Teori for PCR-mikrosystemer

Specialkursus ved MIC Teori for PCR-mikrosystemer Christiane Lundegaard, s11691 Nanna Petersen, s1164 Jakob Leffland Reimers, s11561 Låg DEP elektroder PCR kammer PCR elektroder Substrat Vejleder: Henrik Bruus MIC - Institut for Mikro- og Nanoteknologi Danmarks Tekniske Universitet 3. december 23

ii

Contents 1 Strømning i mikrokanaler 1 1.1 Newtons 2. lov for fluider............................ 1 1.2 Kræfter virkende på væsker........................... 2 1.2.1 Gravitation................................ 2 1.2.2 Tryk.................................... 2 1.2.3 Viskositet................................. 3 1.2.4 Den samlede Navier-Stokes ligning................... 4 1.3 Eksempler på Poiseuille strømning....................... 4 1.3.1 Strømning i cirkulært rør........................ 4 1.3.2 Væskens hastighedsfelt.......................... 5 1.3.3 Strømning i trekantet rør........................ 7 2 Diffusion 11 2.1 Random Walk................................... 11 2.2 Væske i bevægelse og diffusion......................... 13 2.2.1 Fick s lov................................. 13 2.2.2 Kontinuitetsligningen.......................... 13 2.2.3 Diffusionsligningen............................ 13 2.3 Diffusion af uendelig lille dråbe blæk...................... 14 3 Dielektroforese 17 3.1 Elektrisk felt................................... 17 3.2 Elektrisk dipol.................................. 17 3.3 Den dielektriske konstant............................ 2 3.3.1 Betydning af ɛ iforbindelsemedceller................. 21 3.4 Det inducerede dipolmoment på endielektriskkugle............. 22 3.5 Dielektroforetisk kraft.............................. 25 3.6 Dielektroforetisk kraft påendielektrisksfære................. 25 4 Temperatur 29 iii

iv CONTENTS

Chapter 1 Strømning i mikrokanaler Prøven transporteres rundt i chippens mikrokanaler vha. en trykgradient. Der ønskes en karakterisering af væskens strømning. Som middel til dette udledes en bevægelsesligning for væsker ud fra Newtons 2. lov. Denne bevægelsesligning kaldes Navier-Stokes. Ligningen anvendes efterfølgende til beskrivelse af strømning i cirkulære og trekantede rør. 1.1 Newtons 2. lov for fluider Newtons 2. lov for en partikel er givet ved m dv = F, (1.1) dt hvor v er een partikels hastighed, m dens masse og F den samlede kraft. Dvs. denne ene partikel følges. I stedet ønskes Newtons 2. lov opstillet for fluider, hvor væskens hastighedsfelt v(x, y, z, t) i et bestemt punkt til en bestemt tid indgår. Det viser sig hensigtsmæssigt at betragte en væskepartikel som et lille volumen bestående af flere molekyler. Det lille volumen har en væskes egenskaber (tryk, temperatur og densitet), og er samtidig sammenlignelig med en partikel. Dette kaldes kontiniumshypotesen. For ændringer af en væske betragtes den substantive afledede, også kaldet den materielle afledede, idet substansen følges. Den substantive afledede er defineret som D Dt F (x, y, z, t) = d ( ) F x F (x(t),y(t),z(t),t) = dt x t + F y y t + F z z t + F t, (1.2) hvor der altså differentieres mht. en partikels koordinater i stedet for et fast sted i rummet. Den substantive afledede medtager således bidrag fra ydre påvirkninger samt bidrag fra konvektion. Newtons 2. lov for fluider opstilles. Som følge af kontiniumshypotesen betragtes et volumen V. m Dv V Dt = F V 1 ρ Dv Dt = f, (1.3)

2 CHAPTER 1. STRØMNING I MIKROKANALER hvor f er lig med kraft pr. volumen. Newtons 2. lov for fluider bliver da [ v ρ t 1.2 Kræfter virkende på væsker ] +(v )v = f. (1.4) Kræfter der virker på væsken kan opdeles i bidrag fra gravitation, tryk og viskosistet. 1.2.1 Gravitation En kraft, der altid er tilstede, når der er tale om kræfter virkende på legemer på jorden, er tyngdekraften, og denne virker naturligvis også påvæsker.datrykp er defineret som kraft pr. areal, F A,samtergivetved fås for kraft pr. volumen P = ρgh, (1.5) altså F V = gρ, (1.6) f ρg = gρ. (1.7) For vandrette væskestrømninger er tyngdekraften ophævet af normalkraften. I det tilfælde er det kun vandretvirkende kræfter, der er af betydning. 1.2.2 Tryk Tryk kan benyttes til at få en væske til at strømme i et vandretliggende rør. Een vandretvirkende kraft må altså være trykafhængig. En inkompressibel kube af stationært strømmende væske betragtes. Volumenet V af kuben er givet ved V = x y z, (1.8) og trykket P defineres som det tryk, der virker udefra og ind på væsken. Det antages først, at P kun afhænger af x-koordinaten. Trykkraften pr. volumen, som virker på væsken i x-retningen, er således fundet, idet P (x) ergivet hvor P () y z x y z (f P ) x = P () y z P ( z) y z, (1.9) x y z og - P ( x) y z x y z er den kraft, som virker fra hhv. venstre og højre på væskekuben. Udtrykket reduceres

1.2. KRÆFTER VIRKENDE PÅ VÆSKER 3 hvilket giver at (f P ) x = P () P ( x) x = [ ] P ( x) P (), (1.1) x (f P ) x = P for x. (1.11) x Tilsvarende opstilles udtryk for de tilfælde hvor P kun afhænger af hhv. y og z, hvorfor den samlede trykkraft pr. volumen er givet ved f P = P x P y P z = P (1.12) Kraftpåvirkningen på væsken er således modsatrettet trykgradienten. Det ses f.eks., at foratvæskenstrømmermodhøjredvs.atf P er positiv, skal trykforskellen være negativ, altså der skal være et højere tryk fra venstre end fra højre - i modsatte tilfælde vil væsken strømme mod venstre. 1.2.3 Viskositet En væskemed stationær strømningpåvirkes dog ikke alene af tyngde-, normal- og trykkraft, da strømningen er laminar dvs. lagdelt, og der derfor sker en gnidning imellem de enkelte lag. Gnidningskraft er derfor også en kraft, der må tages med i betragtning. Der ses på en væske placeret imellem to parallelle plader i xy-planen med afstanden z. Den ene af pladerne påvirkes med en konstant kraft, F x, som er givet ved F x = ηav x z (1.13) hvor η er viskositeten, som afhænger af væsken. Til forskel fra tryk, hvor kraften er en normalkraft til arealet A er gnidningskraften en kraft i tangentiel retning til arealet A. Gnidningskraft kan derfor betegnes som en tangentialkraft F x gående i x-retningen på A z med en normalvektor i z-retningen. Tilsvarende tryk, som også kaldes en normalspænding, kan en tangentialspænding defineres σ = F x = η [ vx ( z) v x () ] (1.14) A z z altså σ = F x = η v x A z z, (1.15) hvor σ også kaldes forskydningsspændingen. σ er altså proportional med hastighedsgradienten, dvs. forskellen i hastighed i højden z.

4 CHAPTER 1. STRØMNING I MIKROKANALER Vi betragter endnu en gang kuben af stationært strømmende væske. Det antages, at kuben kun påvirkes af gnidning for oven og for neden. Gnidningskraften pr. volumen virkende på væsken i x-retningen, er da givet ved F x ( z) F x () x y z = η x y[ v x vx z ( z) z ()] x y z, (1.16) hvor η x y vx vx z ( z) og η x y z () er gnidningskræfter virkende hhv. fra oven og ned, og fra neden og op. Udtrykket reduceres: (f V ) x = η ( ) vx = η 2 v x z z z 2 (1.17) Som i tilfældet med f P kan et lignende udtryk opstilles for gnidningskraft pr. volumen, som afhænger af hhv. y- ogz. Et udtryk for de samlede gnidningskræfter pr. volumen virkende på væsken kan derfor gives ved 2 v x + 2 v x + 2 v x x 2 y 2 z 2 f V = η 2 v y + 2 v y + 2 v y x 2 y 2 z 2 = η 2 v (1.18) 2 v z x 2 + 2 v z y 2 + 2 v z z 2 Gnidningskræfter pr. volumen, f V, er gradienten af de to forskydningsspændinger, σ, på to modstillede flader i kuben, og da σ i sig selv er en gradient af hastigheden, bliver f V altså den dobbelte afledede af hastigheden. 1.2.4 Den samlede Navier-Stokes ligning Som følge af superpositionsprincippet kan væskens samlede kraft findes ved at addere alle de enkelte kræfter, som virker på væsken f = f P + f V + f ρg (1.19) og altså fås følgende bevægelsesligning, Navier-Stokes ligning ( v ) ρ t +(v )v = P + η 2 v + ρg. (1.2) 1.3 Eksempler på Poiseuille strømning 1.3.1 Strømning i cirkulært rør For stationær strømning i et cirkulært rør skal det vises at v(r, φ, x) =(v x (r),, ) (1.21) er en løsning til Navier-Stokes ligningen med no-slip boundary conditions dvs. hastigheden ved rørvæggen er lig nul. v x er givet ved

1.3. EKSEMPLER PÅ POISEUILLE STRØMNING 5 ( r 2 ) v x (r) =v 1. (1.22) a 2 Der regnes på et rør af længden L i x-aksens retning og radius r i yz-planen. Tryktabet over rørlængden L er p, dvs.p() = p + p og p(l) =p. Der regnes i polære koordinater i yz-planen dvs. y = r cos φ og z = r sin φ. De forskellige elementer i Navier-Stokes ligningen betragtes enkeltvis i det følgende. 1.3.2 Væskens hastighedsfelt Der er kun trykfald i x-aksens retning dvs. v =(v x,, ). Desuden er hastighedsfeltet uafhængigt x og vinklen φ, dvs. alle x- ogφ-punkter er ækvivalente. Derfor er v = v x (r) Hastighedsfeltet er ligeledes uafhængigt af tiden dvs. v t =. Væskens acceleration. (1.23) Endvidere haves leddet (v )v (v )v =(v x x ++) v x (r) = v x x v x (r) =. (1.24) Venstre side i Navier-Stokes ligningen giver dermed ρ( + ) =. (1.25) Trykkræfter Da der kun er tryktab i x-aksens retning er 1 [ ] L p(l) p p = = p L. (1.26) Gnidningskræfter Leddet med bidrag fra gnidningskræfter beregnes η 2 v = η ( 2 x + 2 r + 1 r r + 1 r 2 φ )v x (r) = η 2 r v x (r)+ 1 r rv x (r). (1.27)

6 CHAPTER 1. STRØMNING I MIKROKANALER Gravitationskræfter Gravitationskræfterne ρg bliver ophævet af normalkræfter fra røret idet strømningen sker vandret. Navier-Stokes ligning Der fremgår at alle r og φ komponenterne i de forskellige vektorer der indgår i Navier- Stokes ligning alle er nul. Derfor kan Navier-Stokes ligning reduceres til en differentialligning af x-komponenterne. ρ = p [ L + η r 2 v x (r)+ 1 ] r rv x (r) (1.28) og dermed fås r 2 v x(r)+ 1 r rv x (r) = p Lη. (1.29) Som løsning til denne differentialligning gættes på en andengradsligning af formen v x (r) = αr 2 + β. Ved indsættelse fåes altså 2α + 1 2αr = p r Lη α = p (1.3) Lη4, v x (r) = p Lη4 r2 + β. (1.31) Af grænsebetingelsen v x (a) =fåes Løsningen bliver altså β = p Lη4 a2. (1.32) v x (r, φ) = p Lη4 r2 + p Lη4 a2 v x (r, φ) =a 2 p Lη4 hvor r tilhører [,a]. Ligningen er altså på formen hvor (1 r2 a 2 ), (1.33) v x (r, φ) =v ( 1 r2 a 2 ), (1.34) v = p 4Lη a2. (1.35)

1.3. EKSEMPLER PÅ POISEUILLE STRØMNING 7 1.75.5.25-1 -.5-1 -.5.5.5 Figure 1.1: 3D flowprofil v x (y,z) af strømning i cirkulært rør med radius a =1. 1 1 1.3.3 Strømning i trekantet rør For strømning i et trekantet rør skal det vises, at v(x, y, z) =(v x,, ) (1.36) er en løsning til Navier-Stokes ligningen med no-slip boundary conditions dvs. hastigheden ved rørvæggen er lig nul. v x er givet ved ( z 3 v x (y,z) =v )(3 a y2 2 a 2 z2 ) a 2. (1.37) Der regnes på et rør af længden L i x-aksens retning med et trekantet tværsnit i yz-planen med hjørnepunkterne (i yz-koordinater) ( 1 3 ) ( A =(, ), B= 2 a, 2 a og C = 1 3 ) 2 a, 2 a. (1.38) Opstillingen af en differentialligning for v x (y,z) for strømning i trekantet rør ud fra Navier- Stokes følger i store træk fremgangsmåden for strømning i cirkulært rør. Ligningen kan påanalogmåde reduceres til en differentialligning med x-komponenterne. yv 2 x + z 2 v x = p Lη. (1.39) Det vil være fornuftigt, at gætte på at et polynomium i y og z er en løsning til ovenstående differentialligning. Ud fra betragtninger om grænsebetingelserne kan der formuleres et gæt

8 CHAPTER 1. STRØMNING I MIKROKANALER på en løsning. Grænsebetingelserne er som for det cirkulære rør, at hastigheden er nul vedkanterne.denøverstekantopfylder z = 3 a. (1.4) 2 v x = vil være opfyldt hvis funktionen indeholder faktoren (z skrå kanter opfylder 3 2 a) eller ( z a 3 2 ). De z = 3y z = 3y z 2 =3y 2. v x = vil være opfyldt hvis funktionen indeholder faktoren (3y 2 z 2 ) eller (3 y2 a 2 Der kan nu gættes på en løsning ( z 3 v x (y,z) =v )(3 a y2 2 ( v 3 zy2 a 3 z3 a 3 3 a 2 z2 ) a 2 = 3z 2 ) 2a 2. 3y 2 2a 2 + Ved indsættelse i differentialligningen fåes ( v 6 z 3 a 3 3 a 2 6 z 3 ) a 3 + a 2 = p Lη ( 3 ) v 2 a 2 = p Lη v = a 2 p Lη2 3. (1.41) z2 a 2 ). (1.42) (1.43) Løsningen bliver altså v x (y,z) =a 2 p ( z 3 )(3 Lη2 3 a y2 2 a 2 z2 ) a 2. (1.44)

1.3. EKSEMPLER PÅ POISEUILLE STRØMNING 9.75.5.25.25 -.5 -.25.5.75.25 1.5 Figure 1.2: 3D flowprofil v x (y,z) af strømning i rør formet som en ligesidet trekant med kantlængde a =1.

1 CHAPTER 1. STRØMNING I MIKROKANALER

Chapter 2 Diffusion En anden form for transport af betydning i mikrokanaler er diffusion. Diffusion kan betragtes ud fra to forskellige vinkler. På molekylært niveau betragtes diffusion som de enkelte molekylers tilfældige bevægelser (random walk) og på makroskala bestemmes diffusion af koncentrationsgradienter. Det er af interesse at undersøge hvorledes diffusionsafstanden afhænger af diffusionstiden. Dette vil bl.a. have betydning for hvor hurtigt reagenser blandes i reaktionskammeret. I de to følgende afsnit behandles de to aspekter af diffusion og dernæst betragtes et eksempel på diffusion. 2.1 Random Walk Der betragtes et simplificeret tilfælde, hvor en partikel bevæger sig i diskrete spring på en 1-dimensional akse med udgangspunkt i x =. For hvert spring flytter partiklen sig afstanden x = ±d. Således er den samlede afstand fra begyndelsespunktet efter N bevægelser givet ved x (j) = N i=1 x (j) i, (2.1) hvor j indikerer én blandt 2 N mulige random walks bestående af N spring. Middelværdien for den samlede afstand, hvor partiklen ender af M måleserier x (j), bliver da x = 1 M M x (j) = 1 M j=1 M N j=1 i=1 x (j) i = 1 M N ( M ) x (j) i =. (2.2) Middelværdien giver imidlertid ikke et informativt billede af partiklernes egentlige positioner efter N spring. Dette kan i stedet beskrives ved hjælp af størrelserne varians og spredning. Variansen er givet som kvadratet af differensen mellem en enkelt partikels slutposition og middelværdien af alle partiklers slutpositioner i=1 j=1 (x x ) 2 = x 2 x 2. (2.3) 11

12 CHAPTER 2. DIFFUSION Da middelværdien i det givne tilfælde er x =, bliver variansen følgende (x x ) 2 = x 2 = xx. (2.4) Indsættes udtrykket for partiklens afstand fra begyndelsespunktet (ligning 2.1) i ligning 2.4 kan videre udledes N x 2 = x i N N N x j = x i x j. (2.5) i=1 j=1 i=1 j=1 Udskilles diagonal leddene i = j fås følgende udtryk N N N x 2 = x i x i + x i x j i=1 i=1 j i N N N = x 2 i + x i x j. i=1 i=1 j i (2.6) Dette giver for ( x i ) 2 = d 2 Således bliver variansen x 2 = N d 2 + i=1 N i=1 j i N x i x j = Nd 2 +. (2.7) x 2 = Nd 2. (2.8) Spredningen er givet som kvadratroden af variansen, og er dermed et udtryk for, hvor langt fra middelværdien, x, værdierne ligger i gennemsnit. σ = x 2 = Nd 2 = Nd. (2.9) Altså ender partiklen i gennemsnit afstanden x = Nd fra begyndelsespunktet. Hvis hvert spring tager tiden τ, da bliver N = t τ, (2.1) hvor t er den samlede tid for N spring. Altså kan den gennemsnitlige afstand σ udtrykkes ved x 2 = σ = t τ d. (2.11) Det konkluderes dermed, at diffusionsafstanden, når diffusion betragtes som de enkelte molekylers enkelte tilfældige bevægelser, afhænger af kvadratroden af tiden.

2.2. VÆSKE I BEVÆGELSE OG DIFFUSION 13 2.2 Væske i bevægelse og diffusion På makroskala kan diffusion beskrives ved koncentrationsforskelle. Ved at anvende Fick s lov og kontinuitetsligningen på en kube med væske, findes sammenhængen mellem diffusion og en given forskel i densitet. I det følgende betegnes antallet af partikler pr. volumen med ordet densitet. 2.2.1 Fick s lov Fick s lov beskriver, hvorledes strømtætheden af molekylerne afhænger lineært af densitetsgradienten J = D ρ (2.12) hvor J er strømtætheden og ρ densiteten. D er den såkaldte diffusionskonstant. Det bemærkes, at strømningen af partiklerne er modsatrettet gradienten, dvs. partiklerne strømmer fra et område med høj densitet til et område med lav densitet. 2.2.2 Kontinuitetsligningen Til beskrivelse af sammenhæng mellem densitetsændring pr. tid og forskel i strømningstæthed haves også kontinuitetsligningen ρ t = (ρv ) = J (2.13) hvor ρ er densiteten, v hastigheden af partklerne og J er strømningstætheden. Er der en forskel i hvor mange partikler, som strømmer til kuben, og hvor mange, som strømmer fra kuben, altså hvis der eksisterer en divergens i strømningstætheden, så sker der ifølge kontinuietesligningen en ændring pr. tid i densiteten i kuben, som har modsat fortegn af divergensen. Dvs. strømmer flere partikler ind i kuben end ud, hvorved der opstår en negativ gradient i strømningstæthed, så er der en positiv tilvækst i densitet pr. tid i kuben. 2.2.3 Diffusionsligningen Indsættes Fick s lov i kontinuitetsligningen fås et udtryk for, hvordan ændringen i densitet pr. tid afhænger direkte af densitetsgradienten og diffusionskonstanten. I og med, ændringen i densitet pr. tid er et udtryk for diffusionens påvirkning af opløsningen, er sammenkoblingen af Fick s lov og Kontinuitetsligningen et udtryk for diffusionens afhængighed af en given koncentrationsforskel, hvorfor den fremkomne ligning også kaldes diffusionsligningen ρ t = J = ( D ρ ) = D 2 ρ. (2.14) Her er ρ densiteten, t er tiden, J er strømningstætheden og D er diffusionskonstanten. Det er værd at bemærke, at udtrykket indeholder divergensen af gradienten af densiteten. Dette skyldes, at hvis der eksisterer en forskel, altså en gradient, imellem densiteten i væsken til højre for kuben og væsken i kuben, samt imellem væsken i kuben og til venstre for, så er det forskellen imellem de to gradienter, som bestemmer, om der er en ændring

14 CHAPTER 2. DIFFUSION af densiteten i væsken i kuben pr. tid. Hvis denne forskel i gradient ikke er tilstede, eks. gradienterne er de samme og der derfor diffunderer ligeså meget ud som ind, så vilder ikke ske nogen ændring af densiteten pr. tid i væskekuben. 2.3 Diffusion af uendelig lille dråbe blæk Som eksempel på anvendelse ønskes diffusionsligningen løst for en dråbe blæk i vand. En uendelig lille dråbe blæk placeres til tiden t =på position r = i midten af et stort kar med vand. Blækket begynder med det samme at diffundere ud i vandet. Der skal vises, at ρ(r,t)givetved N ρ(r,t)= (4πDt) 3 2 ( exp r2 ), (2.15) 4Dt hvor N er antallet af diffunderende blækmolekyler, og D er diffusionskoefficienten af blæk i vand, tilfredsstiller diffusionsligningen med grænsebetingelsen ρ(r,t + )=N δ(r) (2.16) hvor δ(r) er delta funktionen i 3D, som er nul overalt undtagen i r =. For at lette udregningerne omskrives ρ(r,t)til ( ρ(r,t)=kt 3 2 exp r2 ) N, hvor K =. (2.17) 4Dt (4πDt) 3 2 I udregningerne anvendes polære koordinater. Da diffusionen sker frit i alle retninger, er ρ(r,t) uafhængig af de to vinkler og kun afhængig af tiden t og radius r, som det ses i den angivne løsning. Venstre side i diffusionsligningen giver ρ(r,t) t ( = K exp r2 )( r 2 4Dt 4D t 7 3 ) 2 2 t 5 2 (2.18) = 1 ( 2 K exp r2 ) ( t 5 r 2 ) 2 4Dt 2D t 1 3. (2.19) Højre side i diffusionsligningen giver [ ( D 2 ρ = D 1 r 2 r 2 ( Kt 3 2 exp r2 ) )] (2.2) r r 4Dt = DKt 3 2 1 r 2 t [ r 2( 2 4Dt r exp ( r2 ) )] (2.21) 4Dt = 1 ( 2 K exp r2 ) t 5 2 (3 r2 ). (2.22) 4Dt 2Dt Det ses, at disse to udtryk er identiske. Altså er den angivne funktion ρ(r,t) en løsning til diffusionsligningen.

2.3. DIFFUSION AF UENDELIG LILLE DRÅBE BLÆK 15 Forløbet af diffusionen af en blækdråbe i vand kan derfor illustreres grafisk med en afbilding af funktionen ρ(r,t), hvor D =1, ogn = 1. Først afbildes funktionen hvor r er fastholdt (Se Figur 2.1). Det ses, at i et punkt tæt på blækdråbens centrum, r =, 5, opnås en meget høj blækdensitet hurtigt efter diffusionens start, hvorefter densiteten aftager stærkt, idet blækket diffunderer videre ud. I et punkt længere fra blækdråbens centrum, r =1,, ses en fladere kurve for densiteten som funktion af tiden. Der opnås ligeledes et maximum for densiteten, men dette kommer til et senere tidspunkt og er mindre end for et punkt tættere på centrum. Altså for densiteten som funktion af tiden gælder jo længere fra centrum af blækdråben desto mindre bliver maximumdensiteten og desto senere indtræffer dette maximum. ρhtl.6.5.4.3.2.1 r=,5 r=,6 r=,8 r=1,.2.4.6.8 1 t Figure 2.1: Forløb af diffusion af blækdråbe i fast punkt. ρ(r,t) afbildes med r fastholdt til 4 forskellige værdier: r =, 5,r =, 6,r =, 8,r =1,. Værdierne D og N er fastsat til D =1, ogn =1. Dernæst afbildes densiten som funktion af radius med fastholdt t (Se Figur 2.2). Afbildningen viser, at til et tidligt tidspunkt, t =, 4, er densitetsprofilen for blækdråben stejl, mens profilen er markant fladere til et senere tidpunkt, t =, 1. Jo tidligere et tidspunkt blækdråben observeres desto højere er densiteten i dråbens centrum, og desto hurtigere går densiteten mod ρ =, dvs. desto mindre er dråbens bredde. Som tiden går mindskes densiteten i centrum og udbredelsen af dråben bliver større. Idet diffusionen starter, vil dråben af blæk ikke længere være fast afgrænset. Som udtryk for bredden af dråben vælges r 1/2, som er den radius, hvor tætheden af molekyler er halveret i forhold til midten af dråben. Et udtryk for r 1/2 som funktion af tiden findes ρ(r 1/2,t)= 1 2 ρ(,t) N (4πDt) 3 2 r2 1/2 4Dt ( exp r2 ) 1/2 4Dt N = 1 2 (4πDt) 3 2 (2.23) ( 1 =ln r 2) 1/2 = ln(2)4dt. (2.24)

16 CHAPTER 2. DIFFUSION ρhrl 2.5 2 1.5 1 t=,1 t=,8 t=,6 t=,4.5.2.4.6.8 1 r Figure 2.2: Forløb af diffusion af blækdråbe til fast tid. ρ(r,t) afbildes med t fastholdt til 4 forskellige tidspunkter: t =, 4,t =, 6,t =, 8,t =1,.Værdierne D og N er fastsat til D =1, ogn =1. r 1/2 er altså afhængig af kvadratroden af tiden. Til sammenligning var spredningen, der også kan opfattes som et udtryk for bredden af blækdråben, ligeledes afhængig af kvadratroden af tiden. For udbredelsen af blækdråben findes altså samme tidsafhængighed, hvis man går ud fra tilfældig statistisk bevægelse, som hvis man går ud fra koncentrationsgradienten. Som et konkret eksempel regnes på hvor lang tid det tager en dråbe blæk at diffundere ud så r 1/2 =5 1 2 m. Diffusionskonstanten for blæk haves ikke og derfor vælges en værdi ud fra sammenligning med diffusionskonstanter for en række ioner. Der regnes med D =2, 1 9 m 2 s 1. t = r2 1/2 ln(2) 4D = (5 1 2 m) 2 ln(2) 42, 1 9 m 2 s 1 =4, 5 15 s = 125 h. (2.25) Til transport over længere afstande er diffusion altså en særdeles langsommelig proces. Til sammenligning regnes på diffusion af en blækdråbe ud til r 1/2 =5 1 6 m (bredden af en typisk mikrokanal er 1µ m). t = r2 1/2 ln(2) 4D = (5 1 6 m) 2 ln(2) 42, 1 9 m 2 s 1 =4, 5 1 3 s. (2.26) Da det er kvadratet på r 1/2 som optræder i udtrykket for diffusionstiden, bliver resultatet af en mindre r 1/2 altså en meget mindre diffusionstid. Dette betyder at diffusion er et fænomen som har meget stor betydning i mikrosystemer i forhold til makroskala og det ses, at diffusion vil være tilstrækkeligt til at reagenserne i PCR-kammeret blandes ordentligt.

Chapter 3 Dielektroforese Prøven, der ønskes opformeret vha. PCR, er ofte forurenet med en lang række uønskede partikler og molekyler og det vil derfor være nødvendigt at separere disse fra de ønskede celler. Separationen kan udføres vha. dielektroforese, DEP, som gør det muligt at fange celler vha. inhomogene elektriske felter. I kapitlet ønskes derfor denne proces belyst. Først indføres en række begreber og definitioner fra elektromagnetismen. Der gøres nogle simplificerende antagelser om cellen, således at denne er at betragtes som en dielektrisk kugle. Det skal vises, at en sådan dielektrisk kugle opfører sig som en dipol i et elektrisk felt. Afslutningsvist regnes på hvor stærk den dielektroforetiske kraft på denne dipol er i sammenligning med gnidningskraften fra den strømmende væske. 3.1 Elektrisk felt Et elektrisk felt skabes mellem en plus- og en minuspol med en spænding φ (energi pr. ladning) analogt til et mekanisk arbejde W = q φ. Da arbejde (energi) er givet ved kraft gange vej, så kan den elektriske kraft F el udtrykkes som gradienten af energien W. dw = F el dr F el = W (3.1) Det elektriske felt E = 1 q F el indføres nu som kraft pr. ladning og kan dermed udtrykkes vha. spændingen φ E = φ. (3.2) 3.2 Elektrisk dipol Placeres en ladningsneutral partikel i et elektrisk felt (jf. figur 3.2) opstår en polarisering af partiklen, hvor kondensatorens pluspol trækker i partiklens negative ladninger og vice versa og dermed skabes en ladningsadskillelse. Fra Coulombs lov haves, at potentialet for en punktladning Q, anbragt i et dielektrikum med den dielektriske konstant ɛ, er givet ved 17

18 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE φ(r) = 1 Q 4πɛ r. (3.3) -Q +Q q -d/2 d/2 r Figure 3.1: Ladning q placeret i afstanden r fra dipolen Qd og parallelt med denne. En dipol består af en positiv ladning +Q og en negativ ladning Q adskilt med en lille afstand d. Der betragtes en dipol med centrum i (se figur 3.1). Der placeres en anden ladning q i afstanden r fra Q. Det er da muligt at bestemme potentialet af dipolen for Q, φ dp ved Idet φ dp = φ Q (r)+φ +Q (r). (3.4) findes φ Q (r) = 1 Q 4πɛ r + d 2 φ +Q (r) = 1 +Q 4πɛ r d 2 (3.5) (3.6) φ dp (r) = 1 Q 4πɛ r + d + 1 Q 4πɛ 2 r d 2 = Q( r + d ) ( ) 2 Q r d 2 4πɛ ( r 2 ( d 2 )2) (3.7) Qd 1 4πɛ r 2, (3.8) da d r. I det generelle tilfælde behøver ladningen q ikke ligge på aksen. Potentialet for dipolen er i dette tilfælde givet ved φ dp = Qd cos θ 4πɛ r 2 = p cos θ 4πɛ r 2 = p e r 4πɛr 2, (3.9) hvor e r er enhedsvektoren i radiær retning og p = Qd kaldes for dipolmomentet og er en vektor, der angiver i hvilken retning og afstand den positive ladning er blevet forskubbet fra den negative. Analogt kan kraften F dp for dipolen i et E-felt bestemmes

3.2. ELEKTRISK DIPOL 19 F dp = QE ( r + d ) d +( Q)E(r 2 2 ) (3.1) = Q (E(r + d2 ) E(r d2 ) ) Qd E(r + d 2 ) E(r r d 2 ) d Qd de dr for d. Udvides til tre dimensioner kan F dp skrives som F dp = ( Qd ) E =(p )E, (3.11) hvor p = Qd. Bemærk at kun inhomogene felter kan give kræfer forskellig fra. I figur 3.2 er vist et elektrisk felt over en pladekondensator udgjort af to metalplader overfor hinanden med en spændingsforskel, φ. Pladerne er adskilt med vacuum. Figuren illustrerer et homogent E-felt. I dette tilfælde vil plus- og minuspolen tiltrække en ladningsneutral partikels polarisationsladninger med lige store og modsatrettede kræfter. Således vil gælde, at E -q +q d ϕ Figure 3.2: Homogent E-felt over en pladekondensator med arealet A og ladning +q hhv. q pådetoplader. F total =+qe qe = ( + q q ) E =. (3.12)

2 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE Totalkræfterne virkende på partiklen er altså nul. Figur 3.3 illustrerer et inhomogent E- felt. Under sådanne omstændigheder vil totalkræften ikke være nul, hvilket skyldes der findes en gradient i det elektriske felt. Altså E-feltet ved minus-enden er forskelligt fra det ved plus-enden. E -q +q ϕ Figure 3.3: Inhomogent E-felt skabt ved at anbringe en punktladning overfor en plan ladning. 3.3 Den dielektriske konstant For pladekondensatoren (figur 3.2) kan opstilles et udtryk for ladning på pladerne A Q = C φ = ɛ φ, (3.13) d hvor C kaldes kapacitansen, ɛ [ C mv] kaldes den dielektriske konstant og beskriver hvor let et materiale kan polariseres. ɛ er den dielektriske konstant for vacuum. Betydningen af ɛ kan illustreres ved at betragte to tilfælde. En pladekondensator hhv. med vacuum og med et andet materiale (jf. figur 3.4). Det fremgår af figur 3.4, at nogle feltlinier stopper på den negative polarisationladning i materialet, mens andre fortsætter igennem. Alle feltlinier går gennem vacuum. Der må altsågælde, at men det ses, at E B <E A φ B < φ A, (3.14)

3.3. DEN DIELEKTRISKE KONSTANT 21 + A - + - + + - +q -q +q -q Figure 3.4: Betydning af den dielektriske konstant. Del A viser et E-felt gennem vacuum, mens del B illustrerer en pladekondensator med et materiale mellem pladerne. B - Ved at opstille ligning 3.13 i de to tilfælde fåes Q A = Q B. (3.15) Q A = C A φ A = ɛ A A d φ A (3.16) Da A d A Q B = C B φ B = ɛ B d φ B. (3.17) er konstant må dagælde,at ɛ B >ɛ A. (3.18) Altså sluttes, at et materiale med stor værdi af ɛ let kan polariseres. 3.3.1 Betydning af ɛ i forbindelse med celler En forskel mellem to mediers evne til at blive polariseret kan udnyttes til at skabe et dipolmoment i f.eks. en celle, og dermed en mulighed for at flytte cellen vha. inhomogene elektriske felter. Der betragtes i figur 3.5 et simplificeret tilfælde med en firkantet celle med ɛ = ɛ 2 ivandmedɛ = ɛ 1. I tilfældet A er ɛ 1 <ɛ 2,altså kan cellen lettere polariseres end det omgivne vand. Vha. figur 3.6 udregnes en nettoladning for cellen og dipolmomentet indtegnes. I tilfældet B befinder cellen sig i saltvand med en dielektrisk konstant, der er større end cellens egen. Af figur 3.6B fremgår det, at nettoladningen er større udenfor cellen, hvilket betyder, at dipolmomentet for cellen er modsatrettet det i tilfælde A. Dipolmomentet ændrer sig altså afhængigt af størrelsesforholdet mellem de dielektriske konstanter, ɛ A og ɛ B i hhv. omgivende væske og cellen.

22 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE + A - + - + - + - + - + - + - + B - + - + - + - + - + - + - + - + - + celle (ε2) vand (ε1) celle (ε2) vand - (ε1) Figure 3.5: Betydning af størrelsesforholdet mellem den dielektriske konstant i en celle og det omgivende medium. I tilfældet A er den dielektriske konstant større i cellen end i vandet og omvendt i tilfældet B. Bemærk at nettoladningen på cellens højre og venstre side er modsatte i de to tilfælde (jf. figur 3.6). + A - + p - + - + B p + - - Figure 3.6: Nettoladning over cellemembranen udregnet for de to tilfælde illustreret i figur 3.5. Dipolmomentet for cellen er indtegnet. 3.4 Det inducerede dipolmoment på en dielektrisk kugle Det antages, at en celle er at betragte som en dielektrisk kugle. Det undersøges hvorledes denne dielektriske kugle opfører sig i et elektrisk felt, og om det er at sammenligne med en punktdipol. Der betragtes et dielektrisk medium med en dielektricitetskonstant ɛ 1.Tilstedeeret konstant elektrisk felt parallelt med z-aksen. Dette elektriske felt har potentialet φ = E z = E r cos θ i hhv. kartesianske (x, y, z)og sfæriske koordinater (r, θ, ϕ). En dielektrisk kugle med radius a og dielektricitetskonstant ɛ 2 placeres nu i centrum af koordinatsystemet. Det elektriske felt polariserer kuglen og ændrer derved det oprindelige potentiale til φ 1 udenfor og φ 2 inden i kuglen. Langt fra kuglen vil φ 1 nærme sig φ.det skal vises at følgende funktioner er løsninger til Poisson-ligningen i sfæriske koordinater.

3.4. DET INDUCEREDE DIPOLMOMENT PÅ EN DIELEKTRISK KUGLE 23 φ 1 (r, θ, ϕ) = E r cos θ + A cos θ r 2 og φ 2 (r, θ, ϕ) =Br cos θ. (3.19) Poisson-ligningen er 2 φ = ρ frie, (3.2) ɛ hvor ρ frie er ladningstæthed. Dette giver i specialtilfældet, hvor der ikke er frie ladninger 2 φ =. (3.21) Ligningen i dette tilfælde kaldes Laplace ligningen. Ved udregning af 2 φ 1 og 2 φ 2 i sfæriske koordinater vises det herunder, at de to givne løsninger φ 1 (r, θ, ϕ) ogφ 2 (r, θ, ϕ) opfylder Poisson-ligningen. 2 φ 2 = 1 r 2 r[r 2 1 (Br cos θ)] + r 2 sin θ [sin θ θ(br cos θ)] = B r 2 r(r 2 cos θ)+ Br r 2 sin θ θ[sin θ( sin θ)] = 2Br 2Br 2cosθ r2 r 2 cos θ2sinθ sin θ =. (3.22) Følgende sammenhæng mellem φ 1 og φ 2 indses Altså er 2 φ 1 = 2 ( E r cos θ)+ 2( A cos θ r 2 ) =+ 2( A cos θ r 2 ). (3.23) 2 φ 1 ( cos θ = A r ( 2 cos θ = A r ( 2 cos θ 1 = A r 2 r [r 2 r ( 1 r 2 )] + 1 [ r 4 sin θ θ ] ) sin θ (cos θ) ) r [r 2( 2 )] 1 r 3 r 4 sin θ (sin2 θ) ) r 2 1 r 4 cos θ sin θ sin θ =. (3.24) Det er hermed vist, at de to givne funktioner φ 1 (r, θ, ϕ) ogφ 2 (r, θ, ϕ) er løsninger til Poisson-ligningen i specialtilfældet ρ frie =. Konstanterne A og B kan bestemmes ud fra grænsebetingelserne, der opstilles ud fra følgende overvejelser. Det elektriske felt E er defineret som gradienten af potentialet φ. Er φ diskontinuert i et punkt, vil der i dette punkt være et uendeligt elektrisk felt og altså en uendelig kraft (idet det elektriske felt er kraft pr. ladning). Dette er ikke fysisk muligt, og derfor må det gælde at φ(r, θ, ϕ) er kontinuert overalt. Dette giver 1. grænsebetingelse φ 1 (a, θ) =φ 2 (a, θ). (3.25)

24 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE Af Maxwells ligninger i specialtilfældet (ρ frie = ) fremkommer grænsebetingelsen der for kugleoverfladen giver 2. grænsebetingelse Af 1. grænsebetingelse fåes ɛ 1 E 1 n = ɛ 2 E 2 n, (3.26) ɛ 1 r φ 1 (a, θ) =ɛ 2 r φ 2 (a, θ). (3.27) E a cos θ + A cos θ a 2 = Bacos θ B = E + A a 3. (3.28) Dette indsættes i 2. grænsebetingelse, og der fåes følgende udtryk for A ( ɛ 1 E cos θ 2A ) a 3 cos θ = ɛ 2 B cos θ ( 1 A ɛ 2 a 3 + ɛ 2 ) a 3 = ɛ 1 E + ɛ 2 E Dette giver følgende udtryk for B A = ɛ 2 ɛ 1 ɛ 2 +2ɛ 1 E a 3. (3.29) B = E + ɛ 2 ɛ 1 ɛ 2 +2ɛ 1 E. (3.3) Den ændring af potentialet, som kuglen bidrager med, fåes ved at trække det oprindelige potentiale φ (r, θ, φ) fra det fra fundne potentiale φ 1 (r, θ, φ). Dette giver med det fundne udtryk for A indsat φ 1 (r, θ, φ) φ (r, θ, φ) = E r cos + ɛ 2 ɛ 1 ɛ 2 +2ɛ 1 E a 3 cos θ r 2 ( E r cos θ) = ɛ 2 ɛ 1 ɛ 2 +2ɛ 1 E a 3 cos θ r 2 (3.31) altså φ 1 φ = 1 p cos θ ɛ 2 ɛ 1 4πɛ 1 r 2 hvor p =4πɛ 1 a 3 E. (3.32) ɛ 2 +2ɛ 1 Ved sammenligning ses at den ændring af potentialet, som kuglen bidrager med, svarer til potentialet for en dipol, som blev fundet i foregående afsnit (se ligning 3.9). Der kan heraf drages den vigtige konklussion at en dielektrisk kugle i et elektrisk felt opfører sig som en dipol, hvor dipolmementet p er givet ved ovenstående udtryk. Dette vil gøre behandlingen af kugler i elektriske felter langt mere simpel, idet der kan regnes på en punkt-dipol i stedet for en kugle. Herved undgåes geometriske komplikationer, og de fundne lovmæssigheder gældende for dipoler kan overføres direkte på kuglen.

3.5. DIELEKTROFORETISK KRAFT 25 3.5 Dielektroforetisk kraft Ovenstående afsnit behandler kræfter og potentiale i et homogent elektrisk felt. Det næste spørgsmål, der melder sig, er om det fundne også er gældende i et inhomogent elektisk felt. Det skal herunder vises at dette er tilfældet. Der betragtes et elektrisk felt med små variationer set i forhold til E,altså et elektrisk felt givet ved E = E + E 1 (r) (3.33) hvor E E 1 (r). Den kraft, der virker på en dielektrisk kugle i et inhomogent felt, kaldes den dielektroforetiske kraft F DEP og er givet ved F DEP =(p )(E + E 1 ) = α(e + E 1 ) (E + E 1 ) = α(e + E 1 ) E 1 = αe E 1 + αe 1 E 1. (3.34) Da leddet αe 1 E 1 kan der ses bort fra dette led uden større unøjagtigheder til følge. Dvs. den dielektroforetiske kraft på en dielektrisk kugle kan beregnes som kraften på kuglen i et homogent elektrisk felt F DEP = αe E 1 =(p homogen )E 1 = 4πɛ 1(ɛ 2 ɛ 1 ) a 3 (E )E 1. (3.35) ɛ 2 +2ɛ 1 Ovenstående udtryk kan omskrives, idet Maxwells ligninger for dette specialtilfælde giver E =og E =. Således fåes F DEP = 4πɛ 1(ɛ 2 ɛ 1 ) ( 1 a 3 ɛ 2 +2ɛ 1 2 E2). (3.36) 3.6 Dielektroforetisk kraft på en dielektrisk sfære I dette eksempel behandles det tilfælde hvor en given kugle ønskes kontrolleret eller fanget ved hjælp af dielektroforetiske kræfter. Der ønskes fundet et udtryk for den dielektroforetiske kraft, F DEP på en sfære i et inhomogent elektrisk felt etableret i en mikrokanal, hvad konkret størrelsen af denne kraft er, samt om den er tilstrækkelig til at fange den givne sfære når der tages hensyn til friktionen fra væskestrømmen i kanalen. Der ses på en rektangular mikrokanal af længden l = 1 mm, bredden b =1mmog højden h =, 1 mm i henholdsvis x-, y- og z-retningen af et koordinatsystem placeret med origo i midten af kananlens bund. Kanalen er fyldt med en væske med viskositeten η og den dielektriske konstant ε 1. Netop i midten af kanalens bund, dvs. i origo, er en sfærisk metalelektrode med radius r = 5 mm og ladningen +Q. Kanalens låg, placeret i højden z = h, er en flad metalelektrode med det konstante potentiale φ(h) = V. De to elektroder

26 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE skaber et inhomogent elektrisk felt (se figur 3.3), som er passende til at fange dielektriske sfærer. I første omgang bestemmes potentialet φ(r) og det tilsvarende elektriske felt E(r), idet r er afstanden mellem +Q og et punkt i sfæren omkring +Q. Ifølge Coloumb s lov er det elektriske felt omkring en punktladning +Q givet ved E(r) = 1 Q 4πε r 2 e r, (3.37) idet r er afstanden fra punktladnigen. Det gælder, at φ(r) =E(r), (3.38) hvorfor potentialet φ(r) i afstanden r fra punktladningen +Q er φ(r) = 1 Q 4πε r e r. (3.39) Et enkelt trick til at lette beregningerne af det samlede elektriske felt er at anbringe en spejlladning i punktet (,, 2h), hvilket ikke ændrer det oprindelige inhomogene elektriske felt, da φ(h) fortsat vil være V. Det elektriske felt i den sfæriske afstand r fra elektroden +Q er da givet ved E total (r) =E +Q (r) E Q (r) = 1 Q 4πε 1 r 2 e r 1 Q 4πε 1 (2h r 2 ) 2 e r. (3.4) Hvis der betragtes en situation hvor kuglen ligger nær elektroden, så vil r h. Dette giver, at det elektriske felt E(r) og potentialet φ(r) i det beskrevne inhomogene elektriske felt udtrykkes analogt til det, som eksisterer omkring en enkelt punktladning. Altså haves E(r) = 1 Q 4πε 1 r 2 e r = φ(r ) r r 2 e r (3.41) og φ(r) = 1 Q 4πε 1 r = φ(r ) r r, (3.42) hvor φ(r )= 1 Q 4πε 1 r er potentialet lige på overfladen af den sfæriske metalelektrode +Q. Dernæst tilsættes mikrokanalen en partikel med radius a og den dielektriske konstant ε 2 i afstanden r fra elektroden +Q. Der ønskes fundet et udryk for den dielektroforetiske kraft, F DEP,somvilpåvirke partiklen. I det foregående eksempel blev det fundet, at det generelle udtryk for F DEP er givet ved I eksemplet her kan udtrykket 1 2 E2 omskrives til F DEP = 4πε 1(ε 2 ε 1 ) ε 2 +2ε 1 r 3 ( 1 2 E2 ). (3.43) 1 2 E2 = 1 φ 2 (r )r 2 2 r 4 e r e r = 1 2 φ2 (r )r r 4, (3.44)

3.6. DIELEKTROFORETISK KRAFT PÅ EN DIELEKTRISK SFÆRE 27 da e r e r = 1. Det bemærkes, at udtrykket for 1 2 E2 kun afhænger af r, hvilket bevirker, at ( 1 2 E2 )=e r r ( 1 2 E2 )= e r 2φ 2 (r )r 2 r 5. (3.45) Endelig haves den dielektroforeiske kraft udtrykt ved F DEP = 8πε 1(ε 2 ε 1 ) ε 2 +2ε 1 a 3 r 2 r 5 (φ(r )) 2 e r. (3.46) F DEP har sin maksimale værdi, når r er minimal, dvs. r = a + r. Dette svarer til situationen, hvor sfæren lige akkurat hænger på kantenafelektroden+q. Eksempelvis under omstændigheder hvor sfæren er en glaskugle med a =5µm ogε 2,glas =6ε,væskener benzen med ε 1,benzen =2, 28ε, den sfæriske elektrode har radius r =5µm og potentialet er ϕ(r ) = 1 V, da er den maksimale F DEP, som opnåes, F DEP =5, 58 1 1 N. Det må formodes, at sfæren, som skal fanges vha. dielektroforetiske kræfter, befinder sig i en strømmende væske. Det er derfor spørgsmålet, om F DEP overhovedet er stærk nok til at holde sfæren fast, eller om væsken vil rive den med. Den gennemsnitlige hastighed for væskestrømning i en mikrokanal er ca. u =1 mm s, hvilket ifølge Poiseuille s hastighedsprofil z u x (z) =4u h (1 z h ) (3.47) giver væskestrømningens hastighed, hvor den pågældende sfære befinder sig, til u x (a) =1, 9 1 4 m s. Idet væsken antages at have en viskositet nær vands, dvs. η =, 65 1 3 Pa s, følger det af Stokes friktionskraft F frik =6πηau x (a), (3.48) at væsken påvirker sfæren, når den lige akkurat hænger på kanten af elektroden +Q, med en friktionskraft af størrelsen F frik =1, 164 1 11 N. (3.49) Det vil altså sige,atf DEP er i stand til at holde sfæren fanget under de her givne omstændigheder og antagelser, men øges strømningshastigheden blot 1 gange bliver situationen kritisk, og et større potential er nødvendigt.

28 CHAPTER 3. DIELEKTROFORESE

Chapter 4 Temperatur Efter at prøven er blevet transporteret gennem chippens mikrokanaler, de ønskede celler separeret fra, cellerne lyseret og DNA en frigjort er DNA en nu klar til PCR i PCRkammeret. PCR-processen drives af en temperaturcyklus. Det er derfor vigtigt, at temperaturen kan ændres hurtigt og præcist i PCR-kammeret. Ændring af et stofs temperatur skyldes en tilførsel eller tab af varmeenergi Q, som sker pga. molekylers naturlige termiske bevægelser og en temperaturforskel. Dette er sammenligneligt med diffusion af partikler, hvorfor relationerne til beskrivelse af temperatur og varmeenergi er analoge til de præsenterede i (kapitel 2). Energiflux, eller varmeflux, er at sammenligne med den partikelflux, som opstår som følge af termiske bevægelser samt tilstedeværelsen af en densitetsgradient. Varmefluxen beskrives således analogt til Fick s lov for diffusion ved en relation kaldet Fourier s lov for varmeledning J Q = K T, (4.1) hvor J Q er fluxtætheden af varmeenergi, K er varmeledningsevnen for det givne materiale, og T er temperaturen. Det bemærkes, at det negative fortegn sikrer en udligning af eventuelle temperaturdifferenser i et isoleret system. Ændringen af varmeenergien pr. tid t afhænger liniært af divergensen af varmefluxen, og der eksisterer således en sammenhæng i lighed med kontinuitetsloven (henvisning) Q t = J Q + S. (4.2) S betegner her en ydre kilde til varmeenergi i tilfælde af, at systemet ikke er isoleret. Indsættes udtrykket for J Q (se Fourier s lov 4.1), fåes Idet varmeenergi er defineret ved Q t = K 2 T + S. (4.3) Q = cm T, (4.4) 29

3 CHAPTER 4. TEMPERATUR hvor m er massen, og c er varmekapaciteten, da fremkommer følgende relation (c mt) = K 2 T + S T t t = K cm 2 T + S cm, (4.5) som er helt analogt til diffusionsligningen (2.14). Istedet for diffusion af partikler, er der her tale om diffusion af varmeenergi. Konstanten svarer således til diffusionskonstanten D, hvorfor afstanden r som varmeenergien diffunderer i et givent tidsinterval t, ergivet ved K r = t. (4.6) cm Det ses, at som for diffusion af partikler, sker ændringen af temperatur meget hurtigt over små afstande, idet tiden afhænger af kvadratet af afstanden. Det er derfor en stor fordel for den præcise og hurtige kontrol af temperaturen, at processen foregår i et mikrosystem. Samtidig ses, at jo mindre massen m er jo hurtigere nåes en given afstand r, hvilket atter viser fordelen ved mikrosystemer. K cm