98
Ruteplanlægning og transportnetværk Af professor Oli B.G. Madsen 99
Flere og flere mennesker og større og større mængder af varer og gods bliver transporteret over længere afstande end nogensinde før. Det forventes samtidig, at transporttiden til og fra arbejdspladser og institutioner er kort, og at varer hurtigt og effektivt kommer frem til butikkerne. Alt sammen skal helst ske med mindst mulig miljøbelastning og med begrænset brændstofforbrug. Løsningerne er bl.a. baseret på en kombination af nye teknologiske redskaber og bedre matematiske modeller og optimeringssoftware. Når man eksempelvis skal planlægge et optimalt transportnetværk af lastbiler, busser eller containerskibe, skal man indarbejde oplysninger om gennemsnitshastighed og kapacitet, og dette skal korreleres med de ønskede ruter, lagerpladser/stoppesteder eller havne og frekvenser, samtidig med at der tages hensyn til servicemål og omkostninger. Der kan ydermere være krav eller ønsker om, at mindre forsinkelser ikke medfører problemer, dvs. løsningen skal være robust. Det er en uhyre kompleks opgave, der kan føre til en matematisk model af enorme dimensioner. I dette og de følgende kapitler vises eksempler på matematikken bag ruteplanlægningen, og på hvordan transportoptimering i praksis kan anvendes af virksomheder i transportbranchen. Den handelsrejsendes problem Det simpleste ruteplanlægningsproblem er den handelsrejsendes problem (TSP, The Travelling Salesman Problem ), der har fascineret forskerne i de sidste 50 år. En række kunder skal besøges af en handelsrejsende på en given dag. Den handelsrejsende skal tage af sted hjemmefra om morgenen og være hjemme igen om aftenen. Opgaven er at planlægge en rute, så alle kunderne bliver besøgt, og således at den samlede tur bliver så kort som mulig. Det ser umiddelbart nemt ud. Men selv med blot 20 kunder, kan det være vanskeligt at finde den optimale løsning manuelt. Prøv selv at finde løsningen på problemet i figur 1, idet vi antager, at man kan rejse i rette linjer mellem kunderne. Figur 1. Kunder, der indgår i den handelsrejsendes problem (den optimale løsning er vist i figur 3). 100
Hvis man er nødt til at følge vejene i stedet for rette linjer, bliver det meget sværere. Det er nemt at udtrykke TSP matematisk ved hjælp af binære variabler xij som er lig med 1, hvis den handelsrejsende tager direkte fra kunde i til kunde j, og lig med 0, hvis det ikke er tilfældet. Dette er kombineret med to sæt af begrænsninger. Det ene sæt begrænsninger sikrer, at hver kunde besøges én gang, og det andet sæt sikrer, at der kun køres én tur i stedet for flere små separate ture. Det er dog matematisk set ret vanskeligt at finde den optimale løsning. Den første optimale metode så dagens lys i 1970. Metoden var langsom og kunne normalt kun håndtere et mindre antal kunder. Den gren af den anvendte matematik, der ofte anvendes til at løse denne type problemer, kaldes operationsanalyse (se mere om rutelægningsproblemer i boks 1). Boks 1 Optimalitet og heuristikker Når man vil løse store planlægningsproblemer, som f.eks. rutelægningsproblemer, findes der grundlæggende to måder. Man kan enten forsøge at finde den perfekte (optimale) løsning, eller man kan nøjes med en meget god løsning. Når man har fundet den optimale løsning på et problem, kan man bevise matematisk, at der helt sikkert ikke findes en bedre løsning, f.eks. en billigere måde at besøge alle kunder på. Det er naturligvis rart at vide at man har en perfekt løsning, men i praksis kan det kun lade sig gøre at finde en sådan løsning for relativt små problemer. For et simpelt rutelægningsproblem ligger grænsen typisk omkring 100 kunder, hvor beregningerne kan tage dagevis på en meget hurtig computer. Hvis man ikke behøver en optimal løsning, kan man f.eks. bruge en heuristik til at finde en løsning, der er nær-optimal. En heuristik fungerer ofte ved, at man først konstruerer en gyldig løsning på problemet, eksempelvis en ruteplan, der besøger alle kunder, men måske ikke er den billigste. Derefter foretager man gradvise forbedringer af denne løsning. Forbedringerne sker typisk ved at lave nogle tilfældige småændringer af løsningen og derefter undersøge, om den nye løsning er bedre end den gamle. Eftersom man laver tilfældige ændringer, kan man sagtens få en ny løsning, der er dårligere end den oprindelige. Den kan man så kassere, og prøve noget andet tilfældigt i stedet for. Et menneske, der skal planlægge, kan ofte hurtigt se, om en løsning er værre eller bedre. Det kan computeren ikke, den er nødt til at lave tilfældige ændringer, men til gengæld kan den regne igennem mange muligheder på kort tid og derfor ofte finde løsninger, der er bedre end dem et menneske kunne finde. Hvis man har lavet en million små, gradvise ændringer (iterationer) af en løsning, er man tit kommet frem til et ret godt resultat. De løsninger, der kan konstrueres ved at lave sådanne små ændringer, siges at ligge i den oprindelige løsnings nabolag. Computerkraft og nye udfordringer I dag kan man rutinemæssigt løse problemer med 100 kunder, og hvis man råder over tilstrækkelig computerkraft, er det muligt at løse problemer med tusindvis af kunder. De nyeste metoder til løsning af TSP er baseret på successive løsninger af et lineært programmeringsproblem (LP), dvs. der er et lineært mål og et sæt af lineære begrænsninger, hvilket betyder, at der lempes på antagelsen om binære variable. Når man løser et LP, får man en løsning, der er ret nem at finde, men som ikke løser det helt rigtige problem. I det oprindelige problem har man en række binære variable, dvs. variable som skal være enten 0 eller 1. En variabel kan f.eks. have værdien 1, hvis man kører direkte fra kunde A til kunde B, og 0 hvis man ikke gør (og besøger andre kunder imellem de to, eller måske besøger B før A). 101
I et LP fjernes kravet om, at variablen skal være binær (enten 0 eller 1), dvs. den kan også have ikke-heltallige værdier mellem 0 og 1. Computeren er i dette tilfælde bedre til at regne med rationelle tal end med heltal, så problemet bliver derved lettere at løse. Efter at have løst et LP, kan løsningen altså indeholde en sådan variabel med værdien 0,5. Denne løsning kan naturligvis ikke udføres i praksis man må enten køre direkte fra A til B eller lade være med at gøre det. Man må derfor anvende særlige algoritmer (kaldet separationsalgoritmer) til at finde yderligere begrænsninger, der kan tilføjes LP-problemet, og som kan reducere antallet af ikke-heltallige variable i løsningen. Disse begrænsninger medtages i LP-problemet, som løses igen. Proceduren gentages, indtil der er taget hensyn til alle de oprindelige begrænsninger. Som tidligere nævnt er TSP det mest simple ruteplanlægningsproblem, og man kan f.eks. bevise, at ruten ikke må krydse sig selv. Hvis man imidlertid udvider problemet til at omfatte adskillige køretøjer med kapacitetsbegrænsninger og kundekrav, kan man opnå optimale løsninger, hvor det enkelte køretøjs specifikke rute krydser sig selv og de andre ruter. Under disse omstændigheder kan det være meget vanskeligt at planlægge ruterne manuelt. Figur 2 viser den optimale løsning på et ruteplanlægningsproblem med 100 kunder, hvor der er et nærmere specificeret tidsrum for, hvornår kunden skal betjenes. Det fremgår tydeligt af figuren, at det ville være meget vanskeligt at finde frem til denne løsning manuelt. Ved hjælp af computere og moderne løsningsmetoder kan man på et par sekunder finde den optimale løsning på de fleste problemer med 100 kunder. Der findes dog stadig problemer med 100 kunder, som endnu ikke kan løses optimalt. Figur 2. De optimale ruter for besøg af 100 kunder inden for det aftalte tidsrum. Depotet ligger i midten, og for ikke at gøre det for forvirrende er det første og sidste ben i de 15 ture ikke medtaget. Bemærk, at en kunde lige sydvest for depotet betjenes individuelt. Figur 3. Den optimale tur fra figur 1. De ovenfor beskrevne ruteplanlægningsproblemer er fortsat ret simple fra et anvendelsesmæssigt synspunkt. Der er blevet udviklet mange forskellige matematiske modeller til at bringe varer og mennesker effektivt omkring, f.eks. metoder til at finde den optimale løsning og heuristiske metoder (boks 1). Udover at minimere den totale tilbagelagte afstand kan man også overveje miljø- og energimæssige målsætninger. 102
Når personer og varer skal transporteres til og fra og rundt i eksempelvis verdens megabyer, er de logistiske udfordringer enorme. De teknologiske løsninger og de nye matematiske metoder skal forsøge at følge med storbyernes løbske vækst, de stadigt flere transportmidler og de voksende bybefolkningers krav om kort rejsetid og effektiv service. 103
Busnetværk i København Til design af et busnetværk i f.eks. det storkøbenhavnske område vil man anvende eksisterende prognoser for antallet af passagerer, der vil fra A til B i et bestemt tidsinterval, en såkaldt OD-matrix (Origin Destination). Desuden råder man over kendte karakteristika for busserne såsom stoppesteder, kapacitet, hastigheder etc. Opgaven kan formuleres som en matematisk model med variable og sammenhænge mellem disse variable i form af ligninger og uligheder. En variabel xijkt kan f.eks. antage værdierne 0 eller 1. Antager den værdien 1, betyder det, at bus k kører mellem stoppested i og j med afgang fra stoppested i klokken t minutter efter midnat. Er den variable 0, så kører bus k ikke som angivet ovenfor. Ligningerne er ofte lineære og sikrer, at tider og kapaciteter overholdes samt giver sammenhænge mellem de variable. Der er ofte i disse ligningssystemer flere variable end ligninger, hvilket i almindelighed betyder, at der er flere løsninger (man kan forestille sig et sæt af ligninger med f.eks. 3 variable og kun 2 ligninger). Derfor vil man normalt indføre en såkaldt målfunktion (i dette tilfælde omkostning eller ventetid for passagerer, der skifter mellem 2 busser), således at man, blandt de mange løsninger, kan udvælge den eller de løsninger, der minimerer omkostningerne eller ventetiden. Et design af et busnetværk i København giver hurtigt 2000-3000 ligninger og 10.000 variable eller endnu større dimensioner. De variable er som nævnt 0-1 variable, eller de kan antage alle reelle værdier større end 0. Problemets dimension giver løsningsmæssige vanskeligheder, og her er det oplagt at satse på en alternativ metode, der giver en tilnærmet, men hurtigere løsning. Læs mere om busnetværk i kapitlet: Optimering af kollektiv transport. Ruteplaner og netværksdesign for containerskibe Den danske containerflåde er blandt de største i verden og en af Danmarks væsentligste kilder til udenlandsk valuta. Konkurrencen er imidlertid hård, containerskibe er dyre i indkøb, og selv om skibsfart er blandt de mest miljøvenlige alternativer i dag, gør de kolossale mængder, der transporteres, at skibene sammenlagt har et enormt brændstofforbrug med tilsvarende høj udledning af CO 2 og andre miljøskadelige stoffer. Derfor er det afgørende at få flåden til at operere så effektivt som muligt. Rederierne skal tilrette deres strategi med henblik på at indkøbe de rigtige skibe, afgøre hvilket netværk der skal drives, og hvor de forskellige terminaler skal placeres. På det taktiske plan skal operatørerne beslutte de enkelte skibes ruteplan, hvilke transportordrer der skal accepteres, og i hvilken rækkefølge ordrerne skal effektueres. Hvis man har en containerflåde og beslutter at opkøbe en konkurrerende flåde med eget netværk, skal man kombinere de to flåders netværk for at høste fordel af opkøbet (se figur 4). Hver flåde har egne karakteristika, prognoser for kundebehov og et antal havne og terminaler, der potentielt kan benyttes. Et design af et kombineret netværk kan formuleres som et optimeringsproblem i stor skala, der efterfølgende kan løses. Netværkstransition Når man har designet klar til et kombineret netværk, så støder man i visse tilfælde på det såkaldte netværkstransitionsproblem hvordan man smartest skifter fra det nuværende netværk til det nye netværk. I et busnetværk har man normalt ikke dette problem. Måske skal busnumrene og køreplanerne revideres, men det er overskuelige ændringer, og næste morgen kører busserne blot efter den nye plan. Drejer det sig derimod om en flåde af containerskibe, har man et omfattende netværkstransitionsproblem. Afstandene er store, og man kan ikke i et snuptag flytte skibene til nye destinationer. Det kan tage flere uger. Ydermere 104
Figur 4. Et eksempel på et netværk af containerskibe med markerede havne (3-bogstavskoder) og indtegnede sejlruter. er skibene måske fyldt med containere, som i et nyt netværk bør være på andre skibe. Netværkstransitionsproblemet kan som ovenfor formuleres som et optimeringsproblem med variable og ligninger, men det har indtil nu ikke været behandlet meget i forskningsverdenen. Der er imidlertid kommet fokus på løsninger til dette problem i de seneste par år, og de potentielle gevinster er markante. Eksempelvis kan man betragte et lille realistisk netværk bestående af en flåde med 11 mindre containerskibe, som fra de helt store containerhavne fragter containerne videre til mindre havne. Her er situationen så dynamisk, at man skal omplanlægge netværket omkring hver fjortende dag samt bestemme netværkstransitionen. En matematisk model og tilhørende nyudviklet næroptimal løsningsmetode kunne reducere den sejlede distance med 6,9 %. Ved yderligere at spare et skib kunne den sejlede distance reduceres med i alt 15 %, dvs. yderligere 8,1 % i forhold til den første løsning. Disse distancereduktioner vil betyde en besparelse for shippingselskabet på mere end en halv million kr. hver 14. dag. Desuden kan en sådan ny plan fremskaffes på et par timer, mens det tidligere tog flere dage at konstruere en ny plan. Eksemplet viser, hvordan nye matematiske løsninger hurtigt kan omsættes til millioner af kroner på bundlinjen hos transportvirksomheder. Kapitlets forfatter Professor Oli B.G. Madsen. 105