INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler deres forståelse af algebra og deres fortrolighed med at bruge algebra som et redskab fx til at løse matematiske problemer. Eleverne har tidligere arbejdet med algebra som en proces, hvor en problemstilling, hændelse eller andet fænomen fra virkeligheden oversættes til et algebraisk udtryk, dernæst kan det algebraiske udtryk evt. omskrives, og dernæst tolkes i forhold til den problemstilling, hændelse eller lignende, der var udgangspunktet. Igennem første del af kapitlet kommer eleverne især til at arbejde med midterste del af processen, hvor det handler om at omskrive algebraiske udtryk. Her er symbolbehandlingskompetencen central, idet fokus er på at bruge variable i formler, i forbindelse med reduktion og forskellige parentesregler. Geometriske repræsentationer bliver brugt som støtte til at udvikle parentesregler og som repræsentation for regnereglerne. Ved at forklare sammenhængen mellem algebraiske udtryk og geometriske repræsentationer arbejder eleverne med repræsentationskompetencen. Ræsonnementskompetencen er i spil, både når eleverne udvikler regneregler og generaliserer fx udvikling af et mønster (side 75) og sammenhænge mellem tal (side 78). I sidste del af kapitlet skal eleverne arbejde med at løse problemstillinger fra hverdagen ved hjælp af ligninger og uligheder. Her er hele processen med at oversætte, omskrive og tolke i højere grad i spil. Forskellige situationer beskrives både med ligninger/uligheder, tabeller, grafer og sproglige repræsentationer (repræsentationskompetencen). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, idet et funktionsprogram kan anvendes i forbindelse med grafisk løsning af ligninger og uligheder. Endelig er hensigten også, at eleverne får en forståelse for og et overblik over regler for løsning af ligninger og uligheder. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable parentesregler reduktion ligninger uligheder grafisk løsning af ligninger og uligheder ALGEBRA 1
Huskeliste: Kopiark 1 (til side 72) Kopiark 2 (til side 77) Formelsamling (til side 77) Kopiark 3 (til side 78) Funktionsprogram (til side 82, 83) FRA FAGHÆFTET Kompetencer opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (problembehandlingskompetence) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (ræsonnementskompetence) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge arbejde med talfølger og forandringer med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk I arbejdet med geometri at arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation ALGEBRA 2
Matematik i anvendelse anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at forstå algebra og med at bruge algebra. Målet er, at I bliver bedre til at bruge variable i regneudtryk og formler bliver bedre til at forenkle regneudtryk ved at reducere får overblik over forskellige parentesregler bliver bedre til at bruge ligninger og uligheder til problemløsning i matematik undersøger og udvikler regler til at løse uligheder ALGEBRA 3
Facit: Side 72 - Mundtlig 1. a. 16 cm2 b. Det giver ikke mening med negative tal i formlen, men alle positive reelle tal kan anvendes. c. Ja, fx A =. d. A =. e. A =. 2. Det bliver muligt at udtrykke generelle sammenhænge. 3. (a + b)2 er et udtryk for arealet af kvadratet med sidelængden a + b. a2 og b2 er et udtryk for arealet af de små kvadrater. 2ab er et udtryk for arealet de to rektangler. 4. (a - b)2 er et udtryk for arealet af kvadratet med sidelængden a - b. a2 er et udtryk for arealet af det store kvadrat, og b2 er et udtryk for arealet af det lille kvadrat. 2ab er et udtryk for arealet de to rektangler. Når 2ab trækkes fra a2, bliver b2 trukket fra to gange, derfor skal b2 lægges til. 5. Det bliver muligt at udtrykke nogle generelle regler for regning med parenteser. Side 73 - Mundtlig 6. a. 7,5 150 = x eller x : 7,5 = 150. b. x 7,5 = 100 7. Vi bruger variable til at betegne de tal, vi leder efter. 8. x = 4, x = 5, x = 1. 9. Fx når man løser ligninger eller vil forenkle regneudtryk, man skal regne videre med. Side 74 Færdighed Se grundbogen s. 184 ALGEBRA 4
Side 75 Problem 1. Figur nr. 1 2 3 4 5 6 10 n Antal hvide kvadrater Antal røde kvadrater Antal gule kvadrater Antal kvadrater i alt 4 6 8 10 12 14 22 2n +2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 15 24 35 48 120 n (n+2) = n 2 + 2n 9 16 25 36 49 64 144 2n+4+n 2 +2n 2. (n + 2) 2 = n 2 + 4 + 4n 2n + 4 + n 2 + 2n = n 2 + 4 + 4n Side 76 Mundtlig 1. - 2. 2a + (3a + 2b) b = 2a + 3a + 2b b = 5a + b 5 + (a + 3) 2a = 5 + a + 3 2a = -a + 8 3b (b + 5) + 6 = 3b b 5 + 6 = 2b + 1 7 (-2 3a) 2a = 7 + 2 + 3a 2a = a + 9 3. Bemærk, at de to opgaver giver mulighed for at drøfte parentesens betydning, idet tal og regnetegn er ens i begge opgaver. Regneudtrykket kan fx beskrive en person med 200 kr. Der købes noget til 35 kr., og han får 24 kr. af en, som har skyldt ham penge. Regneudtrykket beskriver, hvor mange personen så har. Regneudtrykket kan fx beskrive en situation, hvor der handles varer til 35 kr. og 24 kr. Der betales med 200 kr. De samlede udgifter beregnes og dernæst trækkes fra 200 kr. 4. a og (b + c + d) svarer til længderne af figurens to sider. a b er et udtryk for hele figurens areal. ab, ac og ad udtrykker arealet af figurens små rektangler. 5. 10 2 + 10 5 + 10 3 7a + 7 5 + 7c 2d + de + df ALGEBRA 5
6. a og (b + c d) svarer til figurens to sidelængder, og a (b + c d) svarer til arealet af den blå del af figuren. ab + ac svarer til arealet af hele figuren; ad skal trækkes fra for at få arealet af den blå del. 7. a. 8 2 + 8 3 8 4 = 8 b. 2a 2b + 10 c. ab 3a + 6a Side 77 Mundtlig 8. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 9. a. (3 + a)(b + 2) = 3b + 6 + ab + 2a b 2 3 3b 6 a ab 2a b. 2c 2 + 17c + 8 c. 100 + 16 + 80 = 196 d. b2 + 6b + 9 e. 4a 2 + 12a + 9 10. a b Sandt. Sandt. 11. Arealet af det blå rektangel kan findes ved (a + b)(a - b). Det lille rektangel med arealet b(a b) kan skæres af og lægges under det blå område. Herved ses, at (a + b)(a b) = a 2 b 2. 12. ALGEBRA 6
Side 78 Problem 1. a. Summen af de grønne tal og summen af de blå tal er 38 i det første kvadrat og 50 i det andet kvadrat, dvs. det dobbelte af tallet i midten. b. Differensen mellem de grønne tal er 20 i begge kvadrater, og differensen mellem de blå tal er 18 i begge kvadrater. c Produktet af de grønne tal er 261 i første kvadrat og 525 i andet kvadrat. Produktet af de blå tal er 280 i første kvadrat og 544 i andet kvadrat. 2. I hvert kvadrat er summen af de grønne tal lig med summen af de blå tal. differensen mellem grønne tal er 20. differensen mellem blå tal 18. differensen mellem produktet af de blå tal og produktet af de grønne tal 19. 3. t - 9 t + 1 t + 11 t - 10 t t + 10 t - 11 t - 1 t + 9 4. a. (t + 10) + (t 10) = 2t. (t + 9)(t 9) = 2t. b. (t + 10) (t 10) = 20. (t + 9) (t 9) = 18. c. (t + 10)(t -10) = t 2 100. (t + 9)(t 9) = t 2 81. 5. Side 79 Færdighed Se grundbogen s. 185 ALGEBRA 7
Side 80 Mundtlig 1. y = 30x svarer til prisen for at bruge internettet, hvis man ikke er medlem. Det koster 30 kr. i timen, og x er antal timer. y = 25x + 30 svarer til at bruge internettet som medlem. Det koster 30 kr. at være medlem om måneden og 25 kr. pr. time at bruge internettet. x er antal timer. 2. Den blå graf svarer til y = 30x. Den skærer y-aksen i (0,0), da det ikke koster noget, hvis internettet ikke bruges. Hældningen er 30. Den røde graf svarer til y = 25x + 30. Den skærer y-aksen i (0,30), da det koster 30 kr., uanset om internettet bruges. Hældningen er 25. 3. 6 timer. Det kan aflæses i tabellen, på grafen eller beregnes ved at løse ligningen over graferne. 4. Skæringspunktet fortæller, hvor mange timer man skal bruge internettet, for at prisen er det samme uanset, om man er medlem eller ej. 5. I skæringspunktet har de to oprindelige ligninger samme x- og y-værdi. Ved at løse ligningen finder vi ud af, hvornår de to oprindelige ligninger har samme x- værdi. 6. 7. a. x = 6 b. x = 6 a. y = 180 b. y = 180 Side 81 Mundtlig 8. Ulighederne til venstre beskriver, hvor meget man skal bruge internettet for, at det er billigst ikke at være medlem eller koster det samme, som at være medlem. Uligheden til højre beskriver, hvornår det er billigst at være medlem. 9. Hvis man bruger internettet 6 timer om måneden, er prisen det samme. Hvis man bruger internettet mindre end 6 timer om måneden, kan det bedst betale sig ikke at være medlem. Hvis man bruger internettet mere end 6 timer om måneden, kan det bedst betale sig at være medlem. ALGEBRA 8
10. Den lukkede cirkel betyder, at intervallet er lukket, og tallet skal regnes med. Den åbne cirkel betyder, at tallet ikke skal regnes med. 11. Den åbne cirkel betyder, at 6 ikke skal regnes med. x skal være større end 6. 12. a. x = 2, y = 3 13. x < 2 ALGEBRA 9
Side 82 Problem 1. a. y = 75x b. 2. 75x = 450 3. (Ingen negative værdier) x = 6 (Ingen negative værdier) ALGEBRA 10
4. a. Mindre end 6 gange. b. Mere end 6 gange. 5. a. 75x < 450 b. 75x > 450 6. a. 250 kr. betales i startgebyr og 230 kr. om måneden. x er antal måneder, så ligningen beskriver prisen for antal måneder. b. (Ingen negative værdier) c. 230x + 250 < 450 x x > 1,136 Hvis Katrine træner to måneder er det billigst for hende at være medlem. Side 83 Problem 1. x = -2 og x = 4. ALGEBRA 11
2. a. x = -1 og x = 3 b. ALGEBRA 12
x = -2 og x = 1 c. x = -2 og x = 3 3. Nej, der er ingen løsning til ligningen. 4. a. Der er én løsning, x = 2. b. Der er ingen løsninger. c. Der er to løsninger, x = -0,5 og x = 1. d. Der er ingen løsninger. 5. Fx a. y = 2x + 5 og y = x + 9 b. y = x2 og y = x + 12 c. y = -x2 og y = x + 5 ALGEBRA 13
Side 84 Mundtlig 1 2. x = 1 x = 7 x = 14 x = 2 x = 1 3. 4. a og b. 5. x = -5 og x = 5 6. a. x = -5 og x = 5 b. x = -6 og x = 6 c. x = -2 og x = 2 Side 85 Mundtlig 8. Hvilke tal kan vi lægge til 8 og få en sum, der er mindre end 20? x < 12. 9. a. 6, 7 b. 2, 3, 4, 5, 6, 7 c. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 d. 1, 2, 3 10. a. x > 3 b. x < 11 c. x 3 d. x 2 e. x > 100 f. x < -7 eller x > 7 g. -9 < x < 9 11. a. x < 3 b. - 12. x > 4 ALGEBRA 14
13. 14. x < -1 x < 8 x > -2 x -7 x > 4 Side 86 Færdighed Se grundbogen s. 185 Side 87 Færdighed Se grundbogen s. 185-186 ALGEBRA 15