Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Transkript

1 Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Enhedscirklen 2 3 De trigonometriske funktioner Sinus og Cosinus Store vinkler, negative vinkler og omløbsretning Egenskaber ved sinus og cosinus Flere trigonometriske funktioner Tangens Tangens og enhedscirklen Cotangens, Sekans og Cosekans Retvinklede trekanter Inverse trigonometriske funktioner Radianer Radiantallet for en vinkel Omregning mellem grader og radianer Radiantal og enhedscirklen Det hele om igen...? Lommeregnere og vinkler Lidt radianmagi Nygrader

3 Resumé Vi definerer de trigonometriske grundfunktioner, sinus, cosinus og tangens, ved hjælp af enhedscirklen i det todimensionale koordinatsystem, og vi beviser hvordan de opfører sig i forbindelse med retvinklede trekanter. Til sidst indfører vi radianbegrebet. 1 Introduktion De trigonometriske funktioner er (som navnet antyder) meget nyttige når man arbejder med vinkler i trekanter. Men det er faktisk den allermindste grund til at de er vigtige. Det viser sig at de optræder utroligt mange steder i naturen, når man skal beskrive fænomener der svinger og gentager sig selv periodisk (vekselstrøm, lyd, lys, vibrationer, udsving omkring en ligevægtstilstand, ting der roterer... bare for at nævne nogle få.) 1 Ikke nok med det: De trigonometriske funktioner følger også med når man laver meget mere avanceret matematik: De spiller f.eks. en vigtig rolle i forståelsen af de komplekse tal, hvor de har en meget smuk sammenhæng 2 med den naturlige eksponentialfunktion 3. Og det viser sig at andre funktioner kan approksimeres med trigonometriske funktioner ved hjælp af såkaldte Fourierrækker. Dette er en dyb og grundlæggende forudsætning i kvantemekanik. Alt dette var blot et forsøg på at vise at de trigonometriske funktioner kan bruges til noget. Nu skal vi i gang med at lære dem at kende. Forudsætninger Dokumentet kan i princippet læses af enhver der kender det todimensionale koordinatsystem. Det er dog en fordel hvis man allerede har 1 Læs om harmoniske svingningsfunktioner her 2 Læs om Eulers identitet her 3 Læs om eksponentialfunktioner her side 1

4 arbejdet med klassisk geometri (især trigonometri). 2 Enhedscirklen I vores definitioner skal vi bruge en vigtig delmængde af det todimensionale koordinatsystem, nemlig enhedscirklen. Den er defineret som: E = {(x; y) R 2 x 2 + y 2 = 1} Hvis man er vant til at arbejde med cirkler, genkender man straks ligningen som: (x 0) 2 + (y 0) 2 = 1 2 og så er det klart at E er en cirkel (se figur 1) med centrum i origo og radius 1 (deraf navnet: enhedscirklen ) Figur 1: Enhedscirklen side 2

5 3 De trigonometriske funktioner Vi er nu klar til at definere de trigonometriske funktioner. 3.1 Sinus og Cosinus Definitionerne af sinus og cosinus er temmeligt indviklede. Hvis man skal forstå dem, er det vigtigt at holde overblikket over hvad der foregår: Vi er ude på at definere to såkaldte funktioner, som til enhver tænkelig vinkel udregner et tal der afhænger af vinklen. Sinus og cosinus er altså ikke bare nogle tal, men derimod en slags maskiner, der udregner et tal, hver gang man propper en vinkel ind i dem. Hvis v betegner en eller anden vinkel, så vil vi skrive de tal som sinus og cosinus udregner som: og sin(v) cos(v) Det læses som henholdsvis: sinus til v og cosinus til v. Nu er vi klar til at definere hvordan disse funktioner fungerer: Definition 1 Hvis v er en vinkel, så beregnes sin(v) og cos(v) på følgende måde: 1. Indtegn vinklen i det todimensionelle koordinatsystem, sådan at vinkelspidsen ligger i origo, og højre ben peger langs med x-aksen i den positive retning. (Se figur 2.) 2. Nu vil venstre ben af vinklen pege i en eller anden retning, og hvis man fortsætter i den retning vil man på et tidspunkt skære enhedscirklen. Lad P betegne dette skæringspunkt. (Se figur 3.) side 3

6 3. cos(v) er pr. definition førstekoordinaten til P. 4. sin(v) er pr. definition andenkoordinaten til P v -1-2 Figur 2: Enhedscirklen med en indtegnet vinkel Eksempel 1 Vi vil beregne cosinus og sinus til en vinkel på 45. Derfor indtegnes vinklen i et koordinatsystem som beskrevet i definitionen. Dette er gjort på figur 4 nedenfor. Det kan ses på figuren at cos(45 ) og sin(45 ) er præcis lige store (hvorfor?), og at deres fælles værdi er omkring: cos(45 ) = sin(45 ) 0,71 side 4

7 2 sin(v) 1 P v -1 cos(v) -2 Figur 3: Definitionen af cosinus og sinus til en vinkel v Det er dog aldrig tilstrækkeligt med en omtrentlig aflæsning på en tegning. Vi kan i stedet bestemme den nøjagtige værdi ved at være lidt smarte. Kald i første omgang den fælles værdi af cos(45 ) og sin(45 ) for x. På figur 4 er der således en retvinklet trekant (find den!), hvor begge kateterne er x lange. Eftersom hypotenusen i denne trekant er en radius i enhedscirklen, har den længde 1. Pythagoras sætning siger derfor at: dvs. dvs. x 2 + x 2 = 1 2 2x 2 = 1 x 2 = 1 2 side 5

8 dvs. x = 1 2 0, x 45 o -1 0 x 1-1 Figur 4: Beregning af cosinus og sinus til 45 Øvelse 1 Beregn følgende værdier af cosinus og sinus. I de tilfælde hvor værdien ikke kan aflæses præcist, aflæs da en cirkaværdi og sammenlign med lommeregnerens resultat. Vigtigt: Husk at din lommeregner skal være indstillet til at måle vinkler i grader! Det kan du læse mere om i afsnit 6. side 6

9 cos(0 ), sin(0 ) cos(90 ), sin(90 ) cos(180 ), sin(180 ) cos(360 ), sin(360 ) cos(60 ), sin(60 ) cos(81 ), sin(205 ) 3.2 Store vinkler, negative vinkler og omløbsretning Hvis man får en god fornemmelse af hvordan den givne vinkel ganske enkelt flytter punktet P rundt på enhedscirklen, så er det ikke svært at gætte hvordan vi skal definere cosinus og sinus til vinkler der er større end 360 eller til vinkler der er negative. Vi vedtager at en vinkel på over 360 skal forstås som at punktet P kører mere end en hel omgang rundt på enhedscirklen, men at cosinus og sinus stadig bare skal være koordinaterne til det punkt hvor P lander på enhedscirklen. På den måde vil en vinkel på 410 f.eks. se ud på præcis samme måde som en vinkel på 50 når den indtegnes, og derfor er cosinus og sinus til 410 præcis det samme som til 50. Tilsvarende bestemmer vi at en negativ vinkel bare skal forstås som at P kører den modsatte vej (altså i urets retning) rundt på enhedscirklen. På den måde bliver f.eks. sin( 90 ) = sin(270 ) = sin(630 ) = 1 (Kig selv efter på enhedscirklen!) side 7

10 Øvelse 2 Beregn følgende: cos( ) Omløbsretning Bemærk den lille detalje at negative vinkler svarer til at punktet P bevæger sig rundt om enhedscirklen i urets retning mens positive vinkler svarer til en bevægelse imod urets retning. Dette er en lidt forvirrende detalje som man ganske enkelt skal vænne sig til. (Det er i virkeligheden uret som går den forkerte vej rundt.) Vi indrammer det lige som en definition: Definition 2 I matematik bruges udtrykket positiv omløbsretning om en cirkulær bevægelse som bevæger sig imod urets retning. 3.3 Egenskaber ved sinus og cosinus Hvis du har forstået definition 1 er det ikke noget problem at indse følgende egenskaber ved cosinus og sinus: cosinus og sinus giver altid værdier mellem 1 og 1. Hvis man kender cos(v) eller sin(v) til en vinkel v, så er der uendeligt mange muligheder for hvad v kan være. Som regel 4 vil to af disse muligheder ligge mellem 0 og Den eneste undtagelse er hvis den kendte værdi af cos er 1 eller den kendte værdi af sin er 1 eller 1 side 8

11 Hvis en vinkel er mellem 0 og 180 (som f.eks. vinkler i en trekant), og man kender cosinus til vinklen, så er der kun én mulighed for hvad den kan være. Hvis en vinkel er mellem 0 og 90 (som f.eks. vinkler i en retvinklet trekant), og man kender sinus til vinklen, så er der kun én mulighed for hvad den kan være. Den næste sætning kan være enormt nyttig når man arbejder med trigonometriske funktioner. Samtidigt er den utroligt nem at bevise (det handler bare om at kigge grundigt på definitionen af cosinus og sinus). Navnet er ikke en fornærmelse, men derimod en beskrivelse af hvordan mange matematikere har følt sig når de på et kritisk tidspunkt har glemt at bruge denne sætning. Sætning 1 ( Idiotformlen ) For enhver vinkel v gælder at: cos(v) 2 + sin(v) 2 = 1 Bevis. Eftersom punktet P (se definition 1) ligger på enhedscirklen, vil dets koordinater opfylde enhedscirklens ligning: x 2 + y 2 = 1 Men P s koordinater er jo lige præcis cos(v) og sin(v). 4 Flere trigonometriske funktioner Sinus og cosinus er langt de vigtigste af de trigonometriske funktioner. Der findes dog hele fire andre, som blandt andet er nyttige når man side 9

12 laver såkaldte integraler 5. Den mest kendte af disse hedder tangens, og den er faktisk navngivet af en dansk matematiker Tangens Definitionen af tangens er meget simpel når først sinus og cosinus er defineret: Definition 3 Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 0, så definerer vi: tan(v) = sin(v) cos(v) Bemærk at tangens ikke er defineret til vinkler hvor cosinus giver nul! Derfor vil lommeregneren lave en fejlmeddelelse hvis man beder den om f.eks. at beregne tan(90 ). Øvelse 3 Angiv fire forskellige vinkler v hvortil tangens ikke er defineret. 4.2 Tangens og enhedscirklen Selvom man ikke har brug for enhedscirklen til at definere tangens, så har de to ting alligevel meget med hinanden at gøre. For at forstå dette, skal vi læse figur 3 på en lidt anden måde. 5 Læs om integration ved substitution her 6 Tangens blev opfundet i Perserriget omkring år 800, men den blev først indført og navngivet i Europæisk matematik i 1583 af danskeren, Thomas Fincke. side 10

13 2 1 tan(v) v Figur 5: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v På figur 5 har vi indtegnet en vinkel v, hvor cos(v) ikke er nul, i koordinatsystemet, og samtidigt forlænget vinklens venstre ben, indtil det skærer den lodrette tangent til enhedscirklen som er givet ved ligningen: x = 1 Det viser sig at tan(v) angiver i hvilken højde at vinklens venstre ben skærer denne tangent. (Deraf navnet tangens ). Hvis vi skal indse at dette er rigtigt, skal vi lige have cosinus og sinus med ind i historien. (Se figur 6.) Lad os kalde cos(v) for x og sin(v) for y. Nu kan vi nemlig se hvad tan(v) betyder, nemlig: tan(v) = sin(v) cos(v) = y x Altså hældningen af vinklens venstre ben! Dermed er det klart at side 11

14 2 1 tan(v) sin(v) v cos(v) -1 Figur 6: Den geometriske betydning af tangens til en vinkel v hvis man går 1 til højre i koordinatsystemet så vil venstre ben stige med præcis tan(v) som vist på figur 5. Dette indrammer vi lige i en sætning: Sætning 2 Hvis v er en vinkel, hvor cos(v) 0, så angiver tan(v) hældningen af vinklens venstre ben, når den indtegnes i et koordinatsystem som beskrevet i definition 1. Øvelse 4 Gennemgå alle påstandene og tegn alle tegningerne i dette afsnit i nogle tilfælde hvor vinklen v ikke er mellem 0 og 90. (Prøv side 12

15 f.eks. med v = 120.) Læg mærke til at cosinus og/eller sinus i disse tilfælde bliver negative! 4.3 Cotangens, Sekans og Cosekans De sidste tre trigonometriske funktioner er næsten ukendte i Danmark, men de bruges flittigt i matematikundervisningen i f.eks. USA. De hedder cot (udtales: cotangens), sec (udtales: sekans) og csc (udtales: cosekans), og de er defineret ved: cot(v) = 1 tan(v) sec(v) = 1 cos(v) csc(v) = 1 sin(v) Eftersom disse tre funktioner blot er reciprokke værdier af de rigtige trigonometriske funktioner, kan man godt argumentere for at de ikke behøver af have navne. Vi skal da hellere ikke bruge dem til noget som helst, og den eneste grund til at vi nævner dem her er at de ofte findes som taster på amerikanske lommeregnere. side 13

16 5 Retvinklede trekanter Vi fortsætter med at vise hvordan de trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens giver en sammenhæng mellem vinkler og sider i en retvinklet trekant. Husk at Pythagoras sætning giver en sammenhæng mellem de tre sider. Dermed kan den bruges til at finde en af siderne hvis man kender de to andre. De sammenhænge vi nu skal bevise handler alle tre om en vinkel og to af siderne. Derfor kan de bruges til at bestemme enten en sidelængde (hvis man i forvejen kender en sidelængde og en vinkel) eller en vinkel (hvis man i forvejen kender to sidelængder) 7. Sætning 3 Hvis A er en af de spidse vinkler i en retvinklet trekant, a er længden af den katete som står modsat A, b er længden af den katete som udgår fra A og c er længden af hypotenusen (se figur 7), så er: cos(a) = b c sin(a) = a c tan(a) = a b Bevis. Vi starter med at skalere den givne trekant, idet alle sidelængderne divideres med c. Dermed opstår en trekant som er ensvinklet med den første, men hvor hypotenusen har længde 1 (se figur 8). Denne trekant indtegnes nu i koordinatsystemet, sådan at vinklen A placeres i origo, og den hosliggende katete lægges ud langs x-aksen. 7 Se nogle eksempler på problemløsning i retvinklede trekanter her side 14

17 c a A b Figur 7: Navngivning af sider og vinkel i sætning 3 1 a/c A b/c Figur 8: Den skalerede trekant fra sætning 3 På den måde passer tegningen perfekt sammen med enhedscirklen (se figur 9). Hvis vi sammenholder figur 9 med definitionen af sinus og cosinus (se f.eks. figur 6), er det klart at: cos(a) = b c side 15

18 1 a/c -1 A 1 b/c -1 Figur 9: Den skalerede trekant indtegnet i koordinatsystemet og sin(a) = a c Den sidste påstand er bare lidt brøkregning: tan(a) = sin(a) a cos(a) = c b c = a c c b = a b Bemærkninger Bemærk at man altid kan få en retvinklet trekant med en given vinkel til at vende sådan som det er vist på figur 7 alene ved at dreje og eventuelt spejle den givne trekant. Altså med den rette vinkel nederst til højre og den angivne vinkel nederst til venstre. side 16

19 Det er en god ide at lære sætning 3 udenad, uden at læse bogstaverne. Således bør man huske de tre påstande som følgende: Cosinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete divideret med hypotenusen. Tangens til en vinkel i en retvinklet trekant er lig den modstående katete divideret med den hosliggende. Bemærk at ordene hosliggende og modstående ovenfor fortæller hvordan den omtalte katete ligger i forhold til den omtalte vinkel. Man kan således først benytte disse to ord når man har besluttet hvilken vinkel man vil kigge på. 5.1 Inverse trigonometriske funktioner Ofte står man i en situation 8, hvor man kender værdien af enten sinus, cosinus eller tangens til en vinkel, men vi mangler at vide hvad selve vinklen er. Hvis man forestiller sig de trigonometriske funktioner som nogle maskiner der beregner et tal hver gang man propper en vinkel ind i dem, så svarer vores situation til at der er kommet et tal ud af en af disse maskiner, men vi har glemt hvilken vinkel der blev proppet ind. Løsningen på problemet svarer til at man tager det tal som er kommet ud, og kører det baglæns igennem maskinen, sådan at den oprindelige vinkel bliver gendannet. De baglæns udgaver af de trigonometriske funktioner kaldes de inverse trigonometriske funktioner, og de skrives som: 8 Se nogle konkrete eksempler her sin 1 side 17

20 og cos 1 tan 1 (Man læser dem som f.eks. sinus i minus første eller invers sinus.) Hvordan disse baglæns funktioner er defineret skal vi ikke komme ind på her 9. I stedet vil vi blot nævne at de findes som knapper på de fleste lommeregnere, og give et eksempel på hvordan de virker: Eksempel 2 En vinkel v fra en retvinklet trekant opfører sig sådan at: cos(v) = 2 3 For at beregne selve vinklen, bruger vi den inverse cosinus: ( ) 2 v = cos 1 48,19 3 (Beregn selv cosinus til denne vinkel og se at det passer.) Advarsel! Inden du kaster dig ud i at bruge de inverse trigonometriske funktioner, så bør du lige huske hvad vi opdagede i afsnit 3.3: To forskellige vinkler kan godt give den samme værdi af cosinus, sinus og tangens! Heldigvis er det sådan at hvis en vinkel er mellem 0 og 90, og man kender værdien af enten cosinus, sinus eller tangens til denne 9 Det kræver nemlig at man ved lidt mere om funktionsbegrebet. Du kan læse om konstruktionen af de inverse trigonometriske funktioner her side 18

21 vinkel, så er der kun en mulighed for hvad den kan være. Og det er denne mulighed som de inverse trigonometriske funktioner beregner. Moralen er derfor: Så længe vi arbejder med vinkler fra retvinklede trekanter, så kan vi uden problemer bruge de inverse trigonometriske funktioner som baglæns udgaver af de trigonometriske funktioner. 6 Radianer Vi slutter med en definition, nemlig af det såkaldte radiantal for en vinkel. Det viser sig at grader slet ikke er den bedste måde at angive størrelsen af en vinkel på. Hvis man tænker lidt over det, så er det egentlig ret tilfældigt 10 at en hel omgang lige præcis skal angives med tallet 360 og at en ret vinkel skal angives med tallet 90. Vi vil derfor indføre en ny måde at måle vinkler på. I første omgang virker den nok mindst lige så tilfældig som gradtallet, men det viser sig senere 11 at det er den helt rigtige måde, fordi vi hermed opnår det helt rigtige forhold mellem størrelsen af den variable (vinklen) og funktionsværdierne af de trigonometriske funktioner. 6.1 Radiantallet for en vinkel Babylonerne vedtog engang for 3500 år siden at en hel omgang skulle skrives som: Den historiske forklaring har noget at gøre med at de gamle Babylonere havde lidt af en fetish med tallet 60 (måske fordi det kan deles med både 2, 3, 4, 5 og 6 uden at man behøver at bruge brøker). 11 Mere præcist: I det øjeblik vil begynder at behandle de trigonometriske funktioner som funktioner. Du kan læse om de trigonometriske funktioner i forbindelse med funktionsbegrebet her side 19

22 Dermed var det logisk hvordan man skulle angive dele af en hel omgang. F.eks. skulle en kvart omgang (også kendt som en ret vinkel) skrives som en fjerdedel af 360, altså 90. På præcis samme måde vil vi nu lave en helt anden beslutning, nemlig at en hel omgang skal skrives som: 2π altså et irrationelt tal som cirka er lig 6,28. Således skal en halv omgang fremover skrives som halvdelen, altså: og en ret vinkel skal skrives som: π π 2 Når vi angiver vinkler på denne måde, siger man at vinklen er angivet i radianer eller at vi oplyser vinklens radiantal. Bemærk at der ikke er noget symbol som betyder radianer. Man angiver slet og ret et tal, og siger at dette er vinklens størrelse. På den måde vil vi fremover f.eks. oplyse at v er en vinkel, og at v = π 4 (Kan du allerede se hvor stor denne vinkel er?) 6.2 Omregning mellem grader og radianer Skulle man være uheldig at få oplyst en vinkel på den forkerte måde er det heldigvis nemt at omregne mellem gradtal og radiantal for en vinkel. side 20

23 Sætning 4 (Omregning mellem radianer og grader) Hvis v er en vinkel som er angivet i grader, så får man dens radiantal ved at dividere gradtallet med 360 og derefter gange med 2π. Hvis v er en vinkel som er angivet i radianer, så får man dens gradtal ved at dividere med 2π og gange med 360. Prøv selv efter med vinklerne: 360, 180 og 90. Bliv ved indtil du kan se systemet. Øvelse 5 Tag en god, gammeldags vinkelmåler (eller bare en tegning af en se figur 10) hvor vinklerne er angivet i grader. Slet alle disse vinkelmål og marker i stedet nogle udvalgte vinkler, angivet i radianer. Sørg for at følgende vinkler er markeret: 0, π 4, 1, π 2, 2, 3π 4, 3 og π. 6.3 Radiantal og enhedscirklen Det første tegn på at radiantallet er den rigtige måde at angive vinkler på er at det passer fint sammen med enhedscirklen. Enhedscirklen har jo radius 1, og derfor er dens omkreds lig med: 2 π 1 = 2π Og det er lige præcis dette tal som vi har sat til at være radiantallet for en hel omgang. En "halv omgang"betegnes med halvdelen, altså π, og dette er sjovt nok halvdelen af enhedscirklens omkreds. Hvis man tænker lidt mere over dette, indser man følgende: side 21

24 Figur 10: En vinkelmåler til brug i opgave 5 Sætning 5 En vinkels radiantal angiver hvor stor en bue på enhedscirklen den spænder over (se figur 11) 6.4 Det hele om igen...? Nu har vi totalt omdefineret hvordan vinkler måles og angives. Betyder det så at alt hvad vi hidtil har sagt om vinkler skal laves om? Svaret på dette spørgsmål er heldigvis: Nej, overhovedet ikke! Hvis man kigger grundigt efter i definitionerne og resultaterne i dette dokument, så er de fuldkommen uafhængige af hvordan man side 22

25 1 Buelængde: x Figur 11: En vinkel med radiantal x, indtegnet i koordinatsystemet måler vinkler. En vinkel er jo præcis den samme, uanset om vi kalder den 90 eller som π, bare vi er enige om at det er en ret vinkel. 2 Det eneste problem som kommer ud af det nye vinkelbegreb er altså at man altid skal gøre det tydeligt hvilket af de to vinkelbegreber man arbejder med, når man kommunikerer. Men hvis bare man er omhyggelig med at skrive grader tegnet hver eneste gang en vinkel er angivet i grader, så er der ingen risiko for misforståelser. 6.5 Lommeregnere og vinkler En lommeregner kan beregne cosinus, sinus og tangens til vinkler. Og den kan udregne vinkler ud fra deres cosinus, sinus og tangensværdier ved hjælp af de inverse trigonometriske funktioner. Men det er i begge tilfælde ekstremt vigtigt at fortælle lommeregneren hvordan vinkler skal angives. Desværre har de fleste lommeregnere ikke mulighed for at skrive grader tegnet. I stedet har de en indstillingsmulighed, hvor man kan fortælle om vinkler skal angives i grader eller i radianer. Hvis man her indstiller lommeregneren til grader, så vil lommeregneren side 23

26 opfatte alle tal som gradtal for vinkler når man bruger de trigonometriske funktioner, og den vil oplyse gradtallet for vinkler når man bruger de inverse trigonometriske funktioner. Man man lave frygteligt mange sjove fejl hvis man ikke holder styr på om ens lommeregner måler vinkler i grader eller radianer. Derfor fremhæver vi følgende gode råd: Hver eneste gang du rører ved tasterne cos, sin, tan, cos 1, sin 1 eller tan 1 på lommeregneren, så kig efter om den regner i grader eller radianer! De fleste lommeregnere har heldigvis deres vinkelindstilling oplyst i displayet hele tiden. På engelsksprogede lommeregnere står der deg (forkortelse for degrees ) hvis den regner i grader, og rad (forkortelse for radians ) hvis den regner i radianer. På dansksprogede lommeregnere er det temmeligt forskelligt hvordan vinkelindstillingen angives. For en sikkerheds skyld giver vi her en mere sikker metode: Sætning 6 Hvis du vil tjekke om en lommeregner er indstillet til at måle vinkler i grader eller radianer, så bed den om at beregne cosinus til enten: 360 eller 30 π 94, Hvis den førstnævnte beregning giver 1, så regner lommeregneren i grader. Hvis den sidstnævnte beregning giver 1, så regner lommeregneren i radianer. side 24

27 Øvelse 6 Udregn både: og sin(12 ) sin(12) på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivet med et grader -tegn, skal den forstås som et radiantal.) Øvelse 7 Udregn både: og (( ) π ) tan 4 ( ) π tan 4 på en lommeregner. (Eftersom den sidste vinkel ikke er angivet med et grader -tegn, skal den forstås som et radiantal.) Øvelse 8 En lommeregner har oplyst at ( ) 1 cos 1 = 1, Hvilken vinkelangivelse er lommeregneren indstillet til? Den næste opgave er meget, meget svær. Så hvis du ikke trænger til udfordringer, så spring den over. side 25

28 Øvelse 9 En vinkel på 0 er præcis den samme som en vinkel på 0 (underforstået: radianer). Derfor vil en lommeregner udregne: cos(0) = 1 uanset om den er indstillet til at angive vinkler i grader eller radianer. 1. Findes der andre tal end 0 som giver præcis den samme værdi af cosinus, uanset om lommeregneren er indstillet til at måle vinkler i grader eller radianer? 2. Findes der andre tal end 0 hvor cosinus giver værdien 1, uanset om lommeregneren er indstillet til at måle vinkler i grader eller radianer? 6.6 Lidt radianmagi Hvis du stadig synes at radianbegrebet er fjollet, så prøv følgende lille eksperiment: Vi minder lige om definitionen af fakultet tegnet: Definition 4 Hvis n er et naturligt tal, så er n! (læses: n-fakultet ) defineret som: n! = n (n 1) (n 2) 2 1 F.eks. er: Her kommer eksperimentet: 5! = = 120 side 26

29 Øvelse 10 Et eksperiment med radiantal: 1. Vælg en vinkel (frit valg!) og lad x være vinkels radiantal. 2. Udregn cos(x) og sin(x). (Husk at indstille lommeregneren til at regne i radianer!) 3. Udregn følgende: 1 1 2! x ! x4 1 6! x ! x8... (Indse mønstret og tag så mange led med som du har lyst til.) 4. Udregn følgende: x 1 3! x ! x5 1 7! x ! x9... (Indse mønstret, og tag så mange led med som du har lyst til.) 5. Hvordan tror du at lommeregneren beregner de trigonometriske funktioner? 6.7 Nygrader Nogle totalt mærkelige mennesker fra Frankrig indførte på et tidspunkt omkring 1970 endnu et vinkelbegreb, nemlig de såkaldte nygrader. Ideen var at en hel omgang skulle angives med tallet 400 og at en ret vinkel således skulle angives med tallet 100. side 27

30 Dette er en kandidat til den dummeste og mest ubrugelige definition der nogensinde er lavet i matematik. Det bliver endnu værre af at nygrader på engelsk (og fransk) forkortes: grad, hvilket minder frygteligt meget som det danske ord grader (der på både engelsk og fransk forkortes: deg ). Forvirret? Det kan jeg godt forstå! Dette er grunden til at man som regel vælger latinske eller græske navne til matematiske begreber, fordi sådanne ord lyder næsten ens på alle sprog. Og grunden til at man sjældent lader franskmænd navngive noget som helst. :) Nygrader bliver stort set ikke brugt nogen steder (der findes dog undtagelser f.eks. i visse spejderbevægelser og i det franske artelleri). Men nogle lommeregnere har denne tredie indstillingsmulighed for vinkelangivelse, så vi nævner at den findes for at undgå forvirring i forbindelse med den slags lommeregnere. Hvis din lommeregnere har en indstilling for vinkler der hedder grad, så lad være med at tro at det betyder grader! Kig i stedet på sætning 6 hvis du vil være sikker på hvilken indstilling din lommeregner bruger. side 28