DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

Transkript

1 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

2 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne. Opgave 1 løsning: I den her opgave skal vi bestemme de ortogonale vektorer. Dette gøres på følgende måde: Vi indsætter tallet t ind i vektorerne. Så vi kan nok ikke komme udenom, at det passer. a = ( t 2 5 ), b = ( 3 3 ) (t 2) ( 3) = 0 3t 6 15 = 0 3t = 21 t = 7 (7 2) 3 = 15 5 ( 3) = 15 = ( 15) = 0 Opgave 2 løsning: I den her opgave skal vi reducere. Det er en smal sag. Nu skal vi reducere. Som er løsningen. m = 1, n = = = 5 8 5m 2m 2 + 3mn = 5m m(2m + 3n) = 5 2m + 3n

3 Opgave 3 løsning: I den her opgave skal vi lave monotoniforhold. Vi differentiere funktionen og sætter den = 0. Sættes = 0 Kan løses ved hjælp af nulreglen. Vi løser førstegradsligningen. f(x) = x 3 3x f (x) = 3x 2 6x 3x 2 6x = 0 x(3x 6) = 0 x = 0 3x 6 = 0 3x 3 = 6 3 x = 2 Vi kunne også løse den ved diskriminanten. Nu finder vi ud af hvornår funktionen er voksende samt aftagende. Jeg vælger følgende tal: -1,1,3 som jeg indsætter i f (x). Så nu kan vi tegne monotonilinjen. f ( 1) = 3( 1) 2 6( 1) = 9 f (1) = = 3 f (3) = = 9 Så hermed er konklusionen for f i følgende: Funktionen f er voksende i intervallet ] ; 0] Funktionen f er aftagende i intervallet [0; 2] Funktionen f er voksende i intervallet [2; [

4 Hvilket er det ønskede. Integralregning: Her definerer vi t, Opgave 4 løsning: 1 2x x dx 0 t = x Vi isolerer dx i følgende og får; Vi indsætter det i integralet igen. dx = 1 2x dt 1 2x t 1 1 2x dt 1 0 t dt 0 Vi finder stamfunktionen til t samt nye grænseværdier ved indsættelse af 0 og 1 i t som vi definerede. Men først stamfunktion: Nu finder vi de nye grænseværdier. Så vi finder arealet. Som er arealet og det ønskede. ln (t) = = 2 [ln(t)] 1 2 = ln(2) ln(1) = ln(2) 0 = ln (2)

5 Geometri: Opgave 5 løsning: Vi regner forstørrelsesfaktoren: k = CL AP = = 3 Nu regner vi det ukendte stykke, nemlig AB. Vi løser derfor en ligning. Vi løser en ligning: AC x 3 = 200 x 3 3x = 200 x 4x = 200 x = x = 50 Så vi kender altså afstanden AB ved at trække 50 fra AC. Dvs = 150 Vi kan eftertjekke ved at gange AB med k. Derfra vil vi få 150 som altså er BC. Next up ~~> maj 2009

6 DELPRØVE 1, maj 2009 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne. Opgave 1 løsning: I den her opgave skal vi bestemme de ortogonale vektorer. Dette gøres på følgende måde: a = ( 3 4 ), b = ( 2 t ) Vi indsætter tallet t ind i vektorerne t = t = 0 4t = 6 4t = 6 t = 6 4 = 3 2 = 1.5 Så vi kan nok ikke komme udenom, at det passer. 3 2 = 6 4 ( 1.5) = ( 6) = 0 Opgave 2 løsning: I den her opgave skal vi reducere. Det er en smal sag. Jeg splitter den op. Først den røde: Nu den blå: (p 2q) 2 + 4pq (p q)(p + q) (p 2q) 2 + 4pq (p q)(p + q) p 2 4pq + 4q 2 p 2 pq + pq + q 2

7 Vi samler det op: Den røde farve viser, at de går ud med hinanden. Så svaret er 5q 2. p 2 4pq + 4q 2 + 4pq p 2 + q 2 = 5q 2 Opgave 3 løsning: I den her opgave skal vi finde en regneforskrift. Punkterne er givet ved: f(4) = 3, f(6) = 27 Vi beregner a. f(x) = b a x x2 x1 a = y = 27 y 1 3 = 9 = 3 Vi beregner b. Så vores forskrift ser sådan ud: b = y 1 a x 1 = = 3 81 = 1 27 f(x) = x

8 Parablerne P og Q. Opgave 4 løsning: Følgende for parabel P: a > 0 c > 0 d < 0 P: Forklaring: a > 0 fordi parablens ben vender opad, dvs. positiv værdi. c > 0 fordi parablen skærer y-aksen på den positive side. Altså positiv y-værdi. d < 0 fordi den ikke rammer x-aksen. Derved ingen rødder inden for alle reelle tal R. Dette kan regnes inden for de komplekse tal C. Følgende for parabel Q: a < 0 c < 0 d > 0 Q: Forklaring: a < 0 fordi parablens ben vender nedad, dvs. negativ værdi. c > 0 fordi parablen skærer y-aksen på den negative side. Altså negativ y-værdi. d < 0 fordi den rammer x-aksen to steder. Derved er løsningen indenfor de reelle tal R.

9 Opgave 5 løsning: I den her opgave skal vi finde stamfunktion og arealet af følgende integraler. 1 (6x 2 + 2x)dx og 5x 4 e x5 +1 dx 0 Vi starter med den første. Vi omdøber den til F(x). Vi går i gang med den anden integral. Vi definerer t = x Vi differentiere den. Dette indsættes i integralet. F(x) = 2x 3 + x 2 + k 1 5x 4 e x5 +1 dx 0 dx = 1 5x 4 dt Vi finder stamfunktion til t. 1 5x 4 e t 0 1 5x 4 dt 1 e t dt 0 e t ln(e) = et 1 Vi finder nye grænseværdier til integralet ved at indsætte 0 og 1 i t. Som er de nye værdier. Som er løsningen = = 2 [ et 2 1 ] = [ e2 1 ] [e1 1 ] = e2 e 1 = e 2 e 1 Next up ~~> maj 2010

10 DELPRØVE 1 maj 2012 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne. Opgave 1 løsning: I den her opgave skal vi reducere. Blot en smal sag. Jeg deler den op. Jeg samler dem op. Som er det ønskede. (a + 2b) 2 (a + 2b)(a + b) (a + 2b) 2 = a 2 + 4ab + 4b 2 (a + 2b)(a + b) = a 2 ab 2ab 2b 2 a 2 + 4ab + 4b 2 a 2 3ab 2b 2 = ab + 2b 2 Ligningssystemet: Opgave 2 løsning: x 2y = 2 (1) 3x y = 9 (2) Vi starter med (1) x = 2y 2 Dette indsættes i (2) 3(2y 2) y = 9

11 5y 6 = 9 5y = 15 5y 5 = 15 5 y = 3 Vi indsætter y i (1) Så derfor er løsningerne til ligningssystemet: x 2(3) = 2 x = 4 x = 4 y = 3 Her skal vi differentiere f(x): Her ønskes f (2) bestemt. Vi indsætter 2 i f (x). Som er det ønskede. Opgave 3 løsning: f (x) = 2 1 x + 15x2 f (2) = = 61

12 Opgave 4: Her skal vi finde koordinatsættet til kuglen. Vi omformer Så koordinatsættet er følgende: x 2 6x + y 2 + 2y + z 2 = 6 (x 3) (y 1) (z 0) 2 = 6 (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z 0) 2 = 16 C(3,1,0) og r = 4 2 Opgave 5: Her skal vi finde ud af, om løsningen til differentialligningen passer. Hvor f(x) = x e x + 3x Her differentierer vi f(x). Dette indsætter vi i y. Hvor f(x) indsættes i y. Så den passer vidst meget godt. y = y + y x 3x f (x) = (x e x ) + (1 e x ) + 3 x e x + e x + 3 x e x + e x + 3 = x e x + 3x + x ex + 3x x x e x + e x + 3 = x e x + x ex + 3x x x e x + e x + 3 = x e x + x(ex + 3) x x e x + e x + 3 = x e x + e x + 3 3x

13 Her skal vi finde k. Opgave 6: 2x 2 3x + k = 0 Vi sætter d = 0, pga. en løsning. ( 3) k = 0 9 8k = 0 8k = 9 k = 9 8 Så 2x 2 3x = 0 Er løsningen. Next up ~~> maj 2012

14 a b a 8 b 190 f(x) = 8x b a

15 h f g a a y b x = 3 x 3 9x x 15 = 0 x = = = 0 0 = 0 x = 3

16 f f(x) = 5e x + 4 P(0, f(0)) f (0) f y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) f(0) = 5e = = 9 f (x) = 5e x f(0) x f (0) = 5e 0 = 5 1 = 5 y = 5(x 0) + 9 y = 5x + 9 f

17 f f(x) = 5 + 2x, x > 0 x g(x) = 5 x h(x) = 5 ln(x) + x 2 k(x) = ln(5x) + x 2 f f f 5 + 2x dx x ln(x) = 1 x 5 x 2x 5 ln (x) 5 x 2x x2 F(x) = 5 ln(x) x1+1 + k 5 ln(x) + x 2 + k F(x) h(x) h(x) F(x) h(x) f(x)

18 f g g f f (x) = 5 g P ( 1, 0) Q(0,1) 2 f g g P ( 1 2, 0) g g g g ] ; 1 2 ] g [ 1 2 ; [ g g fortsættes næste side

19 R P Q a a = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 0.5) = = 2 g b b = y 1 ax 1 = 0 2 ( 0.5) = 1 g f (x) = g (x) f g (x) = 2x + 1 g 5 = 2x = 2x x = 2 R f g R(2,5)

20

21 DELPRØVE 2 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

22 Matematik B->A, STX Sh*maa03 Opgaverne Maj: 2008, 2009, 2010, 2012 & 2015 VUC Vestsjælland Syd Maj 2008 delprøve 2 Opgave 6 løsning: Delopgave a) Vi regner vinkel D ved følgende metode: Dermed er vinklen i trekanten CDH fundet, som er (1.1.1) Delopgave b) Vi regner BD. Først. Vi indsætter tallene i Pythagoras' sætning.

23 at 5 digits Endelig regner vi AC, men først bestemmes AH Vi indsætter tallene i Pythagoras' sætning. (1.2.1) (1.2.2) at 5 digits (1.2.3) (1.2.4) Afstanden AH må være Nu trækker vi tallet fra grundlinjen, som er 7. Dvs. Så nu kan vi finde AC (1.2.5) Som er den ønskede længde. Derved er afstandene fundet for trekanten og firkanten. (1.2.6) Opgave 7 løsning:

24 Delopgave a) Vi skal lave krydspodukt af vektorene og. Vi definerer først vores vektorer. (2.1.1) (2.1.2) Vi ønsker derfor at lave krydsprodukt af dem. Som er vores koordinater. Vi indsætter det i planens ligning. (2.1.3) Da indsætter vi blot vores oplysninger samt oplysningerne fra punktet P, som er følgende: (2.1.4) og og indeholder punktet P(1,3,-6) er: (2.1.5) Delopgave b) Vi skal her bestemme den spidse vinkel mellem og. Dvs. vi har fået angivet nogle nye oplysninger. (2.2.1) Hvor. Planen er givet ved: (2.2.2) Vi bestemmer vinklen med følgende formel, hvoraf retningsvektoren fra linjen og normalvektoren

25 . Vi indsætter vores oplysninger fra tidligere. (2.2.3) Så vinklen er, som er den vinkel mellem og normalvekoren fra. Vi skal derfor trække vinklen fra. Dvs. Bemærk, at vinklen er spids idet: En visualisering i GeoGebra ses her: (2.2.4)

26 Som er det ønskede.

27 Opgave 8 løsning: Delopgave a) Vi ønsker at finde stamfunktionen til. Vi får angivet som følgende: (3.1.1) Hvor. Vi bestemmer stamfunktionen vha. Maple. Maple vælger ikke at sætte konstanten efterfølgende, men det gør vi nedenfor:. (3.1.2) Vi skal løse en ligning for at finde konstanten, for følgende er givet:. Vi indsætter i. solve for k Så vi ved, at konstanten er 23. Derved er vores forskrift for følgende: (3.1.3) (3.1.4) Som er det ønskede. (3.1.5)

28 Opgave 9 løsning: Delopgave a) Vi har med en lineær funktion at gøre. Vi laver regression over oplysningerne, idet det vil give en meget præcis forskrift. Først definerer vi vores er og er. (4.1.1) (4.1.2) Bemærk, at jeg ikke skriver 1900 og 1975, for hvis dette sker, vil det give en ret anderledes funktion, som ikke vil passe i denne sammenhæng. Vi laver regression ved følgende kommando:

29 En utrolig god forklaringsgrad på 1. Funktionen passer meget godt. Forskriften er givet ved: (4.1.3) Her bør man bemærke, at tallene og også bliver bestemt, idet der er tale om en regression. Tallene og fortæller: angiver den ekstra levealders udvikling der sker pr. år, fra år 1900, og er den forventede levealder i 1900 for en nyfødt. Delopgave b) Vi får her en ny funktion, som gælder for den forventede levealder for folk på 65 år. Vi definerer den nye funktion: (4.2.1) Vi skal bestemme det år, hvor den forventede levealder er ens for de nyfødte som for de ældre. Derfor sætter vi og mod hinanden og løser en ligning. solve for x (4.2.2) (4.2.3)

30 Så i år 2012 (fordi vil de nyfødte samt de ældre have den samme forventede levealder. Hermed er det ønskede bevist. Opgave 10 løsning: Delopgave a) Vi har med en eksponentiel funktion at gøre, hvor vi skal bestemme den årlige procentvise bevilling for forskning og uddannelse. Vi bestemmer tallet.. Vi indsætter vores oplysninger. at 5 digits (5.1.1) (5.1.2) Her kender vi tallet Dette er nok for at kommentere den procentvise ændring. Vi omskriver til procent. dvs. fremskrivningsfaktoren. solve for r Dette ganges med 100. (5.1.3) (5.1.4) Så fra år 2005 til 2015 steg bevillingerne med Hvilket er det ønskede. pr. år. (5.1.5)

31 Opgave 11 løsning: Delopgave a) I den her opgave skal vi bestemme tangenten til grafen for i punktet. Vi definerer derfor. Den differentierer vi. Vi indsætter tallet på hhv. og 's plads. Dvs. s plads. (6.1.1) (6.1.2) 3 Vi indsætter disse tal samt 2 fra punktet i tangentligningen.. 4 (6.1.3) (6.1.4) Som er vores ønskede forskrift for tangentlinjen. (6.1.5) Delopgave b)

32 I den her delopgave skal vi bestemme koordinatsættet til idet og har et fælles punkt. (6.2.1) Vi sætter vores. (6.2.2) solve for x (6.2.3) Derved kender vi nu vores fælles for. Vi mangler. Vi indsætter det i een af funktionerne. Jeg vælger. Så koordinatsættet for punktet 11 4 er følgende: (6.2.4) (6.2.5) Hvilket er det ønskede. Vi kan visualisere det ved hjælp af CAS programmet GeoGebra.

33 Opgave 12 løsning: Delopgave a) For at tegne en sumkurve og bestemme kvartilsættet, så defineres først en matrix med de givne informationer:

34 Nu kan sumkurven tegnes vha. følgende kommando: Maple giver sammen med sumkurven også kvartilsættene, dvs. at Nedre kvartil: 81.6 Median: 89.7 Øvre kvartil: 99.6 Delopgave b) Jeg aflæser opgavens informationer og får følgende kvartilsæt: Disse informationer er nok til at tegne et andet boksplot, udover det første, som vi fandt ud fra vores oplysninger. Vi kan tegne et boksplot i Maple.

35 (7.2.1) Vi laver et boksplot over informationerne. Bemærk, at obs1 er det vi fandt i opgave a. nye informationer. (7.2.2) er de Forklaring: Boksplottene for obs1 viser os spredningen af fisk fanget på lavt vand, altså 5-40m, hvor obs2 viser spredningen af fisk fanget på dybere vand ved 40-80m. Det ses, at fiskene generelt er længere på lavere vand. Samtidig er der en meget stor spredning af fisk mellem ca. 50 og 80 cm. på dybt vand, hvor spredningen på mindre vand er meget lavere.

36 Opgave 13 løsning: Delopgave a) Vi definerer først vores funktioner: (8.1.1) (8.1.2) Herved har vi vores funktioner. Vi skal bestemme arealet af. Dette gøres på følgende måde: Som er arealet af. 3 2 (8.1.3) Delopgave b) Vi skal næsten det samme i denne opgave, vi skal dog blot finde så og er lige store. Vi gør følgende:

37 (8.2.1) solve for k (8.2.2) Arealet skal være større end 0 idet. Derfor skal være. Hvilket er det ønskede. Opgave 14 løsning: Delopgave a) I den her opgave regner vi med en differentialligning. Vi skriver den op. Her ved vi, at N er biltætheden tid fra år 1968 og efter. Vi regner derfor ligningen for. (9.1.1) (9.1.2)

38 at 5 digits (9.1.3) Herved har vi en forskrift for. Vi definerer den: (9.1.4) Hvilket er det ønskede. Delopgave b) Vi skal regne hvor meget biltætheden er i år Dette gøres ved at sige: Så vi indsætter i funktionen. 40 (9.2.1) Så i år 2008 vil biltætheden være pr indbygger. (9.2.2) Opgave 15 løsning: Delopgave a) Vi bestemmer en kyllings vægt efter 30 døgn ved blot at indsætte 30 i modellens. solve for M Så efter 30 dage, vil kyllingens vægt være 1.42kg. (10.1.1) (10.1.2)

39 Vi skal nu bestemme en forskrift for modellen. Vi gør det sådan: solve for M Så herved er funktionen givet: (10.1.3) (10.1.4) Hvilket er det ønskede. (10.1.5) Opgave 16 løsning: Delopgave a) Differentialligningen må være følgende: (11.1.1) Som er det ønskede. (11.1.2)

40 Opgave 17a løsning: Delopgave a) Vi aflæser opgavens formuleringer og ser følgende: (12.1.1) Vi skal flette disse sammen. Dette gøres ved at isoler i (12.1.1) (12.1.2) (12.1.3) isolate for h (12.1.4) Ved indsættelse af dette i (12.1.2) fås følgende: (12.1.5)

41 Vi differentierer funktionen. (12.1.6) Endelig kan vi bestemme (12.1.7) solve (12.1.8) Endelig kan vi bestemme monotoniforholde for hvor tallene. Vi vælger 4 og 5. (12.1.9) at 5 digits ( ) ( ) at 5 digits ( ) Vi ved nu hvornår funktionen er voksende og aftagende. Så har følgende: Funktionen f er aftagende i intervallet Funktionen f er voksende i intervallet. Hvilket er det ønskede.

42 Opgave 17b løsning: Delopgave a) Her har vi fået angivet en kugle med ligningen. Vi kalder kuglen for. Samt en linje med parameterfremstillingen: (13.1.1) (13.1.2) Vi skal bestemme, om er tangent til kuglen. Derfor indsætter vi hhv. kaldte for og løser en ligning for og fra i kuglen vi solve for t (13.1.3) (13.1.4) Da vil der være ét skærningspunkt. Vi undersøger det ved at indsætte i linjen.

43 (13.1.5) Som er koordinaterne til skæringspunket for tangenten til kuglen. En visualisering ses her: Hvilket er det ønskede. Maj 2009 delprøve 2

44 Opgave 6 løsning: Delopgave a) Først definerer jeg oplysningerne. (14.1.1) (14.1.2) Nu finder jeg længden. (14.1.3) Dette tages i den anden eksponent. Endelig kan vi finde ligningen for kuglen. Den kalder jeg for K. (14.1.4)

45 Som er kuglens ligning. (14.1.5) Delopgave b) (14.2.1) (14.2.2) (14.2.3) Vinklen regnes på følgende måde: (14.2.4) Som altså er en stump vinkel. Men der ønskes en spids vinkel, så det gøres på følgende måde: Dvs. Vinklen er så (14.2.5) (14.2.6) Delopgave c) Jeg laver en parameterfremstilling og kalder den for. (14.3.1)

46 Den sætter jeg ind i planens ligning og regner for variablen solve for t Herefter indsætter jeg i parameterfremstillingen og så vil jeg have koordinatsættet. 1 (14.3.2) (14.3.3) (14.3.4) (14.3.5) Som er mit koordinatsæt. Opgave 7 løsning: Delopgave a) Først definerer jeg oplysningerne. Jeg differentier den. (15.1.1) (15.1.2)

47 En tangentligning skal bestemmes. Der er blevet angivet et punkt. Tallet indsættes i funktionen og den afledte funktion. (15.1.3) (15.1.4) factor = (15.1.5) (15.1.6) Ved hjælp af web2.0calc kan jeg omskrive tangentligningen til en mere brugervenlig version. Som er tangentligningen. Delopgave b) Da funktionen allerede er differentieret, skal den blot løses som en ligning, idet gør jeg følgende: (15.1.7) Derfor solve for x (15.2.1) (15.2.2) Ved hjælp af web2.0calc fås (15.2.3) Nu kan jeg finde to tal, der er hhv. mindre og større end. Jeg vælger tallet -3 og 3. (15.2.4) Ved hjælp af web2.0calc fås følgende: (15.2.5) (15.2.6) Som er det ønskede. Nu kan man tegne en monotonilinje. (15.2.7)

48 Så er aftagende i intervallet hvor er voksende i intervallet Opgave 8 løsning: Delopgave a) Da jeg ved det er en potensfunktion, og jeg får så mange punkter, kan jeg vælge at lave en potensregression, så jeg får den præcise forskrift. (16.1.1) Nu laver jeg en regression. (16.1.2)

49 Som angiver den præcise regneforskrift. Forklaringsgraden er tæt på. Så den passer godt. Jeg angiver forskriften, og her vælger jeg at kalde den for idet allerede er defineret. Som er det ønskede. (16.1.3) Delopgave b) I den her delopgave skal der løses ligninger for hhv. og. Tørvægten bestemmes først for en torskelarve på 7.5 mm. Som er vægten i mg. Nu bestemmes længden af en torskelarve ved en vægt på 0.6mg. (16.2.1) solve for x (16.2.2) (16.2.3) Dog regnes denne opgave inden for de reelle tal, så de komplekse rødder skal ignoreres. Derfor er

50 torskelarven 7.85mm lang med en vægt på 0.6mg. Opgave 9 løsning: Delopgave a) Denne opgave kan laves i WordMat. Det gør jeg. Som man kan se, bliver trekanten udregnet ved hjælp af disse formler. Dette er det ønskede. Delopgave b) Denne opgave kan laves i WordMat. Det gør jeg. Men det kræver først, at man kender nogle flere oplysninger. Da h betegner højden, og at lille b for højden, må det betyde, at den skal ramme vinkel B. En visualisering kan ses sammen med udregningerne. Da vinkel A kendes, kan man trække den fra vinkelsummen på. Det vil give en spids vinkel.

51 66 (17.2.1) Så den nye vinkel er, som kan bruges i den nye udregning. Den nye trekant vil være retvinklet, hvilket vil give os de informationer, der skal bruges. Arealet af trekanten ABC bestemmes på følgende måde:. Tallene indsættes i formlen. Som altså er det ønskede.

52 Opgave 10 løsning: Delopgave a) Denne opgave kan nemt laves via Maple. Vi definerer vores oplysninger. Vi regner de kumulerede frekvenser først, men det kræver vi definerer vores oplysninger. Derfor indsætter vi oplysningerne i matrix. (18.1.1) Som er vores informationer. Vi ønsker at finde de kumuleret frekvenser, men først findes selve frekvenserne

53 (18.1.2) Her har vi frekvenserne over vores oplysninger. Tallene er ikke omregnet til procent. Opgaven ønsker, at vi finder de kumuleret frekvenser, så følgende metode anvendes: (18.1.3) Hermed har vi vores kumuleret frekvenser. Endvidere ønsker opgaven en sumkurve, dette udføres på følgende måde. Bemærk, at Maple ikke omregner til procent. Vi tegner en sumkurve.

54 Her kan man se, at man får angivet kvartilsættet udover selve sumkurven. Delopgave b) Sumkurven gav også kvartilsættet, derved kan vi definere vores sumkurve (18.2.1) Så dvs. at personer der ryger mindst 21 cigaretter pr. dag er ca. idet.

55 Opgave 11 løsning: Delopgave a) Denne opgave handler om omdrejningslegemer. Funktionen er angivet: (19.1.1) Hvor der er angivet nogle grænseværdier. Dette ses nedenfor. Da man ønsker at finde rumfanget efter er drejet følgende måde: rundt om første aksen, gøres det på

56 (19.1.2) at 5 digits (19.1.3) Som er det ønskede. Visualiseringen i 3D kan ses nedenfor. Som angiver indenfor grænserne og.

57 Opgave 12 løsning: Delopgave a) Denne opgave handler om differentialligninger. Når vil der være 50 individer. 50 (20.1.1) (20.1.2) Som er det antal individer når. solve for N (20.1.3) (20.1.4) Dvs. når væksthastigheden er på 31, skal antallet af individer være på 392 eller 607. Opgave 13 løsning: Delopgave a) Vi aflæser opgaven og opstiller udtrykket ud fra formlerne omkring cirkler og rektangler. Vi opstiller udtrykket.

58 Som gælder for blomsterbedet. (21.1.1) Delopgave b) Her får vi afvide, at omkredsen af blomsterbedet er 16 og at arealet ønskes. Vi opstiller en model. solve for h (21.2.1) (21.2.2) Arealformlen: (21.2.3) solve for r (21.2.4)

59 Opgave 14 løsning: Delopgave a) Geometri + optimering (22.1.1) (22.1.2) Delopgave b) (22.2.1) (22.2.2)

60 (22.2.3) Sådan ser funktionen ud når den er differentieret. Nu ønsker vi at finde (22.2.4) solve Som altså må være den billigste metode for at anlægge vej. (22.2.5) Opgave 15 løsning: Delopgave a) I den her opgave skal man finde ud af, om M og N har samme areal. Jeg definerer følgende funktioner. (23.1.1) (23.1.2)

61 solve for x (23.1.3) (23.1.4) (23.1.5) (23.1.6) Dvs. arealerne passer for alle positive tal. Opgave 16 løsning: Delopgave a) Vi definerer Vi løser ligningen (24.1.1)

62 (24.1.2) (24.1.3) solve for t Dette tal indsættes i diff. ligningen. (24.1.4) (24.1.5) Så når vandet er 100 grader, vil objektet være grader efter 320 sekunder. (24.1.6) Maj 2010 delprøve 2 Opgave 7 løsning: Delopgave a) Først definerer jeg oplysningerne.

63 (25.1.1) (25.1.2) 4 Vinklen skal bestemmes. Jeg kalder vinklen for (25.1.3) (25.1.4) Så vinklen mellem vektor og er. Delopgave b) Nu skal vi finde værdierne for når og. Det gøres på følgene måde: Hvor solve for t Som er det ønskede. (25.2.1) (25.2.2)

64 Opgave 8 løsning: Delopgave a & b) Vi ønsker at regne en trigonometriopgave. Vi skal finde vinkel og længden. Dette gøres ved følgende command: hvor man så indsætter sine oplysninger fra figuren. (26.1.1) Her kan vi se, at der er to løsninger, dvs. at der findes to trekanter. Mén vinkel A skal være spids. Her bliver vinkel A og længden b fundet. Derved er det ønskede opfyldt.

65 Opgave 9 løsning: Delopgave a) Kyrilliske alfabet Bemærk, at er fra det (27.1.1) (27.1.2) (27.1.3) (27.1.4) Nu kan planen bestemmes. (27.1.5) (27.1.6)

66 (27.1.7) (27.1.8) Planens ligning: (27.1.9) ( ) ( ) og og indeholder punktet (-4,-5,5) er: Delopgave b) Her defineres en parameterfremstilling fra til. Jeg kalder den for (27.2.1) Den sættes ind i planens ligning. solve for t (27.2.2) (27.2.3) Tallet sættes ind i parameterfremstillingen (27.2.4)

67 (27.2.5) Som er koordinatsættet til. Opgave 10 løsning: Delopgave a) For at tegne en sumkurve og bestemme kvartilsættet, så defineres først en matrix med de givne informationer:

68 (28.1.1) Nu kan sumkurven tegnes vha. følgende kommando: Maple giver sammen med sumkurven også kvartilsættene, dvs. at Nedre kvartil: 27.1 Median: 30.9 Øvre kvartil: 34.1 Vi skal finde ud af, hvor mange procent af kvinderne der føder et barn, når de er 37 år gamle. Vi definerer en funktion af sumkurven.

69 (28.1.2) I følge sumkurven vil der være ca. 13% kvinder, der vil føde et barn når de er 37 år gamle. Fordi. Som er det ønskede. Opgave 11 løsning: Delopgave a) Her skal man løse ligninger for at finde de ubekendte samt lave en funktion. Delopgave A (29.1.1) Her bestemmes V, når M er (29.1.2) solve for V Som er døgn. (29.1.3) Delopgave b) Her bestemmes V, som funktion af M.

70 (29.2.1) solve for V (29.2.2) Som er funktionen. Opgave 12 løsning: Delopgave a) Her har vi med en tangentligning at gøre. Dvs. vi skal finde en. Den differentieres. (30.1.1) Sådan ser den ud. Nu indsættes 1, idet (30.1.2) (30.1.3) (30.1.4)

71 Omskrives til Hvilket er tangentligningen. (30.1.5) (30.1.6) Delopgave b) Her er den afledte funktion allerede fundet. Den sættes lig med 0. solve for x (30.2.1) Derved kan man vælge nogle tal, der er hhv. større og mindre end Jeg vælger -2 og 2. (30.2.2) (30.2.3) Disse tal omskrives via web2.0calc. (30.2.4) (30.2.5) Nu tegnes monotonilinjen. (30.2.6) Som indikerer om hvornår funktionen enten er voksende eller aftagende. Dvs. at er voksende i intervallet hvor er aftagende i intervallet Hvilket er det ønskede.

72 Opgave 13 løsning: Delopgave a) Her skal man finde et areal M samt lave et omdrejningslegeme. Jeg definerer følgende: (31.1.1) (31.1.2) Jeg finder arealet M. Som er arealet af M. 9 (31.1.3) Delopgave b) Her skal vi finde rumfanget. Jeg kalder rumfanget for V. (31.2.1)

73 Omregnes via web2.0calc Hvilket kan visualiseres. (31.2.2) Som er det ønskede.

74 Opgave 14 løsning: Delopgave a) Den her del vælger jeg at lave som en regression for eksponentielle funktioner. (32.1.1) (32.1.2)

75 Jeg får følgende funktion: (32.1.3) Delopgave b) (32.2.1)

76 Grafen lavet i GeoGebra. Hvor Tallet 15.5 fortæller, at har den maksimale øvre grænse på 15,5 tons tørstofudbytte. Opgave 15 løsning:

77 Delopgave a) Vi løser ligningen (33.1.1) Som er funktionen. (33.1.2) Delopgave b) (33.2.1) (33.2.2) (33.2.3) solve (33.2.4) 2007 var altså begyndelsesåret, så i løbet af år 2111 vil befolkningstallet være på 200 mio. Fordi (33.2.5) Hvilket er det ønskede.

78 Opgave 16 løsning: Delopgave a) Ud fra oplysningerne, skal man bruge følgende formler: Cirkler (34.1.1) Rektangel (34.1.2) (34.1.3) Hvis man ser på figuren, kan man starte med cirklen. Den kan man slå sammen, dvs. toppen og bunden. Der vil være overflader, som regnes på følgende måde:

79 Fordi der er to flader. (34.1.4) Nu kigges der på resten af cylinderen. Længden må være den samme som rektanglen. Nu lægges de sammen. Jeg kalder cirklen for. (34.1.5) Nu kigges der på rektanglen. (34.1.6) (34.1.7) Den lægges sammen med. (34.1.8) Som er den ønskede funktion. (34.1.9) Delopgave b) Funktionen skal differentieres. Jeg omdøber til. (34.2.1) (34.2.2) Ligningen løses for ved at sætte. (34.2.3) solve for x (34.2.4) Disse tal renskrives. Men opgaven lød på, at Den positive tages.. Så en af løsningerne til bruges ikke.

80 (34.2.5) at 5 digits Der tages tal der er hhv. større og mindre end Jeg vælger 6 og 8. (34.2.6) (34.2.7) at 5 digits (34.2.8) (34.2.9) at 5 digits Endelig kan monotonilinjen tegnes. ( ) Så er voksende i intervallet hvor er aftagende i intervallet Dvs. postkassen vil have den størst mulige rumfang ved nedenfor.. En visualisering kan ses

81 Hvilket er det ønskede. Maj 2012 delprøve 2 Opgave 7 - Statistik Delopgave a) (35.1.1)

82 Her blev oplysningerne aflæst og sat ind som obs. Efterfølgende blev boksplot komandoen brugt og her fik vi en tegning samt kvartilsættet bestemt. Opgave 8 - Differentialregning

83 Delopgave a) (36.1.1) solve for x (36.1.2) (36.1.3) Her tages de reelle rødder. Delopgave b) Vi bestemmer tangentligningen. Vi har punktet 0 (36.2.1) (36.2.2) Det er tangentligningen. (36.2.3) I GeoGebra vises det grafisk.

84

85 Opgave 9 - Eksponentielle funktioner Delopgave a) Vi laver regression (37.1.1) Da det er en eksponentiel funktion (37.1.2)

86 Vi fik derfor bestemt tallene a og b. (37.1.3) Delopgave b) Vi bestemmer fordoblingstiden ved følgende: (37.2.1) at 5 digits (37.2.2)

87 Som er fordoblingstiden. Dvs. efter 0.66 år er antallet af facebook brugere fordoblet. Delopgave c) I år 2008 var antallet af facebook brugere på 95.2 mio. (37.3.1) Vi skal nu forklare, men i eksponentielle funktioner regner vi i procent. solve for r Tallet ganges med 100. (37.3.2) (37.3.3) Tallet fortæller, at antallet af facebookbrugere vokser med pr. år. (37.3.4) Opgave 10 - Trigonometri Delopgave a) Vi bestemmer vinkel B. (38.1.1) Her skal man forstille sig, at vinkel C er vinkel D, idet Maple ikke kan regne med andre bostaver end a,b og c. Så vinkel B blev bestemt til.

88 Delopgave b) Vinkel A blev bestemt før, dvs.. Vi kan beregne AC ved at tage fra vinkel D (38.2.1) Som er den vinkel D i trekanten DBC. Vi bestemmer vinkel C idet vinkel B er den samme som den anden trekant. Dvs. Dette er vinkel C. Vi kan nu finde AC (38.2.2) Så AC blev bestemt til ca. I GeoGebra kan dette visualiseres. (38.2.3)

89 Opgave 11 - Analytisk plangeometri Delopgave a) Vi definerer ligningen. Koordinatsættet er hvor. (39.1.1) (39.1.2) Som er afstanden fra cirklens centrum til linjen. (39.1.3) Delopgave b) Vi bestemmer den ortogonale linje på linjen l, som kaldes m. Vi omskriver derfor linjen til en parameterfremstilling med linjens koordinater som retningsvektor samt cirklens koordinater som en normalvektor. (39.2.1)

90 Ved indsættelse af parameterfremstillingen i cirklens ligning fås som vi kan bruge til at finde koordinaterne. solve for t (39.2.2) (39.2.3) Vi indsætter i parameterfremstillingen. (39.2.4) (39.2.5) Dvs. koordinaterne til skæringspunkterne er følgende: og Vi kan se det i GeoGebra:

91 Opgave 12 - Integralregning Delopgave a) Vi definerer funktionen. (40.1.1) Vi regner for og finder grænsepunkterne. (40.1.2) solve for x (40.1.3)

92 Den differentieres og så vil vi regne. (40.1.4) Dette er den afledte. Vi bestemmer arealet af. Grænseværdierne indsættes. (40.1.5) at 5 digits Dette er arealet. (40.1.6) Delopgave b) Vi skal argumenterer for en kasse i funktionen. Arealet af M var ca. Men det trækker vi fra selve kassen. Hvis man indsætter x, fås en lineær linje. Dem skal vi bruge to af. Derfor. Dette vises i GeoGebra. Vi indsætter det i integralet. (40.2.1)

93 Så det må altså være arealet af M. Opgave 13 - Analytisk rumgeometri Delopgave a) Delopgave A Her arbejder vi med rumgeometri. Vi definerer A, B og C.

94 (41.1.1) (41.1.2) (41.1.3) (41.1.4) (41.1.5) Vi laver krydsprodukt af tallene. Men først defineres (41.1.6)

95 (41.1.7) (41.1.8) Dette indsættes i planens ligning og vi vælger et punkt. Som er planens ligning, som indeholder, og. Vi viser det i GeoGebra. (41.1.9)

96 Delopgave b) Planen Vi bruger formlen: (41.2.1)

97 . (41.2.2) at 5 digits (41.2.3) Dette regnes i web2.0calc. (41.2.4)

98 Delopgave c) Vi definerer og blev defineret tidligere. (41.3.1)

99 (41.3.2) (41.3.3) (41.3.4) (41.3.5) Vi definerer og (41.3.6) (41.3.7)

100 De giver ikke nulvektoren, dvs. de ikke er parallelle. (41.3.8) Vi bestemmer arealet af tagfladen. AEGI, me først defineres to andre vektorer, så to trekanter kan laves, da vi så før, at vektorerne ikke er parallelle. (41.3.9) Tilsvarende for ( ) ( ) Vi bruger formlen:, Vi starter med at 5 digits Nu AEI ( ) ( ) ( )

101 at 5 digits ( ) ( ) Arealet af tagfladen AEIG er Som er i feet ( ) Opgave 14 - Differentialligning Delopgave a) Differentialligninger. Vi løser ligningen (42.1.1) (42.1.2) Dvs. når barnet er 100cm højt, vokser det ca cm pr. måned. Delopgave b)

102 at 5 digits (42.2.1) Hvor t er barnets alder (målt i måneder), og h er barnets højde (målt i cm). Vi skal bestemme et barns alder efter barnet er vokset 100 cm. Vi gør følgende: solve for t Så ved en højde på 100cm, vil barnet være ca. 31 måneder gammelt. (42.2.2) (42.2.3) Opgave 15 - Differential & Integralregning

103 Delopgave a) Vi definerer funktionen. (43.1.1) Vi differentierer funktionen. (43.1.2) Og sætter. (43.1.3) solve for x Som er den maksimale værdi for. Vi beregner den maksimale brede. (43.1.4) 38 (43.1.5) Dvs. bygningens maksimale brede er 50, og radius er 38. Hvis man regner i diameter, vil det være 76. Delopgave b) Vi regner omkredsen. at 5 digits (43.2.1) Som er rumfanget af bygningen. (43.2.2) Maj 2015 delprøve 2

104 Opgave 7 - Euklidisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen som er givet her: (44.1.1) Vi benytter dist formlen: Vi indsætter vores linje og punkt i formlen. (44.1.2) at 5 digits Så må være afstanden fra P til. Vi kan illustrere det i CAS programmet GeoGebra. (44.1.3)

105 Dvs. at vores udregninger er korrekte. Delopgave b) Vi undersøger skæringspunkterne for begge linjer og. Vi indsætter derfor parameterfremstillingen i linjen. (44.2.1) Vi indsætter i linjen solve for t (44.2.2) (44.2.3) Vi har at som sættes ind i parameterfremstillingen, hvor vi så vil få punktet, hvor og skærer hinanden. Så vi har koordinaterne. (44.2.4) Opgave 8 - Eksponentielle Funktioner Delopgave a) Vi udfører regression i denne opgave, hvor vi vil få bestemt tallene og. Vi definerer først og Fordi 2006 er vores begyndelses år. (45.1.1) Vi laver regression for en eksponentiel funktion. (45.1.2)

106 Dvs. vi får bestemt tallene og. Samt funktionen. Bemærk, at forklaringsgraden er tæt på 1, dvs. en rigtig god funktion. Hvor tallet, og (45.1.3) Hvilket er det ønskede. Delopgave b) Vi bruger vores model for at bestemme det år, hvor omsætningen er mio. USD. solve for x Vi finder året det vil passe i. (45.2.1) (45.2.2) (45.2.3)

107 Dvs. at i år 2015 vil omsætningen nå mio USD. Delopgave c) Vi benytter fremskrivninsfaktoren for at udregne denne delopgave, altså som indsættes i formlen.. Vi kender tallet solve for r Tallet omregnes til procent. (45.3.1) (45.3.2) Dvs. at den årlige vækstrate er ca. 46% (45.3.3) Vi bestemmer nu fordoblingstiden. (45.3.4) at 5 digits Dvs. fordoblingstiden er ca år eller nærmere 2 år. (45.3.5) Opgave 9 - Potensfunktioner Delopgave a) Vi kan bestemme tallene og pr. håndkraft, men vi benytter regression alligevel for den her potensmodel. Vi definerer som gjort tidligere, vores og værdier. (46.1.1) Vi laver regression for potensfunktionen. (46.1.2)

108 Dvs. tallene og samt modellen blev bestemt. (46.1.3) Hvor tallet, og. Delopgave b) Vi skal her bestemme og dette gøres her: Dvs. når, så er. (46.2.1) Vi ønsker nu at bestemme den procentvise ændring, når vokser med 70%. Følgende formel bruges:

109 Så vi indsætter 70. Så vores procentvise fald, er ca. 20.4% (46.2.2) Opgave 10 - Differentialregning & Monotoniforhold Delopgave a) Vi definerer vores polynomium Vi skal finde skæringspunktet for første kvadrant. Vi løser en ligning for. (47.1.1) solve (47.1.2) (47.1.3) Her ses en række løsninger, men vi er kun interesseret i rødder. Så har skæring i og ikke de andre komplekse og. Da skal ramme aksen, ved vi, at Derfor har vi koordinatsættene og (47.1.4) Hvilket er det ønskede i denne opgave. (47.1.5) Delopgave b) Vi bestemmer monotoniforholde for. Vi skal først differentiere.

110 Her ses den afledte af. (47.2.1) Vi ønsker nu at bestemme hvor er størst. Vi løser derfor en ligning for. solve for x (47.2.2) (47.2.3) Vi har tre reelle løsninger (=) og kan nu bestemme det sted, hvor er størst. Vi ved, at der er tale om en vandret vendetangent, idet der er to ens rødder. Vi finder ud af, hvornår er voksende, derfor vælges tal der er forskelligt fra. Jeg vælger -1,1 og 2 (47.2.4) (47.2.5) 132 Her ses det, hvornår er voksende samt aftagende. Jeg tegner en linje i Paint. (47.2.6) Vi kan i denne opgave vurdere, om hvornår er voksende og aftagende. er aftagende i intervallet

111 er aftagende i intervallet er voksende i intervallet Vi kan endvidere bestemme lokale maksimum og lokale minimum ved indsættelse af. Vi bestemmer det lokale maksimum 4 (47.2.7) Nu det lokale minimum. (47.2.8) Her fik vi så vores maksimale og minimale ekstrema. I Maple kan vi få og visualiseret.

112 Dette er det ønskede. Opgave 11 - Trigonometri Delopgave a) Vi regner denne opgave v.h.a. Maple's smarte trekantsberegner. Jeg indsætter de oplyste tal fra opgaveformuleringen.

113 Bemærk, at er, er og er. Her fik vi bestemt vinkel A. Vi skal nu regne den anden side af trekanten BMC. Det kræver lige nogle udregninger af bl.a. vinkel M (48.1.1) Så vinkel M i trekanten BMC er. Vi ved, at M er midtpunktet, så må være det samme som, dvs. 7. Vi har nu tilstrækelig tal for at finde den anden trekant.

114 Vi ser nu, at den anden trekant er fundet. Vi skal bestemme omkredsen af trekanten ABC og derfor regner vi længderne af trekanterne undtagen den længde. Vi indsætter tallene Så omkredset af trekanten ABC er (48.1.2) Delopgave b) Vi har nu en trekant, der har en højde fra B til et nyt punkt. Lad os kalde det for H. Vi ved, at vinkel H er 90 grader, idet det skal være en retvinklet trekant. Vi kender allerede hypotenusen fra tidligere og vi kender vinkel A. Derfor benytter vi Maple's trekantsberegner, hvor de ovenstående oplysninger indsættes.

115 Vi fik nu bestemt højden til at være Opgave 12 - Statistik Delopgave a) (49.1.1) at 5 digits (49.1.2) (49.1.3)

116 Det kan ses, at p-værdien er 40,972% som er større end 5% signifikant. Derfor accepteres nulhypotesen! Delopgave b) at 5 digits (49.2.1) (49.2.2) at 5 digits (49.2.3) (49.2.4)

117 at 5 digits (49.2.5) (49.2.6) (49.2.7) at 5 digits (49.2.8) (49.2.9) at 5 digits ( ) ( ) Det kan ses, at aldergruppeen der giver det største bidrag til teststørrelsen. ( ) Opgave 13 - Analytisk Rumgeometri Delopgave a) Vi skal her bestemme vinklen mellem bunden og en af de fire sidder. Vi ved, at bunden danner et kvadrat med 6cm på hver side. T er toppunktet og har koordinaterne fordi den ligger i midtpunktet af kvadratet. Vi kan derfor bestemme den plan der grænser O, A og T. Bemærk, at bundfladen allerede danner en 'plan' så dette er ikke nødvendigt at lave. VI vælger punktet fra origo, dvs. og et andet punkt og. Vi laver krydsprodukt ud af det. Men først defineres vores punkter.

118 (50.1.1) (50.1.2) (50.1.3) Vi kan nu trække fra. (50.1.4) (50.1.5) Vi definerer vores to nye punkter. (50.1.6) (50.1.7)

119 Vi laver krydsprodukt ud af det. (50.1.8) Vi indsætter tallene og vælger punktet (50.1.9) Grundfladen som er en -plan er. Vi bestemmer vinklen mellem planerne. Bemærk, at 3 vælges, idet planen for grundlinjen stadig er fladt, så højden har ingen indflydelse. Vinklen Vi benytter formlen nedenfor. at 5 digits ( ) ( ) ( ) Så vinklen mellem flødebollens sidder og grundfladen er. Bemærk, at vinklen er spids, hvilket det også vises på figuren i tegningen, derfor må konklusionen være, at det passer. En skitse er lavet i CAS programmet GeoGebra, fra 2D og 3D.

120 Bemærk, at figuren i 3D viser en anden vinkel, den viser den stumpe vinkel mellem fladerne. Trækkes den vinkel fra 180 fås vores ønskede vinkel Dette passer ( ) Delopgave b) Vi ønsker i denne opgave at bestemme overflade arealet. Dette gøres ved følgende arealformel.. Dette gælder for en trekant i rummet. Vi indsætter vores krydsprodukt fra tidligere, hvor vi regnede en plan for en af siderne. at 5 digits (50.2.1) (50.2.2) Dette tal ganges med 4. Vi har arealet af alle sider. Vi mangler kun grundfladen. (50.2.3) (50.2.4)

121 (50.2.5) Så det totale areal af flødebollen er. Opgave 14 - Integralregning & Areal beregning Delopgave a) Vi har fået givet to funktioner, og jeg definerer dem begge for de enkelte opgaver. (51.1.1) (51.1.2) Vi bestemmer nu arealet af, som og afgrænser indenfor det punktmængde. For at finde uf af, hvilken funktion der ligger øverst, kan vi plotte funktionerne og.

122 Vi ved nu, at ligger øverst. Vi bestemmer nu arealet af. Dvs. at har arealet (51.1.3) Delopgave b) Vi har fået givet to funktioner, og jeg definerer dem begge for de enkelte opgaver. (51.2.1) som er 0.4. Vi ved, at dette afgrænses indenfor det punktmængde. (51.2.2)

123 (51.2.3) solve for a (51.2.4) Derved har vi fået angivet den konstant, der kræves for at man kan få arealet til 0.4. Funktionen skal derfor se sådan ud: Dette er det ønskede.. Opgave 15 - Differentialligninger Delopgave a) Vi skal i denne opgave opstille en differentialligning med oplysningerne, proportionalitetskonstant = og antallet af smittede ved (52.1.1) Dette er en differentialligning. Vi ønsker nu at bestemme antallet af smittede ved indsættelse af 162 i differentialligningen. Dvs. at der i forhold til væksthastigheden - vokser antallet af smittede med ca. 84 personer pr. døgn. Delopgave b) Vi opstiller en ny ligning. Bemærk, at jeg kalder den for M, idet vi allerede har brugt N. (52.1.2) (52.2.1)

124 (52.2.2) at 5 digits (52.2.3) Vi sammenligninger begge ligninger. Først for den ene og den anden. Endelig sættes tallene op mod hinanden. (52.2.4) at 5 digits (52.2.5) (52.2.6) Den accelererer med 1.83 smittede pr. døgn. Nu for den anden ligning. (52.2.7) (52.2.8) (52.2.9) at 5 digits ( ) ( ) Den accelererer med 1.89 smittede pr. døgn. Nu for den anden ligning. Så den sidste model er en anelse hurtigere end den første.