Entropibegrebet Jacob Nielsen 1 I 1871 introducerede Maxwell dæmonen, der ved hjælp af molekylær information tilsyneladende kan krænke termodynamikkens 2. hovedsætning. Centralt i termodynamikken står de to hovedsætninger: 1.hovedsætning Energisætningen hvor P er trykket og ÄV er ændringen af volumnet. Ligningen udtrykker, at hvis man tilfører energi til en gas, så går energien dels til at ændre temperaturen ( indre energi ) og dels til arbejde. Denne formulering er et specialtilfælde af den meget generelle formulering: Energi kan ikke opstå eller forsvinde - kun omdannes. 2. Hovedsætning Entropisætningen I et isoleret system er den samlede entropi voksende eller konstant. Vi ved af erfaring, at termisk energi spontant vil strømme fra et varmt område til koldt og ikke den modsatte vej. Med snedige mekanismer som for eksempel varmepumper kan vi dog få energien til, at bevæge sig modsat, men det koster så en energitilførsel - måske i form af elektrisk energi. I et køleskab flyttes for eksempel energi fra området, hvor madvarerne er, til varmeristen på bagsiden - men dette koster elektrisk energi. På samme måde viser erfaringen at systemer spontant udvikler sig mod stigende uorden. Det gælder ikke kun personlige ejendele. Det er ikke helt usandsynligt, at et glas bliver omdannet til glasskår, mens den modsatte proces, hvor en bunke glasskår spontant omdannes til et fint glas ikke er særligt sandsynlig. Anden hovedsætning er en præcis formulering af disse principper. 1 E\Fysik\Termodynamik\Entropi 21.wpd
Entropibegrebet side 2 2 Vi behandler anden hovedsætning her af to grunde. Dels er det en meget vigtigt fysisk lov, og dels spiller den en helt central rolle i Plancks tanker i forbindelse med energiens kvantisering. Udenfor kvantemfysikken er en vigtig konsekvens af 2.hovedsætning, at vi ikke kan konstruere type 2 evighedsmaskiner. Leo Szilar definerer en type 2 evighedsmaskine som følger: En maskine, der i al evighed kan udføre arbejde på omgivelserne, og som tager energien fra et lavtemperatur reservoir. Der findes altså for eksempel ikke en maskine, der kan levere arbejde, ved at tage termisk energi fra verdenshavene, hvis ikke der er adgang til et koldere reservoir. Dampkredsløbet i et kraftværk er et eksempel på en termodynamisk maskine, hvor energi flyttes fra et varmt reservoir ( kedelen ) til et havvand, der udgør det kolde reservoir. Energien strømmer altså samme vej, som den spontant ville vælge, og maskinen kan derfor udføre arbejde - trække en generator. Makroskopisk definition af Entropi. Hvis et system med den absolutte (Kelvin) temperatur T tilføres energien ÄE, så er entropiændringen ÄS givet ved: Betragt nu en situation, hvor energi strømmer fra et varmt reservoir til et koldt. Vi betegner den flyttede energi, der er en positiv størrelse med ÄE, og får: Varm Kold T 1 T 2 I overenstemmelse med 2. hovedsætning ser vi, at systemets samlede entropi vokser i denne situation, hvor energien strømmer fra et varmt til et koldt område. 2 Arthur Stanley Eddington ( 1882-1944 ) udtalte en gang: The law that entropy increases - the second law of thermodynamics - holds, I think, the supreme position among the laws of nature. If somone points out to you that your pet theory of the universe is in disagreement with Maxwell s equations - then so much worse for Maxwell s equations. If it is found to be contradicted by observation, well, these experimentalists do bungle things sometimes. But if your theory is found to be against the second law of thermodynamics I can give you no hope; there is nothing for it but collapse in deepest humiliation.
Entropibegrebet side 3 Sadi Carnot ( 1796-1832 ) viste, at den maximale nyttevirkning af en termodynamisk maskine, der udfører arbejde, ved at flytte energi fra et varmt til et koldt reservoir - det kunne være dampkredsløbet i et kraftværk, er givet ved: NB: T er den absolutte temperatur, [ T ] = K Nyttevirkningen stiger altså med stigende temperaturforskel, og hvis vi kan hæve den høje temperatur virlkårligt, 3 kan vi nå en nyttevirkning vilkårligt nær en. Formlen viser også, at nyttevirkningen aldrig kan blive større end en. Mikroskopisk definition af Entropi Med den kinetiske molekyleteori får vi en mikroskopisk teori for gasser og en udledning af idealgasligningen ud fra Newtons anden lov. James Clark Maxwell ( 1831-1879 ), Ludvig Boltzmann ( 1844-1906 ) og andre undersøgte molekylernes hastighedsfordeling, og Boltzmann knyttede entropien til spredningen i hastighedsfordelingen. På Boltzmanns gravsten står hans definition af entropi: S = k ln(ù) hvor k er kendt som Boltzmanns konstant og W er det mulige antal konfigurationer for systemet - forklaring følger. Betragt en todelt beholder, der indeholder to molekyler. Mulige Konfigurationer Ù S/k (1&2;tom) 1 0 (tom;1&2) 1 0 (1;2) (2;1) 2 ln(2) Bemærk, at den nederste mulighed er dobbelt så sandsynlig som de to andre, og at den også har den højeste entropi. Hvis begge molekyler til start befinder sig i den ene side, og vi lader systemet udvikle sig frit (spontant), vil det mest sandsynlige resultat af en senere måling være et molekyle i hver halvdel. Det er helt i overenstemmelse med vores hidtidige fortolkning af 2. hovedsætning: Systemer søger mod den mest sandsynlige konfiguration, som også er konfigurationen med størst entropi. 3 Se eventuelt opgaverne: Kraftværks nyttevirkning og Køleskabs nyttevirkning.
Entropibegrebet side 4 Vi fylder nu to molekyler mere i beholderen. Mulige Konfigurationer Ù S/k 1 0 1 0 (1+2;3+4),(1+3,2+4), (1+4;2+3),(2+3;1+4), (2+4;1+3)&(3+4;1+2) 6 ln(6) 4 ln(4) 4 ln(4) Efterhånden som antallet af molekyler stiger, bliver den relative sandsynligheden for skæve fordelinger mindre. Har vi molekyleantal af størrelsesordenen Avogadros tal, kan man vise, at selv meget små afvigelser fra ligevægtsfordelingen er meget usandsynlige. Når vi taler om termodynamisk ligevægt, mener vi, at systemet har antaget sin mest sandsynlige konfiguration - entropien har antaget et maximum. Ligesom den mest sandsynlige rumlige fordeling af en gas kan beregnes, kan man finde den mest sandsynlige hastighedsfordeling hørende til en bestemt indre energi og en bestemt temperatur. Makroskopisk behandling af gasser; for eksempel indførelse af størrelsen temperatur, giver kun mening, fordi molekylerne i de gasmængder, vi normalt har med at gøre, hurtigt indtager ligevægtsfordelingen ( termodynamisk ligevægt ), hvor middelværdien af den kinetiske energi ( og dermed temperaturen ) kun udviser meget små fluktuationer. Entropi og Information - Maxwells dæmon Dæmonen, der er vist på første side, åbner døren, hver gang et molekyle kommer mod døren fra den modsatte side. Derved samles molekylerne efterhånden i dæmonens halvdel, og systemets entropi falder. Da dæmonens energiforbrug kan tænkes vilkårligt lille, krænkes termodynamikkens anden hovedsætning. Maxwell brugte eksemplet til at vise, at termodynamikkens love kun har statistisk mening. De kan ikke forliges med detailkendskab til det enkelte molekyles bevægelse. Det er selvfølgelig filosofisk utilfredsstillende, ikke mindst når man tænker på, at dæmonen blev født, mens den statistiske mekanik var et varmt emne indenfor fysikken. Dæmonen blev derfor ved med at spøge, og den lever stadig i en alder af cirka 160 år. Dog er den forvandlet fra en lovbryder til en pædagog, der bidrage glimrende til belysning af entropibegrebets indhold. Dæmonen blev første gang for alvor lagt i graven i 1929, hvor Leo Szilard offentliggjorde sine tanker om sammenhængen mellem entropi og information. Szilard deltog for øvrigt også i Manhattan projektet og var initiativtager til Einsteins brev til USA s præsident, hvor han opfordrede denne til at komme Nazityskland i forkøbet med udviklingen af kernevåben. Ideen om en sammenhæng mellem entropi og information ligger ikke fjernt. Betragt for eksempel de fire molekyler i et todelt volumen. Hvis der er to molekyler i hver halvdel kan vi intet sige om, hvor det enkelte molekyle befinder sig. Hvis der er tre molekyler i venstre halvdel og et i højre, så er sandsynligheden tre gange så stor for, at et givet molekyle er i venstre halvdel. Vi ved altså en del mere om det enkelte molekyle. Hvis alle molekyler er i den ene halvdel, ved vi alt om det enkelte molekyles placering. Vi ser ved sammenligning med beregningerne i det foregående, at lavt informationsindhold svarer til høj entropi - og omvendt. Når vi rydder op i vores hjem nedbringer vi godt nok entropien ( de færreste tilstræber en ligefordeling af deres egendele ) men til oprydningen hører information - vi registrerer, hvor tingene er og sammenligner med hukommelsens information om, hvor de burde være. Denne informationbehanling producerer en entropi, der er større eller lig reduktionen ved oprydningen, så 2. hovedsætning er opfyldt. Szilards maskine
Entropibegrebet side 5 Szilard betragtede følgende termodynamiske maskine, der ved første øjekast er en type 2 evighedsmaskine. En beholder i kontakt med et reservoir med temperatur T indeholder et molekyle. Et stempel anbringes midt i beholderen. Vi måler så, i hvilken halvdel molekylet befinder sig. Denne information beløber sig til en bit. Vi kan for eksempel lade nul betyde venstre halvdel og en - højre halvdel. Stemplet er forsynet med to stempelstænger, og vi benytter informationen til at lade højre stang udføre arbejde, hvis molekylet befinder sig i venstre halvdel og omvendt. Vi lader nu gassen ekspandere isotermt, altså så langsomt at der overføres energi fra reservoiret til gassen i samme takt som gassen udfører arbejde på omgivelserne. Reservoirets entropiændring beregnes ved brug af idealgasligningen: idet gassen ekspanderer fra at fylde halvdelen af volumnet til at fylde hele beholderen. Reservoiret mister energien dw, når gassen udfører arbejdet dw. Kombination af ligningerne giver: Efter ekspansionen fjernes stemplet, og gassen er tilbage i sin oprindelige tilstand. Gassens entropi er således uændret. I første omgang ser det altså ud til, at den samlede entropi er faldet. Men Szilard foreslår så, at det skal koste en entropitilvækst på k ln(2), at opnå en bit information. Herved redes anden hovedsætning. Og helt urimelig er værdien ikke, når vi husker på Boltzmanns definition: Her er Ù antallet af konfigurationer, som er to for en bit. Szilards artikel førte foruden en heftig debat også til informationsteoriens fødsel. Normalt gøres Shannon til informationsteoriens fader, eftersom han i 1949 introducerede informations entropi i forbindelse med analyse af informationsstrømme som for eksempel kryptering. Siden har entropi spillet en rolle i den dengang nye 4 computer-videnskab. 4 Se eventuelt opgaven Processorentropi.
Entropibegrebet side 6 Opgave 1 kraftværks nyttevirkning Betragt den termodynamiske maskine, der udgøres af dampkredsløbet på Asnæsværkets blok 5. 0 0 Kedeltemperaturen er 1400 C og havvandets middeltemperatur sættes til 10 C. Med kullet tilføres en effekt på 1549.9 MW og der produceres 649.9 MW elektrisk effekt. Beregn værkets nyttevirkning. Beregn den maximale nyttevirkning for en termodynamiske maskine, der opererer mellem reservoirer med de aktuelle temoperaturer. Opgave 2 køleskabs nyttevirkning Et køles kan betragtes som en termodynamisk maskine, hvor energistrømmene er vendt i forhold til strømmene i et kraftværk. Nu tilføres der elektrisk energi, og der strømmer så energi fra det kolde til det varme reservoir. Maskinen har imidlertid to nyttevirmninger afhængig af, om den benyttes til køling eller til opvarmning. De maximale nyttevirkninger i overenstemmelse med anden hovedsætning er: Vælg nogle realistiske temperaturer, og beregn de maximale nyttevirkninger. Begrund ved hjælp af figuren, at nyttevirkningen som varmepumpe altid er større end nyttevirkningen som kølemaskine. Opgave 3 ligefordeling versus total skævdeling At beregne antallet af måder at udtage p elementer fra en mængde med n elementer er standard indenfor kombinatorikken. Antallet af måder/konfigurationer kan beregnes på en Ti-83 lommeregner på følgende måde. For eksempel beregnes antallet af måder, at fordele 10 molekyler ligeligt i to skuffer som følger: Tast 10 dernæst MATH PRB 3 dernæst 5 endelig ENTER. På skærmen står resultatet 252. Det er altså 126 gange så sandsynligt, at molekylerne fordeler sig lige, som at de alle ligger i den ene skuffe ( det sidste kan jo ske på to måder ). Foretag en lignende beregning med 100 molekyler. Sammenlign ligefordelingen med en 60/40 deling og andre skævdelinger.
Entropibegrebet side 7 Opgave 4 processorentropi Antag at en computerprocessor producerer entopien k ln(2), hver gang et hukommelseselement skifter tilstand. Lad nu en hukommelse på 1 Mbyte ( en byte er otte bit ) skifte tilstand med en frekvens på 1 Ghz. Entropien antages at svare til energitransport til et reservoir med en temperatur på 300 K. Beregn den effekt, der svarer til processen. Hvor tæt er vor tids computere på grænsen, der sættes af 2. hovedsætning.