Mikroskopi uden brug af linser Af Forfatteren er studerende ved NBI og har vret pa tre maneders praktikophold ved Paul Scherer Instituttet i Schweitz. Her fortller han om det emne han har arbejdet med under sin praktik. Email: kynde@fys.ku.dk Resume Nar et objekt belyses med en kohrent lyskilde vil der dannes et interferensmnster, som kan ses pa en skrm et stykke vk. Ved hjlp af computeralgoritmer kan et billede af objektet rekonstrueres ud fra de malte intensiteter af interferensmnsteret. Dermed kan linser fuldstndig undvres. Det har lnge vret en drm for forskere at konstruere et rontgenmikroskop som udnytter den korte blgelngde af rontgenstraling til at opna en ekstremt hj oplsningsgrad. Dette har imidlertid vret besvrliggjort af at det er svrt at lave njagtige linser i dette blgelngdeomrade. Fremkomsten af kraftige kohrente rontgenkilder fra synchrotronstraling giver nu forhabninger om at linselse billeddannelsesmetoder, som f.eks den der vil blive beskrevet i denne artikel, kan muliggre rontgenmikroskopi. Princippet Pa gur ses en lysstrale som afgrnses af en blnde og bliver spredt pa grund af et objekt. I en afstand Z fra objektet males intensiteten af 6
Gamma 44 Figur : Se gurtekst under afsnittet \Princippet" det resulterende interferensmnster med en detektor. Lysfeltet i objektets plan (x; y) kan beskrives med en todimensionel kompleks funktion O(x; y): I detektorplanet (X; Y ) betegnes feltet med D(K X ; K Y ); hvor K X = 2 X og K Z Y = 2 Y er direkte proportionale med X og Y; men har Z enheden invers lngde og er lysets blgelngde. Der er en veldeneret matematisk sammenhng melllem O og D(K X ; K Y ) nemlig en fouriertransformation. D(K X ; K Y ) = Ff O(x; y)g: Ved hjlp af den inverse transformation er det saledes muligt at regne sig tilbage til feltets udseende i objektets plan forudsat at man har fuldstndig kendskab til feltets udseende i detektorens plan. O kan beskrives som produktet af et belysningsfelt P (x; y) som beskriver feltet i (x; y) planet nar der ikke er noget objekt tilstede, og O(x; y) som er modulationen af P pa grund af objektet. 7
Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 δ Figur 2: Rektanglet tnkes at indeholde et materiale med brydningsindeks n > : Det betyder at blgelngden inde i boksen forlnges med en faktor n? : Dette giver anledning til en faseforskel = 2 i forhold til en blge som ikke bevger sig gennem materialet. Faseforskel kan kun bestemmes modulo 2: Materialet er desuden lettere absorberende hvilket far blgens amplitude til at aftage. Bemrk at et objekts fase- og absorpstionsproler bade afhnger af hvilket materiale det er lavet af og hvilken form/tykkelse det har. O = P O Det jeg vil referere til som et billede af objektet er to plot af henholdsvis amplitude AO(x; y) og fase O(x; y) af den komplekse funktion O(x; y) = AOe io : Belysningsfeltet forudsttes at vre kendt. Det kan for eksempel antages at feltet i blndens plan er en plan blge indenfor blndens abning og nul udenfor. Det er sa muligt at propagere dette felt den lille afstand fra blnden til objektet. (Betegnet s pa gur.) AO beskriver hvor absorberende objektet er. I de omrader hvor AO er tt pa er objektet fuldstndig gennemsigtigt: j Oj = jp j: Omvendt indikerer AO = 0 at intet lys trnger igennem. O fortller noget om objektets brydningsindeks. Lyset blgelngde ndrer sig i materialer med et brydningsindeks forskelligt fra. Dermed introduceres et faseskift. Se gur 2. 8
Gamma 44 Faseproblemet Det er eksperimentielt umuligt fuldstndigt at bestemme D = A D e id ; idet det kun er muligt at male intensiteten I = A 2 og ikke fasen D D af de hastigt svingende lysblger. Den almindelige made at omga dette pa er ved at anvende en iterativ metode af flgende type: () (x; y)?! (K X ; K Y ) = Ae i (4) " # (2) 0 (x; y)? 0 (KX ; K Y ) = A D e i (3) Start i verste venstre hjrne med et vilkarligt gt pa O: () Fouriertransformer dit gt og opna en kompleks funktion Ae i : Denne funktion angiver hvordan interferensmnsteret af dit gt ville se ud. (2) Erstat amplituden A med amplituden af det malte interferensmnster A D = I: p (3) Foretag en invers fouriertransformation. Resultatet 0 skulle nu vre tttere pa den rigtige funktion O end det oprindelige gt. For at komme nrmere den rigtige lsning i anden iteration er det imidlertid ndvendigt at tilfje ekstra information om objektets beskaenhed. Det kunne for eksempel vre at det var et rent faseobjekt, dvs. det er gennemsigtigt. I sa fald ville amplituden vre konstant i hele objektets plan. (4) Udfr korrektionen 0! saledes at afstanden mellem de to funktioner er mindst mulig, men sa opfylder alle fysiske betingelser som vi pa forhand har opstillet for objektet. (F.eks j j = A O = konst:) (5) Gentag trin () til (4) og hab pa konvergens. Det er klart at metodens succes er betinget af om den ekstra information tilfrt i (4) er nok til at opveje den fuldstndige mangel pa viden om fasefunktionen D og det er naturligvis en begrnsning af dens anvendelighed at det er ndvendigt pa forhand at have omfattende viden 9
Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 om objektets udseende. Det er desuden vanskeligt at bevise matematisk om processen vil konvergere eller ej i et givent tilflde. PIE En vsentlig forbedring af de iterative metoder har faet det mundrette navn Ptychographic Iterative Engine eller bare PIE [, 2, 3]. Det springende punkt er, at man tillader objektet at kunne bevge sig i (x; y) planet som antydet med dobbeltpilene pa gur. To sma motorer ytter objektet rundt til et ntmasket gitter af positioner. Ved hver position optages interferensmnsteret ved detektoren. Afstanden mellem to nabopositioner skal vre sa tt at der er et betydeligt overlap mellem de belyste omrader af objektet. Hvis blnden eksempelvis har en diameter pa 400 m, vil en passende afstand vre 00 til 50 m: Kort fortalt gennemfrer man trin () til (3) i den ovenfor skitserede metode under brug af de data (interferensmnsteret) som er opsamlet ved frste objektposition. Pa grund af overlappet har man nu et gt pa hvordan en del af det belyste objekt ved position to ser ud. Dette gt bruges som udgangspunkt for endnu en gennemgang af trin () til (3), men denne gang korrigeres i trin (2) med data optaget ved position to. Nar man har vret alle positioner igennem startes forfra. Dette er en iteration. Fordi man pa denne made har ere uafhngige datast som beskriver det samme omrade af objektet rades bod pa det manglende kendskab til fasen i detektorplanet. Eksperimentet Hvorfor virker PIE? Hvor meget overlap er ndvendigt for at sikre konvergens? Hvor vigtigt er det at have prcist kendskab til belysningsfunktionen? Der mangler en del teori for at besvare sadanne sprgsmal. Indtil nu er der kun udfrt et enkelt forsg med rontgenstraling ved Paul Scherer Instituttet i Schweiz [4]. Selvom man ikke lige har sin egen partikelaccelerator til at producere kohrent synchrotronstraling, kan man dog sagtens forske i faserekonstruktionsalgoritmer alligevel. Billederne i 0
Gamma 44 gur 3 er lavet med lys fra en almindelig helium-neonlaser og interferensmnstrene er optaget med et CCD-kamera. Objektet blev yttet rundt til 2x2 forskellige positioner, sa en iteration i rekonstruktionen bestod af 44 fouriertransformationer og 44 inverse transformationer. Dette kan gres af en almindelig PC pa under 0 sekunder. Pa gur 5 ses det at metoden konvergerer sa hurtigt at det knapt giver mening at foretage mere end 0 til 00 iterationer. Man kan altsa darligt na at drikke en kop kae pa den tid det tager at danne et brugbart billede. Dette giver forhabninger om at metoden vil kunne bruges til live mikroskopi, hvor man kan scanne store omrader for at nde en lille detalje og tomogra, hvor man danner tredimensionelle billeder ud fra tvrsnit. Amplitude Fase π 0.5 0 2 2 2 mm 0 2 mm π Figur 3: Amplitude- og faseprol (fase i radianer) af en uevinge. Billederne er rekonstrueret udfra 44 interferensmnstre ved hjlp af 00 PIE-iterationer. Objektpositionerne dannede et kvadratisk gitter pa 2x2 punkter med 00 m mellem hvert punkt. Blnden havde en diameter pa 300 m: Detektoren dkkede en vinkel pa 70 mrad, hvilket giver en oplsning pa 7 m Konklusion De frste eksperimenter med PIE har vist sig meget lovende. Der er teoretisk set ingen hindring for at opna en rumlig oplsning pa blgelngdeskala. Dette bliver selvflgelig frst rigtig interessant nar det bliver realiseret med rontgenstraling ( 0: nm). Dette forskes der i pa livet ls blandt andet pa csaxs 'coherent small angle scattering beamline' pa Paul Scherer Instituttet som giver ideelle betingelser for
Mikroskopi uden brug af linser Gamma 44 Figur 4: Foto af uevingen taget gennem et konventionelt mikroskop. 0.8 Error 0.6 0.4 0.2 5 0 5 20 25 30 35 40 45 50 Iteration number Figur 5: Fejl som funktion af iterationsnummer. Normaliseret til ved frste iteration. Fejlfunktionen er et mal for forskellen mellem fouriertransformationen af billedet og det malte interferensmnster. eksperimenter som krver fuldstndig kohrent straling. Det ultimative mal er at udvikle interferensmikroskopi til et standardvrktj indenfor de biologiske videnskaber til billeddannelse i tre dimensioner med et synsfelt pa 00 mikrometer og oplsning ned til nogle fa nanometer. Litteratur [] J.M. Rodenburg et al., Ultramicroscopy (2006), doi:0.06/j.ultramic.2006.07.007. [2] H.M.L. Faulkner, and J.M. Rodenburg, Phys. Rev. Lett., 93, 023903/ (2004) [3] H.M.L. Faulkner, and J.M. Rodenburg, Ultramicroscopy, 03, 53 (2004) [4] J.M. Rodenburg, A.C. Hurst, A.G. Cullis, B.R. Dobson, F. Pfeier, O. Bunk, C. David, K. Jemovs, and I. Johnson "Hard X-ray lensless imaging of extended objects"submitted to Optics Express (2006) 2