Opgaver i sandsynlighedsregning

Transkript

1 Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 og P(A B) = 0.8. Find sandsynlighederne for følgende hændelser A B, A C, B C, A C B C og A C B C. (Vink: Det kan uden bevis benyttes, at A C B C = (A B) C og A C B C = (A B) C.) Opgave Hvor mange udfald har spillet kast med mønter? Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet, dvs. antag at alle udfald er lige sandsynlige og beregn a) sandsynligheden for at alle mønter viser plat, b) sandsynligheden for at mindst en mønt viser krone, c) sandsynligheden for at netop en mønt viser krone. Besvar samme spørgsmål for spillet kast med n mønter. Hvor stor skal n være, for at sandsynligheden for at få mindst en krone er større end 95%? Opgave Betragt spillet kast med terninger. Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på udfaldsrummet og beregn følgende: a) sandsynligheden for at alle terninger viser 6 øjne, b) sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne, c) sandsynligheden for at netop en terning viser 6 øjne. Beregn de samme sandsynligheder for spillet kast med n terninger og bestem det mindste n således, at sandsynligheden for at mindst en terning viser 6 øjne er større end 95%. Opgave 4 Betragt det uniforme sandsynlighedsmål påe =[0,0] og hændelserne A =[0,5],B = [,7] og C = [4,9]. Undersøg om A og B er uafhængige, om A og C er uafhængige, og om B og C er uafhængige. Opgave 5 En af de klassiske illustrationer af Bayes formel vedrører kommoder, der hver har to skuffer. I de første kommode er der en guldmønt i hver af de to skuffer, i den anden kommode er der en guldmønt i den ene skuffe og en sølvmønt i den anden og endelig er der en sølvmønt i hver af skufferne i den tredje kommode. En af kommoderne vælges tilfældigt og en skuffe åbnes og viser sig at indeholde en guldmønt. Hvad er sandsynligheden for at den anden skuffe i kommoden også indeholder en guldmønt? Gæt først på hvad sandsynligheden er og beregn den dernæst ved hjælp af Bayes formel.

2 Opgave 6 Antag, at der i en moræne er 0% facetterede og 80% ikke-facetterede småsten samt at 70% af de facetterede er granit og at 80% af de ikke-facetterede er granit. Hvad er sandsynligheden for at en sten, der består af granit, er facetteret? Opgave 7 Et gartneri sælger små stedmoderplanter. Sandsynligheden for anlæg for blå blomst er 0.7, for gul blomst 0. og for hvid blomst 0.. Sandsynligheden for, at en plante kommer i groning er 0.95 for blå planter, 0.9 for gule planter og 0.9 for hvide planter. a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældigt valgt plante kommer i groning? b) Hvad er sandsynligheden for, at en plante, der kommer i groning, får gule blomster? Opgave 8 Udled sandsynlighederne i Example 4. og 4. på siderne 6 9 i BPT. Opgave 9 Evnen til at smage stoffet phenylthiocarbamid (PTC) er i mennesket bestemt af et enkelt, autosomalt locus med allelerne T og t. Allelen T dominerer over allelen t, således at personer med genotypen T T eller T t er smagere, medens personer med genotypen tt har fænotypen ikke-smagere. Lad os betragte en human population, hvor T -allelen forekommer med hyppigheden p og t-allelen med hyppigheden q = p. Opstil, under antagelse af Hardy-Weinberg ligevægt i populationen, udtryk for: a) Hyppigheden i populationen af de tre mulige ægteskabstyper (smager) x (smager), (smager) x (ikke-smager) og (ikke-smager) x (ikke-smager). b) Hyppigheden af ikke-smager -børn inden for hver af de tre under a) nævnte ægteskabstyper. Hvis hyppigheden af t-allelen er 0% (dvs. q = 0.0), hvor stor en del af samtlige ikkesmager -børn kommer da fra den genotypiske ægteskabskombination Tt x Tt og hvor stor en del kommer fra ægteskaber af typen tt x tt? Opgave 0 Lad p ]0,[ og lad {a n } være følgen med elementer samt at a n = ( p)p n, n =,,.... Vis ved hjælp af formel (B5) og formel (B9) med q = p at a n+ = n=0 a n = n= n= n=0 ( p)p n = + p ( p)p n = p + p. Bemærk, at de to rækker er summen af elementer i følgen med henholdsvis ulige og lige numre.

3 Opgave Antag, at vi udfører en række uafhængige kast med en mønt, der med sandsynlighed p( ]0,[) viser plat og med sandsynlighed p viser krone. Lad T betegne den stokastiske variable, der angiver det tidspunkt, hvor vi første gang får krone. samt at a) Vis, eventuelt ved hjælp af Example 4.4, at sandsynlighedsfunktionen for T er P(T = n) = ( p)p n, n =,,.... b) Vis, at sandsynligheden for at T er ulige, dvs. T {,,5,...} er (Vink: brug resultaterne i Opgave 0.) P(T ulige) = + p, P(T lige) = p + p. c) Det ses af b), at P(T ulige) altid er større end P(T lige). For hvilke værdier af p er forskellen mellem disse sandsynligheder størst? Giv en naturlig forklaring på dette. Opgave Vis, at sandsynlighedsfunktionerne for de stokastiske varible R,W, S,Y og Z i Example 5. er som angivet på side. Angiv de tilsvarende fordelingsfunktioner. Opgave Hos mennesker nedarves brunøjethed dominant overe blåøjethed. Et anlæg for brunøjethed betegnes med A, et anlæg for blåøjethed med a. I en familie med 4 børn vides begge forældre at have arveformel Aa. Find sandsynligheden for, at netop af børnene er brunøjede (der er ingen tvillinger). Opgave 4 Vis ved at benytte omskrivningen at Vis dernæst, at er divergent. n(n+) = n n+ n= n(n+) =. n= n n(n+) (Vink: skriv de første led i denne række op og sammenlign med den harmoniske række, som er divergent, se side.)

4 4 Opgave 5 Vis, at funktionen f(x) = x(x+), x =,,..., er sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel X. Undersøg desuden om X har middelværdi. (Vink: brug resultaterne i Opgave 4) Opgave 6 Betragt firkanten bestemt af punkterne (0, 0),(, 0),(, ) og (, ). Bestem arealet af denne firkant ved hjælp af et dobbelt integral. Opgave 7 Betragt trekanten T bestemt af punkterne (,),(0,0) og (,). Antag, at den to-dimensionale stokastiske vektor (X,X ) er uniformt fordelt på trekanten. Da arealet af T er betyder dette, at den simultane tæthedsfunktion (joint density function) for (X,X ) er { hvis (x,x ) T f (X,X )(x,x ) = Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og X er henholdsvis f X (x ) = x, hvis x [,], og f X (x ) = x, hvis x [0,]. Opgave 8 Lad A være firkanten bestemt af punkterne (0,0),(,0),(0,) og (,) og betragt funktionen f(x,x ) = { 4x x + 4x hvis (x,x ) A a) Gør rede for, at funktionen f er tæthedsfunktion for en to-dimensional kontinuert stokastisk vektor. Vink: For at vise at f(x,x )dx dx =, R er det lettest at beregne dobbelt integralet som ( f(x,x )dx )dx, R R idet man først viser, at for fast x er ( ) f(x,x )dx = x, for x [0,]. (*) R

5 5 b) Vis ved hjælp af (*), at tæthedsfunktionen for X er c) Vis, at E X = / og at Var X = /8. f X (x ) = x, for x [0,]. Opgave 9 A er en hændelse med sandsynlighed p. X er en stokastisk variabel, defineret ved { hvis e A X(e) = hvis e A C. Tegn fordelingsfunktionen for X. Vis, at E X = p og at Var X = 4p( p). Opgave 0 I mange hasardspil vædder man om, at en hændelse A indtræffer. Gevinsten ved indsatsen er p hvis e A X(e) = p hvis e A C, hvor p = P(A). Vis, at E X = 0. Vis desuden, at Var X = ( p)/p samt at variansen vokser, når p aftager. Opgave En kontinuert stokastisk variabel X har tæthedsfunktionen f X (x) = ( x), hvis x ]0,[. a) Find sandsynligheden for at X > /4. b) Beregn middelværdi og varians af X. Opgave Formålet med denne opgave er at illustrere vigtige begreber såsom middelværdi, varians, kovarians, korrelation og uafhængighed i en situation, hvor de numeriske beregninger forhåbentlig ikke volder det store besvær. I den nedenstående tabel er angivet sandsynlighedsfunktionen for en diskret to-dimensional stokastisk vektor (X,X ). Desuden er angivet de marginale sandsynlighedsfunktioner for X og X, for eksempel er P(X = ) = 0.4 og P(X = ) = 0.6. X \X 0 P(X = ) P(X = ) ) Check, at marginalfordelingernes sandsynlighedsfunktioner er beregnet korrekt.

6 6 ) Undersøg, om X og X er stokastisk uafhængige. ) Vis, at E X = 0.0 og at E X = 0.. Lad Z = X X. 4) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for Z er Z = X X 0 P(Z = ) ) Vis, at EZ = E(X X ) = ) Vis, ved at bruge ), 5) og formel (6.), at Cov(X,X ) = Lad (Y,Y ) = (X,X ). 7) Vis, at sandsynlighedsfunktionen for (Y,Y ) er Y \Y ) Vis, at Y og Y er stokastisk uafhængige. 9) Vis, at E X = E Y = 0.7 og at E X = E Y = ) Vis ved hjælp af ), 9) og formel (6.0), at Var X = og at Var X = ) Beregn Cor(X,X ) ved hjælp af 6), 0) og formel (6.9). Opgave En to-dimensionel diskret stokastisk vektor (X,Y) har sandsynlighedsfunktion som anført i nedenstående tabel X \Y Find sandsynlighedsfunktionen for X og beregn E X [.45] og Var X [.475]. Find sandsynlighedsfunktionen for Y og beregn E Y [.0] og VarY [0.6499]. Find E (XY) [.50] og Cov(X,Y) [0.055]. Er X og Y uafhængige? Opgave 4 (Eksamen Biostatistik sommeren 9, Opgave ) J. Schmidt og K. Smidt foretog i henholdsvis 97 og 9 en undersøgelse vedrørende variationen i brystfinnen hos ålekvabber (Zoarces viviparus). For et stort antal mødre blev antallet af stråler Y hos moderen registreret tillige med antallet af stråler Y hos en tilfældigt udvalgt

7 7 unge. Her vil vi kun interessere os for den del af mødrene for hvilke Y og Y antager en af værdierne 8, 9 og 0 og for at lette beregningerne nedenfor indføres betegnelserne X = Y 9 X = Y 9 Ud fra undersøgelserne kan fordelingen af (X,X ) estimeres ved sandsynlighederne i følgende tabel: X \X Beregn E X og Var X. Beregn E X og Var X. Beregn Cov(X,X ) og undersøg, om X og X er stokastisk uafhængige. 4 Benyt relationen mellem (X,X ) og (Y,Y ) samt resultaterne i, og til at finde E Y og E Y og til at undersøge om Y og Y er stokastisk uafhængige. Opgave 5 (Eksamen i Biostatistik Vinteren 99/9, Opgave ) Lad X og X være uafhængige diskrete stokastiske variable begge uniformt fordelt på mængden {,,,4,5}, dvs. at for i = og er sandsynlighedsfunktionen for X i f Xi (x i ) = P(X i = x ) = /5, for x {,,,4,5}. Vis, at X har middelværdi og varians. Vis, at X X har middelværdi 0 og varians 4. Lad D betegne den stokastiske variabel D = X X {0,,,,4}. Vis, at sandsynlighedsfunktionen for D er f D (d) = P(D = d) = 5/5 hvis d = 0 8/5 hvis d = 6/5 hvis d = 4/5 hvis d = /5 hvis d = 4. 4 Beregn middelværdien for D.

8 8 Opgave 6 (Fortsættelse af Opgave 7) Eksempel på beregning af middelværdier, varianser, kovarians etc. for en to-dimensional kontinuert stokastisk vektor. ) Vis, at E X = 0 og E X = /. ) Vis, at E X = /6 og E X = /. ) Vis ved hjælp af ), ) og formel (6.0), at Var X = /6 og Var X = /8. 4) Vis først, at E(X X ) = R R x x f (X,X )(x,x )dx dx = 0 x ( x x x dx ) dx og dernæst, at E(X X ) = 0 (idet værdien af det inderste integral er 0 for alle værdier af x [0,]). 5) Vis ved hjælp af ), 4) og formel (6.), at Cov(X,X ) = 0. 6) Brug 5) og formel (6.9) til at vise at Cor(X,X ) = 0. 7) Vis, at X og X ikke er stokastisk uafhængige. (Betragt kriteriet i formel (5.6).) Opgaven giver altså et eksempel på at to stokastiske variable kan være ukorrelerede uden at være uafhængige. Opgave 7 Lad (X,X ) betegne en to-dimensional stokastisk vektor, hvis fordeling er bestemt ved tæthedsfunktionen f i Opgave 8: { 4x x + 4x hvis (x,x ) A f(x,x ) = hvor A er firkanten bestemt af punkterne (0,0),(,0),(0,) og (,). a) Vis, at tæthedsfunktionen for (Y,Y ) = (X + X,X ) er (Vink: Brug formel (7.7) i BPT.) f (Y,Y )(y,y ) = 4y y, for (y,y ) [0,] [0,]. b) Vis, at Y og Y er stokastisk uafhængige (brug formel (5.6) i BTP) samt at Y og Y har samme fordeling. Opgave 8 Antag, at X er uniformt fordelt på intervallet]0,[, dvs. X R(0,), og lad Y = X. Vis, at fordelingsfunktionen, tæthedsfunktionen, middelværdien og variansen for Y er henholdsvis 0 hvis y 0 F Y (y) = y hvis y ]0,[ hvis y,

9 9 f y (y) = y hvis y ]0, [ 0 ellers, E Y = og VarY = Opgave 9 Lad X betegne den stokastiske variable i Opgave, det vil sige X har tætheden f X (x) = ( x), hvis x ]0,[. Find tæthedsfunktionen for Y = X [ f Y (y) = 4y( y ), y ]0,[] og beregn middelværdien af Y [8/5]. Opgave 0 En to-dimensional kontinuert stokastisk vektor (X,X ) har tæthedsfunktion f (X,X )(x,x ) = x + x, hvis (x,x ) ]0,[ ]0,[. a) Vis, at tæthedsfunktionen for X er f X (x ) = x +, hvis x ]0,[, samt beregn E X [7/] og Var X [/44]. Lad (Y,Y ) = (X,X + X ). b) Vis, at tæthedfunktionen for (Y,Y ) er f (Y,Y )(y,y ) = y, hvis y ]0,[ og y < y < +y. Opgave Eksempler på beregning af fordelingen af summen af uafhængige stokastiske variable. Antag, at X og X er uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable og lad X = X + X. a) Vis ved hjælp af formel (8.) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X og X er diskret med sandsynlighedsfunktion x 0 f X (x) så er X en diskret stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion x 0 4 f X (x )

10 0 b) Vis ved hjælp af formel (8.) i BPT, at hvis den fælles fordeling af X og X er eksponentialfordelingen med parameter λ, dvs. (se formel (5.4) i BPT) den kontinuerte fordeling med tæthedsfunktion f X (x) = λe λx, for x > 0, så er X en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion f X (x.) = λ x e λx, for x > 0. Opgave (Eksamen i Geostatistik Vinteren 99/9, Opgave ) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion hvis x ],e[ f X (x) = x 0 ellers, hvor e betegner grundtallet for den naturlige logaritme, dvs. ln(e) =. Vis, at fordelingsfunktionen F X for X er givet ved 0 hvis x F X (x) = ln(x) hvis x ], e[ hvis x e. Vis, at middelværdien af X er E X = e. Vis, at variansen af X er Var X = ( e)(e ). 4 Lad Y = ln(x) og vis, at Y R(0,), dvs. at Y er uniformt (eller rektangulært) fordelt på intervallet ]0, [. Opgave (Eksamen i Biostatistik Sommeren 99, Opgave ) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel, hvis fordelingsfunktion F X er givet ved F X (x) = 0 hvis x ],0[ 4 x hvis x [0,] hvis x ], [. Vis, at P(X ]0.5,.5]) =.

11 Vis, at tæthedsfunktionen f X for X er x hvis x [0,] f X (x) = Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = 4 og Var X = 9. 4 Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Find fordelingen af Y. Y = 4 X. Opgave 4 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 99/94, Opgave ) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel hvis fordelingsfunktion F X er givet ved 0 hvis x ],0[ F X (x) = x x hvis x [0,] hvis x ], [. Vis, at P(X ]0,0.5]) = P(X ]0.5,]) =. Vis, at tæthedsfunktionen f X for X er { 6x( x) hvis x [0,] f X (x) = Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis E X = og Var X = 0. 4 Lad Y betegne den transformerede stokastiske variabel Vis, at Y har samme fordeling som X. Y = X.

12 Opgave 5 (Re- og sygeeksamen i Geostatistik Vinteren 99/94, Opgave ) Lad (X,X ) være en diskret to-dimensional stokastisk vektor med sandsynlighedsfunktion som angivet i nedenstående tabel: X \X Vis, at X og X har samme marginale fordeling med sandsynlighedsfunktion x f X (x) samt at X og X er stokastisk uafhængige. Vis, at E X = E X = og Var X = Var X = Find E (X + X ),E (X X ),Var(X + X ) og Var(X X ). Opgave 6 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 994, opgave ) Lad V være en diskret stokastisk variabel som er binomialfordelt med antalsparameter og sandsynlighedsparameter π, det vil sige V b(, π). Sæt X = V. Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er x P(X = x) π π Beregn middelværdien og variansen for X. Lad Y være en stokastisk variabel som er stokastisk uafhængig af X og som har samme fordeling som X. Sæt U = X Y. Vis, at sandsynlighedsfunktionen for den to-dimensionale diskrete stokastiske vektor (X,U) er X \ U π( π) ( π) π( π) π

13 samt at sandsynlighedsfunktionen for den marginale fordeling af U er u P(U = u) π( π) π +( π) 4 Vis endelig, at hvis π = 0.5, så er X og U stokastisk uafhængige og U har samme fordeling som X. Opgave 7 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 994/95, Opgave ) Lad X være en kontinuert stokastisk variabel med tæthedsfunktion { x hvis x ]0,[ f X (x) = Vis, at P(X ] 4, [) = 4. Vis, at middelværdien og variansen af X er henholdsvis E X = 4 og Var X = 80. Lad Z betegne en stokastisk variabel, som er uafhængig af X og som har samme fordeling som X. Beregn middelværdien og variansen af X Z. 4 Lad Y = lnx og vis, at Y er eksponentialfordelt med parameter λ =, det vil sige, at tæthedsfunktionen for Y er f Y (y) = { e y hvis y ]0, [ Opgave 8 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 994/95, Opgave ) En diskret stokastisk variabel B har sandsynlighedsfunktion: B 0 P(B = ) 0 Find middelværdien og variansen af B. En anden diskret stokastisk variabel A antager kun værdierne og med positiv sandsynlighed. Fordelingen af A er indirekte givet ved de betingede sandsynligheder af A = givet B som angivet i følgende tabel: B 0 P(A = B = ) 5

14 4 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for A er A P(A = ) og beregn middelværdi og varians af A. 4 0 Beregn de betingede sandsynligheder af B givet A. 4 Beregn Cov(A,B). 6 0 Opgave 9 (Eksamen i Biostatistik Sommeren 995, Opgave ) Lad X være en stokastisk variabel med fordelingsfunktion 0 hvis x < F X (x) = 4 (+x x ) hvis x hvis x >. Vis, at P(X ],0.5]) = 7, samt at tæthedsfunktionen for X er f X (x) = 4 ( x ) hvis x Vis, at middelværdien og variansen for X er henholdsvis Lad E X = 0 og Var X = 5. Y = (Z + ), hvor Z er en stokastisk variabel, der er uafhængig af X og har samme fordeling som X. Beregn middelværdien og variansen af X Y. 4 Vis, at tæthedsfunktionen for Y er { 6y( y) hvis y [0,] f Y (y) = Opgave 40 (Eksamen i Geostatistik Vinteren 995/96, Opgave ) Lad (X,Y) være en kontinuert to-dimensional vektor med simultan tæthedsfunktion f (X,Y) (x,y) = 4 x hvis (x,y) [,] [,]

15 5 Vis, at de marginale tæthedsfunktioner for X og Y er henholdsvis f X (x) = x hvis x [,] 0 ellers, og f Y (y) = hvis y [,] 0 ellers, samt at X og Y er stokastisk uafhængige. Beregn P((X,Y) ], ] ], ]). Vis, at middelværdien og variansen af X og Y er henholdsvis E X = 0, E Y = 0, Var X = 5, og VarY =. 4 Beregn middelværdien af såvel X Y som XY. Opgave 4 (Reeksamen i Geostatistik Vinteren 995/96, Opgave ) Lad der være givet tre kugler med numrene, og samt tre kasser med numrene, og. I hver kasse kan der kun være én kugle. Kuglerne fordeles tilfældigt i kasserne, og der noteres et sammenfald, hvis en kugle falder i en kasse med samme nummer. Lad X betegne antallet af sammenfald efter den første kugle er anbragt. Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er og beregn E X og Var X. X 0 f X (x ) Lad dernæst X betegne antallet af sammenfald efter at to kugler er anbragt. Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er og beregn E X og Var X. X 0 f X (x ) Lad endelig X betegne antallet af sammenfald efter at alle tre kugler er anbragt. 6

16 6 Vis, at sandsynlighedsfunktionen for X er og beregn E X og Var X. X 0 f X (x ) 4 Find den betingede fordeling af X givet X = 0, samt den betingede fordeling af X givet X =. Opgave 4 Et jokertal er et syvcifret tal, hvor hvert ciffer er et af tallene 0,,...,9. Spiller man JOKER er antallet af rigtige lig med antallet af cifre fra højre mod venstre, der stemmer overens med jokertallet. Er jokertallet for eksempel 4567 og man har tallet er der fire rigtige. Har man derimod tallet 4569 har man ingen rigtige. uger? uger? a) Find sandsynligheden for at have henholdsvis,,, 4, 5, 6, 7 og 0 rigtige. b) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige? Antag, at man spiller JOKER i tre på hinanden følgende uger. c) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i præcis én gang i løbet af de tre d) Hvad er sandsynligheden for at have mindst 4 rigtige i mindst én gang i løbet af de tre Opgave 4 En række i LOTTO består af 7 af de første 6 hele positive tal. a) Gør rede for, at antallet af mulige rækker er ( ) 6. 7 b) Lad x være et af tallene 0,,...,7. Gør rede for, at antallet af rækker med x rigtige er ( )( ) 7 9. x 7 x c) Lad X betegne antallet af rigtige på en enkelt række på lottokuponen hvis de 7 numre vælges tilfældigt. Vis, at P(X = x) = 6 ( )( 7 9 ) x 7 x ( ) 6, x = 0,,...,7, 7 Foruden de syv vindertal udtrækkes der også to tillægstal. Lad Y betegne antallet af rigtige tillægstal på en enkelt række.

17 7 d) Vis at fordelingen af (X,Y) er bestemt ved sandsynlighederne ( )( )( 7 7 ) P(X = x,y = y) = x y 7 x y ( ) 6, x = 0,,...,7, y = 0,,, så x+y 7. 7 Der udbetales gevinst, hvis en række indeholder 7 rigtige, 6 rigtige plus et tillægstal, 6 rigtige, 5 rigtige og 4 rigtige. e) Hvad er sandsynligheden for gevinst på en enkelt række?