1 Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at I får mulighed for at udvikle modelleringskompetence og derved danne jer et indblik i denne kompetence bliver rustet til at tilrettelægge undervisningsmiljøer/-situationer, hvor elever får mulighed for at udvikle modelleringskompetence får mulighed for at udføre matematisk modellering, samt at afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller. -serien består af disse arbejdskort: 1 Hastigheden af et nervesignal i en arm 2 Body Mass Index 3 Det perfekte fotografi 4 Tagrenden 5 Katteskålen 6 Eksempler fra fysik og astronomi
2 1 Hastigheden af et nervesignal i en arm Hensigten med dette arbejdskort er, at I får mulighed for gennem eksperimenter at opstille en matematisk model I kapitlet så vi på et eksempel på opstilling af en matematisk model til bestemmelse af et nervesignals hastighed i en arm. Udfør eksperimentet på holdet Opstil en matematisk model og vurdér resultatet. (Vink: Brug lineær regression)
3 2 Body Mass Indeks Overvægt er i disse år et stigende problem i store dele af verden. Men hvornår er en person overvægtig? Alle er tilsyneladende enige om, at to egenskaber (der begge kan udtrykkes med tal) må spille ind ved bedømmelsen: Personens vægt og personens højde. Man hvad skal man gøre med disse to tal for at få en slags mål for undervægt, normalvægt og overvægt? Forskellige forslag der kan betragtes som matematiske modeller har gennem tiderne været i spil. Herom handler dette arbejdskort. Hensigten med dette arbejdskort er, at I overvejer forskellige anvendte modeller til beskrivelse af normalvægt og overvægt. I en folder fra Diabetesforeningen kan man læse: Test din risiko for type 2 diabetes 100.000-150.000 danskere har type 2 diabetes uden at vide det. Måske er du en af dem? Hvad er type 2 diabetes Type 2 diabetes er kendt under mange navne: Gammelmandssukkersyge, aldersdiabetes, mild diabetes. Disse navne er misvisende. Type 2 diabetes rammer stadig flere mennesker uanset alder og køn. Type 2 diabetes er en farlig sygdom, men der kan med livsstilsændringer og medicin gøres meget for at undgå alvorlige komplikationer på øjne, kredsløb, nyrer og nerver. Symptomerne på type 2 diabetes er ofte svage. Derfor har du og din læge måske ikke været advaret. Herunder kan du teste, om du er i farezonen med stor risiko for at have type 2 diabetes. Højde og vægtgrænse Trækker du 90 fra din højde i cm, finder du den vægtgrænse, hvor din risiko for livsstilssygdomme generelt øges. Høj risiko for at have type 2 diabetes opstår især ved svær overvægt og visse andre situationer. Når dit BMI (Body Mass Index) overstiger 30, er du svært overvægtig. Det udregnes således: Tag din vægt i kilo. Divider vægten med din højde i meter (fx 1,70) ganget med sig selv. Eksempel: 90 / (1,70 1,70) = 90 / 2,89 BMI = 31,1 Inspireret af dette opslag skal du opstille en matematisk model til bestemmelse af Body Mass Index (BMI).
4 Mål din højde og vægt og udveksl dine målepunkter med resten af holdet. Afsæt målepunkterne i et koordinatsystem med højden ud af førsteaksen og vægten op af andenaksen. Normalt siger man, at vægten passer godt til højden, hvis BMI opfylder 20 BMI 25. Udtryk vægten v vha. højden h, når det oplyses at BMI = 20. Indtegn den tilsvarende graf i det koordinatsystem, hvor du har afsat dine målepunkter. Gør derefter det samme med BMI = 25. Hvad betyder det, når et målepunkt ligger mellem de to grafer? Hvad betyder det, når målepunktet ligger over eller under de to grafer? Ernæringseksperten Lars Okholm har angivet følgende tommelfingerregel til at beregne normalvægten ud fra højden: o Tag højden i cm og træk 100 fra. o Træk derefter 10 % fra. o Træk 3 kg fra for kvinder og 1 kg fra for mænd. Udregn normalvægten for gruppens medlemmer vha. Okholms tommelfingerregel. Afsæt disse "Okholm-punkter" i det koordinatsystem, hvor du har afsat dine målepunkter. Brug forskellige symboler for mænd og kvinder. Tegn en ret linje gennem "Okholm-punkterne" for kvinder og en ret linje gennem "Okholm-punkterne" for mænd. Hvordan passer disse "Okholm-linjer" med målepunkterne og med graferne svarende til BMI = 20 og BMI = 25? For maratonløbere regner man som tommelfingerregel med, at vægten skal være en tredjedel af højden målt i cm. Indtegn den tilsvarende graf. Hvilken kropsbygning har de fleste maratonløbere? Ifølge Diabetesforeningen har man øget risiko for at få livsstilssygdomme såsom diabetes (sukkersyge), hvis vægten er mere end højden i cm minus 90. Tegn den graf, der svarer til, at vægten er lig med højden i cm minus 90. Sammenlign med de grafer, der svarer til BMI på hhv. 20 og 25. efleksion: Det for tiden mest omtalte vægtmål er BMI. Overvej hvilken betydning det kan have, at BMI ikke som Okholm-målet skelner mellem mænd og kvinder. Hvordan skulle denne skelnen i givet fald indarbejdes i BMI? En mandlig bodybuilder med en lav fedtprocent kan sagtens have et BMI over 30. Vil man kalde ham overvægtig? Overvej hvilke betydende faktorer, der ikke er inkluderet i BMI-målet.
5 3 Det perfekte fotografi Hensigten med dette arbejdskort er, at I skal arbejde aktivt med at opstille en matematisk model ud fra et eksperiment I selv udfører, og at I derefter skal validere jeres matematiske model ser, at man kan tage udgangspunkt forskellige steder i matematikken ved opstilling af en matematisk model for det samme eksperiment. Scenen sættes: En fotograf ønsker at åbne en forretning, hvor folk kan komme ind og tage et billede af sig selv, uden at nogen står og kigger. Han har et kamera, der står på et stativ, og det kan skrues op og ned. Fotografen har brug for en måde, hvorpå han kan fortælle kunderne, i hvilken afstand (L) de skal placere kameraet i forhold til det, de skal fotografere. Hvis de fx vil fotografere sig selv i fuld højde, afhænger afstanden af deres højde (h), og hvis de vil lave et portræt, afhænger afstanden af længden af deres hoved. Fotografen ønsker altså at angive en metode, der gør kunden i stand til at placere kameraet, når kunden har målt højden (h) af det, han/hun ønsker at fotografere. A Bemærk, at kameraet har en fast åbningsvinkel A. Din opgave er at beskrive en metode for fotografen, så han skriftligt kan give de nødvendige informationer til sine kunder. Du kan aflevere resultatet som en graf, en tegning, en tabel eller en ligning. Dvs. du skal opstille en matematisk model.
6 Eksperiment: For at indsamle de nødvendige data til at finde en måde at forudsige afstanden, hvis højden af genstanden er kendt, kan du som en»primitiv«model af fotografens kamera bruge paprøret fra en toiletrulle eller køkkenrulle. Du skal også bruge et målebånd. Det anvendte rørs åbningsvinkel antages at være den samme som kameraets. Hvor mange målinger, mener du er det minimale, du kan foretage for at få en rimelig model? Begrund dit svar! Er dine målinger reproducerbare? Validér din model. Hvordan kan du evt. forbedre modellen? Hvordan vil du anbefale fotografen at give kunderne den skriftlige brugsanvisning på anvendelsen af fotografiapparatet: a: som en tabel b: som en graf c: som en ligning d: eller blot forklare det med ord? Begrund dit svar, og lav et forslag til fotografens opslag. Lav selv en brugsanvisning på alle 4 måder, og vurdér hvilken model, der er bedst til hvem. efleksion: Kan man bruge denne modelleringsopgave i folkeskolens ældste klasser? Begrund dit svar. Hvilke kompetencer udover modelleringskompetencen har eleverne mulighed for at udvikle ved at arbejde med denne aktivitet?
7 4 Tagrende et geometrisk modelleringsproblem Hensigten med dette arbejdskort er, at I kommer til at bruge og skabe matematik med et konkret udgangspunkt opstiller en model for en praktisk opgave ser, at flere forskellige modeller kan beskrive samme problem får erfaring med at formidle og vurdere løsninger tænker undervisningsdifferentiering konkret. Til opstilling og vurdering af denne model har du brug for et dynamisk geometriprogram. En kvadratisk plade på 2020 cm skal bruges til at fremstille en tagrende. Pladen skal bukkes, således at der fremkommer en rende med lodrette kanter og et rektangulært tværsnit. Bukningerne skal placeres, så rendens rumfang bliver størst mulig. Løs problemet på flere måder. Dog skal du bruge et dynamisk geometriprogram til mindst én løsningsmetode. Vurdér opgaven. Hvad kan man lære af at løse den på forskellige måder? Forestil dig, at du har en 10.klasse, og at du arbejder ud fra princippet undervisningsdifferentiering. Find en række måder, du kan tænke dig elever i 10. klasse kan gå i gang med opgaven på.
8 Undervisningsdifferentiering med opgaven Når jeg har stillet dem en åben opgave, ved jeg simpelthen ikke, hvordan jeg skal hjælpe dem i gang. Jeg kan jo selv kun bruge formlen, sagde en lærerstuderende, som i en praktik underviste i rumfang i en 8. klasse. At kunne undervisningsdifferentiere forudsætter bl.a., at man kan gå ind på en tankegang, som eleven har kan finde flere indgangsvinkler til en opgave og flere muligheder undervejs kan vurdere, hvad der skal til for at gøre en opgave lettere eller vanskeligere. Det er ikke så ligetil! Det kræver kendskab til den enkelte elev, og det kræver viden om forskellige faglige muligheder. De følgende tre opgaver efterfulgt af de mange løsningsskitser sætter fokus på de faglige muligheder. Sæt jer nogle stykker sammen og se på de løsninger, I allerede har fremstillet. Sammenlign dem og find ud af, hvad I mener elever i 10. klasse skal kunne for at gå ind i de forskellige løsningsmodeller. Inddrag nu flere løsningsmuligheder. Herunder er skitseret en række indgangsvinkler til opgaven, som viser forskellige metoder, lærerstuderende har brugt for at løse opgaven. Nogle af løsningsmulighederne kunne bruges i en 10. klasse andre er på jeres niveau. I nogle af dem anvendes måske matematik, som I ikke alle har mødt før. Se løsningsskitserne igennem og sammenlign med jeres egne forslag. Kan I sætte jer ind i opgaveløserens forslag? Kan I se relationer mellem forskellige løsningsmuligheder? Hvad vil I foreslå en elev i 9.-10. klasse, som siger: Jeg kan slet ikke komme i gang med opgaven? Løsningsskitser 1. Jeg prøver mig frem. Jeg tager et stykke papir, der er 20 cm på hver led. Jeg bøjer 1 cm op i hver side og regner rumfanget ud. Det bliver 11820 cm 3. Sådan fortsætter jeg, til jeg finder det største rumfang. 2. Jeg kalder det ombukkede stykke for x. Så er der 20 2x tilbage til bunden. umfanget bliver derfor 2 ( x) x(20 2 x) 20 400x 40x Nu kan jeg lave en tabel over (x) for forskellige værdier af x: x 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm L umfang 360 cm 3 640 cm 3 840 cm 3 L
9 3. Hvis x = 0, er rumfanget 0. Hvis x vokser, vokser rumfanget indtil et vist sted, hvorefter det aftager, indtil x = 10, hvor det igen er 0. Hvis stigning og fald i rumfang er symmetrisk, må et gæt på 5 være fornuftigt. Hypotese: x = 5. 4. umfanget må blive størst, når tværsnitsarealet er størst, da længden af renden hele tiden er den samme. Derfor kan jeg nøjes med at kigge på arealet enderne: A( x) x(20 2 x) 20x 2x 2 Jeg laver så en tabel. 5. Arealet x(20 2 x) 20x 2x 2 Når vi nu ved, at ethvert andengradspolynomiums grafiske billede er en parabel, kan man se: Nulpunkterne fås for x = 0 og for x = 10. Da parablen er symmetrisk, må toppunktet ligge midt imellem, så det må ske for x = 5. 6. A( x) x(20 2 x) 20x 2x 2 Det er en funktion af x, som jeg skal bruge maksimum for. Jeg kan huske, at man kan bruge differentialregning og finde nulpunkter for den afledede funktion: A'( x) 20 4x Så får jeg: A'( x) 0 4x 20 x 5 L 7. Jeg vil bruge et regneark, for så kan jeg nemt ændre springet mellem de x-værdier, jeg sætter ind: 8. Grafen for arealfunktionen er en parabel, der vender grenene nedad. Maksimum må findes i toppunktet, og jeg kan huske noget, der hedder toppunktsformlen: T b D, 2a 4a
10 9. Jeg bruger grafregneren. Jeg skriver funktionen ind og ser dens graf og aflæser maksimum for den. 10. Jeg har fået arealudtrykket til 20 x 1 x 10x x 2 2 2 Det har maksimum for x = 10, så der skal bukkes 5 cm op, og så bliver rumfanget lig med 1000 cm 3. Andre muligheder for tagrenden Hvad nu hvis: vinklen mellem bunden af tagrenden og siderne var større end 90 grader, eller mindre end 90 grader. Lav en model i et geometriprogram. Kan du lave en dynamisk model? Undersøg hvilken vinkel og hvilken størrelse af ombøjningen, der giver det største volumen bliver det større end maksimum, da vinklen var 90 grader? tagrenden bukkes, til en halvcirkel ligesom en almindelig tagrende? Hvor stort bliver rumfanget så?
11 5 Katteskålen Af alle Guds skabninger er der kun én, der ikke kan gøres til slave. Det er katten. Hvis man kunne krydse mennesket med en kat, ville det forbedre mennesket, men forringe katten. Mark Twain, amerikansk forfatter Et hjem uden en kat kan godt være et kærligt hjem men hvordan vil det bevise det? - også Mark Twain Katte har selvfølgelig ikke meget med matematik at gøre, vil de fleste nok mene. Der findes dog mennesker, som tillægger katten visse matematiske evner: Katte kan med matematisk nøjagtighed beregne præcis, hvor de skal sidde for at være mest i vejen. Pam Brown, australsk poet Det er fx ikke unormalt, at netop som du vil scanne nogle billeder ind på din tre-i-én-printer, er den blevet indtaget af din kat! Og katten flytter sig nødigt og kun under højlydte protester. Hensigten med dette arbejdskort er, at I arbejder efter samme retningslinjer som i arbejdskort 4 blot med et nyt problem.
12 Matematiske evner eller ikke matematiske evner katte skal som alle andre levende væsener have noget at spise med jævne mellemrum. Og har man kat i en lejlighed eller et hus, er det praktisk, at kattemaden ikke spredes over hele matriklen. En spiseskål til katten er derfor et must. Dette arbejdskort bringer hjælp (som dog også kan bruges af hundeejere). I skal bruge: Et stykke papir (fx et A4-ark), tape, en saks og et passende computerprogram. Vi forestiller os følgende problem: Du har et fladt stykke metal, der er ca. 20cm 30 cm og en kat! Du ønsker at lave en kasseformet madskål til din kat ved at skære et kvadrat ud af hvert hjørne og derefter folde kanterne op, så de danner siderne af kassen (madskålen skal ikke have låg). Du ønsker at lave en madskål med størst muligt rumfang, derfor er det dit problem at finde ud af siden i det kvadrat, der skal skæres ud, for at rumfanget af kassen bliver maksimalt. Da et A-4 papir stort set er ca. 20cm 30 cm finder du på at lave nogle modeller i A-4 papir med forskelligt udskær i siderne. Før du begynder at skære kvadrater ud i hjørnerne af papiret, vurdér da, hvor stor du tror siden x i det udskårne kvadrat skal være for at rumfanget bliver maksimalt. Skriv dit skøn ned. Du er så heldig, at du befinder dig i et lokale med en del andre mennesker. For at spare tid, bed da de andre om at skære kvadrater med forskellige sidelængder ud af et stykke A4- papir. Når I alle har lavet forskellige modeller af kassen, sammenlign dem da, og vurdér hvilken kasse, der ser ud til at have det største rumfang. Skriv værdien for x og sammenlign, med dit skøn fra punkt 1. Opstil en matematisk model for problemet, brug et passende computerprogram. Vurdér dit skøn i forhold til den matematiske model.
13 Også her skal I forholde jer til nogle løsningsskitser fremsat af lærerstuderende. Se løsningsskitserne igennem og sammenlign med jeres egne forslag. Kan I sætte jer ind i opgaveløserens forslag? Kan I se relationer mellem forskellige løsningsmuligheder? Hvad vil I foreslå en elev i 9.-10. klasse, som siger: Jeg kan slet ikke komme i gang med opgaven? 1. Hvis vi bukker x cm om til siden, må rumfanget blive: ( x) x(20 2 x) (30 2 x) Vi kan differentiere og finde nulpunkter og fortegn for (x). 2. Lad os prøve at se praktisk på det: Hvis x = 0, er der ikke nogen æske, og så er rumfanget 0. Hvis x = 10, er der ingen bund, og så er rumfanget også 0. Så må størsteværdien ligge et sted imellem. Vi kunne jo lave en tabel og lade x være 1, 2, 3, osv. Kan vi så komme så tæt på, som vi vil? 3. Jeg tegner grafen i GeoGebra og aflæser maksimum.
14 6 Eksempler fra fysik og astronomi Hensigten med dette arbejdskort er, at I eksperimentelt udvikler formler, dvs. udfører et eksperiment og ud fra dette opstiller en sammenhæng mellem de variable i eksperimentet vurderer den udviklede models validitet og reproducerbarhed (reliabilitet) får mulighed for at afkode matematiske modeller fra et andet fagområde. Pendulet: Lav eksperimenter, der kan hjælpe dig med at finde formlen for et penduls svingningstid. Du kan fx gøre som følger: Hæng en sten eller et metallod op i en snor. Dette kaldes et pendul. Pendulet sættes i svingninger. Svingningstiden er defineret som tiden for en hel svingning dvs. den tid det tager pendulet at svinge fra en yderstilling og tilbage til den samme stilling. Hvad er det, der bestemmer denne svingningstid? Overvej hvilke variable (parametre) i situationen, der kan have indflydelse på svingningstiden: er det fx loddets masse, tidspunktet på dagen, snorens længde, snorens tykkelse, dagkursen på dollars, udsvingets størrelse, temperaturen i lokalet osv. Er svingningstiden reproducerbar eller ændrer den sig over tid? Hvis den ikke er det, giver undersøgelsen jo ingen mening. Har vi fået alle parametre med? Når I har fået reduceret antallet af parametre som I mener har indflydelse på svingningstiden, kan I starte eksperimentet. Efter nogle forsøg vil I konstatere, at det kun er en parameter, der har virkelig stor betydning for svingningstiden. Dvs. det bliver muligt for jer at beskrive svingningstiden som en funktion af denne ene parameter/variable. I kan nu ved at afbilde jeres resultater grafisk prøve at skyde jer ind på, hvilken funktion der er tale om. Når I har fundet en formel for svingningstiden, kan I prøve om formlen også gælder for andre genstande end den i eksperimentet anvendte. I det gamle bornholmerur sidder et pendul er der noget forbindelse mellem dette pendul og det I har fundet? Hvad er svingningstiden for pendulet i et bornholmerur?
15 Afkodning af matematiske modeller: Keplers love: Da Keplers love er bestemmende for, hvordan vores planet Jorden bevæger sig omkring Solen, hører det næsten med til at almindelig dannelse at kende til dem. Kepler var ansat hos Tycho Brahe, og efter dennes død i 1601 huggede Kepler Tycho Brahes imponerende samling af nøjagtige observationer. Kepler var overbevist om, at Vorherre havde udvalgt Tycho Brahe til at udføre observationerne og ham selv til at tolke dem. Efter i 4 år at have arbejdet med forskellige modeller, der kunne forklare målingerne, kunne Kepler endelig fastslå den sande bevægelse for planeterne. De blev udformet som Keplers 1. og 2. lov: Planeterne følger i deres bevægelse en ellipse med Solen i det ene brændpunkt. Planeterne bevæger sig hurtigst, når de er tættest på Solen, og langsomst, når de er længst væk fra Solen. Der gik yderligere 14 år, før Kepler fik opstillet sammenhængen mellem planeternes middelafstande til Solen og deres omløbstider (Keplers 3. lov). Den matematiske model/formel kom til at se således ud: T 3 G M 4π hvor: er planetens middelafstand fra Solen (målt i meter), T er planetens omløbstid omkring Solen (målt i sekunder), M er Solens masse (målt i kg) og G er gravitationskonstanten (en universalkonstant, som måles i m 3 /(kgsek 2 )). 2 2 Forklar med ord, hvad formlen udtrykker. Idet G = 6,6726 m 3 /(kg sek 2 ) skal du fra formlen isolere M på den ene side, og derefter finde Solens masse ved at indsætte velkendte data for og T, når Jorden er den planet formlen bruges på. Kan Keplers 3. lovs gyldighedsområde udvides? Prøv fx at undersøge, om Keplers 3. lov også gælder for Jupiter og de fire største af Jupiters måner. Dem opdagede Galilei med sin nyerhvervede kikkert i 1610. Måne Omløbstid T Afstand Io 1,769 døgn 422 000 km Europa 3,551 døgn 671 000 km Ganymedes 7,155 døgn 1 070 000 km Callisto 16,69 døgn 1 883 000 km