Vigtige ting der ikke står i fysikbogen

Vigtige ting der ikke står i fysikbogen Ja, Albert. Der er meget i fysikken vi ikke forstår Helt enig, Niels. Giver kvantemekanikken f.eks. en fuldstændig naturbeskrivelse? Og hvordan udledes J=A* v? Senere Du virker så selvsikker i dag, Albert Ja, kære Niels. Jeg har lige læst Vigtige ting der ikke står i fysikbogen Supplerende noter til Fysik A Ole Sørensen, august 010

fysik, (af lat. physica, af gr. physika 'de ting, som vedrører naturen', af physis 'natur' og -ik), erfaringsvidenskab, som i et samspil mellem teori og observation søger at opstille et sæt almene naturlove, der kan formuleres i matematikkens sprog. Den Store Danske encyklopædi. www.denstoredanske.dk Indhold: Betydende cifre... Om at løse fysikopgaver... Om differentialkvotienter i matematik og fysik...4 Om at turde differentiere...4 Strømning J = A v...5 Intensitet og effekt...6 Bevægelse med konstant acceleration...6 Bevægelse med gnidningsmodstand, luftmodstand og viskøs gnidning...7 Alternativ behandling af harmonisk svingning...8 Numerisk løsning af differentialligninger. Hvordan regner Modellus...9 Kraftens arbejde for viderekomne...10 Kraftens effekt...10 Bevægelsesmængde og kraftens impuls...11 Kinetisk molekylteori...1 Opstilling af modeller i fysik...15 Eksempel på modellering...16 Billeder Side 1 øverst: Findes i Niels Bohr arkivet. Billedet til venstre viser Niels Bohr og Albert Einstein i 195. Til højre ses de ved en fysikkongres i 190. Taleboblerne er ikke med på originalbillederne! Side 1 nederst: Kilde uken Side nederst: Kenneth M. Sweczy: Sjov fysik Side 7 nederst: Tuborg bryggeri. Fra dengang man kunne lære noget af at drikke øl. Side 8: C. Claussen: Fysik 1 opgavesamling. Odense Universitet 198. Side 10: Fysik i overblik samt Fysik for.g. Side 11: UVM: Vejledende opgavesæt i fysik A, 007. Øvrige figurer: OS Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side af 16

Betydende cifre Når man i fysik opgiver et resultat som en talværdi, forventer læseren, at usikkerheden ligger på det sidste ciffer. Hvis jeg for eksempel opgiver en temperatur til 7,4 0 C, er det muligt at den sande temperatur var 7, 0 C eller 7,5 0 C, men ikke 8 0 C. Hvis jeg i stedet skrev 7,40 0 C, har læseren ret til at forvente, at den sande temperatur kunne være 7,9 0 C eller 7,41 0 C, men ikke 7,5 0 C. For at leve op til læserens (f.eks censors) forventninger, skal vi altså afrunde resultater til et passende antal cifre. Vi taler om antallet af betydende cifre. Således har,14159 6 betydende cifre,14 4 betydende cifre 1 betydende ciffer 0,00 1 betydende ciffer 0,0014 betydende cifre,1 10 6 betydende cifre 100000 7 betydende cifre Et resultat, der er fremkommet ved at regne på to eller flere opgivne tal, afrundes så antallet af betydende cifre svarer til det af de opgivne tal, der har færrest betydende cifre. Eksempel:,14159654*6,0=18,9 og ikke 18,918777. Antallet af betydende cifre i resultatet bør også afspejle de antagelser, vi har gjort under løsning af opgaven. Hvis vi regner på et faldskærmsspring, hvor vi antager at vi ser bort fra luftmodstand, giver det ikke mening at angive sluthastigheden med betydende cifre, selv om de opgivne data måske er givet med betydende cifre. En kæde er aldrig stærkere end det svageste led. Om at løse fysikopgaver 1. Det er som regel en god ide at starte med at lave en lille tegning for at få overblik over problemstillingen. Tegningen skal ofte laves alligevel - se senere.. På tegningen skrives kene oplysninger ind. Oplysningerne omformuleres fra opgavens prosaform til en ligning. For eksempel omformes "Trykket er 1, atm" til ligningen p = 1,atm. Det letter kommunikationen, hvis du benytter standardsymboler, f.eks p for tryk, U for spænding osv.. Skriv benyttede formler såvel med symboler som med indsatte talværdier. 4. Nogen gange er det nødvendigt at skelne mellem flere værdier af en fysisk størrelse, f.eks. temperaturen ude og inde. Det gøres med velvalgte indices, f.eks T inde og T ude. Husk at forklare betydningen af de forskellige størrelser og indices. 5. Ved løsningen af en opgave er det ofte nødvendigt at gøre forenklende antagelser. Man kan ikke altid regne med, at disse antagelser er anført i opgaveteksten. Det er derfor en del af opgavebesvarelsen at vælge en hensigtsmæssig model for den situation, opgaven beskriver. En god besvarelse er blan andet karakteriseret ved, at antagelserne begrundes, og at modellens begrænsninger diskuteres. 6. Med til besvarelsen hører en forklaring i tekst og figurer (der kom den!) og/eller grafiske afbildninger, en begrundelse for, hvilke formler der er anven, samt hvad de forskellige symboler står for. 7. I nogle spørgsmål bliver du be om at forklare et fænomen eller et resultat. Det er vigtigt, at denne forklaring formuleres i et go sprog. 8. Grafer skal naturligvis være forsynet med overskrift, benævnelser og enheder på akserne. Graferne skal altid kommenteres. 9. Kontroller at alle regneresultater er forsynet med enheder og afrundet til et passende antal betydende cifre Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side af 16

10. Opgaverne skal afleveres på den aftalte ugentlige afleveringsdag. Forsinkelser accepteres ikke! Til gengæld vil jeg normalt kunne levere de rettede opgaver tilbage den følgende fysiktime. 11. Gem dine fysikopgaver på et let tilgængeligt sted. Brug dem som opslagsværk. Det du har lært i ét opgavesæt skal ofte bruges i de følgende sæt. Om differentialkvotienter i matematik og fysik I matematik skelner man omhyggeligt mellem differenskvotienter og differentialkvotienter. For eksempel skrives df f f ' = = lim x 0 ( ) dx x De to brøker betyder forskellige ting. I fysik tager man oftest lettere på formalismen og skriver eller d i flæng. Man skelner ikke mellem en lille tilvækst x og den infinitesimale størrelse dx. Desuden skriver man ofte differentialkvotienten df/dx i stedet for f. Så kan man se, om der differentieres med hensyn til tid t, sted x eller noget helt tredje. Om at turde differentiere Vi husker sammenhængen mellem temperaturstigning og tilført varme Q=m c T= m c (T-T 0 ) T er den aktuelle temperatur, T 0 er starttemperaturen. Hvis dén gælder, gælder den også, hvis vi differentierer: dq d( T ) dt dt = m c = m c 0 Sidste lighedstegn gælder fordi T 0 er konstant og giver 0 ved differentiation. dq/ er den tilførte effekt, som vi plejer at kalde P. Der gælder derfor at den tilførte effekt er lig varmekapaciteten (m c) gange temperaturstigningen pr. tid (dvs. den hastighed temperaturen stiger med) P = m c dt = C dt dt = m c Eksempel: Vi ser på en gryde vand med varmekapacitet C=m c=5,0 kj/ 0 C. Hvis der tilføres energi med effekten P=,0 kj/s=,0kw, stiger temperaturen med T =0,40 0 C/s Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 4 af 16

Strømning J = A v Udledning af strømningsligningen J = A v (Volumenstrøm = tværsnitsareal * vandets hastighed) Vi forestiller os et rør med tværsnitsareal A. Gennem røret strømmer vand med hastigheden v. For nemheds skyld antager vi at hastigheden er den samme over hele rørets tværsnit. Vi ser nu på det volumen vand, der passerer et tværsnit ved B i løbet af et tidsrum t. I løbet af dette tidsrum passerer alt vand i et stykke rør med længde L = v t forbi tværsnittet. Vandmolekyler der ved tidsrummets start befan sig tæt på B vil passere tværsnittet i begyndelsen af tidsrummet, mens vandmolekyler, der i starten var langt fra B, først vil passere i slutningen af tidsrummet. Det samlede vandvolumen der passerer findes som længde tværsnitsareal: V = L A = v t A. Volumenstrømmen fås ved at dividere med tidsintervallets længde: V v A t J = = = A v t t Vi fan altså den ønskede formel. I det - mere realistiske - tilfælde hvor strømhastigheden varierer hen over tværsnittet går man frem således: Tværsnitsarealet inddeles i mindre arealer, hvor hastigheden er konstant inden for hvert af de mindre arealer. Hvis vi for eksempel kan opdele i mindre arealer A 1, A og A, hver med sin hastighed v 1, v og v, kan vi finde hvert areals bidrag til volumenstrømmen: J 1 = A 1 v 1 og tilsvarende. til sidst lægges de tre bidrag sammen til den samlede volumenstrøm: J = J 1 + J + J = A 1 v 1 + A v + A v Jo flere små arealer desto mere nøjagtig bliver vurderingen af volumenstrømmen. Men måle- og beregningsarbejdet bliver tilsvarende større. I matematik og datalogi er udviklet systematiske metoder til beregning af sådanne summer. Massestrøm og volumenstrøm Hvis der pr tidsenhed strømmer et volumen V af et stof med densiteten ρ fås massestrømmen dm m V = = ρ = ρ J t t Dvs. massestrømmen fås som volumenstrøm gange densitet. Eksempel I en flod med tværsnitsareal A=5m løber vandet med hastigheden v=m/s. Volumenstrømmen er J=v*A = m/s*5m = 15 m /s Da vandets densitet er 1000 kg/m er massestrømmen dm/ = 15000 kg/s Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 5 af 16

Intensitet og effekt Intensiteten af stråling urykker hvor stor effekt der rammer en arealenhed: I = P/A. Eller P = I A. SI-enheden for intensitet er W/m Bevægelse med konstant acceleration For bevægelse med konstant acceleration a gælder som beken s(t) = ½ a t + v 0 t + s 0 v(t) = a t + v 0 Når startpositionen er lig 0 og når starthastigheden også er 0 kan ligningerne forenkles til s(t) = ½ a t v(t) = a t Ved at eliminere t kan vi let nå frem til sammenhængen v = a s Det kræver li mere arbejde at vise den mere generelle formel v v 0 = a (s s 0 ) Formelen er vist ikke nævnt i FysikABbogen, men står i Fysik i overblik side 17. Prøv for øvelsens skyld at vise formelen. Start med at vise v = a s. Eksempel Graferne viser hastigheden for en bil. Bilen kører med farten 0 m/s (=7 km/h). Til t=0 begynder bilen at bremse med en acceleration a= - 4,0 m/s Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 6 af 16

Bevægelse med gnidningsmodstand, luftmodstand og viskøs gnidning I de fleste eksempler i fysikbogen ses der væk fra gnidning, luftmodstand og lignende. Fordelen er, at ligningerne er lettere at løse. Til gengæld er modellerne ikke så realistiske. Hvis vi skal tage hensyn til gnidning og luftmodstand er der typiske situationer: a. Gnidning mod underlag. F modstand =µ F normal b. Modstand proportional med hastigheden F modstand =-k v c. Modstand proportional med kvadratet på hastigheden F modstand =-k v a. Gnidning mod underlag. Se Fysik i overblik side og FysikABbogen 1 side 78. Normalkraften er reaktionskraften fra underlaget vinkelret på underlaget. µ er gnidningskoefficienten. Bemærk at µ F normal angiver den største værdi af gnidningskraften. Hvis genstanden ligger stille, er gnidningskraften 0 ellers ville genstanden jo begynde at accelerere spontant! I opgaver regnes normalt med at µ er konstant. I virkeligheden aftager µ li med hastigheden. Sammenhængen F modstand =µ F normal kaldes Coulombs gnidningslov. b. Modstand proportional med hastigheden. Optræder oftest ved genstande, der bevæger sig med lav hastighed i forholdsvis tyktflydende medier. For eksempel en kugle, der falder ned gennem et glas med olie eller en blodcelle, der bevæger sig i en blodåre. Bevægelsen skal være så langsom, at der ikke opstår turbulens. For en kugle med radius r der bevæger sig med en væske med viskositet η gælder med tilnærmelse Stokes lov: F modstand =-6 π r η v Eksempel: For en stålkugle med radius r=1,0 mm=1,0 10 - m der falder gennem vand med viskositeten η=1,0 10 - Ns/m vil k=6 π r η = 1,9 10-5 N/(m/s) Falder kuglen med hastigheden v=0,1m/s vil gnidningskraften være 1,9 10-6 N Til sammenligning vil tyngdekraften på kuglen være ca.,1 10-4 N c. Modstand proportional med kvadratet på hastigheden. Se Fysik i overblik side. Den type luftmodstand, der optræder hyppigst i opgaver. Optræder ved genstande, der bevæger sig med høj hastighed gennem luft. For eksempel en bil der kører på en motorvej. Her opstår turbulens i luften omkring bilen Med god tilnærmelse gælder F luft = -½ c w ρ A v Bemærk fortegnet, der ikke nævnes i Fysik i overblik. Luftmodstanden er naturligvis modsat rettet bevægelsesretningen. c w er formfaktoren, der er et uryk for, hvor strømlinet genstanden er. For en Ford T er c w ca.0,8, mens den for en moderne personbil er nede på ca. 0,. Til slut skal bemærkes, at det er vanskeligt at opstille en generel teori for gnidningskræfter. De nævnte formler gælder ofte kun med tilnærmelse. I eksemplet med kuglen, der falder gennem vand, vil modstanden for små hastigheder være proportional med hastigheden. Efterhånden som hastigheden øges, bliver modstanden efterhånden proportional med hastigheden i anden. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 7 af 16

Alternativ behandling af harmonisk svingning I FysikABbogen side 16-17 behandles harmonisk svingning. Fremgangsmåden er her at antage at bevægelsen er sinusformet y(t)=a sin(ω t). Derefter udledes, at den resulterende kraft så må følge Hookes lov F= - k y. Fremgangsmåden er formentlig valgt af pædagogiske grunde. Problemet er, at fremgangsmåden ikke er typisk for løsning af fysikproblemer i det virkelige liv. Vi står sjældent med et uryk for stedfunktionen. Langt oftere har vi et uryk for den resulterende kraft, som vi så må arbejde med for at finde stedfunktionen. Vi vil nu vise, hvordan man kan gribe problemet an: Som konkret genstand vælges et lod med masse m ophængt i en fjeder med fjederkonstant k (figur 4.1 b side 16). Vi starter med at se på alle de enkeltkræfter der virker på loddet. Der er tyngdekraften F t =mg og fjederkraften F fj =-k y. Den samlede kraft (resulterende kraft) er F= mg ky Når fjederen hænger ubelastet, er den i ligevægt med dens nederste punkt ved 0 på figuren. Når loddet med masse m hænger i fjederen, er endepunktet ved y 0. y 0 betegner den nye ligevægtstilling. Det ses let at y 0 = m g/k. Strækkes eller sammenpresses fjederen i forhold til y0, følger af Hookes lov at den resulterende kraft vil være F= - k (y-y 0 ) = - k x Vi har her sat x= y-y 0 Sammenlign diskussionen i øvelse 4. side 19-0. Nu benytter vi Newtons. lov F=m a = m d x/ : m d x = k x d x k Ligningen omskrives oftest til + x = 0 m Her er tale om en differentialligning, dvs. en ligning mellem en funktion ( her x(t) ) og funktionens afledede. Nærmere betegnet er det en anden-ordens lineær differentialligning. Løsning af denne type ligning er ikke kernestof i Matematik A (og det er nok derfor forfatterne til fysikbogen ikke bruger denne metode). Man kan vise at den fuldstændige løsning til differentialligningen er (se. f.eks Carstensen og Frandsen MAT A. Systime 1999) x(t)=c 1 cos(ω t) + c sin(ω t) k Her er ω =, dvs samme betydning som i fysikbogen side 17. m c 1 og c er konstanter, der afhænger af begyndelsesbetingelserne. Er partiklen for eksempel til tiden 0 i x=0, svarende til ligevægtstillingen y 0 vil c 1 =0 (da cos(0)=1 og sin(0)=0 ) c vil da være svingningens amplitude, og vi kan skrive x(t) = A sin(ω t) ganske som (4.1) side 16. Min fremgangsmåde illustrerer hvordan man generelt kan løse bevægelsesproblemer: a. Find samtlige enkeltkræfter på genstanden b. Vælg eventuelt et smart koordinatsystem at beskrive bevægelsen i. c. Opskriv Newtons. lov d. Man har nu en differentialligning, som man skal forsøge at løse e. Desværre er der kun få simple tilfælde, hvor man kan slå løsningen til differentialligningen op. I stedet løser man ligningen numerisk med Modellus eller et andet værktøjsprogram. En numerisk løsning vil sige, at løsningen ikke findes i form af en funktionsforskrift men i form af tal i en tabel eller som en graf. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 8 af 16

Numerisk løsning af differentialligninger. Hvordan regner Modellus Vi vil meget kort illustrere princippet i numerisk løsning af ligninger. På figuren til højre er med blåt vist grafen for en eller anden funktion. Faktisk er det f(x)=x, men vi leger at den er uken. Faktisk lader vi som om det eneste vi kender til funktionen f er f(1)=1 og f (1)=. Den blå graf er altså uken. Tangenten i punktet (1,f(1)) er tegnet med rø. Lad os sige, at vi ønsker at finde f(1,5). Som beken (ellers se MAT A side 105) er tangentens ligning y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) Indsætter vi det kene heri, får vi y = 1 + (x 1) = x 1 Indsættes x=1,5 i tangentligningen fås y=,0 Vi kan altså forudsige at f(1,5),0. Den korrekte værdi er jo y=(1,5) =,5, så det er kun ca. 11% galt. Men træerne vokser som beken ikke ind i himlen. Prøver vi at beregne f() giver tangentmetoden y=,0 mens den sande værdi er 4,0. 5% galt! Det fremgår klart, at tangentmetoden virker bedst tæt på udgangspunktet. Skal vi regne videre frem fra x=1,5 går vi ud fra vores tilnærmede funktionsværdi y=,0 (vi har jo ikke bedre). Desuden skal vi kende f (1,5). Faktisk skal vi kende f for et vilkårligt x. Men det har vi forhåbentlig en differentialligning til at fortælle os. I eksemplet herover er det y = x. Hvordan virker det i fysik? I fysik kender vi som regel en differentialligning, nemlig Newtons. lov, der giver sammenhæng mellem accelerationen a=y og den samlede kraft F. F afhænger typisk af sted og hastighed, dvs. af y og y. Eksempel: Harmonisk svingning m y = - k y Fald med luftmodstand: m y = m g a v Ligningerne skrives ind i et værktøjsprogram, f.eks. Modellus. Et lille problem er, at Modellus kun kan hånere 1. ordens differentialligninger, hvor Newtons lov giver en. ordens differentialligning. Løsningen er at skrive én. ordens differentialligning som to 1. ordens ligninger. Vi tager eksemplet fald med luftmodstand: y = g a/m v omskrives til v = g a/m v y = v I Modellus ser det ud som vist til højre Husk at bruge Rate Of Change-knappen til at skrive differentialkvotient med: Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 9 af 16

Kraftens arbejde for viderekomne Det fysiske begreb arbejde er behandlet i FysikABbogen 1 side 15-156. Siden I læste teksten, er jeres matematiske færdigheder forøget en del. Der er derfor god grund til at vende tilbage til arbejdsbegrebet. Det er kun den del af kraften parallelt med bevægelsesretningen, der bidrager til arbejdet. Det kan sammenfattes i formlen: A = F s cos(θ) hvor θ er vinkelen mellem kraft og bevægelsesretning. Figur fra formelsamling s. 19. Med brug af begrebet skalarprodukt, ken fra vektorregning, kan det også skrives A = F s Men stadigvæk gælder formlen kun så længe kraften er konstant og vejen ret. Hvis kraften varierer, inddeles vejen i en masse små delstrækninger, hvori kraften er (næsten) konstant indenfor hver del. Det lille arbejde, kraften udfører i en lille delstrækning s er A = F s Figurer til højre (fra Fogh og Nielsen Fysik for.g, HAX, 1996) viser princippet. Vejen i alt 80 m er inddelt i 8 delstrækninger af længde s=10m. For hver delstrækning er tegnet en søjle, hvis højde er gennemsnitskraften i den pågældende delstrækning. Det samlede arbejde findes naturligvis ved at lægge alle de små bidrag sammen. Jo mindre de enkelte delstrækninger er, desto tættere kommer summen på arealet under (s,f)-grafen. Og i matematik lærer I, at dette areal svarer til integralet af F: A = s s1 F( s) ds (Formelsamlingen side 19) Kraftens effekt Vi husker at effekt P er den hastighed, hvormed der omsættes energi E d d ds P = = ( A) = ( F s cos( θ )) = F cos( θ ) = F v cos( θ ) t Kraftens effekt er altså lig kraft gange hastighed gange cosinus til vinklen mellem kraft og bevægelsesretning. Se formelsamlingen side 0. Den li skitseprægede udledning bygger på at F og cos(θ) er konstante faktorer og at v=ds/. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 10 af 16

Bevægelsesmængde og kraftens impuls I FysikABbogen side 55-56 behandles begrebet bevægelsesmængde eller impuls: p = m v Det understreges at Newtons. lov kan skrives på en meget generel form dp F = Altså som impulsen differentieret med hensyn til tiden. Med den for fysikere så løsagtige omgang med differentialregning (sammenlign ovenstående udledning af kraftens effekt) springer forfatterne straks til urykket p=f t. Med kendskab til li integralregning kan vi bringe formlen på li mere sikker grund, og i tilgift få en væsentlig bonusoplysning. Vi integrerer urykket for Newtons. lov på begge sider af lighedstegnet: dp dp F = F = Højre side er jo tilvæksten af en stamfunktion til dp/, altså impulsændringen p. Venstre side er arealet under en (t,f)-graf. Vi har altså p = arealet under (t,f)-graf Denne sammenhæng antydes i figur.. side 56 i FysikABbogen, men uddybes ikke. Den står heller ikke klart i formelsamlingen, men kan optræde i skriftlige eksamensopgaver. Se f.eks. Vejledende opgavesæt 1 opgave 8 (side 7 i Opgavesamlingen), hvorfra figuren til højre er hentet. Arealet under kurven er lig boldens tilvækst i bevægelsesmængde (impuls) Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 11 af 16

Kinetisk molekylteori I dette afsnit vil vi udlede en formel for den kinetiske energi af en ideal gas: E kin = n R T Ideal gas en model af en virkelig gas. - Gasmolekylerne selv udgør en forsvindende del af hele gassens volumen - Gasmolekylerne støder elastisk sammen med hinanden og med væggene. Molekylerne klistrer altså ikke sammen - Det betyder at den samlede kinetiske energi af alle gasmolekylerne er konstant. - Molekylerne bevæger sig tilfældigt run mellem hinanden i alle mulige retninger. - Der er en vis fordeling af molekylerne hastigheder og dermed deres kinetiske energier. Således er der en lille del meget langsomme molekyler og en lille del meget hurtige molekyler (dvs med meget høj energi) - Gassen kan beskrives tilfredsstillende ved de makroskopiske størrelser tryk, p, temperatur, T, volumen, V og stofmængde, n. - Der gælder tilstandsligningen (idealgasloven) p V = n R T R er en konstant, gaskonstanten, uafhængig af hvilke gasmolekyler der er tale om. For at nå frem til urykket for gassens energi, gør vi nogle regnetekniske antagelser: - Gasbeholderen er kasseformet - Gassen består af N éns molekyler, hver med masse m. - Alle molekyler har samme fart v - Molekylerne bevæger sig kun i enten x-, y- eller z-retningen - 1/ af alle molekyler bevæger sig langs hver akseretning. Vi ser nu på den tredjedel af molekylerne, der bevæger sig i x-retningen. En gang imellem støder et af disse molekyler mod en af kassens vægge, der har arealet A. Kassens længde i x-retningen kaldes h. 1) Når et molekyle støder mod væggen, ændres dets impuls (bevægelsesmængde) fra p før = m v til p efter = - m v. molekylets impulsændring er derfor ) p = p efter - p før = -m v m v = - m v ) Væggens impulsændring er det samme, men med modsat fortegn. 4) Molekylet bevæger sig jo frem og tilbage mellem to vægge. Tid mellem molekylets stød mod den ene væg kaldes t. Der gælder: h = v t <=> t = h/v 5) Antal molekyler der kan ramme A er ⅓N. Alle disse ⅓N molekyler vil i løbet af tiden t støde mod væggen ved A 6) Samlet impulsoverførsel til væg: p væg = antal impulsoverførsel pr molekyle p væg = ⅓N m v 1 p N mv 7) Kraft på væg ifølge Newtons. lov: Fvæg = = t t Fvæg N m v 8) Tryk på væg p = = A A t Bemærk at p nu betyder tryk og ikke længere betyder impuls. 1 9) Ved at udnytte at t = h/v kan trykket omskrives til p = N ( 1 mv ) A h Da beholderen er kasseformet, er dens volumen V=A h som ses i nævneren. I tælleren genkendes den kinetiske energi af molekylet. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 1 af 16

10) Formlen kan derfor skrives p V = N Ekin 11) Venstre side genkendes fra idealgasloven (pv=nrt) Heri indgår gaskonstanten R=8,1J/(mol K). R Vi indfører nu Boltzmanns konstant k B som k B = N Hvor N A =6,0 10 mol -1 er Avogadro konstanten. I SI enheder er k B =1,8 10 - J/K N 1) Vi bruger nu den fra kemi velkene (?) sammenhæng n = (stofmængde i mol = antal molekyler divideret med Avogadro konstanten) på idealgasloven: p V = N k B T. Og sætter højre side lig højre side af ligningen fra 10) : N k B T = N E kin der omskrives til et uryk for den kinetiske energi af et gasmolekyle: E kin = k B T 1) Vi antog jo at alle molekyler bevæger sig med samme fart. Derfor er urykket E kin = k B T A N A også lig med middelværdien af den kinetiske energi. Den opmærksomme læser kan nu med rette spørge om hvad den middel-kinetiske energi så er af et molekyle i en virkelig gas. Svaret er overraskende nok: det samme! Middelværdien af den kinetiske energi af et gasmolekyle. < > betyder middelværdi < Ekin >= k B T I en gas med N molekyler er den samlede energi Ekin = N k B T = R T Energien af en gas er altså proportional med temperaturen (målt i K). En tilsvarende formel gælder i øvrigt også for væsker og faste stoffer, når der ikke sker smeltning, fordampning eller andre faseovergange. Sammenlign den velkene formel for energitilførsel ved opvarmning: Q=C T. Formlen giver desuden en begrundelse for valget af nulpunkt i Kelvin-skalaen: Ved 0 K er molekylernes kinetiske energi 0 de ligger stille. Normalt er den kinetiske energi den eneste væsentlige energiform, når vi taler om en gas. I meget store gasmængder, som for eksempel i stjerner, må vi dog også tage hensyn til potentiel energi. Eksempel 1,0 mol helium fylder ca. 4 L ved normalt tryk og temperatur, dvs p=1 bar og T=0 0 C=9 K. Den kinetiske energi: E kin = / 1,0 mol 8,1 J/(mol K) 9 K =,65 kj. Varmekapaciteten er C = /n R = 1,5 J/K Her er ikke taget hensyn til at gassen udvider sig ved opvarmning. Derved udfører gassen et arbejde på omgivelserne, hvilket betyder at varmekapaciteten bliver li større. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 1 af 16

Man kan undre sig over at vi, trods de meget voldsomme antagelser vi indførte, alligevel kommer frem til et korrekt resultat. Inden for statistisk mekanik, den gren af fysik, der beskæftiger sig med systemer, der består af mange partikler, er det imidlertid ret normalt. I min gamle universitets-lærebog i statistisk mekanik hedder det for eksempel: Udsnit fra Donald A. McQuarrie Statistical Mechanics, Harper and Row 1976, p58. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 14 af 16

Opstilling af modeller i fysik Fysik handler dybest set om at finde generelle lovmæssigheder i naturen. Disse lovmæssigheder formuleres helst i form af matematiske modeller. Dvs. et sæt ligninger, der giver sammenhæng mellem relevante variable i modellen Den bedste måde at lære dette håndværk på, er gennem øvelse. Vi skal derfor i de næste fysiklektioner arbejde med to systemer: opvarmning og afkøling af en flamingokasse faldende papirbageforme Gå frem efter følgende arbejdsplan: 1. Definition og afgrænsning af problemet. Hvilket system ser vi på? Hvad vil vi gerne vide noget om?. Opstil en liste med relevante variable for systemet. Evt. opdelt i uafhængige og afhængige variable.. Overvej kvalitativt hvordan systemet forventes at opføre sig. Ofte er der tale om en udvikling i tid. 4. Hvilke generelle lovmæssigheder kender vi om området? F.eks. fra Newtons love, varmelære, atomfysik. 5. Indfør evt. nogle ad hoc hypoteser. F.eks. at gnidningskraften er proportional med hastighedens kvadrat, eller at varmetabet gennem en væg er proportionalt med temperaturforskellen. 6. Til ad hoc hypoteserne er normalt knyttet nogle parametre eller konstanter, som vi ikke har talværdier på. Det bekymrer os ikke på nuværende tidspunkt. Eksperimenterne kan hjælpe os med at fastlægge konstanterne. 7. Opstil en eller flere ligninger der knytter de variable sammen. Ligningerne skal så vi muligt indeholde al den information om vores system, som vi er i besiddelse af. Der vil ofte være tale om differentialligninger, især i systemer, der udvikler sig med tiden. De/de fundne ligning(er) kalder vi for modellen. 8. Gæt på nogle (fornuftige) værdier for de indførte konstanter. 9. Skriv modellen i et computerprogram, der kan løse ligningerne. F.eks. Modellus. 10. Lad programmet regne på modellen. Se på resultaterne. Hvordan passer de kvalitativt med det forventede? Jvfr. punkt 11. Planlæg et forsøg med systemet. Overvejelser: a. Hvilke variable vil vi måle? b. Hvilket måleudstyr har vi til rådighed? c. Hvordan ser vores system ud helt konkret? Hvilke parametre kan vi måle umiddelbart (længde, bredde, højde, diameter, osv.) d. Hvordan skal vi måle (manuelt, computerstyret, måske en kombination)? e. Hvor lang tid forventes målingerne at vare? 1. Lær udstyret at kende. Lav nogle prøveforsøg. 1. Begynd de egentlige forsøg. Husk at notere alt ned til senere brug. 14. Sammenlign de umiddelbare resultater med punkt og 10 ovenfor. 15. Gentag forsøg med ændrede parametre. 16. Overvej hvordan man ud fra forsøgsresultaterne kan få kendskab til de indførte konstanter (jvfr. punkt 6 og 8) 17. Gentag punkt 10 med forbedrede konstanter. 18. Måske skal modellen forbedres. 19. Osv. Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 15 af 16

Eksempel på modellering Vi vil demonstrere arbejdet med fysikmodeller gennem et konkret eksempel: Stålkugle der falder gennem et glas med olie. Numrene svarer til punkterne på forrige side. 1. Kugle af glas eller metal, der falder ned gennem et højt glas med olie. Vi ønsker at kende v(t) og s(t). Kuglen: masse m, radius r, densitet ρ k, acceleration a(t), v(t) og s(t), kræfter Væsken: densitet ρ v, viskositet.. Forventer at farten er 0 når kuglen slippes, herefter vokser farten, idet kuglen påvirkes af tyngdekraften. Der er dog ikke tale om et frit fald, da der er en opdrift samt en gnidningskraft. Gnidningskraften forventes at vokse med farten, så kuglen til sidst opnår konstant fart. 4. Arkimedes lov. Newtons. lov: m a=f T F op -F gnid Fop = m v g, m v er massen af den fortrængte væskemængde. 5. Da olien er tyktflydende, forventes at sluthastigheden er lav. Vi kan så forvente laminar strømning om kuglen, dvs. gnidningskraften er proportional med farten, jvfr. Stokes lov: F gnid = -6 π r η v = - k v 6. m v = ρ v V= ρ v 4/ π r m= m kugle = ρ k 4/ π r 7. Newtons. lov sammen med Arkimedes og Stokes giver en differentialligning for farten: dv m = m g m dv mv = g g m dv = b a v v g k v k m v I den sidste ligning har vi sat b=g (1-m v /m) =g (1- ρ v / ρ k ) og a=k/m=6 π r η/m Ligheden med formel (158) i Matematisk Formelsamling er slående! 8. r =1mm=1 10 - m. ρ v = 800 1000 kg/m ρ k = 500 kg/m (glas) 8000 kg/m (stål) Viskositet η li vanskelig at finde i Databog. Her prøves med 0, Ns/m 9. Matematisk Formelsamling fortæller os umiddelbart at løsningen er v(t) = b/a + c e -at, så vi kan næsten undvære Modellus her. Med begyndelsesbetingelsen v(0)=0 fås at v(t)=b/a (1- e -at ) 10. Men her er Modellus i brug: Vigtige ting der ikke står i fysikbogen. OS 5. august 010 Side 16 af 16