Kommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL LIGNINGER i 7.-9. KLASSE

Kommentarer til ligninger Faglige mål Kapitlet lægger op til, at eleverne lærer at udvikle og vælge metoder til at kunne løse ligninger og uligheder herunder at kunne bestemme løsningerne grafisk. regner med brøker og inddrager alle fire regningsarter i forbindelse med løsning af ligninger og reduktion af algebraiske udtryk. Kapitlet lægger især op til, at eleverne kan udvikle følgende faglige kompetencer. At kunne behandle symboler ved at anvende variable, reducere udtryk og omforme ligninger i mange forskellige sammenhænge. Særligt relevante aktiviteter: 0-30 ræsonnere, hvilket især kommer til udtryk, når eleverne selv skal ræsonnere sig frem til metoder og regler for løsning af ligninger. Særligt relevante aktiviteter: 3, 35, 36 behandle problemstillinger med ligninger og uligheder i forbindelse med opgaveløsning. I de fleste opgaver inddrages kontekster fra virkeligheden. Forløbet lægger op til, at eleverne kan løse ligninger på flere forskellige måder. Særligt relevante aktiviteter: 6-3 Matematrix og dette kapitel Eleverne har allerede arbejdet med variabelbegrebet i bogens første kapitel. Det er derfor nærliggende at bygge videre på dette forhåndskendskab, når de skal håndtere algebraiske udtryk i forbindelse med ligningsløsning. Det er vigtigt at pointere, at eleverne ikke skal have serveret færdige metoder til løsning af ligninger. Derimod skal de selv udvikle metoder og regler ud fra egne erfaringer. Disse metoder og regler kan med fordel drøftes i klassen og eventuelt sammenlignes med de sædvanligt anvendte metoder. Gennem ræsonnementer, fejlslutninger og gentagen inspektion bruger eleverne deres ræsonnementskompetence til at udvikle forskellige metoder, som fx se, hvad løsningen er, regne baglæns, reducere eller prøve at indsætte forskellige talværdier. Inspektionsmetoden er en helt acceptabel fremgangsmåde på dette klassetrin. Ved gentagen brug af denne metode oplever eleverne, at løsningen af ligningen er det tal, der gør ligningen til et sandt udsagn. Ved øget kompleksitet vil inspektionsmetoden dog vise sin begrænsning. I syvende klasse lægges der derfor op til, at eleverne også bliver fortrolige med at kunne omforme ligninger effektivt og sikkert. I Matematrix 6 er der et selvstændigt kapitel om ligninger med fokus på ligningsbegrebet og analogien til ligevægt. Løsningsmetoderne, gæt og gør prøve og omformning (i simpel form) bindes stramt op på begrebet. Desuden er der to kapitler i Matematrix 5 og 6 om formler og sammenhænge, hvor der lægges op til at arbejde med ligninger i praksis. Faktisk har været en del af Matematrix allerede fra indskolingsbøgerne i form af opgaver som eksempelvis: Find det hemmelige tal i 10 = 8 Hvilket tal passer i kassen: 3 + = 1. RELATEREDE FORLØB TIL LIGNINGER i 7.-9. KLASSE 7 Variable Forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable. Rumfangsberegning Beregning og vurdering af variabelværdier i forhold til en række rumfangsformler. 8 Arealberegning Beregning og vurdering af variabelværdier i forhold til en række arealformler. Opstilling og løsning af ligninger herunder at forholde sig til de tre centrale modelleringsprocesser: Oversættelse, bearbejdning og fortolkning. 9 Matematisk modellering Matematisering ved hjælp af afgrænsning og systematisering af problemfeltet. Grafer Ligningssystemer, to ligninger med to ubekendte. Uligheder. Parabler. 58 Matematrix 7 Lærervejledning

OVERSIGT: LIGNINGER Grundbog Regneark Geometrifiler Intro SIDE 43 Intro aktiviteter SIDE 44-45 Gennemgang SIDE 46-47 Øvelser SIDE 48-50 Opgaver SIDE 51-54 Uligheder SIDE 55-57 Udsalgspriser SIDE 58-59 Lejrskole på Bornholm SIDE 60-61 Evaluering SIDE 6 15. Skålvægte 16. Forklar hvad der er sket fra linje til linje 17. Løs ligninger 18. Find den ubekendte 19. Hvad er gået galt i omformningerne? 0. og geometriske figurer 1. Uligheder Dette kapitel lægger op til, at eleverne skal forstå, at løsningen af en ligning er det tal, der gør ligningen til et sandt udsagn. Desuden skal de arbejde med ligninger i mange forskellige sammenhænge og forstå, at der er flere veje til målet fx regne baglæns, reducere eller prøve at indsætte et tal.. Budgetskema Evalueringsark 6-7 Lejrskole 1-3 Film: Faglige Film: Geometri Faglig (tre stk.) Geometri Faglig Faglig (tre stk.) Matematrix 7 Lærervejledning 59 Facitliste: Grundbog Facitliste: Arbejdsbog Facitliste: Kopiark IT Kommentarer Grundtankerne

978873038470_indhold.indd 43 19/06/14 09.56 Hvis to figurer i en opgave er ens, skal der stå det samme tal i figurerne. a + 4 = 7 b 7 = 5 c + = 10 d 3 = 7 e : 6 = 7 f 54 : = 9 g : 14 = 5 h 7 : = 8 i = 4 j 34 = 1 k + = 16 l = 81 a æg + 3 æg + 4 høns + 1 æg + 1 høne b 4 æbler + 3 pærer + æbler + 10 pærer 5 æbler c 10 fluer myg 8 fluer + 4 myg + 3 myg 1 flue d x + 3x + 4y + x + y e 4b + 3a + b + 10a 5b f 8x y 10x + 4y + 3y x a en bil er en jaguar b to plus to er 4 c godt vejr er regnvejr d x + = 4 e en elefant og to myg er to myg og en elefant f y y = 9 g æbler og 1 æble = 3 æbler h 50 g minus 0 g er 30 g i Hvilke af ovenstående udsagn er ligninger? 978873038470_indhold.indd 44 19/06/14 09.56 4x 3x 5 b x 4 + x = 3 + x x 4 + x x = 3 + x x x 4 = 3 x 4 + 4 = 3 + 4 x = 1 4 år ældre end den yngste. Tilsammen er de tre søskende 4 år. a Hvilke af ligningerne kan bruges til at finde Mathilde alder? 1 x + (x + ) + (x + 4) = 4 3 x + (x + ) + (x + 4) = 30 x + (x ) + (x 4) = 4 4 x + (x ) + (x 4) = 30 b Hvor gammel er Mathilde? a x = x b 3x + 1 = 9 + x c 13x + 5 = 8x 15 _ 13 d x = 11 + 11x e 6 10x = x 978873038470_indhold.indd 45 19/06/14 09.56 5x A: Jeg prøver med x = 4. B: Så står der 16 = 1. Det blev for meget på den side, hvor der er flest x er. Prøv med et mindre tal. En ligning består af to talstørrelser på hver sin side af et lighedstegn. Lighedstegnet er en påstand om, at de to talstørrelser er lige store. Man kan tænke på en ligning som en vægt. Påstanden om lighed svarer så til, at de to vægtskåle er i balance. De to talstørrelser på hver side af lighedstegnet svarer til lodderne i hver af de to vægtskåle. En løsning til en ligning er et eller flere tal, der kan sættes ind på den eller de ubekendtes plads, så påstanden om, at de to talstørrelser er lige store, er sand. Løs ligningen x + = 5 Her kan du gætte eller tænke dig til, at hvis man skriver 3 på x's plads, så er de to talstørrelser lige store, nemlig 5. A: Så prøver jeg med 1. B: Nu står der 7 = 9. 1 er for lidt. Prøv med et tal mellem 1 og 4. A: Så prøver jeg med. Det giver 10 = 10. B: Det lykkedes! Der står det samme på begge sider. x = giver et sandt udsagn. 978873038470_indhold.indd 46 19/06/14 09.56 Puha! Der er brøker med. af ligninger kan gøre det nemmere at se, hvad løsningen er, fordi man får den ubekendte til at stå alene på en side af lighedstegnet. Ved omformning af en ligning ændres løsningen ikke. x + 10 = x 3 x x + 10 = x x 3 Der trækkes x fra på begge sider 10 = x 3 Der reduceres på begge sider 10 + 3 = x 3 + 3 Der lægges 3 til på begge sider 13 = x Det ses, at løsningen er 13 16x + 5 4x = 9 x 16x + 5 5 4x = 9 5 x Der trækkes 5 fra på begge sider 1x = 4 x Der reduceres på begge sider 1x + x = 4 x + x Der lægges x til på begge sider 14x = 4 Der reduceres på begge sider 14x = 4 Der divideres med 14 på begge sider 14 14 x = 16 Det ses, at løsningen er 16 1 x + 14x 34 det giver x. Lad os lægge til på begge sider, så Så kan vi x erne står alene gange med 4 på Dem regner på venstre begge sider. vi da bare med. side. Først lægger vi på begge sider. Nu må vi dele med 3 på begge sider. Så er løsningen altså 8. 978873038470_indhold.indd 47 19/06/14 09.56 GeoGebra GeoGebra 1-3 Hvad er en ubekendt? Kan en ligning have mere end en løsning? Ligner en ulighed en ligning? Hvordan får man skabt balance i skålvægten? Hvordan skaber man ligevægt i en skålvægt, hvis der er 1 kg ris i den ene vægtskål, og den anden er tom? 1 Hvad skal der stå i den tomme figur for at udsagnet bliver sandt? Reducer følgende udtryk: 4 Forklar hvad der sker med hver ligning fra linje til linje. c 6x + 5 = x + 13 6x+ 5 5 = x + 13 5 6x = x + 8 6x x = x + 8 x 4x = 8 4 = 8_ 4 x = a x = 6 x x + x = 6 x + x 3x = 6 3 = 6_ 3 x = d x + 14 = 11x 38 x + 14 + 38 = 11x 38+ 38 x + 5 = 11x x + 5 + x = 11x + x 5 = 13x 13 = 13x 4 = x x = x = e 3x + 10 = 45 x 3x + 10 10 = 45 x 10 3x = 35 x 3x + x = 35 x + x 5x = 35 5 5 = 35 x = 7 Løsninger kan findes på flere måder: Man kan gætte Man kan prøve sig frem Man kan omforme ligningen 3 Hvilke udsagn gælder altid, og hvilke gælder i nogle tilfælde? 5 Mathilde har to små søskende. Hun er år ældre end den næstældste og 6 Løs ligningerne: f x + 3 = 8 + x 14x til 43 44 45 46 47 SIDE 43 SIDE 44-45 SIDE 46-47 SIDE 43 INTRO Introbilledet forestiller Justitia, som er retfærdighedens gudinde i den romerske mytologi. Hun anvendes ofte som symbol på balance. Når den skålvægt, hun holder i sin venstre hånd, er i balance, så er retfærdigheden sket fyldest. Eleverne kan sikkert huske konkrete aktiviteter med skålvægte fra de mindre klassetrin. Alligevel kan man med fordel anvende skålvægte under introaktiviteterne og i gennemgangen, da de afspejler principperne for ligninger og ligningsløsning på en meget anskuelig måde. Introspørgsmålene lægger da også op til at arbejde konkret med skålvægte og definere ordet balance i betydningen ligevægt. Svaret på det andet spørgsmål kan selvfølgelig være et kilo ris. Det vil dog være mere relevant at pege på, at det blot skal være en eller flere genstande, som vejer det samme som risen altså et kilo. Lad eleverne tænke med. Kommentarer til de skæve spørgsmål Spørgsmål 1: I matematikken er en ubekendt en værdi, man ikke kender. Eleverne har tidligere oplevet ubekendte symboliseret ved en streg, en figur, en mursten eller ved et bogstav. Spørgsmål : En ligning kan godt have to løsninger, fx har andengradsligningen x = 4, både og som løsninger. I dette kapitel har ligningerne dog kun et facit. Kapitlet har også et fagligt opslag om uligheder, der jo almindeligvis har flere facitter. Spørgsmål 3: Ja, en ligning og en ulighed ligner i høj grad hinanden sammenlign fx de to definitioner i grundbogen (side 46 og side 55). SIDE 44-45 INTROAKTIVITETER 1- er velkendte aktiviteter fra tidligere klassetrin, som henholdsvis handler om at finde den ubekendte og om at reducere. At reducere vil sige at omskrive et udtryk til den simplest mulige form. Man regner med bogstaver på samme måde som med tal, og ens bogstaver kan lægges sammen, trækkes fra hinanden osv. 3 Lighedstegnet er ikke en garanti for, at udsagnet altid er sandt. Tal fx med eleverne om, hvornår x + = 4 er sandt, og hvornår det er falsk. 4 lægger op til arbejdet med omformning af ligninger. Når man løser ligninger, har man ofte brug for at omforme og reducere dem. Det er en god idé at fokusere på forskellige løsningsstrategier. Formålet med at forenkle ligningen er, at løsningen nemt skal kunne ses, og med dette for øje kan man anvende forskellige strategier og formuleringer. Hvorfor finder man fx på at trække 5 fra på begge sider af lighedstegnet i anden linje i opgave c? Lad eleverne komme med forslag til formuleringer: Det færreste antal skal trækkes fra på begge sider. x erne skal stå alene. Det gælder om at samle x erne på den ene side og de kendte tal på den anden side af lighedstegnet. Vi skal reducere ligningen, så meget vi kan. 5 er et eksempel på en kompleks problemstilling fra virkeligheden, der kan løses ved inspektionsmetoden. Der kan dog også opstilles en ligning, som efterfølgende løses: M + (M ) + (M 4) = 4 3M 6 = 4 3M = 30 M = 10 I 6 kan eleverne enten prøve sig frem eller reducere ligningerne, før de løses. Lær eleverne at skrive lighedstegnene under hinanden, når de reducerer. Derved bliver udregningerne lettere at overskue. SIDE 46-47 GENNEMGANG Indledningsvis præsenteres eleverne for definitionen af en ligning, et billede af en skålvægt samt begreberne balance og ligevægt. Hvis man ønsker det, kan man allerede her inddrage arbejdsark 15 og samtidig visualisere ligningsbegrebet ved hjælp af skålvægte og lodder. Dernæst følger definitionen af løsning til en ligning. På dette klassetrin arbejdes der kun med ligninger med én ubekendt, og derfor er ordet løsning i ental. Lighedstegnet i en ligning gælder kun ved indsættelse af bestemte værdier af den variable. Den variable kaldes derfor ofte for den ubekendte i forbindelse med ligningsløsning. Eleverne præsenteres for tre metoder til at finde løsninger. At gætte eller tænke sig til en løsning er en oplagt metode, hvis ligningen er meget enkel og overskuelig. Inspektionsmetoden, eller at prøve sig frem, kan være anvendelig ved løsningsmængder inden for Z. Hvis løsningsmængden udvides til Q eller R, eller hvis der er tale om en ligning med flere løsninger, bliver metoden oftest uanvendelig. Til gengæld udfordrer denne metode elevernes ræsonnements- 60 Matematrix 7 Lærervejledning

15-16 Om hvilke udtryk, der angiver en ligning A x + = 4 A = h g_ B D En vintergæk h = en blomst g E Rumfang = l b h h b l Om at gætte løsningen a 3x = 9 b x + 5 = 8 c 6 + x = 7 d x + 1 = 6 F C b < a a e 4 x = 1 f x 3 = 1 a x = 8 Er løsningen 1,, 3 eller 4 b 3x = 13 Er løsningen 4, 5, 6 eller 7 c x = 14 Er løsningen 3, 7, 3 eller 7 d 10 x = x Er løsningen 0,, 4 eller 6 e 3x = + x Er løsningen 5, 1, 1 eller 5 f b G A = y y 978873038470_indhold.indd 48 19/06/14 09.56 y y Om at prøve sig frem og kontrollere : a x = 8 b x + 1 = 7 c x = 4 d x = 6 e x 3 = 5 : Løsninger: a 3 x = A b x + 3 = 4 x c 4x 1 = x + 9 d 5 = x 7 e x = 10 + 4x Om at løse ligninger ved omformning a x + 3 = 48 b 13 + x = 39 c 10 + x = 14 d x + 17 = 15 a x 3 = 48 b 13 + x = 39 c 10 + x = 14 d x 17 = 15 a a x = 4 b 3x = 1 c 15 = 3x d 69 = 3x x = b 4 = 0,5x c 3 x = 9 Løsninger: A 8 B 3 C 3 D E 4 e + x = 0 f 0 + x = 0 g 10 + x = 0 h x + 4 = 4 e + x = 0 f 10 + x = 0 g 10 + x = 0 h x 4 = 4 e 4 = 0,5x f 8 x = g 9 x = e 5 =,5x f,5x = 50 g 3x = 5 h 3_ x = 6 Når vi nu har matematik hvorfor bliver du så ved med at tale om formning? 978873038470_indhold.indd 49 19/06/14 09.56 17 18 Husk at reducere først Om at løse ligninger a x + 3 = 13 b 3x + 4 = 16 a y = 7 b 15 + z = 1 c 3 = 3y 1 a 3_ 4 x 8 = 4 b 6 3 z = 3 c 0,4 + x = 1,6 Op med humøret! Jeg er lige i stødet til at omforme. a x 3 x = 4x 1 b 8 x + x = 6 3x + 6 c 14x 4 6x = 6 + x + x d x + 3_ x = 1,5x 6 e 3x + f 3x + 4 = 5 + x c 5x 6 = 14 d 7 + 4x = 5 d 4z + 8 = 8 e 100y + 5 = 50 f 0 z = 10 d 5 = 3 + 5 y e 1, + 6x = 0,6 f _ 5 z 5 = 3 g,5x + = 3 + x h x + 4 = x i 5x 6 = x 8 j e 3x + 1 = 36 f 1 + x = 7 g _ 3 y + 4 = 10 h z 4 = 1 i 3_ 5 z + 6 = 1 g 0,8 + 0,x = 0, h 0,8 0,x = 0, i 0,5 + 1,5x = 14 0x 19 = 0 + 10x k 1x + 5 = 3 + 4x l 5x + 7 = 13 + x Jeg er ikke rigtig i form til ligninger i dag. 978873038470_indhold.indd 50 19/06/14 09.56 a 4x = 4 5x = 5 x = 5 a Hvilke ligninger er løst rigtigt? b Hvilke ligninger er løst forkert? Forklar hvor og hvorfor det er gået galt. ANNA BENJAMIN CECILIE DANIEL EMIL FREDERIK GUSTAV HAMIT ISAK JONAS KASPER LÆRKE 978873038470_indhold.indd 51 19/06/14 09.56 19 0 Jeg ved, at man må lægge det samme tal til på begge sider l A = areal g h r b b Beskriv med ord, hvad du gjorde på hver side af lighedstegnet for at løse ligningen. c Skriv selv en ligning og løs den. d Lad en kammerat løse ligningen og sammenlign jeres løsninger og måder at nå løsningen på. på løsningen. b Hvad er arealet af et rektangel med længden 5 cm og bredden b cm? c Opstil en ligning, der beskriver sammenhængen mellem areal (A), længde (l) og bredde (b). b Opstil en ligning, så du kan finde (l), hvis du kender (A)og (b). c Omform ligningen, så du kan finde (b), hvis du kender (A) og (l). grundlinjen er 6 cm? b Hvad er grundlinjen i en trekant, hvis arealet af trekanten er 36 cm og højden er 9 cm? c Opstil 3 ligninger for beregninger i en trekant, hvor 1 arealet er den ubekendte grundlinjen er den ubekendte 3 højden er den ubekendte b Hvad er diameteren i en cirkel, hvis omkredsen er 44 cm? c Hvad er radius i en cirkel, hvis omkredsen er 44 cm? d Opstil tre ligninger for beregninger i en cirkel, hvor 1 omkredsen er den ubekendte diameteren er den ubekendte 3 radius er den ubekendte b Hvad er radius i en cirkel, hvis arealet er 50 cm? c Hvad er radius i en cirkel, hvis arealet er 80 cm? d Opstil to ligninger for beregninger i en cirkel, hvor 1 arealet er den ubekendte radius er den ubekendte Græsplænen er rektangulær og har målene 9,5 m x 10,6 m. Terrassen må højst udgøre halvdelen af græsplænens areal. Find den største diameter terrassen kan have. Gennemsnitsfarten er 60 km/t. Hvor lang tid tager turen? b Opstil en ligning, der viser hvor lang tid (t), fru Olsen har kørt efter x antal km med en gennemsnitsfart på 60 km/t. c Find ud af andre afstande og køretider mellem byer du selv vælger. De variable er afstand (længde på turen), hastighed (gennemsnitsfart) og køretid (hvor lang tid tager turen?) trækker 4 fra. Resultatet bliver 59. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal, Peter tænker på. b Laura tænker på et tal, som vi kalder y. Hun lægger til tallet og ganger det hele med 4. Resultatet bliver 64. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Laura tænker på. c Emma tænker på et tal, som vi kalder z. Hun deler tallet med 3 og lægger 15 til. Resultatet bliver 7. Opstil en ligning og find ud af hvilket tal Emma tænker på. d Find selv på flere tænk på et tal, og få din kammerat til at finde tallet. a Mathias får 65 kr. mere end Julie. b Mathias får 85 kr. mindre end Julie. 978873038470_indhold.indd 5 19/06/14 09.56 978873038470_indhold.indd 53 19/06/14 09.56 Øvelser 7 Hvilke af udtrykkene A - G er ligninger? 8 Gæt ligningernes løsninger. 9 Indsæt tal i stedet for x i ligningen og kontroller: x_ = 13,5 x Er løsningen, 3, 9 eller 10 Find løsningen til ligningerne 11 Find løsningen til ligningerne 1 Løs ligningerne: 13 Løs ligningerne: 14 Løs ligningerne: d 3 x = 1 15 Løs ligningerne: B 3 C 6 D E h 100 = 1 10 x 16 Løs ligningerne: 17 Løs ligningerne: 18 Løs ligningerne: 19 Løs ligningerne: x + x = 1 + x Opgaver 0 Hvad er der gået galt i disse omformninger? b 3x + 3 = 1 3x = 15 x = 5 c 6x = x + 8x = 8x = 4 x = 1 ne nedenfor er løst af elever i 7. klasse. a Løs ligningen x 4 = 1 3 Formuler nogle regler for omformning af en ligning, som ikke ændrer 4 a Hvad er arealet af et rektangel med længden 7 cm og bredden 4 cm? 5 a Hvad er længden af et rektangel med arealet 7 cm og bredden 3 cm? 6 a Hvad er højden i en trekant, hvis arealet af trekanten er 4 cm og 7 a Hvad er omkredsen af en cirkel med radius 3 cm? 8 a Hvad er arealet af en cirkel med radius 3 cm? 9 Familien Hansen vil anlægge en cirkelformet terrasse på græsplænen. 30 a Fru Olsen kører 45 km fra København til Helsingør. 31 a Peter tænker på et tal, som vi kalder x. Han ganger tallet med 7 og 3 Fordel 5 kr. mellem Mathias og Julie sådan at 48 49 50 51 5 53 SIDE 48-49 SIDE 50-51 SIDE 5-53 kompetence, idet de gennem ræsonnementer kan indsnævre løsningsmængden til ligningen (jf. tegneserien nederst side 46). af en ligning. Denne metode er ny for eleverne på 7. klassetrin. Målet for en omformning er at isolere den ubekendte, således at den ubekendte kommer til at stå alene på den ene side af lighedstegnet, mens der står et tal på den anden. Dette tal vil så repræsentere den værdi, der gør ligningen til et sandt udsagn altså ligningens løsning. På ethvert trin i omformningen skal løsningen være den samme. I det første eksempel på side 47 skal man altså kunne erstatte x med 13 i alle linjerne og få sande udsagn alle steder i ligningsløsningen. Tegneserien nederst på siden lægger op til en samtale om, hvordan de to elever løser ligningen. Hvilke regler for reduktion af ligninger kan eleverne uddrage? Hvilke regler for reduktion af ligninger gælder alle ligninger? Her kan man eventuelt formulere nogle regler, før spørgsmålet tages op igen i 3. Afslut gennemgangen med en snak om, at man altid har mulighed for at kontrollere løsningen til en ligning. Brug eksemplet fra gennemgangen og foretag kontrol med løsningen x= 8. Er talstørrelserne lige store på begge sider af lighedstegnet? 1 8 = 4 1 4 8. Ved reduktion fås: 4 = 4, hvilket er ensbetydende med, at = Svaret er altså ja. Løsningen passer. Talstørrelserne er lige store på begge sider af lighedstegnet. SIDE 48-50 ØVELSER Der er fem øvelseskategorier. Om hvilke udtryk, der angiver en ligning 7 Hvis arbejdsark 15 ikke blev anvendt ved gennemgangen, kan det med fordel bruges som indledning til denne øvelse, hvor eleverne trænes i at genkende en ligning ud fra definitionen. Om at gætte løsningen 8-9 er træning i at gætte kvalificeret og kontrollere løsningen til en ligning. I 9 gives der flere valgmuligheder. Tal med eleverne om, hvilke strategier de benytter sig af. Om at prøve sig frem og kontrollere 10-11 er træning i at prøve sig frem til løsninger af de enkelte ligninger ved inspektion og efterfølgende kontrollere resultaterne. Om at løse ligninger ved omformning 1 er træning i at trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 13 er træning i at lægge samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 14 er træning i at gange med samme tal på begge sider af lighedstegnet. 15 er træning i at dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Om at løse ligninger 16-18 træner en kombination af to af operationerne fra 1-15. 19 træner yderligere omformning af ligninger. Her er det mest hensigtsmæssigt at starte med at reducere udtrykkene, inden man begynder med omformningerne. SIDE 51-54 OPGAVER 0-30 lægger op til udvikling af elevernes symbolbehandlingskompetence. Eleverne udfordres ved at skulle oversætte frem og tilbage mellem ligninger skrevet med symboler og de tilsvarende sammenhænge udtrykt i hverdagssprog. I 0-1 lægges der vægt på at kontrollere omformningerne linje for linje. Der er gået noget galt i omformningerne, og opgaven er at finde ud af, hvori fejlene består og hvorfor. I -3 er der særligt fokus på udvikling af elevernes ræsonnementskompetence. Eleverne skal selv ræsonnere sig frem til metoder og regler for løsning af ligninger. Når eleverne i selv skal skrive en ligning og derefter løse den, kan det være en idé at begrænse deres udfoldelsesmuligheder ved i starten højst at tillade to led på hver side af lighedstegnet. Derefter tre led, fire led osv. Hensigten med 3 er, at eleverne selv får formuleret og skrevet deres regler for omformning af ligninger. Dette kan foregå enten parvis eller i grupper. De regler, som eleverne finder frem til, kan bruges i kapitlets kommende opgaver, når der skal løses komplekse ligninger, der lægger op til reduktion i flere etaper. I 4-8 trænes elevernes problembehandlingskompetence i opgaver med at opstille og løse ligninger fra geometriens verden. I 4-6 drejer det sig om arealberegninger af rektangler og trekanter, og i 7-8 er fokus på areal- og omkredsberegninger af cirkler. I 9-30 skal eleverne opstille og løse ligninger, der tager afsæt i problemer fra virkeligheden. Problemstillingen i 9 er ret kompleks, men opgaven kan dog stadig løses ved hjælp af arealformlen for beregning af cirkler. 30 kan udbygges med yderligere beregninger med en anden gennemsnitsfart eller beregninger af afstande mellem andre byer. Matematrix 7 Lærervejledning 61 Facitliste: Grundbog Facitliste: Arbejdsbog Facitliste: Kopiark IT Kommentarer Grundtankerne

Frederik har scoret 4 mål flere end Jonas, og han har scoret dobbelt så mange mål som Victor. Tilsammen har de 3 drenge scoret 63 % af holdets mål. Hvor mange mål har hver af drengene scoret, når deres hold har scoret 00 mål i alt? a x + = b x + = + x c x + = x a 1.000.000 som løsning. b mere end 1.000.000 løsninger. c mellem 1 og 1.000.000 løsninger. a Alle ligninger har præcis én løsning. b Alle ligninger har en løsning. c Ingen ligninger har ingen løsninger. d Alle ligninger har præcis to løsninger. 978873038470_indhold.indd 54 19/06/14 09.56 En ulighed består af to talstørrelser på hver sin side af et ulighedstegn. Ulighedstegnet er en påstand om, at den ene talstørrelse er større end den anden. a t > 4 b 3t > 1 c t > 4 a 3t < 16 b 5t < 1 c 4t < 35 En løsning til en ulighed er den mængde af tal, der kan sættes ind på den ubekendtes plads, så påstanden om, at den ene talstørrelse er større end den anden, er sand. Løsningen kan angives på en tallinje. Løsningsmængden til x > angivet på tallinje: 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Løsningsmængden til x 5 angivet på tallinje: 5 er med. 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 16 er ikke med. Løsningsmængden til x < 16 angivet på tallinje: 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 a x + > 4 b x < 4 c 6y 7 d 5t > 11 e t > 49 f t 1 > 10 d 8t < 57 e f t + < 10 d 3y < 7 6y e 5x + 4 < 4 f 8x 4,6 < 3,4 er ikke med. g t + > 8 h t + 5 > 5 i 10 + t > 1 g t < 9 h 3t 5 < 1 i 35 t < g 3x + 18 x h y > 6 y i 8 < 6x 4 Ulighedstegn: > større end. større end eller lig med. < mindre end. mindre end eller lig med. 978873038470_indhold.indd 55 19/06/14 09.56 1 Kontroller om et eller flere af tallene fra løsningsmængden passer i den oprindelige ulighed. Jeg kan ikke købe halve pensler, så jeg må runde ned til det nær meste heltal. En ulighed kan løses som en ligning. x + 1 > 5 Læg x til på begge sider x + 1 + x > 5 + x Reducer 1 > 5 + x Træk 5 fra på begge sider 1 5 > 5 + x 5 Reducer 4 > x 4 Divider med på begge sider > x > x Løsningen er alle tal mindre end. Den eneste forskel er, at ulighedstegnet skal vendes, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. x + 1 > 5 Træk 1 fra på begge sider x + 1 1 > 5 1 Reducer x > 4 x Divider med på begge sider og vend ulighedstegnet _ < x Løsningen er alle tal mindre end, ligesom ovenfor. a 3x + < 5x 1 b 4x + 1 > 8x + 10 c x + 3 x < (x + 4) e (3x 5) > (x + 3) f 4(3x + 1) < (4x + 8) a Hvor mange pastelfarver kan Simone højst købe for 15 kr.? Hun har 500 kr. og køber to træpensler, en plastikpensel og fem pastelfarver. b Hvor mange akrylfarver kan hun købe, for resten af pengene? c Hvor mange penge får hun tilovers? 978873038470_indhold.indd 56 19/06/14 09.56 100 g bland-selv slik koster 1,50 kr. a Kasper køber 396 g slik. Hvad koster det? b Hvor mange gram slik kan Simon højst få, hvis han har 40 kr.? c Opstil en ulighed der viser, hvor mange penge Simon mindst skal have med, hvis han skal betale for x g slik. arealet mindst skal være 0 cm? b Hvilken af følgende 3 uligheder kan løse opgave a? 1 h g 0 h 10 0 3 h 10 0 c Hvor stor skal grundlinjen være i en trekant, hvis højden er 4 cm, og arealet skal være mindre eller lig med 16 cm? d Opstil en ulighed, der viser opgave c. a Hvor mange tallerkner kan hun købe, hvis de tilsammen højst må koste 400 kr.? Nanna køber også nyt bestik. Hun køber 8 skeer til 30 kr. pr. stk., 6 gafler til 8 kr. pr. stk. og nogle knive til 3 kr. pr. stk. b Hvor mange knive kan hun købe, hvis hun i alt har 600 kr. til bestik? c Hvad koster det at købe en tallerken og bestik til 1 person? d Hvis hun vil købe tallerkner og bestik samlet til x antal personer, hvor mange personer kan Nanna så købe til for 1.500 kr.? 978873038470_indhold.indd 57 19/06/14 09.56 VARE med 15 % rabat. Hvilke af nedenstående ligninger kan bruges til at beregne rabatten (r)? n a n 0,15 = r d b n 15 = r e n (100 0,15) = r hårtørrer. Den koster nu 70 kr. a Hvad kostede hårtørreren før? b Hvor mange procent har Sarah fået i rabat? Lukas sparer 305 kr. på en kaffemaskine til sin mor. Han får den samme rabatprocent som Sarah. c Hvad kostede kaffemaskinen før, og hvad koster den nu? Jean køber en barbermaskine, der er nedsat med 40 %. Før-prisen var 399 kr. d Hvad er nu-prisen på barbermaskinen? e Opstil en ligning som du kan bruge til at finde nu-prisen. f Opstil en ligning som kan bruges til at finde besparelsen i kr. g Udfyld et skema som det viste. På udsalg koster den.49,5 kr. a Hvad er besparelsen i kr.? b Hvad svarer det til i procent? c Hvor mange procent sparer man på de andre møbler? d Opstil en ligning, som du kan bruge til at finde den procentvise besparelse fra normalprisen (n) til udsalgsprisen (u). 978873038470_indhold.indd 58 19/06/14 09.56 978873038470_indhold.indd 59 19/06/14 09.57 LÆNESTOL Normalpris 1.995 kr. Udsalgspris 1.495 kr. PUDE 75 kr. SKRIVEBORDSSTOL Normalpris.595 kr. Udsalgspris 1.595 kr. REOL Normalpris 1.175 kr. Udsalgspris 875 kr. a Hvilke møbler har Ida råd til, hvis hun køber sengen? b Hvilke af ligningerne passer til Idas problem? 1 x +.999 = 3.000.49,5 + x = 3.000 3 x = 3.000.49,5 c Hvis hun i stedet vælger at købe lænestolen på udsalg, hvilke andre møbler har hun så råd til at købe? d Opstil en ligning, der viser, hvor mange penge Ida har tilbage, hvis hun køber lænestolen på udsalg. a Hvad tror du, at t er en forkortelse for i denne opgave? b Hvor meget er 3 t? c Hvor meget er p + g + s? VASE 47 kr. SKRIVEBORD Normalpris 65 kr. Udsalgspris 450 kr. SPEJL 39 kr. d Hvor mange vaser kan Marie købe for 00 kr.? e Hvor mange tæpper og puder kan Marie få for 1.000 kr., hvis hun køber lige mange af hver? f Opstil en ulighed, der viser Maries indkøb af puder og tæpper for 1.000 kr. GULVLAMPE 499 kr. 33 Frederik, Jonas og Victor er topscorere på håndboldklubbens drengehold. 34 Løs ligningerne 35 Skriv en ligning, som har 36 Sandt eller falsk? 5431 e x + d x + 1345 = 5431 1345 + x 5431 1345 = 5431 1345 f x + 5431 1345 = x Uligheder 37 Find det mindste hele tal t, der passer i uligheden. 38 Find det største hele tal t, der passer i uligheden. t < 3 39 Løs ulighederne og indtegn løsningen på en tallinje. 40 Løs ulighederne. < 4 d 1 + 5x + (x+) > 1x 4 41 Simone overvejer, hvor mange farver og pensler hun har råd til. 4 Simon og Kasper er blevet lækkersultne. 43 a Hvor stor skal højden være i en trekant, hvis grundlinjen er 10 cm, og 44 Nanna køber nye tallerkner. De koster 54 kr./stk. Udsalgspriser 45 Normalprisen (n) for et kamera er 1.90 kr. Det sælges under et udsalg c n _ 15 100 = r 15 = r 100 46 El-biksen holder udsalg på hårde hvidevarer. Sarah sparer 180 kr. på en FØR-PRIS NU-PRIS BESPARELSE BESPARELSE I % Vaskemaskine 6.099 kr. 35% Tørretumbler 3.495 kr. 0% Opvaskemaskine 6.599 kr. 35% Køle-fryseskab 7.199 kr. 40% Køleskab.799 kr. 5% Mikroovn 1.999 kr. 0% Komfur 6.499 kr. 40% Kaffemaskine 9 kr. 5% El-kedel 499 kr. 449,10 kr. 49,90 kr. El-tandbørste 999 kr. 849,15 kr. Støvsuger 1.44,5 kr. 474,75 kr. 47 En seng koster normalt.999 kr. TEMA 48 Ida får et gavekort på 3.000 kr. til møbelbutikken i 18 års fødselsdagsgave. 49 I møbelbutikken sælger de også puder, lamper, lysestager og nips-ting. TÆPPE 179 kr. KOMMODE Normalpris 1.099 kr. Udsalgspris 699 kr. 54 55 56 57 58 SIDE 54-55 SIDE 56-57 SIDE 58-59 59 I 31-33 kan eleverne enten prøve sig frem eller løse problemstillingerne ved at opstille ligninger. Opstilling af ligninger gennemgås i 8. klasse, men nogle elever vil finde det spændende selv at stille ligninger op på nuværende tidspunkt. 34-36 udfordrer elevernes ræsonnementskompetence. Med afsæt i elevernes forståelse af, hvad en ligning egentlig er, skal de udvikle og forsvare forskellige påstande om ligninger samt argumentere for eller imod påstande fremført i opgaverne. SIDE 55-61 FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG OVERSIGT FAGLIGT: Uligheder TEMA: Udsalgspriser TEMA: Lejrskole SIDE 55-57 FAGLIGT OPSLAG ULIGHEDER I dette kapitel er det naturligt at have et fagligt opslag om uligheder. Den nære sammenhæng mellem ligninger og uligheder kommer allerede til udtryk i de indledende definitioner. Eleverne kan anvende mange af de regler, som de lige har trænet i ligningskapitlet, til løsning af uligheder. I 37-38 er der uendeligt mange tal i løsningsmængden, men det er kun det mindste eller det største hele tal, eleverne skal finde. 39-40 er øvelser i at løse uligheder ved omformning. I modsætning til 37-38 skal eleverne angive hele løsningsmængden i de enkelte opgaver. 41-44 vedrører forskellige kontekster fra virkelighedens verden, hvor uligheder kan anvendes til både at kunne overskue og løse problemstillingerne. Talmængdebegrebet er ikke introduceret på dette klassetrin. Som udgangspunkt forudsættes i almindelighed, når andet ikke er angivet, at definitionsmængden er de reelle tal. I alle opgaverne er det derfor vigtigt, at eleverne bliver opmærksomme på, at definitionsmængden er de naturlige tal, N. hurtigt og effektivt kan foretage de enkelte udregninger. Eleverne kan finde aktuelle tal og produkter i de stakke af tilbudsaviser, der hver uge kommer ind gennem brevsprækken, eller ved at søge priser på nettet. I mange af opgaverne kan de givne oplysninger erstattes med elevernes egne oplysninger om fx produkter og priser, hvilket kan tilføre aktiviteterne større relevans. SIDE 60-61 TEMATISK OPSLAG LEJRSKOLE PÅ BORNHOLM Opslaget har fokus på budgetlægning. Tal med eleverne om, hvor vigtigt det er at kunne danne sig et overblik over økonomien i ganske almindelige dagligdagssituationer. Hvilke konsekvenser kan det få, hvis forholdet mellem indtægter og udgifter ikke hænger sammen? Matematik rummer nogle enestående muligheder for at bidrage med at skabe overblik over økonomiske forhold. Mange af mulighederne kan man få et indtryk ved at anvende regneark, og det er oplagt at integrere regneark i opgaveløsningen. I regnearket, Lejrskole, får eleverne mulighed for at arbejde dynamisk med alle opslagets opgaver. Regnearket kan også være et rigtigt godt udgangspunkt for at tale med klassen om budgetlægning. Opslaget kan med fordel bruges som oplæg til undersøgelsen, Klassetur. Opgaverne giver yderligere træning i opstilling og løsning af ligninger. SIDE 58-59 TEMATISK OPSLAG UDSALGSPRISER Dette opslag har fokus på matematik i anvendelse. Det kan bruges som oplæg til undersøgelsen, Udsalg, eller blot som yderligere træning i opstilling og løsning af ligninger. Når man regner frem og tilbage mellem normalpriser og udsalgspriser, eller når besparelsen skal beregnes, kan det være praktisk at opstille en ligning, der kan anvendes generelt. I sådanne tilfælde er det også oplagt at lade eleverne bygge formler i regneark, som 6 Matematrix 7 Lærervejledning

7.a skal på lejrskole til Bornholm. Skolen får frirejse til Rønne, men klassen skal selv betale de øvrige udgifter. Til det får de 1.800 kr. pr. elev af skolen. Eleverne går i gang med at lægge et budget. Der deltager elever og to lærere i lejrskolen. koster 55 kr. pr.person tur/retur. På kolonien i Sandvig koster det 50 kr. pr. elev pr. overnatning i 4 sengs værelser og 340 kr. pr. lærer pr. overnatning i enkeltværelse. Beregn udgifterne for transport og overnatning. morgenmad. De regner med, at hver deltager spiser for 0 kr. pr. måltid. a Hvad koster det for elever og lærere at spise de tre måltider i fem dage? I budgettet afsætter de 7.500 kr. til mad. b Opstil en ligning, der viser, hvor meget hver deltager kan spise for. c Hvor meget kan hver deltager spise for, hvis der kommer seks nye elever i klassen? d Opstil en ligning, der viser, hvor meget x antal personer har at spise for, når budgettet er 7.500 kr. rundt på ruinen, og det koster 40 kr. pr. elev. a Opstil en ligning, der viser, hvad en rundvisning på Hammershus koster for x elever. b Hvad ville det koste for din klasse? til leje af cykler og får to tilbud på leje af cykler: Cykelhandler Hjul udlejer cykler for 40 kr. pr. døgn. Cykelhandler Dæksen udlejer cykler for 45 kr. pr. døgn, men lærernes cykler er gratis. a Hvilket tilbud er billigst for 7.a? b Opstil en ligning, der viser hvor mange cykler, der kan lejes for de.000 kr. hos Hjul. c Hvor mange elever kan leje cykler hos Dæksen? a Hvor mange penge betaler skolen? b Hvor stort er overskuddet i 7.a s budget? a Prøv at ændre prisen for mad til 75 kr. pr. person pr. dag og se, hvad overskuddet så bliver. b Prøv derefter at lade skolen indbetale 100 kr. mindre pr. elev og se, hvad der så sker med budgettet. c Foretag selv andre ændringer i budgettet. 978873038470_indhold.indd 60 19/06/14 09.57 978873038470_indhold.indd 61 19/06/14 09.57 Regneark Lejrskole n Hvad er en ligning? n Hvad vil det sige at omforme en ligning? n Hvordan kan du løse en ligning? Faglige færdigheder Evalueringen er rettet mod at kende betydningen af ligningsbegrebet og at kunne løse ligninger på forskellige måder, hvilket svarer til kapitlets øvelseskategorier. Evalueringsark 6-7 978873038470_indhold.indd 6 19/06/14 09.57 Lejrskole på Bornholm TEMA 5 Klassen skal på tur til Hammershus. En vejleder fra skoletjenesten viser 50 Busturen fra Rønne til Sandvig, hvor klassen skal have fire overnatninger, 51 Klassen skal selv lave mad og vil købe billigt ind til frokost, aftensmad og 53 7.a vil leje cykler på Bornholm i to dage. De afsætter.000 kr. i budgettet Evaluering Hvad er tungest, en sten eller en nøgle? Løsningsmængde Ligevægt Lægge til Gange Balance Lighedstegn Trække fra Dividere 54 Skolen indbetaler 1.800 kr. for hver af klassens elever til lejrskolen. Gætte og kontrollere Løsning 55 Angiv indtægter og udgifter til klasseturen i et regneark. Ubekendt Variabel 60 61 6 SIDE 60-61 SIDE 6 SIDE 6 EVALUERING Begrebsforståelse Begrebsforklaring: Eleverne skal selv formulere, hvad de forstår ved en ligning. Derudover kan de udtrykke, hvordan man finder løsningen til en ligning. Det kan både ske ved at gætte, at prøve sig frem og ved at omforme ligninger Sammenhængsforståelse: Det er oplagt at lade eleverne arbejde med at beskrive sammenhængen mellem en ligning og en række beslægtede begreber enkeltvist. Det kan fx dreje sig om lighedstegnet, omformning, ubekendt, variabel, balance eller løsning. To eksempler: Udsagn indeholder altid et Lighedstegn indeholder nogle gange Lighedstegn indeholder aldrig et Lighedstegn Ligningens løsning Ligningens løsning Ligningens løsning Udsagn kan findes ved kan ikke altid findes ved kan man ikke finde ved Vurdering tyder på god uklart hvad eleven mener tyder på dårlig Vurdering tyder på god uklart hvad eleven mener tyder på dårlig Faglige kompetencer Dette kapitel lægger især op til, at eleverne kan udvikle symbolbehandlingskompetence, ræsonnementskompetence og problembehandlingskompetence. Matematrix 7 Lærervejledning 63 Facitliste: Grundbog Facitliste: Arbejdsbog Facitliste: Kopiark IT Kommentarer Grundtankerne