Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
|
|
|
- Gudrun Kristensen
- 9 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral regneregler Calculus Uge
2 Genoplev integralet [S] 5.2 The definite integral 2 Definition Intervallet [a,b] inddeles i n stykker af længde x = b a n a = x 0 x i 1 x i x i x n = b Det bestemte integral af en kontinuert funktion f : [a,b] er b a f(x)dx = lim n n i=1 f(x i) x Calculus Uge
3 Giver areal [S] 5.2 The definite integral Figur y a b x Integralet er arealet Calculus Uge
4 iemann summen [S] 5.2 The definite integral Bemærkning n f(x i) x i=1 kaldes iemann summen og tilnærmer integralet b a f(x)dx n i=1 f(x i) x Calculus Uge
5 iemann summen [S] 5.2 The definite integral Bemærkning n f(x i) x i=1 kaldes iemann summen og tilnærmer integralet b a f(x)dx n i=1 f(x i) x Hvis f(x) 0 så tilnærmer iemann summen arealet under grafen. Det bestemte integral er da dette areal. Calculus Uge
6 Direkte men besværligt Eksempel b a xdx = b2 a 2 2 [S] 5.2 The definite integral Calculus Uge
7 Direkte men besværligt Eksempel Løsning b a xdx = b2 a 2 2 [S] 5.2 The definite integral b a xdx = lim n n (a + (b a) i n )b a n i=1 Calculus Uge
8 Direkte men besværligt Eksempel Løsning b a xdx = b2 a 2 2 [S] 5.2 The definite integral b a xdx = lim n n (a + (b a) i n )b a n (b a)2 n i n 2 i=1 = lim n a(b a) + = lim n a(b a) + = a(b a) + (b a)2 2 i=1 (b a)2 n(n + 1) n 2 2 = b2 a 2 2 Calculus Uge
9 Areal [S] 5.2 The definite integral Figur - Eksempel y a+b 2 a b x Arealet er (b a) a + b 2 = b2 a 2 2 Calculus Uge
10 Integralet endnu en gang Definition Intervallet [a, b] inddeles a = x 0 x i 1 x i x i x n = b Det bestemte integral af en funktion f : [a,b] er 2 b a f(x)dx = lim n n i=1 f(x i) x Calculus Uge
11 Udvid til volumen Definition Inddelinger a = x 0 x i 1 x ij x i x m = b c = y 0 y j 1 y ij y j y n = d deler rektanglet = [a, b] [c, d] i brikker med middelpunkter (x ij,y ij) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] og areal A = x y. For en positiv funktion f : er volumenet under grafen V tilnærmet 3 V m i=1 n j=1 f(x ij,y ij ) A Calculus Uge
12 Grænsen er volumen Definition 3 V m n f(x ij,y ij ) A i=1 j=1 Calculus Uge
13 Grænsen er volumen Definition 3 V m n f(x ij,y ij ) A i=1 j=1 Det eksakte volumen findes ved grænseovergangen 4 V = lim m,n m i=1 n j=1 f(x ij,y ij) A Calculus Uge
14 Udvid integralet til to variable [S] 12.1 Double integrals over rect... Definition Inddelinger a = x 0 x i 1 x ij x i x m = b c = y 0 y j 1 y ij y j y n = d deler rektanglet = [a, b] [c, d] i brikker med middelpunkter (x ij,y ij) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] med areal A = x y. Dobbelt integralet af en funktion f : er m n 5 f(x,y)da = lim m,n i=1 j=1 f(x ij,y ij) A Calculus Uge
15 Inddelinger i to retninger Figur y d (x ij, y ij ) c a b x Inddelt rektangel = [a,b] [c,d] Calculus Uge
16 Gør det let Bemærkninger Med valg af brikhjørner som middelpunkter kan det bestemte integral af en funktion f : skrives simplere 6 f(x,y)da = lim m,n m i=1 n f(x i,y j ) A j=1 Calculus Uge
17 Gør det let Bemærkninger Med valg af brikhjørner som middelpunkter kan det bestemte integral af en funktion f : skrives simplere 6 f(x,y)da = lim m,n m i=1 n f(x i,y j ) A j=1 Hvis f(x,y) 0, så er volumen over rektanglet og under grafen z = f(x,y) V = f(x,y)da Calculus Uge
18 iemann summer Definition Den dobbelte iemann sum er m i=1 n j=1 f(x ij,y ij) A Calculus Uge
19 iemann summer Definition Den dobbelte iemann sum er m i=1 n j=1 f(x ij,y ij) A Den bruges til at tilnærme dobbeltintegralet m n f(x,y)da f(x ij,yij) A i=1 j=1 Calculus Uge
20 iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 = [0, 2] [0, 2], f(x,y) = 16 x 2 2y 2 0 Inddel hvert interval i halve og brug hjørner. Calculus Uge
21 iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 = [0, 2] [0, 2], f(x,y) = 16 x 2 2y 2 0 Inddel hvert interval i halve og brug hjørner. y x Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2). Calculus Uge
22 iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 - fortsat = [0, 2] [0, 2], f(x,y) = 16 x 2 2y 2 0 Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2) og A = 1. Calculus Uge
23 iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 - fortsat = [0, 2] [0, 2], f(x,y) = 16 x 2 2y 2 0 Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2) og A = 1. Den dobbelte iemann sum giver (16 x 2 2y 2 )da f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2) Calculus Uge
24 iemann sum til beregning [S] 12.1 Double integrals over rect... Eksempel 1 - fortsat = [0, 2] [0, 2], f(x,y) = 16 x 2 2y 2 0 Hjørner (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2) og A = 1. Den dobbelte iemann sum giver (16 x 2 2y 2 )da f(1, 1) + f(1, 2) + f(2, 1) + f(2, 2) = = 34 Calculus Uge
25 Test dobbelt integralet Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. Et skøn med en dobbelt iemann sum giver for integralet V = xy da (a) V < 0. (b) V = 0. (c) V > 0. (a) (b) (c) Afkryds den rigtige: Calculus Uge
26 Test dobbelt integralet Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. Et skøn med en dobbelt iemann sum giver for integralet V = xy da (a) V < 0. (b) V = 0. (c) V > 0. Løsning Inddel med endepunkter Afkryds den rigtige: A = (2 1)(2 1) = 1 V f(1, 1) A = 1 (a) (b) (c) Calculus Uge
27 Test dobbelt integralet Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. Et skøn med en dobbelt iemann sum giver for integralet V = xy da (a) V < 0. (b) V = 0. (c) V > 0. Løsning Inddel med endepunkter Afkryds den rigtige: A = (2 1)(2 1) = 1 V f(1, 1) A = 1 (a) (b) (c) Calculus Uge
28 Integralet som volumen Eksempel 2 = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x,y) = 1 x 2 Volumenet under grafen er en halvcylinder med radius 1 og højde 4. Calculus Uge
29 Integralet som volumen Eksempel 2 = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x,y) = 1 x 2 Volumenet under grafen er en halvcylinder med radius 1 og højde 4. Dobbelt integralet findes som volumenet. 1 x2 da = 1 2 π12 4 = 2π Calculus Uge
30 Halvcylinder Figur - Eksempel 2 z x y Grafen for f(x,y) = 1 x 2 Volumen 1 2 π12 4 = 2π Calculus Uge
31 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Figur f(x i ) f( x i ) f(x i 1 ) x i 1 x i x i Endepunkter - Midtpunkt- Trapez x Calculus Uge
32 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Endepunktsregler 1 2 b a b a f(x)dx f(x)dx n i=1 n i=1 f(x i 1 ) x f(x i ) x Calculus Uge
33 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Endepunktsregler 1 2 b a b a f(x)dx f(x)dx n i=1 n i=1 f(x i 1 ) x f(x i ) x Midtpunktsreglen b a f(x)dx n i=1 f( x i 1 + x i 2 ) x Calculus Uge
34 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Trapezreglen b a f(x)dx n (f(x i 1 ) + f(x i )) x 2 i=1 Calculus Uge
35 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Trapezreglen b a f(x)dx n (f(x i 1 ) + f(x i )) x 2 i=1 Simpsons regel b a f(x)dx n (f(x 2i 2 ) + 4f(x 2i 1 ) + f(x 2i )) x 3 i=1 Calculus Uge
36 Approximation [S] 5.9 Approximate integration Figur f(x 2i ) f(x 2i 1 ) f(x 2i 2 ) x 2i 2 x 2i 1 Simpson x 2i x Calculus Uge
37 Midtpunktsstrategi Midtpunktsreglen Som middelpunkt bruges midtpunkter x ij = x i = x i 1 + x i 2 y ij = ȳ j = y j 1 + y j 2 Calculus Uge
38 Midtpunktsstrategi Midtpunktsreglen Som middelpunkt bruges midtpunkter x ij = x i = x i 1 + x i 2 y ij = ȳ j = y j 1 + y j 2 Tilnærmer dobbeltintegralet f(x,y)da m i=1 n j=1 f( x i,ȳ j ) A Calculus Uge
39 Midtpunkter til beregning Eksempel 3 = [0, 2] [1, 2], f(x,y) = x 3y 2 m = n = 2 og brug midtpunkter. Calculus Uge
40 Midtpunkter til beregning Eksempel 3 = [0, 2] [1, 2], f(x,y) = x 3y 2 m = n = 2 og brug midtpunkter. y x Midtpunkter x 1 = 1 2, x 2 = 3 2, ȳ 1 = 5 4, ȳ 2 = 7 4 Calculus Uge
41 Brug midtpunktet Eksempel 3 - fortsat Midtpunkter x 1 = 1 2, x 2 = 3 2, ȳ 1 = 5 4, ȳ 2 = 7 4 A = 1 2 Calculus Uge
42 Brug midtpunktet Eksempel 3 - fortsat Midtpunkter x 1 = 1, x 2 2 = 3, ȳ 2 1 = 5, ȳ 4 2 = 7 4 A = 1 2 Den dobbelte iemann sum giver (x 3y 2 )da (f( 1 2, 5 4 ) + f(1 2, 7 4 ) + f(3 2, 5 4 ) + f(3 2, 7 4 ))1 2 = 95 8 Calculus Uge
43 Midtpunkter til beregning Eksempel 2 - igen = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x,y) = 1 x 2 m = n = 2 og brug midtpunkter x 1 = 1 2, x 2 = 1 2, ȳ 1 = 1, ȳ 2 = 1, A = 2. Calculus Uge
44 Midtpunkter til beregning Eksempel 2 - igen = [ 1, 1] [ 2, 2], f(x,y) = 1 x 2 m = n = 2 og brug midtpunkter x 1 = 1, x 2 2 = 1, ȳ 2 1 = 1, ȳ 2 = 1, A = 2. Den dobbelte iemann sum giver 2π = 1 x2 da Calculus Uge
45 egneregler hjælper egneregler for dobbeltintegral Calculus Uge
46 egneregler hjælper egneregler for dobbeltintegral 7 (f(x,y) + g(x,y))da = f(x,y)da + g(x, y)da Calculus Uge
47 egneregler hjælper egneregler for dobbeltintegral 7 (f(x,y) + g(x,y))da = f(x,y)da + g(x, y)da 8 cf(x,y)da = c f(x,y)da Calculus Uge
48 egneregler hjælper egneregler for dobbeltintegral 7 (f(x,y) + g(x,y))da = f(x,y)da + g(x, y)da 8 cf(x,y)da = c f(x,y)da Hvis f(x,y) g(x,y), så er 9 f(x,y)da g(x, y)da Calculus Uge
49 Brug regneregler Opgave Lad = [0, 1] [0, 1]. Afgør om xy da x 2 y 2 da Calculus Uge
50 Brug regneregler Opgave Lad = [0, 1] [0, 1]. Afgør om xy da x 2 y 2 da Løsning For 0 x,y 1 er xy x 2 y 2 så uligheden er sand ifølge regneregel 9. Calculus Uge
51 Brug regneregler Opgave Lad = [0, 2] [0, 2]. Afgør om (x + y)da 16 Calculus Uge
52 Brug regneregler Opgave Lad = [0, 2] [0, 2]. Afgør om (x + y)da 16 Løsning For 0 x,y 2 er x + y 4 så ifølge regneregel 9 (x + y)da 4dA 16 Calculus Uge
53 Test integral regneregler Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. For integralet V = xy da gælder uligheder (a) 1 V 4. (b) 4 < V. (c) V < 1. (a) (b) (c) Afkryds den rigtige: Calculus Uge
54 Test integral regneregler Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. For integralet V = xy da gælder uligheder (a) 1 V 4. (b) 4 < V. (c) V < 1. Løsning For (x, y) gælder uligheden Afkryds den rigtige: 1 f(x,y) 4 Heraf, A() = (2 1)(2 1) = 1, A() V A() 4 (a) (b) (c) Calculus Uge
55 Test integral regneregler Test Lad f(x,y) = xy, = [1, 2] [1, 2]. For integralet V = xy da gælder uligheder (a) 1 V 4. (b) 4 < V. (c) V < 1. Løsning For (x, y) gælder uligheden Afkryds den rigtige: 1 f(x,y) 4 Heraf, A() = (2 1)(2 1) = 1, A() V A() 4 (a) (b) (c) Calculus Uge
56 egneregler og volumen Eksempel Lad = [ 1, 1] [ 1, 1]. ( 1 x y 2 )da = 1 x2 da + 1 y2 da Calculus Uge
57 egneregler og volumen Eksempel Lad = [ 1, 1] [ 1, 1]. ( 1 x y 2 )da = 1 x2 da + 1 y2 da De to dobbelt integraler findes som volumener af halvcylindre: I alt ( 1 x y 2 )da = 1 2 π = 2π Calculus Uge
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
![Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1](/thumbs/48/24452097.jpg "Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1")
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
N 0 3gleord og begreber 7 0 Dobbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der. 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed
1 3Oversigt 7 4 [S] 12.1, 12.2, 12.3 N 0 3gleord og begreber 7 0 obbelt integral 7 0 Fubinis s 0 3tning 7 0 Generelle omr 0 2der 7 0 Type I 7 0 Type II 7 0 Regneregler 7 0 Nem ulighed Calculus 2-2006 Uge
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Oversigt [S] 4.5, 5.10
![Oversigt [S] 4.5, 5.10](/thumbs/20/426063.jpg "Oversigt [S] 4.5, 5.10")
Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/48/24213798.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Arealer som summer Numerisk integration
Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,
Integralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
![Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4](/thumbs/40/21809007.jpg "Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4")
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7
Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1
Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Differentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Lektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Kapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: [email protected] Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Repetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Arealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 17, 18 Nøgleord og begreber Eksistens og entydighed Retningsfelt Eulers metode Hastighedsfelt Stabilitet Calculus 2-2004 Uge 49.2-1 Ligning og løsning [LA] 17 Generel ligning
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
![Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9](/thumbs/62/47922248.jpg "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9")
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Oversigt [LA] 6, 7, 8
![Oversigt [LA] 6, 7, 8](/thumbs/29/13647802.jpg "Oversigt [LA] 6, 7, 8")
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Partielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Numerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Epistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Kurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Ugesedler til sommerkursus
Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag
Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Integralregning ( 23-27)
Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner
Matematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Matematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Her skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Mere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1
Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse
Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en