JOKER statistik Supplerende opgaver Preben Blæsild Lars Bo Kristensen 8 SUPPLERENDE OPGAVER Opgave 8.1 I Superligaen spilles der i alt 33 kampe. For et bestemt hold blev fordelingen af vundne, uafgjorte og tabte kampe: resultat antal kampe sejr 14 uafgjort 10 nederlag 9 i alt 33 1 Er der samme sandsynlighed for resultaterne sejr, uafgjort og nederlag i holdets kampe? Opgave 8.2 I en multiple-choice opgave er der 5 mulige svar, A E, hvoraf A er det rigtige svar. Opgaven blev besvaret af 80 elever og fordelingen af elevernes svar var: svar antal elever A 28 B 10 C 8 D 15 E 19 i alt 80 1 Gætter eleverne svaret? 1
Opgave 8.3 I Superligaen spilles der i alt 198 kampe. For at undersøge om sandsynlighederne for henholdvis sejr, uafgjort og nederlag ændrer sig i løbet af turneringen blev fordelingen af resultaterne opgjort for første, anden og sidste tredjedel af turneringen: kamp 1 66 67-132 133-198 hjemmesejr 32 25 33 uafgjort 17 20 15 nederlag 17 21 18 i alt 66 66 66 1 Vis, at det kan antages, at fordelingen af resultaterne er den samme for de tre dele af turneringen. 2 Er de tre resultater lige sandsynlige? Opgave 8.4 Danmarksturneringen i fodbold fik for første gang en sponsor i efteråret 1995, idet første division i 1995 1996 blev afviklet under navnet Coca-Cola Superligaen. Ved samme lejlighed blev der indført et nyt pointsystem, idet en vunden kamp nu gav tre point mod tidligere to point. Begrundelsen for det nye pointsystem var ønsket om at reducere antallet af uafgjorte kampe. Et første indblik i om dette lykkedes kan man få ved at sammenligne med turneringen før, det vil sige Danmarksturneringen 1994 1995. Denne blev afviklet som et grundspil med 10 hold som mødte hinanden to gange - i alt 90 kampe - og et slutspil, hvor de otte ø- verst placerede hold i grundspillet mødte hinanden to gange - i alt 56 kampe. Fordelingen af uafgjorte og ikke-uafgjorte kampe i Danmarksturneringen 1994 1995 var: 1994 1995 grundspil slutspil uafgjort 22 12 ikke-uafgjort 68 44 i alt 90 56 1 Vis, at det kan antages, at sandsynligheden for en uafgjort kamp er den samme i grundspillet som i slutspillet. I Coca-Cola Superligaen 1995 1996 deltog 12 hold, som mødte hinanden tre gange - i alt 198 kampe. Fordelingen af uafgjorte og ikkeuafgjorte kampe var: 1995 1996 uafgjort 54 ikke-uafgjort 144 i alt 198 2 Lykkedes det med introduktionen af det nye pointsystem at reducere antallet af u- afgjorte kampe? 3 Kan det antages, at sandsynligheden for en uafgjort kamp er 1/3? Opgave 8.5 I 1990 91 blev der foretaget målinger af blandt andet Barium i grundvandsprøver, 21 prøver fra den nordlige del og 31 prøver fra den sydlige del af Sønderjylland. For hver grundvandsprøve blev det undersøgt om den anbefalede grænseværdi på 100 µg/l blev overskredet. 2
Resultatet blev 1990 91 nordlig del sydlig del 100 µg/l 11 14 > 100 µg/l 10 17 i alt 21 31 1 Påvis, at der ikke er forskel på fordelingerne på kategorierne 100 µg/l og > 100 µg/l i de to dele af Sønderjylland. 2 Angiv et estimat for sandsynligheden for at grundvandsprøvernes indhold af Barium ikke overstiger 100 µg/l. I 1995 96 blev 72 grundvandsprøver fra Sønderjylland udtaget og undersøgt for indholdet af Barium. Resultatet blev 1995 96 100 µg/l 32 > 100 µg/l 40 i alt 72 3 Undersøg om fordelingen på de to kategorier har ændret sig fra 1990 91 til 1995 96. Opgave 8.6 Data i denne opgave er fra Aarhus Amt og vedrører koncentrationen af pesticidet 2.6- dichlorbenzamid i grund- og drikkevand. Tærskelværdien for koncentrationen af dette pesticid er 0.10 µg/l og de vigtigste faktorer, der influerer på koncentrationen, er indholdet af ler i jorden og dybden i hvilken vandet hentes. Data er fra større vandværker i 2 områder af amtet, et i den centrale del (område 1) og et i den nordøstlige del (område 2). I begge områder er vandet fra 2 kommuner blevet undersøgt. I Hadsten og Hammel i område 1 undersøgtes i alt henholdsvis 41 og 34 prøver, og fordelingen af koncentrationen af pesticidet på grupperne 0.01 µg/l, 0.01 0.10 µg/l og >0.10 µg/l var: kommune koncentration(i µg/l) Hadsten Hammel 0.01 23 20 0.01 0.10 12 5 >0.10 6 9 i alt 41 34 1 Vis, at det kan antages, at der ikke er forskel på fordelingen af koncentrationerne i Hadsten og Hammel. I område 2 kunne der heller ikke konstateres signifikant forskel på koncentrationerne i Nr. Djurs og Randers. Fordelingen af de i alt 101 prøver fra dette område var: kommuner koncentration(i µg/l) Nr. Djurs og Randers 0.01 84 0.01 0.10 10 >0.10 7 i alt 101 2 Undersøg, om der er signifikant forskel på fordelingen af koncentrationerne i de 2 områder. 3 Angiv for hvert af de to områder et estimat for sandsynligheden for at tærskelværdien på 0.10 µg/l overskrides. Opgave 8.7 En studerende ved Biologisk Institut, Aarhus Universitet, har udført et større forsøg, der 3
vedrører genfangst af 2 3 årige havørreder. På 5 stationer langs Bygholm å, placeret henholdsvis 13.210 km, 11.460 km, 9.660 km, 8.160 km og 3.360 km fra åens øvre udløb i Bygholm sø, blev et antal ørreder udsat efter at være blevet mærket med et mærke, der var karakteristisk for stationen. En del af fiskene blev fanget igen i et net placeret i den modsatte ende af Bygholm sø. Ved de 5 stationer blev der udsat henholdsvis 838, 940, 487, 486 og 987 ørreder og i rækken + i tabllen nedenfor ses det, hvor mange af disse fisk der blev fanget igen. genf.\station 1 2 3 4 5 + 183 231 107 96 218 655 709 380 390 769 i alt 838 940 487 486 987 1 Vis, at det kan antages, at genfangstprocenten er den samme for de 5 stationer. 2 Angiv et estimat for den fælles genfangstprocent. 3 Undersøg, om det kan antages, at den fælles genfangstprocent er 25. Opgave 8.8 Når en botaniker skal bestemme, hvor hyppigt en bestemt plante forekommer på en lokalitet, sker det ofte ved hjælp af en metode, som omtales som Raunkiærs cirkling. Metoden består i, at man inden for en prøveflade placerer n cirkulære plots af samme areal på tilfældige positioner. Herefter optælles antallet af plot, h- vor planten forekommer. Plottene omtales som Raunkiær cirkler, heraf navnet på metoden. Tallene i denne opgave stammer fra en større undersøgelse af kildeområder foretaget af Esbern Warncke, Botanisk Institut, Aarhus U- niversitet, som blandt mange andre planter undersøgte forekomsten af Kærtidsel, Cirsium palustra, på forskellige kildelokaliteter inden for forskellige geografiske områder i Jylland. Alle prøveflader var kvadratiske med en sidelængde på 50 m og på hver lokalitet blev der udlagt n = 100 Raunkiær cirkler, hver med et areal på 0.1 m 2. Her skal vi betragte 3 områder, det første med 4 lokaliteter, Høllund bro, Sillerup, Tinnet og Tvilho, det andet med tre lokaliteter, Bredsgårde, Hald og Vinkel, og det tredje med 2 lokaliteter, Krogensmølle og Ø- ster Vrå. Observationerne for de 3 områder ses i tabellerne nedenfor, hvor rækkerne med + angiver antallet af Raunkiær cirkler, hvor Kærtidsel var tilstede. Område 1: Høllund bro Sillerup Tinnet Tvilho + 24 22 18 23 76 78 82 77 i alt 100 100 100 100 Område 2: Bredsgårde Hald Vinkel + 41 33 44 59 67 56 i alt 100 100 100 Område 3: Krogensmølle Øster Vrå + 57 45 43 55 i alt 100 100 4
1 Vis for hvert af de 3 områder, at det kan antages, at Kærtidsel forekommer lige hyppigt på de forskellige lokaliteter inde for området. 2 Undersøg, om forekomsten af Kærtidsel er den samme i de 3 områder. Opgave 8.9 For en række middelalder skeletter fra landsbyen Westerhus i Nordsverige har man bestemt kønnet og alderen ved dødstidpunktet. Observationerne for personer, der blev over 20 år, er gengivet i følgende tabel. alder\køn mænd kvinder 20 30 år 8 17 30 40 år 20 24 over 40 år 31 38 i alt 59 79 1 Vis, at det kan antages, at levetidens fordeling for personer, der blev over 20 år gamle, er den samme for mænd og kvinder. For personer, der opnåede en alder på mere end 20 år, har man bestemt fordelingen af levetiden i Danmark (incl. Skåne) i middelalderen til det angivne i følgende tabel. levetid sandsynlighed 20 30 år 0.34 30 40 år 0.19 over 40 år 0.47 2 Undersøg om levetidens fordeling for befolkningen i Westerhus var den samme som levetidsfordelingen for befolkningen i Danmark. Opgave 8.10 Man inddeler aber som "smagere", "ikkesmagere"og "tvivlsomme"ved at undersøge, om de viser ubehag ved indtagelse af phenylthiocarbamide. På en safari i 1923 undersøgte McGregor nogle aber af Kappe bavian arten, Papia homodryus, og af Marekatte arten, Cerco pithecus sp.. Resultatet er angivet i nedenstående tabel: Kappe bavian Marekat smager 93 123 tvivlsom 10 21 ikke-smager 21 46 i alt 124 190 1 Vis, at det kan antages, at de to abearter udviser samme reaktionsmønster overfor indtagelse af phenyl-thiocarbamide. I USA har man fundet, at 23.2% af befolkningen er "ikke-smagere". 2 Er sandsynligheden for "ikkesmagere"den samme hos USA s befolkning som hos aberne? Opgave 8.11 Under to koppeepidemier i Glasgow i 1892 1895 og 1900 1901 registrerede man for henholdsvis 171 og 366 koppepatienter, der ikke var vaccineret mod kopper, om de overlevede sygdommen eller ej. Resultatet er vist i tabellen nedenfor. 1892 1895 1900-1901 overlevet 93 177 ikke overlevet 78 189 i alt 171 366 5
1 Godtgør, at sandsynligheden for at overleve sygdommen uden at være vaccineret, kan anses for at være den samme under de to epidemier. 2 Angiv et estimat for den fælles sandsynlighed for at overleve. Under de to epidemier havde vaccinerede patienter en sandsynlighed på 0.9 for at overleve. 3 Undersøg, om de uvaccinerede patienters sandsynlighed for at overleve var forskellig fra de vaccineredes. Opgave 8.12 I en undersøgelse af relationen mellem sygdom og blodtype blev 1796 patienter med mavesår, 883 patienter med mavekræft og 6087 raske personer klassificeret efter blodtyperne O, A og B. (Et relativt lille antal personer med blodtypen AB blev for simpelhedens skyld u- deladt af undersøgelsen.) Resultatet blev: mavesår mavekræft raske O 983 383 2892 A 679 416 2625 B 134 84 570 i alt 1796 883 6087 1 Vis, at der ved et test på niveau 5% ikke kan konstateres forskel på blodtypefordelingerne hos henholdsvis patienter med mavekræft og raske personer. Opgave 8.13 Ved 5 hospitaler, her kaldet A, B, C, D og E, foretages et kirugisk indgreb for at genoprette bevægeligheden af et bestemt led, som er svækket på grund af sygdom. På baggrund af forskellige standardiserede målinger klassificeres indgrebet i en af følgende kategorier: I: ingen øget bevægelighed II: delvis genopretning af bevægelighed III: fuldstændig genopretning af bevægelighed Hospital E adskiller sig fra de øvrige ved, at specielt hårdt ramte patienter henvises til dette hospital. Det indsamlede datamateriale ser såleds ud: resultat/hospital A B C D E I 13 5 8 21 43 II 18 10 36 56 29 III 16 16 35 51 10 i alt 47 31 79 128 82 1 Vis, at der ikke er signifikant forskel på behandlingsresultaterne ved hospitalerne A, B, C og D. 2 Undersøg, om der er forskel på behandlingsresultaterne ved hospital E og de øvrige hospitaler. 2 Er blodtypefordelingen hos patienter med mavesår forskellig fra den ovennævnte fordeling? 6