Mikro II, Øvelser 3. ) er mindre eller lig i begge koordinater, da er (u, 1 u 2

Transkript

1 Mikro II 208I Øvelser 3, side Mikro II, Øvelser 3. To individer har i fællesskab opnået ret til 00 enheder af en vare, under den betingelse at de kan blive enige om en fordeling, ellers mistes denne ret. De to har hver sin nytte af varen, således at u x ) = x, mens u 2 x 2 ) = 2 lnx 2 + ). a) Skitsér nyttemulighedsområdet, dvs. alle de kombinationer u, u 2 ), som kan opnås, når man deler de 000 enheder mellem individerne og eventuelt smider noget af det væk. Vis at nyttemulighedsområdet er konvekst, kompakt og komprehensivt i den forstand at hvis det indeholder u, u 2 ) og u, u 2 ) er mindre eller lig i begge koordinater, da er u, u 2 ) også med). Lettest at plotte kurven når x vælges som kvadrattallene 9,6, 25 osv. op til 00. Konveksitet følger af, at både og ln er konkave funktioner: Hvis u, u 2 ) og u, u 2 er mulige, og λ [0, ], da er u x, u 2 2 ln00 x+) og u x, u 2 2 ln 00 x + ) for passende x, x [0, 00], så λu + λ)u λ x + λ) x λx + λ)x, λu 2 + λ)u 2 λ2 ln00 x + ) + λ)2 ln00 x + ) 2 ln00 λx + λ)x ) + ), så λu, u 2 ) + λ)u, u 2 ) er også med. De øvrige egenskaber er oplagte. Der resterer nu problemet om at forhandle sig frem til en deling. Det foreslås at bruge Nash s forhandlingsløsning, der maximerer produktet af nytterne på nyttemulighedsområdet Nash-produktet ). b) Find løsningen og den bagved liggende fordeling af de 00 enheder. Vi skal finde maximum af x ln 200 x + ) for x [0, 00]. Førsteordensbetingelsen er 2 x ln00 x + ) x 00 x + med løsning x 65, så der deles med 65 til og 35 til 2. = 0 eller ln00 x + )00 x + ) = 2x Det overvejes nu at benytte Nash s forhandlingsløsning på alle nyttemulighedsområder delmængder af R 2 + som er konvekse, kompakte og komprehensive). c) Vis at Nash forhandlingsløsningen har følgende egenskaber: Den vælger altid et nyttepar u, u 2 ) som er efficient, Det følger af at Nashproduktet er voksende i hver af individernes nytte. Hvis man ganger de to individers nytter med hver sin positive konstant, vil resultatet tilsvarende blive ganget med disse konstanter, Vi skal nu maximere produktet a u a 2 u 2 over alle par a u, a 2 u 2 ), hvor u, u 2 ) er i det

2 Mikro II 208I Øvelser 3, side 2 gamle område, det er let at se at maximum er a u a 2u 2 hvor u u 2 er det gamle maximum. Hvis nyttemulighedsområdet er symmetrisk så hvis u, u 2 ) er med, da er u 2, u ) også med), så vil løsningen give de to individer lige meget, Hvis maximum var u u 2 med f.eks. u > u 2, så ville også u 2, u ) være i mulighedsområdet, og pga. konveksiteten ville vi også have 2 u, u 2 ) + 2 u 2, u ), som ville give et større Nash-produkt, en modstrid. Hvis et nyttemulighedsområde er indeholdt i et andet, og løsningen for det andet faktisk ligger i det første, da er det også løsning for det første nyttemulighedsområde. Oplagt, for maximum af Nash-produktet på den store mængde er jo også maximum på enhver mindre mængde d) Fortolk og kommenter betingelserne ovenfor. Er de rimelige, kunne man tænke sig andre? Det er især den sidste uafhængighed af irrelevante alternativer), som kan være tvivlsom: Hvis man skærer i nyttemulighedsområdet, så den ene aldrig kan få mere end i Nash-løsningen, vil han stadig få det samme. Andre forhandlingsløsninger tager hensyn til det man har så andre ulemper. 2. Patent races) En antal n) virksomheder konkurrerer om at være de første og udtage patent på en ny opfindelse. Virksomheder vælger det beløb r i, der bruges på forskning, og den tid, der går til den nye opfindelse er færdig og kan patenteres er Tr i ), hvor T er en aftagende funktion. Hvis virksomheden kommer først og får patent, har den en indtægt W fra patentet, de andre får naturligvis ingenting. a) Formuler denne situation som et spil. Hvad er strategier og hvad er payoff? Der er n spillere som hver vælger forskningsudgifter r i R +, i =,..., n, og payoff bestemmes som følger: For en strategi n-tuppel r,..., r n ) findes først vinderne, nemlig Ir,..., r n ) = {i Tr i ) Tr j ), alle j}, og så er payoff til spiller i givet ved W π i r,..., r n ) = Ir,..., r n ) r i i Ir..., r n ) r i ellers b) Forklar, at der ikke er noget r,..., r n ), som er Nash-ligevægt i dette spil. Lad r,..., r m ) være vilkårlig. Hvis der kun er én vinder, kan denne vinder forbedre ved at reducere sin forskningsudgifter så længde de er større end den næstes. Hvis der er mere end én vinder, så kan hver af vinderne forbedre ved at øge udgifterne med vilkårlig lidt, så at de ikke behøver at dele med de andre vindere. Altså er der ingen Nash ligevægte. For at undersøge, om der er ligevægte i blandede strategier, noterer vi os først at spillet er helt symmetrisk, så det er naturligt at lede efter ligevægte, hvor alle spillere vælger samme sandsynlighedsfordeling over forskningsudgifter. Den betegner vi

3 Mikro II 208I Øvelser 3, side 3 med F, så at Fr) angiver sandsynligheden for at forskningsudgifterne er mindre end r. c) Forklar at hvis en virksomhed vælger udgifterne r, så er dens forventede payoff WFr) n r. Enten vinder virksomheden, nemlig hvis alle andre har valgt nogen mindre end r, og det sker med sandsynligheden Fr) n, eller virksomheden vinder ikke, og så taber den r i. d) Vis, at der er en symmetrisk Nash-ligevægt i blandede strategier, hvor sandsynligheden for forskningsudgifter r er ) r Fr) = n W for 0 r W. Brug at ) forventet payoff af enhver ren strategi skal være den samme i en Nash-ligevægt, og 2) da spillet er helt symmetrisk, må denne forventede være 0). Fra ) og 2) får vi, at vi skal sætte forventet payoff fra c) lig 0 og løse for Fr). e) Find de forventede forskningsudgifter. Kommenter resultatet. Lettest at bruge delvis integration, så at W 0 rdfr) = [rfr)] W 0 W 0 Fr)dr = W n n W = W n. 3. Betragt Prisoner s dilemma spillet med payoffs givet ved 9, 9) 0, 0) 0, 0), ) a) Find samtlige u, u 2 ), der kan fremkomme som forventet payoff når hver kombination af rene strategier vælges med en passende sandsynlighed. Det giver os den konvekse kombination af de fire punkter, ), 9, 9), 0, 0), 0, 0). b) Forklar, at for ethvert sådant u, u 2 ) findes en muligvis stort) antal gentagelser af spillet, hvor hver spiller kun vælger rene strategier ikke nødvendigvis de samme), så at gennemsnittet af payoffs går mod u, u 2 ). Lad u være et vilkårligt sådant punkt, da kan det skrives som p, )+p 2 9, 9)+p 3 0, 0)+p 4 0, 0). Vi kan vælge ikke-negative heltal n, n 2, n 3, n 4 og n så at vi kommer så tæt som vi ønsker på p i med n i, så hvis vi gentager spillet n gange og sørger for at, ) n kommer ud n gange osv., kommer vi tæt så tæt på u som vi ønsker. c) Find hver spillers minmax-payoff, dvs. det mindste payoff, som den anden spiller kan tvinge ham ned på, når han altid svarer med det for ham bedst mulige. minmax er 9, den anden spiller kan vælge første række eller søjle, og den anden kan så højest opnå 9.

4 Mikro II 208I Øvelser 3, side 4 d) Vis at enhver payoff-kombination fra a), som er større end minimax for hver spiller, kan fås gennemsnitspayoff i en Nash ligevægt i den uendelige gentagelse af spillet. Vælg en følge som i b), hvor payoff konvergerer til u, og lad begge spilleres strategi være at holde sig til denne følge, så længe den anden gør det, men at vælge første søjle i al fremtid hvis den anden spiller afviger. AFLEVERINGSOPGAVE Et sygehus, der finansieres af en bevilling fra regionen, er ledelsen optaget af at gennemføre så mange behandlinger som muligt, men lægger samtidig megen vægt på, at den medicinske kvalitet af behandlingen af den enkelte patient er høj. I regionen ønsker man også at der behandles så mange som muligt, men man vil samtidig gerne holde budgettet lavt. Hvis vi lader q være det beløb, som hospitalet afsætter til kvalitet i behandlingen af hver patient, og antal behandlede patienter betegnes med λ, har vi sammenhængen qλ = b, hvor b er det budget, der af regionen afsættes til drift af hospitalet. a) Formuler forholdet mellem region og sygehusledelse som et spil, når det antages at parterne har nyttefunktioner, der reflekterer holdningerne beskrevet ovenfor. Hospitalets strategier er q og regionens b. Hvis vi indfører nyttefunktioner uq, λ) for hospital og wλ, b) = for regionen, er payoff for hver strategikombination q, b) givet ved u q, b ) )) b, w q q, b. b) Beskriv i denne model, hvad der må forventes at blive resultatet af såvel regionens som sygehusets valg. Vi forventer, at der vælges en Nash-ligevægt q, b ), således at hospitalet maximerer u q, b for givet b og regionen maximerer ) q b w q, b for givet q. Det viser sig, at den opnåede kvalitet i behandlingen vokser med det beløb, der afsættes, men ikke proportionalt, når den opnåede kvalitet s måles på en skala fra 0 til, gælder der s = e q. c) Hvad bliver resultatet med hensyn til q, b og λ, når ledelsens nytte kan skrives som summen af opnået kvalitet pr. patient ganget med en faktor 90 og antal behandlede, og regionens nytte har formen λ + 00 b? Begynd med regionen: For fastholdt q er førsteordensbetingelsen 2 q b 2 00 b ) = 0 eller b = 00 q +.

5 Mikro II 208I Øvelser 3, side 5 For sygehuset er nyttefunktionen 90 e q ) + b med førsteordensbetingelse q2 90e q b q 2 = 0, som giver q = 4, 775 og b = 7, 36. Heraf fås λ = 3, 626 det lyder jo ikke af meget, men vi har ikke defineret måleenhederne, så det behøver ikke svare til det fysiske antal patienter).