Narrativ, autentisk og kildebaseret matematikhistorie i gymnasiet En tilgang til logistisk vækst Henrik Kragh Sørensen Center for Videnskabsstudier Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet Matematiklærerdag 2014 Aarhus Universitet, 28. marts 2014 K. Danielsen og H. K. Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. En autentisk og god (matematik)historie på STX. Under udgivelse. Forord til læreren 1 Vækst i nationens tjeneste: Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst 2 Kilden samlet i sin helhed 3 Verhulsts behandling af logistisk vækst 4 Historisk og videnskabsteoretisk baggrund 5 Beskrivelser af undervisningsforløb 6 Supplerende matematik Bibliografi http://www.matematikhistorie.dk/ logistisk-vaekst/ Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 2 / 22
Logistisk vækst og kildebaseret matematikhistorie Thomas Robert Malthus (1766 1834) model: eksponentiel vækst. Pierre François Verhulsts (1804 1849) ide: dæmpning men hvilken? Flere forskellige dæmpningsled blev overvejet indtil han valgte det simpleste. Datafitting med få punkter: Modellens robusthed. Interessante pointer om modeller: Den matematiske model er underdetermineret af data og af teori. Æstetiske og pragmatiske grunde spillede ind i modellens udformning. Model og data testes på hinanden. Pierre François Verhulst (1804 1849) K. Danielsen og H. K. Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. En autentisk og god (matematik)historie på STX. Under udgivelse. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 4 / 22 Tall: Inspiration uden krav til forhåndskendskab Kort forløb (fx dobbeltime) som introduktion til logistisk vækst. Eleverne har læst kilden på forhånd og set på introducerende og genopfriskende opgaver om eksponentiel vækst. På klassen undersøges den historiske kontekst og Verhulsts beskrivelse og udledning (kilden gennemgås). Kilden og dens metode anvendes til at beregne bæreevner, og der sammenlignes med matematisk modellering og videnskabsteori. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 6 / 22
Verhulsts senere data om USAs befolkning Tabel 3.1(a) Årstal Befolkning 1790 3.929.827 1800 5.305.925 1810 7.239.814 1820 9.638.151 1830 12.866.020 1840 17.062.566 Tabel 3.1(b) Årstal Befolkning r 1790 3.930.000 1795 4.618.000 1800 5.306.000 1805 6.273.000 1810 7.240.000 1815 8.439.000 2,147 1820 9.638.000 2,087 1825 11.252.000 2,120 1830 12.866.000 2,052 1835 14.964.000 2,076 1840 17.063.000 2,021 Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 7 / 22 Opgave 3.3: Fremskrivning af USAs befolkning Denne opgave undersøger Verhulsts fremskrivning af USA s befolkning ud fra de data, han havde til rådighed. a) Bestem forskriften for befolkningsudviklingen i tabel 3.1(a) vha eksponentiel regression. Bestem T 2. På baggrund af tabel 3.1(a) beregner Verhulst tabellen 3.1(b). b) Hvad er der i tabel 3.1(b) sket med befolkningen i årene 1790, 1800 osv? c) Hvordan er befolkningerne for årene 1795, 1805, 1815, 1825 og 1835 bestemt? Hvordan passer det med, at Verhulst mener, at befolkningen vokser eksponentielt? d) Hvordan har Verhulst fundet r? Hvad ville vi kalde r? (Hint: Verhulst vil gerne vise, at T 2 er 25 år). Bemærk, at Verhulst har begået nogle afrundingsfejl i nogle af beregningerne af r. e) Sammenlign Verhulsts resultater med dine egne resultater i opgave a). Overvej forskellen i den måde, hvorpå Verhulst tænkte, i forhold til, hvordan vi ville gribe sagen an i dag. Hvilke udfordringer kan Verhulst have haft med sin tilgang? Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 8 / 22
Grande: Verhulst som en del af undervisningen i differentialligninger Integreret del af undervisningen i differentialligninger og en god vej til at behandle logistisk vækst. Kilden nærlæses og gennemgås i undervisningen. Nogle af de spørgsmål, man kan stille er: 1. Forfatteren til teksten hedder Pierre François Verhulst. Kan I finde nogle oplysninger om ham på nettet? 2. Hvordan beskrives Malthus? Hvad har han lavet? 3. Hvilken betydning har landbruget for befolkningen? 4. Hvordan beskrives eksponentiel vækst? 5. Befolkningsvæksten bliver sammenlignet med et eksempel fra fysikken. Hvordan? 6. Hvorfor skal modeller for befolkningsvækst have en øvre grænse? 7. Hvilke problemer har der været med at få lavet en model? 8. Hvilken ligning ender med at blive brugt til at beskrive befolkningsvæksten? 9. Kan I få ligningen til at ligne en ligning, I kan forstå? 10. Hvordan ser løsningen ud? 11. Brug computeren til at finde en løsning. 12. Kan I få differentialligningen til at passe med en af ligningerne i formelsamlingen? Hvordan ser løsningen ud? 13. Sammenlign løsningerne. 14. Hvilken grænse har befolkningen? 15. Er ligningen for befolkningsvækst entydig? Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 9 / 22 Venti: Projekt- og essay-forslag til forløb, evt. med andre fag Til brug for længere forløb, enten i matematik eller tværfagligt, samt som inspiration forindividuelle projekter (SRP etc.). 1. Alternative dæmpningsfunktioner. Mere kompliceret matematisk udledning, som afprøver samme type argumenter som Verhulst brugte. 2. Et kig i maskinrummet: Matematisk modellering. Videnskabsteoretiske overvejelser med udgangspunkt i Verhulsts kilde. Mulighed for at inddrage andre fag, som bruger matematiske modeller. 3. En dansk parallel: Statistik og nationsbygning. Historisk kontekst og parallel til Danmarks nationalstatsbygning, som involverede at tegne danmarkskortet, både geografisk, statistisk og kulturelt, for at opbygge en identitet. Samarbejde med fx historie og/eller dansk. 4. Mennesker på tal: Menneskesyn og kvantificering. Verhulsts kilde er blot et blandt mange forsøg på at registrere kvantitative data og benytte dem til at kontrollere omverdenen. Her kigges på menneskelige idealer og social fysik, og der kan trækkes politiske paralleller. Samarbejde med fx dansk, billedkunst, mediefag, samfundsfag, historie, engelsk,.... Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 10 / 22
Matematisk modellering Matematisk model matematisk beskrivelse = repræsentation abstraktion matematiske konsekvenser fortolkning Verbal model begreber sammenhænge forudsigelser afgrænsning forenkling strukturering beslutninger teorikontrol Virkeligheden et system af genstande, egenskaber og forbindelser M. W. Johansen og H. K. Sørensen (2014). Invitation til matematikkens videnskabsteori. København: Forlaget Samfundslitteratur. T. H. Kjeldsen (2011). Hvad er matematik? København: Akademisk Forlag. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) M. W. Johansen og H. K. Sørensen (2014). Invitation til matematikkens videnskabsteori. København: Forlaget Samfundslitteratur. Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 11 / 22 Hvorfor overhovedet matematikhistorie? 1. Krævet i læreplanen for STX, altså nødvendigt for kommende lærere 2. Matematikhistorie som anledning og perspektiv på egen matematiklæring og -forståelse Indhold Tilgang (udforskende, kritisk) Kontekstuel (meta) 3. Humaniserer matematikken og giver liv til et ellers statisk-udseende fag 4. Danner bro mellem matematik og andre fag (fysik, humaniora,... ) 5. Tillader filosofiske refleksioner om matematik 6. Træner kommunikative kompetencer (mundtligt og skriftligt) U. T. Jankvist (2007a). Den matematikhistoriske dimension i undervisning generelt set. MONA, nr. 3, s. 70 90. url: http://www.ind.ku.dk/mona/2007/. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 13 / 22
Matematikhistorie i Bekendtgørelsen Faglige mål, STX A/B/C STX A/B: Demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske, videnskabelige og kulturelle udvikling. STX C: Demonstrere viden om matematiske metoder, matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens samspil med den øvrige videnskabelige og kulturhistoriske udvikling. Supplerende stof, STX A/B/C STX A/B: Sammenhængende forløb om matematik-historiske emner. STX C: Matematik-historiske forløb. Samspil med andre fag, STX A/B/C Der skal tilrettelægges sammenhængende undervisningsforløb med det hovedsigte at udvikle elevernes kendskab til matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskab og teknologi. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 14 / 22 Indlevelse og kildebelæg: (også) en didaktisk udfordring Historiografi 101 1. Historie er andet og mere end kronologi 2. Historie fortolker og forklarer udviklinger og sammenhænge 3. Valg af problem, svar og metode hænger sammen 4. God matematikhistorie bør være loyalt (mod fortiden) og relevant (forklarende for nutiden) 5. Hvis man skal fortolke, hvordan sikrer man sig så loyaliteten? Historismens indlevelse og alle dens kritikpunkter. Behov for at tydeliggøre historiesyn Jeg, mine studerende og deres kommende elever kan have (har!) forskellige historiesyn, ikke mindst omkring matematik. Det er vigtigt at afdække og reflektere over de kommende læreres historiesyn for at kunne bibringe en nuanceret matematikhistorie med forståelse for øje. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 15 / 22
Autentisk, narrativ matematikhistorie For os ligger løsningen i at tage udgangspunkt i velvalgte, korte, oversatte matematikhistoriske kilder. De skal helst dække en central pointe i matematikfaget (kernefaglighed, historiske eller videnskabsteoretiske problematikker). Vi vil gerne lægge op til en undersøgende tilgang for både lærer og elever. Derfor er vi endt med en struktur som følger: 1. Forord med læsevejledning 2. Narrativ indledning, hvor problemet og aktørerne sættes i kontekst med et rimeligt brug af indlevelse, der ikke bliver til (vild) fiktionalisering. 3. Kilden oversat i sin helhed. 4. Trinvis udfoldelse af kilden med kommentarer, forslag til opgaver etc. 5. Forslag til undervisningsforløb: tall, grande, venti. 6. Åbne problemstillinger til udforskning (både i plenum, i grupper eller i individuelle projekter) 7. Eventuelle bilag (også online) Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 16 / 22 D. Allchin (2012). The Minnesota Case Study Collection: New Historical Inquiry Case Studies for Nature of Science Education. Science & Education, bd. 21, s. 1263 1281. Eksisterende (offentlige) materialer I de eksisterende lærebogssystemer med forskellige tilgange; se U. T. Jankvist (2008). Den matematikhistoriske dimension i undervisning gymnasialt set. MONA, nr. 1, s. 24 45. url: http://www.ind.ku.dk/mona/2008/. I materialer fra Matematiklærerforeningen, fx J. Lund (2000). Fra kvadratur til integration: Træk af arealberegningens historie. Vojens: Matematiklærerforeningen. J. Høyrup (1998). Algebra på lertavler. Matematiklærerforeningen. E. Vestergaard (1997). Astronomisk navigation: Sfærisk geometri i anvendelse. København: Matematiklærerforeningen. K. Andersen (1993). Geometrien bag Perspektivet. Skive: Matematiklærerforeningen. J. Lund (1992). Tangentbestemmelse historisk set. Vojens: Matematiklærerforeningen. I eksperimenterende materialer, se fx U. T. Jankvist (2007b). Et undervisningsforløb i kodningsteoriens tidlige historie. IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. U. T. Jankvist (2007c). Et undervisningsforløb i RSA og den heri anvendte matematiks historie. IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. På (EMU en og) LMFK s materialebank flere forløb og materialer Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 17 / 22
Matematikkens historie og videnskabsteori Kulturhistorie Idéhistorie Videnskabsteori Matematik Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 19 / 22 I, om og med matematik Idéhistorie Kulturhistorie Videnskabsteori Ligningsløsning fra Babel til Abel Funktionsbegrebet og tabet af intuition Kustoder eller genier: Islamisk matematik og europæisk middelalder Nazisme, brain drain og matematikkens ankomst i USA Matematikken eller virkeligheden: Matematiske modeller For og imod figurbeviser Formål Formålet må være at lære noget i/om/med matematik, evt. i samarbejde med et andet fag. www.matematikhistorie.dk/matematikhistorie-i-gymnasiet Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 20 / 22
Udfordringer og løsningstiltag Udfordringer for matematikhistorie i gymnasiet Der fremstår 2 3 behov for matematikhistorie i gymnasiet: 1. Lærerne skal have de rette kompetencer og sikkerhed i at planlægge og gennemføre undervisningen. 2. Der skal foreligge materiale, som den gennemsnitlige lærer kan omsætte til nuanceret og vedkommende matematikhistorie i undervisningen. 3. Det skal være muligt både kompetent at evaluere matematikhistorie ved eksamen og for den enkelte elev at fordybe sig i det ved fx SRP og AT. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 21 / 22 Nogle referencer Danielsen, K. og H. K. Sørensen (2014). Vækst i nationens tjeneste Hvordan Verhulst fik beskrevet logistisk vækst. En autentisk og god (matematik)historie på STX. Under udgivelse. Fried, M. N. (2001). Can Mathematics Education and History of Mathematics Coexist? bd. 10, s. 391 408. Johansen, M. W. og H. K. Sørensen (2014). Invitation til matematikkens videnskabsteori. Samfundslitteratur. Science & Education, København: Forlaget Katz, V. J. (2008). A History of Mathematics. 3. udg. Harlow: Addison Wesley. Kjeldsen, T. H. (2011). Hvad er matematik? København: Akademisk Forlag. Sørensen, H. K. (2008). Matematikhistorie som mål eller middel? Matematikhistorie til brug i gymnasiets matematikundervisning. MONA, nr. 2, s. 83 86. Wardhaugh, B. (2010). How to Read Historical Mathematics. Princeton og Oxford: Princeton University Press. Henrik K. Sørensen (CVS, AU) Logistisk vækst Matematiklærerdag 2014 22 / 22