Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer?
Indhold 1. Vejrudsigter 2. Solsystemet 3. Lemminger 4. Fraktaler Overordnet handler det hele om kaos.
Vejrudsigter Matematikken der beskriver vejret har været kendt siden 17-1800 tallet. Det kræver mange beregninger at lave en vejrudsigt Så vejrudsigter er først blevet præcise, da vi fik computere.
Vejrudsigter At lave en vejrudsigt kræver mange målinger af f.eks. temperatur og tryk. Vi har aldrig nok målinger, hvilket giver upræcise vejrudsigter. Men det er ikke problemet! Selv hvis vi har alle målinger, kan vejrudsigten ikke blive præcis.
Edward Lorenz (1917-2008) Amerikansk matematikker, der forsøgte i slutningen af 1950 erne at forudsige vejret med computere. Der sker mærkelige ting, når man går efter kaffe (anekdote).
Sommerfugleeffekten Lorenz opdagede, at en lille ændring i input giver meget store ændringer i resultat. Målinger af f.eks. tryk og temperatur er altid upræcise. Der er endeligt mange decimaler. Så en sommerfugl, der vifter med sine vinger, kan skabe en orkan på den anden side af jorden.
Kaos Lorenz undersøgelse gav anledning til det matematiske studie af kaos. Et kaotisk system er et hvor små ændringer i begyndelsesværdier giver meget store forskelle i resultat.
Solsystemet og trelegemeproblemet Solsystemet opfører sig kaotisk, det går bare meget langsomt. Et klassisk matematisk problem er at beskrive, hvordan tre legemer, der er indbyrdes påvirket af hinandens tyngdekraft, bevæger sig over tid.
Trelegemeproblemt Trelegemeproblemet er blevet løst matematisk. Løst af Karl F. Sundman, finsk matematikker i 1912. Løsningen er dog ubrugelig. Dog har vi igen et kaotisk system. Upræcise målinger giver meget upræcise resultater. Eksempel.
Solsystemet Vores solsystem er meget mere komplekst og det er meget mere vanskeligt at lave beregninger end i trelegemeproblemet. n-legemeproblemet er også løst af Qiudong Wang, kinesisk matematikker i 1991. Løsningen er også ubrugelig. Der er lavet beregninger, der tyder på, at solsystemet står til at miste en planet. Vi ved dog ikke hvilken planet. Eller hvornår?
Lemminger Det er en skrøne at lemminger begår masseselvmord. Disney har gjort meget for at holde liv i denne myte. I virkeligheden har lemminger evnen til at reproducere sig meget hurtigt. F.eks. en forøgelse på 10 gange på en sæson.
Lemminger og logistisk vækst En population af dyr er begrænset af f.eks. mængden af mad. Kaldet bæreevnen. Udviklingen over tid er bestemt af den logistiske differensligning. Der siger, at antallet af individer året efter er givet ved antallet af dyr i år og afstanden til bæreevnen. Der ud over er der et tal, der siger noget om hvor hurtig udviklingen er.
Logistisk vækst Jo større tal, jo hurtigere vækst. Og hvis væksten bliver meget hurtig, har vi kaos. Eksempel
Fraktaler Studiet af fraktaler begyndte med Benoit Mandelbrots (1924-2010) opdagelse af mandelbrotmængden. Tallet 0 udsættes for iterationer vha. Såkaldte komplekse tal (c) z 2 c
Eksempel på iteration af z 2 + c c = 1 4 0 2 + 1 4 1 4 5 16 89 256 2 2 + 1 4 2 + 1 4 + 1 4 Tal c = 1 Tal 0 0 1 4 5 16 89 256 24305 65536 0 2 + 1 1 1 2 + 1 2 2 2 + 1 5 5 2 + 1 26
Mandelbrotmængden Det sorte område er de komplekse tal, hvis størrelse forbliver endelig Resten bliver uendelig store I nærhed af randen skal der en meget lille ændring til for at skifte mellem inden for og uden for mængden.
Mandelbrotmængden Mandelbrotmængden er det der hedder selvsimilær. Dvs. at mønstret gentager sig selv uendelig mange gange. Eksempel på zoom
Fraktaler i virkeligheden
Möbius transformationer
Afsluttende kommentarer Langt de fleste ting i verden er ikke kaotiske Kaos betyder at små ændringer i begyndelsesbetingelser medfører store forskelle over tid. Kaos betyder ikke, at vi ikke ved hvad der foregår. Fraktaler kan opfattes som billeder af kaos. Det er let at lave kaotiske systemer derhjemme.
Links til animationer benytte til fordraget Trelegeme animation: http://www.upscale.utoronto.ca/generalinterest/harrison/flash/chaos/t hreebody/threebody.html Logistisk vækst: http://www.upscale.utoronto.ca/generalinterest/harrison/flash/chaos/l ogisticmap/logisticmap.html Flere animationer: (ikke benyttet http://www.upscale.utoronto.ca/generalinterest/harrison/flash/ Zoom på mandelbrotmængde: http://youtu.be/g_gbwuyuoos Forklaring af mandelbrot mængden og iteration (på engelsk) (ikke benytet) http://youtu.be/ngmrb4o922i Gør det selv kaos http://mit.tv/xniiak