Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien introduktion og eksempler Ovenstående forkortelser vi fremover blive brugt i noterne. Test i færdighedsregning Resultat: gennemsnit på 17,3 ud af 36 mulige TGF side 8-14 1. Introduktion til matematik Sproget Redskabet Objektiv og subjektiv beskrivelse Matematikken som sprog Matematikkens generelle natur Problemløsning - man kan løse forskellige problemer med samme metode. Model - virkelighed Abstraktion - matematikken som hjælp til at skabe overblik. EKS 1 -Intro Introduktion i anvendelse af TI-84 Indtastning af udtryk Bemærk anvendelse af tastesekvensen 2nd ENTRY Brøkregning Bemærk at lommeregneren er i stand til at regne med brøker og omforme et decimaltal til en brøk. Last answer Tasten er især nyttig, hvis der ved beregning af et udtryk ønskes nogle mellemresultater. Eksponentiel notation på TI-84 Bemærk, at hvis du ønsker at alle tal noteres eksponentielt skal du vælge Sci ( Scientific notation ) på lommeregneren ( se side 11 i EKS ) Regningsarternes hierarki: 1) Først udregnes eksponenter i potenser 2) Dernæst udregnes potenser og rødder 3) Så udregnes multiplikation og division I brøker udregnes tæller og nævner, før brøken udregnes 4) Til sidst udregnes addition og subtraktion
TGF side 14-18 Bogstavregningens muligheder side2 Eksempler på anvendelse af bogstavregning ( suppleret med et eksempel på en kortkunst ). Grafiske fremstillinger Eksempler på grafiske fremstillinger Grafer benyttes til at skabe overblik og opdage ( eller forudsige ) tendenser i en udvikling; men kan også bruges til manipulation. EKS 2 side 12-16 Graftegning ved hjælp af TI - 84 Eksempel på anvendelse : fra hjemmeopgave 1 Fortjeneste funktionen indtastes i Y= - editoren. Fastlæg et vindue (menuen WINDOW )ud fra oplysningerne i opgaven, således at grafen udnytter det meste af displayet. Man kan finde det antal varer der skal produceres for at fortjenesten bliver positiv med menuen CALC ZERO. Man kan i stedet ( som vi gjorde i timen) indtaste både omkostningsfunktionen og salgsfunktionen og finde skæringspunktet ved hjælp af kommandoen CALC INTERSECT TGF side s.18-22 Geometriske problemstillinger Geometrisk model og virkelighed Abstraktion og forenkling Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 Videofilm med Pythagoras læresætning med flere beviser for sætningen samt nogle anvendelser.
side3 Det matematiske bevis. Det matematiske bevis bygger på nogle forudsætninger, som enten er vist tidligere eller er så indlysende sande at de ikke kræver bevis. De indlysende sande påstande kaldes aksiomer. Ud fra aksiomer opbygges matematiske sætninger gennem logiske ræsonnementer. TGF side 23-54 2. Tal De hele tal Denne deduktive opbygning af matematikken ses i ren form i Euklids elementer. Brøker Regneregler for multiplikation og division af positive og negative tal Regneregler for parenteser Regneregler for regning med brøker Interaktive øvelser på nettet med brøkregning. Endelige ( og uendelige ) decimaltal De rationale tal ( tal der kan skrives som en brøk mellem to hele tal ) er netop de tal der kan skrives som endelige eller uendelige periodiske decimaltal. De irrationale tal er de tal, der kan skrives som uendelige decimaltal uden en periode. Eksempelvis er tallet 0,101001000100001.irrationalt. Man kan vise at π og 2 er irrationale. Mængden af rationale og irrationale tal udgør de reelle tal. Notation: De naturlige tal : 1,2,3,4,5 N De hele tal Z De rationale tal Q De reelle tal R Reduktion - betyder at gøre et udtryk simplere Formålet med reduktion er bl.a. At udtryk bliver mere nøjagtige ved beregning. At kunne løse ligninger Til dette må man kunne Hæve og sætte parenteser Sætte fælles faktorer uden for en parentes Gange parenteser ud Forkorte og forlænge brøker Sætte på fælles brøkstreg
TI-84 I forbindelse med opgavehjørnet er der vist en anvendelse af TI-84 til løsning af n ligninger med n ubekendte side4 Eksempel: Løs ligningssystemet : H + P + J = 134 H = 2P H 2P + 0 J= 0 J 2 = P + H H + P J = 2 1) Definer en 3x4 matrix: Tast : MATRX EDIT 1:[A] 3 ENTER 4 ENTER 2) Forsæt med at indtaste koefficienterne, så matricen får udseende: [ 1 1 1 134 ] [ 1-2 0 0 ] [ 1 1 1 2 ] og afslut med 2nd QUIT 3) Få løsningerne beregnet Tast MATRX MATH ALPHA B MATRX 1 ) Nu viser lommeregneren : rref([a]). Ved tast på ENTER fås følgende på lommeregnerens display: hvor tallene i sidste søjle angiver løsningen (H,P,J) = ( 44,22,68) Isolering af størrelser I forbindelse med opgaver i trekantsberegning kommer I til at skulle isolere størrelser i ligninger. Ligeledes kommer I ofte ud for at skulle isolere størrelser i formler i fagene fysik og kemi. Ekstra træning fås på nettet med træningsprogram i isolering : http://home3.inet.tele.dk/pmh/ommatm.htm Potenser Definition af potens n N a n = a a a a n faktorer Regneregler for potenser samlet oversigt på side 54 i TGF Definition af rod n a = b b n = a og 0 b Det udvidede potensbegreb
side5 Definition af potens med nul og negativ eksponent n = 0 a 0 = 1 n < 0 1 a n Definition af potens med brøker som eksponent Hvis a > 0 og p/q er en brøk defineres: a p/q = ( q a) p Regneregler for rødder samlet oversigt på side 54 i TGF Bemærk af potensregnereglerne stadig gælder for det udvidede potensbegreb. Kvadratsætningerne: Eksponentiel notation (a+b) 2 = a 2 + b 2 +2ab (a- b) 2 = a 2 + b 2-2ab (a+b)(a-b) = a 2 - b 2 (a + b) 3, (a + b) 4 kan udregnes vha. Pascal s trekant: sum: 1 1 1 1 2 1 2 1 4 1 3 3 1 8 1 4 6 4 1 16 1 5 10 10 5 1 32 ( = 2 5 ).... Eks: (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Øvelser med regning med små og store tal Udregning af mængden af korn som "opfinderen" af skakspillet udbad sig som belønning. Hertil udregnes først det samlede antal korn: S = 1 + 2 + 4 + 8 +.+2 63 2S = 2 + 4 + 8 +..+ 2 64 (I) (II) I - II giver
side6 S = 2 64-1 = 1.84467 10 19 ( hvis kornet skal fordeles jævnt over Danmarks overflade, vil det komme op i en højde af ca. 40-50 meter!) EKS side 10-11 Eksponentiel notation på TI-84 Bemærk, at hvis du ønsker at alle tal noteres eksponentielt skal du vælge Sci ( Scientific notation ) på lommeregneren ( se side 11 i EKS ) I samarbejde med fysik er der arbejdet med fysiske størrelser og enheder (SI enheder) og præfikser i forbindelse med eksponentiel notation. Noter er udleveret. Den rette linie ( i samarbejde med fysik og kemi ) I kemi er der lavet forsøg med måling saltindhold i sved. Måleresultaterne er indskrevet som tabel i Excel regneark. Regnearket er anvendt til at finde en matematisk model for sammenhængen. Ved at bestemme en tendenslinie er der påvist en lineær sammenhæng. Lineær funktion En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax + b hvor a og b er reelle tal kaldes en lineær funktion. Disse funktioner har grafer, der ligger på en ret linie. Alle rette linier, undtagen lodrette, kan være graf for en lineær funktion. Betydning af konstanterne a og b: a: kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og er den tilvækst i y-koordinat der svarer til tilvæksten 1 i x-koordinat. b: angiver liniens skæring med 2. aksen. Eksempel: Sammenhæng mellem temperatur målt i Celsius og Fahrenheit F = 1,8 C + 32 Vi får C = (451-32)/1,8 = 233 C ( papirs antændelses temperatur) Hvis man skal finde den temperatur i C,der svarer til 451 F, skal man netop løse en ligning af form y = a x + b med x som ubekendt. Øvelser med den rette linie i datarummet - bl.a. øvelser i bestemmelse af konstanterne a og b i udsagnet y = ax + b Øvelserne findes på min hjemmeside under klasser 1x interaktive øvelser på nettet
Lineære modeller side7 Lineær vækst er karakteriseret ved, at der til lige store tilvækster på den uafhængige variabel svarer lige store tilvækster på den afhængige variabel. Man kan undersøge om der er en lineær sammenhæng mellem to størrelser ved at afsætte sammenhørende værdier i et koordinatsystem. Hvis punkterne tilnærmelsesvis ligger på ret linie, kan vi konstatere en lineær sammenhæng. Forskriften for den lineære funktion bestemmes ved at tegne en ret linie, der " bedst muligt " passer til punkterne. EKS s. 38 40 På TI-84 kan man beregne forskriften for den bedste rette linie. Metoden kaldes lineær regression. Metoden er gennemgået og er beskrevet i detaljer i den udleverede Eksempelsamling til TI-84. Der findes et program på skolens netværk - REGRESS - der gør det samme. Programmet kan downloades fra min hjemmeside. Facilitet er også indbygget i regnearket EXCEL ( tendenslinier). TGF side 56-78 3.Talmængder og ligninger Mængder og talmængder Bevis for at 2 er irrational et eksempel på indirekte bevis. Intervaller Mængdeoperationer Udsagn Åbne udsagn og løsningsmængde Ligninger To udsagn der har samme løsningsmængde siges at være ensbetydende og man bruger det logiske symbol imellem sådanne udsagn. Regneregler vedrørende ligninger er omskrivninger af ligninger, der giver uændret løsningsmængde. Nulreglen a b = 0 a = 0 b = 0 a/b = 0 a = 0 ( b 0 ) Interaktiv løsning af ligninger på nettet - adresse: http://home3.inet.tele.dk/pmh/1g/mbequa/mbequa.htm
side8 I matematik bruges ofte åbne udsagn, hvortil der er knyttet løsningsmængder. Følgende oversigt over udsagn med logiske symboler og deres løsningsmængde med mængdesymboler kan være nyttig. p q P Q Fællesmængde p q P Q Foreningsmængde p q P Q Delmængde p CP Komplementærmængde Uendelige processer Uendelige decimalbrøker De rationale tal kan repræsenteres som decimalbrøker - enten endelige eller uendelige med en periode i cifrene. Øvelser i at omskrive en brøk til en decimalbrøk (divisionsalgoritmen) og en endelig eller periodisk decimalbrøk til en brøk. Uendelige ikke periodiske decimalbrøker er de irrationale tal. Eksempler på irrationale tal er 2 og π. Zenons paradoks
TGF side 102-138 5.Trigonometri Trekanter Tre grundlæggende sætninger om trekanter: 1) Vinkelsummen er 180 2 2 2 2) Pythagoras læresætning : c = a + b 3) Trekantens areal : T = ½ h g side9 Gruppearbejde i øvelser med brug af ovenstående formler L igedannede trekanter Sætning om ensvinklede trekanter : Hvis to trekanter er ensvinklede er de ligedannede, og tilsvarende sider i de to trekanter er forbundet med samme skalafaktor. Øvelser med anvendelse ovenstående sætninger. Trekantsberegninger Definition af sinus, cosinus og tangens Sætning: Hvis A er en spids vinkel i en retvinklet trekant gælder: sin(a) = modstående katete divideret med hypotenusen cos(a) = hosliggende katete divideret med hypotenusen tan(a) = modstående katete divideret med den hosliggende katete. Sætningen bør læres udenad!! Lommeregner: Husk at indstille den til gradtal Tast MODE : Øvelser med beregning af sider og vi nkler i en retvinklet trekant. Vedrørende opgaver i trekantsberegning: Tegn en figur med benævnelser for sider og vinkler, der indgår i opgaven. Sæt mål på de opgivne sider. På min hjemmeside ligger et lille program ( som kan downloades ) til beregning af ubekendte størrelser i en vilkårlig trekant.
Udvidelse af cosinus, sinus og tangens side10 Indførelse af retningspunkt for en vilkårlig vinkel ( også negative vinkler og vinkler større end 360 ) på en enhedscirkel. Definition af cosinus og sinus: Cosinus og Sinus til en vilkårlig vinkel, v, er koordinaterne til vinklens retningspunkt P v : P v = ( cos v, sin v ) Nedenfor ses grafen for sinus og til venstre herfor ses grafen for cosinus ( drejet 90 ) Ved at følge retningspunktets koordinater, mens vinklen varierer, kan man se, hvorledes cos v og sin v ændrer sig. Definition af tangens: Tangens til en vinkel er defineret ved: tan v = sin v, cos v 0 cos v Tangens kan aflæses på en figur med en enhedscirkel, som y-koordinaten til skæringspunktet mellem linien gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt og retningspunktet for vinklen og linien x = 1 ( lodret linie gennem (1;0)) Simple overgangsformler for cosinus Ved hjælp af betragtninger på enhedscirklen kan man nemt vise simple regler for cosinus, sinus og tangens. Her følger de vigtigste:
1) cos( v) = cos (v) sin ( v) = sin(v) 2) cos(180 v) = cos(v) sin(180 v) = sin (180 v) 3) cos(90 v) = sin(v) sin(90 v) = cos(v) 4) sin 2 (v) + cos 2 (v) = 1 "idiotfomlen" side11 Bemærk at formlerne 2) og 3) omhandler supplementvinkler og komplementvinkler. u og v kaldes supplementvinkler hvis u + v = 180 u og v kaldes komplementvinkler hvis u + v = 90 Eksakte værdier for cosinus og sinus V 0 30 45 60 90 cos(v) 1 = 4/2 3/2 2/2 1/2 = 1/2 0 = 0 /2 sin(v) 0 1/2 2/2 3/2 1 Sinus- og cosinusrelationerne Sinus - Relation erne: I en vilkårlig trekant gælder: a sin A = b c = sin B sin C = 2R hvor R er radius for trekantens omskrevne cirkel NB! Bemærk at anvendelse af formlen, hvor en vinkel skal findes, kan give den forkerte vinkel ( supplementvinklen ). Invers sinus giver altid en vinkel mellem 0 og 90 på lommeregneren. Derfor - Tegn altid en figur og brug formlen om supplementvinkler. Arealformel: T = ½ h g " en halv højde gange grundlinie" eller T = ½ ab sin(c) "det halve produkt af to sider og sinus til den mellemliggende vinkel" Cosinus - Relationerne: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(c) a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(b) eller 2 2 2 cos(c) = a + b c 2ab cos(a) = b2 + c 2 a 2 2bc cos(b) = a2 + c 2 b 2 2ac Cosinusrelationen kaldes også for den udvidede Pythagoræiske læresætning for vilkårlige trekanter.
side12 Øvelser i trekantsberegnin g Jeg har lavet et program til trekantsberegning. Det kan hentes på min hjemmeside under 1x. Et træningsprogram i trekantsberegningen finder i på adressen: http://home3.inet.tele.dk/pmh/1g/trig/trig.htm Programmet er giver en god træning i at finde den rigtige formel og isolering af den ubekendte fra formlen. I forbindelse med trekantsberegning kan nævnes følgende vigtige geometriske sætninger: Sætninger: Sætning om midtnormalerne i en trekant En trekants 3 midtnormaler skærer hinanden i samme punkt. Skæringspunktet er centrum for trekantens omskrevne cirkel Sætning om vinkelhalverings linierne i en trekant En trekants 3 vinkelhalveringslinier skærer hinanden i samme punkt. Skæringspunktet er centrum for trekantens indskrevne cirkel Sætning om medianerne i en trekant En trekants 3 medianer skærer hinanden i samme punkt. Skæringspunktet kaldes trekantens tyngdepunkt. Skæringspunktet deler hinanden i forholdet 1:2 Et bevis for sætningen findes på adressen: http://home3.inet.tele.dk/pmh/tema/triangle.htm Sætning om højderne i en trekant En trekants 3 højder skærer hinanden i samme punkt. Nogle nyttige formler i forbindelse med trekantsberegning: R = Radius for trekantens omskrevne cirkel r = radius for trekantens indskrevne cirkel s = trekantens halve omkreds T = trekantens areal
side13 a sin A b = sin B = c sin C = 2R 4RT = abc T = rs = s(s a)(s b)(s c) Den sidste formel kaldes Herons formel. Konstruktion (med passer og lineal) H U S K! : Nedenfor er en oversigt over de fem trekantstilfælde med forslag til benyttelse af formler til beregning af de ubekendte stykker. 1) at konstruere den givne trekant ( til forklaring og kontrol ) 2) at angive størrelser og betegnelser på figuren 3) at lagre mellemresultater på lommeregneren Figur: Givet: c De tre sider 1) Find den største vinkel (overfor den største side) ved cosinusrelationerne. a b 2) Find en anden vinkel ved sinusrelationerne. 3) Vinkelsummen er 180 b En vinkel og de 1) Find den manglende side ved cosinusrelationerne. A hosliggende 2) Find den mindste vinkel ( overfor den mindste side) ved c sider. sinusrelationerne 3) Vinkelsummen er 180 En vinkel, en 1) Find den af de manglende vinkler, som det er muligt at a hosliggende side finde ved sinusrela tionerne. Der er muligvis 2 løsninger A og en modståen- 2) Vinkelsummen er 180 c de side 3) Find sidste side ved hjælp af sinusrelationerne To vinkler og 1) Vinkelsummen er 180 den mellemliggende 2) De to sider findes ved hjælp af sinusrelationerne A B side c To vinkler og en 1) Vinkelsummen er 180 a ikke-mellemlig- 2) De to sider findes ved hjælp af sinusrelationerne gende side A B