Rettevejledning til. obligatoriske opgave Beslutninger og strategi Christian S. Liebing og Tobias N. Thygesen Forår 00. version. Opgave Betragter en agent med vnm-præferencer. Vi får oplyst, at agenten foretrækker pulje A frem for pulje B. Det betyder, at: U (A) > U (B) 3 0 u (c )+ 0 u (c )+ 3 0 u (c 3) > 0 u (c )+ 0 u (c )+ 0 u (c 3) 0 u (c ) > 0 u (c )+ 0 u (c 3) Vi skal afgøre, om vi kan sige noget om agentens præferencer mellem to andre puljer CogD: U (C) U (D) 0 u (c )+ 3 0 u (c 3)+ 6 0 u (c ) 0 u (c )+ 0 u (c 3)+ 6 0 u (c ) 0 u (c )+ 0 u (c 3) 0 u (c ) Det betyder, at U (C) <U(D), dvs. agenten foretrækker pulje D frem for C, idet vi ved, at højresiden er større end venstresiden.. Opgave Der er tale om ens præferencer, hvis det er muligt at finde a og b, så v(x) au(x)+b hvilket ikke er muligt.
Vi skal derfor finde to lotterier, hvor det gælder, at Ulla foretrækker det ene, mens Viggo foretrækker det andet. Det gælder f.eks. for følgende lotterier: Lotteri som med 0 pct. sandsynlighed giver tilstand, 60 pct. sandsynlighed giver tilstand og 0 pct. sandsynlighed giver tilstand 3. Lotteri som med 0 pct. sandsynlighed giver tilstand, 5 pct. sandsynlighed giver tilstand og 35 pct. sandsynlighed giver tilstand 3. Ulla foretrækker lotter, idet: U () > U () 0 u (c )+ 6 0 u (c )+ 0 u (c 3) > 0 u (c )+ 5 00 u (c )+ 35 00 u (c 3) 0 0+ 6 0 5+ 0 0 > 5 35 0+ 5+ 0 00 00 0 500 00 > 75 00 mens Viggo foretrækker lotteri, idet: 3. Opgave V () < V () 0 v (c )+ 6 0 v (c )+ 0 v (c 3) < 0 v (c )+ 5 00 v (c )+ 35 00 v (c 3) 0 0 + 6 0 50 + 0 0 < 5 35 0 + 50 + 0 00 00 0 500 < 5500 00 00 Investor har en formue på w, som kan sættes i et sikkert aktiv, som giver bruttoafkastet ( + r), eller i et usikkert aktiv, som i tilstand s giver bruttoafkastet θ s. Det skal vises, at der sættes et strengt positivt beløb i det usikre aktiv,, når P ss s π sθ s > ( + r). Indkomsten for investoren i tilstand s, I s,ergivetved: I s (w )(+r)+θ s w ( + r)+ (θ s ( + r)) Den forventede nytte er givet ved: XsS XsS U π s u (I s ) π s u (w ( + r)+ (θ s ( + r))) s s Den forventede marginalnytte af at sætte yderligere penge i det usikre aktiv er givet ved: ss U X u (w ( + r)+ (θ s ( + r))) π s s (θ s ( + r))
Som evalueret i 0giverved ss U X u (w ( + r)) π s (θ s ( + r)) s à ss! u (w ( + r)) X π s θ s ( + r) > 0 Da begge led er strengt positive. Det betyder, at den forventede nytte vil stige, hvis der sættes et (lille) strengt positivt beløb i det usikre aktiv. Det er udtryk for, at selv den risikoaverse agent er villig til at påtage sig lidt risiko for at opnå det højere forventede afkast ved at sætte en (streng positiv) del af fomuen i de usikre aktiv. s. Opgave Vi betragter nu en investor med Bernoulli-nyttefunktionen u(x) ln(x) og formuen. Investoren kan investere i to aktiver: Etsikkertaktivmedetnettoafkastpå 0 pct. dvs. krone investeret i dag bliver til krone i morgen. Et usikkert aktiv (en aktie), som sandsynligheden π ]0, [ giver et nettoafkast på 0 pct. dvs. krone investeret bliver til,0. Går det selskabet skidt, hvilket sker med sandsynlighed ( π), er nettoafkastet -0 pct. dvs. krone investeret bliver til 0,90 kroner. Kald beløbet investeret i det usikre aktiv for. Investorens formue i de to tilfælde bliver således: Med sandsynligheden π: ( )+, +0, Med sandsynligheden π :( )+0, 9 0, (a) Vi antager nu, at kan vælges frit i R. Investorens problem er at maksimere den forventede nytte: max π ln ( + 0, )+( π)ln( 0, ) Vi finder førsteordensbetingelsen - dvs. vi differentierer mht. og sætter lig 0: 3
π 0, ( + 0, ) +( π) 0, ( 0, ) 0 π ( π) ( + 0, ) ( 0, ) ( π) ( + 0, ) ( 0, ) µ π 0, ( π) ( π) +0, π π µ 0, ( π)+0, π π ( π) π π 5π 5 Ikke overraskende er voksende i π. Jo højere sandsynligheden er for det høje afkast, jo mere vil investoren inverestere i aktier. (b) Vi antager nu, at skal tilhøre [0, ]. Hvis vi ser på vores løsning fra før, kan vi undersøge, hvornår investoren vil vælge < 0: 5π 5 < 0 π < 3 henholdsvis > : 5π 5 > π > 5 Løsningen kan derfor skrives som følger: 0, hvis π < 3 5π 5, hvis 3 < π < 5, hvis π > 5 (c) Vi antager igen, at kan vælges frit i R. Vi skal finde en portefølje, der har værdien 0 ved det lave aktieafkast - dvs. afkastet på porteføljen skal være -00 pct.: 0, e 0 e 0 Værdien af porteføljen ved det høje aktieafkast bliver således: +0, e +3 Nettoafkastet af porteføljen er således 00 pct. (d) Vi antager nu igen, at investoren ikke har lov til at gå kortihverkenaktiereller bankbogen. Vi indfører et nyt aktiv med nettoafkast +00 pct. respektive -00 pct. og antager, at π. Kald beløbet investeret i det nye risikable aktiv for β. Investorens formue i de to tilfælde bliver således:
Med sandsynligheden 0, 5:( β)+, +3β +0, +β Med sandsynligheden 0, 5:( β)+0, 9 0, β Investorens problem er som sædvanlig at maksimere den forventede nytte: max,β ln ( + 0, +β)+ ln ( 0, β) Vi finder førsteordensbetingelserne, dvs. vi differentierer mht. og β og sætter lig 0: 0, ( + 0, +β) + 0, ( 0, β) 0 ( + 0, +β) ( 0, β) + + β 0, β β 0, (.) β ( + 0, +β) + ( 0, β) 0 ( + 0, +β) ( 0, β) β 0, (.) Vi får altså to ens førsteordensbetingelser hvilket gør, at vi ikke kan løse for og β - vi har en ligning og to ubekendte. Vi kan dog sige, at der vil være en fast sammenhæng mellem investorens investering i de to usikre aktiver givet ved (.) og (.) ovenfor. Alle sådanne investeringsstrategier vil give samme forventede nytte. Vi mangler blot betingelser der sikrer, at investoren ikke går kort. Vi må have: ( β) [0, ] og, β [0, ] og Det betyder, at: ( β) > 0 ( β) < µ µ 0, > 0 3 > 9 0 < 3 0 9 5 6 µ µ 0, < < 9 0 0 9 < Den sidste betingelse er opfyldt, da > 0. Betingelserne sikrer samlet, at β [0, ]. 5