(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 10 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 III.1 III.2 III.3 IV.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IV.2 IV.3 IV.4 V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VII.1 VII.2 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VII.3 VII.4 VIII.1 VIII.2 IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 X.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I På et stort fuldautomatisk produktionsanlæg skubbes der på tilfældige tidspunkter emner ud på et sidebånd, hvorfra de automatisk føres til et kontrolanlæg. Produktionsanlægget er indstillet på en sådan måde at antallet af emner, der sendes til kontrolanlægget i middel er 1.6 emne pr. minut. Indføres den stokastiske variabel X, der beskriver antallet af emner til kontrol pr. minut, antages det, at X følger en poissonfordeling. Spørgsmål I.1 (1) Sandsynligheden for, at der i et givet minut ankommer mere end 5 emner til kontrolanlægget bliver: 1 Ca. 97.6% 2 Ca. 2.4% 3 Ca. 0.6% 4 Ca. 32% 5 Ca. 1.6% Spørgsmål I.2 (2) Sandsynligheden for, at der i en 5 minutters periode ankommer højst 8 emner til kontrolanlægget bliver: 1 Ca. 59.3% 2 Ca. 54.7% 3 Ca. 1.4% 4 Ca. 97.0% 5 Ca. 45.3% Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.3 (3) De operatører, der har ansvaret for kontrolanlægget, mener, at antallet af emner, der ankommer til kontrol, er lavere end det ønskede. Der foretages derfor en optælling af antallet af emner, der ankommer i perioder på 10 minutter. Der er registreret 8 tilfældige perioder á 10 minutter. Følgende data er fundet: Det kan nu antages, at en normalfordeling, N(µ, σ 2 ), kan bruges som en god tilnærmelse til fordelingen af antal emner i løbet af 10 minutter. Vi ønsker at teste hypotesen (på niveau α = 0.05) H 0 : µ = 16 ( Korrekt niveau ) H 1 : µ < 16 ( For lavt niveau ) Resultatet af undersøgelsen bliver: (Både konklusion og argument skal være i orden) 1 Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er netop Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er klart under Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er klart over Der er et dokumenteret for lavt niveau, idet den relevante P-værdi er klart over Der er et dokumenteret for lavt niveau, idet den relevante P-værdi er klart under Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål I.4 (4) Ledelsen lavede en tilsvarende optælling, men baserede den på 10 perioder á 5 minutter, og fik følgende antal: De ønsker at få et 90% konfidensinterval for µ - middelværdien for antal emner i 5 minutter, men UDEN at basere det på en antagelse om at normalfordeling kan bruges, og kører følgende i R x=c(8,7,5,10,8,7,7,8,9,8) k = my_bootstrap_samples = replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) my_bootstrap_means = apply(my_bootstrap_samples, 2, mean) quantile(my_bootstrap_means,c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995)) Og får fra sidste linie følgende fraktiler for bootstrap-fordelingen: 0.1% 1% 2.5% 5% 10% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% Det ønskede konfidensinterval baseret på ovenstående er: 1 8 ± [7.0; 8.3] 3 8 ± [6.4; 8.7] 5 [6.7; 8.6] Fortsæt på side 5 4

5 Opgave II En maskine til check af computerchip anvender i middel 65 millisekunder pr. check med en spredning på 4 millisekunder. En nyere maskine, som man overvejer at anskaffe, anvender i middel 54 millisekunder pr. check med en spredning på 3 millisekunder. Det forudsættes, at checktiderne kan antages normalfordelt og uafhængige. Spørgsmål II.1 (5) Sandsynligheden for at tidsbesparelsen pr. check ved anvendelsen af den nye maskine er under 10 millisekunder bliver: 1 Ca. 95% 2 Ca. 39% 3 Ca. 0.0% 4 Ca. 16% 5 Ca. 42% Spørgsmål II.2 (6) Middelværdi (µ) og spredning (σ) for den samlede tidsanvendelse til check af 100 chips på den nye maskine bliver: 1 µ = = 16200ms og σ = = 900ms 2 µ = = 5400ms og σ = = 30ms 3 µ = = 5400ms og σ = = 300ms 4 µ = = 16200ms og σ = = 300ms 5 µ = 54ms og σ = = 300ms Fortsæt på side 6 5

6 Opgave III Et supermarked har netop fået en delikatesseafdeling, der ønsker at fremstille sin egen hjemmelavede remoulade. For at finde den bedste opskrift udføres en smagstest. Der anvendes 4 forskellige slags dressing og 3 forskellige typer pickles i testen. Smagsvurderingen af den enkelte remoulade foretages på en kontinuert skala fra 0 til 5. Følgende måledata blev fundet: I en R-kørsel for tovejs variansanalyse: Dressing type Række- Pickles type A B C D gennemsnit I II III Søjlegennemsnit anova(lm(smag~pickles+dressing)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B, C, D, E og F) > anova(lm(smag~pickles+dressing)) Analysis of Variance Table Response: Smag Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Pickles A E Dressing B F Residuals C D Spørgsmål III.1 (7) Værdierne for A, B, og C er: 1 A = 3, B = 4 og C = 6 2 A = 3, B = 4 og C = 12 3 A = 2, B = 3 og C = 6 4 A = 2, B = 3 og C = 12 5 A = 2, B = 3 og C = 15 Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål III.2 (8) Værdierne for D, E, og F er: 1 D = 0.95, E = 1.96 og F = D = 0.633, E = 3 og F = 4 3 D = 5.86, E = 2 og F = 3 4 D = 5.86, E = 3.84 og F = D = 0.633, E = 1.55 og F = Spørgsmål III.3 (9) Med et testniveau på α = 5% bliver konklusionen på analysen: 1 Kun valg af dressing har signifikant indflydelse på smagen 2 Kun valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 3 Såvel valg af dressing som valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 4 Hverken valg af dressing eller valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 5 Ingen af ovenstående Fortsæt på side 8 7

8 Opgave IV Til produktion af messingventiler modtages råmateriale (messing i stænger) fra 2 forskellige leverandører. Der udtages nogle prøveemner fra leverancerne fra hver af de to leverandører. Trækbrudstyrken for emnerne bestemmes, og følgende resultater er fundet: Leverandør 1: n 1 = 15, x 1 = 223.5N/mm 2, s 1 = 7.23N/mm 2 Leverandør 2: n 2 = 20, x 2 = 220.4N/mm 2, s 2 = 4.49N/mm 2 Som en mulig hjælp findes der med følgende fire R-kommandoer: round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),14,19),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),15,20),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),19,14),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),20,15),3) en række fraktiler (afrundet til 3 decimaler) for fire forskellige F-fordelinger. Resultatet af disse vises i output-vinduet i R som følger: > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),14,19),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),15,20),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),19,14),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),20,15),3) [1] Spørgsmål IV.1 (10) Med et signifikansniveau på α = 5%, kan der ikke påvises nogen forskel i varianserne for de 2 leverancer idet: 1 F (20, 15) = < F (15, 20) = < F (14, 19) = > F (15, 20) = < F 0.05 (19, 14) = 2.4 < Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål IV.2 (11) Følgende hypotese ønskes testet, idet det her forudsættes at σ 2 1 = σ2 2 : H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Med et signifikansniveau på 5% kan der ikke påvises nogen forskel i middelværdierne for de 2 leverancer idet t-værdi og P-værdi for dette test bliver: (begge skal være i orden) 1 t = og P-værdi> t = og P-værdi> t = og P-værdi< t = og P-værdi< t = og P-værdi< 0.05 Spørgsmål IV.3 (12) Idet der altså ikke er forskel i niveauet for de to leverandører kan man slå data sammen for de to og finde et 99% konfidensinterval for middelværdien som: (Nogle beregningsstørrelser for det samlede datasæt: n = 35, x = 221.7, s = 5.93) ± t ± t ± t ± t ± t Spørgsmål IV.4 (13) Der planlægges en undersøgelse af en ny leverandør. Man forventer, at spredningen for denne vil være omtrent 6, altså σ = 6N/mm 2. Man ønsker, at et 99% konfidensinterval for middelværdien i denne nye undersøgelse skal have en bredde på ±1N/mm 2. Hvor mange prøveemner skal udtages for at opnå dette? 1 (1.96 6/1) (1.96 6/2) ( ) ( ) (1.96 6/0.1) Fortsæt på side 10 9

10 Opgave V Når messing skal anvendes i en produktion er materialets elasticitetsmodul E ofte af betydning for funktionen. Elasticitetsmodulet for 6 forskellige messinglegeringer måles. 5 prøveemner fra hver legering testes. Måleresultaterne fremgår af nedenstående tabel, hvor det målte elasticitetsmodul er angivet i GPa: I en R-kørsel for envejs variansanalyse: Messinglegering M1 M2 M3 M4 M5 M anova(lm(elasmodul~legering)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B og C) > anova(lm(elasmodul~legering)) Analysis of Variance Table Response: ElasModul Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Legering A e-05 Residuals B C Spørgsmål V.1 (14) Værdierne for A, B, og C er: 1 A = 25, B = 5 og C = A = 6, B = 25 og C = A = 30, B = 6 og C = A = 6, B = 30 og C = A = 5, B = 24 og C = Fortsæt på side 11 10

11 Spørgsmål V.2 (15) Forudsætningerne for at anvende envejs variansanalysen er: (Vælg det svar der mest korrekt lister samtlige antagelser og IKKE lister unødvendige antagelser) 1 Data skal være normalfordelt inden for hver gruppe, uafhængige og varianserne for hver gruppe må ikke afvige signifikant fra hinanden 2 Data skal være lognormalfordelt inden for hver gruppe og uafhængige 3 Data skal være normalfordelt og have omtrent samme gennemsnit og varians inden for hver gruppe 4 Data må ikke være for store eller for små 5 Data skal være normalfordelte inden for hver gruppe og have omtrent samme IQR-værdi i hver gruppe Spørgsmål V.3 (16) Et 95% konfidensinterval for forskellen på messinglegering 1 og 2 bliver: ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) 24 Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VI Det er en almindelig antagelse, at en studerendes opfattelse af undervisningens kvalitet i et givet fag hænger sammen med den studerendes niveau i faget. For at undersøge om dette gælder er følgende data indsamlet: Der indgår 125 besvarelser i ovenstående skema. Karakter- Vurdering af undervisningens kvalitet gruppe GOD MIDDEL DÅRLIG HØJ 22.4% 7.2% 4% MIDDEL 18.4% 8.8% 11.2% LAV 11.2% 5.6% 11.2% Spørgsmål VI.1 (17) For at undersøge om antagelsen holder, skal følgende størrelse beregnes: 1 ( )2 + (9 9.07)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + (7 7.56)2 + ( ) ( )2 + (9 9.07)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + (7 7.56)2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) Spørgsmål VI.2 (18) Antallet af frihedsgrader (DF) og den kritiske grænse (Q) ved det relevante test på et 5% niveau bliver: 1 DF = 124 og Q = DF = 1 og Q = DF = 2 og Q = DF = 4 og Q = DF = 3 og Q = 7.82 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VII På en uddannelse har man i et fag indført, at en projektopgave, der udføres i semesterets løb, er en del af evalueringsgrundlaget. For at kunne vurdere om det har ændret beståelsesprocenten og karakterniveauet i faget er følgende data indsamlet: Før indførelse Efter indførelse af projektopgave af projektopgave Antal studerende der er evalueret Antal studerende der dumpede 13 3 Gennemsnitskarakter x Stikprøvespredning s Lad p F ør betegne andelen, der dumpede før indførelse af projektopgave og p Efter den tilsvarende andel efter indførelse af projektopgave. Spørgsmål VII.1 (19) Testes følgende hypotese: H 0 : p F ør = p Efter H 1 : p F ør > p Efter bliver en gyldig teststørrelse u, den tilhørende P-værdi og en gyldig konklusionen: (begge værdier og konklusion skal være i orden) 1 u = 1.74 og P-værdi = Der kan på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 2 u = 2.82 og P-værdi = Der kan på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 3 u = 1.32 og P-værdi = Der kan ikke på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 4 u = 1.74 og P-værdi = Der kan ikke på et 10% niveau påvises et fald i dumpeprocent 5 u = 1.32 og P-værdi = Der kan ikke på et 10% niveau påvises et fald i dumpeprocent Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål VII.2 (20) Idet det antages, at karaktererne er omtrentlig normalfordelt i hver gruppe, og at varianserne i de to grupper ikke afviger signifikant fra hinanden, testes følgende hypotese: H 0 : µ F ør = µ Efter H 1 : µ F ør < µ Efter Teststørrelse, P-værdi og konklusion for dette test bliver: (begge værdier og konklusion skal være i orden) 1 t = = 1.842, P-værdi=0.070: Der er på et 10% niveau ikke sket en forøgelse af ( ) 24 karaktergennemsnittet 2 t = = 0.786, P-værdi=0.217: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse af + ) ( karaktergennemsnittet 3 t = = 1.914, P-værdi=0.060: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse af + ) ( karaktergennemsnittet t = = 0.957, P-værdi=0.17: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse ( ) ( ) 24 af karaktergennemsnittet 5 t = = 1.842, P-værdi=0.035: Der er på et 5% niveau sket en forøgelse af ( ) karaktergennemsnittet Spørgsmål VII.3 (21) Et 95% konfidensinterval for karakterspredningen efter indførelse af projektopgave σ Efter bliver: < σ Efter < σ Efter ± σ Efter ± < σ Efter < < σ Efter < Fortsæt på side 15 14

15 Spørgsmål VII.4 (22) Den kritiske værdi for følgende hypotesetest for variansen for karakterne før indførelse af projektopgave σ 2 F ør : H 0 : σ 2 F ør = 2 2 bliver på niveau 1% (α = 0.01): H 1 : σ 2 F ør > Fortsæt på side 16 15

16 Opgave VIII Et firma fremstiller et elektronisk apparat, der skal anvendes i et meget stort temperaturområde. Firmaet ved, at øget temperatur forkorter apparatets levetid, og der udføres derfor et forsøg, hvor levetiden bestemmes som en funktion af temperaturen. Følgende data er fundet: Følgende er kørt i R: Temperatur i Celcius (t) Levetid i timer (y) t=c(10,20,30,40,50,60,70,80,90) y=c(420,365,285,220,176,117,69,34,5) summary(lm(y~t)) med resultaterne: Call: lm(formula = y ~ t) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** t e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 7 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.984,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 7 DF, p-value: 1.505e-07 Spørgsmål VIII.1 (23) Et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten i den regressionsmodel, der ligger til grund for ovenstående kørsel, og som udtrykker levetiden som en lineær funktion af temperaturen, bliver: ± / ± ± ± ± / 9 Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål VIII.2 (24) Kan man påvise en sammenhæng mellem temperatur og levetid på niveau 5%? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end Nej, idet forklaringsgraden er 0.98, som er større end Ja, idet forklaringsgraden er 0.98, som er klart større end Nej, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end Ja, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end 0.05 Opgave IX I en forbrugerundersøgelse er det vist, at der i mange supermarkeder er uoverensstemmelser mellem kassebonen og prisen på hylden. Bestyreren i et supermarked ønsker at holde styr på fejlprocenten, og indfører derfor følgende kontrol: I dagens løb udtages tilfældigt 40 forskellige varer. For disse varer kontrolleres det, om der er overensstemmelse mellem kassebonen og prisen på hylden. Bestyreren finder situationen under kontrol, hvis der højst findes 1 uoverensstemmelse, blandt de 40. Sandsynligheden for at situationen findes under kontrol, hvis procentdelen af fejlmærkede varer er 1% benævnes A. Sandsynligheden for at situationen findes under kontrol, hvis procentdelen af fejlmærkede varer er 10% benævnes B. Spørgsmål IX.1 (25) Værdien af A og B bliver: 1 A = og B = A = og B = A = og B = A = og B = A = og B = Fortsæt på side 18 17

18 Spørgsmål IX.2 (26) Som et ekstra tjek kontrolleredes en given dag i alt 120 forskellige varer, og ud af disse observeredes 15 fejl. Et 95% konfidensinterval for andelen af fejl bliver: ± / ± / ± / ± / ± /120 Spørgsmål IX.3 (27) Man ønsker nu at bestemme andelen af fejl i en bestemt butik med en præcision, så et 90% konfidensinterval bliver af bredden plus/minus Man forventer at andelen vil være i størrrelsesordenen Hvor mange varer skal man omtrentlig kontrollere for at opnå en sådan præcision? (1.645/0.02) varer (1.96/0.02) varer 3 ( /0.02) 2 96 varer (1.96/0.01) varer 5 (1.645/0.01) varer Fortsæt på side 19 18

19 Opgave X Udbyttet Y af en kemisk proces er en stokastisk variabel, hvis værdi formodes at være en lineær funktion af temperaturen X. Følgende data for sammenhængende værdier af x og y er fundet: Temperatur i Celcius(x) Udbytte i gram (y) Gennemsnit og spredning for hhv. Temperatur(x) og Udbytte (y) er: x = 50, s x = , ȳ = 55.4, s y = , og videre kan bruges at S xy = I opgaven anvendes den sædvanlige lineære regressionmodel: Y i = α + βx i + ε i, ε i N(0, σ 2 ), i = 1,..., 5 Spørgsmål X.1 (28) Kan man påvise en signifikant sammenhæng mellem udbytte og temperatur? (Såvel konklusion som argument skal være korrekt) 1 Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Ja, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Ja, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål X.2 (29) Angiv et 95% konfidensinterval for det forventede udbytte ved en temperatur på x 0 = 80 grader celsius: ± ± ± ± ± 1.96 Spørgsmål X.3 (30) De fem residualer bliver: -1.4, 2.6, -1.4, 0.6 og Hvad er den øvre kvartil for residualerne? SÆTTET ER SLUT. GOD JUL! 20