet ved y 4x 1rører grafen for f dette sted. Det undersøges ved at bestemme funktionsværdien og linjen y-værdi det pågældende sted: f 1 ln 1 3 1 0 3 5 y 4 1 1 5 Da værdierne er ens, er svaret: Ja, den angivne ligning er ligningen for en tangent til grafen for f.
Opgave 7: 3. maj 017: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 8:
Opgave 9: Opgave 10:
Opgave 11:
Opgave 1:
Opgave 13:
Opgave 1: Da det er en lineær funktion angivet på formen 15. august 017: Delprøven UDEN hjælpemidler f x a x b, bestemmes hældningen a ved y y1 a. De to kendte punkter er P 1, og Q 3,8. x x1 8 6 a 3 3 1 b-værdien bestemmes ved at indsætte hældningen og et af de to punkter (her vælges P) i forskriften: 3 1 b 3 b b 1 Opgave : x 10x 1 0 Diskriminantmetoden: Først beregnes diskriminanten: d b ac 4 10 4 1 1 100 84 16 0 Da diskriminanten er positiv, er der to løsninger: b d 10 16 10 4 7 x a 1 3 Dvs. x 3 x 7 Faktorisering og nulreglen: x 10x 1 0 x 7 x 3 0 x 7 x 3 Opgave 3: Da skalafaktoren er, er AC1 AC. Dvs. AC1 5 10 Da trekant ABC er retvinklet, giver Pythagoras: AC BC AB BC AB AC BC 6 5 36 5 11 h h 10 M M 10 h M 10 h M 0 Opgave 4:
Opgave 5: Da man skal finde antallet af mænd mellem 40 og 50 år (incl. begge aldre), aflæses procentdelene ved at gå lodret op til grafen fra 40 og 50 på førsteaksen. Dvs. det er 85% 60% 5%, der ligger i intervallet. Da der i alt er 80 mænd på arbejdspladsen, svarer 5% til: Antal 0, 5 80 0 3 Opgave 6: f x x 8x 3x P, f For at kunne bestemme en ligning for tangenten skal man kende tangentens hældning samt det punkt, hvor tangenten rører grafen. Røringspunktets andenkoordinat bestemmes ved indsættelse i funktionsforskriften: f 8 3 8 3 6 16 3 Tangentens hældning bestemmes som differentialkoefficienten i : f ' x 3x 16x 3 f Tangentens ligning er så: y y a x x ' 3 16 3 1 3 3 17 0 0 y 16 17 x y 17x 18
Opgave 7: 15. august 017: Delprøven MED hjælpemidler Opgaverne løses med Maple. Opgave 8: Opgave 9:
Opgave 10:
Opgave 11: Opgave 1: a) Populationen er alle de producerede balloner, og stikprøven er de 100 balloner, der er udvalgt tilfældigt blandt de producerede balloner. Nulhypotese: Der produceres lige mange balloner af hver farve. Denne hypotese skal holdes op imod den alternative hypotese, at der ikke produceres lige mange balloner af hver farve. b) På baggrund af nulhypotesen ville man forvente, at de 100 balloner fordelte sig med 0 balloner i hver af de 5 farver. Hermed kan udføres et GOF-test:
Opgave 13:
Opgave 1: 3x 5 x 1 3x x 1 5 x 6 7. december 017: Delprøven UDEN hjælpemidler f x e x x Opgave : Funktionen differentieres ledvist: ' e x x f x ' x ' e x f x x 4x Opgave 3: Man kan vise, at parablen skærer førsteaksen i 0 og 4 ved at indsætte disse x-værdier i funktionsudtrykket og tjekke, at det giver 0, dvs. f x 0. f 0 0 4 0 0 f 4 4 4 4 16 16 0 Da begge værdier er 0, er det hermed vist, at skæringspunkterne er (0,0) og (4,0). Når man skal tegne en skitse, skal det desuden udnyttes, at benene skal vende opad (glad parabel), da a-værdien er 1 og dermed positiv. Man skal også benytte, at toppunktets førstekoordinat er placeret midt mellem nulpunkterne, dvs. den er. Da f 4 4 8 4, er toppunktets koordinatsæt (,-4). Hermed kan man tegne en skitse. Opgave 4: En vandret linje tegnes ved taggrænsen, så man får dannet den retvinklede trekant ABC med den rette vinkel C. Da trekanten er retvinklet anvendes Pythagoras til at finde længden af siden BC: AC BC AB BC AB AC BC 5 4 5 16 9 3 Da afstanden fra bunden op til A er,5m, er højden af gavlen altså: h,5m 3m 5,5m
Opgave 5: f x 3x Først integreres for at bestemme den form samtlige stamfunktioner har: 3 Fk x f x dx 3x dx x x k Man kan bestemme konstanten k ved at udnytte, at grafen skal gå gennem,1 3 3 Dvs. den søgte stamfunktion er: 3 F x x x 1 1 k 1 4 4 k 1 6 4 k k 1 P : Opgave 6: Efter bedste evne tegnes en tangent (den blå linje) i punktet med førstekoordinaten 5: Tangentens hældning bestemmes ved først at måle, at når tiden øges med 4 minutter, stiger 4 C temperaturen med 4 grader, dvs. hældningen er a 6 Cpr. minut 4 min Da tangentens hældning svarer til differentialkvotienten i 5, har man: C f ' 5 6 min Dvs. efter 5 minutter stiger temperaturen i vandbadet med 6 C pr. minut.