Side 1 Funktion Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1001 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Aflæs definitionsmæng de og værdimængde for f. b) Aflæs f(3) og f(5). c) Løs ligningen f(x) = 2. d) Angiv eventuel størsteværdi og mindsteværdi for f. e) Bestem monotoniforholdene for f. 8 7 6 5 4 3 2 1-4 -3-2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -3-4 f 1002 Lad computer eller lommeregner tegne grafen for funktionen med forskrift f(x) = x 2 4x + 7 for 1 x 4 (for at afgrænse definitionsmængden kan man i ma nge tilfælde bruge den lodrette streg "med" og så skrive betingelsen efter stregen). Du behøver ikke bruge tid på at få enderne til at se "rig tige" ud, men du skal gøre dig klart hvordan de burde ende. a) Lav en tabel over funktionsværdier. b) Bestem værdimængden for funktionen f. c) Løs med maskinhjælp ligningen f(x) = 5. 1003 Betragt funktionen med forskrift f(x) = 4 0,5 x a) Tegn grafen for funktionen. b) Lav en tabel over funktionsværdier. c) Løs hver af ligningerne f(x) = 12, f(x) = 3 og f(x) = 0,7. 1004 Betragt funktionen med forskrift f(x) = x 3 6 x 2 + 8x + 1 a) Tegn grafen for funktionen. b) Lav en tabel over funktionsværdier. c) Løs hver af ligningerne f(x) = 0, f(x) = 3 og f(x) = 7.
Side 2 Andengradspolynomier Opgaverne med svar starter på side 2, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 3 med et s foran nummeret. 1101 Betragt andengradspolynomierne: a) f(x) = 4x 2 7x + 13 b) g(x) = 8x 2 + 6x 5 c) h(x) = 5x 2 + 8x d) k(x) = x 2 13 Udregn for hvert af disse andengradspolynomier diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. 1102 Betragt andengradspolynomierne: a) f(x) = 2x 2 5x 8 b) g(x) = 8x 2 + 50 c) h(x) = 9x 2 + 12x d) k(x) = x 2 + 24 Udregn for hvert af andengradspolynomierne diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. Bestem toppunktet for grafen for hvert af andengradspolynomierne. Bestem værdimængden for hvert af andengradspolynomierne. 1103 Løs hver af andengradsligningerne (hvis der er løsninger skal de angives eksakt): a) 2x 2 8x + 32 = 0 b) x 2 + x 6 = 0 c) x 2 + 7x 8 = 0 d) 3x 2 11x + 12 = 0 1104 Betragt andengradspolynomierne: a) f(x) = 2x 2 5x 8 b) g(x) = 8x 2 + 50 c) h(x) = 9x 2 + 12x d) k(x) = x 2 + 24 Tegn graferne for hver af disse andengradspolynomier. Bestem eksakt toppunktet for grafen for hvert af andengradspolynomierne. Bestem (eksakt) værdimængden for hvert af disse andengradspolynomier.
Side 3 Opgaver med svar. 1101s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = 5x 2 11x + 3 Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. 1102s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = x 2 14x + 49 Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. 1103s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = 9x 2 2x + 13 Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. 1104s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = 4x 2 4 Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. Bestem toppunktet for grafen. Bestem værdimængden. 1105s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = x 2 15x Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. Bestem toppunktet for grafen. Bestem værdimængden. 1106s Betragt andengradspolynomiet: f(x) = 2x 2 + 12x + 18 Udregn diskriminanten d, og bestem eventuelle rødder. Bestem toppunktet for grafen. Bestem værdimængden.
Side 4 Svar til s-opgaverne. s1101 Diskriminanten er d := b 2-4 a c = 61 Rødderne er 2 solve a x + b x + c = 0, x x = s1102 Diskriminanten er d := 2 b - 4 a c = 0 Roden er 2 solve a x + b x + c = 0, x x = 7 61 + 11 10 or x = - 61-11 10 s1103 Diskriminanten er d := 2 b - 4 a c = -464 Der er ingen rødder, da diskriminanten er negativ. s1104 Diskriminanten er d := b 2-4 a c = -64 Der er ingen rødder, da diskriminanten er negativ. Toppunktet er -b -d T := = 0-4 2 a 4 a Værdimængden er Vm(f) = ] ; 4] s1105 Diskriminanten er d := b 2-4 a c = 225 Rødderne er 2 solve a x + b x + c = 0, x x = 15 or x = 0 Toppunktet er -b -d T := = 7.5-56.25 2 a 4 a Værdimængden er Vm(f) = [ 56.25; [
Side 5 s1106 Diskriminanten er d := b 2-4 a c = 0 Roden er 2 solve a x + b x + c = 0, x x = -3 Toppunktet er -b -d T := = -3. 0. 2 a 4 a Værdimængden er Vm(f) = [0; [
Polynomier Side 0201 Find fortegnsvariationen for hvert af andengradspolynomierne: a) f(x) = x 2 11 x + 18 b) f(x) = x 2 + 13 x 40 c) f(x) = x 2 3 x + 18 d) f(x) = x 2 2 x + 8 0202 Find fortegnsvariationen for hvert af andengradspolynomierne: a) f(x) = x 2 6 x + 9 b) f(x) = x 2 + 8 x 16 c) f(x) = x 2 + 2 x 1 d) f(x) = x 2 3 x 28 0203 Undersøg hvordan antallet af rødder i f k (x) = x 2 + k x + 25 afhænger af k. 0204 Undersøg hvordan antallet af rødder i f k (x) = x 2 + k x 16 afhænger af k. 0205 Bestem tallet k, så x 2 + 8x + k har netop en rod. 0206 Bestem forskriften for det andengradspolynomium der har rødderne 1 og 2, og som i 3 har værdien 4. 0207 Bestem forskriften for det andengradspolynomium der har dobbeltroden 7, og som i 3 har værdien 8. 0208 Bestem graden af hvert af polynomierne: a) f(x) = 5x 4 + 2x 15 + 7x b) f(x) = (5x 3 1) 2 (2x 5) 0209 Undersøg hvad der sker med hvert af de følgende polynomier for x gående mod uendelig og for x gående mod minus uendelig. Formuler resultaterne som udsagn af formen f(x)? for x? hvor der på spørgsmålstegnenes plads skal stå eller. a) f(x) = 2x 2 4x + 3546 b) f(x) = 3x 6 + 43087x 5 + 14x 2 + 1 c) f(x) = 34x 5 23x 4 d) f(x) = 8x 9 + 94x 6 43x + 2 0210 Find forskriften for et tredjegradspolynomium med rødderne 0, 2 og 4. 0211 Find forskriften for det tredjegradspolynomium der har rødderne 0, 2 og 4, og som i 1 har værdien 7. 0212 a) Find forskriften for et tredjegradspolynomium med rødderne 1 og 3 (og ikke flere) som i 2 antager værdien 5. b) Find forskriften for et andet tredjegradspolynomium der også har rødderne 1 og 3 (og ikke flere), og som i 2 antager værdien 5. 0213 Find forskriften for et fjerdegradspolynomium der har rødderne 1, 2, 4 og 5, og som i 0 har værdien 6.
Side 7 Eksponentiel udvikling Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran nummeret. 0701 Betragt den eksponentielle udvikling y = 48 1,23 x. a) Hvor mange procent vokser funktionsværdien når x vokser med 1? b) Bestem den fremskrivningsfaktor der svarer til en x-tilvækst på 2. Hvad er den tilsvarende procentvise y-tilvækst? 0702 En eksponentiel udvikling y = b a x vokser med 14% pr. x-enhed. Bestem grundtallet a. Hvor mange procent vokser y når x vokser med 5? 0703 Betragt den eksponentielle udvikling der har grundtal a = 3, og som opfylder at når x = 4 er y = 2. Hvad er y når x = 5? Og når x = 6? Og når x = 3? 0704 Betragt den eksponentielle udvikling der har grundtal a = 0,9, hvis graf går gennem punktet (2,10). Hvad er y når x = 3? Og når x = 4? Og når x = 0? 0705 Betragt den eksponentielle udvikling med ligning y = 8 3,5 x. Løs ved maskinhjælp ligningen y = 35. Løs ved maskinhjælp ligningen y = 0,7. Find med maskinhjælp fordoblingskonstanten for den eksponentielle udvikling. 0706 Betragt den eksponentielle udvikling med ligning y = 13 0,28 x. Løs ved maskinhjælp ligningen y = 117. Løs ved maskinhjælp ligningen y = 0,875. Find med maskinhjælp halveringskonstanten for den eksponentielle udvikling. 0707 En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne (2,7) og (7,11). Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0708 En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne ( 4, 5) o g (3,27). Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. Bestem desuden fordoblingskonstanten. 0709 En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet (3,11), og den har halveringskonstant 4,689. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0710 En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet (7,58 ), og den vokser med 32% når x vokser med 3. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0711 En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet (3,26 ), og den aftager med 41% når x vokser med 2. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling.
Side 8 0714 Løs hver af ligningerne: a) 5 x = 487 b) 13 x = 3245 c) 4 x = 0,9857 d) 245 x = 20506 0715 Løs hver af ligningerne: a) 0,2034 x = 0,004708 b) 0,8024 x = 5 c) 0,9021 x = 0,05784 d) 0,0007084 x = 7458 0716 Løs hver af ligningerne: a) 4 2 x = 119 b) 8 12,84 x = 65,09 c) 13,58 2,971 x = 0,2578 d) 65 0,02504 x = 0,005048 0717 Løs hver af ligningerne: a) 56 0,5431 x = 57 b) 512 5,008 x = 78,59 c) 4,905 1,087 x = 504,8 d) 3 5 x = 375 0718 Hvor mange hele terminer skal 12408 kr. stå på en konto inden saldoen kommer over 20000 kr. hvis rentefoden er 1,75%? 0719 En eksponentiel udvikling y = b a x er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne (4,34) og (7,324). Beregn konstanterne a og b i ligningen. 0720 En eksponentiel udvikling y = b a x er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne ( 3,51) og (5,13). Beregn konstanterne a og b i ligningen.
Side 9 Opgaver med svar. 0701s Betragt den eksponentielle udvikling y = 31 1,49 x. a) Hvor mange procent vokser funktionsværdien når x vokser med 1? b) Bestem den fremskrivningsfaktor der svarer til en x-tilvækst på 2. Hvad er den tilsvarende procentvise y-tilvækst? 0702s En eksponentiel udvikling y = b a x vokser med 24% pr. x-enhed. Bestem grundtallet a. Hvor mange procent vokser y når x vokser med 5? 0703s Betragt den eksponentielle udvikling der har grundtal a = 1,5, og som opfylder at når x = 1 er y = 6. Hvad er y når x = 2? Og når x = 3? Og når x = 0? 0704s Betragt den eksponentielle udvikling der har grundtal a = 0,5, hvis graf går gennem punktet (3,16). Hvad er y når x = 4? Og når x = 5? Og når x = 2? 0705s Betragt den eksponentielle udvikling med ligning y = 3 2,1 x. a) Løs ved maskinhjælp ligningen y = 17. b) Løs ved maskinhjælp ligningen y = 0,04782. c) Find med maskinhjælp fordoblingskonstanten for den eksponentielle udvikling. 0706s Betragt den eksponentielle udvikling med ligning y = 25 0,31 x. a) Løs ved maskinhjælp ligningen y = 48. b) Løs ved maskinhjælp ligningen y = 0,958. c) Find med maskinhjælp halveringskonstanten for den eksponentielle udvikling. 0707s En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne (3,2) og (10,6). Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0708s En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punkterne ( 1,4) og (5,9). Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. Bestem desuden fo rdoblingskonstanten. 0709s En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet (6,3), og den har halveringskonstant 1,587. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0710s En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet ( 3,42 ), og den vokser med 17% når x vokser med 4. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling. 0711s En eksponentiel udvikling er fastlagt ved at dens graf går igennem punktet (4,18 ), og den aftager med 85% når x vokser med 3. Bestem ligningen for den eksponentielle udvikling.
Side 10 Svar til s-opgaverne. s0701 a) 49% b) 2,220 122% s0702 a = 1,24 193,16% s0703 9, 13.5, 4 s0704 8, 4, 32 s0705 a) 2,338 b) 5,579 c) 0,9342 s0706 a) 0,5570 b) 2,785 c) 0,5918 s0707 y = 1,249 1,170 x s0708 y = 4,579 1,145 x T 2 = 5,129 s0709 y = 41,23 0,6461 x s0710 y = 47,25 1,040 x s0711 y = 225,8 0,5313 x
Side 1 0214 Find forskriften for et fjerdegradspolynomium der har rødderne 1, 1 og 2 (og ikke flere), og som i 2 har værdien 117. Find forskriften for et andet polynomium der også opfylder kravene. 0215 Find forskriften for et fjerdegradspolynomium der har rødderne 3, 3 og 4 (og ikke flere), og som i 0 har værdien 11. Find forskriften for et andet polynomium der også opfylder kravene. 0216 Find forskriften for et fjerdegradspolynomium der ikke har nogen rødder, og som i 5 har værdien 7. 0217 Find ved hjælp af cas-programmet samtlige rødder i hvert af polynomierne: a) f(x) = 3x 4 42x 3 + 15x 2 + 924x b) f(x) = x 4 3x 3 + 49x 2 27x 90 c) f(x) = 4x 4 45x 2 + 81 d) f(x) = x 4 + 3x 2 28 0218 Find ved hjælp af cas-programmet samtlige rødder i hvert af polynomierne: a) f(x) = x 3 2x 2 169x b) f(x) = x 3 5x 2 28x + 32 c) f(x) = 4x 4 16x 3 + 17x 2 + 442x 840
Side 12 Potensudvikling Opgaverne med svar starter på side 3, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står på side 5 med et s foran nummeret. 0801 Grafen for en potensudvikling går gennem punkterne (4,56) og (9,189). Bestem ligningen for potensudviklingen. Find y når x er 20. Find x når y er 150. Hvor mange procent vokser y når x vokser med 20%? Hvor mange procent skal x vokse for at y vokser med 110%? 0802 Grafen for en potensudvikling går gennem punkterne (4,25) og (25,1.6). Bestem lig ningen for potensudviklingen. Find y når x er 10. Find x når y er 5. Hvor mange procent aftager y når x vokser med 30%? Hvor mange procent skal x vokse for at y aftager med 60%? 0803 10 y 1 1 10 x 100 Linjen i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem viser sammenhængen mellem to størrelser x og y. Svarene på spørgsmålene skal aflæses på figuren. a) Hvad er y, når x er 3? b) Hvad er y, når x er 22? c) Hvad er y, når x er 73? d) Hvad er x, når y er 5,5? e) Hvad er x, når y er 1,7? f) Hvad er x, når y er 9,5?
Side 13 0804 100 y 10 10 100 x 1000 Linjen i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem viser sammenhængen mellem to størrelser x og y. Svarene på spørgsmålene skal aflæses på figuren. a) Hvad er y, når x er 66? b) Hvad er y, når x er 122? c) Hvad er y, når x er 850? d) Hvad er x, når y er 84? e) Hvad er x, når y er 25? f) Hvad er x, når y er 55? 0805 Planeten Jupiter har mange måne r. Tabellen viser middelafstand r og omløbstid T for nogle af disse. Metis Io Europa Leda Sinope r (middelafstand i mio m) 128 422 671 11 094 23 700 T (omløbstid i døgn) 0,2948 1,769 3,551 238,7 758 Med meget god tilnærmelse gælder, at T = b r a. Bestem konstanterne a og b. Jupiters måne Ganymede har middelafstand 1 070 10 3 km. Beregn den forventede omløbstid. Månen Elara har middelafstand 11 737 10 3 km. Beregn den forventede omløbstid. Månen Callisto har en omløbstid på 16,69 døg n. Hvilken middelafstand vil du forvente den har? Kilde: Skriv- og Rejse-Kalenderen 2006