Skriftlig Eksamen ST501: Sandsynlighedsteori og Statistik Mandag den 31. oktober 2005 kl. 14.30-17.30 Forskningsenheden for Statistik Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 3 opgaver(ialt 7 sider incl. forsiden). For hver opgave er angivet den vægt i procent, hvormed opgaven indgår i bedømmelsen. 1
Figure 1: Boxplot af dopaminaktivitet i cerebrospinalvæske(state 1: psykotisk, State 2: ikke-psykotisk). Opgave1(30%) I en undersøgelse om årsagerne til skizofreni blev 25 hospitalsindlagte skizofrene patienter behandlet med antipsykotisk medicin. Efter et givent stykke tid blev de klassificeret som enten psykotiske eller ikke-psykotiske, og deres cerebrospinalvæske(hjernevæske) blev testet for aktivitet af enzymet dopamine b-hydroxylase. Figur 1 viser boxplot af dopamineaktiviteten i cerebrospinalvæsken for de psykotiske patienter(state 1) og for de ikke-psykotiske patienter(state 2). 1. Angiv omtrente værdier af median og inter-quantile-range for dopamineaktiviteten i cerebrospinalvæske for psykotiske patienter og for ikke-psykotiske patienter. 2
2. Detoplysesat: Psykotisk Ikke-psykotisk Middelværdi: 0.0243 0.0164 Varians: 0.0000264 0.0000221 n i 10 15 (a) Test på niveau 5% om der er forskel på dopamineaktiviteten i cerebrospinalvæsken for psykotiske og ikke-psykotiske patienter. (b) Angivhvilkenformelduharbrugti2.a. oghvilkeantagelser,du har foretaget. 3. Forklarkortmedalmindeligeordhvadresultaternei1og2betyder. Opgave2(35%) I et tilfældig valgt norsk fængsel blev de indsatte undersøgt for, hvorvidt de havde ADHD (tidligere benævnt som DAMP: Dysfunktion med hensyn til Afledelighed, Motorisk kontrol og Perception). Ud af 81 indsatte havde 35 ADHD. 1. Beregn proportionen af fængselsindsatte, der har ADHD. 2. Beregn et approksimativt 95%-konfidensinterval for proportionen i 1. 3. Angivhvilkeantagelserduharforetageti2. ogvurderomdeerfornuftige. (Begrund dit svar.) 4. Betragt et nyt tilfældigt fængsel med 10 indsatte. (a) Argumenter for at antallet af indsatte med ADHD kan beskrives vedhjælpafenbinomialfordeling: b(10,p),hvorpkanestimeres fra1. (b) Beregn middelværdien og variansen for antallet af indsatte med ADHD. (c) Beregn sandsynligheden for at højst 2 indsatte har ADHD. 3
Opgave3(35%) Figure 2: Antal biller mod vægt af frugtlegeme. En undersøgelse blev foretaget for at finde ud af, hvormange larver fra billen Diaperus maculatus, der normalt lever i et frugtlegeme af svampen Polyporus betulinus. (En sækporesvamp, der vokser på stammen af udgåede birketræer - den slags svampe man bruger til juledekorationer.) For hver af 25 svampe blev frugtlegemet vejet(i gram) og dernæst opbevaret i et laboratorium, indtil larverne i det udklækkedes som voksne biller, der kravlede ud af svampen ogkunnetælles. Figur2viseretxy-plotafdata. To forskellige modeller for data er analyseret i SAS Insight. SAS outputtet fra analysen af Model 1 er givet i Figur 3, og SAS outputtet fra analysen af Model 2 er givet i Figur 4. Figurerne 5 og 6 viser et residualplot og et normalfordelings QQ-plot over de standardiserede residualer hørende til Model 1. 1. Opskriv Model 1 (fra analysen i Figur 3) og angiv hvilke antagelser, der er foretaget. Angiv estimaterne for parametrene i modellen. 4
Figure3: SASanalyseafModel1. 2. Giver xy-plottet i Figur 2 og/eller residualplottene i Figurerne 5 og 6 anledning til at betvivle Model 1? (Begrund dit svar.) 3. DetønskesundersøgtomlinieniModel1gårgennempunktet(0,0). (a) Forklar betydningen af hypotesen for de aktuelle data. (b) Omskriv hypotesen så den udtrykkes ved hjælp af modellens parametre. (c) Test hypotesen på niveau 5%. 4. OpskrivModel2(fraanalyseniFigur4). Angivestimaterneforparametrene i modellen. 5
Figure4: SASanalyseafModel2. Figure 5: Residualplot af standardiserede residualer for Model 1. 6
Figure 6: Normalfordelings QQ-plot for standardiserede residualer for Model 1. 7