Jens E. Overø Introduktion til sandsynlighedsregning Samfundslitteratur
Jens E.Overø Introduktion til sandsynlighedsregning 1. udgave 1992 1. udgave, 2. oplag 2001 Samfundslitteratur 2001 Grafisk tilrettelæggelse: Forfatteren Tryk: Narayana Press, Gylling Omslag: Torben Lundsted ISBN 978-87-593-9966 2-0 Samfundslitteratur Rosenørns Allé 9 1970 Frederiksberg C Telefon 38 15 38 80 Telefax 35 35 78 22 slforlag@sl.cbs.dk www.samfundslitteratur.dk Alle rettigheder forbeholdes. Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelse.
FORORD Denne bog er udsprunget af et notesæt til et 20-30 timers kursus i sandsynlighedsregning som indledning til statistikundervisningen på HA-studiet på Handelshøjskolen i København. Både stedet og formålet har præget fremstillingen. Stedet har især præget eksempelvalget, og formålet har hele tiden dæ m pet forfatterens trang til at fortabe sig. Teksten indeholder derfor kun de for et efterfølgende grundkursus i statistik mest nødvendige begreber og sammenhænge i sandsynlighedsregningen. Formålet har også begrundet, at gennemgangen af de for statistikken centrale fordelinger x 2 -, T- og F-fordelingen er henlagt til et appendix. Det er forfatterens erfaring, at det er mest effektivt at gennemgå disse fordelinger senere i forbindelse med de statistiske anvendelser af dem. Ved opslag i fordelinger er anvendt tabelværket, Erlang S, Statistiske tabeller ved Allan C. Malmberg, Gjellerup & Gad. Sidehenvisninger hertil i teksten er til 1988-udgaven. Dette skal dog kun betragtes som en oplysning, ikke som en forudsætning for at læse bogen, da tilsvarende tabeller findes i alle andre statistiske tabelværker. Efter hvert kapitel er anbragt et resumé for at gøre det lettere at foretage opslag og for at lette en eventuel repetition. Med samme formål for øje er anbragt et emneregister bagest i bogen. Til slut skal rettes en tak til Birgit Rasmussen og Marianne Andersen, som har udført den til tider vanskelige opgave at udrede og renskrive forfatterens notater. Jens E. Overø Institut for teoretisk Statistik Handelshøjskolen i København Juli 1992
KAPITEL 1. SANDSYNLIGHEDSREGNING 1.1. Stokastisk eksperiment. Udfaldsrum. Hændelser. 7 1.2. Sandsynlighed. Relativ hyppighed. 10 1.3. Sandsynlighedsregningens grundregler. 11 1.4. Udfaldsrum med lige sandsynlige udfald. 17 1.5. Bayes formel. 23 1.6. Resumé. 28 KAPITEL 2. STOKASTISKE VARIABLE. FORDELINGER. 2.1. Stokastisk variabel. 30 2.2. Tæthed, fordelingsfunktion. 32 2.2.1. Det diskrete tilfælde. 32 2.2.2. Det kontinuerte tilfælde. 37 2.3. Flerdimensionale fordelinger. 43 2.4. Summarisk fordelingsbeskrivelse. 48 2.4.1. Summarisk fordelingsbeskrivelse baseret på fraktilbegrebet. 48 2.4.2. Summarisk fordelingsbeskrivelse baseret på forventningsbegrebet. 52 2.4.3. Tchebychevs ulighed. 57 2.4.4. Kovarians, korrelation. 58
2.4.5. Regneregler for forventning og varians. 65 2.5. Eksempler på fordelinger. 75 2.5.1. Binomialfordelingen. 75 2.5.2. Poisson-fordelingen. 83 2.5.3. Normalfordelingen. 88 2.5.4. Sammenhæng mellem fordelingerne. 95 2.5.5. Multinomialfordelingen. 100 2.5.6. Multinomialfordelingen og Poisson-fordel ingen. 105 2.6. Resumé. 106 APPENDIX. 119 INDEX. 132
Kapitel 1 Side 7 KAPITEL 1. SANDSYNLIGHEDSREGNING 1.1. Stokastisk eksperiment. Udfald. Udfaldsrum Sandsynlighedsregningen omhandler stokastiske (tilfældige) eksperimenter 1. Som eksempler herpå kan nævnes spil, repræsentative undersøgelser, fænomener inden for økonomi som f. eks. forbrug og investering pr. tidsenhed i et samfund, eller afsat mængde pr. tidsenhed af en bestemt vare, eller de direkte omkostninger pr. produktenhed osv. I anden forbindelse kunne man have nævnt eksempler inden for områder som landbrugsvidenskab, lægevidenskab, biologi, meteorologi, fysik mv. Resultatet af et stokastisk eksperiment kaldes et udfald, mængden af mulige udfald et udfaldsrum. Det stokastiske (tilfældige) fremkommer ved, at man ikke på forhånd kan angive resultatet af et eksperiment, men kun resultatmulighederne, udfaldsrummet. Det stokastiske eksperiment er derved afgrænset fra det deterministiske eksperiment. som netop er karakteriseret ved, at samme udfald indtræffer hver gang eksperimentet udføres. Umiddelbart kan den stokastiske beskriveisesmåde måske forekomme overflødig, eftersom alting må have en forklaring. Forsøgsbetingelserne må kunne angives så detaljeret, at udfaldsrummet reduceres til ét udfald. Man vælger imidlertid den stokastiske beskrivelsesmåde, fordi mange fænomener er så indviklede, at en fuldstændig, deterministisk beskrivelse vil være uoverskuelig. For eksempel vil afsat mængde pr. tidsenhed af en vare være bestemt af mange faktorers indvirkning. Her vil den stokastiske beskrivelsesmåde være ensbetydende med at identificere nogle få, som hovedårsager til variationen i afsætningen, og lade de andre mange faktorers indvirkning udgøre det stokastiske element. I tilfældet repræsentative undersøgelser er en fuldstændig, deterministisk beskrivelse ensbetydende med en totalundersøgelse. Her bliver valget af stokastisk beskrivelsesmåde ensbetydende med stikprøveundersøgelse, der i reglen foretrækkes, fordi en totalundersøgelse kan være for besværlig og/eller omkostningskrævende. Man vælger altså den stokastisk beskrivelsesmåde af praktiske grunde. 1 Ordet eksperiment skal ikke opfattes alt for klinisk, men snarere sidestilles med ord som fænomen eller foreteelse.