Dampmaskinen I en dampmaskine udnyttes energi i vanddamp til mekanisk arbejde. For at fordampe vand inden det føres ind i dampmaskinen tilføres der energi f.eks. ved forbrænding af kul. Vanddampen kan altså ses som transportmedie for energi. I forbrændingsmotorer og gasturbiner springes dette led over idet forbrændingsluften bruges til at transportere energien. Det er ikke muligt at omdanne al energien i dampen til arbejde idet en del af energien må ledes bort fra dampmaskinen som varme, der om muligt kan udnyttes til andre formål f.eks. rumopvarmning. Man har fundet et teoretisk maksimum for nyttevirkning, η max, forstået som forholdet mellem den energi der skal tilføres for at fordampe vandet, Q kedel og det arbejde der kan fås ud af maskinen w stempel. Den maksimale nyttevirkningsgrad er afhængig af dampens temperatur T v og den temperatur T k dampen køles ned til efter dampmaskinen for at give et tilsvarende lavt tryk efter maskinen { } wstempel η max = max = T varm T kold T varm For at få høj virkningsgrad forsøger man derfor at få høj damptemperatur før dampmaskinen og lav afgangsdamptemperatur. Denne nyttevirkningsgrad kun opnåelig i teorien, og der har været et stort arbejde med at udvikle praktiske processer, som kommer tæt på den ideelle nyttevirkning. Vands egenskaber er go kene, og ud fra vandets tilstand, f.eks beskrevet ved tryk, p, og temperarur T kender man også massefylde, ρ, specifikt volumen ν og energiindhold pr kg vand u. I overgangen mellem vand og damp er tryk og temperatur bundet sammen. I en blanding af vand og damp med en given temperatur kender man således trykket og man kender ligeledes energiindholdet per kg vand og per kg damp. For at bestemme det samlede energiindhold skal man yderligere kende fordelingen mellem vand og damp. I en kredsproces hvor dampen kondenseres og pumpes tilbage i kedlen, vil man kunne spare på opvarmning, da det vand der kommer fra kondensationen kan have højere temperatur end vand fra en vandhane. Til gengæld bruges der så en lille smule energi på at pumpe vandet tilbage i kedlen ved driftstryk. Endnu bedre ville det være hvis man kunne kondensere dampen ved at køle den ned til lav temperatur. Herved kunne der skabes et lavt tryk efter dampmaskinen som kunne gøre det muligt at trække mere energi ud af dampen. For konkret at bestemme virkningsgraden kan vi opstille energibalancer for hver af de delprocesser der indgår. Vi kan som eksempel opstille balancer for en tænkt proces hvor processerne er idealiserede. I forhold til maskinen i forsøgsopstillingen er der tilføjet en tænkt varmeveksler, hvor der trækkes varme ud så dampen kondenserer ved atmosfæretryk, samt en pumpe som pumper vandet retur til kedlen. Vand/damp gennemgår følgende delprocesser, hvor nummereringen henviser til figur 1 1-2) Pumpe vand i tanken Vand på kogepunktet ved atmosfæretryk pumpes ind i tanken. I pumpen tilføres arbejde, hvorimod der i en ideel pumpe ikke udveksles varme. Da kogepunktstemperaturen ved det højere tryk også er li højere er vandet ved udløbet af pumpen li væk fra kogepunktet. 2-3) Opvarmning I tanken tilføres varme, hvorved vandet varmes op til kogepunktet, fordamper og forlader tanken ved samme tryk. 1
3 w stempel 2 w pumpe 1 4 q kondens Figure 1: Principskitse af dampmaskine med kondensering og returpumpe til kondensat 3-4) Arbejde på stempel Damp fra tanken trykkes ind i cylinderen. I cylinderen udvides dampen og trykker stemplet fra den ene yderstilling til den anden. Ideelt set udveksles der ikke varme med cyllinder og stempel og volumen i cylinderen i de to yderstillinger er netop sådan at damptrykket ved udvidelsen falder fra beholdertrykket til atmosfæretryk, hvorved hele trykforskellen udnyttes. 4-1) Damp kondensereres I en tænkt udvidelse af processen kondenseres dampen til vand mens varmeoverskud ledes væk og vandet kommer tilbage til pumpen i samme tilstand som det begyne processen. Idet vi betegner tilstanden ved udgangen af hver proces med nummerering som vist på figur 1 kan vi opstille energibalancer for hver delproces. Vi vil starte med energibalancen for pumpen. p 1 A 1 p 2 A 2 w pumpe v 1 δt v 2 δt Figure 2: Skitse til energibalance for pumpe Da sætninger om energibevarelse gælder for en bestemt samling af partikler opstiller vi i første omgang energisætningen for de partikler, som til tiden t er imellem de to punkterede linier vist 2
på figur 2. Til tiden t + δt befinder de sig i det skraverede område. Trykkraften på indgangssiden har da udført arbejdet (kraft gange vej, kraft gange hastighed gange tid, tryk gange areal gange hastighed gange tid, tryk gange volumenændring) Fδx 1 = p 1 A 1 v 1 δt = p 1 δv 1 = p 1 ν 1 δm på den skraverede væske. På udgangssiden har trykkraften fra den væske der ligger bagefter tilsvarende udført arbejdet p 2 ν 2 δm på den skraverede væske. Pumpen har udført et arbejde w pumpe. Ændringen i indre energi for partiklerne kan opskrives som δm(u 2 u 1 ) = p 1 ν 1 δm p 2 ν 2 δm + w pumpe eller δm((u 2 + p 2 ν 2 ) (u 1 + p 1 ν 1 ) = w pumpe δm(h 2 h 1 ) = w pumpe hvor vi har indført en ny størrelse h = u+pν som kaldes specifik entalpi (entalpi pr masse), som da den er sammensat af 3 størrelser som definerer tilstanden af vand/damp selv kan opfattes som en tilstandsstørrelse og har enhed Joule/kg. Ovenstående ligning kan eksempelvis bruges til at bestemme entalpien ved udgangen, h 2 af pumpen hvis vi kender den ved indgangen, h 1. Man kan også se, at vi har fået opskrevet en (stationær) energibalance, som giver relationer mellem indog udgangsstørrelser på pumpen. Vi husker at antagelsen er at pumpen er ideel i den forstand at den effekt der tilføres pumpen omsættes til arbejde på vandet. I tabeller over vands egenskaber kan man aflæse hvorledes væsken føres over i en anden tilstand hvis der udføres et arbejde på den, eller hvis den selv udfører et arbejde på omgivelserne, som det sker i stemplet. Dette kaldes isentropiske processer fordi man kan indføre endnu en størrelse, entropi, som ikke ændrer sig når der kun udføres arbejde på væsken. I en ikke ideel pumpe ville en del af pumpeeffekten via friktion blive omsat til varme, som varmer vandet op og bringer den til en anden tilstand, med større entropi og hvis den tilførte effekt resulterer i samme tryk som den ideelle (hvilket sikkert vil kræve større tilført effekt end i den ideelle pumpe) vil det også give højere temperatur. Ved at følge tilstande med samme entropi i en vand-damp tabel (eller diagram) kan man bestemme hvordan tilstanden ændres i en ideel pumpe. I kedlen opvarmes og fordampes vandet uden trykændring. En energibalance kan opskrives: δm(h 3 h 2 ) = For cylinder og stempel vil der ideelt set være tale om en proces hvor dampen yder arbejde på stemplet mens dampen udvider sig. Som for pumpen indebærer det ideelle, at der ikke udveksles varme med cylinder og stempel. Balancen ser nok li forskellig ud afhængig af på hvilket tidspunkt af stempelcyklus man kigger på det. Hvis vi kigger på en fuld cyklus/omdrejning for et stempel trykkes der en portion damp ind i cylinderen ved beholdertryk, denne dampmængde udvides inil trykket svarer til atmosfæretryk, skubber stemplet yderligere frem, alt imens damp ved atmosfæretryk bag stemplet skubbes ud i atmosfæreren. Herefter gentages dette med dampinag på modsatte side af stemplet. Under processen udfører beholderdampen et arbejde og den damp der skubbes ud i atmosfæren udfører et arbejde ved atmosfæretryk. Vi kan da opstille følgende balance med samme notation som for pumpen δm(h 3 h 4 ) = w stempel 3
Som for pumpen kan man for en ideel stempelmaskine bestemme h 4, når dampen bringes fra tilstand 3 til tilstand 4 ved at udføre arbejde uden at udveksle varme, d.v.s. isentropt. Endelig kan man for at slutte kredsen tilføje at der kan trækkes kondensationsvarme ud af dampen for at bringe den tilbage til tilstand. Dette vil være en proces der foregår ved konstant tryk. δm(h 4 h 1 ) = Q kondensering Ved brug af damptabel, som findes både på papirform og som et program der kan downloades fra nettet kan man nu bestemme entalpierne h 1, h 2, h 3 og h 4 givet de to tryk, p 1 = 1 bar og p 2 = 2, 5 bar?. Den ideelle virkningsgrad kan herefter bestemmes som η ideel,1 = w stempel = h 3 h 4 h 3 h 2 eller hvis man ønsker at beregne med fradrag af arbejdet til pumpen η ideel,2 = w stempel w pumpe = h 3 h 4 h 2 h 1 h 3 h 2 I opstillingen kan man forsøge at vurdere hvor tæt en forsøgsdampmaskine er ved at have den opnåelige virkningsgrad. Man kan måle den tilførte varme, som i opstillingen tilføres med et elektrisk varmelegeme. Man kan ligeledes måle vand temperaturen i kedelen med et elektrisk instrument. Tryk i kedlen kan måles på et instrument uden elektrisk tilslutning. Dampmaskinen er tilsluttet en elektromotor, som i opstillingen fungerer som generator, som dels kan bruges til at belaste dampmaskinen så man kan sænke hastigheden, dels kan bruges til at måle hvilken effekt dampmaskinen yder. Et moment T t på generatorens aksel (eller en kraft, F = T, på drivhjulet) og en vinkelændring, dθ på akslen (en flytning på drivhjulets periferi på dx = rdθ) giver et arbejde på dw = r Fdx = T rdθ eller en effekt r P = dw = F dθ = T dθ = Tω hvor ω er generatorens vinkelhastighed. For generatoren kan følgende ligning opskrives for spændingen på klemmerne u g = kω hvor k er en konstant for motoren,. Når generatoren belastes ved at trække en strøm ud f.eks gennem en modstand R fås idet modstanden i generatorens ankervindinger er R a følgende spænding på klemmerne R u = kω R a i = kω R + R a Samtidig giver strømmen anledning til at der genereres et modmoment T, som bremser dampmaskinen k2 ω T = ki = R + R a 4
Der bliver nu leveret en effekt fra dampmaskinen til generatoren. Effekten kan beregnes på såvel motorakslen som på den elektriske side, hvor effekten afsættes som varme i ankermodstanden R a og den ydre modstand R w generator = u g i = (R + R a )i 2 = Tω Hvis man kender R a og R og kan måle strøm og eller spænding på generatorens klemmer kan man beregne den effekt der udvikles i generatoren. Der er her set bort fra eventuel friktion i generatoren hvis T er momentet på generatorakslen. I forhold til den effekt der fremkommer ved dampens arbejde på stemplet er der naturligvis også tab fra friktion i tandhjul, lejer m.v. Vi vil gøre li overvejelser om hvordan dampmaskinens hastighed ændres, hvis vi ændrer den tilførte varmeeffekt P kedel = d. En li højere effekt P kedel = P 0 + P kedel vil resultere i at der ophobes mere energi i kedelvandet. Det viser sig ved at temperaturen af vandet stiger samtidig med at det tryk, som vandet fordamper ved, stiger. Det højere tryk giver anledning til at en højere effekt P stempel = P 0 + P stempel ydes på stemplet dels fordi damppflowet øges dels fordi et højere tryk og højere entalpi giver mere arbejde for den dampmængde der passerer. Ændringen i energi og entalpi i kedlen vil ved mindre ændringer med god tilnærmelse være proportional med ændringen i temperatur h kedel h 0 + c(t kedel T 0 ) og vil kunne registreres ved at måle temperaturen. Hvis vi også antager at forøgelsen af effekt på stemplet er proportional med ændringen i temperatur P stempel = P 0 + d(t kedel T 0 ) = P 0 + d T kedel kan vi skrive følgende balance op for kedlen med vandmasse M: eller M(h kedel (t + ) h kedel (t)) = P kedel (t) P stempel (t) Mc(T kedel (t + ) T kedel (t)) = (P 0 + P kedel ) (P 0 + d(t kedel (t) T 0 )) Mc dt kedel(t) = P kedel d T kedel (t) Dette er en første ordens differentialligning. Vi kan eventuelt hvis vi definerer a = d, b = 1 Mc skrive den dt kedel + a T kedel = b P kedel Mc, 5