Jørgen Brandt 1
Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4 3 6 7 1 7 9 3 2 6 5 2
Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Hemmeligheden bag 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4 3 6 7 1 7 9 3 2 6 5 2
Men hvad er? Hemmeligheden bag Antal Minimal Odds and Ends Det er sjovt! 2 3 9 7 1 4 7 2 8 5 2 9 1 8 7 4 3 6 7 1 7 9 3 2 6 5 2
Men hvad er? Spillet Latinske Antal Men hvad er? Minimal Odds and Ends 3
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. 4
Spillet Men hvad er? Spillet Latinske Antal Minimal Odds and Ends Et tal spil på en 9 9 matrix inddelt i 9 bokse. Hver boks B i en 3 3 matrix. Visse indgange er givne (symmetri). Udfyld så hver række, hver søjle og hver boks indeholder alle tallene 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Entydig løsning. Ikke gætte! 4
Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: Antal Minimal Odds and Ends 5
Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Antal Minimal Odds and Ends 5
Latinske Men hvad er? Spillet Latinske Antal Et udfyldt kvadrat er specielt et Latinsk kvadrat: En n n-matrix hvor hver række og hver søjle indeholder alle elementer fra M, hvor M = n. Som regel er M = {1,2,...,n}. Minimal Odds and Ends 5
Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends 6
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal.... 4.. 1 9 9... 5.. 4 3... 9.. 8. 5 6. 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1... 5 9.. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal.... 4.. 1 9 9... 5.. 4 3... 9.. 8 7 5 6 7 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1... 5 9.. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal.... 4.. 1 9 9... 5.. 4 3... 9.. 8 7 5 6 7 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9.. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal.... 4.. 1 9 9... 5.. 4 3... 9.. 8 7 5 6 7 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9 7. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal 7... 4.. 1 9 9... 5.. 4 3... 9.. 8 7 5 6 7 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9 7. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal 7... 4.. 1 9 9... 5 7. 4 3... 9.. 8 7 5 6 7 9........ 3 7. 2 5........ 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9 7. 3... 2 1 6.. 7.... Minimal Odds and Ends Skjulte singler 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Flere simple udfyldninger 7... 4.. 1 9 9.. 1 5 7. 4 3... 9 2. 8 7 5 6 7 9.... 2... 3 7 6 2 5 9. 2..... 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9 7. 3. 1. 2 1 6. 2 7.... 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal 7... 4.. 1 9 9.. 1 5 7. 4 3... 9 2. 8 7 5 6 7 9.... 2... 3 7 6 2 5 9. 2..... 7. 6 3. 2.. 1.. 7 5 9 7. 3. 1. 2 1 6. 2 7.... Minimal Odds and Ends En single 4 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal 7... 4.. 1 9 9.. 1 5 7. 4 3 4.. 9 2. 8 7 5 6 7 9?.?? 2? 8? 3 7 6 2 5 9? 2???.? 7. 6 3? 2?. 1?. 7 5 9 7? 3? 1. 2 1 6? 2 7??.? Minimal Odds and Ends Muligheder for 4. 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal 7... 4.. 1 9 9.. 1 5 7. 4 3 4.. 9 2. 8 7 5 6 7 9?.?? 2? 8? 3 7 6 2 5 9? 2???.? 7. 6 3? 2?. 1?. 7 5 9 7? 3? 1. 2 1 6? 2 7??. 4 Minimal Odds and Ends Denne er umulig! 7
Eksempel Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends 7... 4.. 1 9 9.. 1 5 7. 4 3 4.. 9 2. 8 7 5 6 7 9?.? 4 2? 8? 3 7 6 2 5 9? 2? 4?.? 7. 6 3 4 2?. 1?. 7 5 9 7? 3? 1. 2 1 6? 2 7??. 4 Konsekvens: Ingen muligheder i midterste boks! 7
Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. 8
Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Minimal Odds and Ends Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. 8
Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Minimal Odds and Ends 8
Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Minimal Odds and Ends 8
Generaliseringer Men hvad er? Eksempel Generaliseringer Antal Mange varianter. Størrelse: Et n 2 n 2 - kvadrat er et n 2 n 2 -Latinsk kvadrat hvor hvert n n-delkvadrat indeholder tallene 1,2,...,n 2. Almindelig har n = 3. Regioner: gerechte design. Mere senere. Minimal Odds and Ends 8
Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Antal Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 9
Antal Men hvad er? S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 S(4) =? 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) = 5472730538 10
Antal Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat S(n) er antal fyldte af størrelse n 2 n 2 S(1) = 1 S(2) = 288 S(3) = 6670903752021072936960 S(4) =? Ses bort fra symmetri er tallene S(1) = 1 S(2) = 2 S(3) = 5472730538 S(4) =? 10
Antal Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) antal Latinske of størrelse n n. 1 1 2 2 3 12 4 576 = 2*S(2) 5 161280 6 812851200 7 61479419904000 8 108776032459082956800 9 5524751496156892842531225600 10 9982437658213039871725064756920320000 11 776966836171770144107444346734230682311065600000 L(9) 828186S(3). 11
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Lige mange muligheder for hver boks 1 Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler 1 2 3 4 Lige mange muligheder for hver boks 1 (permuter) S(2) = 4!... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler 1 2 3 4 3 4 Lige mange muligheder for hver 1. række (ombyt 3. og 4. søjle) S(2) = 4! 2... Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 1 2 3 4 3 4 2 4 Lige mange muligheder for hver 1. søjle (ombyt 3. og 4. række) S(2) = 4! 2 2... 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Tvungent felt 1 2 3 4 3 4 2 4 4 S(2) = 4! 2 2... 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed 1 2 3 4 3 4 1 2 2 4 4 S(2) = 4! 2 2... 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 1 2 3 4 3 4 1 2 2 x 4 y 4 y 2 x giver to muligheder: {x,y} = {1,3} S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 2. række mulighed 1 2 3 4 3 4 2 1 2 4 4 S(2) = 4! 2 2 (2+?) 12
Antal for n = 2 Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 1 2 3 4 3 4 2 1 2 1 4 3 4 3 1 2 giver kun en mulighed S(2) = 4! 2 2 (2 + 1) = 288 12
Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! 13
Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13
Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e 13
Antal Latinske rektangler Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(r,n) antal Latinske r n rektangler. antal fixpunktfri permutationer i S n for r ikke alt for stor L(1,n) = n! L(2,n) n!2 e L(r,n) n!r e (r 2) 13
Asymptotisk resultat Men hvad er? L(n) 1/n2 n e 2,n Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat 14
Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n 1 7.389056099 2 4.393559043 3 3.246210935 4 2.748244565 5 2.387383456 6 2.177399005 7 2.017871805 8 1.899196094 9 1.806525693 10 1.732133375 11 1.671031855 14
Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2,n Beviset bygger på en berømt formodning af Van der Waerden (1926, bevist 1981) og en formodning af M. Minc (1967, bevist 1973). 14
Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved per(a) = n σ S n i=1 a i,σ(i) 15
Permanenter Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A har permanent givet ved Sammenlign med determinanten per(a) = n det(a) = σ S n i=1 σ S n ( 1) s(σ) a i,σ(i) n i=1 a i,σ(i) 15
Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har per(a) n! n n 16
Van der Waerden s formodning Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat En n n-matrix A hvor alle 0 a i,j 1, og hvor alle række-summer og alle søjle-summer er lig 1 (dobbelt stokastisk), har Lighed gælder kun for per(a) n! n n 1/n 1/n... 1/n 1/n 1/n... 1/n...... 1/n 1/n... 1/n. 16
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. 17
Permanenter og Latinske Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat R er et r n Latinsk rektangel. A en n n 0-1-matrix hvor a i,j = 1 hvis tallet i ikke forekommer i søjle j i R. A har konstant række/søjle-sum lig n r. 1 n r A er dobbelt stokastisk dvs. per(a) (n r) n n!/n n per(a) er antal mulige rækker r + 1 der kan tilføjes R. L(n) n 1 r=0 (n r) n n! n n = n!2n n nn 17
Asymptotisk resultat Men hvad er? Dette giver nedre grænse i Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat L(n) 1/n2 n e 2 18
Asymptotisk resultat Men hvad er? Antal Antal Antal Latinske Antal for n = 2 Antal Latinske rektangler Asymptotisk resultat Permanenter Van der Waerden s formodning Permanenter og Latinske Asymptotisk resultat Dette giver nedre grænse i L(n) 1/n2 n e 2 En anden sætning om permanenter giver den øvre grænse: per(a) n i=1 r 1/r i i for 0-1-matrix med rækkesummer r 1,r 2,...,r n. 18
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 19
Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20
Hall s sætning Men hvad er? Antal Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 20
Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K 20
Hall s sætning Men hvad er? Familie af mængder A = (A 1,A 2,...,A n ). En SDR er et n-tuple af forskellige elementer (x 1,x 2,...,x n ) så Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og x 1 A 1,x 2 A 2,...,x n A n Hall s Sætning: A har en SDR hvis og kun hvis K {1,2,...,n} A i K i K Mængden {x 1,x 2,...,x n } kaldes en transversal for A. 20
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. 21
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! 21
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. 21
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Udfyldning af en række, en søjle, en boks eller et tal i, er en SDR for passende familie. Sidebetingelser! Hvis delfamilie kun har én SDR, kan den indsættes. Hvis delfamilie kun har én transversal, kan den udelukkes andre steder. 21
Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
Eksempler, én familie Men hvad er? Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 22
Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22
Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. 22
Eksempler, én familie Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Famile: (fra række, søjle eller boks) A 1,...,A k. Single: A i = {x}. Her skal x bruges for A i. Skjult single: {i x A i } = {j}. Her skal x bruges for A j. Par: A i1 A i2 = {x,y}. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. Skjult par: {i {x,y} A i } = {i 1,i 2 }. Her skal x,y bruges for A i1,a i2. De kan udelukkes fra de øvrige. etc. 22
Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 I B-familien skal B 5 eller B 6. R 1,R 2,...,R 9 23
Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og B 1,B 2,...,B 9 Derfor kan ikke ligge i R 1,R 3,R 7 eller R 8. R 1,R 2,...,R 9 23
Eksempler, to familier Men hvad er? Familiepåvirkning B R. Muligheder for : Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Flere konsekvenser. 23
(Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 7 4 1 9 9 1 5 7 4 3 4 9 2 8 7 5 6 7 9 2 8 3 7 6 2 5 9 2 7 6 3 2 1 7 5 9 7 3 1 2 1 6 2 7 24
(Eksemplet fra tidligere) Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Muligheder for placering af 4: 7 4 1 9 9 1 5 7 4 3 4 9 2 8 7 5 6 7 9 2 8 3 7 6 2 5 9 2 7 6 3 2 1 7 5 9 7 3 1 2 1 6 2 7 A 4 = {4,6,7,9},A 5 = {2,9},A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7},A 8 = {4,6},A 9 = {3,6,7,9} 24
, 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 25
, 2-delt graf Men hvad er? Antal A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25
, 2-delt graf Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A 4 A 5 A 6 A 7 A 4 = {4,6,7,9}, A 5 = {2,9}, A 6 = {2,3,4,6} A 7 = {2,4,7}, A 8 = {4,6}, A 9 = {3,6,7,9} 1 2 3 4 5 6 7 A 8 8 A 8 8 A 9 9 A 9 9 A 4 A 5 A 6 A 7 1 2 3 4 5 6 7 25
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 1 2 3 4 5 6 7 8 9 En matching, men ikke til. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til 7 4 1 9 9 1 5 7 4 3 4 9 2 8 7 5 6 7 9 4 2 8 4 3 7 6 2 5 9 2 4 7 6 3 2 4 1 7 5 9 7 3 4 1 2 1 6 2 7 4 27
Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Matchingen svarer til der er Latinsk, men ikke 7 4 1 9 9 1 5 7 4 3 4 9 2 8 7 5 6 7 9 4 2 8 4 3 7 6 2 5 9 2 4 7 6 3 2 4 1 7 5 9 7 3 4 1 2 1 6 2 7 4 27
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. 28
Transversaler og Matroider Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Partiel transversal (PT) for A er en transversal for en delfamilie. M mængden af alle PT for A. M er en (transversal) matroide: M Q P M Q M P,Q M, P > Q x P \Q : Q {x} M Vektor matroider. Regulære matroider. Grafiske matroider. 28
Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. 29
Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? 29
Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. 29
Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. 29
Ufuldendte Latinske Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Et n n-kvadrat med visse indgange givet på Latinsk vis er et ufuldstændigt Latinsk kvadrat. Hvilke ufuldstændige Latinske kan fuldendes? Delvist løst. Generelt et svært problem: NP-komplet. Er lettere? 29
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og A i = {1,2,...,n}\ søjle i. r A 1 A 2 A n 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) 30
Ufuldstændige Latinske rektangler Men hvad er? Antal Sætning: Et r n Latinsk rektangel kan fuldendes til et n n Latinsk kvadrat. n Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r A 1 A 2 A n A i = {1,2,...,n}\ søjle i. Gyldig række r + 1 SDR for A = (A 1,...,A n ). A i = n r, x tilhører netop n r af mængderne A i. A(J) (n r) {(x,a i ) x A i,i J} = J (n r) dvs. A(J) J, er opfyldt. Hall s sætning giver SDR. 30
Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. 31
Ryser s sætning s Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og r n Ryser s Sætning: r s-rektangel kan fuldendes til n n Latinsk kvadrat hvis og kun hvis x : N(x) r + s n. N(x) er antal gange x forekommer. n 31
Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 6 9 6 6-del helt udfyldt 9 32
Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 6 9 9 x : N(x) = 4 32
Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 6 9 9 N(x) = 4 > 6 + 6 9 = r + s n 32
Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 6 9 9 N(x) = 4 > 6 + 6 9 = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. 32
Ryser s sætning og Men hvad er? Ufuldstændigt kvadrat: 6 Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 6 9 9 N(x) = 4 > 6 + 6 9 = r + s n Det ufuldstændige kvadrat kan udvides til et Latinsk kvadrat. Altid et kvadrat. 32
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 33
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 33
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. 33
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Sætning: Et ufuldstændigt n 2 n 2 - kvadrat med de (n 1) (n 1) øverste venstre bokse udfyldt på vis, kan altid fuldendes til et kvadrat. Bevis: De udfyldte bokse indeholder hvert symbol præcis en gang, så N(x) = (n 1) 2 > (n 1)n + (n 1)n n 2 så kvadratet kan i fuldendes Latinsk ifølge Ryser s sætning. Det fuldendte kvadrat er nødvendigvis også. 33
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: 1 2 3 4 5 4 5 6 7 8 7 8 9 1 2 3 1 6 2 4 2 4 8 5 7 Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = 5 + 5 9) 34
Ryser s sætning og Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Ufuldstændigt kvadrat: 1 2 3 4 5 4 5 6 7 8 7 8 9 1 2 3 1 6 2 4 2 4 8 5 7 Kan fuldendes til Latinsk (da N(x) 1 = 5 + 5 9), men ikke til et kvadrat. 34
Evan s formodning Men hvad er? Antal Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og 35
Evan s formodning Men hvad er? Antal Hall s sætning Eksempler, én familie Eksempler, to familier (Eksemplet fra tidligere), 2-delt graf Transversaler og Matroider Ufuldendte Latinske Ufuldstændige Latinske rektangler Ryser s sætning Ryser s sætning og Ryser s sætning og Uden struktur på de udfyldte pladser gælder Sætning: Et ufuldstændigt Latinsk kvadrat af orden n med højst n 1 udfyldte pladser, kan altid fuldendes til et Latinsk kvadrat af orden n. n 1 er bedst mulig. 35
Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 36
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? 37
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. 37
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. 37
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? 37
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. 37
Kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends Hvor svært er (for vilkårlig n)? er NP komplet. Beviset er for generel. Hvad med rigtig med entydig løsning? Algoritmer kan bruge denne information. Universet er mindre. 37
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen 8 9 7 1 1 2 9 4 6 4 7 9 1 3 5 8 1 2 4 6 4 2 8 5 1 6 7 3 Situation hvor entydighed kan bruges. Minimal Odds and Ends 38
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen 8 6 3 9 7 1 1 2 9 6 4 6 7 1 4 7 9 8 1 1 3 4 5 9 8 6 1 2 5 4 8 1 3 7 4 9 6 4 2 8 6 5 1 7 1 6 7 9 5 4 3 Normale metoder giver dette Minimal Odds and Ends 38
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal hvor x {2,5} og y {2,3,5,6}. 8 6 3 9 7 1 1 2 9 6 4 6 7 1 4 x y 7 9 8 1 1 3 4 5 9 8 6 1 2 5 4 8 x x 1 3 7 4 9 6 4 2 8 6 5 1 7 1 6 7 9 5 4 3 Odds and Ends 38
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen 8 6 3 9 7 1 1 2 9 6 4 6 7 1 4 x y 7 9 8 1 1 3 4 5 9 8 6 1 2 5 4 8 x x 1 3 7 4 9 6 4 2 8 6 5 1 7 1 6 7 9 5 4 3 Entydighed udelukker mulighederne 2 og 5 fra y! Minimal Odds and Ends 38
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * 6 3 9 7 1 * * 1 * 2 9 6 4 * 6 * * * 7 1 * * * 4 5 2 7 9 8 1 * * * 1 * 3 4 5 * * 9 * * 8 6 1 2 * 5 4 8 2 5 1 3 7 4 9 6 * 4 * 2 8 6 5 1 7 1 6 7 9 5 4 * 3 * Hvis dette er en løsning, Minimal Odds and Ends 38
Entydighed Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen * 8 * * 6 3 9 7 1 * * 1 * 2 9 6 4 * 6 * * * 7 1 * * * 4 2 5 7 9 8 1 * * * 1 * 3 4 5 * * 9 * * 8 6 1 2 * 5 4 8 5 2 1 3 7 4 9 6 * 4 * 2 8 6 5 1 7 1 6 7 9 5 4 * 3 * er dette en anden løsning! Minimal Odds and Ends 38
kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet 39
kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat 39
kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs 39
kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs Udtag det fuldendte L 39
kompleksitet Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends At fuldende partielle Latinske L af orden n er NP-komplet Indbyg L i et ufuldstændigt kvadrat Løs Udtag det fuldendte L er NP-komplet 39
Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 2 2 1 3 40
Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 2 2 1 L indlejres i n 2 - S så udfyldninger af S er 1-1 med Latinske udfyldninger af L. 3 1 2 4 5 7 8 4 5 7 8 1 2 7 8 1 2 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 1 2 3 4 8 9 1 2 3 4 5 6 7 40
Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 2 2 1 L indlejres i n 2 - S så udfyldninger af S er 1-1 med Latinske udfyldninger af L. 3 1 2 6 4 5 3 7 8 6 4 5 7 8 1 2 7 8 9 1 2 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 1 2 3 4 8 9 1 2 3 4 5 6 7 40
Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 2 2 1 L indlejres i n 2 - S så udfyldninger af S er 1-1 med Latinske udfyldninger af L. 3 9 1 2 6 4 5 3 7 8 6 4 5 3 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 6 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 1 2 3 4 8 9 1 2 3 4 5 6 7 40
Reduktionen Men hvad er? Antal Kompleksitet Entydighed kompleksitet Reduktionen Minimal Odds and Ends 3 2 1 2 1 3 1 3 2 algoritmen giver altså en Latinsk kvadrat algoritme. Kompleksiteten er af samme type. 9 1 2 6 4 5 3 7 8 6 4 5 3 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 6 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 1 2 3 7 8 9 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 1 2 3 4 8 9 1 2 3 4 5 6 7 40
Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 41
Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 42
Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis a i,j b i,j Minimal 42
Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal R = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 42
Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal R = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 R S S = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42
Ortogonale Men hvad er? Antal A og B er n n-matricer på {1,2,...,n}. A B: De n 2 par (a i,j,b i,j ) er indbyrdes forskelllige. a i,j b i,j Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal B = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 4 4 4 5 5 5 6 6 6 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 7 7 7 8 8 8 9 9 9 7 7 7 8 8 8 9 9 9 42
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 43
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S Minimal 43
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. 43
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. 43
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. A er et kvadrat hvis og kun hvis A R A S A B 43
Ortogonale Latinske Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal A en n n-matrix på {1,2,...,n}. A er et Latinsk Kvadrat hvis og kun hvis A R A S A R er ækvivalent med at hver række indeholder alle symboler. A S er ækvivalent med at hver søjle indeholder alle symboler. A er et kvadrat hvis og kun hvis A R A S A B A B er ækvivalent med at hver boks indeholder alle symboler. 43
Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Minimal 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Minimal 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. Er der ortogonale? 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal Findes der Latinske L 1,L 2 af orden n så L 1 L 2 Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Euler fandt konstruktioner for ulige n og hvis 4 n. Euler viste (mere eller mindre) at n {2,6} er umulige. Euler s formodning: Der findes et par ortogonale Latinske af orden n hvis og kun hvis n 2 (mod 4). Modbevist i 1950: Euler havde kun ret for n {2,6}. Er der ortogonale? Det vender vi tilbage til 44
Euler s formodning Men hvad er? Antal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y, a = xy 1 der findes når G ulige 45
Euler s formodning Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal For n ulige er multiplikations- og divisionstabellen for en gruppe af orden n ortogonale A = [ab] G G,B = [a 1 b] G G A og B er klart Latinske Givet x,y G, find a,b G : ab = x,a 1 b = y x = ab = a 2 a 1 b = a 2 y, a = xy 1 der findes når G ulige x x 2 er surjektiv når G er ulige. 45
Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46
Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46
Funktionen N(n) Men hvad er? Antal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 46
Funktionen N(n) Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} n = 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 46
Funktionen N(n) Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal N(n) det største antal parvist ortogonale Latinske af størrelse n Euler s formodning: N(n) 2 n 2 (mod 4) Sætning: N(n) 2 n {2,6} n = 3 n = 4 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 4 2 2 4 3 1 3 1 2 4 4 2 1 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 4 2 3 2 3 1 4 3 2 4 1 4 1 3 2 46
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj L a er et Latinsk kvadrat Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj L a er et Latinsk kvadrat For a,b F q,a b er L a L b Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Heraf følger N(n) 2 for n 2 (mod 4) Minimal 47
Endelige legemer Men hvad er? Antal F q det endelige legeme med q elementer (primtalspotens) Definer q q- L a for a Fq ved L a (i,j) = i + aj Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis L a er et Latinsk kvadrat For a,b Fq,a b er L a L b Sætning: For q en primtalspotens er N(q) q 1 Sætning: N(nm) min{n(n),n(m)} Heraf følger N(n) 2 for n 2 (mod 4) Man kan endda bevise at N(n) for n Minimal 47
Endelige Planer Men hvad er? Der gælder altid N(n) n 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48
Endelige Planer Men hvad er? Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48
Endelige Planer Men hvad er? Antal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48
Endelige Planer Men hvad er? Antal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 48
Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z 48
Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan 48
Endelige Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Der gælder altid N(n) n 1 Sætning: For q en primtalspotens er N(q) = q 1 N(n) = n 1 hvis og kun hvis der findes en affin/projektiv plan af orden n Kendes kun for n en primtalspotens For n 1,2 (mod 4) er en nødvendig betingelse at n = a 2 + b 2 for a,b Z Fx for n = 6 findes ingen projektiv plan For n = 10 findes ingen projektiv plan (men 10 = 1 2 + 3 2 ) 48
Planer Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Affin plan af orden 3 og projektiv plan af orden 2. Minimal 49
Gerechte designs Men hvad er? Antal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 50
Gerechte designs Men hvad er? Antal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. fås hvis regionerne er underne. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 50
Gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Gerechte design (1956, W.U.Behrens): Et n n Latinsk kvadrat inddelt i regioner R 1,...,R n så hvert symbol forekommer netop en gang i hver region. fås hvis regionerne er underne. : A et Latinsk kvadrat, R i cellerne indeholdende symbolet i. Et gerechte design er da en ortogonal mage til A. 50
Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal 51
Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R 51
Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale. 51
Ortogonale gerechte designs Men hvad er? Antal Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis Minimal Regioner R 1,...,R n af n n matricen. Sætning: Der er højst n d indbyrdes ortogonale gerechte designs, hvor d = max L R over alle linier L og regioner R. L R Korollar: Der er højst 6 indbyrdes ortogonale. Korollar: Der er højst n 1 indbyrdes ortogonale Latinske af orden n. 51
Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal 1 1... Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Minimal 52
Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal 1 1... Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Minimal 52
Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal 1 1... Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. Minimal 52
Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal 1 1... Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige! Minimal 52
Bevis R c c Men hvad er? L 1 1 Antal 1 1... Ortogonale Ortogonale Latinske Euler s formodning Euler s formodning Funktionen N(n) Endelige legemer Endelige Planer Planer Gerechte designs Ortogonale gerechte designs Bevis S 1 S 2 Indbyrdes ortogonale S 1,...,S k. Vælg celle c L \ R. Permuter symboler i S i så c = 1. I R\L har hver S i et 1-tal. Pladser er forskellige! Altså er k n d. Minimal 52
Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 53
AG(4, 3) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode x 3 x 4 x 1 x 2 Celler koordinatiseret (x 1,x 2,x 3,x 4 ) med x i F 3. Minimal Odds and Ends 54
Nogle planer Men hvad er? Antal Rækker: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 55
Nogle planer Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Rækker: Sideklasser til planen Søjler: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} Minimal Odds and Ends 55
Nogle planer Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Rækker: Sideklasser til planen Søjler: Sideklasser til planen Bokse: Sideklasser til planen R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Minimal Odds and Ends 55
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j Minimal Odds and Ends 56
Planer og ortogonalitet Men hvad er? Antal P, Q AG(4, 3) 2-dimensionale underrum P + v i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til P Q + w i,i = 1,2,...,9 sideklasserne til Q Kvadrat S(P): symbol i er på pladserne P + v i Kvadrat S(Q): symbol i er på pladserne Q + w i S(P) S(Q) P Q = {0} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Parret (i,j) findes præcis på pladserne p + v i = q + w j v i w j = p q entydig løsning hviss P Q = {0} Minimal Odds and Ends 56
Planer og Men hvad er? Antal S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 57
Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan Minimal Odds and Ends 57
Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis P R = P S = P B = {0} Minimal Odds and Ends 57
Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis hvor P R = P S = P B = {0} R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Minimal Odds and Ends 57
Planer og Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode S(R) = R,S(S) = S,S(B) = B P AG(4,3) en plan S(P) er et kvadrat hvis og kun hvis hvor P R = P S = P B = {0} R = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 2 = 0} S = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 3 = x 4 = 0} B = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 = x 3 = 0} Et lineært kvadrat S(P) Minimal Odds and Ends 57
Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58
Ortogonal Lineær Men hvad er? Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58
Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Findes de? AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58
Ortogonal Lineær Men hvad er? Antal Lad P og Q være to planer der hver giver lineær. S(P) S(Q) P Q = {0} Findes de? Ja! AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 58
og koder Men hvad er? Antal Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 59
og koder Men hvad er? Antal Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum Hammingvægt er 3. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 59
og koder Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends Find 2-dimesionalt underrum H der kun har (0,0,0,0) fælles med hvert af underrummene x i = x j = 0 (stærkere end nødvendigt). Ikke-nul vektorerne i H kan højst have en 0-koordinat, minimum Hammingvægt er 3. En sådan kode findes: Span F3 {(0,1,1,1),(1,0,1,2)} = [0,0,0,0],[0,1,1,1],[0,2,2,2], [1,0,1,2],[2,0,2,1],[1,1,2,0], [1,2,0,1],[2,1,0,2],[2,2,1,0] 59
Hamming kode Men hvad er? Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60
Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60
Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60
Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60
Hamming kode Men hvad er? Antal Ækvivalente Hamming koder der parvis danner direkte sum: H 1 = Span{(0,1,1,1),(1,0,1,2)} H 2 = Span{(0,1,2,2),(1,0,2,1)} H 3 = Span{(0,1,2,1),(1,0,1,1)} H 4 = Span{(0,1,1,2),(1,0,2,2)} S(H i ) giver 4 indbyrdes ortogonale. AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 60
6 ortogonale Men hvad er? Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61
6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61
6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61
6 ortogonale Men hvad er? Antal Vi kan nu finde et sæt bestående af det maksimale antal indbyrdes ortogonale H 1,H 2,H 3,H 4 P 5 = Span{(1,0,0,2),(0,1,2,0)} P 6 = Span{(1,0,0,1),(0,1,1,0)} AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 61
S(H 1 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 5 9 2 6 7 3 4 8 8 3 4 9 1 5 7 2 6 6 7 2 4 8 3 5 9 1 4 8 3 5 9 1 6 7 2 2 6 7 3 4 8 1 5 9 9 1 5 7 2 6 8 3 4 7 2 6 8 3 4 9 1 5 5 9 1 6 7 2 4 8 3 3 4 8 1 5 9 2 6 7 Minimal Odds and Ends 62
S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Kuglen med radius 1. 1 5 9 2 6 7 3 4 8 8 3 4 9 1 5 7 2 6 6 7 2 4 8 3 5 9 1 4 8 3 5 9 1 6 7 2 2 6 7 3 4 8 1 5 9 9 1 5 7 2 6 8 3 4 7 2 6 8 3 4 9 1 5 5 9 1 6 7 2 4 8 3 3 4 8 1 5 9 2 6 7 Minimal Odds and Ends 63
S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode To kugler med radius 1. 1 5 9 2 6 7 3 4 8 8 3 4 9 1 5 7 2 6 6 7 2 4 8 3 5 9 1 4 8 3 5 9 1 6 7 2 2 6 7 3 4 8 1 5 9 9 1 5 7 2 6 8 3 4 7 2 6 8 3 4 9 1 5 5 9 1 6 7 2 4 8 3 3 4 8 1 5 9 2 6 7 Minimal Odds and Ends 63
S(H 1 ) perfektion Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode Minimal Odds and Ends 1 5 9 2 6 7 3 4 8 8 3 4 9 1 5 7 2 6 6 7 2 4 8 3 5 9 1 4 8 3 5 9 1 6 7 2 2 6 7 3 4 8 1 5 9 9 1 5 7 2 6 8 3 4 7 2 6 8 3 4 9 1 5 5 9 1 6 7 2 4 8 3 3 4 8 1 5 9 2 6 7 To kugler med radius 1. 9 kugler med centrum i fast symbol udfylder rummet perfekt, da minimumafstand er 3 og ( ) 4 9(1 + 2 ) = 3 4 1 63
S(H 2 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 8 6 2 9 4 3 7 5 9 4 2 7 5 3 8 6 1 5 3 7 6 1 8 4 2 9 4 2 9 5 3 7 6 1 8 3 7 5 1 8 6 2 9 4 8 6 1 9 4 2 7 5 3 7 5 3 8 6 1 9 4 2 6 1 8 4 2 9 5 3 7 2 9 4 3 7 5 1 8 6 Minimal Odds and Ends 64
S(H 3 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 9 5 2 7 6 3 8 4 6 2 7 4 3 8 5 1 9 8 4 3 9 5 1 7 6 2 4 3 8 5 1 9 6 2 7 9 5 1 7 6 2 8 4 3 2 7 6 3 8 4 1 9 5 7 6 2 8 4 3 9 5 1 3 8 4 1 9 5 2 7 6 5 1 9 6 2 7 4 3 8 Minimal Odds and Ends 65
S(H 4 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 6 8 2 4 9 3 5 7 5 7 3 6 8 1 4 9 2 9 2 4 7 3 5 8 1 6 4 9 2 5 7 3 6 8 1 8 1 6 9 2 4 7 3 5 3 5 7 1 6 8 2 4 9 7 3 5 8 1 6 9 2 4 2 4 9 3 5 7 1 6 8 6 8 1 4 9 2 5 7 3 Minimal Odds and Ends 66
S(P 5 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 4 7 2 5 8 3 6 9 2 5 8 3 6 9 1 4 7 3 6 9 1 4 7 2 5 8 4 7 1 5 8 2 6 9 3 5 8 2 6 9 3 4 7 1 6 9 3 4 7 1 5 8 2 7 1 4 8 2 5 9 3 6 8 2 5 9 3 6 7 1 4 9 3 6 7 1 4 8 2 5 Minimal Odds and Ends 67
S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 7 4 2 8 5 3 9 6 3 9 6 1 7 4 2 8 5 2 8 5 3 9 6 1 7 4 4 1 7 5 2 8 6 3 9 6 3 9 4 1 7 5 2 8 5 2 8 6 3 9 4 1 7 7 4 1 8 5 2 9 6 3 9 6 3 7 4 1 8 5 2 8 5 2 9 6 3 7 4 1 Minimal Odds and Ends 68
S(H 1 ) : S(H 1 ) S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 5 9 2 6 7 3 4 8 8 3 4 9 1 5 7 2 6 6 7 2 4 8 3 5 9 1 4 8 3 5 9 1 6 7 2 2 6 7 3 4 8 1 5 9 9 1 5 7 2 6 8 3 4 7 2 6 8 3 4 9 1 5 5 9 1 6 7 2 4 8 3 3 4 8 1 5 9 2 6 7 Minimal Odds and Ends 69
S(P 6 ) : S(H 1 ) S(P 6 ) Men hvad er? Antal AG(4, 3) Nogle planer Planer og ortogonalitet Planer og Ortogonal Lineær og koder Hamming kode 6 ortogonale Perfekt kode 1 7 4 2 8 5 3 9 6 3 9 6 1 7 4 2 8 5 2 8 5 3 9 6 1 7 4 4 1 7 5 2 8 6 3 9 6 3 9 4 1 7 5 2 8 5 2 8 6 3 9 4 1 7 7 4 1 8 5 2 9 6 3 9 6 3 7 4 1 8 5 2 8 5 2 9 6 3 7 4 1 Minimal Odds and Ends 70
Men hvad er? Antal Minimal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 71
Hvor mange er nok? Men hvad er? Antal Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 72
Hvor mange er nok? Men hvad er? Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? n = 2: 4 er minimum, fx Antal 1 3 2 1 1 3 4 2 Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends 72
Hvor mange er nok? Men hvad er? Hvor få felter er nok til at sikre entydig løsning? n = 2: 4 er minimum, fx Antal 1 3 2 1 1 3 4 2 Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Odds and Ends n = 3: Er 17 minimum? 72
Minimal? Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger 4 2 1 5 4 7 8 3 1 9 3 4 2 5 1 8 6 Odds and Ends 73
med 2 løsninger Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger 1 5 3 2 4 3 4 7 2 6 1 2 5 7 3 1 Kun 16 givne felter. Hvis der er løsninger er der mindst to. Odds and Ends 74
med 2 løsninger Men hvad er? Antal Minimal Hvor mange er nok? Minimal? med 2 løsninger med 2 løsninger Kun 8 og 9 mangler. 1 3 6 7 4 2 5 4 6 5 3 2 1 7 7 5 2 1 4 6 3 6 2 1 4 7 3 5 5 3 4 1 7 6 2 7 2 5 6 3 4 1 2 1 6 3 5 7 4 7 5 6 2 4 1 3 3 4 7 1 2 5 6 Odds and Ends 75
Men hvad er? Antal Odds and Ends Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 76
Perl minimalistisk Men hvad er? Antal use integer;@a=split//,<>;sub R{for$i(0..80){next if$a[$i];my%t=map{$_/9 ==$i/9 $_%9==$i%9 $_/27==$i/27&&$_%9/3==$i%9/3?$A[$_]:0=>1}0..80;R($A[ $i]=$_)for grep{!$t{$_}}1..9;return$a[$i]=0}die@a}r (Eccles & Toad) Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 77
Samme program Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer use integer; @A = split //, <>; sub R { for $i ( 0.. 80 ) { next if $A[$i]; my %t = map { $_ / 9 == $i / 9 $_ % 9 == $i % 9 $_ / 27 == $i / 27 && $_ % 9 / 3 == $i % 9 / 3? $A[$_] : 0 => 1 } 0.. 80; R( $A[$i] = $_ ) for grep {!$t{$_} } 1.. 9; return $A[$i] = 0; } die @A; } R (Eccles & Toad) 78
X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) 79
X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen 79
X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme 79
X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme To uafhængige set af sidebetingelser 79
X-ray diffraktion Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Veit Elser (Cornell) Rekonstruktion af billeder taget med lav energi røntgen Difference-map algoritme To uafhængige set af sidebetingelser Løser også 79
Er der matematik i? Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80
Er der matematik i? Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. 80
Er der matematik i? Men hvad er? Antal Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. Er der noget der ikke er i? Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80
Er der matematik i? Men hvad er? Antal Ja, på trods af udsagn som Does not require MATH. Can be solved using reasoning and logic alone. Er der noget der ikke er i? Endnu et argument for at der er matematik i alting. Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer 80
Referencer Men hvad er? Antal Minimal Odds and Ends Perl minimalistisk Samme program X-ray diffraktion Er der matematik i? Referencer A Course in Combinatorics, Van Lint & Wilson, Cambridge, gerechte designs, resolutions, affine space, spreads, reguli, and Hamming codes R. A. Bailey, Peter J. Cameron, Robert Connelly, (Preprint) Complexity and Completeness of Finding Another Solution and Its Application to Puzzles, Takayuki YATO & Takahiro SETA. IPSJ SIG Notes 2002-AL-87-2, 2002 81