CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave,2,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,2,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål Svar Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 6; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e.

2 Opgave To kuld fra en art af gnavere består af henholdsvis to brunhårede unger og en gråhåret unge (kuld ), og tre brunhårede og 2 grå hårede unger (kuld 2). Et kuld udvælges tilfældigt og dernæst vælges en unge tilfældigt fra det valgte kuld. Spørgsmål Sandsynligheden for, at den valgte unge er brunhåret, findes til Opgave 2 Lad X være antallet af gange, hvor en retfærdig mønt, der kastes 40 gange, lander med krone siden opad. Spørgsmål 2 Find sandsynligheden for hændelsen X = 20. Φ(0.6) Φ( 0.6) 2 ( ) ( 2 )40 3 Φ(0.2) Φ( 0.2) 4 ( ) 40 2 ( 2 )40 5 ( ) 20 2 ( 2 )20 hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. 2

3 Opgave 3 En laboratorietest er 95 % effektiv til at påvise en given sygdom, når sygdommen er til stede hos patienten. Imidlertid vil testen også påvise sygdommen for % af raske individder (falsk positive). Spørgsmål 3 Hvis 0,5% af en population lider af den pågældende sygdom, hvad er da sandsynligheden for, at en person, hvor testen har været positiv, lider af sygdommen Opgave 4 Lad X, X 2 og X 3 være ukorrelerede stokastiske variable, alle med middelværdi µ og varians σ 2. Spørgsmål 4 Find cov(x + X 2, X 2 + X 3 ) udtrykt ved µ og σ 2 σ 2 2 4σ σ 2 + µ 2 5 2σ 2 + 2µ 2 3

4 Opgave 5 Lad Y = log X, hvor X har tætheden f X (x) = (n + m + )! x n ( x) m, 0 < x <, m, n positive heltal. n!m! Spørgsmål 5 Tætheden af f Y (y) findes til f Y (y) = n!m! (n+m+)! e yn ( e y ) m, 0 < y < 2 f Y (y) = (n+m+)! n!m! e ym ( e y ) n, 0 < y < 3 f Y (y) = (n+m+)! n!m! e y(n+) ( e y ) m, 0 < y < 4 f Y (y) = n!m! (n+m+)! e yn ( e ym ), 0 < y < 5 f Y (y) = (n+m+)! n!m! e y ( e y ) m, 0 < y < Opgave 6 Den tid, det tager at reparere en maskine, kan beskrives ved en eksponentialfordelt stokastisk variable med parameter λ = 2 (udtrykt ved parameteriseringen givet side 477 i lærebogen (Probability, Jim Pitman), hvor tidsenheden er timer. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at en reperation tager mindst 0 timer, givet, at den allerede har taget 9 timer, findes til e 2 e /2 3 2 e /2 4 e /2 5 2 e 4

5 Opgave 7 Antallet af emner produceret på en fabrik i løbet af en uge kan beskrives ved en stokastisk variabel med middelværdi 00 og varians 400. Spørgsmål 7 En øvre grænse for, at en uges produktion overstiger 40 findes til Φ(2) Φ( 2 ) Kan ikke bestemmes på grund af manglende oplysninger hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. Opgave 8 En kvinde tager afsted på arbejde mellem 8 og 8:30. Hendes rejsetid er mellem 40 og 50 minutter. Antag, at hendes afrejsetidspunkt er ligefordelt i intervallet, og, at rejsetiden ligeledes er ligefordelt. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at kvinden ankommer på arbejdet før kl. 9, findes til 0, , 5 3 0, 5 4 0, , 6 5

6 Opgave 9 Når man observerer 2n + uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable kaldes den (n + ) mindste for den observerede median. Man betragter den observerede median for 3 uafhængige ligefordelte U(0, ) fordelte variable. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at den observerede median ligger mellem 4 og 3 4, findes til Opgave 0 Lad X være en exponentiel() stokastisk variabel, og definer Y til at være heltalsdelen af X +, det vil sige Y = i +, hvis og kun hvis i X < i +, i = 0,, 2,.... Spørgsmål 0 Find fordelingen af Y udtrykt ved parameteriseringen givet side 476 i lærebogen (Probability, Jim Pitman). Geometrisk fordeling med parameter p = e 2 2 Bernoulli fordeling med parameter p = e (/2) 3 Poisson fordeling med parameter λ = e 2 4 Geometrisk fordeling med parameter p = e 5 Negativ binomial fordeling med parametre n = 2, p = e 6

7 Opgave Antag at den simultane tæthed af X og Y er givet ved f(x, y) = e x/y e y, 0 < x <, 0 < y <. y Spørgsmål Find P(X > Y = y) P(X > Y = y) = y e /y 2 P(X > Y = y) = e y 3 P(X > Y = y) = e /y 4 P(X > Y = y) = ( y e /y ) 5 P(X > Y = y) = e /y Opgave 2 Levetiden af en bestemt type af bildæk kan beskrives ved en normalfordeling med middelværdi kilometer og standardafvigelse kilometer. Spørgsmål 2 Sandsynligheden, for at levetiden er mellem og kilometer, findes til 0, , , , ,

8 Opgave 3 Et universitet ser meget gerne, at der optages 50 studerende til et særligt studie. Man ved erfaringsmæssigt, at i gennemsnit vil kun 30% af de optagne rent faktisk tage imod tilbuddet, så 450 studerende tilbydes studiepladser. Spørgsmål 3 Bestem, eventuelt approksimativt, sandsynligheden for, at mere end 50 studerende vil starte på det specifikke studie. Φ(.29) 2 Φ(.45) 3 ) i=50 (0, 7) i (0, 3) 450 i ( 450 i 4 Φ(.59) ) i=0 (0, 7) i (0, 3) 50 i ( 50 i hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. Opgave 4 Levetiden af et radiorør kan beskrives ved en stokastisk variabel med tæthed f(x) = xe x, x > 0. Spørgsmål 4 Den forventede levetid af et radiorør findes til ,5 5 2,5 8

9 Opgave 5 Tre emner tages på tilfædig vis op af en æske, der indeholder 20 emner, hvoraf 4 er defekte. Spørgsmål 5 Angiv det forventede antal µ og standard afvigelsen σ for antallet af defekte emner i stikprøven. µ = 3 5, σ = µ = 3 5, σ = µ = 3 5, σ = µ = 2, σ = µ = 3 5, σ = 2 5 Opgave 6 Tres procent af eleverne ved en given skole bærer hverken en ring eller en halskæde, medens tyve procent bærer en ring og tredve procent bærer en halskæde. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt elev bærer enten en ring eller en halskæde men ikke begge dele, findes til 0, 5 2 0, 3 3 0, 4 0, 4 5 0, 6 9

10 Opgave 7 Ti jægere afventer forbiflyvende ænder. Når en flok ænder flyver forbi, skyder alle jægerne samtidigt, idet de hver vælger et tilfældigt mål uafhængigt af de andre jægere. Det antages, at hver jæger rammer sit mål med sandsynligheden p. Spørgsmål 7 Det forventede antal ænder ud af en flok på 0, der ikke rammes, findes til ) 0 0 ( p 0 2 (0 p) 3 0 ( p 0) 4 0 ( p) 5 0 ( p) 0 Hint: (a + b) n = n ( n ) k=0 k a k b n k Opgave 8 Sandsynlighedstætheden for X, der beskriver levetiden af noget elektronisk udstyr (målt i måneder) er givet ved f(x) = Cxe x/2, x > 0. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at udstyret fungerer i mindst 5 måneder, findes til 5 56e 5/ e 5/ e 5/ e 5/2 5 kan ikke bestemmes grundet manglende informationer 0

11 Opgave 9 Lad X og Y være uafhængige Poisson fordelte stokastiske variable med parameter henholdsvis 2 og 3. Spørgsmål 9 Den betingede fordeling af X, givet X + Y = 50, findes til P(X = k X + Y = 50) = ( ) ( 50 2 k ( 3 ) 50 k k 5) 5 2 P(X = k X + Y = 50) = 350 k (50 k)! e 3 3 P(X = k X + Y = 50) = ( ) ( 50 2 k ( ) 50 k k 3) 3 4 P(X = k X + Y = 50) = 250 k (50 k)! e 2 5 P(X = k X + Y = 50) = 20k k! e 20 Opgave 20 Antag, at parret (X, Y ) er standard bivariat normalfordelt med korrelationskoefficient 0, 5. Spørgsmål 20 Den betingede tæthed f X Y =y (x) findes til f X Y =y (x) = 2π (/2) exp ( x 2 + 3xy 3 2 y2) 2 f X Y =y (x) = 2π exp ( x 2 y 2) 3 f X Y =y (x) = exp ( x 2 + (/2)π 2xy y2) 4 f X Y =y (x) = 2 π exp ( 2 (x2 + y 2 ) ) 5 f X Y =y (x) = exp ( 2 (3/2)π 3 (x 2 y)2)

12 Opgave 2 Antag, at 23 % af de personer, der deltager ved et basketballstævne bor mindre end 0 kilometer fra stadion, 59 % bor mellem 0 og 50 kilometer fra stadion, og 8 % bor mere end 50 kilometer væk. Der udvælges tilfældigt 20 personer blandt deltagerne. Det kan antages, at det samlede antal deltagere er meget større end 20. Spørgsmål 2 Sandsynligheden for, at blandt de 20 udvalgte, vil der være 7, der bor mindre end 0 kilometer fra stadion, 8, der bor mellem 0 og 50 kilometer fra stadion samt 5, der bor mere end 50 kilometer fra stadion, findes til (0, 23) 7 (0, 59) 8 (0, 8) 5 2 ( ) (0, 23) 7 (0, 59) 8 (0, 8) 5 3 (23 7 )( 59 8 )( 8 5 ) ( ) 4 20! 7!8!5! (0, 23)7 (0, 59) 8 (0, 8) 5 5 (0, 23) 7 + (0, 59) 8 + (0, 8) 5 Opgave 22 Et sædvanligt spil kort med 52 spillekort blandes. Spørgsmål 22 Sandsynligheden for, at de øverste fire kort har hver sin kulør, findes til 0, , , , ,

13 Opgave 23 Antag, at et menneskes levetid i et område med høj forekomst af AIDS med rimelighed kan beskrives ved en fordeling med tæthed f(x) = x 30 2 exp ( x 30). Spørgsmål 23 Sandsynligheden for, at en person, der har opnået alderen 30 år, vil dø inden for sit næste leveår, findes - eventuelt approksimativt - til 30 e 2e 2 30 e e 30 Opgave 24 Antallet af studerende, der tilmelder sig et psykologikursus kan beskrives ved en stokastisk variabel med en middelværdi og varians, der begge er lig 00. Den ansvarlige lærer har besluttet, at hvis 20 eller flere studerende melder sig til kurset, vil det blive givet i to hold, medens det vil blive givet i et hold, hvis færre end 20 tilmelder sig. Spørgsmål 24 Sandsynligheden for, at kurset bliver givet i to hold, kan (eventuelt approksimativt) findes til Φ(2) 2 Φ(2) 3 i=00 e 20 (20) i i! 4 i=20 e 00 (00) i i! 5 Φ(, 95) hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. 3

14 Opgave 25 En fodboldklub har et hold med 22 kernespillere bestående af 2 målmænd, 8 forsvarsspillere, 8 midtbanespillere og 4 angribere. Til en indendørs turnering udtages tildfældigt 7 af de 22 spillere. Spørgsmål 25 Sandsynligheden for, at der er præcis 2 midtbanespillere mellem de 7, findes til ( ) ( 7 8 ) 2 ( 4 ) (8 2)( ) ( 22 7 ) Opgave 26 Parret (X, Y ) af stokastiske variable følger en bivariat normalfordeling X Normal(, 4) og Y Normal(2, 9) med korrelationskoefficient ρ = 9. Spørgsmål 26 Beregn P(X Y 0) ( ) Φ 3 2 Φ ( ) 3 3 Φ ( ) 4 ( ) 4 Φ 2 ( ) 3 5 Φ 43 hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. 4

15 Opgave 27 Ved en laserkirurgisk behandling har laseren en initiel placering, der har en vis afvigelse fra den ønskede centrering. Afvigelsen kan på en passende normeret skala beskrives ved et koordinatsæt i to dimensioner, hvor de to koordinater kan beskrives ved uafhængige standard normalfordelte variable. Spørgsmål 27 Sandsynligheden for, at afstanden fra den initielle placering til den ønskede centrering er mere end, findes til 2π e / e /2 4 π 4 5 e /2 Opgave 28 Et parallelt system er et system, der fungerer så længe, at mindst en af dets (identiske) komponenter fungerer. Et specifikt parallelt system består af 3 uafhængige komponenter, hver med en levetid, der kan beskrives ved en eksponentiel(λ) fordelt stokastisk variabel. Spørgsmål 28 Tætheden f Y (y) for levetiden af systemet findes til f Y (y) = ( λe λy) 3 ; y > 0 2 f Y (y) = 3λ( e λy ) 2 e λy ; y > 0 3 f Y (y) = e 3λy ; y > 0 4 f Y (y) = ( e λy ) 3 ; y > 0 5 f Y (y) = λ( e λy ) 2 ; y > 0 5

16 Opgave 29 Parret (X, Y ) af kontinuerte stokastiske variable har simultan tæthed f(x, y) = 5!x(y x)( y) for 0 < x < y < og 0 ellers. Spørgsmål 29 Man finder P ( X 3, Y 2 3 ) x x=0 y=0 5!x(y x)( y)dydx Opgave 30 Lad X og Y være uafhængige stokastiske variable, således at X exp(λ) og Y exp(µ). Antag at det er umuligt at få direkte observationer af X og Y. Istedet, kan man observere de stokastiske variable Z og W, hvor { hvis Z = X Z = min(x, Y ) og W = 0 hvis Z = Y. Spørgsmål 30 Man finder P(Z z, W = 0) til P(Z z, W = 0) = λ ( λ+µ e λz ) 2 P(Z z, W = 0) = + e ( λ + µ ) z 3 P(Z z, W = 0) = λ λ+µ (e (λ+µ)z ) 4 P(Z z, W = 0) = e (λ+µ)z 5 P(Z z, W = 0) = µ ( µ+λ e (λ+µ)z ) Slut på opgavesættet. 6