MATEMATIK I KÆREHAVE SKOV

MATEMATIK I KÆREHAVE SKOV Matematik for øvede, 7.-9. klassetrin, 12 opgaver Lærervejledning

Matematik for øvede Primær målgruppe elever i 7.-9. klasse 12 opgaver i Kærehave Skov Forløbet er tilrettelagt med henblik på, at eleverne arbejder gruppevis og bevæger sig rundt i skoven efter et kort. Hver gruppe medbringer desuden en mobiltelefon eller ipad/tablet med en QR-kode-skanner, tegnehæfte, blyanter samt en kasse med måleudstyr, som kan lånes i grejbanken i skoven. Valg af opgaver og den rækkefølge, de skal løses i, er fuldstændig fleksibel. Som lærer kan man på forhånd vælge, hvilke opgaver de enkelte grupper skal løse eller man kan lade eleverne vælge selv. Opgavernes placering fremgår af kortet over skoven. Posterne er placeret ved træpæle med nummer. Postpælens nummer er det samme som opgavens nummer. På postpælen er opsat en QR-kode. Når eleverne skanner koden med telefon eller ipad/tablet kommer de ind på en side med 1-3 matematikopgaver. Eleverne klikker på den opgave, der passer til deres forløb her altså Matematik for øvede. Kortet kan hentes her: http://www.kaerehave-skov.dk/files//kaerehave-skovkort-250412.pdf Opgaverne findes ved postpælene: S (Gl. Bålhytte) - 1-3 - 4-5 - 7-9 - 12-15 - 16-17 - S 2 (ved mast) Det faglige indhold i opgaverne er koncentreret omkring geometrien. Heri indgår skitsetegninger og opmålinger, som eleverne foretager i felten. Hjemme på skolen foretages rentegninger og de endelige beregninger af bl.a. arealer, højder, længder og hastigheder. Adskillige opgaver har udgangspunkt i den pythagoræiske læresætning og målestoksforhold. Arbejdet foregår i tre faser: Inden turen i skoven er eleverne gjort fortrolige med de udfordringer, de møder ved opgaverne, og den matematik, de skal anvende, for at løse dem, primært omkring skitsetegning, trekanter, målestoksforhold og brug af måleinstrumenter. Ude i Kærehave Skov foretager eleverne målinger, tegner skitser og noterer deres iagttagelser og detaljer til brug for den videre bearbejdning. I opgaveteksterne står beskrevet, hvad eleverne skal finde frem til via deres målinger, men beregningerne behøver de altså ikke foretage på stedet. Her skal de koncentrere sig om at få de korrekte målinger og andre relevante data indsamlet. Hjemme i klassen afsluttes arbejdet. Nogle klasser vil foretrække at gennemgå opgaverne en for en i fællesskab på klassen. I andre klasser laver eleverne gruppevis en rapport med tegninger, beskrivelser og deres resultater og med efterfølgende fremlæggelse på klassen. Eleverne møder frem i skoven med vidt forskellige forudsætninger. For at forløbet skal blive en succes, er det derfor nødvendigt, at læreren inden turen i Kærehave Skov vurderer, hvad der skal til for at eleverne kan forstå og løse opgaverne. I mange af opgaverne bruges teodolit til at måle vinkler med. Den er for mange et nyt målinstrument, så herunder findes en lille brugsanvisning. Der er desuden link til denne fra opgaverne i skoven. LINK sådan bruges teodolitten: http://www.haslebakker.dk/index.php?teodolit.

Bemærkninger til opgaverne På de sidste sider i denne lærervejledning efter opgavesamlingen findes nogle uddybende kommentarer til enkelte af opgaverne samt anvisning på brug af teodolitten. Samarbejde med Hasle Bakker Matematikforløbene i Kærehave Skov er udarbejdet af Skoletjenesten i Den Selvejende Institution Hasle Bakker, som siden 2010 har haft tusindvis af skoleelever på undervisningsforløb i naturområdet Hasle Bakker i det vestlige Aarhus. Tilrettelæggelse: Lone Dybdal og Hanne Dybdal Jensen. Kilder: Matematikopgaver i Hasle Bakker ved lærerne Birthe Bitsch, Mette Bjerre, Kirsten Helborg Drews og Finn Egede Rasmussen. Storcentrets Matematik. Forlaget Alinea. Svend Hessing. Ny trigonometri. Forlaget Matematik. På tur med matematikken. Forlaget Matematik. Palle Skovbo. naturqruize. Skoven i Skolen. Naturkatapulten.

Startposten ved Gammel Bålhytte Bålhytten Hytten til hygge og bålmad er bygget i spændende geometriske former, som I skal måle på. Hjælpemidler: Målebånd, vinkelmåler og meterhjul. Tegn en skitse af bålhyttens tag. Tegn en skitse af én af tagsektionerne. Mål længden AB. Mål vinklerne CAB og CBA og skriv målene på skitsen. Tegn en skitse af en af hyttens lukkede sider. Mål længden DE og højden DG. Tegn en skitse af bålhyttens indvendige gulvareal og skriv hjørnernes vinkelmål på. Hjemme skal I tegne bålhyttens sider, tag og gulv i et passende målestoksforhold. Beregn også arealet af tagfladen og det indvendige gulvareal. Hvad kaldes den figur, som bålhyttens grundflade udgør?

Post 1 Søen ved hytten Den klodsede siddeplads Bag bålhytten finder I forhindringsbanen. Inde på banen mellem de lange stammer findes nogle cylinderformede balanceklodser, som også er fine at sidde på. Vælg den af klodserne I mener har den mest cirkulære og vandrette grundflade i toppen. Tegn en skitse af klodsen. Skriv på skitsen målene for cylinderens højde og diameter. Prøv at finde cirklens centrum ved hjælp af to korder. (En korde er en linje imellem to punkter på periferien af en cirkel.) Hjemme skal I beregne rumfanget og vægten af den del af klodsen, som er over jorden. Træets massefylde kan sættes til 0,650. Hvad vil klodsen veje, hvis den skal støbes i beton? Betons massefylde kan sættes til 2,3. Vis på en tegning hvordan I fandt cirklens centrum. Sæt mål på tegningen.

Post 3 Grøften ved lysningen Grøfteknækket Her skal I arbejde med vinkler, længder og areal. Hjælpemidler: Meterhjul, målebånd, vinkelmåler. Bestem vinklen på grøfteknækket - (vest for posten inde i skoven). Er vinklen stump eller spids? Hvor mange grader er vinklen "den anden vej rundt"? Tegn en skitse af skovarealet, der afgrænses af grøften og de to stier mod vest og syd. Mål længder og vinkler og tegn figuren i et passende målestoksforhold. Hvor stort er arealet? Find en smart metode så I kan beregne arealet.

Post 4 Udsigtspunkt To master Her fra udsigtspladsen ser I to master - den ene tæt på skovhjørnet, den anden et stykke vej væk mod øst. Hvor langt er der ud til de to master og imellem de to master? I må ikke gå ud på marken, så I skal regne den ud! Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul, (eller langt målebånd) og 2 kegler. På stien, der vender ud mod masterne langs skovkanten, placeres to kegler med 50 meters afstand. Keglerne markerer linjestykket AB. Det er ikke så afgørende præcis hvor på stien, keglerne står, blot I kender afstanden imellem keglerne. Masten til højre, den længst væk mod øst - kaldes C. Masten tættest på jer ved skovhjørnet på marken kaldes D. Sæt teodolitten i A. Mål vinklerne DAB og CAB. Sæt teodolitten i B og mål vinklerne CBA og DBA. Tegn en skitse af placeringer for master og målepunkter og noter jeres mål og vinkelgrader på. Hjemme skal I tegne figuren i et passende målestoksforhold. Bestem følgende afstande ved hjælp af tegningen: AD, BC og CD.

Post 5 Skovsøen Hvor bred er søen? Her skal I finde søens bredde målt det bredeste sted tværs over søen. Hjælpemidler: teodolit, meterhjul og to kegler. Søens bredde findes ved hjælp af en trekant ABC. Trekantens højde h er lig med søens bredde = linjen HC. Tegn en skitse af søen med en trekant hvor højden HC skal vise søens bredde. Opmål en linje AB langs søen på siden med bænken. Linjen skal være 25-40 m. Noter jeres præcise mål på trekanten. Punkterne A og B ved søen markeres med kegler. Vælg et synligt punkt C på modsatte side af søen. Send gerne en person derover til at sigte efter. Sæt teodolitten i punktet A og sigt mod C. Mål vinklen CAB. Sæt herefter teodolitten i punktet B. Sigt nu mod A og mål vinklen CBA. Noter de to vinkler på jeres tegning. Hjemme på skolen skal I tegne trekanten i et præcist og passende målestoksforhold.

Post 7 Brønden på bakken Geometriske figurer På skråningen i skovbunden finder I den runde brønd. Her skal i arbejde med figurer og målestoksf0rhold Tegn en skitse af brønden og de to dæksler. Mål metalcirklens diameter og kvadratets side. Skriv målene på jeres tegning. ----- Hjemme på skolen skal I tegne cirklen og kvadratet i et passende målestoksforhold. Beregn arealet af cirklen og arealet af kvadratet. Hvad er arealforholdet imellem de to dæksler?

Post 9 Sneglefart Skovens hurtigste snegl Her i området bor der mange vinbjergsnegle. Måske kan I se nogle i planterne eller på træernes stammer. En vinbjergsnegl kan gå cirka 12 cm pr. minut. Hvor langt kan en vinbjergsnegl gå på en time? For enden af stien mod syd, som ses her på billedet, findes post 20. Mål med meterhjulet afstanden fra post 9 til post 20. Hvor mange meter er der til post 20? Hvor lang tid tager det en vinbjergsnegl at nå til post 20? Hvor hurtigt kan I gå fra post 9 til post 20? Brug stopuret. Hvor hurtigt kan I løbe fra post 20 til post 9? Brug stopur. Noter jeres målinger. Hjemme skal I regne videre: Hvad er din topfart i sekundet? ( x m : y sek = m/sek) Hvad er din topfart i minuttet? ( m/sek * 60 = m/min) Hvad er din topfart i timen? ( m/min * 60 = m/t) Ekstra udfordringer Et egern har en fart af 12 km/t. En edderkop har en fart af 1,2 km/t En hugorm har en fart af 6 km/t Hvor lang tid tager det disse dyr at nå post 20? Den hurtigste snegl Blandt de hurtigste snegle i verden finder man den plettede voldsnegl, som også lever i Danmark. De mest veltrænede af disse racersnegle kan bevæge sig med hastigheder på op til 47 meter i timen. Lav et diagram der viser forskellen på vinbjergsneglens og den plettede voldsnegls hastighed i timen.

Post 12 Søen ved hytten Hvor høj er bakken Her skal I beregne højden på bakken med hytten. I skal måle fra vandkanten. Redskaber: En teodolit, et meterhjul, et langt målebånd. Mål afstanden - AB på bakken (fra søbred til bakketop) ved hjælp af meterhjul eller målebånd. Sæt teodolitten ved søbredden og mål højden på teodolitten. Marker samme højde (D) på en person som sendes op på toppen af bakken foran hytten. Brug teodolitten til at måle vinklen ECD. Punktet D skal vises tydeligt af den person, der står på toppen af bakken (B). Tegn en skitse af bakken. Skriv de mål I har fundet på skitsen. Hjemme skal I tegne en profil af bakken i et passende målestoksforhold. Find bakkens højde BF ved at måle på tegningen. Bakkens højde kan også beregnes på denne måde: Mål vinkel ECD og længden af AB Beregn BF, som er udtryk for bakkens højde, idet Sin(ECD) = BF/AB

Post 15 Lysningen i skoven Hvor højt er asketræet? Hvor højt er asketræet på engen? Hjælpemidler: En teodolit, et meterhjul eller 50 m målebånd. I skal måle træets højde ved hjælp af teodolitten. Marker et punkt (A) 50 meter fra træstammen. Brug meterhjul eller målebånd og mål helt inde fra stammen. Stil teodolitten i A. Mål højden AD, dvs. teodolittens højde Mål vinklen EDC ved hjælp af teodolitten. Lav gerne kontrolmåling. Flyt teodolitten til et nyt punkt A og sigt igen mod træets top. Tjek om I får samme resultat. Prøv også at lave nye målinger, hvor i ændrer på længden fra træet til A. (f.eks. ændre linjen AB til 40 m 60-70 m meter). Tegn en skitse af træet og jeres målepunkter og skriv længder og vinkler på. Hjemme skal I tegne hele figuren i et passende målestoksforhold. Husk at lægge teodolittens højde til for at få den rigtige højde. Hvor højt er træet? ----- Træets højde kan også beregnes ved hjælp af en lommeregner med tangensfunktion. Find på lommeregneren tangens til vinklen. Dette tal er det samme som forholdet mellem CE og DE. I kender DE, som jo er lig med AB. Hvor højt er træet?

Post 16 Mellem træerne Omvej og genvej Nu skal I arbejde med hastigheder. Hjælpemidler: Meterhjul og stopur. Gå ud på stien, afmærk et startpunkt. I skal herfra fortsætte ligeud ad stien mod sydvest til post 13 (en sten). Hvor mange meter er turen? Hvor lang tid tager denne tur. Noter jeres resultater. Fra post 13 skal I gå tilbage til jeres startpunkt. Denne gang skal I gå omvejen nordom ad den brede sti. Hvor mange meter er turen, hvor lang tid tager denne tur. Noter jeres resultater Beregn de to hastigheder i km/time.

Post 17 Hullet Fyld hullet Her står I ved et af skovens huller hullet er hverken stort eller farligt men hvor dybt er det egentlig? Find en smart metode til at beregne rumfanget. Hvilken facon har hullet? Bestem en matematisk figur. Find omkreds og dybde. Tegn en skitse af hullet og skriv jeres mål på. ----- Hjemme skal i beregne: Hvor mange kubikmeter jord skal der fyldes i hullet, for at det forsvinder og kommer i niveau med det omgivende terræn? Massefylden af skovbundens jord sættes til 1,5. Hvad vejer den jord, der kan være i hullet? Jorden skal køres i trillebør ind ude fra skovstien. Trillebøren har et rumindhold på 210 liter og kan bære 270 kg. Hvor mange gange skal der køres for at fylde hullet?

Startsted 2 Masten ved Kærehave Skov -vestlige indgang til skoven Hvor høj er masten? I skal måle mastens højde. Hjælpemidler: Teodolit, målebånd, meterhjul. Marker et punkt (A) 50 meter fra masten. Brug målebånd eller meterhjul og mål fra midtpunktet mellem mastens ben. (I må ikke røre masten). Linjen fra masten til A skal være vandret. Stil teodolitten i A. Mål højden AD, dvs. teodolittens højde. Mål vinklen EDC ved hjælp af teodolitten. Tegn en skitse og skriv jeres mål på. Hjemme: Tegn hele figuren i et passende målestoksforhold. Husk at lægge teodolittens højde til for at få den rigtige mastehøjde. Hvor høj er masten? Lav gerne kontrolmålinger fra forskellige steder. Prøv også at udmåle en ny længde AB - f.eks. 70 m eller 80 m. Skriv jeres måleresultater på skitsen ---------- Mastens højde kan også beregnes ved hjælp af en lommeregner med tangensfunktion. Find på lommeregneren tangens til vinklen. Dette tal er det samme som forholdet mellem CE og DE. I kender DE, som jo er lig med AB. Hvor høj er masten?

Brugsanvisning og bemærkninger I det følgende en anvisning på brug af teodolitten efterfulgt af uddybende kommentarer til enkelte af opgaverne. Teodolitten Teodolitten består af 3 ben, en todelt rund plade/drejeskive markeret med 360 grader til målinger i det horisontale/vandrette plan samt en hvid halvcirkelplade markeret med 2 x 90 grader til målinger i det lodrette/vertikale plan. Sådan samles teodolitten: Stram skrue og møtrik i den grønne/hvide drejeskiveplade. Monter benene i de tre skinner på undersiden af pladen. Benene kan justeres i højden. For at opnå korrekte målinger skal teodolitten stå vandret. Det sikres med vaterpasset på oversiden af den runde grønne skive. Når kuglen ligger i midten, står teodolitten vandret. Stram skrue/møtrik i den halvcirkelformede vinkelmåler. Placer bunden af de 2 grønne sider i den rektangulære fordybning midt på den runde plade. Den skal presses helt i bund for at stå korrekt. Ved målinger i højden (træer, mast og bakke aflæses gradtal på halvcirklen. Sæt skiven med de 2 x 90 grader så 0 står i bunden ud for pilemarkeringerne. Gå ned på knæ, drej på den halvcirkelformede skive og sigt op mod målepunktet (toppen af masten, toppen af træet, målepunktet på bakketoppen). Kig igennem sigtekornet mod målet på toppen og stil skiven præcist. Aflæs gradtallet ud for pilene på halvcirkel-skiven. Ved målinger af vinkler i det vandrette/vertikale plan (søbredde, masteafstand og arealflader) benyttes den vandrette skive til aflæsning. Sigtekorn på halvcirklen benyttes til at sigte efter de to pejlemærker, som skal udgøre vinklens ben.

Sæt pilen på den grønne drejeskive, så den står ud for 0 (N) og sigt mod punkt A (vilkårligt bogstav her). Drej på den grønne skive til pilen peger mod punkt B (vilkårligt bogstav her). Tjek i sigtekornet at målingen er nøjagtigt. Aflæs gradtallet ud for pilen. Det er lettest at aflæse vinklerne ved at aflæse fra venstre mod højre (med uret), da der så måles den rigtige vej på teodolittens gradskive. Der er dog intet i vejen for at måle baglæns man skal så bare bruge lidt hovedregning (trække fra) -for at finde vinklen imellem de to ben. Bemærkninger til enkelte af opgaverne Opgave 12: Hvor høj er bakken? Eleverne skal bruge deres viden om retvinklede trekanter til at løse opgaven med at finde bakkens højde. De skal således kunne se trekanten i bakken og højden (FB) for sig. De skal også være klar over, hvad højde egentlig er, dvs. højden fra jordoverfladen (her søbredden) til bakkens toppunkt. Tegningen viser bakken set fra siden (tværsnit). Grundet teodolittens højde kan man ikke måle helt nede fra bakkens bund ved søbredden. For at den målte vinkel ECD skal være identisk med vinkel FAB, er det derfor nødvendigt, at der måles efter en parallelforskudt linje CD i stedet for AB. Eleverne skal måle teodolittens højde AC, og efterfølgende markere denne højde på toppen af bakken, så vinkel ECD kan måles. Punktet D markeres af en elev oppe på bakken. Teodolit-højden måles fra jorden til teodolittens overkant, dvs. når diameteren i den hvide halvcirkel står vandret (som på billedet). Teodolitten skal stilles lige hvor bakken begynder. Det er selvfølgelig også vigtigt, at det andet ben i vinklen, CE, er en parallelforskydning af linjen AF. Det sikres ved at teodolitten står i vatter under målingen. Nu kender man længden AB (målt med meterhjul eller målebånd, vinkel FAB(=ECD) og vinkel AFB (pr. def. 90 gr.) og kan tegne trekanten i målestoksforhold og måle højden af bakken (FB) på sin tegning. Dette skal dog ikke gøres under besøget i skoven, men først hjemme på skolen. Endelig fremgår det af opgaveteksten, at den også kan løses trigonometrisk. Vi er klar over, at langt de fleste først stifter bekendtskab med trigonometri i 9. kl. Opgaven kan evt. tjene som introduktion til emnet og ellers er det bare vigtigt at eleverne ikke lader sig forvirre af oplysningen i opgaven. Opgave ved startsted 2: Hvor høj er højspændingsmasten? Opgaven minder meget om opgaven med bakkehøjden, men med to væsentlige undtagelser. Det er her ikke muligt at placere en elev på mastens top og markere teodolittens højde( ), og vi kan ikke måle AC, men til gengæld AB, hvilke jo ikke var muligt i bakkeopgaven. Opgaven bliver derfor lidt enklere at løse. Punktet B er mastens centrum, dvs. midt mellem mastens ben Teodolitten skal igen stå vandret og så måles vinkel EDC. Med den vinkel kendt, en vinkel DEC (=ABC) på 90 gr. og AB = 50 meter, kan trekant CDE tegnes og højden EC måles på tegningen. Hvad, der mangler, er blot at lægge teodolittens højde AD (=BE) til for at få mastehøjden BC. Den måles igen fra jorden til teodolittens overkant. Her gælder de samme bemærkninger vedr. vinkelnotation og læsning af figurer. Opgave 15 hvor højt er asketræet? Samme princip som beregning af mastens højde her er det blot trætoppen man sigter efter.

Opgave 5: Hvor bred er søen? Søens bredde (HC) findes ved hjælp af trekant ABC. Punkterne A og B kan placeres frit på stien, bare der er 25-50 meter imellem dem, at den præcise længde kendes, og blot man kan se det samme selvvalgte punkt på søens modsatte bred. Teodolitten placeres som beskrevet i opgaven. Det er en god idé at måle vinklerne fra venstre mod højre (med uret), da der så måles den rigtige vej på teodolittens gradskive. Opgave 4: To master Det er jo ret smart, at man på lang afstand kan beregne afstanden mellem to genstande. Størst problem er der nok med at forstå tegningen (firkant ABCD). Den skal altså forklares. AB er linjestykket, man selv vælger. Og som ved søen er der her frit valg i forhold til placering. D og C er de to master, hvoraf C er ude i horisonten. Endvidere kan det virke forvirrende med de mange vinkler, der skal måles men det er bare om at tage dem en ad gangen. Opgave 1: Den klodsede siddeplads Umiddelbart en overkommelig opgave. Men med en lille udfordring: Prøv at finde cirklens centrum ved hjælp af to korder. Det kan være en god ide at give eleverne et hint: Eleverne finder cirklens centrum ved at tegne to korder, tegne kordernes midt normaler og markere disses skæringspunkt som cirklens centrum.